สมการและกราฟของโซ่ ยกระดับการศึกษาของคุณด้วยความรู้เกี่ยวกับโซ่
อีกวิธีหนึ่งในการวาดลวดลายบนปริซึมมีดังนี้ ตอกตะปูสองตัวบนกำแพงทีละตัวเหนือโกริโซนและอยู่ห่างจากกันเพื่อที่จะได้เท่ากับความกว้างสองเท่าของมุมสี่เหลี่ยมที่ต้องการสร้าง ปา-รา-โบ-ลู; ระหว่างอันหนึ่งกับอีกอันหนึ่งมีตะปูอยู่ใต้น้ำหนักของโซ่บาง ๆ ซึ่งจะห้อยลงมาและยาวมาก เราต้องการให้จุดต่ำสุดอยู่ห่างจากระดับตะปูในระยะห่างเท่ากับความยาวของปริซึม โซ่เล็กๆ นี้เต็มไปด้วยความโหยหา อาศัยอยู่ในวิ-เด-ปา-รา-โบ-ลี ดังนั้น เมื่อทำเครื่องหมายจุดบนผนังด้วยเครื่องหมายดอทแล้ว เราก็จะได้ปา-รา-โบ-ลูเต็ม , ra-se-ka-e-muu-lam per-pen-di-ku-la-rom, pro-ve-den-nym ผ่านเส้น se-re-di-well เชื่อมต่อตะปูทั้งสองข้าง กาลิเลโอ กาลิเลอี.“บี-เซ-ดี และ มา-เท-มา-ติ-เช-สกี-คา-ซา-เทล-สวา…” 1638.
วันหนึ่งอาจารย์ทำผิดพลาด จะมีความแตกต่างเล็กน้อยระหว่าง pa-ra-bo-loy และ li-ni-her pro-vis-shay chain เพียงครึ่งศตวรรษต่อมา Johann Ber-nul-li, Got-f-ri-dom Leib-nitz และ Christ-a-nom Guy-gen-som กลายเป็นคุณ-เดอ-เด- แต่เป็นสมการ "เส้นลูกโซ่" พารามิเตอร์ที่เกี่ยวข้องซึ่งเป็นไปได้ที่จะได้รับเส้นโค้งที่แตกต่างกันของประสิทธิภาพของวงจร เราเป็นหนี้ที่มาของชื่อ "chain line" ของ Guy-gen-su
ตามแนวนี้ไม่เพียง แต่โซ่จะแขวนเท่านั้น แต่ยังรวมถึงด้ายที่ไม่ยืดที่คล้ายกันอื่น ๆ ภายใต้การกระทำของแรงหนัก sti ตัวอย่างเช่น คุณสามารถสังเกตเส้นโค้งนี้ขณะเยี่ยมชมพิพิธภัณฑ์ได้
เปอร์-เร-เวอร์-เนม นา-ชู การ์-ติ-นู.
หากคุณใช้พารามิเตอร์ในสมการ จุดศูนย์กลางของสี่เหลี่ยมจัตุรัสโดยไม่มีส่วนเสริมใด ๆ - หินเลื่อนไปตามส่วนโค้งของเส้นโซ่จะเคลื่อนที่เท่า ๆ กันเป็นเส้นตรง!
มาติดตามความเคลื่อนไหวของจุดยอดจุดหนึ่งของจัตุรัสกัน เส้นโค้งนี้ไม่ตัดกันที่ใดก็ได้กับเส้นโซ่ แต่นั่นหมายความว่าในรถเข็น มันอยู่บนล้อสี่เหลี่ยม เราทำได้! ในกรณีนี้ระยะห่างระหว่างเพลาของรถเข็นไม่จำเป็นต้องเท่ากับความกว้างของโหนกของเส้นโซ่หลายเท่า - ล้อสามารถเดินได้ในระยะต่างๆ
เราเรียนรู้ที่จะขับรถบนล้อสี่เหลี่ยม ปรากฎว่าคุณสามารถขับบนล้อที่ดูเหมือนถ่านหินในปริมาณที่เหมาะสมได้ ถนนไม่ควรเรียบเสมอกันโดยสมบูรณ์ - ในรูปแบบของเส้นลูกโซ่ที่มีค่าพาราเมตร สำหรับ -vi ขึ้นอยู่กับจำนวนมุม เมื่อปริมาณถ่านหินที่เหมาะสมเข้าใกล้วงกลมและสอดคล้องกับ -ra-met-ra ของ ar-ki ของสายโซ่จะยังคงต่ำกว่า และความยาวของ go-ri-zon-tal ของส่วนนี้เป็นสิ่งจำเป็น-ho-di - อาจมีถ่านหินจำนวนมากในเทิร์นหนึ่ง มันจะเข้าใกล้ความยาวของวงกลมมากขึ้น นี่คือวิวัฒนาการของป่าไม้ ซึ่งแตกต่างจากถ่านหินจำนวนมากที่เดินทางไปตามห่วงโซ่ li-nii ที่รู้วิธีการทำงาน
ทั้งสองด้านตั้งอยู่ในระนาบขนานกันมีแผ่นฟิล์มสบู่ ฟิล์มสบู่เป็นวัตถุที่น่าประหลาดใจ เธอมีน้ำหนักเบาความแข็งแกร่งภายในนั้นแข็งแกร่งกว่าความแข็งแกร่งของแรงโน้มถ่วงมากและด้วยเหตุนี้การถูกจองจำจึงอยู่กับเธอเสมอนี่คือลักษณะของพื้นผิวที่มีพื้นที่ขนาดเล็กขนาดเล็กภายใต้เงื่อนไขขอบเขตที่กำหนด
ฟิล์มสบู่อยู่ได้ยังไงละลายหลังมือ? ปรากฎว่านี่จะเป็นพื้นผิวที่เกิดจากการหมุนของเส้นโซ่! หากคุณเปลี่ยนระยะห่างระหว่างพื้นผิวเรียบพื้นผิวก็จะเปลี่ยนไปเช่นกัน แต่โปรไฟล์ของมันจะอยู่ในรูปของเส้นลูกโซ่ตามความยาวที่กำหนดเสมอซึ่งแขวนอยู่ในตำแหน่งที่เหมาะสมของโต๊ะผู้หญิง ก่อนที่สิ่งนี้จะเกิดขึ้นในปี ค.ศ. 1744 ลีโอนาร์ด ออยเลอร์ในงานของเขาเรื่อง “วิธีการหาเส้นโค้ง ออบ-ลา-ดา-ยู” - คุณสมบัติของมักซีมูมาหรือมิ-นิ-มู-มา” และเรียกสิ่งนี้ว่า พื้นผิวของตัวเอง ka-te-no-id (lat. catena - chain; กรีก έιδος - มุมมอง)
วรรณกรรม
จี. กาลิลี. Be-se-dy และ ma-te-ma-ti-che-skie do-ka-za-tel-stva, ka-sa-yu-schi-e-sya ของสองใหม่จากการแข่งขัน on-u -ki จาก-โน-ซยา-ซยา ถึง เม-ฮา-นิ-เค และสถานที่-โน-มู-การเคลื่อนไหว ซี-นโย-รา กา-ลี-ลีโอ กา-ลี-เลยยา ลิน-ชอ, ฟิโล-โซ-ฟา และเปอร์- โว-โก มา-เท-มา-ติ-กา ไลท์-เล-เธอ-โก เว-ลิ-โค-โก เธอ-โซ-กา ทอส-กัน-สโค-โก พร้อมแอพพลิเคชั่นเกี่ยวกับจุดศูนย์ถ่วงของวัตถุต่างๆ M.-L.: สิ่งพิมพ์ทางเทคนิคของรัฐ, 1934. หน้า 273-274.
สายโซ่– เส้นโค้งเหนือธรรมชาติแบบแบน ซึ่งมีรูปร่างภายใต้อิทธิพลของแรงโน้มถ่วงด้วยด้าย (โซ่) ที่เป็นเนื้อเดียวกัน ยืดหยุ่น และยืดไม่ได้และมีปลายคงที่ (ดูรูปที่ 10)
เพื่อให้ได้สมการของเส้นโซ่ เราจะเลือกองค์ประกอบที่มีขนาดเล็กที่สุดของเกลียวจากจุด A (x, y) ไปยังจุด B (x+dx, y+dy) และพิจารณาระบบแรงที่กระทำต่อมัน
ข้าว. 10
ที่จุด A ความตึงจะกระทำต่อเกลียว โดยพุ่งเข้าหาเส้นโค้งในแนวสัมผัส ให้เราแสดงโดย และส่วนประกอบตามแกนพิกัด ดังนั้น ณ จุด B จึงเกิดความตึงเครียดกับส่วนประกอบ และ นอกจากนี้ องค์ประกอบ AB ยังอยู่ภายใต้แรงโน้มถ่วง ซึ่งชี้ลงในแนวตั้งลงในแนวตั้งและมีค่าเท่ากันในค่าสัมบูรณ์ p=qds โดยที่ ds คือส่วนต่างของส่วนโค้ง AB และ q คือน้ำหนักของความยาวหนึ่งหน่วยของเกลียว เพื่อให้ระบบแรงอยู่ในสมดุล จำเป็นและเพียงพอที่ผลรวมของเส้นโครงที่ตกกระทบแต่ละแกนของทั้งหมด กองกำลังที่ใช้งานอยู่มีค่าเท่ากับศูนย์ เราได้รับสมการประมาณการแรงบนแกน Ox ให้เป็นศูนย์:
H+(H+dH)=0 หรือ dH=0,
เหล่านั้น. องค์ประกอบแนวนอนของความตึงด้ายเป็นค่าคงที่
เราได้รับแรงฉายไปที่แกน Oy:
V-qds+(V+dV)=0 หรือ dV=qds
ในทางกลับกัน แทนด้วย "a" มุมที่เกิดจากเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด A กับแกน Ox เราได้รับ:
ลองแยกความแตกต่างความเท่าเทียมกันสุดท้ายด้วยความเคารพ x โดยคำนึงถึงว่า H=const:
เมื่อพิจารณาว่า dV=qds และ (ดู) เราได้รับสิ่งต่อไปนี้ สมการเชิงอนุพันธ์: โดยที่มันถูกทำเครื่องหมายว่าค้นหา การตัดสินใจร่วมกัน สมการที่กำหนด. เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะทำการทดแทน: . จากนั้นสมการจะอยู่ในรูปแบบ: . เมื่อรวมความเสมอภาคสุดท้ายกับ x เราจะได้: เพราะฉะนั้น และในที่สุดก็:
เรามีครอบครัวสายโซ่ โดยการเลือกค่าคงที่ใดๆ c1 และ c2 เพื่อให้ตรงตามเงื่อนไขเริ่มต้น เราจะได้สมการที่จำเป็นสำหรับเส้นย้อยของเธรด
สมมติว่าค่าคงที่ c1 และ c2 ถูกเลือกไว้แล้ว สมการ catenary สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้ มาแปลงพิกัดกัน: เช่น จุด (-c1, c2) ถือเป็นจุดกำเนิดใหม่ ใน ระบบใหม่พิกัด สมการของเส้นลูกโซ่ซึ่งคงสัญกรณ์เดียวกันสำหรับพิกัดใหม่จะอยู่ในรูปแบบ:
หากเราใช้จุดล่างสุดของเส้นลูกโซ่เป็นจุดเริ่มต้นของพิกัด ดังนั้น c1=0, c2=a และสุดท้ายสมการของเส้นลูกโซ่จะอยู่ในรูปแบบ:
ผู้เยี่ยมชมพิพิธภัณฑ์จำนวนมากที่ผลงานสถาปัตยกรรมชิ้นเอกที่มีชื่อเสียงที่สุดของ Antonio Gaudi (Antoni Plàcid Guillem Gaudí i Cornet, 1852-1926) ในบาร์เซโลนา - โบสถ์แห่งครอบครัวศักดิ์สิทธิ์ (Sagrada Familia) - สามารถมองเห็นโครงสร้างที่ค่อนข้างแปลกที่ทำจากโซ่และ น้ำหนัก นิทรรศการนี้มาพร้อมกับคำอธิบาย: นี่คือวิธีที่สถาปนิกที่เรียนรู้ด้วยตนเองผู้เก่งกาจค้นพบ แบบฟอร์มที่ถูกต้องสำหรับห้องนิรภัยของโบสถ์ เขาไม่มีคอมพิวเตอร์ที่จะให้เขาคำนวณการกระจายโหลด และไม่น่าเป็นไปได้ที่เขาจะสามารถเขียนสูตรทั้งหมดได้อย่างถูกต้อง วิธีการที่เขาคิดค้นนั้นง่ายกว่ามากและมีประสิทธิภาพมากกว่า เห็นได้ชัดว่านี่คือวิธีที่เกาดีสร้างผลงานก่อนหน้านี้ของเขาได้สำเร็จ แต่คริสตจักรแห่งครอบครัวศักดิ์สิทธิ์อยู่ระหว่างการก่อสร้างมาเป็นเวลา 127 ปีแล้ว และยังไม่เสร็จสมบูรณ์ วันที่ในแง่ดีที่สุดคือปี 2026 แม้ว่าวันนี้จะอยู่ไกลมากจนยากที่จะรับรองความถูกต้องก็ตาม สิ่งเดียวที่คุณสามารถมั่นใจได้ไม่มากก็น้อยก็คือตั้งแต่เดือนกันยายนปีนี้ สถานที่บางแห่งจะเหมาะสำหรับการใช้บริการตามปกติ
เป็นเรื่องปกติที่จะถามคำถาม: วิธีการที่อัจฉริยะชาวคาตาลันเลือกนั้นเพียงพอสำหรับปัญหาที่กำลังแก้ไขมากน้อยเพียงใด เกาดีมองหารูปทรงที่เขาต้องการในกระจก ซึ่งสะท้อนให้เห็นเชือกและตุ้มน้ำหนักที่จัดเรียงอย่างชาญฉลาดซึ่งเชื่อมต่อกัน โดยเลือกรูปทรงเหล่านั้นเพื่อ แบบฟอร์มทั่วไปสอดคล้องกับปัญหาด้านสุนทรียภาพที่กำลังแก้ไข และเชื่อว่าส่วนกลไกของปัญหาจะได้รับการแก้ไขโดยอัตโนมัติ เป็นไปได้ไหมที่จะทำเช่นนี้? หรือสาเหตุของระยะเวลาการก่อสร้างที่ยาวนานเป็นประวัติการณ์นั้นเกิดจากความบกพร่องของกลยุทธ์การออกแบบที่เลือก? แต่ทำไมมันถึงได้ผลกับโครงการอื่น ๆ ที่มีความทะเยอทะยานน้อยกว่า? การสำรวจกลศาสตร์และประวัติความเป็นมาสั้นๆ จะช่วยตอบคำถามเหล่านี้ได้ในระดับหนึ่ง
ประตูสู่ทิศตะวันตก
ไม่มีใครรู้ว่าใครก่อนเกาดีพยายามสร้างแบบจำลองกลับหัวของอาคารในอนาคตด้วยการแขวนตุ้มน้ำหนักไว้บนเส้นด้าย แต่สถาปนิกสมัยใหม่บางคนก็ใช้วิธีนี้ บนชายฝั่งของเมืองเซนต์หลุยส์มีประตูโค้งอันงดงามตระการตา ซึ่งสูง 630 ฟุต ซึ่งเป็นสัญลักษณ์ของจุดเปลี่ยนใน ประวัติศาสตร์อเมริกาและภูมิศาสตร์ ครั้งหนึ่งเซนต์หลุยส์เชื่อมโยงดินแดนที่มีประชากรค่อนข้างหนาแน่นทางตะวันออกของแม่น้ำมิสซิสซิปปี้กับป่าอันกว้างใหญ่อันกว้างใหญ่ของตะวันตก
ซุ้มประตูนี้ได้รับการออกแบบโดยหนึ่งในที่สุด สถาปนิกชื่อดังสหรัฐอเมริกา โดย Eero Saarinen (1910-1961) ร่วมกับนักคณิตศาสตร์และวิศวกร Hannskarl Bandel (1925-1993) ในแง่หนึ่ง ชะตากรรมของพวกเขาคล้ายกัน ทั้ง Saarinen และ Bandel เกิดนอกอเมริกา - คนแรกในฟินแลนด์ คนที่สองในเยอรมนี จากนั้นทั้งสองก็ข้ามมหาสมุทร คนแรกไปเรียนหนังสือในปี พ.ศ. 2477 และครั้งที่สองหลังสงครามเพื่อหางานทำ ที่นี่พวกเขาแต่ละคนพบโชคของเขา และทั้งคู่ก็พบกัน
ตามการกระตุ้นเตือนของบันเดล ซาริเนนเลือกรูปทรงของเส้นโซ่สำหรับส่วนโค้งของเขา ซึ่งมีความสูงเท่ากับความกว้างที่ฐาน มันดูสวยงามแม้ว่าการออกแบบจะค่อนข้างขัดกับสัญชาตญาณก็ตาม ท้ายที่สุดแล้วโซ่ที่ถูกปล่อยให้อยู่กับตัวเองมีแนวโน้มที่จะครอบครองตำแหน่งในอวกาศเพื่อให้พลังงานศักย์ของมันน้อยที่สุดนั่นคือจุดศูนย์ถ่วงต่ำมาก เมื่อพลิกกลับ จุดศูนย์ถ่วงต่ำจะกลายเป็นสูงและพลังงานขั้นต่ำจะกลายเป็นสูงสุด
ความขัดแย้งที่นี่ชัดเจน งานของสถาปนิกไม่ได้อยู่ที่การบรรลุระดับพลังงานขั้นต่ำของโครงสร้างเลย - มันเป็นสิ่งจำเป็นเพื่อให้ยั่งยืน และถึงแม้ว่าพลังงานศักย์ขั้นต่ำจะสอดคล้องกับตำแหน่งสมดุลที่มั่นคง แต่ตำแหน่งนี้ไม่ได้เป็นเพียงตำแหน่งเดียวเท่านั้น ตำแหน่งสมดุลอีกตำแหน่งหนึ่งสอดคล้องกับพลังงานศักย์สูงสุด ซึ่งเป็นสิ่งที่เราสังเกตเห็นเมื่อกลับเส้นโซ่ เช่นเดียวกับเมื่อสรุปวิธีที่Gaudíใช้
สาเหตุของความสมดุลสามารถประเมินได้โดยการวิเคราะห์ไม่ใช่พลังงาน แต่เป็นการกระจายของแรง ดังที่คุณทราบ หากคุณจัดการเพื่อรับข้อมูลเกี่ยวกับกองกำลัง ภาพจะมีรายละเอียดและชัดเจนมากกว่าภาพที่ได้จากการศึกษาพลังงานเพียงอย่างเดียวเสมอ ในห่วงโซ่แขวนลอย แรงสามแรงกระทำต่อแต่ละจุดเชื่อมต่อ: แรงโน้มถ่วงและพลังของการเสียรูปยืดหยุ่นจากเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุดทั้งสอง ความสมดุลเกิดขึ้นได้เมื่อผลรวมของแรงทั้งสามเป็นศูนย์ ความคล่องตัวของโซ่ช่วยให้มั่นใจได้ว่าแรงยืดหยุ่นที่ปลายของแต่ละข้อต่อจะยืดออกเท่านั้น กล่าวคือ พวกมันจะหันไปในแนวสัมผัสกับเส้นเสมอ
แน่นอนว่าจะไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลงหากคุณแขวนส่วนโค้งที่มั่นคงที่มีรูปร่างเหมือนกันแทนโซ่: ความเค้นที่เกิดจากแรงโน้มถ่วงจะถูกกระจายไปในลักษณะที่แรงจะกระทำเป็นรูปสัมผัสเสมอ พวกเขาจะยืดส่วนโค้งออก แต่จะไม่พยายามทำลายมันเลย ถ้าเราพลิกโค้งตอนนี้ก็แทบจะไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลงอีกเลย แรงตึงจะถูกแทนที่ด้วยแรงอัด แต่จะกระทำที่แต่ละจุดของส่วนโค้งในแนวสัมผัสเท่านั้น หรือซึ่งเป็นสิ่งเดียวกัน โหลดบนหน้าตัดที่วาดที่จุดใดก็ได้ของส่วนโค้งจะตั้งฉากกับระนาบส่วน ข้อสรุปนี้ดูแปลกเป็นพิเศษสำหรับจุดสูงสุด: พื้นที่หน้าตัดตรงนั้นเป็นแนวตั้ง และแรงที่กระทำต่อจุดนั้นจะตั้งฉากกับแรงโน้มถ่วง
เส้นโค้งหากิน
เส้นโซ่มักสับสนกับเส้นโค้งที่สวยงามอีกเส้นหนึ่ง ซึ่งไม่ค่อยมีใครใช้ในงานสถาปัตยกรรม นี่คือแนวของการสืบเชื้อสายที่ชันที่สุดหรือ brachistochrone (จากภาษากรีก βραχίστος - เวลาที่สั้นที่สุด). ในทางคณิตศาสตร์ เส้นทั้งสองนี้ปรากฏเกือบจะพร้อมๆ กัน
brachistochrone เกิดจากปัญหาทางกลแบบคลาสสิกในการออกจากจุดหนึ่ง กอย่างแน่นอน ในในเวลาอันสั้นที่สุด ทั้งกลไกโบราณและกลไกของยุคกลางต่างมั่นใจว่าทุกร่างกายเคลื่อนไหวไปด้วย ความเร็วคงที่-ถึงแม้จะหลุดจาก. หอคอยสูง. และถ้าเป็นเช่นนั้นเวลาจะสั้นที่สุดเมื่อเคลื่อนที่ไปตามเส้นที่สั้นที่สุดนั่นคือเป็นเส้นตรง แต่เห็นได้ชัดว่ามีคนสงสัยข้อสรุปนี้ เป็นการยากที่จะบอกว่าใครมาถึงที่นี่ก่อนกันแน่ แต่ใน Leonardo da Vinci (1452-1519) เราพบคำพูดที่สมเหตุสมผลอย่างยิ่ง: หากประเด็นนั้น ในซึ่งอยู่ใต้จุดนั้น กจึงมีความเป็นไปได้มากกว่าว่าเส้นที่ลาดชันที่สุดจะเป็นส่วนโค้งของวงกลม แทนที่จะเป็นส่วนของเส้นตรง
อย่างไรก็ตาม เส้นโค้งลึกลับซึ่งกาลิเลโอไม่สามารถค้นพบได้นั้น เป็นที่รู้จักก่อนหน้าเขาเกือบสองร้อยปีแล้ว มีแนวโน้มว่าเขาจะรู้เรื่องนี้ด้วยซ้ำ เนื่องจาก Nicholas of Cusanus (Nicolaus Cusanus, 1401-1464) สนใจในคุณสมบัติของมัน บริบทนั้นห่างไกลมากจนความเชื่อมโยงใดๆ ระหว่างคำอธิบายทางวิชาการเชิงนามธรรมของคูซานัสกับปัญหาทางกลที่กาลิเลโอสนใจดูเหมือนจะไม่น่าเชื่อ
ความลึกลับของไซโคลิด
ลองจินตนาการถึงล้อที่หมุนไปตามถนน โดยรวมแล้ว ล้อจะเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง แต่แต่ละจุดของล้อจะหมุนเป็นวงกลมรอบจุดศูนย์กลาง หากคุณเลือกจุดใดจุดหนึ่งบนขอบล้อ เช่น การทำเครื่องหมายด้วยสี วิถีของจุดนี้จะไม่เป็นทั้งเส้นตรงหรือวงกลม เส้นโค้งที่เกิดขึ้นเรียกว่าไซโคลิด
น่าเสียดายที่กาลิเลโอไม่สามารถเข้าใจได้ว่าบรรทัดนี้มีความสำคัญต่อเขาเพียงใด ความจริงก็คือทฤษฎีบทเกี่ยวกับไอโซโครนิซึมของการแกว่งของลูกตุ้มซึ่งเป็นหนึ่งในการค้นพบที่เก่าแก่ที่สุดและสำคัญที่สุดของเขานั้นถูกต้องโดยประมาณเท่านั้น เพื่อให้ลูกบอลกลิ้งไปตามผนังถ้วยในเวลาเดียวกัน พื้นผิวของถ้วยจะต้องไม่เป็นทรงกลม - จะต้องมีไซโคลิดในหน้าตัด สิ่งนี้กลายเป็นที่รู้จักในไม่ช้าหลังจากการตายของเขา: เวลาผ่านไปไม่ถึงสิบปีนับตั้งแต่นักวิทยาศาสตร์ชาวเดนมาร์ก Christian Huygens (Christiaan Huygens, 1629-1695) งงงวยกับการประดิษฐ์ที่แม่นยำ นาฬิกาจักรกลฉันรู้ว่าลูกตุ้มในนั้นต้องมีไหวพริบ น้ำหนักบนเชือกไม่ควรแกว่งไปตามส่วนโค้งของวงกลม แต่แกว่งไปตามส่วนโค้งซึ่งเขาเรียกว่าไอโซโครน อย่างไรก็ตาม ในไม่ช้าก็ชัดเจนว่าไอโซโครน เช่น แบรคิสโตโครน เป็นเพียงชื่ออื่นของไซโคลิด
นักคณิตศาสตร์ในช่วงปลายศตวรรษที่ 17 ค่อนข้างงุนงงกับโลกแห่งเส้นโค้งที่หลากหลายที่ขยายตัวอย่างต่อเนื่องที่เปิดกว้างสำหรับพวกเขา และความจริงที่ว่าบางครั้งปัญหาที่แตกต่างกันนำไปสู่วิธีแก้ปัญหาแบบเดียวกันก็ดูเป็นธรรมชาติโดยสมบูรณ์ ต้องใช้เวลามากในการแยกแยะเส้นโซ่ออกจากพาราโบลาและไซโคลิด และเพื่อระบุไซโคลิดด้วยแบรคิสโตโครน แต่ยัง เวลานานขึ้นจำเป็นสำหรับแบบฟอร์มที่พบเพื่อค้นหาสถานที่ในงานศิลปะของสถาปนิก
ทะเลแห่งรูปทรง
แม้ว่านักทดลองชาวอังกฤษผู้ยิ่งใหญ่ Robert Hooke (1635-1703) จะชี้ให้เห็นถึงคุณค่าที่เป็นไปได้ของแนวสายโซ่สำหรับสถาปัตยกรรมในศตวรรษที่ 17 เดียวกัน แต่มีเพียง Antonio Gaudi เท่านั้นที่สามารถชื่นชมเสน่ห์ของมันได้อย่างแท้จริง ไม่น่าเป็นไปได้ที่เกาดีจะรู้เกี่ยวกับการค้นหาอันเจ็บปวดเพื่อแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์และเครื่องกลเมื่อสองร้อยปีก่อนเกิด เป็นไปได้มากว่าเขาพบวิธีการของเขาในเชิงประจักษ์ ต้องขอบคุณสัญชาตญาณของศิลปินที่ละเอียดอ่อนและแปลกประหลาด แน่นอนว่าในสถาปัตยกรรมสมัยใหม่มีสถานที่สำหรับไซโคลิด แต่ไม่มีเหตุผลที่สมเหตุสมผลสำหรับวิธีแก้ปัญหาที่แปลกประหลาดเช่นนี้ ศตวรรษที่ 20 มาพร้อมกับความสามารถในการประมวลผลที่ไร้ขีดจำกัด เทคโนโลยีใหม่และสถาปนิกใช้มันอย่างมีความสุข ช่วยให้จินตนาการได้อย่างอิสระและไม่ต้องคิดมากเกี่ยวกับสมการที่อธิบายเส้นโค้งหรือพื้นผิวที่พวกเขาได้รับในรูปแบบที่เสร็จสมบูรณ์บนหน้าจอคอมพิวเตอร์
แต่เรื่องราวจะไม่สมบูรณ์หากไม่มีรายละเอียดที่น่าสนใจ ในบทความเกี่ยวกับประวัติศาสตร์สถาปัตยกรรม เส้นโซ่และพาราโบลามักจะปะปนกัน นักประวัติศาสตร์ศิลป์พบว่ารูปแบบพาราโบลาไม่เพียงแต่ในผลงานของเกาดีเท่านั้น แต่ยังรวมถึงสายไฟที่หย่อนคล้อยด้วย แม้ว่าจากมุมมองทางคณิตศาสตร์สิ่งนี้จะผิดกฎหมายโดยสิ้นเชิง แต่แบบฟอร์มเหล่านี้อยู่ใกล้กันมากและสามารถแปลงร่างเป็นอีกรูปแบบหนึ่งได้ภายใต้เงื่อนไขบางประการ
ใช้โซ่แล้วแขวนไว้บนตะปูสองตัวที่มีความสูงเท่ากัน โซ่ภายใต้อิทธิพลของแรงโน้มถ่วงจะอยู่ในรูปของเส้นโซ่ - เรารู้เรื่องนี้แล้ว แต่ตอนนี้เรารับน้ำหนักค่อนข้างมากไว้ที่จุดต่ำสุดของโซ่ โซ่จะยืดออกทันทีและกลายเป็นรูปสามเหลี่ยม จะเกิดอะไรขึ้นหากแทนที่จะใช้โหลดเรามีลำแสงแนวนอนยาวซึ่งจะต้องแขวนไว้บนโซ่ไม่ใช่ที่จุดใดจุดหนึ่ง แต่เพื่อให้โหลดมีการกระจายเท่า ๆ กันไม่เพียง แต่ในโซ่เท่านั้น แต่ยังอยู่ในลำแสงด้วย นั่นคือตอนที่คุณได้พาราโบลา และสิ่งที่บรรยายไว้ก็ไม่มีอะไรมากไปกว่าสะพานแขวน
ข่าวพันธมิตร
การแนะนำ
เป็นหัวข้อ งานวิจัยฉันเลือกอันต่อไปนี้: "Chain Line"เส้นโซ่โค้งนั้นน่าสนใจมากในการศึกษา แต่การค้นหาวรรณกรรมที่อุทิศให้กับมันไม่ใช่เรื่องง่ายนัก
นักวิทยาศาสตร์ศึกษาบรรทัดนี้มาเป็นเวลานานมาก อย่างไรก็ตาม แม้ในสมัยของเรา มันยังถูกใช้เพื่อแก้ปัญหาหลายอย่าง ไม่เพียงแต่ในคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังรวมถึงฟิสิกส์ สถาปัตยกรรม และสาขาวิชาอื่น ๆ อีกมากมายด้วย ในความเห็นของฉัน, หัวข้อนี้น่าสนใจและมีความเกี่ยวข้อง
นักวิทยาศาสตร์เช่น Galileo Galilei, Christian Huygens, Gottfried Wilhelm Leibniz, Johann Bernouli และคนอื่นๆ ศึกษาสายโซ่
วัตถุประสงค์ของงานวิจัยนี้ เป็นคำอธิบายคุณสมบัติพื้นฐานของสายโซ่
เพื่อให้บรรลุเป้าหมายนี้จึงมีการกำหนดสิ่งต่อไปนี้:งาน:
1. วิเคราะห์วรรณกรรมทางวิทยาศาสตร์และการศึกษาในหัวข้อวิจัยเพื่อเน้นแนวคิดและข้อความหลัก
2. จัดระบบและสรุปเนื้อหาในหัวข้อวิจัยเพื่อระบุกลุ่มคุณสมบัติของสายโซ่
3. พิสูจน์ข้อความที่จำเป็นในหัวข้อวิจัย
4. สร้างการเชื่อมโยงระหว่างหัวข้อวิจัยกับหลักสูตรเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์
5. พัฒนาการนำเสนอด้วยคอมพิวเตอร์ในหัวข้อ “Chain line”
วิธีการวิจัยหลัก กลายเป็น การวิเคราะห์ทางทฤษฎี
วรรณกรรมในการศึกษา;
ความสำคัญในทางปฏิบัติ พิจารณาจากความเป็นไปได้ในการใช้ผลการศึกษาครั้งนี้ กระบวนการศึกษาในสาขาวิชา “เรขาคณิต” และ “เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์”
1.ข้อมูลทางประวัติศาสตร์
ในหนังสือของกาลิเลโอเรื่อง “Conversations and Mathematical Proofs...” ตีพิมพ์ครั้งแรกเมื่อวันที่ ภาษาอิตาลีในเมืองไลเดนของเนเธอร์แลนด์ในปี 1638 เหนือสิ่งอื่นใดมีการเสนอวิธีการสร้างพาราโบลานี้: “ ลองตอกตะปูสองตัวเข้าไปในกำแพงที่ความสูงเท่ากันเหนือขอบฟ้าและในระยะห่างจากกันจนเท่ากับ สองเท่าของความกว้างของสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ต้องการสร้างกึ่งพาราโบลา ระหว่างตะปูตัวหนึ่งกับอีกตัวหนึ่งเราจะแขวนโซ่บาง ๆ ไว้ซึ่งจะห้อยลงมาและมีความยาวจนจุดต่ำสุดอยู่ห่างจากระดับตะปูในระยะห่างเท่ากับความสูงของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า โซ่ที่ห้อยอยู่นี้จะถูกจัดเรียงเป็นรูปพาราโบลา (รูปที่ 1) เพื่อว่าด้วยการทำเครื่องหมายบนผนังด้วยเส้นประเราจะได้พาราโบลาที่ผ่าครึ่งโดยตั้งฉากผ่านตรงกลาง เส้นเชื่อมตะปูทั้งสองข้าง”
รูปที่ 1
วิธีนี้ง่ายและชัดเจนแต่ไม่ถูกต้อง กาลิเลโอเองก็เข้าใจสิ่งนี้ ที่จริงแล้ว หากคุณสร้างพาราโบลาตามกฎทั้งหมด ก็จะมีช่องว่างระหว่างพาราโบลากับห่วงโซ่
เพียงครึ่งศตวรรษหลังจากการตีพิมพ์หนังสือของกาลิเลโอ เจค็อบคนโตในบรรดาพี่น้องนักคณิตศาสตร์สองคน เบอร์นูลลี จาค็อบก็ค้นพบสูตรที่แน่นอนสำหรับห่วงโซ่ที่หย่อนคล้อยตามทฤษฎีเท่านั้น เขาใช้เวลาในการสื่อสารวิธีแก้ปัญหาของเขาและท้าทายนักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ แนวทางแก้ไขที่ถูกต้องได้รับการเผยแพร่ในปีถัดมา ค.ศ. 1691 คริสเตียน ไฮเกนส์, ก็อตต์ฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซ และ น้องชายจาโคบา - โยฮันน์ เบอร์นูลลี ในการแก้ปัญหาพวกเขาทั้งหมดใช้กฎของกลศาสตร์ประการแรกและประการที่สองเครื่องมืออันทรงพลังของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ที่พัฒนาขึ้นเมื่อเร็ว ๆ นี้ - อนุพันธ์และปริพันธ์
ฮอยเกนส์เรียกว่าเส้นโค้งซึ่งมีโซ่แขวนอยู่ที่ปลายทั้งสองข้างซึ่งอยู่ในแนวลูกโซ่
เนื่องจากโซ่มีความยาวต่างกัน และปลายของโซ่สามารถแขวนไว้ในระยะห่างที่ต่างกัน - บางครั้งก็ใกล้กว่าหรือไกลกว่านั้น - ดังนั้นจึงไม่มีเพียงสายโซ่เดียว แต่มีสายโซ่หลายเส้น แต่พวกมันทั้งหมดมีความคล้ายคลึงกัน เช่น วงกลมใดๆ ก็มีความคล้ายคลึงกัน
2. แนวคิดของเส้นโซ่และสมการ
คำจำกัดความ 1.
สายโซ่
เรียกว่าเส้นโค้งแบน ซึ่งมีรูปร่างสอดคล้องกับด้ายหนักที่ไม่สามารถยืดออกได้และมีความยืดหยุ่นสม่ำเสมอ ซึ่งยึดอยู่ที่ปลายทั้งสองข้างและความหย่อนคล้อยภายใต้อิทธิพลของแรงโน้มถ่วง
เส้นโซ่มีรูปร่างเหมือนพาราโบลา
มันก็คิดอย่างนั้น เป็นเวลานาน. ต้นศตวรรษที่ 17กาลิเลโอ กาลิเลอีแสดงความสงสัยว่าโซ่ห้อยนั้นแท้จริงแล้วเป็นรูปพาราโบลา อย่างไรก็ตาม มีการพิสูจน์อย่างเข้มงวดและข้อสรุปที่แม่นยำเพียงครึ่งศตวรรษต่อมาหลังจากนั้นไอแซกนิวตันก็อทท์ฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซพัฒนารากฐานของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์
แนวทางแก้ไขปัญหาโซ่อุปทานได้รับการตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1691คริสเตียน ฮอยเกนส์, ก็อทท์ฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซและโยฮันน์ เบอร์นูลลี.
ด้านล่างนี้เราจะดูที่มาของสมการ catenary และความแปรผันบางส่วน
ให้ด้ายที่มีความหนาสม่ำเสมอถูกแขวนไว้ที่จุดต่างๆเอ, บี ซึ่งสามารถมีความสูงต่างกันได้ (รูปที่ 1.2)
ให้เราพิจารณาความสมดุลขององค์ประกอบขนาดเล็กตามอำเภอใจของเธรดที่มีความยาวΔ ส .
องค์ประกอบนี้ถูกกระทำโดยแรงโน้มถ่วงแบบกระจาย,
โดยที่ความหนาแน่นรวมของวัสดุด้ายคือความเร่งของแรงโน้มถ่วงก
− พื้นที่หน้าตัดของด้ายและแรงดึงต
(
x
) และต
(
x+
Δ
x
),
ตามลำดับในจุดx
และ (x+
Δ
x
).
สภาวะสมดุลสำหรับองค์ประกอบความยาวที่เลือกΔ ส ในการฉายภาพบนแกนวัว และเฮ้ย ถูกเขียนในรูปแบบ:
.
จากสมการแรกจะเห็นได้ชัดว่าองค์ประกอบแนวนอนของแรงดึงต ( x ) มีค่าคงที่เสมอ:
เมื่อเปลี่ยนเป็นดิฟเฟอเรนเชียลในสมการที่สอง เราสามารถเขียนมันได้ในรูปแบบ:
.
เพราะว่าแล้วเราก็ได้
หรือ.
ให้เราคำนึงด้วยว่าสมการสมดุลจึงเขียนในรูปแบบอนุพันธ์เป็น
องค์ประกอบความยาว Δส สามารถแสดงได้ด้วยสูตร
เป็นผลให้เราได้รับสมการเชิงอนุพันธ์โซ่:
หรือ.
สมการนี้ช่วยให้สามารถลดลำดับได้ กำหนดแล้วย" = ซ เรามานำเสนอในรูปแบบของสมการอันดับหนึ่ง:
สมการสุดท้ายแก้ได้โดยวิธีการแยกตัวแปร
ตรงนี้เราเขียนแทนด้วย 1/ก
.
เส้นสัมผัสกันของเส้นโซ่ที่จุดด้านล่างขนานกับแกนวัว
. เพราะฉะนั้น,
จากที่นี่เรากำหนดค่าคงที่ค 1 :
ดังนั้นเราจึงได้สมการดังต่อไปนี้:
ลองคูณทั้งสองข้างของสมการนี้ด้วยนิพจน์คอนจูเกตดู
เราได้รับ:
เมื่อบวกกับสมการก่อนหน้า เราจะพบนิพจน์สำหรับซี = ย" :
เราบูรณาการอีกครั้งและได้รับขั้นสุดท้าย การแสดงออกที่สวยงามสำหรับรูปร่างโซ่:
ดังนั้นจึงอธิบายสายโซ่โคไซน์ไฮเปอร์โบลิก . รูปร่างของมันถูกกำหนดโดยพารามิเตอร์โดยเฉพาะซึ่งการพึ่งพาจะแสดงในรูปที่ 1.3
รูปที่.1.3
3. คุณสมบัติของสายโซ่
1.
ความยาวส่วนโค้ง(ภาคผนวก 1)ของเส้นลูกโซ่จากจุดยอดไปยังจุดใดจุดหนึ่งจะเท่ากับเส้นโครงของพิกัดของจุดนี้ไปยังเส้นสัมผัสกันที่วาด ณ จุดนี้
การพิสูจน์:
1.ความยาวสเส้นอาร์กเชนที่วัดจากจุดยอด A เท่ากับเส้นโครงมม' กำหนดRM บนแทนเจนต์มท .( ข้าว.3)
2. ส==มม'= ((1) หรือส = ก.
3.ด้วยการอุปสมบทRM=ย อัตราส่วนการเชื่อมต่อส่วนโค้ง 4. ส่วนหลังตามมาจากสมการโซ่และ (1) และ
อ่านง่ายจากรูปสามเหลี่ยมRM'M , ที่ไหนPM = ย , มม' = ส และRM' = ก (ตามคุณสมบัติหลักของผืนดิน)
2. รัศมีความโค้ง(ภาคผนวก 1)ที่จุดใดก็ได้บนเส้นลูกโซ่เท่ากับความยาวของเส้นปกติที่จุดนั้น
การพิสูจน์:
1. รัศมีความโค้งเอ็มเค = ร สายโซ่เท่ากับส่วนนพ. ความปกติจากจุดหนึ่งม ถึงอาจารย์ใหญ่เอ็กซ์'เอ็กซ์ และแสดงออกมาเป็นสูตร
ร=เอ็มดี=
หรือร = ก.
3. หากเส้นโซ่ม้วนเป็นเส้นตรง จุดศูนย์กลางของความโค้งที่สัมพันธ์กับจุดที่สัมผัสจะเคลื่อนที่ไปตามพาราโบลา
การพิสูจน์:
1. การกำหนดพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยเส้นลูกโซ่, พิกัดทั้งสองและแกนแอบซิสซาเราจะได้:
4. พื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยเส้นลูกโซ่ สองพิกัดและแกน x เป็นสัดส่วนกับความยาวของส่วนโค้งที่สอดคล้องกัน
การพิสูจน์:
1. พื้นที่ส"สี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง"โอแอมป์ ( โอเอ = ก - จุดยอดพิกัดRM - จบการบวชม ส่วนโค้งส = ) เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่มีด้านก , ส ดังนั้น
ส = เป็น = .
5. ผลรวมของความโค้งของเส้นลูกโซ่ ณ จุดที่เส้นสัมผัสกันตั้งฉากกันคือค่าคงที่ของเส้นลูกโซ่แต่ละเส้น
การพิสูจน์:
1. ให้เป็นจุดของเส้นลูกโซ่ ซึ่งเส้นสัมผัสกันตั้งฉากกัน การกำหนดพวกเขา เนินเขา, เรามี
2.เนื่องจากความตั้งฉากของแทนเจนต์ (2)
แต่ตามส== มม ′= (= ก= ,
ความยาวของส่วนโค้งอยู่ที่ไหนวัดจากด้านบนของเส้นโซ่ถึงจุด เราได้รับ แทนที่นิพจน์เหล่านี้ด้วยความเท่าเทียมกัน (2)
หรือ,
แล้วบนพื้นฐานร = ก จะมี.
6. ฟิล์มสบู่ที่ขึงไว้บนวงแหวนสองวงจะเกิดเป็นรูปเป็นร่าง - พื้นผิวที่เกิดจากการหมุนของสายโซ่
4. การศึกษาเส้น catenary ที่กำหนดด้วยพารามิเตอร์โดยใช้วิธีเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์
เส้นใดๆ ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์จะถูกพิจารณาในปริภูมิ โดยสามารถกำหนดสมการเวกเตอร์ได้จากอาร์กิวเมนต์สเกลาร์หนึ่งตัว ซึ่งเป็นสมการโดยปริยายของแบบฟอร์มเอฟ ( x , ย )=0, จุดตัดของพื้นผิวทั้งสอง สมการเชิงขั้ว
วิธีเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ช่วยให้คุณตรวจสอบเส้นสำหรับ:
การกำหนดองค์ประกอบที่มาพร้อมกับเส้นของรูปสามเหลี่ยม
การกำหนดความโค้งและแรงบิด
การเขียนสมการธรรมชาติของเส้นตรง
การคำนวณความยาวส่วนโค้งของเส้น
สะดวกกว่าในการใช้วิธีการเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์กับสมการพาราเมตริก ซึ่งเป็นเส้นที่ต่อจากสมการเวกเตอร์โดยตรงจากอาร์กิวเมนต์สเกลาร์ตัวเดียว
มาศึกษาเส้นโซ่โดยใช้วิธีเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์กัน
สำหรับสิ่งนี้:
จากสมการโดยนัยเราจะไปยังสมการพาราเมตริก
กำหนดพารามิเตอร์
3) ค้นหาเวกเตอร์พื้นฐานที่มาพร้อมกับตรีโกณมิติของเส้นโค้ง
4) เขียนสมการองค์ประกอบของสามเหลี่ยมรูปสามเหลี่ยมที่มาพร้อมกับเส้นโค้ง:
สมการแทนเจนต์
สมการปกติ
สมการไบนอร์มอล
สมการของระนาบการสั่น
สมการระนาบปกติ
สมการของระนาบที่แก้ไขได้
5) ค้นหาความโค้งและแรงบิดของเส้นโซ่ ณ จุดใดก็ได้
6) เขียนสมการของเส้นโซ่ในพาราเมทริเซชันตามธรรมชาติ
ดังนั้นสมการของเส้นโซ่จึงมีรูปแบบ
สมการพาราเมตริกของเส้นโซ่
เส้นอยู่ในเครื่องบินเอ็กซ์อย , z =0 .
1. เรามาพิจารณาว่าการกำหนดพารามิเตอร์ประเภทใด: เป็นธรรมชาติหรือโดยพลการ
ลองหาอนุพันธ์เทียบกับที :
.
2. ลองหาเวกเตอร์ของอนุพันธ์ตัวแรก ตัวที่สอง และตัวที่สาม
3. เรามาค้นหาเวกเตอร์พื้นฐานของตรีโกณมิติที่มาคู่กัน:
เวกเตอร์แทนเจนต์หน่วย
เวกเตอร์หน่วยของชีวปกติ
เวกเตอร์ปกติหลักของหน่วย
4. มาเขียนสมการขององค์ประกอบของตรีเฮดรอนที่มาคู่กัน:
ก) สมการแทนเจนต์ (ภาคผนวก 1) กับเส้นโซ่ที่จุดใดก็ได้มีรูปแบบ:
ข) สมการของเส้นปกติหลัก (ภาคผนวก 1) กับเส้นโซ่ที่จุดใดก็ได้มีรูปแบบ:
ค) สมการไบนอร์มัล (ภาคผนวก 1) กับเส้นลูกโซ่ที่จุดใดก็ได้มีรูปแบบ:
จ)สมการของระนาบการสั่น:
เพราะz =0 , เครื่องบินอ็อกซี่ - ติดต่อเครื่องบิน
ฉ) สมการของระนาบตั้งฉาก (ภาคผนวก 1)
ก) สมการของระนาบการยืด:
5. มาหาความโค้งกันเค (ภาคผนวก 1) และแรงบิด (ภาคผนวก 1):
6. ลองเขียนสมการของเส้นโซ่ด้วยพาราเมทริเซชันตามธรรมชาติ:
ดังนั้นผลการศึกษาคุณสมบัติของสายโซ่โดยใช้วิธีเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์จึงสามารถพิสูจน์ได้ คุณสมบัติดังต่อไปนี้สายโซ่เป็นเส้นแบน:
ทฤษฎีบท 1 ระนาบการสั่นของเส้นแบนเกิดขึ้นพร้อมกับระนาบของเส้น (ดูสมการของระนาบการสั่นของสายโซ่ข้อ 4(จ)).
ทฤษฎีบท 2 เส้นปกติหลักของเส้นระนาบจะอยู่ที่ระนาบของเส้นนั้น (ดูสมการปกติหลักของสายโซ่ข้อ 4(ข)).
ทฤษฎีบท 3 การบิดของเส้นแบนทุกจุดเป็นศูนย์ (ดูการบิดของ catenary line จุดที่ 5)
มาพิสูจน์ทฤษฎีบทกัน การสนทนาของทฤษฎีบท 3.
ทฤษฎีบท 4 . ถ้าทุกจุดของเส้นเรียบมีแรงบิดเป็นศูนย์ แสดงว่าเส้นนั้นแบน
การพิสูจน์:
1. ให้ที่แต่ละจุดของเส้น γ ที่กำหนดโดยสมการ, แรงบิดของมันเท่ากับศูนย์
2. จากสูตร Frenet สุดท้ายจะตามมาว่า ที่ไหน ไม่ขึ้นอยู่กับตัวแปรส . จากนั้นจากตัวตน จากที่นี่ หรือในพิกัด: , ที่ไหน, – พิกัด.
3. ดังนั้น จุดทั้งหมด γ จึงอยู่บนระนาบ กำหนดโดยสมการ. ซึ่งหมายความว่า γ เป็นเส้นแบน
ความคิดเห็น สำหรับเส้นแบนที่เรามีx = 0 ดังนั้นสูตรของ Frenet จึงอยู่ในรูปแบบ:
ผลการศึกษาคุณสมบัติของสายโซ่สามารถแสดงผลเป็นรูปวาดได้
อ็อกซี่ เครื่องบินสั่น
เครื่องบินปกติ
ระนาบยืด
5. การสมัคร
ประตูสู่ทิศตะวันตก
ไม่มีใครรู้ว่าใครก่อนเกาดีพยายามสร้างแบบจำลองกลับหัวของอาคารในอนาคตด้วยการแขวนตุ้มน้ำหนักไว้บนเส้นด้าย แต่สถาปนิกสมัยใหม่บางคนก็ใช้วิธีนี้ บนชายฝั่งของเมืองมีซุ้มโค้งสูง 630 ฟุตอันน่าทึ่ง ซึ่งเป็นสัญลักษณ์ของจุดเปลี่ยนในประวัติศาสตร์และภูมิศาสตร์ของอเมริกา ครั้งหนึ่งเซนต์หลุยส์เชื่อมโยงดินแดนที่มีประชากรค่อนข้างหนาแน่นทางตะวันออกของแม่น้ำมิสซิสซิปปี้กับป่าอันกว้างใหญ่อันกว้างใหญ่ของตะวันตก
ซุ้มประตูนี้ออกแบบโดยสถาปนิกที่มีชื่อเสียงที่สุดคนหนึ่งในสหรัฐอเมริกา ในความร่วมมือกับนักคณิตศาสตร์และวิศวกร Hannskarl Bandel ( , พ.ศ. 2468–2536) ในแง่หนึ่ง ชะตากรรมของพวกเขาคล้ายกัน ทั้ง Saarinen และ Bandel เกิดนอกอเมริกา - เป็นคนแรกที่สองเข้า . จากนั้นทั้งสองก็ข้ามมหาสมุทร คนแรกไปเรียนหนังสือในปี พ.ศ. 2477 และครั้งที่สองหลังสงครามเพื่อหางานทำ ที่นี่พวกเขาแต่ละคนพบโชคของเขา และทั้งคู่ก็พบกัน
ตามการกระตุ้นเตือนของบันเดล ซาริเนนเลือกรูปทรงของเส้นโซ่สำหรับส่วนโค้งของเขา ซึ่งมีความสูงเท่ากับความกว้างที่ฐาน มันดูสวยงามแม้ว่าการออกแบบจะค่อนข้างขัดกับสัญชาตญาณก็ตาม ท้ายที่สุดแล้ว โซ่ที่ถูกปล่อยไว้กับตัวเอง มีแนวโน้มที่จะครอบครองตำแหน่งในอวกาศนั่นเอง มีน้อยมาก กล่าวคือ จุดศูนย์ถ่วงต่ำมาก เมื่อพลิกกลับ จุดศูนย์ถ่วงต่ำจะกลายเป็นสูงและพลังงานขั้นต่ำจะกลายเป็นสูงสุด
ความขัดแย้งที่นี่ชัดเจน งานของสถาปนิกไม่ได้อยู่ที่การบรรลุพลังงานขั้นต่ำของโครงสร้าง - จำเป็นต้องมีความยั่งยืน และถึงแม้ว่าพลังงานศักย์ขั้นต่ำจะสอดคล้องกับตำแหน่งสมดุลที่มั่นคง แต่ตำแหน่งนี้ไม่ได้เป็นเพียงตำแหน่งเดียวเท่านั้น ตำแหน่งสมดุลอีกตำแหน่งหนึ่งสอดคล้องกับพลังงานศักย์สูงสุด ซึ่งเป็นสิ่งที่เราสังเกตเห็นเมื่อกลับเส้นโซ่ เช่นเดียวกับเมื่อสรุปวิธีที่Gaudíใช้
สาเหตุของความสมดุลสามารถประเมินได้โดยการวิเคราะห์ไม่ใช่พลังงาน แต่เป็นการกระจายของแรง ดังที่คุณทราบ หากคุณจัดการเพื่อรับข้อมูลเกี่ยวกับกองกำลัง ภาพจะมีรายละเอียดและชัดเจนมากกว่าภาพที่ได้จากการศึกษาพลังงานเพียงอย่างเดียวเสมอ ในห่วงโซ่แขวนลอย แรงสามแรงกระทำต่อแต่ละจุดเชื่อมต่อ: แรงโน้มถ่วงและพลังของการเสียรูปยืดหยุ่นจากเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุดทั้งสอง ความสมดุลเกิดขึ้นได้เมื่อผลรวมของแรงทั้งสามเป็นศูนย์
ความคล่องตัวของโซ่ช่วยให้มั่นใจได้ว่าแรงยืดหยุ่นที่ปลายของแต่ละข้อต่อจะยืดออกเท่านั้น กล่าวคือ พวกมันจะหันไปในแนวสัมผัสกับเส้นเสมอ
แน่นอนว่าจะไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลงหากคุณแขวนส่วนโค้งที่มั่นคงที่มีรูปร่างเหมือนกันแทนโซ่: ความเค้นที่เกิดจากแรงโน้มถ่วงจะถูกกระจายไปในลักษณะที่แรงจะกระทำเป็นรูปสัมผัสเสมอ
พวกเขาจะยืดส่วนโค้งออก แต่จะไม่พยายามทำลายมันเลย ถ้าเราพลิกโค้งตอนนี้ก็แทบจะไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลงอีกเลย แรงตึงจะถูกแทนที่ด้วยแรงอัด แต่จะกระทำที่แต่ละจุดของส่วนโค้งในแนวสัมผัสเท่านั้น หรือซึ่งเป็นสิ่งเดียวกัน โหลดบนหน้าตัดที่วาดที่จุดใดก็ได้ของส่วนโค้งจะตั้งฉากกับระนาบส่วน ข้อสรุปนี้ดูแปลกเป็นพิเศษสำหรับจุดสูงสุด: พื้นที่หน้าตัดตรงนั้นเป็นแนวตั้ง และแรงที่กระทำต่อจุดนั้นจะตั้งฉากกับแรงโน้มถ่วง
แต่ละจุดเชื่อมต่อในโซ่จะได้รับผลกระทบจากแรงสามประการ: แรงตึงจากเพื่อนบ้านและแรงโน้มถ่วง เมื่อลดขนาดลิงค์
แรงโน้มถ่วงมีแนวโน้มเป็นศูนย์ แต่แรงดึงไม่มีแนวโน้มเป็นศูนย์ พวกมันจะขนานกัน
มีรูปร่างคล้ายเส้นลูกโซ่ เป็นที่น่าสังเกตว่าโซ่ใกล้กับ กว่าจะเป็นสายโซ่ เนื่องจากช่วงสะพานมีน้ำหนักมากกว่าโซ่มาก
บทสรุป
เป้าหมายหลักของงานคือเป้าหมายศึกษาคุณสมบัติของสายโซ่
เพื่อให้บรรลุเป้าหมายนี้ จึงได้ดำเนินการดังต่อไปนี้:ทางวิทยาศาสตร์และ วรรณกรรมการศึกษาและเน้นแนวคิดและข้อความหลัก มีการเน้นกลุ่มคุณสมบัติ ทฤษฎีบทและข้อความในหัวข้อการวิจัยได้รับการพิสูจน์แล้ว ศึกษาคุณสมบัติของเส้นโซ่โดยใช้วิธีเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์
เมื่อสรุปผลการทำงานแล้วสามารถสังเกตได้ว่าบรรลุเป้าหมายและได้ดำเนินการงานในย่อหน้าที่เกี่ยวข้องของงานแล้ว
เนื้อหาที่นำเสนอในงานนี้สามารถใช้ได้ทั้งนักเรียนในกระบวนการศึกษาภายใต้กรอบสาขาวิชา “เรขาคณิต” และ “เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์” ตลอดจนโดยเด็กนักเรียนในกระบวนการศึกษาภายใต้กรอบวิชาเลือกวิชาคณิตศาสตร์
รายชื่อวรรณกรรมที่ใช้แล้ว
Vygodsky M.Ya. คู่มือคณิตศาสตร์ชั้นสูง§517 อ.:AST: แอสเทล, 2549.
กาลิเลโอ กาลิเลโอ. การสนทนาและการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับวิทยาศาสตร์สาขาใหม่สองสาขาที่เกี่ยวข้องกับกลศาสตร์และการเคลื่อนไหวในท้องถิ่นของ Signor G. Galilei Linceo นักปรัชญาและนักคณิตศาสตร์คนแรกของแกรนด์ดุ๊กผู้เงียบสงบที่สุดแห่งทัสคานี พร้อมแอพพลิเคชั่นเกี่ยวกับจุดศูนย์ถ่วงของวัตถุต่างๆ – ล.: Gostekhizd., 1934. หน้า. 273-274.
Markushevich A.I. "เส้นโค้งมหัศจรรย์" อ.: Nauka, 1978.p.91
ลูสเตอร์นิค พี.เอ. เส้นที่สั้นที่สุด. ปัญหาการเปลี่ยนแปลง ซีรีส์ “การบรรยายยอดนิยมด้านคณิตศาสตร์” ฉบับที่ 19, §19 ม.-ล.: Gostekhizd. 1955.
เมอร์คิน ดี.อาร์. ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับกลไกของเส้นใยยืดหยุ่น อ.: วิทยาศาสตร์. 1980. น. 135.
ซาเวลอฟ เอ.เอ. เส้นโค้งแบน อ.: วรรณกรรม Gosizdfiz-mat. 1960. 213-216.
Ivanov A.O., Tuzhilin A.A. การบรรยายเรื่องเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ อ.: โลโก้, 2552.
Viro O. Ya., Ivanov O. A., Kharlamov V. M., Netsvetaev N. Yu. โทโพโลยีเบื้องต้น เอสพีจียู, 2550.
Golovanov N.N., Ilyutko D.P., Nosovsky G.V., Fomenko A.T. เรขาคณิตคอมพิวเตอร์ อ.: ศูนย์สำนักพิมพ์ "Academy", 2549
ภาคผนวก 1
คำจำกัดความ 1. สายโซ่ เรียกว่า เส้นโค้งแบนซึ่งมีรูปร่างสอดคล้องกับด้ายหนักที่ไม่สามารถยืดออกได้และมีความยืดหยุ่นสม่ำเสมอ แก้ไขที่ปลายทั้งสองข้างและความหย่อนคล้อยภายใต้อิทธิพลของแรงโน้มถ่วง
คำจำกัดความ 2 . แทนเจนต์เรียกว่า ผ่านจุดบนเส้นโค้งและประจวบกับจุดนี้จนถึงลำดับที่หนึ่ง, (เป็นลักษณะตัวเลขของความยาวของเส้นโค้งนี้ ในอดีตการคำนวณความยาวของเส้นโค้งเรียกว่า ยืดผมคดเคี้ยว หากความยาวของเส้นโค้งมีอยู่จริงและมีจำนวนจำกัด เส้นโค้งนั้นก็จะเรียกว่าเป็นแก้ไขได้, มิฉะนั้น -ไม่สามารถแก้ไขได้. มีการระบุความยาวของส่วนโค้งส.
คำนิยาม 7 ความโค้ง - กำหนดลักษณะของเส้นโค้ง (พื้นผิว) ในพื้นที่ใกล้เคียงของจุดที่กำหนดจากเส้นสัมผัสกัน (ระนาบแทนเจนต์) ความโค้งที่วาดบนวัตถุมากขึ้น ธรรมชาติทั่วไป. มีการระบุความโค้ง
คำจำกัดความ 8 แรงบิด ความโค้งที่สอง การวัดความเบี่ยงเบนของเส้นโค้งเชิงพื้นที่จาก มีการระบุแรงบิด
คำนิยาม 9 . มันเรียกว่าชีวปกติ ปกติ เส้นโค้งในอวกาศตั้งฉากกับเส้นสัมผัสเส้นโค้งหลัก ปกติ .
คำนิยาม 10. ระนาบที่ผ่านเส้นแทนเจนต์และค่าปกติที่จุดที่กำหนดบนเส้นโค้งเรียกว่า สัมผัสเครื่องบิน ณ จุดนี้.
คำนิยาม 11. เครื่องบินปกติ ไปยังเส้นโค้ง ณ จุดที่กำหนด - ระนาบตั้งฉากกับเส้นสัมผัสกันที่ลากผ่านจุดเดียวกัน
คำนิยาม 12 . ระนาบยืด ระนาบที่ผ่านแทนเจนต์และไบนอร์มัล ณ จุดที่กำหนดม เส้นโค้งเชิงพื้นที่
กาลิเลโอ กาลิเลอีเขียนไว้ในหนังสือ Discourses and Mathematical Proofs เมื่อปี 1638 ว่าโซ่ที่ห้อยอยู่บนตะปูสองตัวจะมีรูปทรงพาราโบลา เขามั่นใจในสิ่งนี้และบางทีนั่นอาจเป็นเหตุผลว่าทำไมเขาถึงไม่ "ไปถึงจุดต่ำสุด" ของความจริงและไม่ได้ค้นพบเส้นโค้งใหม่ - เส้นลูกโซ่ เส้นโค้งนี้อธิบายไว้ใน 50 ปีต่อมาโดย Huygens, Leibniz และ Jacob Bernoulli พวกเขาเป็นคนแรกที่ได้สูตรของเส้นโค้งและตรวจสอบคุณสมบัติของมัน
รูปที่ 1 แสดงเส้นโค้งสามเส้น
เมื่อมองแวบแรก สิ่งเหล่านี้คือเส้นโค้งที่แตกต่างกัน รูปร่างต่างกัน ในความเป็นจริงนี่คือเส้นโค้งเดียวกัน - เส้นลูกโซ่และถ้าคุณเพิ่มขนาดของเส้นที่สอง 2 เท่าและเส้นที่สาม 4 เท่าจากนั้นเมื่อซ้อนทับบนเส้นแรกเส้นโค้งทั้งหมดจะรวมกันเป็นเส้นเดียว
ในเว็บไซต์วิทยาศาสตร์ยอดนิยมที่รู้จักกันดี "Mathematical Etudes" ภาพร่าง "Chain Line" พูดถึงเส้นโค้งนี้: "หากคุณเลือกพารามิเตอร์ในสมการในทางใดทางหนึ่ง จุดศูนย์กลางของสี่เหลี่ยมจะกลิ้งโดยไม่เลื่อนไปตามส่วนโค้งของ สายโซ่จะเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงพอดี!” เป็นที่ชัดเจนว่าต้องบรรลุเป้าหมายใด แต่จะทำอย่างไรวลีนี้หากไม่เงียบ ๆ อย่างน้อยก็ไม่ได้เสนอวิธีที่มีเหตุผลที่สุด “การเลือกในทางใดทางหนึ่ง” นี้คืออะไร? สมมุติว่าพวกเขาหยิบมันขึ้นมา แล้วไงต่อ? แก้สมการและเขียนเส้นโค้งใช่ไหม? และถ้าขนาดของวงล้อเปลี่ยนไปให้เลือกแก้ไขและสร้างอีกครั้ง? หรือบางทีคำเหล่านี้อาจหมายถึง "สาระสำคัญของวิธีการไม่เปิดเผยความรู้"?
ฉันเสนอวิธีอื่นในการแก้ปัญหานี้:
- การใช้สูตร Y=a chX/a เราสร้างเส้นลูกโซ่ด้วยพารามิเตอร์ที่กำหนดเอง เช่น เท่ากับ 10 มม. (รูปที่ 2)
- ที่ระยะห่างจากจุดยอดเท่ากับ a(√2-1) เราจะวาดคอร์ดแนวนอน ให้เราวัดความยาวของส่วนโค้งที่คอร์ดรองรับ มันควรจะเท่ากับ 2a;
- ลองคัดลอกเส้นโค้งที่สร้างขึ้นเป็นส่วนใหม่ ตัดส่วนที่ขยายออกไปเกินส่วนนั้นออกแล้วหมุน 180° ส่วนนี้จะเป็นส่วนหนึ่งของ "ถนน" สำหรับล้อสี่เหลี่ยม
- มาสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน 2a กัน
- โดยการกลิ้งสี่เหลี่ยมไปตามส่วนของเส้นโซ่เราตรวจสอบให้แน่ใจว่าไม่มีการเคลื่อนที่ในแนวตั้งของจุดศูนย์กลาง
หากทราบขนาดของล้อสี่เหลี่ยมล่วงหน้าเราจะปรับขนาดแบบร่างตามสัดส่วนที่ต้องการ แต่เราจะบันทึกกราฟที่สร้างขึ้นของเส้นลูกโซ่และจะใช้เพิ่มเติมเพื่อจุดประสงค์ที่คล้ายกัน ไม่จำเป็นต้องสร้างกราฟเส้นด้วยพารามิเตอร์ที่แตกต่างกัน เนื่องจากเส้นโซ่เป็นเส้นโค้งที่มีรูปร่างมั่นคง
อย่างไรก็ตาม เส้นโค้งที่แสดงในรูปที่ 2 สร้างขึ้นโดยใช้เพียง 69 จุด และถึงแม้จะมีสิ่งนี้ แต่ก็มีความแม่นยำที่ดี: ส่วนโค้งที่ตัดโดยคอร์ดมีขนาด 19.9999634224 มม. โดยมีขนาดที่คำนวณได้ 20 มม.
แล้วรูปหลายเหลี่ยมอื่นๆ ล่ะ? สำหรับหินทั้งหมด (ยกเว้นรูปสามเหลี่ยม) คุณสามารถสร้าง "หินปู" ของคุณเองจากส่วนของเส้นโซ่ ซึ่งหินเหล่านี้จะกลิ้งไปโดยไม่มีจุดศูนย์กลางสั่น ขั้นตอนการก่อสร้างแตกต่างจากสี่เหลี่ยมจัตุรัสเล็กน้อย: ใช้เส้นลูกโซ่ที่สร้างไว้ก่อนหน้านี้ด้วย (รูปที่ 2) แต่ตำแหน่งของคอร์ดจะถูกกำหนดโดยแทนเจนต์กับเส้นโค้ง (สำหรับรูปหกเหลี่ยมเช่นที่มุมของ 30 และ -30 องศา) และขนาดของด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยมจะถูกกำหนดโดยการวัดส่วนโค้ง นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่ามีเพียงสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่านั้นที่มีการพึ่งพา: ด้านเท่ากับสองเท่าของพารามิเตอร์ของโซ่
นอกจากนี้ยังน่าสนใจที่จะเห็นว่าเส้นโค้งอื่นๆ จะแสดงเป็น "หินปู" สำหรับล้อสี่เหลี่ยมอย่างไร สิ่งที่ได้รับการทดสอบ ได้แก่ วงกลม พาราโบลา แคสสินีวงรี และวงรีหลายวงที่มีรูปร่างมั่นคง ตามที่คาดไว้ ไม่มีสิ่งที่ "เหมาะ" อีกต่อไป ผลการก่อสร้างและการคำนวณปฏิสัมพันธ์ของล้อสี่เหลี่ยมที่มีด้านข้าง 400 มม. โดยมีเส้นโค้งบางส่วนสรุปไว้ในตารางที่ 1
ตารางที่ 1
อย่างที่คุณเห็น เส้นโค้งวงกลมและพาราโบลาที่รู้จักกันดีนั้นด้อยกว่าเพทายและไซโคลนที่ไม่ค่อยมีใครรู้จัก หรือจะมีมากกว่านั้น... และสายโซ่... - ไร้คู่แข่ง!