Понятие корня из действительного числа. Корень степени n: основные определения
Cлайд 1
МОУ лицей №10 города Советска Калининградской области учитель математики Разыграева Татьяна Николаевна Понятие корня n – й степени из действительного числа.Cлайд 2
Какая кривая является графиком функции y = x²? Какая кривая является графиком функции y = x⁴ ? Рассмотрим уравнение x⁴ = 1. Построим графики функций y = x⁴ и y = 1. Ответ: x = 1, x = -1. Аналогично: x⁴ = 16. Ответ: x = 2, x = -2. Аналогично: x⁴ = 5. y = 5 Ответ:Cлайд 3
Рассмотрим уравнение x⁵ = 1. Построим графики функций y = x⁵ и y = 1. Аналогично: x⁵ = 7. Ответ: x = 1. Ответ: Рассмотрим уравнение: где a > 0, n N, n >1. Если n - чётное, то уравнение имеет два корня: Если n - нечётное, то один корень:Cлайд 4
Определение 1: Корнем n – й степени из неотрицательного числа a (n = 2,3,4,5,…) называют такое неотрицательное число, которое при возведении в степень n даёт в результате число a. Это число обозначают: a n - подкоренное выражение -показатель корня Операцию нахождения корня из неотрицательного числа называют извлечением корня. Если a 0, n = 2,3,4,5,…, тоCлайд 5
Операция извлечение корня является обратной по отношению к возведению в соответствующую степень. 5² = 25 10³ = 1000 0,3⁴ = 0,0081 25 = 5 3 4 Иногда выражение a называют радикалом от латинского слова radix – «корень». n Символ - это стилизованная буква r. Возведение в степень Извлечение корняCлайд 6
Пример 1: Вычислить: а) 49; б) 0,125; в) 0 ; г) 17 3 7 4 Решение: а) 49 = 7, так как 7 > 0 и 7² = 49; 3 б) 0,125 = 0,5, так как 0,5 > 0 и 0,5³ = 0,125; в) 0 ; г) 17 ≈ 2,03 4 Определение 2: Корнем нечётной степени n из отрицательного числа a (n = 3,5,…) называют такое отрицательное число, которое при возведении в степень n даёт в результате число a.Cлайд 7
Итак Вывод: Корень чётной степени имеет смысл (т.е. определён) только для неотрицательного подкоренного выражения; корень нечётной степени имеет смысл для любого подкоренного выражения. Пример 2: Решите уравнения: Если a < 0, n = 3,5,7,…, тоX 4 =1 и решим его графически. Для этого в одной системе координат построим график функции у = х n прямую у = 1 (рис. 164 а). Они пересекаются в двух точках:
Являются корнями уравнения х 4 = 1.
Рассуждая точно так же, находим корни уравнения х 4 =16:
А теперь попробуем решить уравнение х 4 =5; геометрическая иллюстрация представлена на рис. 164 б. Ясно, что уравнение имеет два корня x 1 и x 2 , причем эти числа, как и в двух предыдущих случаях, взаимно противоположны. Но для первых двух уравнений корни
были найдены без труда (их можно было найти и не пользуясь графиками), а с уравнением х 4 =5 имеются проблемы: по чертежу мы не Гложем указать значения корней, а можем только установить, что один корень располагается левее точки -1, а второй - правее точки 1.
Можно доказать (примерно так же, как это сделано в нашем учебнике «Алгебра-8» для числа л/б), что х 1 и х 2 - иррациональные числа (т.е. бесконечные непериодические десятичные дроби).
Встретившись впервые с подобной ситуацией, математики поняли, что надо придумать способ ее описания на математическом языке. Они ввели в рассмотрение новый символ который назвали корнем четвертой степени, и с помощью этого символа корни уравнения х 4 = 5 записали так: (читается: «корень четвертой степени из пяти»).
Замечание 1. Сравните эти рассуждения с аналогичными рассуждениями, проведенными в § 17, 32 и 38. Новые термины и новые обозначения в математике появляются тогда, когда они необходимы для описания новой математической модели . Это - отражение особенности математического языка: его основная функция не коммуникативная - для общения, а организующая - для организации успешной работы с математическими моделями в разных областях знаний.
Мы говорили об уравнении х 4 =а, где а >0. С равным успехом мы могли говорить и об уравнении х 4 =а, гдеа > 0, а п - любое натуральное число. Например, решая графически уравнение х 5 = 1, находим х = 1 (рис. 165); решая уравнение х 5 " = 7, устанавливаем, что уравнение имеет один корень хг, который располагается на оси х чуть правее точки 1 (см. рис. 165). Для числа хх введем обозначение Чч.
Вообще, решая уравнение х п =а, где а >0, n е N, п>1, получаем в случае четного п два корня: (рис. 164, в); в случае нечетного п - один корень (читается: «корень n-й степени из числа а»). Решая уравнение х п =0, получаем единственный корень х=0.
Замечание 2. В математическом языке, как и в обыденном языке, бывает так, что один и тот же термин применяется к разным понятиям; так, в предыдущем предложении слово « корень» употреблено в двух смыслах: как корень уравнения (к такому толкованию вы давно привыкли) и как корень л-й степени из числа (новое толкование). Обычно из контекста бывает ясно, какое толкование термина имеется в виду.
Теперь мы готовы дать точное определение.
Определение 1. Корнем л-й степени из неотрицательного числа а (n = 2, 3,4, 5,...) называют такое неотрицательное число, которое при возведении в степень n дает в результате число а.
Это число обозначают , число а при этом называют подкоренным числом, а число n - показателем корня.
Если n=2, то обычно не говорят «корень второй степени», а говорят"«корень квадратный». В этом случае не пишут Это тот частный случай, который вы специально изучали в курсе алгебры 8-го класса.
Если n = 3, то вместо «корень третьей степени» часто говорят «корень кубический». Первое знакомство с кубическим корнем у вас также состоялось в курсе алгебры 8-го класса. Мы использовали кубический корень в § 36 при решении примера 6.
Вообще, - одна и та же математическая модель (одна и та же зависимость между неотрицательными числами а и Ь), но только вторая описана более простым языком (использует более простые символы), чем первая.
Операцию нахождения корня из неотрицательного числа называют обычно извлечением корня. Эта операция является обратной по отношению к возведению в соответствующую степень. Сравните:
Еще раз обратите внимание: в таблице фигурируют только положительные числа, поскольку это оговорено в определении 1. И хотя, например, (-6) 6 =36 - верное равенство, перейти от него к записи с использованием квадратного корня, т.е. написать, что нельзя. По определению
Иногда выражение называют радикалом (от латинского слова гаdix - «корень»). В русском языке термин радикальный используется довольно часто, например, «радикальные изменения» - это значит «коренные изменения». Между прочим, и само обозначение корня напоминает о слове гаdix: символ - это стилизованная буква r.
Пример 1. Вычислить:
г) В отличие от предыдущих примеров мы не можем указать точное значение числа Ясно лишь, что оно больше, чем 2, но меньше, чем 3, поскольку 2 4 =16 (это меньше, чем 17), а З 4 = 81 (это больше, чем 17). Замечаем, что 24 намного ближе к 17, чем З4, так что есть основания использовать знак приближенного равенства:
Впрочем, более точное приближенное значение числа можно найти с помощью калькулятора, который содержит операцию извлечения корня, оно равно приближенно
Операцию извлечения корня определяют и для отрицательного подкоренного числа, но только в случае нечетного показателя корня. Иными словами, равенство (-2)5 =-32 можно переписать в эквивалентной форме как . При этом используется следующее определение.
Определение 2. Корнем нечетной степени л из отрицательного числа а (n = 3,5,...) называют такое отрицательное число, которое, будучи возведено в степень n, дает в результате число а.
Это число, как и в определении 1, обозначают , число а - подкоренное число, число n - показатель корня.
Итак,
Таким образом, корень четной степени имеет смысл (т.е. определен) только для неотрицательного подкоренного выражения; корень нечетной степени имеет смысл для любого подкоренного выражения.
Пример 2
. Решить уравнения:
Решение: а) Если Фактически обе части заданного уравнения мы должны возвести в куб. Получим:
б) Рассуждая, как в примере а), возведем обе части уравнения в четвертую степень. Получим:
в) Здесь не надо возводить в четвертую степень, это уравнение не имеет решений. Почему? Потому, что согласно определению 1 корень четной степени - неотрицательное число.
г) Возведя обе части уравнения в шестую степень, получим:
А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс
Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные урокиТема: «Корни и степени. Понятие корня n-й степени из действительного числа.»
Цели урока:
образовательная: изучить понятие арифметического корня натуральной степени, в том числе нечетной степени; освоить вычисление арифметических корней.
воспитательная: активизировать работу учащихся на уроке, воспитывать интерес к предмету;
развивающая: развивать интеллектуальные способности, умение переносить знания в новые ситуации.
Тип урока: изучение нового материала.
Метод: объяснительно-иллюстративный.
Оборудование: компьютер, интерактивная доска, презентация.
Ход урока
1. Организационная часть
Приветствие. Готовность класса к уроку. Проверка домашнего задания.
2. Мотивация учебной деятельности, сообщение темы и постановка цели занятия.
Сегодня мы будем изучать тему «Корни и степени. Понятие корня n-й степени из действительного числа». Хочу обратить ваше внимание на слова Анатоль Франс(1844-1924) , которые будут эпиграфом нашего урока. Мы будем работать с выражениями, содержащими корни. Вы расширите свои знания о корнях. В конце урока проведём небольшую самостоятельную работу, для того, чтобы проверить, как вы умеете самостоятельно применять знания по данной теме.
«Учиться можно только весело…
Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом».
Объяснение нового материала.
Определение 1. Корнем n -й степени из неотрицательного числа а (n=2,3,4,5 …) называют такое неотрицательное число, которое при возведении в степень n дает в результате число а.
Обозначение: – корень n-й степени.
Число n называется степенью арифметического корня.
Если n=2, то степень корня не указывается и пишется
Корень второй степени принято называть квадратным, а корень третьей степени – кубическим.
Возведение в степень и извлечения корня - это одна и та же зависимость:
Основные свойства корней
Закрепление изученного материала:
№ 1063 устно,
№ 1067 – 1069,
№ 1070 - 1071 (а, б)
№ 1072 -1073 (а, б)
№ 1076 (а, в)
№ 1078 (а, б)
№ 1079 (а, в)
Самостоятельная работа:
Вариант 1
№ 1070 -1071 (в)
№ 1072 -1073 (г)
Вариант 2
№ 1070 -1071 (г)
№ 1072 -1073 (в)
Домашнее задание: № 1076 (г) , № 1078 (в), № 1079 (б)
Подведение итогов урока:
Сегодня на уроке мы изучили понятие арифметического корня n-й степени и закрепили решением примеров.
Выставление оценок за урок.
Литература
1.А.Г. Мордкович. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень).- М: Мнемозина, 2012 г.
2. Александрова Л.А. Алгебра и начала анализа. 11 кл. Самостоятельные работы: пособие для общеобразовательных учреждений/ под. ред. Мордковича А.Г.–М.: Мнемозина,2014г.
3. Т.И. Купорова. Алгебра и начала анализа. 11 кл.: Поурочные планы по учебнику Мордковича А.Г.- Волгоград: Учитель, 2008.
4. Рурукин А. Н. Поурочные разработки по алгебре и началам анализа: 11 класс. – М.: ВАКО,2014.
5.Нечаев М.П. Уроки по курсу «Алгебра – 11». – М.: 5 за знания, 2007
Решим графически уравнение (икс в шестой степени равно единице), для этого построим в одной системе координат следующие графики функций: (игрек равен икс в шестой степени)
Как мы видим, они пересекаются в двух точках А и С, где абсциссы точек пересечения являются корнями уравнения,т.е. .(рис.2)
Из решения двух уравнениий мы видим, что каждое из них имеет два корня, причем эти числа взаимно противоположны.
В этих двух уравнениях корни находятся достаточно легко.
Рассмотрим уравнение 7 (икс в шестой степени равен семи) (рис.3)
Строим в одной системе координат графики функции и у=7
По чертежу видно, что уравнение имеет два корня икс один и икс два, но точные их значения указать нельзя, а только приближенные: они располагаются на оси х, один корень чуть левее точки -1, а второй — чуть правее точки 1.
Для того, чтобы разрешить аналогичные ситуации, математики ввели новый символ, корень шестой степени. И с помощью этого символа корни данного уравнения можно записать так: (икс один равен корень шестой степени из семи и икс два равен минус корень шестой степени из семи).
Рассмотрим решение уравнений с нечетной степенью
и (рис.4)
Как видно из чертежей, каждое из уравнений имеет один корень, но в первом уравнении корнем является целое число два, а во втором точно указать значение нельзя, следовательно, для него введем обозначение (корень пятой степени из шести).
Исходя из рассмотренных примеров сделаем вывод и дадим определение:
1.Уравнение (икс в степени эн равно а) , где n(эн) - любое натуральное четное число, а имеет два корня:
(корень энной степени из числа а и минус корень энной степени из числа а)
2.Уравнение (икс в степени эн равно а) , где n(эн) - любое натуральное нечетное число, а (а больше нуля) имеет один корень: (корень энной степени из числа а)
3.Уравнение (икс в степени эн равно ноль) имеет единственный корень х=0 (икс равен нулю).
Определение: Корнем n-й (энной) степени из неотрицительного числа а (n=2,3,34,5…) называют такое неотрицительное число,которое при возведении в степень n (эн) дает в результате число а.
Это число обозначают (корнем энной степени из числа а). Число а при этом называют подкоренным числом, а число n (эн) - показателем корня.
(Частный случай вы изучали в алгебре 8-го класса, когда n=2: пишут (корень квадратный из а)).
Необходимо запомнить, если
(если а неотрицательное число, n — натуральное число, большее единицы, то корень энной степени из числа а есть неотрицательное число и если корень энной степени из числа а возвести в энную степень, то получим число а, то есть подкоренное число).
Другими словами, определение можно перефразировать следующим образом:
(корнем энной степени из числа а называется число бэ, энная степень которого равна а).
Под термином извлечение из под корня понимают нахождение корня из неотрицательного числа. Другими словами, нужно выполнить обратное действие к возведению в соответствующую степень. Рассмотрим таблицу:
Будьте внимательны, согласно определению корня энной степени, в таблице рассматриваются только положительные числа.
Рассмотрим пример 1: Вычислите
а)(корень шестой степени из шестидесяти четырех равен двум, так как два - положительное число и два в шестой степени равно шестидесяти четырем).
(корень третьей степени из ноля целых двести шестнадцати тысячных равен ноль целых шесть десятых, так как найденное число положительно и в третьей степени дает падкоренное число)
Так как =
г) Согласно определению корня энной степени запишем два равенства: и
Следовательно, нам нужно найти число, которое в четвертой степени равно 55, но два в четвертой степени равно шестнадцати, что меньше 55,
И три в четвертой степени равно восьмидесяти одному, что больше 55, . Значит, точного значения указать нельзя, поэтому воспользуемся знаком приближенного равенства с точностью до сотых.
Для извлечения корня из отрицательного числа пользуются вторым определением:
Определение: Корнем нечетной степениn из отрицательного числа а (n=3,5,7,…)называют такое отрицательное число m, которое, будучи возведено в степень n, дает в результате число а.
число а при этом называют подкоренным числом, а число n (эн) - показателем корня.
Для корня нечетной степени справедливы два свойства:
(если а — отрицательное число,n — натуральное нечетное число, большее единицы, то корень энной степени из числа а есть отрицательное число, и если корень энной степени из числа а возвести в энную степень, то получим число а, то есть подкоренное число).
Проанализировав определения и свойства корня энной степени из числа, сделаем вывод:
Корень четной степени имеет смысл (то есть определен) только для неотрицательного подкоренного выражения;
Корень нечетной степени имеет смысл для любого подкоренного выражения
Чтобы успешно использовать на практике операцию извлечения корня,
нужно познакомиться со свойствами этой операции.
Все свойства формулируются и доказываются только для неотрицательных значений переменных, содержащихся под знаками корней.
Теорема 1. Корень n-й степени (n=2, 3, 4,...) из произведения двух неотрицательных чипсел равен произведению корней n-й степени из этих чисел:
Замечание:
1.
Теорема 1 остается справедливой и для случая, когда
подкоренное выражение представляет собой произведение более чем двух
неотрицательных чисел.
Теорема 2.
Если
,
и n - натуральное число, большее 1, то справедливо равенство
Краткая (хотя и неточная) формулировка, которую удобнее использовать на практике: корень из дроби равен дроби от корней.
Теорема 1 позволяет нам перемножать только корни одинаковой степени
,
т.е. только корни с одинаковым показателем.
Теорема 3.Если , k - натуральное число и n - натуральное число, большее 1, то справедливо равенство
Иными словами, чтобы возвести корень в натуральную степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное выражение.
Это - следствие теоремы 1. В самом деле, например, для к = 3 получаем: Точно так же можно рассуждать в случае любого другого натурального значения показателя к.
Теорема 4.Если , k, n - натуральные числа, большее 1, то справедливо равенство
Иными словами, чтобы извлечь корень из корня, достаточно перемножить показатели корней.
Например,
Будьте внимательны!
Мы
узнали, что над корнями можно осуществлять четыре операции: умножение,
деление, возведение в степень и извлечение корня (из корня). А как же
обстоит дело со сложением и вычитанием корней? Никак.
Например, вместо нельзя написать В самом деле, Но ведь очевидно, что
Теорема 5.Если показатели корня и подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится, т.е.
Примеры решения заданий
Пример 1. Вычислить
Решение. Воспользовавшись первым свойством корней (теорема 1), получим:
Пример 2.
Вычислить
Решение.
Обратим смешанное число в неправильную дробь.
Имеем Воспользовавшись вторым свойством корней (теорема 2
), получим:
Пример 3. Вычислить:
Решение. Любая формула в алгебре, как вам хорошо известно, используется не только «слева направо», но и «справа налево». Так, первое свойство корней означает, что можно представить в виде и, наоборот, можно заменить выражением . То же относится и ко второму свойству корней. Учитывая это, выполним вычисления.