Наименьшее общее кратное 24 и 42. Нод и нок чисел - наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное нескольких чисел
Наименьшее общее кратное двух чисел непосредственно связано с наибольшим общим делителем этих чисел. Эта связь между НОД и НОК определяется следующей теоремой.
Теорема.
Наименьшее общее кратное двух положительных целых чисел a и b равно произведению чисел a и b , деленному на наибольший общий делитель чисел a и b , то есть, НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b) .
Доказательство.
Пусть М – какое-нибудь кратное чисел a и b . То есть, М делится на a , и по определению делимости существует некоторое целое число k такое, что справедливо равенство M=a·k . Но М делится и на b , тогда a·k делится на b .
Обозначим НОД(a, b) как d . Тогда можно записать равенства a=a 1 ·d и b=b 1 ·d , причем a 1 =a:d и b 1 =b:d будут взаимно простыми числами . Следовательно, полученное в предыдущем абзаце условие, что a·k делится на b , можно переформулировать так: a 1 ·d·k делится на b 1 ·d , а это в силу свойств делимости эквивалентно условию, что a 1 ·k делится на b 1 .
Также нужно записать два важных следствия из рассмотренной теоремы.
Общие кратные двух чисел совпадают с кратными их наименьшего общего кратного.
Это действительно так, так как любое общее кратное M чисел a и b определяется равенством M=НОК(a, b)·t при некотором целом значении t .
Наименьшее общее кратное взаимно простых положительных чисел a и b равно их произведению.
Обоснование этого факта достаточно очевидно. Так как a и b взаимно простые, то НОД(a, b)=1 , следовательно, НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b)=a·b:1=a·b .
Наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел
Нахождение наименьшего общего кратного трех и большего количества чисел можно свести к последовательному нахождению НОК двух чисел. Как это делается, указано в следующей теореме.a 1 , a 2 , …, a k совпадают с общими кратными чисел m k-1 и a k , следовательно, совпадают с кратными числа m k . А так как наименьшим положительным кратным числа m k является само число m k , то наименьшим общим кратным чисел a 1 , a 2 , …, a k является m k .
Список литературы.
- Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
- Виноградов И.М. Основы теории чисел.
- Михелович Ш.Х. Теория чисел.
- Куликов Л.Я. и др. Сборник задач по алгебре и теории чисел: Учебное пособие для студентов физ.-мат. специальностей педагогических институтов.
НОД - это наибольший общий делитель.
Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких чисел необходимо:
- определить множители, общие для обоих чисел;
- найти произведение общих множителей.
Пример нахождения НОД:
Найдем НОД чисел 315 и 245.
315 = 5 * 3 * 3 * 7;
245 = 5 * 7 * 7.
2. Выпишем множители, общие для обоих чисел:
3. Найдем произведение общих множителей:
НОД(315; 245) = 5 * 7 = 35.
Ответ: НОД(315; 245) = 35.
Нахождение НОК
НОК - это наименьшее общее кратное.
Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких чисел необходимо:
- разложить числа на простые множители;
- выписать множители, входящие в разложение одного из чисел;
- допишем к ним недостающие множители из разложения второго числа;
- найти произведение получившихся множителей.
Пример нахождения НОК:
Найдем НОК чисел 236 и 328:
1. Разложим числа на простые множители:
236 = 2 * 2 * 59;
328 = 2 * 2 * 2 * 41.
2. Выпишем множители, входящие в разложение одного из чисел и допишем к ним недостающие множители из разложения второго числа:
2; 2; 59; 2; 41.
3. Найдем произведение получившихся множителей:
НОК(236; 328) = 2 * 2 * 59 * 2 * 41 = 19352.
Ответ: НОК(236; 328) = 19352.
Для нахождения НОД (наибольшего общего делителя) двух чисел необходимо:
2. Найти (подчеркнуть) все общие простые множители в полученных разложениях.
3. Найти произведение общих простых множителей.
Для нахождения НОК (наименьшего общего кратного) двух чисел необходимо:
1. Разложить данные числа на простые множители.
2. Разложение одного из них дополнить теми множителями разложения другого числа, которых нет в разложении первого.
3. Вычислить произведение полученных множителей.
Продолжим разговор о наименьшем общем кратном, который мы начали в разделе « НОК – наименьшее общее кратное, определение, примеры». В этой теме мы рассмотрим способы нахождения НОК для трех чисел и более, разберем вопрос о том, как найти НОК отрицательного числа.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Вычисление наименьшего общего кратного (НОК) через НОД
Мы уже установили связь наименьшего общего кратного с наибольшим общим делителем. Теперь научимся определять НОК через НОД. Сначала разберемся, как делать это для положительных чисел.
Определение 1
Найти наименьшее общее кратное через наибольший общий делитель можно по формуле НОК (a , b) = a · b: НОД (a , b) .
Пример 1
Необходимо найти НОК чисел 126 и 70 .
Решение
Примем a = 126 , b = 70 . Подставим значения в формулу вычисления наименьшего общего кратного через наибольший общий делитель НОК (a , b) = a · b: НОД (a , b) .
Найдет НОД чисел 70 и 126 . Для этого нам понадобится алгоритм Евклида: 126 = 70 · 1 + 56 , 70 = 56 · 1 + 14 , 56 = 14 · 4 , следовательно, НОД (126 , 70) = 14 .
Вычислим НОК: НОК (126 , 70) = 126 · 70: НОД (126 , 70) = 126 · 70: 14 = 630 .
Ответ: НОК (126 , 70) = 630 .
Пример 2
Найдите нок чисел 68 и 34 .
Решение
НОД в данном случае нейти несложно, так как 68 делится на 34 . Вычислим наименьшее общее кратное по формуле: НОК (68 , 34) = 68 · 34: НОД (68 , 34) = 68 · 34: 34 = 68 .
Ответ: НОК (68 , 34) = 68 .
В этом примере мы использовали правило нахождения наименьшего общего кратного для целых положительных чисел a и b: если первое число делится на второе, что НОК этих чисел будет равно первому числу.
Нахождение НОК с помощью разложения чисел на простые множители
Теперь давайте рассмотрим способ нахождения НОК, который основан на разложении чисел на простые множители.
Определение 2
Для нахождения наименьшего общего кратного нам понадобится выполнить ряд несложных действий:
- составляем произведение всех простых множителей чисел, для которых нам нужно найти НОК;
- исключаем их полученных произведений все простые множители;
- полученное после исключения общих простых множителей произведение будет равно НОК данных чисел.
Этот способ нахождения наименьшего общего кратного основан на равенстве НОК (a , b) = a · b: НОД (a , b) . Если посмотреть на формулу, то станет понятно: произведение чисел a и b равно произведению всех множителей, которые участвуют в разложении этих двух чисел. При этом НОД двух чисел равен произведению всех простых множителей, которые одновременно присутствуют в разложениях на множители данных двух чисел.
Пример 3
У нас есть два числе 75 и 210 . Мы можем разложить их на множители следующим образом: 75 = 3 · 5 · 5 и 210 = 2 · 3 · 5 · 7 . Если составить произведение всех множителей двух исходных чисел, то получится: 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 5 · 7 .
Если исключить общие для обоих чисел множители 3 и 5 , мы получим произведение следующего вида: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 = 1050 . Это произведение и будет нашим НОК для чисел 75 и 210 .
Пример 4
Найдите НОК чисел 441 и 700 , разложив оба числа на простые множители.
Решение
Найдем все простые множители чисел, данных в условии:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
Получаем две цепочки чисел: 441 = 3 · 3 · 7 · 7 и 700 = 2 · 2 · 5 · 5 · 7 .
Произведение всех множителей, которые участвовали в разложении данных чисел, будет иметь вид: 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 · 7 . Найдем общие множители. Это число 7 . Исключим его из общего произведения: 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 . Получается, что НОК (441 , 700) = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 = 44 100 .
Ответ: НОК (441 , 700) = 44 100 .
Дадим еще одну формулировку метода нахождения НОК путем разложения чисел на простые множители.
Определение 3
Раньше мы исключали из всего количества множителей общие для обоих чисел. Теперь мы сделаем иначе:
- разложим оба числа на простые множители:
- добавим к произведению простых множителей первого числа недостающие множители второго числа;
- получим произведение, которое и будет искомым НОК двух чисел.
Пример 5
Вернемся к числам 75 и 210 , для которых мы уже искали НОК в одном из прошлых примеров. Разложим их на простые множители: 75 = 3 · 5 · 5 и 210 = 2 · 3 · 5 · 7 . К произведению множителей 3 , 5 и 5 числа 75 добавим недостающие множители 2 и 7 числа 210 . Получаем: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Это и есть НОК чисел 75 и 210 .
Пример 6
Необходимо вычислить НОК чисел 84 и 648 .
Решение
Разложим числа из условия на простые множители: 84 = 2 · 2 · 3 · 7
и 648 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3
. Добавим к произведению множителей 2 , 2 , 3 и 7
числа 84 недостающие множители 2 , 3 , 3 и
3
числа 648 . Получаем произведение 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3 · 7 = 4536 .
Это и есть наименьшее общее кратное чисел 84 и 648 .
Ответ: НОК (84 , 648) = 4 536 .
Нахождение НОК трех и большего количества чисел
Независимо от того, с каким количеством чисел мы имеем дело, алгоритм наших действий всегда будет одинаковым: мы будем последовательно находить НОК двух чисел. На этот случай есть теорема.
Теорема 1
Предположим, что у нас есть целые числа a 1 , a 2 , … , a k . НОК m k этих чисел находится при последовательном вычислении m 2 = НОК (a 1 , a 2) , m 3 = НОК (m 2 , a 3) , … , m k = НОК (m k − 1 , a k) .
Теперь рассмотрим, как можно применять теорему для решения конкретных задач.
Пример 7
Необходимо вычислить наименьшее общее кратное четырех чисел 140 , 9 , 54 и 250 .
Решение
Введем обозначения: a 1 = 140 , a 2 = 9 , a 3 = 54 , a 4 = 250 .
Начнем с того, что вычислим m 2 = НОК (a 1 , a 2) = НОК (140 , 9) . Применим алгоритм Евклида для вычисления НОД чисел 140 и 9: 140 = 9 · 15 + 5 , 9 = 5 · 1 + 4 , 5 = 4 · 1 + 1 , 4 = 1 · 4 . Получаем: НОД (140 , 9) = 1 , НОК (140 , 9) = 140 · 9: НОД (140 , 9) = 140 · 9: 1 = 1 260 . Следовательно, m 2 = 1 260 .
Теперь вычислим по тому е алгоритму m 3 = НОК (m 2 , a 3) = НОК (1 260 , 54) . В ходе вычислений получаем m 3 = 3 780 .
Нам осталось вычислить m 4 = НОК (m 3 , a 4) = НОК (3 780 , 250) . Действуем по тому же алгоритму. Получаем m 4 = 94 500 .
НОК четырех чисел из условия примера равно 94500 .
Ответ: НОК (140 , 9 , 54 , 250) = 94 500 .
Как видите, вычисления получаются несложными, но достаточно трудоемкими. Чтобы сэкономить время, можно пойти другим путем.
Определение 4
Предлагаем вам следующий алгоритм действий:
- раскладываем все числа на простые множители;
- к произведению множителей первого числа добавляем недостающие множители из произведения второго числа;
- к полученному на предыдущем этапе произведению добавляем недостающие множители третьего числа и т.д.;
- полученное произведение будет наименьшим общим кратным всех чисел из условия.
Пример 8
Необходимо найти НОК пяти чисел 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .
Решение
Разложим все пять чисел на простые множители: 84 = 2 · 2 · 3 · 7 , 6 = 2 · 3 , 48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 , 7 , 143 = 11 · 13 . Простые числа, которым является число 7 , на простые множители не раскладываются. Такие числа совпадают со своим разложением на простые множители.
Теперь возьмем произведение простых множителей 2 , 2 , 3 и 7 числа 84 и добавим к ним недостающие множители второго числа. Мы разложили число 6 на 2 и 3 . Эти множители уже есть в произведении первого числа. Следовательно, их опускаем.
Продолжаем добавлять недостающие множители. Переходим к числу 48 , из произведения простых множителей которого берем 2 и 2 . Затем добавляем простой множитель 7 от четвертого числа и множители 11 и 13 пятого. Получаем: 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 7 · 11 · 13 = 48 048 . Это и есть наименьшее общее кратное пяти исходных чисел.
Ответ: НОК (84 , 6 , 48 , 7 , 143) = 48 048 .
Нахождение наименьшего общего кратного отрицательных чисел
Для того, чтобы найти наименьшее общее кратное отрицательных чисел, эти числа необходимо сначала заменить на числа с противоположным знаком, а затем провести вычисления по приведенным выше алгоритмам.
Пример 9
НОК (54 , − 34) = НОК (54 , 34) , а НОК (− 622 , − 46 , − 54 , − 888) = НОК (622 , 46 , 54 , 888) .
Такие действия допустимы в связи с тем, что если принять, что a
и − a
– противоположные числа,
то множество кратных числа a
совпадает со множеством кратных числа − a
.
Пример 10
Необходимо вычислить НОК отрицательных чисел − 145 и − 45 .
Решение
Произведем замену чисел − 145 и − 45 на противоположные им числа 145 и 45 . Теперь по алгоритму вычислим НОК (145 , 45) = 145 · 45: НОД (145 , 45) = 145 · 45: 5 = 1 305 , предварительно определив НОД по алгоритму Евклида.
Получим, что НОК чисел − 145 и − 45 равно 1 305 .
Ответ: НОК (− 145 , − 45) = 1 305 .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Чтобы научиться находить наибольший общий делитель двух или нескольких чисел, необходимо разобраться с тем, что представляют из себя натуральные, простые и сложные числа.
Натуральным называется любое число, которое используется при подсчете целых предметов.
Если натуральное число можно разделить только на само себя и единицу, то его называют простым.
Все натуральные числа можно разделить на себя и единицу, однако единственным четным простым числом является 2, все остальные можно поделить на двойку. Поэтому простыми могут быть только нечетные числа.
Простых чисел достаточно много, полного списка их не существует. Для нахождения НОД удобно использовать специальные таблицы с такими числами.
Большинство натуральных чисел могут делиться не только на единицу, самих себя, но и на другие числа. Так, например, число 15 можно поделить еще на 3 и 5. Все их называют делителями числа 15.
Таким образом, делитель любого А - это число, на которое оно может быть разделено без остатка. Если у числа имеется более двух натуральных делителей, его называют составным.
У числа 30 можно выделить такие делители, как 1, 3, 5, 6, 15, 30.
Можно заметить, что 15 и 30 имеют одинаковые делители 1, 3, 5, 15. Наибольший общий делитель этих двух чисел - 15.
Таким образом, общим делителем чисел А и Б называется такое число, на которое можно поделить их нацело. Наибольшим можно считать максимальное общее число, на которое можно их разделить.
Для решения задач используется такая сокращенная надпись:
НОД (А; Б).
Например, НОД (15; 30) = 30.
Чтобы записать все делители натурального числа, применяется запись:
Д (15) = {1, 3, 5, 15}
НОД (9; 15) = 1
В данном примере у натуральных чисел имеется только один общий делитель. Их называют взаимно простыми, соответственно единица и является их наибольшим общим делителем.
Как найти наибольший общий делитель чисел
Чтобы найти НОД нескольких чисел, нужно:
Найти все делители каждого натурального числа по отдельности, то есть разложить их на множители (простые числа);
Выделить все одинаковые множители у данных чисел;
Перемножить их между собой.
Например, чтобы вычислить наибольший общий делитель чисел 30 и 56, нужно записать следующее:
Чтобы не путаться при , удобно записывать множители при помощи вертикальных столбиков. В левой части от черты нужно разместить делимое, а в правой - делитель. Под делимым следует указать получившееся частное.
Так, в правом столбце окажутся все нужные для решения множители.
Одинаковые делители (найденные множители) можно для удобства подчеркнуть. Их следует переписать и перемножить и записать наибольший общий делитель.
НОД (30; 56) = 2 * 5 = 10
Вот так просто на самом деле найти наибольший общий делитель чисел. Если немного потренироваться, делать это можно будет практически на автомате.