Комбинаторные задачи (5 класс). Комбинаторика
Комбинаторика - это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Основы комбинаторики очень важны для оценки вероятностей случайных событий, т.к. именно они позволяют подсчитать принципиально возможное количество различных вариантов развития событий.
Основная формула комбинаторики
Пусть имеется k групп элементов, причем i-я группа состоит из n i элементов. Выберем по одному элементу из каждой группы. Тогда общее число N способов, которыми можно произвести такой выбор, определяется соотношением N=n 1 *n 2 *n 3 *...*n k .
Пример 1. Поясним это правило на простом примере. Пусть имеется две группы элементов, причем первая группа состоит из n 1 элементов, а вторая - из n 2 элементов. Сколько различных пар элементов можно составить из этих двух групп, таким образом, чтобы в паре было по одному элементу от каждой группы? Допустим, мы взяли первый элемент из первой группы и, не меняя его, перебрали все возможные пары, меняя только элементы из второй группы. Таких пар для этого элемента можно составить n 2 . Затем мы берем второй элемент из первой группы и также составляем для него все возможные пары. Таких пар тоже будет n 2 . Так как в первой группе всего n 1 элемент, всего возможных вариантов будет n 1 *n 2 .
Пример 2.
Сколько
трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если
цифры могут повторяться?
Решение:
n 1 =6
(т.к. в качестве первой цифры можно взять любую цифру из 1, 2, 3, 4, 5, 6), n 2 =7
(т.к. в качестве второй цифры можно взять любую цифру из 0, 1, 2, 3, 4, 5,
6), n 3 =4 (т.к. в качестве третьей цифры можно взять любую цифру из 0, 2, 4,
6).
Итак, N=n 1 *n 2 *n 3 =6*7*4=168.
В том случае, когда все группы состоят из одинакового числа элементов, т.е. n 1 =n 2 =...n k =n можно считать, что каждый выбор производится из одной и той же группы, причем элемент после выбора снова возвращается в группу. Тогда число всех способов выбора равно n k . Такой способ выбора в комбинаторики носит название выборки с возвращением.
Пример 3.
Сколько всех четырехзначных чисел
можно составить из цифр 1, 5, 6, 7, 8?
Решение.
Для каждого разряда
четырехзначного числа имеется пять возможностей, значит N=5*5*5*5=5 4 =625.
Рассмотрим множество, состоящие из n элементов. Это множество в комбинаторике называется генеральной совокупностью .
Число размещений из n элементов по m
Определение 1. Размещением из n элементов по m в комбинаторике называется любой упорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из генеральной совокупности в n элементов.
Пример 4. Различными размещениями из трех элементов {1, 2, 3} по два будут наборы (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3),(3, 2). Размещения могут отличаться друг от друга как элементами, так и их порядком.
Число размещений в комбинаторике обозначается A n m и вычисляется по формуле:
Замечание: n!=1*2*3*...*n (читается: "эн факториал"), кроме того полагают, что 0!=1.
Пример 5
. Сколько существует двузначных
чисел, в которых цифра десятков и цифра единиц различные
и нечетные?
Решение:
т.к. нечетных цифр
пять, а именно 1, 3, 5, 7, 9, то эта задача сводится к выбору и размещению на
две разные позиции двух из пяти различных цифр, т.е. указанных чисел будет:
Определение 2. Сочетанием из n элементов по m в комбинаторике называется любой неупорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из генеральной совокупности в n элементов.
Пример 6 . Для множества {1, 2, 3}сочетаниями являются {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}.
Число сочетаний из n элементов по m
Число сочетаний обозначается C n m и вычисляется по формуле:
Пример 7. Сколькими способами читатель может выбрать две книжки из шести имеющихся?
Решение: Число способов равно числу сочетаний из шести книжек по две, т.е. равно:
Перестановки из n элементов
Определение 3. Перестановкой из n элементов называется любой упорядоченный набор этих элементов.
Пример 7a. Всевозможными перестановками множества, состоящего из трех элементов {1, 2, 3} являются: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3), (3, 2, 1), (3, 1, 2).
Число различных перестановок из n элементов обозначается P n и вычисляется по формуле P n =n!.
Пример 8. Сколькими способами семь книг разных авторов можно расставить на полке в один ряд?
Решение: эта задача о числе перестановок семи разных книг. Имеется P 7 =7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 способов осуществить расстановку книг.
Обсуждение. Мы видим, что число возможных комбинаций можно посчитать по разным правилам (перестановки, сочетания, размещения) причем результат получится различный, т.к. принцип подсчета и сами формулы отличаются. Внимательно посмотрев на определения, можно заметить, что результат зависит от нескольких факторов одновременно.
Во-первых, от того, из какого количества элементов мы можем комбинировать их наборы (насколько велика генеральная совокупность элементов).
Во-вторых, результат зависит от того, какой величины наборы элементов нам нужны.
И последнее, важно знать, является ли для нас существенным порядок элементов в наборе. Поясним последний фактор на следующем примере.
Пример 9.
На родительском собрании
присутствует 20 человек. Сколько существует различных вариантов состава
родительского комитета, если в него должны войти 5 человек?
Решение:
В этом примере нас
не интересует порядок фамилий в списке комитета. Если в результате в его
составе окажутся одни и те же люди, то по смыслу для нас это один и тот же
вариант. Поэтому мы можем воспользоваться формулой для подсчета числа сочетаний
из 20 элементов по 5.
Иначе будут обстоять дела, если каждый член комитета изначально отвечает за определенное направление работы. Тогда при одном и том же списочном составе комитета, внутри него возможно 5! вариантов перестановок , которые имеют значение. Количество разных (и по составу, и по сфере ответственности) вариантов определяется в этом случае числом размещений из 20 элементов по 5.
Задачи для самопроверки
1. Сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5,
6, если цифры могут повторяться?
2. Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево?
3. В классе десять предметов и пять уроков в день. Сколькими способами можно составить расписание на один день?
4. Сколькими способами можно выбрать 4 делегата на конференцию, если в группе 20 человек?
5. Сколькими способами можно разложить восемь различных писем по восьми различным конвертам, если в каждый конверт кладется только одно письмо?
6. Из трех математиков и десяти экономистов надо составить комиссию, состоящую из двух математиков и шести экономистов. Сколькими способами это можно сделать?
Комбинаторикой называется раздел математики, изучающий вопрос о том, сколько комбинаций определенного типа можно составить из данных предметов (элементов).
Правило умножения (основная формула комбинаторики)
Общее число способов, которыми можно выбрать по одному элементу из каждой группы и расставить их в определенном порядке (то есть получить упорядоченную совокупность ), равно:
Пример 1
Монету подбросили 3 раза. Сколько различных результатов бросаний можно ожидать?
Решение
Первая монета имеет альтернативы – либо орел, либо решка. Для второй монеты также есть альтернативы и т.д., т.е. .
Искомое количество способов:
Правило сложения
Если любые две группы и не имеют общих элементов, то выбор одного элемента или из , или из , …или из можно осуществить способами.
Пример 2
На полке 30 книг, из них 20 математических, 6 технических и 4 экономических. Сколько существует способов выбора одной математической или одной экономической книги.
Решение
Математическая книга может быть выбрана способами, экономическая - способами.
По правилу суммы существует способа выбора математической или экономической книги.
Размещения и перестановки
Размещения – это упорядоченные совокупности элементов, отличающиеся друг от друга либо составом, либо порядком элементов.
Размещения без повторений , когда отобранный элемент перед отбором следующего не возвращается в генеральную совокупность. Такой выбор называется последовательным выбором без возвращения, а его результат – размещением без повторений из элементов по .
Число различных способов, которыми можно произвести последовательный выбор без возвращения элементов из генеральной совокупности объема , равно:
Пример 3
Расписание дня состоит из 5 различных уроков. Определите число вариантов расписания при выборе из 11 дисциплин.
Решение
Каждый вариант расписания представляет набор 5 дисциплин из 11, отличающихся от других вариантов как составом, так и порядком следования. поэтому:
Перестановки – это упорядоченные совокупности, отличающиеся друг от друга только порядком элементов. Число всех перестановок множества из элементов равно
Пример 4
Сколькими способами можно рассадить 4 человек за одним столом?
Решение
Каждый вариант рассадки отличается только порядком участников, то есть является перестановкой из 4 элементов:
Размещения с повторениями , когда отобранный элемент перед отбором следующего возвращается в генеральную совокупность. Такой выбор называется последовательным выбором с возвращением, а его результат - размещением с повторениями из элементов по .
Общее число различных способов, которыми можно произвести выбор с возвращением элементов из генеральной совокупности объема , равно
Пример 5
Лифт останавливается на 7 этажах. Сколькими способами могут выйти на этих этажах 6 пассажиров, находящихся в кабине лифта?
Решение
Каждый из способов распределения пассажиров по этажам представляет собой комбинацию 6 пассажиров по 7 этажам, отличающуюся от других комбинаций как составом, так и их порядком. Так как одном этаже может выйти как один, так и несколько пассажиров, то одни и те же пассажиры могут повторяться. Поэтому число таких комбинаций равно числу размещений с повторениями из 7 элементов по 6:
Сочетания
Сочетаниями из n элементов по k называются неупорядоченные совокупности, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом.
Пусть из генеральной совокупности берется сразу несколько элементов (либо элементы берут последовательно, но порядок их появления не учитывается). В результате такого одновременного неупорядоченного выбора элементов из генеральной совокупности объема получаются комбинации, которые называются сочетаниями без повторений из элементов по .
Число сочетаний из элементов по равно:
Пример 6
В ящике 9 яблок. Сколькими способами можно выбрать 3 яблока из ящика?
Решение
Каждый вариант выбора состоит из 3 яблок и отличается от других только составом, то есть представляет собой сочетания без повторений из 9 элементов:
Количество способов, которыми можно выбрать 3 яблока из 9:
Пусть из генеральной совокупности объема выбирается элементов, один за другим, причем каждый отобранный элемент перед отбором следующего возвращается в генеральную совокупность. При этом ведется запись, какие элементы появились и сколько раз, однако порядок их появления не учитывается. Получившиеся совокупности называются сочетаниями с повторениями из элементов по .
Число сочетаний с повторениями из элементов по :
Пример 7
На почте продают открытки 3 видов. Сколькими способами можно купить 6 открыток?
Это задача на отыскание числа сочетаний с повторениями из 3 по 6:
Разбиение множества на группы
Пусть множество из различных элементов разбивается на групп так, то в первую группу попадают элементов, во вторую - элементов, в -ю группу - элементов, причем . Такую ситуацию называют разбиением множества на группы.
Число разбиений на групп, когда в первую попадают элементов, во вторую - элементов, в k-ю группу - элементов, равно:
Пример 8
Группу из 16 человек требуется разбить на три подгруппы, в первой из которых должно быть 5 человек, во второй – 7 человек, в третьей – 4 человека. Сколькими способами это можно сделать?
При решении многих практических задач приходится использовать комбинации элементов, выбирать из данной совокупности те, которые имеют определенные свойства, и размещать их в определенном порядке. Такие задачи называются комбинаторными . Раздел математики, посвящённый решению задач выбора и расположения элементов в соответствии с данными условиями, называется комбинаторикой. Термин «комбинаторика» происходит от латинского слова «combina» , что в переводе на русский язык означает – «сочетать», «соединять».
Выбранные группы элементов называют соединениями. Если все элементы соединения разные, то получаем соединения без повторений, которые и рассмотрим ниже.
Большинство комбинаторных задач решается с помощью двух основных правил – правила суммы и правила произведения .
Задача 1.
В магазине «Все для чая» есть 6 разных чашек и 4 разных блюдца. Сколько вариантов чашки и блюдца можно купить?
Решение .
Чашку мы можем выбрать 6-ю способами, а блюдце 4-я способами. Так как нам надо купить пару чашку и блюдце, то это можно сделать 6 · 4 = 24 способами (по правилу произведения).
Ответ: 24.
Для успешного решения комбинаторных задач надо еще и правильно выбрать формулу, по которой искать количество нужных соединений. В этом поможет следующая схема.
Рассмотрим решение нескольких задач на разные виды соединений без повторений.
Задача 2.
Найдите количество трехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, если цифры в числе повторяться не могут.
Решение.
Для выбора формулы выясняем, что для чисел, которые мы будем составлять, порядок учитывается и не все элементы одновременно выбираются. Значит, это соединение – размещение из 7 элементов по 3. Воспользуемся формулой для числа размещений: A 7 3 = 7(7 – 1)(7 – 2) = 7 · 6 · 5 = 210 чисел.
Ответ: 210.
Задача 3.
Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры разные, а номер не может начинаться с нуля?
Решение.
На первый взгляд эта задача такая же, как и предыдущая, но сложность в том, что надо не учитывать те соединения, которые начинаются с нуля. Значит необходимо из существующих 10-ти цифр составить все семизначные номера телефонов, а потом от полученного числа отнять количество номеров, начинающихся с нуля. Формула будет иметь вид:
A 10 7 – A 9 6 = 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 – 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 = 544 320.
Ответ: 544 320.
Задача 4.
Сколькими способами можно расставить на полке 12 книг, из которых 5 книг – это сборники стихотворений, так, чтобы сборники стояли рядом?
Решение.
Сначала примем 5 сборников условно за одну книгу, потому что они должны стоять рядом. Так как в соединении существенным есть порядок, и все элементы используются, значит это перестановки из 8 элементов (7 книг + условная 1 книга). Их количество Р 8 . Далее будем переставлять между собой только сборники стихотворений. Это можно сделать Р 5 способами. Поскольку нам нужно расставить и сборники, и другие книги, то воспользуемся правилом произведения. Следовательно, Р 8 · Р 5 = 8! · 5!. Число способов будет большим, поэтому ответ можно оставить в виде произведения факториалов.
Ответ: 8! · 5!
Задача 5 .
В классе 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории возле школы нужно 4 мальчика и 3 девочки. Сколькими способами можно их выбрать со всех учеников класса?
Решение.
Сначала отдельно выберем 4 мальчика из 16 и 3 девочки из 12. Так как порядок размещения не учитывается, то соответственные соединения – сочетания без повторений. Учитывая необходимость одновременного выбора и мальчиков, и девочек, используем правило произведения. В результате число способов будет вычисляться таким образом:
С 16 4 · С 12 3 = (16!/(4! · 12!)) · (12!/(3! · 9!)) = ((13 · 14 · 15 · 16) / (2 · 3 · 4)) ·((10 · 11 · 12) / (2 · 3)) = 400 400.
Ответ: 400 400.
Таким образом, успешное решение комбинаторной задачи зависит от правильного анализа ее условия, определения типа соединений, которые будут составляться, и выбора подходящей формулы для вычисления их количества.
Остались вопросы? Не знаете, как решать комбинаторные задачи?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Тип и особенности: урок открытия и изучения новых знаний с помощью решения практико-ориентированных задач .
Цель урока: научить учащихся решать комбинаторные задачи методами: 1) конечного перебора; 2) построения дерева возможных вариантов; 3) с помощью таблицы.
Оборудование: компоненты УМК «Виленкин. 5», проектор, компьютер, интерактивная доска (ИД ) , на каждой парте по 2 листа (формата А4) с 7 решенными классными задачами и по 2 листа (формата А4) с 7 тестовыми задачами . На столе учителя лежат лист (формата А4) с 7 решенными классными задачами и лист (формата А4) с 7 тестовыми задачами их решениями, распечатки проектного задания на дом.
Этапы урока
Задачи этапа
Визуальный ряд
Деятельность учителя
Деятельность учащихся
Формируемые УУД
Организационный
Собрать домашнее задание, настроить на урок
Слайд на доске:
«тяжело в учении легко в бою»
Прошу теперь сдать на проверку тетради с домашней работой. Напоминаю, что мы сегодня приступаем к изучению новой темы.
Дежурные проходят по классу собирают тетради.
Саморегуляция, прогнозирование и оценка
Актуализации теоретических знаний
Определить цель урока
На доске: дата и название темы: «Комбинаторные задачи»
Ребята, сегодня мы совершим увлекательное путешествие в мир «Комбинаторики»
Мысленно задают вопрос: «а что это такое»
Целеполагание, предметная рефлексия.
Объяснения нового материа
ла
Первичное знакомство с основными понятиями,
методами, способами
решения
комбинаторных задач
Слайд на доске: Слово «комбинаторика» произошло от латинского слова COMBINARE , что означает «соединять», «сочетать»
Учитель задаёт вопрос как вы думаете что означает слово «комбинаторика»?
Учитель делает паузу, слушает ответы потом говорит определение.
Слово «комбинаторика» произошло от латинского слова COMBINARE , что означает «соединять», «сочетать»
Дети отвечают, выдвигая гипотезы
Внимательно слушают, читают определение на раздаточных листках
Выдвижение и проверка гипотез.
Слайд на доске
Чтобы запереть чемодан с кодовым замком, состоящий из двух каких-либо цифр. Хозяин чемодана решил использовать только цифры 1, 2 и 3. Сколькими способами он может выбрать код?
Решить эту задачу можно с помощью древа возможных вариантов или перебора всех возможных вариантов
Внимательно слушают, смотрят слайд, думают, запоминают.
Смысловое чтение.
Слайд на доске:
Решение древом возможных
Вариантов
ДЕРЕВО ВОЗМОЖНЫХ ВАРИАНТОВ Часто процесс перебора удобно осуществлять путем построения специальной схемы - так называемого дерева возможных вариантов
изобразите корень дерева, для этого поставьте знак *.
Чтобы выбрать первую цифру кода, у нас есть три варианта: 1; 2; 3. Поэтому от корня дерева проведите три ветви и на их концах поставите цифры 1; 2; 3.
Для выбора второй цифры есть те же три варианта. Проводим «веточки»
Анализ объекта.
Слайд на доске:
Решение перебором
Подходящие коды - это двузначные числа, которые можно составить из цифр
1, 2, 3. Будем выписывать все такие цифры в порядке возрастания. Такой способ перебора позволит нам не пропустить никакой из кодов и в то же время не повторить ни один из них.
С начало запишем в порядке возрастания все коды, начинающиеся с цифры 1: 11, 12, 13. Затем запишем в порядке возрастания коды, начинающиеся с цифры 2: 21, 22, 23.
Затем запишем в порядке возрастания коды, начинающиеся с цифры 3: 31, 32, 33
Таким образом, имеется 9 способов выбора
кода: 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33.
Внимательно слушают, смотрят слайды, думают, анализируют, классифицируют, запоминают.
Анализ объекта.
Выбор оснований критериев для сравнения, сериации, классификации объектов.
Создание и преобразование модели и схемы для решения задач в зависимости от конкретных условий.
Закрепления новых знаний
Показать практическое применение теоретических знаний
через их применение в решении практических задач
Слайд на доске с условием задачи №1
В столовой на завтрак можно выбрать пиццу, плюшку, бутерброд, а запить их можно чаем, соком. Из скольких вариантов завтрака можно выбирать?
Слайд на доске с решением
На слайде изображено дерево возможных вариантов
первый уровень «НАПИТКИ»
два варианта: ЧАЙ, СОК.
второй уровень три варианта: ПИЦЦА, ПЛЮШКА, БУТЕРБРОД.
Итого шесть ВАРИАНТОВ завтрака:
ЧАЙ+ПИЦЦА, ЧАЙ+ПЛЮШКА, ЧАЙ+БУТЕРБРОД, СОК+ПИЦЦА, СОК+ПЛЮШКА, СОК+БУТЕРБРОД.
Внимательно слушают, смотрят слайды, думают, анализируют, классифицируют, запоминают.
Знакомство с профессиями.
Анализ объекта.
Выбор оснований критериев для сравнения, сериации, классификации объектов.
Создание и преобразование модели и схемы для решения задач в зависимости от конкретных условий.
Слайд на доске с условием задачи №2
Из страны «Математика» в страну «Литература» ведут три дороги, а из страны «Литература» в страну «Физкультура» - четыре дороги. Сколькими способами можно попасть из страны «Математика» в
Страну «Физкультура» через страну «Литература»?
Слайд на доске с решением
Рисунок поможет нам решить эту задачу.
Переберём все «ПУТИ»
Обозначим дороги идущие из страны «МАТЕМАТИКА» так: М1, М2, М3,
а из «ЛИТЕРАТУРА» Л1, Л2, Л3,Л4.
Переберём М1+Л1, М1+Л2, М1+Л3,М1+Л4, М2+Л1, М2+Л2, М2+Л3,
М2+Л4, М3+Л1, М3+Л2, М3+Л3, М3+Л4
Натолкнуть
Детей на мысль о перемножении Количества дорог
А можно взять и перемножить количество дорог 3*4 =12
Внимательно слушают, смотрят слайды, думают, анализируют, классифицируют, запоминают.
Знакомятся с моделями и схемами для решения задач в зависимости от конкретных условий.
Слайд на доске с условием задачи №3
Шифр сейфа составляют из букв и цифр, причём на первом месте ставится буква (например А7). Сколько различных вариантов шифра можно составить, используя буквы А, В, С и цифры 3, 7, 9?
Слайд на доске с решением
2)Чтобы выбрать букву кода, у нас есть три варианта: А; B ; C . Поэтому от корня дерева проведены три ветви и на их концах поставлены буквы: А; B ; C .
3)Для выбора цифры есть те же три варианта. Проводим «веточки»
Двигаясь от корня дерева по ветвям, мы получим все возможные коды
А3, А7, А9, В3, В7, В9, С3, С7, С9
Или Всего 3*3=9 вариантов
Внимательно слушают, смотрят слайды, думают, анализируют, классифицируют, запоминают.
Знакомятся с моделями и схемами для решения задач в зависимости от конкретных условий.
Слайд на доске с условием задачи №4
Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде трёх горизонтальных полос одинаковых по ширине, но разных по цвету: белый, синий, красный. Сколько стран могут использовать такую символику при условии, что у каждой страны свой, отличный от других, флаг?
Слайд на доске с решением
Первый способ: обозначим цвета полосок первыми буквами названий цветов
Б – белый, К – красный, С – синий.
Решим перебором:
БСК, БКС, СБК, СКБ, КБС, КСБ
Всего шесть вариантов.
Второй способ:
Берем карандаши и рисуем флаги
Внимательно слушают, смотрят слайды, думают, анализируют, классифицируют, запоминают.
Знакомятся с моделями и схемами для решения задач в зависимости от конкретных условий.
Слайд на доске с условием задачи №5
В семье 4 человек, и за столом в кухне стоят 4 стула. В семье решили каждый вечер, ужиная, рассаживаться на эти 4 стула по новому. Сколько дней члены семьи смогут делать это без повторений?
Слайд на доске с решением
Второй способ решения
Для наглядности раскрасим стулья разными цветами.
Зафиксируем красный стул вверху и, будем переставлять остальные три, получим шесть вариантов.
Эту же операцию проделаем с остальными цветами, получим 6*4=24 различных вариантов.
Второй способ:
На первый стул может сесть любой член семьи, т. е. 4 варианта; на второй – 3 человека так, как один член семьи уже сидит; на третий – 2 человека так, как
двое сидят; на четвёртый только один так, как три члена семьи уже сидят.
Итак, перемножим все варианты
4*3*2*1= 24
Внимательно слушают, смотрят слайды, думают, анализируют, классифицируют, запоминают.
Знакомятся с моделями и схемами для решения задач в зависимости от конкретных условий.
Слайд на доске с условием задачи №6
Вася решил пойти на новогодний
карнавал в костюме мушкетёра. В ателье проката ему предложили на выбор: три вида брюк, два камзола, три шляпы. Сколько различных карнавальных костюмов можно составить из этих предметов?
Слайд на доске с решением
Обозначим: первую шапку Ш1, вторую – Ш2, третью – Ш3
1) на слайде изображён корень дерева, в виде знака *.
2) первый уровень трое брюк;
3) второй уровень два камзола;
4) третий уровень три шапки;
Всего 18 вариантов
Или просто перемножить «уровни»
3*2*3=18
Внимательно слушают, смотрят слайды, думают, анализируют, классифицируют, запоминают.
Знакомятся с моделями и схемами для решения задач в зависимости от конкретных условий.
Слайд на доске с условием задачи №7
При встрече 7 гномов обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий?
Семь гномов решили обменяться фотографиями. Сколько нужно фотографий?
Слайд на доске с решением: а)
Слайд на доске с решением: б)
Эти две задачи очень похожи, но всё-таки они разные
При решении таких задач лучше использовать таблицу.
1)Нарисуем таблицу 8*8, первая строка и первый столбец это гномы.
2)Вычеркнем диагональ таблицы так, как гном сам с собою не может поздороваться.
3) Ячейки это кто с кем поздоровался.
4) Нижняя часть таблицы повторяет верхнюю.
Первый гном поздоровался со вторым = второй гном поздоровался с первым.
Всего 21 рукопожатие.
Задача б) отличается от а) тем, что нужно
учитывать нижнюю часть таблицы так, как
первый гном подарил фото второму, НЕРАВНО второй гном подарил фото первому.
Всего 42 фото.
Внимательно слушают, смотрят слайды, думают, анализируют, классифицируют, запоминают.
Знакомятся с моделями и схемами для решения задач в зависимости от конкретных условий.
Систематизации знаний
Систематизировать методы решений комбинаторных задач.
Слайды на доске
И следующий слайд,
Слайды решений задачи №7
Мы познакомились с тремя методами решения 1) древо вариантов; 2) перебор;
3) табличное представление данных
Внимательно слушают, смотрят слайды, думают, анализируют, классифицируют, запоминают.
Систематизация знаний по трём
методам.
Усвоения новых знаний
Дать определе-
ние комбинаторных задачач.
Слайд на доске
Попросить детей своими словами определить понятие «Комбинаторные задачи»
Отвечают на вопрос
Установление аналогий.
Умение классифициро
вать.
Определить три метода решения задач этого типа.
Следующий слайд;
Слайд решения задачи №7
Попросить детей своими словами рассказать о трёх методах решения
комбинаторных задач
Отвечают на вопрос
Умение классифициро
вать.
Выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных решений
Сделать вывод о многовариантном решении комбинаторных задач
Слайд
Спросить у детей, как вы думаете все ли комбинаторные задачи можно решить разными методами?
После показа слайда физкульт. минутка (к доске вызываются 3 ученика и разными способами рассаживаются за парту)
Отвечают на вопрос
Создавать модели и схемы для решения задач в зависимости от конкретных условий
Рефлек
сии
Провести самостоятельную работу в группах, в малых группах, индиви- дуально.
диагонали
пополам
равны
под прямым углом
да
Да
да
На парте у каждого лист (формата А4) с семью задачами (приложение№1)
Слайд с ответами
Таблица на доске (ответы команд)
Коман-
да №1
Коман-
да №2
7 а
7 б
Из класса выбираются две команды по 8 -12 человек. Даётся им задание:
Распределиться по задачам: на одну задачу по одному или по двое учеников.
На решение отводится не более 7 минут
Примечание: создать команды может учитель, распределение по задачам нет, только дети сами должны распределиться за 1 минуту. Если не смогут, то по местоположению детей, ученик получит свою задачу.
за каждую правильно решенную
задачу команда получит 1 балл
проверяет класс: на доске выписываются ответы команд. Дети решавшие свою задачу говорят ответ дежурный записывает его
правильные ответы на слайде
Ученики, которые не задействованы в командах, решают по своему выбору и любое количество задач из семи
Выполняют самостоятельную работу в коллективе, в парах, индивидуально.
Сочетание индивидуальной самостоятельной работы и сотрудничество в коллективе
Объяснения домашнего задания
Обеспече
ние понимания детьми цели, содержания и способов выполне
ния домашнего задания.
У каждого ученика на парте лежит текст этого домашнего
задания.
Проектное домашнее задание
Придумать каждому по три
любые комбинаторные задачи.
Группа не более 5 человек
Эти задачи мы (Учитель и ученики) будем использовать в дальнейшем в конкурсах викторинах, и не только внутри класса, но и школы.
То есть создадим банк «Задач для викторин»
Продумывают условия выполнения д/з:
1)индивидуально или в группе;
2) что использовать при составлении задач, какие ресурсы.
Саморегуля
ция, развитие самосознания, ответствен
ного отношения
Приложение №1
Задача №1
В столовой на завтрак можно выбрать булочку, пирожок с капустой, пирожок с картошкой, бутерброд, а запить их можно чаем, компотом. Из скольких вариантов завтрака можно выбирать?
Задача №2
Из страны «Математика» в страну «Литература» ведут четыре дороги, а из страны «Литература» в страну «Физкультура» - пять дорог. Сколькими способами можно попасть из страны «Математика» в
страну «Физкультура» через страну «Литература»?
Задача №3
Шифр сейфа составляют из букв и цифр, причём на первом месте ставится буква (например А7). Сколько различных вариантов шифра можно составить, используя буквы А, M , F и цифры 1, 4, 6, 9?
Задача №4
Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде четырёх горизонтальных полос одинаковых по ширине, но разных по цвету: белый, синий, красный, зелёный. Сколько стран могут использовать такую символику при условии, что у каждой страны свой, отличный от других, флаг?
Задача №5
В семье 5 человек, и за столом в кухне стоят 5 стульев. В семье решили каждый вечер, ужиная, рассаживаться на эти 5 стульев по новому. Сколько дней члены семьи смогут делать это без повторений?
Задача №6
Вася решил пойти на новогодний карнавал в костюме мушкетёра. В ателье проката ему предложили на выбор: четыре вида брюк, два камзола, две шляпы. Сколько различных карнавальных костюмов можно составить из этих предметов?
Задача №7
При встрече 4 гнома обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий?
Пять гномов решили обменяться фотографиями. Сколько нужно фотографий?
Приложение №2
Домашнее задание (Проектная деятельность)
Проектное домашнее задание
Придумать каждому по три
любые комбинаторные задачи.
При придумывании задач можно использовать: Учебник «Виленкин. Математика 5; другие книги; ресурсы интернета.
Можно объединяться в группы, но условие,
каждый ученик по три задачи остаётся.
Группа не более 5 человек
3) УМК « Дорофеев Математика 5»;
4) Ресурсы Интернета (gif1000)
Класс: 5
В данной статье рассмотрим один из уроков в курсе математики 5 класса, посвященного знакомству с комбинаторикой.
Цели урока.
Образовательные :
Познакомить учащихся с новым типом задач (комбинаторные задачи), приемами их решения – перебор возможных вариантов, построение дерева возможных вариантов, применение правила умножения;
Ввести новое понятие – факториал, закрепить его при решении задач, примеров, уравнений.
Воспитательные :
Формирование уважения к товарищам, умения слушать и слышать собеседника
Формирование отношения к дружбе как одной из важнейших человеческих ценностей.
Развивающие :
Формирование интереса к предмету;
Формирование вычислительных навыков;
Развитие логического мышления;
Формирование умения доказывать, обосновывать свое мнение.
Ход урока
1. Организационный момент
Учитель: Сегодня у нас с вами необычный урок. Мы будем решать задачи, связанные с одним из интереснейших разделов математики – комбинаторикой. В науке и в реальной жизни очень часто приходится решать задачи, главным вопросом которых является вопрос “Сколькими способами это можно сделать?”. Например:
Сколькими способами можно поставить ученику оценку на уроке?
Сколькими способами можно назначить дежурного в классе?
Сколькими способами можно назначить двух дежурных в классе?
Решая такие задачи, приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций. Такие задачи получили название комбинаторных задач, а раздел математики, в котором рассматриваются подобные задачи, называют комбинаторикой. А какой еще теме будет посвящен урок, вы узнаете, когда мы проверим, как вы справились с выполнением домашнего задания.
2. Проверка выполнения домашнего задания
(На предыдущем уроке домашнее задание составляется таким образом, чтобы заданий было ровно 6. Например, в учебнике Виленкина Н.Я. и др. это могут быть № 693(а, в), 735(1), 765(а,б,в))
На доске – таблица и закрепленные магнитами карточки. На карточках с одной стороны – ответ к заданию из домашней работы, с другой стороны – буква.
Учитель: Проверим домашнюю работу. Откройте тетради, возьмите карандаши. Найдите ответы к номерам домашней работы.
Учащиеся выходят к доске по одному, выбирают карточку с ответом и прикрепляют ее в ячейку таблицы под номером задания. Сначала карточки закрепляют в клетках таблицы вверх стороной, на которой записан ответ, чтобы учащиеся могли проверить правильность выполнения домашней работы. Остальные проверяют свои ответы в тетрадях.
№ упражнений | 693(а) | 693(в) | 735(1) | 765(а) | 765(б) | 765(в) |
Ответы | 25 | 13 | 6 | 182 000 | 6 300 | 65 000 |
Варианты ответов (располагаются на разных сторонах карточек). Карточек делают заведомо избыточное количество, чтобы часть ответов была неверной.
д | р | у | ж | б | а | м | п | о |
25 | 13 | 6 | 182 000 | 6 300 | 65 000 | 49 | 12 | 18 200 |
“5” - если все верно
“4” - если одна ошибка
“3” - 2-3 ошибки
“2” - больше 3 ошибок
Учитель: Перевернем карточки, какое слово получили? (ДРУЖБА). Действительно, сегодня на уроке мы будем не только решать математические задачи, совершенствовать навыки вычислений, но и говорить о дружбе.
3. Новый материал.
Учитель: Итак, мы уже сказали, что будем сегодня учиться решать задачи, главным вопросом которых является вопрос “Сколькими способами..”.
Имеются три слова “ДРУЖБА”, “ДЕЛО”, “ЛЮБИТ” (нарезать листочки с этими словами – по 7 карточек на каждое слово). Сколькими способами из этих слов можно составить фразу?
Учащиеся предлагают варианты, эти варианты составляют на доске.
Ответ: 6 способов.
Учитель: Как вы думаете, какой вариант является верным с точки зрения русского языка? (Дружба любит дело). Как вы понимаете это высказывание?
Учитель: Здесь был приведен полный перебор всех возможных вариантов, или, как обычно говорят, всех возможных комбинаций. Поэтому это комбинаторная задача. Давайте подумаем, как можно записать, оформить решение этой задачи.
1 способ. Обозначим предложенные слова заглавными буквами:
ДРУЖБА – Д
ЛЮБИТ – Л
ДЕЛО – Е (возьмем вторую букву этого слова)
Тогда все названные вами способы можно просто перечислить: ДЛЕ, ДЕЛ, ЛДЕ, ЛЕД, ЕДЛ, ЕЛД.
Оказывается, решение можно оформить в виде модели, которую называют деревом возможных вариантов. Она, во-первых, наглядна, как всякая картинка, и, во-вторых, позволяет все учесть, ничего не пропустив,
Учащиеся под руководством учителя составляют схему:
Способ 3 (рассуждение)
На первом месте может стоять одно из трех слов: ДРУЖБА, ЛЮБИТ, ДЕЛО. Если первое слово выбрано, то на втором месте может стоять одно из двух оставшихся слов, а на третьем месте – только одно оставшееся слово. Значит, всего вариантов: .
Заметим, что последний прием называется правилом умножения.
У каждого из этих трех способов есть свои преимущества и свои недостатки (обсудить) Выбор решения – за вами! Отметим все же, что правило умножения позволяет в один шаг решать самые разнообразные задачи.
У Ани 3 подруги, и она каждой из них купила по шоколадке и хочет подарить их к празднику. Сколькими способами она может это сделать?
Решение: Решение выполняют на доске ученики (решение выполняется 3 способами)
В компании друзей – 6 человек: Андрей, Борис, Витя, Гриша, Дима, Егор. В школьной столовой за столом 6 стульев. Друзья решили каждый день, завтракая, рассаживаться на эти 6 стульев по-разному. Сколько раз они смогут это сделать без повторений?
Учитель: Какой способ мы выберем? (Учащиеся под руководством учителя должны придти к выводу, что это третий способ – правило умножения).
Решение оформляет на доске ученик.
Для удобства рассуждений будем считать, что друзья усаживаются за стол поочередно. Будем считать, что первой усаживается за стол Андрей. У него 6 вариантов выбора стула. Вторым усаживается Борис, и независимо выбирает стул из 5 оставшихся. Витя делает свой выбор третьим и на выбор у него будет 4 стула. У Гриши будет уже 3 варианта, у Димы – 2, у Егора – 1. По правилу умножения получаем:
Ответ – 720 дней или почти 2 года.
Учитель: Как мы видим, условия задач разные, а решения, по сути дела, одинаковы. Удобно, поэтому ввести и одинаковые обозначения для этих ответов.
Определение: произведение всех натуральных чисел от 1 до п включительно называется п – факториал и обозначается символом п!
Знак п ! читается “Эн факториал”, что в дословном переводе с английского языка обозначает “состоящий из п множителей”. Отметим важную особенность этой величины – ее быстрый рост.
Вычислите:
а) 1!; б) 2!; в) 3!; г) 4!; д) 5!; е)10!
Считают, что 0! =1 (записать)
Задача 5.
Учитель: ДРУЖБА – одно из важнейших богатств, которое может быть у человека. Недаром о дружбе слагаются стихи и песни, сочиняют пословицы и поговорки. Какие пословицы и поговорки о дружбе вы знаете?
Друзья познаются в беде.
Не имей сто рублей, а имей сто друзей.
Один в поле не воин.
Сам погибай, а товарища выручай.
Старый друг лучше новых двух.
Без друга в жизни туго.
Молодцы! Для каждого человека очень важно, чтобы у него были хорошие, настоящие друзья. Давайте решим несколько примеров с применением нового понятия – факториал, и узнаем новую пословицу о дружбе.
7!+ | 8! – (13 - 5) 2 | 6! – 5! | ||
Карточки с ответами выполняют с запасом (есть карточки с числами, не являющимися ответами).
Таблица после заполнения:
7!+ | 8! – (13 - 5) 2 | 6! – 5! | ||
5048 | 40256 | 600 | 24 | 7 |
Нет | друга - | ищи, | а нашел - | береги |
Задание 6.
К Васе в гости пришли 4 друзей, и они собираются смотреть новый фильм. У Васи в комнате есть кресло и еще он принес 4 стула из кухни. Кресло он, несомненно, займет сам, а на стульях рассадит своих друзей. Вася подсчитал, что рассадить друзей он сможет 24 способами.
Учитель: Правильно ли рассчитал Вася? (Да, с точки зрения математики)
Хорошо ли он поступил? (Обсуждается моральный аспект проблемы)
4. Физкультурная минутка.
Учитель: А теперь давайте немного отдохнем, а для этого проведем физкультурную минутку. Если я правильно прочитаю выражение, то вы встаете и поднимаете руки вверх, а если неправильно – садитесь, руки в бок.
Встали. Начинаем, будьте внимательны.
Выражение | Слова учителя | Верно / неверно |
5! +3 | Сумма 5! и 3 | + |
2 – 7! | Произведение 2 и 7! | - |
4х: 2! | Частное 4х и 2! | + |
5! + 7! + 3! | Сумма 5!, 7! и 3! | + |
20! - 19! | Частное 20! и 19! | - |
6. Самостоятельная работа.
Учитель: Ну, а теперь, когда мы хорошо отдохнули, давайте проверим, что мы научились делать сегодня на уроке. Для этого выполним самостоятельную работу.
Вариант 1 | Вариант 2 |
1. В 5 классе в среду 5 уроков: математика, русский язык, литература, музыка и труд. Сколько вариантов расписания на день можно составить? | 1. Шесть разных писем раскладывают в 6 разных конвертов. Сколько существует способов такого раскладывания? |
2. Вычислите: а) 6! – 2; б) 4! + (2+3) 2 |
2. Вычислите: а) 3 2 + 5! б) (9-4) 2 + 4! |
3. Сколькими способами 5 мальчиков могут занять очередь к билетной кассе, если первым все равно будет Толя? | 3. Сколькими способами Даша может съесть обед, состоящий из первого, второго, третьего и пирожного, если первым она наверняка съест пирожное? |
7. Домашнее задание.
Придумать, записать условия и решения 2 комбинаторных задач на тему “Семья”. Оформить на листах А4, можно выполнить рисунки к задачам.
8. Итог урока.
Давайте подведем итоги урока.
Что нового узнали? (Получили правило умножения, рассмотрели его геометрическую модель – дерево вариантов, ввели новое понятие – факториал)
Что понравилось?
Что запомнилось?
Оценки за урок.
Литература:
- Е.А.Бунимович, В.А. Булычев. Вероятность и статистика в курсе математики общеобразовательной школы: лекции 1- 4, 5 – 8. – М.: Педагогический университет “Первое сентября”, 2006.
- Виленкин Н.Я. Математика. 5 класс: учебник для общеобразоват. учреждений/ Н.Я.Виленкин и др. – М. : Мнемозина, 2009.
- Смыкалова Е.В. Дополнительные главы по математике для учащихся 5 класса. СПб: СМИО. Пресс, 2006.
- Мордкович А.Г. События. Вероятности. Статистическая обработка данных: Доп. Параграфы к курсу алгебры 7-9 кл. общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. – М.: Мнемозина, 2006.