ตัวอย่างทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดพร้อมโซลูชัน ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต - ไฮเปอร์มาร์เก็ตความรู้
ลองนั่งลงและเริ่มเขียนตัวเลข ตัวอย่างเช่น:
คุณสามารถเขียนตัวเลขใดก็ได้และสามารถมีได้มากเท่าที่คุณต้องการ (ในกรณีของเรา) ไม่ว่าเราจะเขียนตัวเลขกี่ตัว เราสามารถบอกได้เสมอว่าตัวเลขใดคือตัวแรก ตัวที่สอง และต่อไปจนถึงตัวสุดท้าย นั่นคือ เราสามารถนับได้ นี่คือตัวอย่างลำดับตัวเลข:
ลำดับตัวเลขเป็นชุดของตัวเลขซึ่งแต่ละชุดสามารถกำหนดหมายเลขเฉพาะได้
ตัวอย่างเช่น สำหรับลำดับของเรา:
หมายเลขที่กำหนดเฉพาะสำหรับหมายเลขลำดับเดียวเท่านั้น กล่าวอีกนัยหนึ่ง ไม่มีตัวเลขสามตัวที่สองในลำดับ หมายเลขที่สอง (เช่นหมายเลข -th) จะเหมือนกันเสมอ
จำนวนที่มีตัวเลขเรียกว่า -th สมาชิกของลำดับ
เรามักจะเรียกลำดับทั้งหมดด้วยตัวอักษร (เช่น) และสมาชิกแต่ละตัวของลำดับนี้ - อักษรตัวเดียวกันที่มีดัชนีเท่ากับจำนวนของสมาชิกนี้: .
ในกรณีของเรา:
ประเภทความก้าวหน้าที่พบบ่อยที่สุดคือเลขคณิตและเรขาคณิต ในหัวข้อนี้เราจะพูดถึงประเภทที่สอง - ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต.
ทำไมเราต้องมีความก้าวหน้าทางเรขาคณิตและประวัติของมัน
แม้แต่ในสมัยโบราณ นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี เลโอนาร์โดแห่งปิซา (รู้จักกันดีในชื่อฟีโบนัชชี) ได้จัดการกับความต้องการในทางปฏิบัติของการค้า พระสงฆ์ต้องเผชิญกับงานที่ต้องพิจารณาว่าจำนวนใดที่น้อยที่สุดที่จะใช้ชั่งสินค้าได้? ในงานเขียนของเขา Fibonacci พิสูจน์ว่าระบบน้ำหนักดังกล่าวเหมาะสมที่สุด: นี่เป็นหนึ่งในสถานการณ์แรกๆ ที่ผู้คนต้องรับมือกับความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ซึ่งคุณคงเคยได้ยินและอย่างน้อยก็มีแนวคิดทั่วไปเกี่ยวกับเรื่องนี้ เมื่อคุณเข้าใจหัวข้อนี้อย่างถ่องแท้แล้ว ลองคิดดูว่าเหตุใดระบบดังกล่าวจึงเหมาะสมที่สุด
ในปัจจุบัน ในทางปฏิบัติ ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจะปรากฏเมื่อลงทุนในธนาคาร เมื่อจำนวนดอกเบี้ยถูกเรียกเก็บจากจำนวนเงินที่สะสมในบัญชีสำหรับงวดก่อนหน้า กล่าวอีกนัยหนึ่ง หากคุณฝากเงินระยะยาวในธนาคารออมสิน เงินฝากจะเพิ่มขึ้นจากจำนวนเดิมในหนึ่งปี นั่นคือ จำนวนเงินใหม่จะเท่ากับผลงานคูณด้วย ในอีกปีหนึ่ง จำนวนนี้จะเพิ่มขึ้นอีก เช่น จำนวนเงินที่ได้รับในเวลานั้นจะถูกคูณอีกครั้งไปเรื่อยๆ มีการอธิบายสถานการณ์ที่คล้ายกันในปัญหาของการคำนวณที่เรียกว่า ดอกเบี้ยทบต้น- เปอร์เซ็นต์จะถูกนำมาใช้ในแต่ละครั้งจากจำนวนเงินที่อยู่ในบัญชีโดยคำนึงถึงดอกเบี้ยก่อนหน้า เราจะพูดถึงงานเหล่านี้ในภายหลัง
มีกรณีง่ายๆ อีกมากมายที่ใช้ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ตัวอย่างเช่น การแพร่กระจายของไข้หวัดใหญ่: บุคคลหนึ่งติดเชื้อบุคคลหนึ่ง ในทางกลับกัน พวกเขาก็ติดเชื้ออีกคนหนึ่ง ดังนั้น ระลอกที่สองของการติดเชื้อคือบุคคลหนึ่ง และพวกเขาก็ติดเชื้ออีกคนหนึ่ง ... และอื่น ๆ .. .
อย่างไรก็ตาม ปิรามิดการเงิน MMM เดียวกันคือการคำนวณที่เรียบง่ายและแห้งตามคุณสมบัติของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต น่าสนใจ? ลองคิดดูสิ
ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
สมมติว่าเรามีลำดับตัวเลข:
คุณจะตอบทันทีว่าง่าย และชื่อของลำดับนั้นขึ้นอยู่กับความแตกต่างของสมาชิก อะไรประมาณนี้:
หากคุณลบเลขก่อนหน้าออกจากเลขถัดไป จะเห็นว่าทุกครั้งที่ได้ ความแตกต่างใหม่(และอื่นๆ) แต่ลำดับนั้นมีอยู่จริงและสังเกตได้ง่าย - แต่ละตัวเลขที่ต่อเนื่องกันจะคูณกับตัวเลขก่อนหน้า!
ลำดับประเภทนี้เรียกว่า ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตและมีการทำเครื่องหมาย
ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ( ) คือลำดับตัวเลข ซึ่งพจน์แรกแตกต่างจากศูนย์ และแต่ละพจน์ที่เริ่มต้นจากลำดับที่สองจะเท่ากับพจน์ก่อนหน้า คูณด้วยจำนวนเดียวกัน จำนวนนี้เรียกว่าตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
ข้อจำกัดที่พจน์แรก ( ) ไม่เท่ากันและไม่สุ่ม สมมติว่าไม่มีเลยและเทอมแรกก็ยังเท่ากัน และ q คือ อืม .. ปล่อยให้มันกลายเป็น:
ยอมรับว่านี่ไม่ใช่ความคืบหน้า
ตามที่คุณเข้าใจ เราจะได้ผลลัพธ์เดียวกันหากเป็นจำนวนอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์ แต่ ในกรณีเหล่านี้ จะไม่มีความคืบหน้า เนื่องจากชุดตัวเลขทั้งหมดจะเป็นศูนย์ทั้งหมดหรือตัวเลขเดียว และศูนย์ที่เหลือทั้งหมด
ตอนนี้เรามาพูดถึงรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตนั่นคือเกี่ยวกับ
อีกครั้งนี่คือตัวเลข แต่ละเทอมเปลี่ยนกี่ครั้งความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
คุณคิดว่ามันจะเป็นอย่างไร? ถูกต้อง บวกและลบ แต่ไม่ใช่ศูนย์ (เราพูดถึงเรื่องนี้สูงกว่านี้เล็กน้อย)
สมมติว่าเรามีบวก ให้ในกรณีของเราก. เทอมสองคืออะไรและ? คุณตอบได้ง่ายๆ ว่า
เอาล่ะ. ดังนั้นหากสมาชิกที่ตามมาทั้งหมดของความก้าวหน้ามีเครื่องหมายเหมือนกัน - พวกเขา เชิงบวก.
แล้วถ้าเป็นลบล่ะ? ตัวอย่างเช่น ก. เทอมสองคืออะไรและ?
มันเป็นเรื่องที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง
ลองนับระยะเวลาของความก้าวหน้านี้ คุณได้รับเท่าไหร่? ฉันมี. ดังนั้นถ้าสัญญาณของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตสลับกัน นั่นคือ ถ้าคุณเห็นการก้าวหน้าที่มีเครื่องหมายสลับในสมาชิก แสดงว่าตัวส่วนเป็นลบ ความรู้นี้สามารถช่วยคุณทดสอบตัวเองเมื่อแก้ปัญหาในหัวข้อนี้
ทีนี้มาฝึกฝนกันสักหน่อย ลองกำหนดว่าลำดับตัวเลขใดเป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิต และลำดับใดเป็นลำดับเลขคณิต:
เข้าใจแล้ว? เปรียบเทียบคำตอบของเรา:
- ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต - 3, 6.
- ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ - 2, 4
- ไม่ใช่ทั้งเลขคณิตหรือความก้าวหน้าทางเรขาคณิต - 1, 5, 7
กลับไปที่ความก้าวหน้าล่าสุดของเรา และลองหาคำศัพท์ด้วยวิธีเดียวกับในทางเลขคณิต อย่างที่คุณเดาได้ มีสองวิธีในการค้นหา
เราคูณแต่ละเทอมอย่างต่อเนื่อง
ดังนั้น สมาชิกตัวที่ -th ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่อธิบายไว้จึงเท่ากับ
ในขณะที่คุณเดา ตอนนี้คุณจะได้สูตรที่จะช่วยคุณค้นหาสมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต หรือคุณได้นำมันออกมาด้วยตัวเองโดยอธิบายวิธีการหาสมาชิกคนที่ th เป็นขั้นตอน? ถ้าเป็นเช่นนั้น ตรวจสอบความถูกต้องของเหตุผลของคุณ
เรามาอธิบายสิ่งนี้ด้วยตัวอย่างการค้นหาสมาชิกลำดับที่ - ของความก้าวหน้านี้:
กล่าวอีกนัยหนึ่ง:
ค้นหาค่าของสมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่กำหนด
เกิดขึ้น? เปรียบเทียบคำตอบของเรา:
สังเกตว่าคุณได้เลขเดียวกับวิธีก่อนหน้านี้ทุกประการ เมื่อเราคูณสมาชิกก่อนหน้าแต่ละตัวของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอย่างต่อเนื่อง
มาลอง "ลดบุคลิก" กันเถอะ สูตรนี้- นำมาเป็นรูปแบบทั่วไปและรับ:
สูตรที่ได้รับเป็นจริงสำหรับค่าทั้งหมด - ทั้งบวกและลบ ตรวจสอบด้วยตัวคุณเองโดยการคำนวณเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตโดยมีเงื่อนไขต่อไปนี้: , ก.
คุณนับหรือไม่ ลองเปรียบเทียบผลลัพธ์:
ยอมรับว่าเป็นไปได้ที่จะพบสมาชิกของความก้าวหน้าในลักษณะเดียวกับสมาชิก อย่างไรก็ตามมีความเป็นไปได้ที่จะคำนวณผิด และถ้าเราพบพจน์ที่ 1 ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแล้ว a แล้วอะไรจะง่ายไปกว่าการใช้ส่วนที่ "ตัดทอน" ของสูตร
ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด
เมื่อเร็ว ๆ นี้เราได้พูดคุยเกี่ยวกับสิ่งที่อาจเป็นได้มากกว่าและ น้อยกว่าศูนย์อย่างไรก็ตามมีค่าพิเศษที่เรียกว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ลดลงอย่างไม่มีที่สิ้นสุด.
ทำไมคุณถึงคิดว่ามันมีชื่อเช่นนี้?
ในการเริ่มต้น ให้เขียนความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ประกอบด้วยสมาชิก
สมมติว่า:
เราเห็นว่าแต่ละเทอมที่ตามมาน้อยกว่าครั้งก่อน แต่จะมีจำนวนหรือไม่? คุณจะตอบทันทีว่า “ไม่” นั่นคือเหตุผลที่การลดลงอย่างไม่สิ้นสุด - ลดลง ลดลง แต่ไม่เคยกลายเป็นศูนย์
เพื่อให้เข้าใจอย่างชัดเจนว่าสิ่งนี้มีลักษณะอย่างไร ลองวาดกราฟความก้าวหน้าของเรากัน ดังนั้นในกรณีของเรา สูตรใช้รูปแบบต่อไปนี้:
ในแผนภูมิ เราคุ้นเคยกับการสร้างการพึ่งพา ดังนั้น:
สาระสำคัญของนิพจน์ไม่ได้เปลี่ยนแปลง: ในรายการแรก เราแสดงการพึ่งพาค่าของสมาชิกความก้าวหน้าทางเรขาคณิตกับเลขลำดับของมัน และในรายการที่สอง เราเพียงแค่ใช้ค่าของสมาชิกความก้าวหน้าทางเรขาคณิตสำหรับ และ เลขลำดับไม่ได้กำหนดให้เป็น แต่เป็น ที่เหลือก็แค่วาดกราฟ
ให้ดูสิ่งที่คุณได้. นี่คือแผนภูมิที่ฉันได้รับ:
ดู? ฟังก์ชันลดลง มีแนวโน้มเป็นศูนย์ แต่ไม่เคยตัดผ่าน ดังนั้นมันจึงลดลงอย่างไม่สิ้นสุด มาทำเครื่องหมายจุดของเราบนกราฟและในเวลาเดียวกันว่าพิกัดและความหมายคืออะไร:
พยายามแสดงกราฟของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตในแผนผังหากเทอมแรกมีค่าเท่ากัน วิเคราะห์ความแตกต่างจากกราฟก่อนหน้าของเราอย่างไร?
คุณจัดการหรือไม่ นี่คือแผนภูมิที่ฉันได้รับ:
ตอนนี้คุณเข้าใจพื้นฐานของหัวข้อการก้าวหน้าทางเรขาคณิตอย่างถ่องแท้แล้ว: คุณรู้ว่ามันคืออะไร คุณรู้วิธีหาศัพท์ของมัน และคุณยังรู้ด้วยว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดคืออะไร มาเริ่มที่คุณสมบัติหลักของมันกันเลย
คุณสมบัติของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
จดจำทรัพย์สินของสมาชิก ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์? ใช่ ใช่ จะหาค่าของความก้าวหน้าจำนวนหนึ่งได้อย่างไรเมื่อมีค่าก่อนหน้าและค่าที่ตามมาของสมาชิกของความก้าวหน้านี้ จำได้ไหม? นี้:
ตอนนี้เรากำลังเผชิญกับคำถามเดียวกันทุกประการสำหรับเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต เพื่อให้ได้สูตรมาเริ่มวาดและให้เหตุผลกัน คุณจะเห็นว่ามันง่ายมาก และถ้าคุณลืม คุณก็สามารถหยิบออกมาเองได้
ลองใช้ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอย่างง่าย ๆ ที่เรารู้จักและ จะหาได้อย่างไร? ด้วยความก้าวหน้าทางเลขคณิตนี่เป็นเรื่องง่ายและเรียบง่าย แต่ที่นี่เป็นอย่างไร อันที่จริงแล้วเรขาคณิตก็ไม่มีอะไรซับซ้อนเช่นกัน - คุณเพียงแค่ต้องระบายสีแต่ละค่าที่เรากำหนดตามสูตร
คุณถามว่าตอนนี้เราจะทำอย่างไรกับมัน? ใช่ง่ายมาก ในการเริ่มต้นให้แสดงสูตรเหล่านี้ในรูปและพยายามทำการปรับเปลี่ยนต่างๆกับพวกเขาเพื่อให้ได้ค่า
เราสรุปจากตัวเลขที่เราได้รับ เราจะเน้นเฉพาะการแสดงออกผ่านสูตร เราต้องค้นหาค่าที่เน้น ส้มรู้คำศัพท์ที่อยู่ติดกัน ลองดำเนินการต่าง ๆ กับพวกเขาซึ่งเป็นผลมาจากการที่เราจะได้รับ
ส่วนที่เพิ่มเข้าไป.
ลองเพิ่มสองนิพจน์และเราจะได้:
จากนิพจน์นี้อย่างที่คุณเห็น เราจะไม่สามารถแสดงออกในทางใดทางหนึ่งได้ ดังนั้นเราจะลองใช้ตัวเลือกอื่น - การลบ
การลบ
อย่างที่คุณเห็น เราไม่สามารถแสดงจากสิ่งนี้ได้ ดังนั้น เราจะพยายามคูณนิพจน์เหล่านี้เข้าด้วยกัน
การคูณ
ตอนนี้ดูสิ่งที่เรามีอย่างระมัดระวัง คูณเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่มอบให้เราโดยเปรียบเทียบกับสิ่งที่ต้องพบ:
คาดเดาสิ่งที่ฉันพูดถึง? ใช่ เพื่อค้นหา เราต้องดำเนินการ รากที่สองจากตัวเลขความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่อยู่ติดกับจำนวนที่ต้องการคูณกัน:
เอาล่ะ คุณเองอนุมานคุณสมบัติของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ลองเขียนสูตรนี้ใน ปริทัศน์. เกิดขึ้น?
ลืมเงื่อนไขเมื่อ? ลองคิดดูว่าทำไมถึงสำคัญ เช่น ลองคำนวณเองที่ เกิดอะไรขึ้นในกรณีนี้? ถูกต้อง ไร้สาระสิ้นดี เนื่องจากสูตรมีลักษณะดังนี้:
ดังนั้นอย่าลืมข้อ จำกัด นี้
ทีนี้ลองคำนวณดูว่าคืออะไร
คำตอบที่ถูกต้อง - ! หากคุณไม่ลืมค่าที่เป็นไปได้ที่สองเมื่อคำนวณ แสดงว่าคุณเป็นเพื่อนที่ดีและคุณสามารถดำเนินการฝึกอบรมได้ทันที และหากคุณลืม ให้อ่านสิ่งที่วิเคราะห์ด้านล่างและให้ความสนใจว่าทำไมต้องเขียนรากทั้งสองในคำตอบ .
ลองวาดความก้าวหน้าทางเรขาคณิตทั้งสองอัน อันหนึ่งมีค่าและอีกอันมีค่า แล้วตรวจสอบว่าทั้งสองอันมีสิทธิ์ที่จะมีอยู่หรือไม่:
เพื่อตรวจสอบว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตดังกล่าวมีอยู่จริงหรือไม่ จำเป็นต้องดูว่าสมาชิกทั้งหมดที่กำหนดให้เหมือนกันหรือไม่ คำนวณ q สำหรับกรณีที่หนึ่งและสอง
ดูว่าทำไมเราต้องเขียนสองคำตอบ? เนื่องจากเครื่องหมายของเทอมที่ต้องการนั้นขึ้นอยู่กับว่าเป็นบวกหรือลบ! และเนื่องจากเราไม่รู้ว่ามันคืออะไร เราจึงต้องเขียนคำตอบทั้งบวกและลบ
ตอนนี้คุณเข้าใจประเด็นหลักและสรุปสูตรสำหรับคุณสมบัติของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแล้ว ค้นหา รู้ และ
เปรียบเทียบคำตอบของคุณกับคำตอบที่ถูกต้อง:
คุณคิดอย่างไร จะเป็นอย่างไรถ้าเราไม่ได้รับค่าของสมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่อยู่ติดกับจำนวนที่ต้องการ แต่ห่างจากค่านั้นเท่ากัน ตัวอย่างเช่น เราต้องการค้นหา และ ให้ และ เราสามารถใช้สูตรที่ได้มาในกรณีนี้ได้หรือไม่? พยายามยืนยันหรือหักล้างความเป็นไปได้นี้ด้วยวิธีเดียวกัน โดยอธิบายว่าแต่ละค่าประกอบด้วยอะไรบ้าง เช่นเดียวกับที่คุณทำเมื่อได้รับสูตรในตอนแรก
คุณได้อะไร?
ตอนนี้ดูอย่างระมัดระวังอีกครั้ง
และสอดคล้องกัน:
จากนี้เราสามารถสรุปได้ว่าสูตรนี้ใช้งานได้ ไม่เฉพาะกับเพื่อนบ้านเท่านั้นด้วยเงื่อนไขที่ต้องการของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต แต่ยังรวมถึง เท่ากันจากสิ่งที่สมาชิกกำลังมองหา
ดังนั้นสูตรดั้งเดิมของเราจึงกลายเป็น:
นั่นคือถ้าในกรณีแรกเราพูดอย่างนั้น ตอนนี้เราบอกว่ามันเท่ากับจำนวนธรรมชาติใดๆ ที่น้อยกว่าได้ สิ่งสำคัญคือต้องเหมือนกันสำหรับทั้งสองหมายเลขที่กำหนด
ฝึกฝนกับตัวอย่างเฉพาะ ระวังให้มาก!
- , . หา.
- , . หา.
- , . หา.
ตัดสินใจแล้ว? ฉันหวังว่าคุณจะใส่ใจอย่างมากและสังเกตเห็นสิ่งเล็กน้อย
เราเปรียบเทียบผลลัพธ์
ในสองกรณีแรก เราใช้สูตรด้านบนอย่างระมัดระวังและรับค่าต่อไปนี้:
ในกรณีที่สาม เมื่อพิจารณาอย่างถี่ถ้วนเกี่ยวกับหมายเลขซีเรียลของตัวเลขที่ให้เรา เราเข้าใจว่าตัวเลขเหล่านี้ไม่ได้ห่างจากหมายเลขที่เรากำลังมองหาเท่ากัน: เป็นหมายเลขก่อนหน้า แต่ถูกลบออกจากตำแหน่ง ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ เพื่อใช้สูตร
มีวิธีแก้อย่างไร? จริงๆแล้วมันไม่ยากอย่างที่คิด! มาเขียนกับคุณว่าแต่ละหมายเลขที่ให้เราและหมายเลขที่ต้องการประกอบด้วยอะไรบ้าง
ดังนั้นเราจึงมีและ มาดูกันว่าเราจะทำอะไรกับพวกมันได้บ้าง ฉันแนะนำให้แยก เราได้รับ:
เราแทนที่ข้อมูลของเราลงในสูตร:
ขั้นตอนต่อไปที่เราสามารถหาได้ - สำหรับสิ่งนี้เราต้องใช้รากที่สามของจำนวนผลลัพธ์
ทีนี้มาดูอีกครั้งว่ามีอะไรบ้าง เรามี แต่เราต้องค้นหา และในทางกลับกัน เท่ากับ:
เราพบข้อมูลที่จำเป็นทั้งหมดสำหรับการคำนวณ แทนที่ในสูตร:
คำตอบของเรา: .
ลองแก้ปัญหาเดียวกันด้วยตัวคุณเอง:
ที่ให้ไว้: ,
หา:
คุณได้รับเท่าไหร่? ฉันมี - .
อย่างที่คุณเห็นจริง ๆ แล้วคุณต้องการ จำเพียงสูตรเดียว- . ส่วนที่เหลือทั้งหมดคุณสามารถถอนออกได้ตลอดเวลา ในการทำเช่นนี้เพียงเขียนความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ง่ายที่สุดลงบนกระดาษแล้วจดว่าตัวเลขแต่ละตัวมีค่าเท่ากับอะไรตามสูตรข้างต้น
ผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
ตอนนี้ให้พิจารณาสูตรที่ช่วยให้เราสามารถคำนวณผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตในช่วงเวลาที่กำหนดได้อย่างรวดเร็ว:
ในการหาสูตรสำหรับผลรวมของพจน์ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่มีขอบเขตจำกัด เราคูณทุกส่วนของสมการข้างต้นด้วย เราได้รับ:
ดูอย่างใกล้ชิด: สองสูตรสุดท้ายมีอะไรที่เหมือนกัน? ถูกต้อง สมาชิกทั่วไป เป็นต้น ยกเว้นสมาชิกตัวแรกและตัวสุดท้าย ลองลบสมการที่ 1 จากสมการที่ 2 กัน คุณได้อะไร?
ตอนนี้แสดงผ่านสูตรของสมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตและแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์ในสูตรสุดท้ายของเรา:
จัดกลุ่มนิพจน์ คุณควรได้รับ:
สิ่งที่ต้องทำคือการแสดง:
ดังนั้นในกรณีนี้
เกิดอะไรขึ้นถ้า? สูตรไหนใช้ได้ผล? ลองนึกภาพความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ เธอชอบอะไร? ชุดตัวเลขที่เหมือนกันอย่างถูกต้องตามลำดับสูตรจะมีลักษณะดังนี้ ด้วยวิธีการต่อไปนี้:
เช่นเดียวกับความก้าวหน้าทางเลขคณิตและเรขาคณิต มีตำนานมากมาย หนึ่งในนั้นคือตำนานของ Seth ผู้สร้างหมากรุก
หลายคนรู้ว่าเกมหมากรุกถูกคิดค้นในอินเดีย เมื่อกษัตริย์ฮินดูพบเธอ เขารู้สึกยินดีกับไหวพริบและตำแหน่งต่างๆ ที่เป็นไปได้ในตัวเธอ เมื่อรู้ว่ามันถูกประดิษฐ์ขึ้นโดยหนึ่งในอาสาสมัครของเขา กษัตริย์จึงตัดสินใจให้รางวัลแก่เขาเป็นการส่วนตัว เขาเรียกนักประดิษฐ์มาหาเขาและสั่งให้ขอสิ่งที่เขาต้องการโดยสัญญาว่าจะเติมเต็มความปรารถนาที่เชี่ยวชาญที่สุด
Seta ขอเวลาคิด และเมื่อวันรุ่งขึ้น Seta ปรากฏตัวต่อพระพักตร์กษัตริย์ เขาทำให้กษัตริย์ประหลาดใจด้วยคำขอของเขาที่สงบเสงี่ยมอย่างไม่มีใครเทียบได้ เขาขอข้าวสาลีหนึ่งเม็ดสำหรับกระดานหมากรุกตารางแรก ข้าวสาลีสำหรับอันที่สอง สำหรับอันที่สาม สำหรับอันที่สี่ และอื่น ๆ
กษัตริย์โกรธและขับไล่ Seth ออกไปโดยบอกว่าคำขอของคนรับใช้นั้นไม่คู่ควรกับความเอื้ออาทรของราชวงศ์ แต่สัญญาว่าคนรับใช้จะรับธัญพืชของเขาสำหรับห้องขังทั้งหมดของกระดาน
และตอนนี้คำถามคือ: ใช้สูตรสำหรับผลรวมของสมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต คำนวณจำนวนธัญพืชที่ Seth ควรได้รับ?
มาเริ่มกันเลย เนื่องจากตามเงื่อนไข Seth ขอเมล็ดข้าวสาลีสำหรับเซลล์แรกของกระดานหมากรุก สำหรับเซลล์ที่สอง สำหรับเซลล์ที่สาม สำหรับเซลล์ที่สี่ ฯลฯ เราจึงเห็นว่าปัญหาเกี่ยวกับความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ในกรณีนี้มีค่าเท่ากับเท่าใด
ขวา.
เซลล์ทั้งหมดของกระดานหมากรุก ตามลำดับ. เรามีข้อมูลทั้งหมดแล้ว เหลือเพียงการแทนที่ในสูตรและคำนวณเท่านั้น
ในการแสดงค่าประมาณ "สเกล" ของจำนวนที่กำหนดเป็นอย่างน้อย เราแปลงโดยใช้คุณสมบัติของระดับ:
แน่นอน ถ้าคุณต้องการ คุณสามารถใช้เครื่องคิดเลขและคำนวณว่าคุณจะลงเอยด้วยตัวเลขประเภทใด และถ้าไม่ คุณจะต้องเชื่อตามที่ฉันคิด: ค่าสุดท้ายของนิพจน์จะเป็นเท่าใด
นั่นคือ:
quintillion ควอดล้านล้าน ล้านล้าน ล้านล้าน
ฟู่) ถ้าคุณอยากจินตนาการถึงความยิ่งใหญ่ของจำนวนนี้ ให้ประเมินว่าต้องใช้ยุ้งฉางขนาดไหนจึงจะสามารถรองรับเมล็ดข้าวได้ทั้งหมด
ด้วยความสูงของโรงนา m และความกว้าง m ความยาวของมันจะต้องขยายเป็นกม. เช่น จากโลกถึงดวงอาทิตย์สองเท่า
หากกษัตริย์ทรงเชี่ยวชาญด้านคณิตศาสตร์ พระองค์สามารถเสนอให้นักวิทยาศาสตร์นับเมล็ดพืชด้วยพระองค์เอง เพราะในการนับเมล็ดข้าวหนึ่งล้านเมล็ด พระองค์ต้องใช้เวลาอย่างน้อยหนึ่งวันในการนับอย่างไม่รู้จักเหน็ดเหนื่อย และเนื่องจากจำเป็นต้องนับจำนวน quintillions จะต้องนับเมล็ดข้าวไปตลอดชีวิต
และตอนนี้เราจะแก้ปัญหาง่ายๆ เกี่ยวกับผลรวมของพจน์ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
Vasya นักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 ป่วยเป็นไข้หวัด แต่ยังคงไปโรงเรียน ทุกวัน Vasya แพร่เชื้อให้กับคนสองคน ซึ่งในทางกลับกันก็แพร่เชื้ออีกสองคน และอื่น ๆ แค่คนเดียวในชั้นเรียน ทั้งชั้นจะเป็นไข้หวัดภายในกี่วัน?
ดังนั้น สมาชิกคนแรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือ Vasya นั่นคือบุคคล สมาชิกลำดับที่ 1 ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต คนเหล่านี้คือคนสองคนที่เขาติดเชื้อในวันแรกที่เขามาถึง ผลรวมของสมาชิกของความก้าวหน้าจะเท่ากับจำนวนนักเรียน 5A ดังนั้น เรากำลังพูดถึงความก้าวหน้าที่:
ลองแทนข้อมูลของเราลงในสูตรสำหรับผลรวมของพจน์ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต:
ทั้งชั้นจะป่วยภายในไม่กี่วัน ไม่เชื่อในสูตรและตัวเลข? พยายามวาดภาพ "การติดเชื้อ" ของนักเรียนด้วยตัวคุณเอง เกิดขึ้น? ดูว่ามันเป็นอย่างไรสำหรับฉัน:
คำนวณด้วยตัวคุณเองว่านักเรียนจะเป็นไข้หวัดได้กี่วันถ้าทุกคนแพร่เชื้อ และมีคนๆ หนึ่งอยู่ในชั้นเรียน
คุณได้รับค่าอะไร ปรากฎว่าทุกคนเริ่มป่วยหลังจากผ่านไปหนึ่งวัน
อย่างที่คุณเห็นงานและภาพวาดนั้นคล้ายกับปิรามิดซึ่งแต่ละคนจะ "นำ" ผู้คนใหม่ ๆ ตามมา อย่างไรก็ตามไม่ช้าก็เร็วช่วงเวลาที่สิ่งหลังไม่สามารถดึงดูดใครได้ ในกรณีของเรา หากเราจินตนาการว่าชั้นเรียนถูกแยกออกจากกัน บุคคลนั้นจะปิดห่วงโซ่ () ดังนั้นหากบุคคลใดมีส่วนร่วมในปิรามิดทางการเงินที่มีการให้เงินหากคุณนำผู้เข้าร่วมอีกสองคนมาด้วย บุคคลนั้น (หรือในกรณีทั่วไป) จะไม่นำใครมา ตามลำดับ จะสูญเสียทุกสิ่งที่พวกเขาลงทุนในกลอุบายทางการเงินนี้ .
ทุกสิ่งที่กล่าวมาข้างต้นหมายถึงความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงหรือเพิ่มขึ้น แต่อย่างที่คุณจำได้ เรามี ชนิดพิเศษเป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด จะคำนวณผลรวมของสมาชิกได้อย่างไร? และเหตุใดความก้าวหน้าประเภทนี้จึงมีคุณสมบัติบางอย่าง ลองคิดออกด้วยกัน
สำหรับผู้เริ่มต้น ลองดูภาพนี้อีกครั้งของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดจากตัวอย่างของเรา:
ทีนี้มาดูสูตรสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ได้มาก่อนหน้านี้เล็กน้อย:
หรือ
เรามุ่งมั่นเพื่ออะไร? ถูกต้อง กราฟแสดงว่ามีแนวโน้มเป็นศูนย์ นั่นคือเมื่อมันเกือบจะเท่ากันตามลำดับเมื่อคำนวณนิพจน์เราจะได้เกือบ ในเรื่องนี้ เราเชื่อว่าเมื่อคำนวณผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด วงเล็บนี้อาจถูกละเลย เนื่องจากมันจะเท่ากัน
- สูตรคือผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด
สำคัญ!เราใช้สูตรสำหรับผลรวมของพจน์ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด เฉพาะในกรณีที่เงื่อนไขระบุอย่างชัดเจนว่าเราต้องหาผลรวม ไม่มีที่สิ้นสุดจำนวนสมาชิก
หากมีการระบุจำนวนเฉพาะ n เราจะใช้สูตรสำหรับผลรวมของพจน์ n แม้ว่าจะ หรือ
และตอนนี้เรามาฝึกกัน
- หาผลบวกของพจน์แรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่มี และ
- หาผลรวมของพจน์ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดด้วย และ
ฉันหวังว่าคุณจะระมัดระวังให้มาก เปรียบเทียบคำตอบของเรา:
ตอนนี้คุณรู้ทุกอย่างเกี่ยวกับความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแล้ว และถึงเวลาเปลี่ยนจากทฤษฎีไปสู่การปฏิบัติแล้ว ปัญหาเลขชี้กำลังที่พบบ่อยที่สุดในข้อสอบคือปัญหาดอกเบี้ยทบต้น เราจะพูดถึงพวกเขาเกี่ยวกับพวกเขา
ปัญหาการคำนวณดอกเบี้ยทบต้น
คุณต้องเคยได้ยินสูตรดอกเบี้ยทบต้น คุณเข้าใจสิ่งที่เธอหมายถึง? ถ้าไม่ ลองคิดดู เพราะเมื่อคุณเข้าใจกระบวนการนี้แล้ว คุณจะเข้าใจทันทีว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเกี่ยวข้องกับกระบวนการนี้อย่างไร
เราทุกคนไปที่ธนาคารและรู้ว่ามี เงื่อนไขที่แตกต่างกันในเงินฝาก: นี่คือเงื่อนไขและการบำรุงรักษาเพิ่มเติมและดอกเบี้ยด้วยวิธีการคำนวณที่แตกต่างกันสองวิธี - ง่ายและซับซ้อน
กับ ดอกเบี้ยง่ายๆทุกอย่างชัดเจนไม่มากก็น้อย: จะมีการคิดดอกเบี้ยหนึ่งครั้งเมื่อสิ้นสุดระยะเวลาการฝาก นั่นคือถ้าเรากำลังพูดถึงการวาง 100 รูเบิลต่อปี พวกเขาจะได้รับเครดิตเมื่อสิ้นปีเท่านั้น ดังนั้นเมื่อสิ้นสุดการฝากเงิน เราจะได้รับรูเบิล
ดอกเบี้ยทบต้นเป็นทางเลือกในการที่ การแปลงดอกเบี้ยเป็นทุน, เช่น. นอกเหนือจากจำนวนเงินฝากและการคำนวณรายได้ที่ตามมาไม่ใช่จากจุดเริ่มต้น แต่มาจากจำนวนเงินฝากสะสม การใช้อักษรตัวพิมพ์ใหญ่ไม่ได้เกิดขึ้นอย่างต่อเนื่อง แต่มีบางช่วงเวลา ตามกฎแล้วช่วงเวลาดังกล่าวจะเท่ากันและธนาคารส่วนใหญ่มักจะใช้หนึ่งเดือน หนึ่งในสี่หรือหนึ่งปี
สมมติว่าเราใส่รูเบิลเท่ากันทั้งหมดต่อปี แต่ด้วย ตัวพิมพ์ใหญ่รายเดือนผลงาน. เราได้อะไร?
คุณเข้าใจทุกอย่างที่นี่หรือไม่? ถ้าไม่ ลองทำทีละขั้นตอน
เรานำเงินรูเบิลไปที่ธนาคาร ภายในสิ้นเดือนเราควรมีจำนวนเงินในบัญชีของเราซึ่งประกอบด้วยรูเบิลบวกดอกเบี้ย นั่นคือ:
เห็นด้วย?
เราสามารถดึงมันออกมาจากวงเล็บ แล้วเราจะได้:
เห็นด้วยสูตรนี้คล้ายกับที่เราเขียนไว้ตอนต้นแล้ว มันยังคงจัดการกับเปอร์เซ็นต์
ในเงื่อนไขของปัญหาเราจะบอกเกี่ยวกับประจำปี อย่างที่คุณทราบ เราไม่คูณด้วย - เราแปลงเปอร์เซ็นต์เป็น ทศนิยม, นั่นคือ:
ขวา? ถามว่าเอาเบอร์มาจากไหน? ง่ายมาก!
ฉันพูดซ้ำ: เงื่อนไขของปัญหาพูดเกี่ยวกับ ประจำปีดอกเบี้ยค้างจ่าย รายเดือน. อย่างที่คุณทราบ ในปีเดือนตามลำดับ ธนาคารจะคิดดอกเบี้ยส่วนหนึ่งจากเราต่อเดือน:
ที่ตระหนักรู้? ตอนนี้ลองเขียนว่าส่วนนี้ของสูตรจะเป็นอย่างไรถ้าฉันบอกว่าดอกเบี้ยคำนวณทุกวัน
คุณจัดการหรือไม่ ลองเปรียบเทียบผลลัพธ์:
ทำได้ดี! กลับไปที่งานของเรา: จดจำนวนเงินที่จะเข้าบัญชีของเราในเดือนที่สองโดยคำนึงถึงดอกเบี้ยที่เรียกเก็บจากจำนวนเงินฝากสะสม
นี่คือสิ่งที่เกิดขึ้นกับฉัน:
หรืออีกนัยหนึ่ง:
ฉันคิดว่าคุณได้สังเกตเห็นรูปแบบและเห็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตในทั้งหมดนี้แล้ว เขียนสิ่งที่สมาชิกจะเท่ากับหรืออีกนัยหนึ่งเราจะได้รับเงินเท่าไรในสิ้นเดือน
ทำ? กำลังตรวจสอบ!
อย่างที่คุณเห็น หากคุณใส่เงินในธนาคารเป็นเวลาหนึ่งปีด้วยดอกเบี้ยง่ายๆ คุณจะได้รับรูเบิลและถ้าคุณใส่ในอัตราทบต้น คุณจะได้รับรูเบิล ผลประโยชน์มีน้อย แต่จะเกิดขึ้นเฉพาะในช่วงปีที่ th แต่ในระยะยาว การใช้อักษรตัวพิมพ์ใหญ่จะทำกำไรได้มากกว่า:
พิจารณาปัญหาดอกเบี้ยทบต้นประเภทอื่น หลังจากที่คุณคิดออกแล้ว มันจะเป็นพื้นฐานสำหรับคุณ ดังนั้นงานคือ:
Zvezda เริ่มลงทุนในอุตสาหกรรมนี้ในปี 2000 ด้วยเงินทุนดอลลาร์ ทุกปีตั้งแต่ปี 2544 มีกำไรเท่ากับทุนของปีที่แล้ว บริษัท Zvezda จะได้รับผลกำไรเท่าใด ณ สิ้นปี 2546 หากกำไรไม่ถูกถอนออกจากการหมุนเวียน
เมืองหลวงของ บริษัท Zvezda ในปี 2543
- เมืองหลวงของ บริษัท Zvezda ในปี 2544
- เมืองหลวงของ บริษัท Zvezda ในปี 2545
- เมืองหลวงของ บริษัท Zvezda ในปี 2546
หรือเขียนสั้นๆว่า
สำหรับกรณีของเรา:
2543 2544 2545 และ 2546
ตามลำดับ:
รูเบิล
โปรดทราบว่าในปัญหานี้ เราไม่มีการหารด้วยหรือโดย เนื่องจากเปอร์เซ็นต์จะได้รับทุกปีและจะคำนวณทุกปี นั่นคือเมื่ออ่านปัญหาเกี่ยวกับดอกเบี้ยทบต้น ให้ใส่ใจกับเปอร์เซ็นต์ที่ได้รับและระยะเวลาที่เรียกเก็บ จากนั้นดำเนินการคำนวณต่อเท่านั้น
ตอนนี้คุณรู้ทุกอย่างเกี่ยวกับความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแล้ว
การฝึกอบรม.
- ค้นหาระยะของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตหากทราบ และ
- ค้นหาผลบวกของพจน์แรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต หากทราบเช่นนั้น และ
- MDM Capital เริ่มลงทุนในอุตสาหกรรมนี้ในปี 2546 ด้วยเงินทุนดอลลาร์ ทุกปีตั้งแต่ปี 2547 เธอทำกำไรได้เท่ากับทุนของปีที่แล้ว บริษัท "MSK Cash Flows" เริ่มลงทุนในอุตสาหกรรมนี้ในปี 2548 เป็นจำนวนเงิน 10,000 ดอลลาร์ โดยเริ่มทำกำไรในปี 2549 เป็นจำนวนเงิน ทุนของบริษัทหนึ่งมีมูลค่ามากกว่าของบริษัทอื่น ณ สิ้นปี 2550 เป็นกี่ดอลลาร์ หากกำไรไม่ถูกถอนออกจากการหมุนเวียน
คำตอบ:
- เนื่องจากเงื่อนไขของปัญหาไม่ได้บอกว่าความก้าวหน้านั้นไม่มีที่สิ้นสุดและจำเป็นต้องหาผลรวมของสมาชิกจำนวนหนึ่ง การคำนวณจึงดำเนินการตามสูตร:
บริษัท "MDM Capital":2546 2547 2548 2549 2550
- เพิ่มขึ้น 100% นั่นคือ 2 ครั้ง
ตามลำดับ:
รูเบิล
กระแสเงินสด MSK:2548 2549 2550
- เพิ่มขึ้นนั่นคือครั้ง
ตามลำดับ:
รูเบิล
รูเบิล
มาสรุปกัน
1) การก้าวหน้าทางเรขาคณิต ( ) คือลำดับตัวเลข ซึ่งพจน์แรกแตกต่างจากศูนย์ และแต่ละพจน์ที่เริ่มต้นจากพจน์ที่สองจะเท่ากับพจน์ก่อนหน้า คูณด้วยจำนวนเดียวกัน จำนวนนี้เรียกว่าตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
2) สมการของสมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต -
3) สามารถรับค่าใด ๆ ยกเว้นและ
- ถ้าสมาชิกที่ตามมาทั้งหมดของความก้าวหน้ามีเครื่องหมายเหมือนกัน - พวกเขา เชิงบวก;
- ถ้า จากนั้น สมาชิกที่ตามมาทั้งหมดของความก้าวหน้า สัญญาณอื่น;
- ใน - ความก้าวหน้าเรียกว่าลดลงอย่างไม่มีที่สิ้นสุด
4) ที่ เป็นคุณสมบัติของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต (คำใกล้เคียง)
หรือ
, ที่ (ระยะเท่ากัน)
เมื่อพบแล้วอย่าลืมสิ่งนั้น ควรมีสองคำตอบ.
ตัวอย่างเช่น,
5) ผลรวมของสมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคำนวณโดยสูตร:
หรือ
หรือ
สำคัญ!เราใช้สูตรสำหรับผลรวมของพจน์ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด ก็ต่อเมื่อเงื่อนไขระบุอย่างชัดเจนว่าเราจำเป็นต้องหาผลรวมของพจน์จำนวนไม่สิ้นสุด
6) งานสำหรับดอกเบี้ยทบต้นยังคำนวณโดยสูตรของสมาชิกตัวที่ th ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต โดยมีเงื่อนไขว่า เงินสดไม่ถอนออกจากการหมุนเวียน:
ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต สั้น ๆ เกี่ยวกับหลัก
ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต( ) เป็นลำดับตัวเลข พจน์แรกแตกต่างจากศูนย์ และแต่ละพจน์ที่เริ่มต้นจากพจน์ที่สองจะเท่ากับพจน์ก่อนหน้า คูณด้วยเลขเดียวกัน หมายเลขนี้เรียกว่า ตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
ตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตสามารถรับค่าใด ๆ ยกเว้นและ
- หากสมาชิกที่ตามมาทั้งหมดของความก้าวหน้ามีเครื่องหมายเหมือนกัน แสดงว่าเป็นบวก
- ถ้า จากนั้นสมาชิกที่ตามมาทั้งหมดของการก้าวหน้าสัญญาณอื่น;
- ใน - ความก้าวหน้าเรียกว่าลดลงอย่างไม่มีที่สิ้นสุด
สมการของสมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต - .
ผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคำนวณโดยสูตร:
หรือ
หากความก้าวหน้าลดลงอย่างไม่สิ้นสุด แสดงว่า:
บทความ 2/3 ที่เหลือมีให้เฉพาะนักเรียนที่เป็นคุณเท่านั้น!
มาเป็นนักเรียนของ YouClever
เตรียมพร้อมสำหรับ OGE หรือ USE ในวิชาคณิตศาสตร์ในราคา "กาแฟหนึ่งแก้วต่อเดือน"
และยังได้รับการเข้าถึงตำรา "YouClever" แบบไม่จำกัด โปรแกรมการฝึกอบรม "100gia" (หนังสือโซลูชัน) การทดลองใช้งานและ OGE แบบไม่จำกัด 6000 งานพร้อมการวิเคราะห์โซลูชันและบริการอื่นๆ ของ YouClever และ 100gia
>>คณิตศาสตร์: ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
เพื่อความสะดวกของผู้อ่าน ส่วนนี้ทำตามแผนเดียวกันกับที่เราทำในส่วนที่แล้ว
1. แนวคิดพื้นฐาน
คำนิยาม.ลำดับตัวเลข ซึ่งมีสมาชิกทั้งหมดแตกต่างจาก 0 และสมาชิกแต่ละตัวที่เริ่มต้นจากลำดับที่สองจะได้รับจากสมาชิกก่อนหน้าโดยการคูณด้วยจำนวนเดียวกันเรียกว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ในกรณีนี้ เลข 5 เรียกว่าตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
ดังนั้น ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจึงเป็นลำดับตัวเลข (b n) ที่กำหนดโดยความสัมพันธ์แบบวนซ้ำ
เป็นไปได้หรือไม่ที่พิจารณาจากลำดับตัวเลขว่าเป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิต สามารถ. หากคุณมั่นใจว่าอัตราส่วนของสมาชิกใดๆ ของลำดับต่อสมาชิกก่อนหน้ามีค่าคงที่ แสดงว่าคุณมีความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
ตัวอย่างที่ 1
1, 3, 9, 27, 81,... .
ข 1 = 1, คิว = 3.
ตัวอย่างที่ 2
นี่คือความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่
ตัวอย่างที่ 3
นี่คือความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่
ตัวอย่างที่ 4
8, 8, 8, 8, 8, 8,....
นี่คือความก้าวหน้าทางเรขาคณิตโดยที่ b 1 - 8, q = 1
โปรดทราบว่าลำดับนี้เป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ด้วย (ดูตัวอย่างที่ 3 จาก§ 15)
ตัวอย่างที่ 5
2,-2,2,-2,2,-2.....
นี่คือความก้าวหน้าทางเรขาคณิตซึ่ง b 1 \u003d 2, q \u003d -1
เห็นได้ชัดว่า ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือลำดับที่เพิ่มขึ้นถ้า b 1 > 0, q > 1 (ดูตัวอย่างที่ 1) และลำดับที่ลดลงถ้า b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).
เพื่อระบุว่าลำดับ (bn) เป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิต บางครั้งการใช้สัญลักษณ์ต่อไปนี้ก็สะดวก:
ไอคอนแทนที่วลี "ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต"
เราสังเกตเห็นคุณสมบัติที่แปลกประหลาดและในเวลาเดียวกันค่อนข้างชัดเจนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต:
ถ้าลำดับ เป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิต จากนั้นเป็นลำดับของกำลังสอง เช่น เป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
ในความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่สอง เทอมแรกเท่ากับ a เท่ากับ q 2
หากเราทิ้งเงื่อนไขทั้งหมดตาม bn เอ็กซ์โปเนนเชียล เราก็จะได้ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่จำกัด
ในย่อหน้าต่อไปนี้ของส่วนนี้ เราจะพิจารณามากที่สุด คุณสมบัติที่สำคัญความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
2. สูตรของเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
พิจารณาความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ตัวส่วน q เรามี:
เดาได้ไม่ยากว่าสำหรับ n จำนวนใดเท่ากัน
นี่คือสูตรสำหรับเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
ความคิดเห็น
หากคุณได้อ่านหมายเหตุสำคัญจากย่อหน้าก่อนหน้าและเข้าใจแล้ว ให้ลองพิสูจน์สูตร (1) โดยการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ เช่นเดียวกับที่ทำกับสูตรของพจน์ที่ n ของความก้าวหน้าทางเลขคณิต
ลองเขียนสูตรของเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตกันใหม่
และแนะนำสัญกรณ์: เราได้รับ y \u003d mq 2 หรือในรายละเอียดเพิ่มเติม
อาร์กิวเมนต์ x มีอยู่ในเลขยกกำลัง ดังนั้นฟังก์ชันดังกล่าวจึงเรียกว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ซึ่งหมายความว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่กำหนดบนเซต N ของจำนวนธรรมชาติ บนมะเดื่อ 96a แสดงกราฟของฟังก์ชันของรูปที่ 966 - กราฟฟังก์ชัน ในทั้งสองกรณี เรามีจุดแยก (โดยมี abscissas x = 1, x = 2, x = 3 เป็นต้น) อยู่บนเส้นโค้ง (ตัวเลขทั้งสองแสดงเส้นโค้งเดียวกัน เพียงแต่อยู่ในตำแหน่งที่แตกต่างกันและแสดงในมาตราส่วนที่ต่างกัน) เส้นโค้งนี้เรียกว่าเลขชี้กำลัง เพิ่มเติมเกี่ยวกับ ฟังก์ชันเลขชี้กำลังและกราฟิกของเธอจะถูกกล่าวถึงในหลักสูตรพีชคณิตเกรด 11
กลับไปที่ตัวอย่างที่ 1-5 จากย่อหน้าที่แล้ว
1) 1, 3, 9, 27, 81,... . นี่คือความก้าวหน้าทางเรขาคณิตซึ่ง b 1 \u003d 1, q \u003d 3 มาสร้างสูตรสำหรับเทอมที่ n
2) นี่คือความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ซึ่งเราจะสร้างเทอมที่ n กัน
นี่คือความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ เขียนสูตรสำหรับเทอมที่ n
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . นี่คือความก้าวหน้าทางเรขาคณิตซึ่ง b 1 \u003d 8, q \u003d 1 มาสร้างสูตรสำหรับเทอมที่ n
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... นี่คือความก้าวหน้าทางเรขาคณิต โดยที่ b 1 = 2, q = -1 เขียนสูตรสำหรับเทอมที่ n
ตัวอย่างที่ 6
กำหนดความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
ในทุกกรณี วิธีแก้ปัญหาจะขึ้นอยู่กับสูตรของสมาชิกตัวที่ n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
a) ใส่ n = 6 ในสูตรของเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต เราได้รับ
ข) เรามี
ตั้งแต่ 512 \u003d 2 9 เราได้ n - 1 \u003d 9, n \u003d 10
ง) เรามี
ตัวอย่างที่ 7
ผลต่างระหว่างสมาชิกลำดับที่เจ็ดและลำดับที่ห้าของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือ 48 ผลรวมของสมาชิกลำดับที่ห้าและหกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือ 48 เช่นกัน ค้นหาสมาชิกลำดับที่สิบสองของความก้าวหน้านี้
ขั้นตอนแรกการวาดแบบจำลองทางคณิตศาสตร์
เงื่อนไขของงานสามารถเขียนโดยสังเขปได้ดังนี้
เมื่อใช้สูตรของสมาชิกตัวที่ n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต เราได้รับ:
จากนั้นสามารถเขียนเงื่อนไขที่สองของปัญหา (b 7 - b 5 = 48) เป็น
เงื่อนไขที่สามของปัญหา (b 5 +b 6 = 48) สามารถเขียนได้เป็น
เป็นผลให้เราได้ระบบสองสมการที่มีตัวแปรสองตัว b 1 และ q:
ซึ่งเมื่อรวมกับเงื่อนไข 1) ที่เขียนไว้ด้านบน คือแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหา
ระยะที่สอง
ทำงานกับโมเดลที่คอมไพล์แล้ว เราได้รับส่วนด้านซ้ายของสมการทั้งสองของระบบเท่ากัน:
(เราได้แบ่งสมการทั้งสองข้างออกเป็นนิพจน์ b 1 q 4 ซึ่งแตกต่างจากศูนย์)
จากสมการ q 2 - q - 2 = 0 เราพบว่า q 1 = 2, q 2 = -1 แทนค่า q = 2 ลงในสมการที่สองของระบบ จะได้
แทนค่า q = -1 ลงในสมการที่สองของระบบ เราจะได้ b 1 1 0 = 48; สมการนี้ไม่มีคำตอบ
ดังนั้น b 1 \u003d 1, q \u003d 2 - คู่นี้เป็นคำตอบของระบบสมการที่รวบรวมไว้
ตอนนี้เราสามารถเขียนความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเกี่ยวกับเรื่องนี้ได้ ในคำถามในปัญหา: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .
ขั้นตอนที่สาม
คำตอบสำหรับคำถามปัญหา จำเป็นต้องคำนวณ b 12 . เรามี
คำตอบ: ข 12 = 2048
3. สูตรสำหรับผลรวมของสมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่มีขอบเขตจำกัด
ปล่อยให้มีความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ จำกัด
แสดงโดย Sn ผลรวมของเงื่อนไขเช่น
มาหาสูตรในการหาผลรวมนี้กัน
เริ่มจากกรณีที่ง่ายที่สุดเมื่อ q = 1 จากนั้นความก้าวหน้าทางเรขาคณิต b 1 ,b 2 , b 3 ,..., bn ประกอบด้วยตัวเลข n เท่ากับ b 1 เช่น ความก้าวหน้าคือ b 1 , b 2 , b 3 , ..., b 4 . ผลรวมของตัวเลขเหล่านี้คือ nb 1
ให้ q = 1 เพื่อค้นหา S n เราใช้วิธีการประดิษฐ์: มาทำการแปลงนิพจน์ S n q กัน เรามี:
ในการดำเนินการแปลง ก่อนอื่นเราใช้คำจำกัดความของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตตามที่ (ดูบรรทัดที่สามของเหตุผล) ประการที่สองพวกเขาเพิ่มและลบสาเหตุที่ความหมายของนิพจน์ไม่เปลี่ยนแปลง (ดูเหตุผลบรรทัดที่สี่); ประการที่สาม เราใช้สูตรของสมาชิกตัวที่ n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต:
จากสูตร (1) เราพบ:
นี่คือสูตรสำหรับผลรวมของสมาชิก n ตัวของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต (ในกรณีที่ q = 1)
ตัวอย่างที่ 8
กำหนดความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ จำกัด
a) ผลรวมของสมาชิกของความก้าวหน้า; b) ผลรวมของกำลังสองของเงื่อนไข
ข) ด้านบน (ดูหน้า 132) เราสังเกตแล้วว่าหากสมาชิกทั้งหมดของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเป็นแบบยกกำลังสอง ก็จะได้ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่มีสมาชิกตัวแรก b 2 และตัวส่วน q 2 จากนั้นผลรวมของคำศัพท์ทั้งหกของความก้าวหน้าใหม่จะถูกคำนวณโดย
ตัวอย่างที่ 9
ค้นหาเทอมที่ 8 ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
อันที่จริง เราได้พิสูจน์ทฤษฎีบทต่อไปนี้แล้ว
ตัวเลข ลำดับคือความก้าวหน้าทางเรขาคณิตก็ต่อเมื่อกำลังสองของแต่ละเทอม ยกเว้นทฤษฎีบทแรก (และสุดท้าย ในกรณีของลำดับจำกัด) มีค่าเท่ากับสินค้าคำก่อนหน้าและคำถัดไป (คุณสมบัติเฉพาะของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต)
ตัวอย่างของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต: 2, 6, 18, 54, 162.
ในที่นี้ แต่ละเทอมหลังจากเทอมแรกเท่ากับ 3 คูณเทอมก่อนหน้า นั่นคือ แต่ละเทอมที่ตามมาเป็นผลมาจากการคูณเทอมก่อนหน้าด้วย 3:
2 3 = 6
6 3 = 18
18 3 = 54
54 3 = 162 .
ในตัวอย่างของเรา เมื่อหารเทอมที่สองด้วยเทอมแรก เทอมที่สามด้วยเทอมที่สอง และอื่นๆ เราได้ 3 เลข 3 คือตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตนี้
ตัวอย่าง:
กลับไปที่ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตของเรา 2, 6, 18, 54, 162 ลองนำเทอมที่สี่มายกกำลังสอง:
54 2 = 2916.
ตอนนี้เราคูณเงื่อนไขทางซ้ายและขวาของจำนวน 54:
18 162 = 2916.
อย่างที่คุณเห็น กำลังสองของเทอมที่สามจะเท่ากับผลคูณของเทอมที่สองและสี่ที่อยู่ติดกัน
ตัวอย่างที่ 1: ลองมาดูความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ซึ่งเทอมแรกเท่ากับ 2 และตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเท่ากับ 1.5 เราต้องหาเทอมที่ 4 ของความก้าวหน้านี้
ที่ให้ไว้:
ข 1 = 2
ถาม = 1,5
น = 4
————
ข 4 - ?
สารละลาย.
การนำสูตรไปใช้ ข n= ข 1 คิว น- 1 แทรกค่าที่เหมาะสมลงไป:
ข 4 \u003d 2 1.5 4 - 1 \u003d 2 1.5 3 \u003d 2 3.375 \u003d 6.75
คำตอบ: เทอมที่สี่ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่กำหนดคือหมายเลข 6.75
ตัวอย่างที่ 2: ค้นหาสมาชิกตัวที่ 5 ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ถ้าสมาชิกตัวที่ 1 และ 3 คือ 12 และ 192 ตามลำดับ
ที่ให้ไว้:
ข 1 = 12
ข 3 = 192
————
ข 5 - ?
สารละลาย.
1) ก่อนอื่นเราต้องหาตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตโดยที่ไม่สามารถแก้ปัญหาได้ ในขั้นแรก โดยใช้สูตรของเรา เราได้สูตรสำหรับ b 3:
ข 3 = ข 1 คิว 3 - 1 = ข 1 คิว 2
ตอนนี้เราสามารถหาส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตได้แล้ว:
ข 3 192
ถาม 2 = —— = —— = 16
ข 1 12
ถาม= √16 = 4 หรือ -4
2) มันยังคงค้นหาค่า ข 5 .
ถ้า ถาม= 4 แล้ว
ข 5 = ข 1 คิว 5-1 = 12 4 4 = 12 256 = 3072
ที่ ถาม= -4 ผลลัพธ์จะเหมือนกัน ดังนั้นปัญหาจึงมีทางออกเดียว
คำตอบ: เทอมที่ห้าของการก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่กำหนดคือหมายเลข 3072
ตัวอย่าง: หาผลรวมของค่าห้าพจน์แรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ( ข n) ซึ่งเทอมแรกเท่ากับ 2 และตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือ 3
ที่ให้ไว้:
ข 1 = 2
ถาม = 3
น = 5
————
ส 5 - ?
สารละลาย.
เราใช้สูตรที่สองของทั้งสองด้านบน:
ข 1 (ถาม 5 - 1) 2 (3 5 - 1) 2 (243 - 1) 484
ส 5 = ————— = ————— = ———————— = ————— = 242
ถาม - 1 3 - 1 2 2
คำตอบ: ผลบวกของห้าพจน์แรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่กำหนดคือ 242
ผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ไม่สิ้นสุด
จำเป็นต้องแยกความแตกต่างระหว่างแนวคิดของ "ผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ไม่มีที่สิ้นสุด" และ "ผลรวม นสมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต แนวคิดที่สองหมายถึงความก้าวหน้าทางเรขาคณิตใดๆ และแนวคิดแรก - เฉพาะแนวคิดที่ตัวส่วนน้อยกว่า 1 โมดูโล
ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือลำดับตัวเลข ซึ่งพจน์แรกไม่เป็นศูนย์ และแต่ละพจน์ถัดไปจะเท่ากับพจน์ก่อนหน้าคูณด้วยจำนวนเดียวกันที่ไม่ใช่ศูนย์
ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแสดงแทน b1,b2,b3, …, พันล้าน, ….
อัตราส่วนของพจน์ใดๆ ของความคลาดเคลื่อนทางเรขาคณิตต่อพจน์ก่อนหน้าจะเท่ากับจำนวนเดียวกัน นั่นคือ b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+ 1)/พันล้าน = …. สิ่งนี้ตามมาโดยตรงจากคำจำกัดความของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ จำนวนนี้เรียกว่าตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต โดยปกติตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจะแสดงด้วยตัวอักษร q
ลำดับโมโนโทนิกและคงที่
วิธีหนึ่งในการตั้งค่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือตั้งค่าเทอมแรก b1 และตัวส่วนของค่าความคลาดเคลื่อนทางเรขาคณิต q ตัวอย่างเช่น b1=4, q=-2 เงื่อนไขทั้งสองนี้ให้ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเป็น 4, -8, 16, -32, …
ถ้า q>0 (q ไม่เท่ากับ 1) แสดงว่ามีความก้าวหน้า ลำดับเสียงเดียวตัวอย่างเช่น ลำดับ 2, 4,8,16,32, ... เป็นลำดับที่เพิ่มขึ้นแบบโมโนโทนิก (b1=2, q=2)
ถ้าตัวส่วน q=1 ในข้อผิดพลาดทางเรขาคณิต สมาชิกทั้งหมดของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจะเท่ากัน ในกรณีเช่นนี้ กล่าวกันว่า ความก้าวหน้าเป็นไป ลำดับคงที่
สูตรของสมาชิกตัวที่ n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
เพื่อให้ลำดับตัวเลข (bn) เป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิต จำเป็นที่สมาชิกแต่ละตัว เริ่มจากลำดับที่สอง เป็นค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตของสมาชิกข้างเคียง นั่นคือจำเป็นต้องเติมเต็มสมการต่อไปนี้
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2) สำหรับ n>0 ใดๆ โดยที่ n อยู่ในเซต จำนวนธรรมชาติเอ็น
สูตรสำหรับสมาชิกตัวที่ n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือ:
bn=b1*q^(n-1),
โดยที่ n อยู่ในเซตของจำนวนธรรมชาติ N
สูตรสำหรับผลรวมของ n พจน์แรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
สูตรสำหรับผลรวมของ n เทอมแรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือ:
Sn = (bn*q - b1)/(q-1) โดยที่ q ไม่เท่ากับ 1
พิจารณาตัวอย่างง่ายๆ:
ในความก้าวหน้าทางเรขาคณิต b1=6, q=3, n=8 ค้นหา Sn
ในการหา S8 เราใช้สูตรสำหรับผลรวมของ n พจน์แรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
S8= (6*(3^8 -1))/(3-1) = 19680
22.09.2018 22:00ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตพร้อมกับเลขคณิตเป็นชุดตัวเลขที่สำคัญซึ่งมีการศึกษาใน หลักสูตรของโรงเรียนพีชคณิตในเกรด 9 ในบทความนี้ เราจะพิจารณาตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต และค่าของมันส่งผลต่อคุณสมบัติของมันอย่างไร
ความหมายของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
เริ่มต้นด้วยการให้คำจำกัดความของชุดตัวเลขนี้ ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเป็นชุด สรุปตัวเลขซึ่งเกิดจากการคูณองค์ประกอบแรกตามลำดับด้วย จำนวนคงที่ซึ่งเรียกว่าตัวส่วน
ตัวอย่างเช่น ตัวเลขในชุด 3, 6, 12, 24, ... เป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิต เพราะหากเราคูณ 3 (องค์ประกอบแรก) ด้วย 2 เราจะได้ 6 ถ้าเราคูณ 6 ด้วย 2 เราจะได้ 12 และอื่นๆ
สมาชิกของลำดับที่กำลังพิจารณามักจะแสดงด้วยสัญลักษณ์ ai โดยที่ i เป็นจำนวนเต็มที่ระบุจำนวนขององค์ประกอบในอนุกรม
คำจำกัดความข้างต้นของความก้าวหน้าสามารถเขียนในภาษาคณิตศาสตร์ได้ดังนี้: an = bn-1 * a1 โดยที่ b คือตัวส่วน ง่ายต่อการตรวจสอบสูตรนี้: ถ้า n = 1 แล้ว b1-1 = 1 และเราจะได้ a1 = a1 ถ้า n = 2 แล้ว an = b * a1 และเรามาถึงคำจำกัดความของชุดตัวเลขที่กำลังพิจารณาอีกครั้ง การให้เหตุผลที่คล้ายกันสามารถดำเนินการต่อได้สำหรับค่า n ที่มาก
ตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
ตัวเลข b เป็นตัวกำหนดว่าชุดตัวเลขทั้งหมดจะมีอักขระใด ตัวส่วน b สามารถเป็นบวก ลบ หรือมากกว่าหรือน้อยกว่าหนึ่ง ตัวเลือกทั้งหมดข้างต้นนำไปสู่ลำดับที่แตกต่างกัน:
- b > 1. จำนวนตรรกยะมีจำนวนเพิ่มขึ้น ตัวอย่างเช่น 1, 2, 4, 8, ... หากองค์ประกอบ a1 เป็นค่าลบ ลำดับทั้งหมดจะเพิ่มเฉพาะโมดูโล แต่จะลดลงโดยคำนึงถึงเครื่องหมายของตัวเลข
- b = 1 บ่อยครั้งที่กรณีดังกล่าวไม่เรียกว่าความก้าวหน้า เนื่องจากมีชุดจำนวนตรรกยะที่เหมือนกันอยู่ทั่วไป ตัวอย่างเช่น -4, -4, -4
สูตรสำหรับผลรวม
ก่อนดำเนินการพิจารณาปัญหาเฉพาะโดยใช้ตัวส่วนของประเภทของความก้าวหน้าภายใต้การพิจารณา ควรนำ สูตรสำคัญสำหรับผลรวมของสมาชิก n ตัวแรก สูตรคือ: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1)
คุณสามารถรับนิพจน์นี้ได้ด้วยตนเองหากคุณพิจารณาลำดับการเรียกซ้ำของสมาชิกของความก้าวหน้า โปรดทราบว่าในสูตรข้างต้น การรู้เฉพาะองค์ประกอบแรกและตัวส่วนก็เพียงพอที่จะหาผลรวมของจำนวนคำศัพท์ตามอำเภอใจ
ลดลงอย่างไม่มีที่สิ้นสุด
ด้านบนคือคำอธิบายว่ามันคืออะไร ตอนนี้รู้สูตรสำหรับ Sn แล้ว ลองใช้มันกับชุดตัวเลขนี้ เนื่องจากจำนวนใดๆ ที่มีโมดูลัสไม่เกิน 1 มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์เมื่อยกกำลังสูง นั่นคือ b∞ => 0 ถ้า -1
เนื่องจากความแตกต่าง (1 - b) จะเป็นค่าบวกเสมอ โดยไม่คำนึงถึงค่าของตัวส่วน เครื่องหมายของผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด S∞ ถูกกำหนดโดยเครื่องหมายขององค์ประกอบแรก a1
ตอนนี้เราจะพิจารณาปัญหาต่าง ๆ ซึ่งเราจะแสดงวิธีใช้ความรู้ที่ได้รับกับตัวเลขเฉพาะ
งานหมายเลข 1 การคำนวณองค์ประกอบที่ไม่รู้จักของความก้าวหน้าและผลรวม
จากความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ตัวส่วนของความก้าวหน้าคือ 2 และองค์ประกอบแรกคือ 3 พจน์ที่ 7 และ 10 จะเป็นเท่าใด และผลรวมขององค์ประกอบเริ่มต้นทั้งเจ็ดจะเป็นเท่าใด
เงื่อนไขของปัญหาค่อนข้างง่ายและเกี่ยวข้องกับการใช้สูตรข้างต้นโดยตรง ดังนั้น ในการคำนวณองค์ประกอบที่มีหมายเลข n เราใช้นิพจน์ an = bn-1 * a1 สำหรับองค์ประกอบที่ 7 เรามี: a7 = b6 * a1 แทนข้อมูลที่ทราบ เราได้: a7 = 26 * 3 = 192 เราทำเช่นเดียวกันกับสมาชิกที่ 10: a10 = 29 * 3 = 1536
เราใช้สูตรผลรวมที่รู้จักกันดีและกำหนดค่านี้สำหรับ 7 องค์ประกอบแรกของชุดข้อมูล เรามี: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381
งานหมายเลข 2 การหาผลรวมขององค์ประกอบโดยพลการของความก้าวหน้า
ให้ -2 เป็นตัวส่วนของการก้าวหน้าแบบเลขชี้กำลัง bn-1 * 4 โดยที่ n เป็นจำนวนเต็ม มีความจำเป็นต้องกำหนดผลรวมจากองค์ประกอบที่ 5 ถึง 10 ของชุดนี้รวมอยู่ด้วย
ปัญหาที่เกิดขึ้นไม่สามารถแก้ไขได้โดยตรงโดยใช้สูตรที่รู้จัก สามารถแก้ไขได้ 2 วิธี เพื่อความสมบูรณ์เรานำเสนอทั้งสองอย่าง
วิธีที่ 1 แนวคิดนั้นง่ายมาก คุณต้องคำนวณผลบวกสองค่าที่สอดคล้องกันของพจน์แรก แล้วลบอีกพจน์หนึ่งออกจากหนึ่ง คำนวณผลรวมที่น้อยกว่า: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364 ตอนนี้เราคำนวณผลรวมใหญ่: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20 โปรดทราบว่าในนิพจน์สุดท้าย มีการสรุปผลรวมเพียง 4 คำ เนื่องจากคำที่ 5 ได้รวมอยู่ในผลรวมที่ต้องคำนวณตามเงื่อนไขของปัญหาแล้ว สุดท้าย เราหาความแตกต่าง: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344
วิธีที่ 2 ก่อนแทนที่ตัวเลขและนับ คุณสามารถรับสูตรสำหรับผลรวมระหว่างเทอม m และ n ของอนุกรมที่เป็นปัญหา เราดำเนินการในลักษณะเดียวกับวิธีที่ 1 ทุกประการ เพียงแต่เราดำเนินการก่อนด้วยการแสดงสัญลักษณ์ของผลรวม เรามี: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . คุณสามารถแทนจำนวนที่ทราบลงในนิพจน์ผลลัพธ์และคำนวณผลลัพธ์สุดท้าย: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344
งานหมายเลข 3 ตัวส่วนคืออะไร?
ให้ a1 = 2 หาตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต โดยมีเงื่อนไขว่าผลรวมอนันต์ของมันคือ 3 และเป็นที่ทราบกันดีว่านี่คือชุดตัวเลขที่ลดลง
ตามเงื่อนไขของโจทย์เดาได้ไม่ยากว่าควรใช้สูตรไหนแก้ แน่นอนสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด เรามี: S∞ = a1 / (1 - b) จากที่เราแสดงตัวส่วน: b = 1 - a1 / S∞ มันยังคงทดแทน ค่าที่ทราบและรับจำนวนที่ต้องการ: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 หรือ -0.333(3) เราสามารถตรวจสอบผลลัพธ์นี้ในเชิงคุณภาพได้หากเราจำได้ว่าสำหรับลำดับประเภทนี้ โมดูลัส b ต้องไม่เกิน 1 อย่างที่คุณเห็น |-1 / 3|
งานหมายเลข 4 การกู้คืนชุดของตัวเลข
ให้กำหนด 2 องค์ประกอบของอนุกรมตัวเลข เช่น ตัวที่ 5 เท่ากับ 30 และตัวที่ 10 เท่ากับ 60 จำเป็นต้องกู้คืนข้อมูลทั้งชุดจากข้อมูลเหล่านี้ โดยรู้ว่าเป็นไปตามคุณสมบัติของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
ในการแก้ปัญหา ก่อนอื่นคุณต้องจดนิพจน์ที่เกี่ยวข้องสำหรับสมาชิกที่รู้จักแต่ละคน เรามี: a5 = b4 * a1 และ a10 = b9 * a1 ตอนนี้เราแบ่งนิพจน์ที่สองด้วยอันแรก เราได้: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5 จากที่นี่ เราจะหาตัวส่วนโดยใช้รากระดับที่ห้าของอัตราส่วนของสมาชิกที่ทราบจากเงื่อนไขของปัญหา b = 1.148698 เราแทนจำนวนผลลัพธ์เป็นหนึ่งในนิพจน์สำหรับองค์ประกอบที่ทราบ เราได้รับ: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966
ดังนั้นเราจึงพบว่าตัวส่วนของความก้าวหน้า BN คืออะไร และความก้าวหน้าทางเรขาคณิต bn-1 * 17.2304966 = an โดยที่ b = 1.148698
ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตใช้ที่ไหน?
หากไม่มีการประยุกต์ใช้ชุดตัวเลขนี้ในทางปฏิบัติ การศึกษาจะลดลงเหลือเพียงความสนใจทางทฤษฎีเท่านั้น แต่มีแอปพลิเคชันดังกล่าว
3 ตัวอย่างที่โด่งดังที่สุดมีดังต่อไปนี้:
- ความขัดแย้งของ Zeno ซึ่ง Achilles ที่ว่องไวไม่สามารถไล่ตามเต่าที่เชื่องช้าได้ ได้รับการแก้ไขโดยใช้แนวคิดของลำดับตัวเลขที่ลดลงอย่างไม่มีที่สิ้นสุด
- หากวางเมล็ดข้าวสาลีในแต่ละเซลล์ของกระดานหมากรุกเพื่อให้วางเมล็ดข้าวสาลี 1 เม็ดลงในเซลล์ที่ 1, 2 - ที่ 2, 3 - ที่ 3 และอื่น ๆ ดังนั้น 18446744073709551615 จะต้องใช้ธัญพืชเพื่อเติมเซลล์ทั้งหมดของ คณะกรรมการ!
- ในเกม "Tower of Hanoi" ในการจัดเรียงดิสก์ใหม่จากแท่งหนึ่งไปยังอีกแท่งหนึ่งจำเป็นต้องดำเนินการ 2n - 1 นั่นคือจำนวนของดิสก์จะเพิ่มขึ้นแบบทวีคูณจากจำนวนดิสก์ที่ใช้ n
ถนนเคียฟยาน 16 0016 อาร์เมเนีย เยเรวาน +374 11 233 255