วงกลมตัวเลขบนระนาบพิกัดที่มีค่า พิกัดคาร์ทีเซียนของจุดระนาบ
ในบทความนี้ เราจะวิเคราะห์คำจำกัดความของวงกลมตัวเลขโดยละเอียด ค้นหาคุณสมบัติหลักของวงกลม และจัดเรียงตัวเลข 1,2,3 เป็นต้น เรียนรู้วิธีทำเครื่องหมายตัวเลขอื่นๆ บนวงกลม (รวมทั้งพายด้วย)
วงกลมตัวเลข เรียกว่า วงกลมมีหน่วยรัศมีซึ่งมีจุดตรงกัน จัดให้เป็นไปตามหลักเกณฑ์ดังต่อไปนี้
1) จุดกำเนิดอยู่ที่มุมขวาสุดของวงกลม
2) ทวนเข็มนาฬิกา - ทิศทางบวก; ตามเข็มนาฬิกา – ลบ;
3) ถ้าเราพล็อตระยะทาง \(t\) บนวงกลมในทิศทางบวก เราจะไปถึงจุดที่มีค่า \(t\);
4) ถ้าเราพล็อตระยะทาง \(t\) บนวงกลมในทิศทางลบ เราจะไปถึงจุดที่มีค่า \(–t\)
ทำไมวงกลมจึงเรียกว่าวงกลมตัวเลข?
เพราะมีตัวเลขอยู่ด้วย ด้วยวิธีนี้ วงกลมจะคล้ายกับแกนตัวเลข - บนวงกลมก็เหมือนกับบนแกน โดยมีจุดเฉพาะสำหรับแต่ละตัวเลข
ทำไมต้องรู้ว่าวงกลมตัวเลขคืออะไร?
การใช้วงกลมตัวเลขจะกำหนดค่าของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ ดังนั้นการรู้ตรีโกณมิติและ ผ่านการสอบ Unified Stateสำหรับคะแนน 60+ คุณต้องเข้าใจว่าวงกลมตัวเลขคืออะไรและจะวางจุดบนวงกลมนั้นได้อย่างไร
คำว่า “...ของรัศมีหน่วย...” ในคำจำกัดความหมายความว่าอย่างไร
ซึ่งหมายความว่ารัศมีของวงกลมนี้เท่ากับ \(1\) และถ้าเราสร้างวงกลมโดยให้จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด มันจะตัดกับแกนที่จุด \(1\) และ \(-1\)
ไม่จำเป็นต้องวาดให้เล็ก คุณสามารถเปลี่ยน "ขนาด" ของการแบ่งตามแกนได้ จากนั้นรูปภาพจะใหญ่ขึ้น (ดูด้านล่าง)
ทำไมรัศมีถึงเป็นหนึ่งพอดี? สะดวกกว่า เพราะในกรณีนี้ เมื่อคำนวณเส้นรอบวงโดยใช้สูตร \(l=2πR\) เราจะได้:
ความยาวของวงกลมตัวเลขคือ \(2π\) หรือประมาณ \(6.28\)
“...จุดที่ตรงกับจำนวนจริง” หมายความว่าอย่างไร
ดังที่เราได้กล่าวไว้ข้างต้น ในวงกลมตัวเลขของจำนวนจริงใดๆ จะต้องมี "สถานที่" ของมันอย่างแน่นอน - จุดที่สอดคล้องกับตัวเลขนี้
ทำไมต้องกำหนดที่มาและทิศทางบนวงกลมตัวเลข?
เป้าหมายหลักวงกลมตัวเลข - แต่ละตัวเลขจะกำหนดจุดของมันโดยไม่ซ้ำกัน แต่คุณจะกำหนดได้อย่างไรว่าจะวางประเด็นไว้ตรงไหน หากคุณไม่รู้ว่าจะนับจากตรงไหนและจะย้ายไปที่ไหน?
สิ่งสำคัญคือต้องไม่สร้างความสับสนให้กับจุดเริ่มต้นบนเส้นพิกัดและบนวงกลมตัวเลข - นี่คือระบบอ้างอิงสองระบบที่แตกต่างกัน! และอย่าสับสน \(1\) บนแกน \(x\) และ \(0\) บนวงกลม - จุดเหล่านี้อยู่บนวัตถุต่างกัน
จุดใดตรงกับตัวเลข \(1\), \(2\) ฯลฯ
โปรดจำไว้ว่า เราสันนิษฐานว่าวงกลมจำนวนมีรัศมี \(1\)? นี่จะเป็นส่วนของหน่วยของเรา (โดยการเปรียบเทียบกับแกนตัวเลข) ซึ่งเราจะวาดบนวงกลม
ในการทำเครื่องหมายจุดบนวงกลมตัวเลขที่ตรงกับหมายเลข 1 คุณต้องไปจาก 0 ไปยังระยะทางเท่ากับรัศมีในทิศทางบวก
ในการทำเครื่องหมายจุดบนวงกลมที่ตรงกับตัวเลข \(2\) คุณจะต้องเดินทางเป็นระยะทางเท่ากับสองรัศมีจากจุดกำเนิด ดังนั้น \(3\) จึงมีระยะห่างเท่ากับสามรัศมี เป็นต้น
เมื่อดูภาพนี้ คุณอาจมีคำถาม 2 ข้อ:
1. จะเกิดอะไรขึ้นเมื่อวงกลม “สิ้นสุด” (เช่น เราปฏิวัติเต็มรูปแบบ)?
ตอบ : ไปรอบสองกันเถอะ! และเมื่ออันที่สองจบลง เราจะไปอันที่สามต่อไปเรื่อยๆ ดังนั้นจึงสามารถวาดจำนวนอนันต์บนวงกลมได้
2. พวกเขาจะอยู่ที่ไหน ตัวเลขติดลบ?
คำตอบ: ตรงนั้น! นอกจากนี้ยังสามารถจัดเรียงได้โดยนับจากศูนย์ตามจำนวนรัศมีที่ต้องการ แต่ตอนนี้อยู่ในทิศทางลบ
น่าเสียดายที่การระบุจำนวนเต็มบนวงกลมตัวเลขเป็นเรื่องยาก นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่าความยาวของวงกลมตัวเลขจะไม่เท่ากับจำนวนเต็ม: \(2π\) และในตำแหน่งที่สะดวกที่สุด (ตรงจุดตัดกับแกน) ก็จะมีเศษส่วนด้วยไม่ใช่จำนวนเต็ม
เรานำเสนอบทเรียนวิดีโอในหัวข้อ "วงกลมตัวเลข" ให้คุณทราบ ให้คำจำกัดความว่าไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์ และฟังก์ชันคืออะไร ย= บาป x, ย= เพราะ x, ย= ทีจี x, ย= กะรัต xสำหรับอาร์กิวเมนต์ตัวเลขใดๆ เราพิจารณาปัญหามาตรฐานของการโต้ตอบระหว่างตัวเลขและจุดในวงกลมหมายเลขหน่วยเพื่อค้นหาจุดเดียวสำหรับแต่ละหมายเลข และในทางกลับกัน เพื่อค้นหาชุดตัวเลขที่ตรงกันสำหรับแต่ละจุด
หัวข้อ: องค์ประกอบของทฤษฎี ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
บทเรียน: วงกลมตัวเลข
เป้าหมายเร่งด่วนของเราคือการกำหนดฟังก์ชันตรีโกณมิติ: ไซนัส, โคไซน์, แทนเจนต์, โคแทนเจนต์-
อาร์กิวเมนต์ตัวเลขสามารถลงจุดบนเส้นพิกัดหรือบนวงกลมได้
วงกลมดังกล่าวเรียกว่าวงกลมตัวเลขหรือหน่วยเพราะว่า เพื่อความสะดวกให้ใช้วงกลมด้วย
เช่น กำหนดจุดไว้บนเส้นพิกัด
และต่อไป วงกลมตัวเลข.
เมื่อทำงานกับวงกลมตัวเลข มีการตกลงกันไว้ว่าการเคลื่อนไหวทวนเข็มนาฬิกาเป็นทิศทางบวก ตามเข็มนาฬิกาเป็นทิศทางลบ
งานทั่วไป - คุณต้องกำหนดพิกัด จุดที่กำหนดหรือในทางกลับกัน ค้นหาจุดตามพิกัดของมัน
เส้นพิกัดจะสร้างการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างจุดและตัวเลข ตัวอย่างเช่น ตัวเลขสอดคล้องกับจุด A ที่มีพิกัด
แต่ละจุด B ที่มีพิกัดจะมีลักษณะเฉพาะด้วยตัวเลขเพียงตัวเดียว นั่นคือระยะห่างจาก 0 ถึงจุดที่มีเครื่องหมายบวกหรือลบ
บนวงกลมตัวเลข การติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งจะใช้ได้ในทิศทางเดียวเท่านั้น
ตัวอย่างเช่น มีจุด B บนวงกลมพิกัด (รูปที่ 2) ความยาวของส่วนโค้งคือ 1 นั่นคือ จุดนี้สอดคล้องกับ 1
เมื่อพิจารณาจากวงกลม ความยาวของวงกลม ถ้าเท่ากับความยาวของวงกลมหนึ่งหน่วย
ถ้าเราบวก เราจะได้จุด B เดียวกัน เราก็ไปถึงจุด B ด้วย ลบ - ด้วยจุด B
พิจารณาจุด B: ความยาวส่วนโค้ง = 1 จากนั้นตัวเลขจะแสดงลักษณะของจุด B บนวงกลมตัวเลข
ดังนั้น หมายเลข 1 จึงสอดคล้องกับจุดเดียวบนวงกลมตัวเลข - จุด B และจุด B สอดคล้องกับจุดของแบบฟอร์มจำนวนอนันต์ .
ต่อไปนี้เป็นจริงสำหรับวงกลมตัวเลข:
ถ้าที มหากวงกลมตัวเลขตรงกับตัวเลข ก็จะสอดคล้องกับตัวเลขในแบบฟอร์มด้วย
คุณสามารถหมุนรอบวงกลมตัวเลขได้มากเท่าที่ต้องการในทิศทางบวกหรือลบ โดยจุดจะเท่ากัน ดังนั้นสมการตรีโกณมิติจึงมีคำตอบจำนวนอนันต์
เช่น ให้จุด D ตรงกับตัวเลขอะไร
เราวัดส่วนโค้ง
เซตของตัวเลขทั้งหมดที่ตรงกับจุด D
มาดูประเด็นหลักๆ บนวงกลมตัวเลขกันดีกว่า
ความยาวของเส้นรอบวงทั้งหมด
เหล่านั้น. การบันทึกหลายพิกัดอาจแตกต่างกัน .
ลองพิจารณาดู งานทั่วไปบนวงกลมตัวเลข
1. ให้ไว้: . ค้นหา: จุดบนวงกลมตัวเลข
มาเลือกส่วนทั้งหมดกัน:
จำเป็นต้องหาจุดบนวงกลมตัวเลข , แล้ว .
ชุดนี้มีจุดด้วย
2. ให้ไว้: . ค้นหา: จุดบนวงกลมตัวเลข
มีความจำเป็นต้องค้นหาt
ม. อยู่ในชุดนี้ด้วย
จากการแก้ปัญหามาตรฐานของการติดต่อกันระหว่างตัวเลขและจุดบนวงกลมตัวเลข เราพบว่าสำหรับแต่ละตัวเลขเราสามารถหาจุดเดียวได้ และสำหรับแต่ละจุดเราสามารถค้นหาชุดตัวเลขที่มีลักษณะเฉพาะด้วยจุดที่กำหนด
แบ่งส่วนโค้งออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กัน และทำเครื่องหมายจุด M และ N
ลองหาพิกัดทั้งหมดของจุดเหล่านี้กัน
เป้าหมายของเราคือการกำหนดฟังก์ชันตรีโกณมิติ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราต้องเรียนรู้วิธีระบุอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชัน เราดูที่จุดต่างๆ ของวงกลมหน่วยและแก้ไขปัญหาทั่วไปสองข้อ - หาจุดบนวงกลมจำนวนและจดพิกัดทั้งหมดของจุดบนวงกลมหน่วย
1. มอร์ดโควิช เอ.จี. และอื่น ๆ พีชคณิตชั้นประถมศึกษาปีที่ 9: หนังสือเรียน เพื่อการศึกษาทั่วไป สถาบัน.- ฉบับที่ 4. - อ.: Mnemosyne, 2002.-192 หน้า: ป่วย.
2. มอร์ดโควิช เอ.จี. และอื่น ๆ พีชคณิตชั้นประถมศึกษาปีที่ 9: หนังสือปัญหาสำหรับนักเรียน สถาบันการศึกษา/ A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina และคนอื่น ๆ - ฉบับที่ 4 - อ.: Mnemosyne, 2002.-143 หน้า: ป่วย
3. มาคารีเชฟ ยู. พีชคณิต ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9: การศึกษาสำหรับนักเรียนการศึกษาทั่วไป สถาบัน / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov — ฉบับที่ 7, ว. และเพิ่มเติม - ม.: นีโมซิน, 2551.
4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 ฉบับที่ 16 - ม., 2554. - 287 น.
5. Mordkovich A.G. พีชคณิต ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 ใน 2 ชั่วโมง ตอนที่ 1 หนังสือเรียนสำหรับนักเรียนสถาบันการศึกษาทั่วไป / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov — ฉบับที่ 12 ลบแล้ว - อ.: 2010. - 224 น.: ป่วย
6. พีชคณิต ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 ใน 2 ส่วน ส่วนที่ 2 หนังสือปัญหาสำหรับนักเรียนสถาบันการศึกษาทั่วไป / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina และคนอื่น ๆ ; เอ็ด เอ.จี. มอร์ดโควิช — ฉบับที่ 12, ว. - อ.: 2010.-223 น.: ป่วย
มอร์ดโควิช เอ.จี. และอื่น ๆ พีชคณิตชั้นประถมศึกษาปีที่ 9: หนังสือปัญหาสำหรับนักเรียนสถาบันการศึกษาทั่วไป / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina ฯลฯ - ฉบับที่ 4 - อ.: Mnemosyne, 2002.-143 หน้า: ป่วย
№№ 531; 536; 537; 541; 552.
บทเรียนและการนำเสนอในหัวข้อ: "วงกลมจำนวนบนระนาบพิกัด"
วัสดุเพิ่มเติม
เรียนผู้ใช้ อย่าลืมแสดงความคิดเห็น บทวิจารณ์ และความปรารถนาของคุณ! วัสดุทั้งหมดได้รับการตรวจสอบโดยโปรแกรมป้องกันไวรัส
คู่มือและตัวจำลองในร้านค้าออนไลน์ Integral สำหรับเกรด 10 จาก 1C
ปัญหาพีชคณิตเกี่ยวกับพารามิเตอร์ เกรด 9–11
การแก้ปัญหาทางเรขาคณิต งานก่อสร้างแบบโต้ตอบสำหรับเกรด 7-10
เราจะศึกษาอะไร:
1. คำจำกัดความ
2.พิกัดสำคัญของวงกลมตัวเลข
3. จะค้นหาพิกัดของวงกลมตัวเลขได้อย่างไร?
4. ตารางพิกัดหลักของวงกลมตัวเลข
5. ตัวอย่างการแก้ปัญหา
นิยามของวงกลมตัวเลขบนระนาบพิกัด
ใส่วงกลมตัวเลขลงไป ประสานงานเครื่องบินเพื่อให้จุดศูนย์กลางของวงกลมตรงกับจุดกำเนิดของพิกัด และรัศมีของวงกลมนั้นถือเป็นส่วนของหน่วย จุดเริ่มต้นของวงกลมตัวเลข A จะรวมกับจุด (1;0)แต่ละจุดบนวงกลมตัวเลขจะมีพิกัด x และ y ของตัวเองในระนาบพิกัด และ:
1) สำหรับ $x > 0$, $y > 0$ - ในไตรมาสแรก
2) สำหรับ $x 0$ - ในไตรมาสที่สอง
3) สำหรับ $x 4) สำหรับ $x > 0$, $y
สำหรับจุดใดๆ $M(x; y)$ บนวงกลมตัวเลข ถือว่าสมการต่อไปนี้: $-1
จำสมการของวงกลมจำนวน: $x^2 + y^2 = 1$
เป็นสิ่งสำคัญสำหรับเราที่จะต้องเรียนรู้วิธีค้นหาพิกัดของจุดบนวงกลมตัวเลขที่แสดงในรูป
ลองหาพิกัดของจุด $\frac(π)(4)$ กัน
จุด $M(\frac(π)(4))$ คือจุดกึ่งกลางของควอเตอร์แรก ให้เราปล่อย MR ตั้งฉากจากจุด M ไปยังเส้นตรง OA แล้วพิจารณาสามเหลี่ยม OMP เนื่องจากส่วนโค้ง AM คือครึ่งหนึ่งของส่วนโค้ง AB ดังนั้น $∠MOP=45°$ดังนั้นสามเหลี่ยม OMP คือหน้าจั่ว สามเหลี่ยมมุมฉากและ $OP=MP$ เช่น ที่จุด M abscissa และ ordinate เท่ากัน: $x = y$
เนื่องจากพิกัดของจุด $M(x;y)$ เป็นไปตามสมการของวงกลมจำนวน ดังนั้นหากต้องการค้นหาคุณต้องแก้ระบบสมการ:
$\begin (กรณี) x^2 + y^2 = 1,\\ x = y \end (กรณี)$
หลังจากแก้ไขระบบนี้แล้ว เราจะได้: $y = x =\frac(\sqrt(2))(2)$
ซึ่งหมายความว่าพิกัดของจุด M ที่สอดคล้องกับตัวเลข $\frac(π)(4)$ จะเป็น $M(\frac(π)(4))=M(\frac(\sqrt(2))( 2);\frac (\sqrt(2))(2))$.
พิกัดของจุดที่แสดงในรูปก่อนหน้าคำนวณในลักษณะเดียวกัน
พิกัดของจุดบนวงกลมตัวเลข
ลองดูตัวอย่าง
ตัวอย่างที่ 1ค้นหาพิกัดของจุดบนวงกลมตัวเลข: $P(45\frac(π)(4))$
สารละลาย:
$45\frac(π)(4) = (10 + \frac(5)(4)) * π = 10π +5\frac(π)(4) = 5\frac(π)(4) + 2π*5 $.
ซึ่งหมายความว่าตัวเลข $45\frac(π)(4)$ สอดคล้องกับจุดเดียวกันบนวงกลมตัวเลขกับตัวเลข $\frac(5π)(4)$ เมื่อดูค่าของจุด $\frac(5π)(4)$ ในตาราง เราจะได้: $P(\frac(45π)(4))=P(-\frac(\sqrt(2))( 2);-\frac (\sqrt(2))(2))$.
ตัวอย่างที่ 2
ค้นหาพิกัดของจุดบนวงกลมตัวเลข: $P(-\frac(37π)(3))$
สารละลาย:
เพราะ ตัวเลข $t$ และ $t+2π*k$ โดยที่ k เป็นจำนวนเต็ม สอดคล้องกับจุดเดียวกันบนวงกลมตัวเลข ดังนั้น:
$-\frac(37π)(3) = -(12 + \frac(1)(3))*π = -12π –\frac(π)(3) = -\frac(π)(3) + 2π *(-6)$.
ซึ่งหมายความว่าตัวเลข $-\frac(37π)(3)$ สอดคล้องกับจุดเดียวกันบนวงกลมตัวเลขกับตัวเลข $–\frac(π)(3)$ และตัวเลข –$\frac(π) (3)$ ตรงกับจุดเดียวกันกับ $\frac(5π)(3)$ เมื่อดูค่าของจุด $\frac(5π)(3)$ ในตาราง เราจะได้:
$P(-\frac(37π)(3))=P(\frac((1))(2);-\frac(\sqrt(3))(2))$.
ตัวอย่างที่ 3
ค้นหาจุดบนวงกลมตัวเลขโดยกำหนด $y =\frac(1)(2)$ แล้วจดว่า $t$ ตรงกับตัวเลขใด
สารละลาย:
เส้นตรง $y =\frac(1)(2)$ ตัดกับวงกลมตัวเลขที่จุด M และ P โดยจุด M สอดคล้องกับตัวเลข $\frac(π)(6)$ (จากข้อมูลในตาราง) นี่หมายถึงตัวเลขใดๆ ในรูปแบบ: $\frac(π)(6)+2π*k$ จุด P สอดคล้องกับตัวเลข $\frac(5π)(6)$ ดังนั้นจึงเป็นตัวเลขใดๆ ในรูปแบบ $\frac(5π)(6) +2 π*k$
เราได้รับชุดค่านิยมสองชุด ดังที่มักกล่าวกันในกรณีเช่นนี้:
$\frac(π)(6) +2 π*k$ และ $\frac(5π)(6) +2π*k$
คำตอบ: $t=\frac(π)(6) +2 π*k$ และ $t=\frac(5π)(6) +2π*k$
ตัวอย่างที่ 4
หาจุดบนวงกลมตัวเลขด้วย abscissa $x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ แล้วจดว่า $t$ ตรงกับตัวเลขใดบ้าง
สารละลาย:
เส้นตรง $x =-\frac(\sqrt(2))(2)$ ตัดกับวงกลมตัวเลขที่จุด M และ P อสมการ $x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ สอดคล้องกัน จนถึงจุดส่วนโค้ง PM จุด M สอดคล้องกับตัวเลข $3\frac(π)(4)$ (จากข้อมูลในตาราง) นี่หมายถึงตัวเลขใดๆ ในรูปแบบ $-\frac(3π)(4) +2π*k$ จุด P สอดคล้องกับตัวเลข $-\frac(3π)(4)$ และดังนั้นจึงเป็นตัวเลขใดๆ ในรูปแบบ $-\frac(3π)(4) +2π*k$
จากนั้นเราจะได้ $-\frac(3π)(4) +2 π*k ≤t≤\frac(3π)(4) +2πk$
คำตอบ: $-\frac(3π)(4) +2 π*k ≤t≤\frac(3π)(4) +2πk$
ปัญหาที่ต้องแก้ไขอย่างอิสระ
1) ค้นหาพิกัดของจุดบนวงกลมตัวเลข: $P(\frac(61π)(6))$2) ค้นหาพิกัดของจุดบนวงกลมตัวเลข: $P(-\frac(52π)(3))$.
3) หาจุดบนวงกลมตัวเลขโดยกำหนด $y = -\frac(1)(2)$ แล้วจดว่า $t$ ตรงกับตัวเลขใด
4) หาจุดบนวงกลมตัวเลขโดยกำหนด $y ≥ -\frac(1)(2)$ แล้วจดว่า $t$ ตรงกับตัวเลขใดบ้าง
5) หาจุดบนวงกลมตัวเลขด้วย abscissa $x≥-\frac(\sqrt(3))(2)$ แล้วจดว่า $t$ ตรงกับตัวเลขใดบ้าง
บทที่ 9 วงกลมตัวเลข ไซน์และโคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์
วงกลมหนึ่งหน่วยคือวงกลมที่มีรัศมี 1
วงกลมตัวเลขเป็นวงกลมหนึ่งหน่วยซึ่งมีจุดตรงกับจำนวนจริงจำนวนหนึ่ง
มุมมองทั่วไปของวงกลมตัวเลข
1) รัศมีของมันถูกใช้เป็นหน่วยวัด
2) เส้นผ่านศูนย์กลางแนวนอนและแนวตั้งแบ่งวงกลมตัวเลขออกเป็นสี่ส่วน เรียกว่าไตรมาสที่หนึ่ง สอง สาม และสี่ตามลำดับ
3) เส้นผ่านศูนย์กลางแนวนอนแสดงด้วย AC โดยมี A เป็นจุดขวาสุด เส้นผ่านศูนย์กลางแนวตั้งถูกกำหนดให้เป็น BD โดยที่ B คือจุดสูงสุด
ไตรมาสแรกคือส่วนโค้ง AB
ไตรมาสที่สอง - ส่วนโค้ง BC
ไตรมาสที่สาม - อาร์คซีดี
ไตรมาสที่สี่ - ส่วนโค้ง DA
4) จุดเริ่มต้นของวงกลมตัวเลขคือจุด A
การนับตามวงกลมตัวเลขสามารถทำได้ตามเข็มนาฬิกาหรือทวนเข็มนาฬิกา นับจากจุด A ขัดต่อตามเข็มนาฬิกาเรียกว่า ทิศทางเชิงบวก- นับจากจุด A โดยเรียกว่าตามเข็มนาฬิกา ทิศทางเชิงลบ.
วงกลมตัวเลขบนระนาบพิกัด
จุดศูนย์กลางของรัศมีของวงกลมตัวเลขตรงกับจุดกำเนิด (หมายเลข 0) เส้นผ่านศูนย์กลางแนวนอนสอดคล้องกับแกน x , แนวตั้ง - แกน ย - จุดเริ่มต้น A ของวงกลมตัวเลขอยู่บนแกน x และมีพิกัด (1; 0)
ค่านิยม xและ ยในสี่ส่วนของวงกลมตัวเลข:
ค่าของจุดใดๆ บนวงกลมตัวเลข:
จุดใดๆ บนวงกลมตัวเลขที่มีพิกัด (x; ย) ต้องไม่ต่ำกว่า -1 แต่ต้องไม่มากกว่า 1:  ; 
ค่าพื้นฐานของวงกลมตัวเลข:
ชื่อและที่ตั้งของจุดหลักบนวงกลมตัวเลข:
วิธีจำชื่อวงกลมตัวเลข
มีรูปแบบง่ายๆ หลายรูปแบบที่จะช่วยให้คุณจำชื่อพื้นฐานของวงกลมตัวเลขได้อย่างง่ายดาย ก่อนที่เราจะเริ่มต้น ให้เราเตือนคุณก่อน: การนับถอยหลังอยู่ในทิศทางบวก นั่นคือจากจุด A (2 ป) ทวนเข็มนาฬิกา
1) เริ่มจากกันก่อน จุดสูงสุดบนแกนพิกัด จุดเริ่มต้นคือ 2 ป(จุดขวาสุดบนแกน เอ็กซ์เท่ากับ 1) อย่างที่ทราบ2 ปคือเส้นรอบวง ครึ่งวงกลมจึงเป็น 1 ปหรือ ป- แกน เอ็กซ์แบ่งวงกลมออกเป็นสองส่วนพอดี ดังนั้นจุดซ้ายสุดบนแกน x เท่ากับ -1 จึงถูกเรียกว่า ป- จุดสูงสุดบนแกน y เท่ากับ 1 จะแบ่งครึ่งวงกลมด้านบนออก ซึ่งหมายความว่าหากเป็นครึ่งวงกลม ปแล้วครึ่งหนึ่งของครึ่งวงกลมก็คือ ป/2. พร้อมกัน ป/2 ก็คือหนึ่งในสี่ของวงกลมเช่นกัน ลองนับสามในสี่ตั้งแต่แรกถึงสาม - แล้วเราจะมาถึงจุดต่ำสุดบนแกน ที่เท่ากับ -1 ป/2.
แต่ถ้ามีสามในสี่ก็จะเรียกว่า 3 ที่ 2) ตอนนี้เรามาดูจุดที่เหลือกันดีกว่า โปรดทราบ: จุดตรงข้ามทั้งหมดมีตัวเศษเท่ากัน และเป็นจุดตรงข้ามที่สัมพันธ์กับแกน เอ็กซ์ ทั้งสัมพันธ์กับศูนย์กลางของแกนและสัมพันธ์กับแกน ป/6, ป- ซึ่งจะช่วยให้เราทราบค่าคะแนนโดยไม่ต้องอัดแน่น คุณจะต้องจำความหมายของประเด็นของควอเตอร์แรกเท่านั้น: ป/4 และ
/3. จากนั้นเราจะ “เห็น” รูปแบบบางอย่าง:คำนิยาม - หากจุด M ของวงกลมตัวเลขตรงกับตัวเลข t ดังนั้นจุดหักล้างของจุด M จะเรียกว่าโคไซน์ของตัวเลข t และเขียนแทนด้วยคอสที และพิกัดของจุด M เรียกว่าไซน์ของตัวเลข t และเขียนแทนด้วย.
บาป
/3. จากนั้นเราจะ “เห็น” รูปแบบบางอย่าง:ถ้า M(t) = M(x;y) แล้ว x = ราคาทุน y = sint
- อัตราส่วนของไซน์ของจำนวน t ต่อโคไซน์ของจำนวนเดียวกัน เรียกว่า แทนเจนต์ของจำนวน t
วงกลมตัวเลขอัตราส่วนของโคไซน์ของจำนวน t ต่อไซน์ของจำนวนเดียวกัน เรียกว่าโคแทนเจนต์ของจำนวน t
วงกลมหนึ่งหน่วยคือวงกลมที่มีรัศมี 1
มุมมองทั่วไปของวงกลมตัวเลข
1) รัศมีของมันถูกใช้เป็นหน่วยวัด
ตารางไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และเครื่องหมายโคแทนเจนต์สำหรับหนึ่งในสี่ของวงกลมจำนวน:
เป็นวงกลมหนึ่งหน่วยซึ่งมีจุดตรงกับจำนวนจริงจำนวนหนึ่ง
2) เส้นผ่านศูนย์กลางแนวนอนและแนวตั้งแบ่งวงกลมตัวเลขออกเป็นสี่ส่วน (ดูรูป) เรียกว่าไตรมาสที่หนึ่ง สอง สาม และสี่ตามลำดับ
ตามลำดับ:
ไตรมาสแรกคือส่วนโค้ง AB
ไตรมาสที่สอง – อาร์ค BC
ไตรมาสที่สาม – อาร์คซีดี
ไตรมาสที่สี่ – ส่วนโค้ง DA
4) จุดเริ่มต้นของวงกลมตัวเลขคือจุด A
การนับตามวงกลมตัวเลขสามารถทำได้ตามเข็มนาฬิกาหรือทวนเข็มนาฬิกา
นับจากจุด A เรียกว่าทวนเข็มนาฬิกา ทิศทางเชิงบวก.
นับจากจุด A ตามเข็มนาฬิกาเรียกว่า ทิศทางเชิงลบ.
วงกลมตัวเลขบนระนาบพิกัด
จุดศูนย์กลางของรัศมีของวงกลมตัวเลขตรงกับจุดกำเนิด (หมายเลข 0)
เส้นผ่านศูนย์กลางแนวนอนสอดคล้องกับแกน x, แนวตั้ง – แกน ย.
จุดเริ่มต้น A ของวงกลมตัวเลขอยู่บนแกน xและมีพิกัด (1; 0)
ค่านิยมxและยในสี่ส่วนของวงกลมตัวเลข:
ค่าพื้นฐานของวงกลมตัวเลข:
ชื่อและที่ตั้งของจุดหลักบนวงกลมตัวเลข:
วิธีจำชื่อวงกลมตัวเลข
มีรูปแบบง่ายๆ หลายรูปแบบที่จะช่วยให้คุณจำชื่อพื้นฐานของวงกลมตัวเลขได้อย่างง่ายดาย
ก่อนที่เราจะเริ่มต้น ให้เราเตือนคุณก่อน: การนับจะดำเนินการในทิศทางบวก นั่นคือจากจุด A (2π) ทวนเข็มนาฬิกา
1) เริ่มจากจุดสูงสุดบนแกนพิกัดกันก่อน
จุดเริ่มต้นคือ 2π (จุดขวาสุดบนแกน เอ็กซ์เท่ากับ 1)
ดังที่คุณทราบ 2π คือเส้นรอบวงของวงกลม ซึ่งหมายความว่าครึ่งวงกลมคือ 1π หรือ π แกน เอ็กซ์แบ่งวงกลมออกเป็นสองส่วนพอดี ดังนั้นจุดซ้ายสุดบนแกน เอ็กซ์เท่ากับ -1 เรียกว่า π
จุดสูงสุดบนแกน ที่เท่ากับ 1 แบ่งครึ่งวงกลมบนออกเป็นสองส่วน ซึ่งหมายความว่า ถ้าครึ่งวงกลมเป็น π ครึ่งหนึ่งของครึ่งวงกลมก็จะเป็น π/2
ในขณะเดียวกัน π/2 ก็เป็นหนึ่งในสี่ของวงกลมด้วย ลองนับสามในสี่ตั้งแต่แรกถึงสาม - แล้วเราจะมาถึงจุดต่ำสุดบนแกน ที่เท่ากับ -1 แต่ถ้ามีสามในสี่ ชื่อของมันคือ 3π/2
2) ตอนนี้เรามาดูจุดที่เหลือกันดีกว่า โปรดทราบ: จุดตรงข้ามทั้งหมดมีตัวเศษเท่ากัน และเป็นจุดตรงข้ามที่สัมพันธ์กับแกน ที่ทั้งสัมพันธ์กับศูนย์กลางของแกนและสัมพันธ์กับแกน เอ็กซ์- ซึ่งจะช่วยให้เราทราบค่าคะแนนโดยไม่ต้องอัดแน่น
คุณเพียงแค่ต้องจำความหมายของคะแนนของควอเตอร์แรกเท่านั้น: π/6, π/4 และ π/3 จากนั้นเราจะ “เห็น” รูปแบบบางอย่าง:
- สัมพันธ์กับแกน yณ จุดของควอเตอร์ที่ 2 ตรงข้ามกับจุดของควอเตอร์ที่ 1 ตัวเลขในตัวเศษจะน้อยกว่าขนาดของตัวส่วน 1 ตัวอย่างเช่น หาจุด π/6 จุดตรงข้ามกับจุดนั้นสัมพันธ์กับแกน ที่มี 6 ในตัวส่วนและมี 5 ในตัวเศษ (น้อยกว่า 1) นั่นคือชื่อของจุดนี้คือ: 5π/6 จุดที่อยู่ตรงข้าม π/4 ก็มี 4 ในตัวส่วนและมี 3 ในตัวเศษ (1 น้อยกว่า 4) นั่นคือมันคือจุด 3π/4
จุดตรงข้าม π/3 มี 3 ในตัวส่วนเช่นกัน และน้อยกว่า 1 ตัวในตัวเศษ: 2π/3
- สัมพันธ์กับศูนย์กลางของแกนพิกัดทุกอย่างกลับตรงกันข้าม: ตัวเลขในตัวเศษของจุดตรงข้าม (ในไตรมาสที่สาม) มากกว่าค่าของตัวส่วน 1 ลองหาจุด π/6 อีกครั้ง จุดตรงข้ามเมื่อเทียบกับจุดศูนย์กลางก็มี 6 ในตัวส่วนเช่นกัน และในตัวเศษนั้นตัวเลขจะมากกว่า 1 นั่นคือ มันคือ 7π/6
จุดที่อยู่ตรงข้ามจุด π/4 มี 4 ในตัวส่วนด้วย และในตัวเศษ จะมีจำนวนมากกว่า 1: 5π/4
จุดที่อยู่ตรงข้ามจุด π/3 มี 3 ในตัวส่วนด้วย และในตัวเศษจะมีจำนวนมากกว่า 1: 4π/3
- สัมพันธ์กับแกน เอ็กซ์(ไตรมาสที่สี่)เรื่องมีความซับซ้อนมากขึ้น ที่นี่คุณต้องเพิ่มค่าของตัวส่วนเป็นตัวเลขที่น้อยกว่า 1 - ผลรวมนี้จะเท่ากับส่วนตัวเลขของตัวเศษของจุดตรงข้าม เริ่มต้นใหม่อีกครั้งด้วย π/6. ลองบวกค่าตัวส่วนเท่ากับ 6 ให้กับตัวเลขที่น้อยกว่าตัวเลขนี้ 1 - นั่นคือ 5 เราได้: 6 + 5 = 11 ซึ่งหมายความว่ามันอยู่ตรงข้ามกับแกน เอ็กซ์จุดจะมี 6 ในตัวส่วนและ 11 ในตัวเศษ นั่นคือ 11π/6
จุด π/4 เราบวกค่าของตัวส่วนด้วยจำนวน 1 ที่น้อยกว่า: 4 + 3 = 7 ซึ่งหมายความว่ามันอยู่ตรงข้ามกับมันสัมพันธ์กับแกน เอ็กซ์จุดมี 4 ในตัวส่วนและมี 7 ในตัวเศษ นั่นคือ 7π/4
จุด π/3 ตัวส่วนคือ 3 เราบวกตัวเลขที่น้อยกว่าเข้ากับ 3 ด้วย 1 นั่นคือ 2 เราได้ 5 ซึ่งหมายความว่าจุดที่อยู่ตรงข้ามกับมันมี 5 ในตัวเศษ - และนี่คือจุด 5π/3
3) อีกรูปแบบหนึ่งสำหรับจุดกึ่งกลางของควอเตอร์ ชัดเจนว่าตัวส่วนของมันคือ 4. มาดูตัวเศษกัน. ตัวเศษของจุดกึ่งกลางของควอเตอร์แรกคือ 1π (แต่ไม่ใช่เรื่องปกติที่จะเขียน 1) ตัวเศษของตรงกลางควอเตอร์ที่สองคือ 3π ตัวเศษของตรงกลางควอเตอร์ที่สามคือ 5π ตัวเศษของช่วงกลางควอเตอร์ที่สี่คือ 7π ปรากฎว่าตัวเศษของควอเตอร์ตรงกลางมีเลขคี่สี่ตัวแรกเรียงจากน้อยไปหามาก:
(1)π, 3π, 5π, 7π
นี่เป็นเรื่องง่ายมาก เนื่องจากจุดกึ่งกลางของควอเตอร์ทั้งหมดมี 4 ในตัวส่วน เราจึงรู้อยู่แล้ว ชื่อเต็ม: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4
คุณสมบัติของวงกลมตัวเลข เปรียบเทียบกับเส้นจำนวน
ดังที่คุณทราบ บนเส้นจำนวน แต่ละจุดจะสอดคล้องกัน เอกพจน์- ตัวอย่างเช่น หากจุด A บนเส้นตรงเท่ากับ 3 ก็จะไม่สามารถเท่ากับจำนวนอื่นได้อีกต่อไป
ต่างกันที่วงกลมตัวเลขเพราะเป็นวงกลม ตัวอย่างเช่น ในการที่จะเดินทางจากจุด A ของวงกลมไปยังจุด M คุณสามารถทำได้เหมือนกับเป็นเส้นตรง (ผ่านส่วนโค้งเท่านั้น) หรือคุณสามารถวนรอบวงกลมทั้งหมดแล้วมาที่จุด M บทสรุป:
ให้จุด M เท่ากับจำนวน t ดังที่เราทราบ เส้นรอบวงของวงกลมคือ 2π ซึ่งหมายความว่าเราสามารถเขียนจุดบนวงกลม t ได้สองวิธี: t หรือ t + 2π สิ่งเหล่านี้เป็นค่าที่เทียบเท่ากัน
นั่นคือ t = t + 2π ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือในกรณีแรกคุณมาถึงจุด M ทันทีโดยไม่สร้างวงกลม และในกรณีที่สองคุณสร้างวงกลม แต่สุดท้ายก็อยู่ที่จุด M เดียวกัน คุณสามารถสร้างวงกลมได้สองสามหรือสองร้อยจุด แวดวง ถ้าเราแทนจำนวนวงกลมด้วยตัวอักษร เคจากนั้นเราจะได้นิพจน์ใหม่:
เสื้อ = เสื้อ + 2π เค.
ดังนั้นสูตร:
สมการวงกลมจำนวน
(สมการที่สองอยู่ในหัวข้อ “ไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์, โคแทนเจนต์”):
x 2 + y 2 = 1 |