วิธีค้นหาผลคูณของเวกเตอร์แบบผสม ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์
เครื่องคิดเลขออนไลน์นี้จะคำนวณผลคูณของเวกเตอร์แบบผสม ที่ให้ไว้ วิธีแก้ปัญหาโดยละเอียด- ในการคำนวณผลคูณของเวกเตอร์แบบผสม ให้เลือกวิธีการแสดงเวกเตอร์ (ตามพิกัดหรือสองจุด) ป้อนข้อมูลลงในเซลล์แล้วคลิกที่ปุ่ม "คำนวณ"
×
คำเตือน
ล้างเซลล์ทั้งหมดใช่ไหม
ปิด ล้าง
คำแนะนำในการป้อนข้อมูลตัวเลขจะป้อนเป็นจำนวนเต็ม (เช่น 487, 5, -7623 เป็นต้น) ทศนิยม (เช่น 67., 102.54 เป็นต้น) หรือเศษส่วน เศษส่วนจะต้องกรอกในรูปแบบ a/b โดยที่ a และ b (b>0) เป็นจำนวนเต็ม หรือ ตัวเลขทศนิยม- ตัวอย่าง 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 เป็นต้น
ผลคูณผสมของเวกเตอร์ (ทฤษฎี)
งานผสม เวกเตอร์สามตัวคือตัวเลขที่ได้จากผลคูณสเกลาร์ของผลลัพธ์ของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัวแรกและเวกเตอร์ตัวที่สาม กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้าให้เวกเตอร์สามตัว ก, ขและ คจากนั้นเพื่อให้ได้ผลคูณของเวกเตอร์เหล่านี้ ขั้นแรกให้นำเวกเตอร์สองตัวแรกและเวกเตอร์ผลลัพธ์มาคูณกัน [ เกี่ยวกับ] คูณด้วยเวกเตอร์แบบสเกลาร์ ค.
ผลคูณผสมของเวกเตอร์สามตัว ก, ขและ คแสดงไว้ดังนี้: เอบีซีหรืออย่างนั้น ( ก,ข,ค- จากนั้นเราก็สามารถเขียนได้ว่า:
เอบีซี=([เกี่ยวกับ],ค) |
ก่อนที่จะกำหนดทฤษฎีบทที่เป็นตัวแทน ความหมายทางเรขาคณิตผลิตภัณฑ์แบบผสม ทำความคุ้นเคยกับแนวคิดของระบบสามทางขวา สามทางซ้าย ระบบพิกัดทางขวา ระบบพิกัดทางซ้าย (คำจำกัดความ 2, 2" และ 3 บนผลคูณเวกเตอร์หน้าของเวกเตอร์ออนไลน์)
เพื่อความชัดเจน ต่อไปนี้เราจะพิจารณาเฉพาะระบบพิกัดทางขวาเท่านั้น
ทฤษฎีบท 1 ผลคูณผสมของเวกเตอร์ ([เกี่ยวกับ],ค) เท่ากับปริมาตรของเส้นขนานที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์ที่ลดจุดกำเนิดร่วม ก ข คโดยมีเครื่องหมายบวก ถ้าเป็นสาม ก ข คขวา และมีเครื่องหมายลบถ้าสาม ก ข คซ้าย ถ้าเป็นเวกเตอร์ ก ข คเป็นระนาบเดียวกัน ดังนั้น ([ เกี่ยวกับ],ค) เท่ากับศูนย์
ข้อพิสูจน์ 1. ความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:
ดังนั้นเราก็พอจะพิสูจน์ได้ว่า
([เกี่ยวกับ],ค)=([ก่อนคริสต์ศักราช],ก) | (3) |
จากนิพจน์ (3) จะเห็นชัดเจนว่าทางซ้ายและ ด้านขวาเท่ากับปริมาตรของเส้นขนาน แต่สัญญาณของด้านขวาและด้านซ้ายเกิดขึ้นพร้อมกัน เนื่องจากเวกเตอร์สามเท่า เอบีซีและ ก่อนคริสต์ศักราชมีทิศทางเดียวกัน
ความเท่าเทียมกันที่พิสูจน์แล้ว (1) ช่วยให้เราสามารถเขียนผลคูณผสมของเวกเตอร์สามตัวได้ ก ข คแค่อยู่ในรูปแบบ เอบีซีโดยไม่ระบุว่าเวกเตอร์สองตัวใดถูกคูณด้วยเวกเตอร์ด้วยสองตัวแรกหรือสองตัวสุดท้าย
ข้อพิสูจน์ที่ 2 เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความเป็นระนาบร่วมของเวกเตอร์สามตัวคือ ผลคูณผสมของเวกเตอร์นั้นมีค่าเท่ากับศูนย์
การพิสูจน์เป็นไปตามทฤษฎีบทที่ 1 โดยแท้จริงแล้ว หากเวกเตอร์เป็นแบบระนาบเดียวกัน ผลคูณผสมของเวกเตอร์เหล่านี้จะเท่ากับศูนย์ ในทางกลับกัน หากผลคูณผสมมีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้น coplanarity ของเวกเตอร์เหล่านี้จึงตามมาจากทฤษฎีบทที่ 1 (เนื่องจากปริมาตรของเวกเตอร์ที่สร้างขนานกันลดลงเหลือจุดกำเนิดร่วมจะเท่ากับศูนย์)
ข้อพิสูจน์ 3 ผลคูณผสมของเวกเตอร์สามตัวซึ่งสองตัวตรงกันมีค่าเท่ากับศูนย์
จริงหรือ. หากเวกเตอร์สองในสามตัวตรงกัน ก็จะเป็นโคพลานาร์ ดังนั้นผลคูณผสมของเวกเตอร์เหล่านี้จึงเท่ากับศูนย์
ผลคูณผสมของเวกเตอร์ในพิกัดคาร์ทีเซียน
ทฤษฎีบท 2 กำหนดให้เวกเตอร์สามตัว ก, ขและ คกำหนดโดยพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียน
การพิสูจน์. งานผสม เอบีซีเท่ากับผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ [ เกี่ยวกับ] และ ค- ผลคูณไขว้ของเวกเตอร์ [ เกี่ยวกับ] วี พิกัดคาร์ทีเซียนคำนวณโดยสูตร ():
นิพจน์สุดท้ายสามารถเขียนได้โดยใช้ปัจจัยกำหนดลำดับที่สอง:
จำเป็นและเพียงพอสำหรับดีเทอร์มิแนนต์ที่จะเท่ากับศูนย์ ซึ่งแถวนั้นเต็มไปด้วยพิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้ เช่น:
. | (7) |
เพื่อพิสูจน์ข้อพิสูจน์ การพิจารณาสูตร (4) และข้อพิสูจน์ 2 ก็เพียงพอแล้ว
ผลคูณของเวกเตอร์พร้อมตัวอย่าง
ตัวอย่างที่ 1 ค้นหาผลคูณของเวกเตอร์ เอบีซี, ที่ไหน
ผลคูณผสมของเวกเตอร์ ก ข คเท่ากับดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ ล- ลองคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์กัน ลขยายดีเทอร์มิแนนต์ตามบรรทัดที่ 1:
จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ ก.
เพื่อพิจารณาหัวข้อดังกล่าวโดยละเอียด จำเป็นต้องกล่าวถึงหัวข้ออื่นๆ อีกหลายๆ หัวข้อ หัวข้อนี้เกี่ยวข้องโดยตรงกับคำศัพท์ เช่น ผลิตภัณฑ์ดอทและผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ ในบทความนี้เราได้พยายามที่จะให้ คำจำกัดความที่แม่นยำระบุสูตรที่จะช่วยกำหนดผลคูณโดยใช้พิกัดของเวกเตอร์ นอกจากนี้ บทความนี้ยังมีส่วนแสดงคุณสมบัติของงานและการนำเสนออีกด้วย การวิเคราะห์โดยละเอียดความเสมอภาคและปัญหาทั่วไป
ยานเดกซ์RTB R-A-339285-1
ภาคเรียน
เพื่อกำหนดว่าอะไรคือ เทอมนี้คุณต้องหาเวกเตอร์สามตัว
คำจำกัดความ 1
งานผสม a → , b → และ d → คือค่าที่เท่ากับผลคูณสเกลาร์ของ a → × b → และ d → โดยที่ a → × b → คือการคูณของ a → และ b → การดำเนินการคูณ a →, b → และ d → มักเขียนแทน a → · b → · d → คุณสามารถแปลงสูตรดังนี้: a → · b → · d → = (a → × b → , d →)
การคูณในระบบพิกัด
เราสามารถคูณเวกเตอร์ได้หากระบุไว้บนระนาบพิกัด
เอาล่ะ ผม → , j → , k →
ผลคูณของเวกเตอร์ในกรณีนี้จะมี มุมมองถัดไป: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x + a x · b z) · j → + (a x · b y + a y · b x) · k → = a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k →
คำจำกัดความ 2
เมื่อต้องการทำดอทโปรดัคในระบบพิกัดจำเป็นต้องเพิ่มผลลัพธ์ที่ได้รับระหว่างการคูณพิกัด
จากนี้จะเป็นดังนี้:
a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x + a x b z) j → + (a x b y + a y b x) k → = a x a z b y b z i → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k →
นอกจากนี้เรายังสามารถนิยามผลคูณของเวกเตอร์ได้หากระบบพิกัดที่กำหนดระบุพิกัดของเวกเตอร์ที่กำลังคูณ
a → × b → = (a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k → , d x · i → + d y · j → + d z · k →) = = a y a z b y b z · d x - a x a z b x b z · d y + x a y b x b y z = ก x ก ย ก ซ ข x ข y ข d x ดี ย d z
ดังนั้นเราสามารถสรุปได้ว่า:
ก → · b → · d = a → × b → , d → = a x ay a z b x b y b z d x d y d z
คำจำกัดความ 3
สามารถบรรจุผลิตภัณฑ์ผสมได้ไปยังดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ซึ่งมีแถวเป็นพิกัดเวกเตอร์ เมื่อมองเห็นจะมีลักษณะดังนี้: a → · b → · d = a → × b → , d → = a x a y a z b x b y b z d x d y d z
คุณสมบัติของการดำเนินการกับเวกเตอร์ จากคุณสมบัติที่โดดเด่นในผลคูณสเกลาร์หรือเวกเตอร์ เราสามารถรับคุณสมบัติที่กำหนดลักษณะของผลคูณผสมได้ ด้านล่างนี้เรานำเสนอคุณสมบัติหลัก
- (แลมบ์ดา →) b → d → = ก → (แลม b →) d → = a → b → (แลมบ์ →) = แลม → b → d → แลมบ์ ∈ R ;
- ก → · b → · d → = d → · a → · b → = b → · d → · a → ; ก → · d → · b → = b → · a → · d → = d → · b → · a → ;
- (ก (1) → + ก (2) →) · b → · d → = a (1) → · b → · d → + a (2) → · b → · d → a → · (b (1 ) → + b (2) →) · d → = a → · b (1) → · d → + a → · b (2) → · d → a → · b → · (d (1) → + d (2) →) = ก → ข → ง (2) → + ก → ข → ง (2) →
นอกจากคุณสมบัติข้างต้นแล้ว ควรชี้แจงด้วยว่าหากตัวคูณเป็นศูนย์ ผลลัพธ์ของการคูณก็จะเป็นศูนย์ด้วย
ผลลัพธ์ของการคูณจะเป็นศูนย์เช่นกันหากตัวประกอบตั้งแต่สองตัวขึ้นไปเท่ากัน
อันที่จริง ถ้า a → = b → ดังนั้น ตามคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ [ a → × b → ] = a → · b → · sin 0 = 0 ดังนั้น ผลคูณผสมจะเท่ากับศูนย์ เนื่องจาก ([ ก → × ข → ] , d →) = (0 → , d →) = 0 .
ถ้า a → = b → หรือ b → = d → แล้วมุมระหว่างเวกเตอร์ [a → × b →] และ d → จะเท่ากับ π 2 ตามคำนิยามผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ ([ a → × b → ], d →) = [ a → × b → ] · d → · cos π 2 = 0
คุณสมบัติของการดำเนินการคูณมักจำเป็นเมื่อแก้ไขปัญหา
เพื่อที่จะตรวจสอบอย่างละเอียด หัวข้อนี้ลองยกตัวอย่างและอธิบายโดยละเอียดกัน
ตัวอย่างที่ 1
พิสูจน์ความเท่าเทียมกัน ([ a → × b → ], d → + lad a → + b →) = ([ a → × b → ], d →) โดยที่ lad คือจำนวนจริงบางจำนวน
เพื่อหาทางแก้ความเท่าเทียมกันนี้ จะต้องเปลี่ยนด้านซ้าย เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณต้องใช้คุณสมบัติที่สามของผลิตภัณฑ์แบบผสม ซึ่งระบุว่า:
([ a → × b → ], d → + lad a → + b →) = ([ a → × b → ], d →) + ([ a → × b → ], lad a →) + ( [ a → × ข → ] , ข →)
เราได้เห็นแล้วว่า (([ a → × b → ] , b →) = 0 จากนี้ไป
([ a → × b → ], d → + lad a → + b →) = ([ a → × b → ], d →) + ([ a → × b → ], lad a →) + ( [ a → × b → ] , b →) = = ([ a → × b → ] , d →) + ([ a → × b → ] , lad a →) + 0 = ([ a → × b → ] , d →) + ([ ก → × b → ] , แลม →)
ตามคุณสมบัติแรก ([ a ⇀ × b ⇀ ], lad a →) = lad ([ a ⇀ × b ⇀ ], a →) และ ([ a ⇀ × b ⇀ ], a →) = 0 ดังนั้น ([ a ⇀ × b ⇀ ], แล · a →) นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไม
([ a ⇀ × b ⇀ ], d → + lad a → + b →) = ([ a ⇀ × b ⇀ ], d →) + ([ a ⇀ × b ⇀ ], lad a →) = = ([ ก ⇀ × ข ⇀ ], d →) + 0 = ([ ก ⇀ × ข ⇀ ], d →)
ความเท่าเทียมกันได้รับการพิสูจน์แล้ว
ตัวอย่างที่ 2
มีความจำเป็นต้องพิสูจน์ว่าโมดูลัสของผลิตภัณฑ์ผสมของเวกเตอร์สามตัวนั้นไม่เกินผลคูณของความยาว
สารละลาย
ตามเงื่อนไข เราสามารถนำเสนอตัวอย่างในรูปแบบของความไม่เท่าเทียมกัน a → × b → , d → ≤ a → · b → · d →
ตามคำจำกัดความ เราแปลงความไม่เท่าเทียมกัน a → × b → , d → = a → × b → · d → · cos (a → × b → ^ , d →) = = a → · b → · sin (a → , ข → ^) · d → · cos ([ a → × b → ^ ] , d)
โดยใช้ ฟังก์ชันเบื้องต้นเราสามารถสรุปได้ว่า 0 ≤ sin (a → , b → ^) ≤ 1, 0 ≤ cos ([ a → × b → ^ ], d →) ≤ 1
จากนี้เราก็สรุปได้ว่า
(ก → × b → , d →) = a → · b → · บาป (a → , b →) ^ · d → · cos (a → × b → ^ , d →) ≤ ≤ a → · b → · 1 วัน → 1 = ก → ข → d →
ความไม่เท่าเทียมกันได้รับการพิสูจน์แล้ว
การวิเคราะห์งานทั่วไป
ในการที่จะรู้ว่าผลคูณของเวกเตอร์คืออะไร คุณจำเป็นต้องรู้พิกัดของเวกเตอร์ที่จะคูณกัน สำหรับการดำเนินการ คุณสามารถใช้สูตรต่อไปนี้ a → · b → · d → = (a → × b → , d →) = a x a y a z b x b y b z d x d y d z
ตัวอย่างที่ 3
ใน ระบบสี่เหลี่ยมพิกัด มีเวกเตอร์ 3 ตัวที่มีพิกัดต่อไปนี้: a → = (1, - 2, 3), b → (- 2, 2, 1), d → = (3, - 2, 5) มีความจำเป็นต้องพิจารณาว่าผลคูณของเวกเตอร์ที่ระบุ a → · b → · d → เท่ากับเท่าใด
ตามทฤษฎีที่นำเสนอข้างต้น เราสามารถใช้กฎที่ว่าผลคูณผสมสามารถคำนวณผ่านดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ได้ จะมีลักษณะดังนี้: a → · b → · d → = (a → × b → , d →) = a x a y a z b x b y b z d x d y d z = 1 - 2 3 - 2 2 1 3 - 2 5 = = 1 2 5 + (- 1 ) 1 3 + 3 (- 2) (- 2) - 3 2 3 - (- 1) (- 2) 5 - 1 1 (- 2) = - 7
ตัวอย่างที่ 4
จำเป็นต้องหาผลคูณของเวกเตอร์ i → + j → , i → + j → - k → , i → + j → + 2 · k → โดยที่ i → , j → , k → เป็นเวกเตอร์หน่วยของ ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม
ตามเงื่อนไขที่ระบุว่าเวกเตอร์อยู่ในระบบพิกัดที่กำหนด พิกัดของเวกเตอร์สามารถหาได้: i → + j → = (1, 1, 0) i → + j → - k → = (1, 1, - 1) ผม → + เจ → + 2 k → = (1, 1, 2)
เราใช้สูตรที่เคยใช้ข้างต้น
ผม → + j → × (i → + j → - k → , (i → + j → + 2 k →) = 1 1 0 1 1 - 1 1 1 2 = 0 ฉัน → + j → × (i → + เจ → - k → , (i → + j → + 2 k →) = 0
นอกจากนี้ยังสามารถกำหนดผลิตภัณฑ์ผสมโดยใช้ความยาวของเวกเตอร์ซึ่งทราบอยู่แล้วและมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านั้น ลองดูวิทยานิพนธ์นี้พร้อมตัวอย่าง
ตัวอย่างที่ 5
ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม มีเวกเตอร์ a →, b → และ d → สามตัว ซึ่งตั้งฉากกัน พวกเขาเป็นสามคนที่ถนัดขวาและมีความยาวคือ 4, 2 และ 3 จำเป็นต้องคูณเวกเตอร์
ให้เราแสดงว่า c → = a → × b → .
ตามกฎแล้วผลลัพธ์ของการคูณเวกเตอร์สเกลาร์คือตัวเลขที่เท่ากับผลลัพธ์ของการคูณความยาวของเวกเตอร์ที่ใช้โดยโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน เราสรุปได้ว่า a → · b → · d → = ([ a → × b → ], d →) = c → , d → = c → · d → · cos (c → , d → ^)
เราใช้ความยาวของเวกเตอร์ d → ที่ระบุในเงื่อนไขตัวอย่าง: a → b → d → = c → d → cos (c → , d → ^) = 3 c → cos (c → , d → ^) มีความจำเป็นต้องกำหนด c → และ c → , d → ^ . โดยเงื่อนไข a →, b → ^ = π 2, a → = 4, b → = 2 พบเวกเตอร์ c → โดยใช้สูตร: c → = [ a → × b → ] = a → · b → · sin a → , b → ^ = 4 · 2 · sin π 2 = 8
เราสามารถสรุปได้ว่า c → ตั้งฉากกับ a → และ b → เวกเตอร์ a → , b → , c → จะเป็นสามเหลี่ยมทางขวา ดังนั้นจึงใช้ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน เวกเตอร์ c → และ d → จะเป็นทิศทางเดียว นั่นคือ c → , d → ^ = 0 เมื่อใช้ผลลัพธ์ที่ได้รับ เราจะแก้ตัวอย่าง a → · b → · d → = 3 · c → · cos (c → , d → ^) = 3 · 8 · cos 0 = 24
ก → · b → · d → = 24 .
เราใช้ปัจจัย a → , b → และ d → .
เวกเตอร์ a → , b → และ d → มีต้นกำเนิดมาจากจุดเดียวกัน เราใช้มันเป็นด้านข้างเพื่อสร้างร่าง
ให้เราแสดงว่า c → = [ a → × b → ] . ในกรณีนี้ เราสามารถนิยามผลคูณของเวกเตอร์ได้เป็น a → · b → · d → = c → · d → · cos (c → , d → ^) = c → · n pc → d → โดยที่ n pc → d → คือเส้นโครงเชิงตัวเลขของเวกเตอร์ d → ไปยังทิศทางของเวกเตอร์ c → = [ a → × b → ]
ค่าสัมบูรณ์ n pc → d → เท่ากับตัวเลข ซึ่งเท่ากับความสูงของรูปที่ใช้เวกเตอร์ a → , b → และ d → เป็นด้าน จากข้อมูลนี้ ควรชี้แจงว่า c → = [ a → × b → ] ตั้งฉากกับ a → ทั้งเวกเตอร์และเวกเตอร์ตามคำจำกัดความของการคูณเวกเตอร์ ค่า c → = a → x b → เท่ากับพื้นที่ของเส้นขนานที่สร้างบนเวกเตอร์ a → และ b → .
เราสรุปได้ว่าโมดูลัสของผลิตภัณฑ์ a → · b → · d → = c → · n pc → d → เท่ากับผลลัพธ์ของการคูณพื้นที่ของฐานด้วยความสูงของรูปซึ่งสร้างขึ้นบน เวกเตอร์ a → , b → และ d → .
คำจำกัดความที่ 4
ค่าสัมบูรณ์ของผลคูณไขว้คือปริมาตรของเส้นขนาน: V พาร์ l l e l e p i p i d a = a → · b → · d →
สูตรนี้และมีความหมายทางเรขาคณิต
คำจำกัดความที่ 5
ปริมาตรของจัตุรมุขซึ่งสร้างบน a →, b → และ d → เท่ากับ 1/6 ของปริมาตรของเส้นขนาน เราจะได้ V t e t r a e d a = 1 6 · V par l l e l e p i d a = 1 6 · a → · b → · d →
เพื่อรวบรวมความรู้ เรามาดูตัวอย่างทั่วไปบางส่วนกัน
ตัวอย่างที่ 6
มีความจำเป็นต้องค้นหาปริมาตรของเส้นขนานซึ่งมีด้านเป็น A B → = (3, 6, 3), AC → = (1, 3, - 2), A A 1 → = (2, 2, 2) กำหนดไว้ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม ปริมาตรของเส้นขนานสามารถหาได้โดยใช้สูตรค่าสัมบูรณ์ ตามมาจากสิ่งนี้: A B → · AC →· A A 1 → = 3 6 3 1 3 - 2 2 2 2 = 3 · 3 · 2 + 6 · (- 2) · 2 + 3 · 1 · 2 - 3 · 3 · 2 - 6 1 2 - 3 (- 2) 2 = - 18
จากนั้น V พาร์ l l e l e p i p e d a = - 18 = 18
V p a r l l e l e p i p i d a = 18
ตัวอย่างที่ 7
ระบบพิกัดประกอบด้วยจุด A (0, 1, 0), B (3, - 1, 5), C (1, 0, 3), D (- 2, 3, 1) จำเป็นต้องกำหนดปริมาตรของจัตุรมุขซึ่งอยู่ที่จุดเหล่านี้
ลองใช้สูตร V t e t r a ed r a = 1 6 · AB → · AC → · AD D → เราสามารถกำหนดพิกัดของเวกเตอร์ได้จากพิกัดของจุด: A B → = (3 - 0, - 1 - 1, 5 - 0) = (3, - 2, 5) AC → = (1 - 0, 0 - 1 , 3 - 0 ) = (1 , - 1 , 3) AD → = (- 2 - 0 , 3 - 1 , 1 - 0) = (- 2 , 2 , 1)
ต่อไป เราจะหาผลคูณผสม A B → AC → AD → ด้วยพิกัดเวกเตอร์: A B → AC → AD → = 3 - 2 5 1 - 1 3 - 2 2 1 = 3 (- 1) 1 + (- 2 ) · 3 · (- 2) + 5 · 1 · 2 - 5 · (- 1) · (- 2) - (- 2) · 1 · 1 - 3 · 3 · 2 = - 7 ปริมาตร V t et r a ed r a = 1 6 · - 7 = 7 6 .
V t e t r a ed r a = 7 6 .
หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter
ในบทนี้ เราจะดูการดำเนินการกับเวกเตอร์อีกสองรายการ: ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์และ ผลคูณผสมของเวกเตอร์ (ลิงค์ทันทีสำหรับผู้ที่ต้องการมัน)- ไม่เป็นไร บางครั้งมันก็เกิดขึ้นเพื่อความสุขที่สมบูรณ์นอกเหนือจากนั้น ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์จำเป็นต้องมีมากขึ้นเรื่อยๆ นี่คือการเสพติดเวกเตอร์ อาจดูเหมือนว่าเรากำลังเข้าสู่ป่าแห่งเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ นี่เป็นสิ่งที่ผิด ในคณิตศาสตร์ชั้นสูงส่วนนี้ โดยทั่วไปแล้วจะมีไม้เพียงเล็กน้อย ยกเว้นบางทีอาจจะเพียงพอสำหรับพินอคคิโอ ในความเป็นจริงวัสดุนี้เป็นเรื่องธรรมดาและเรียบง่าย - แทบจะไม่ซับซ้อนไปกว่านี้อีกแล้ว ผลิตภัณฑ์ดอท, สม่ำเสมอ งานทั่วไปจะมีน้อยลง สิ่งสำคัญในเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ อย่างที่หลายคนเชื่อหรือเชื่ออยู่แล้ว ไม่ใช่การทำผิดพลาดในการคำนวณ ทำซ้ำเหมือนมนต์สะกดแล้วคุณจะมีความสุข =)
หากเวกเตอร์ส่องแสงอยู่ที่ไหนสักแห่งที่อยู่ห่างไกล เช่น ฟ้าแลบบนขอบฟ้า ก็ไม่สำคัญ ให้เริ่มด้วยบทเรียน เวกเตอร์สำหรับหุ่นจำลองเพื่อฟื้นฟูหรือรับความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับเวกเตอร์ ผู้อ่านที่เตรียมพร้อมมากขึ้นสามารถทำความคุ้นเคยกับข้อมูลได้อย่างเฉพาะเจาะจง ฉันพยายามรวบรวมให้มากที่สุด คอลเลกชันที่สมบูรณ์ตัวอย่างที่มักพบใน งานภาคปฏิบัติ
อะไรจะทำให้คุณมีความสุขทันที? เมื่อตอนที่ฉันยังเด็ก ฉันสามารถเล่นปาหี่ลูกบอลสองสามลูกได้ มันได้ผลดี ตอนนี้คุณไม่จำเป็นต้องเล่นปาหี่เลยเพราะเราจะพิจารณา เวกเตอร์เชิงพื้นที่เท่านั้นและเวกเตอร์แฟลตที่มีพิกัดสองพิกัดจะถูกละไว้ ทำไม นี่คือที่มาของการกระทำเหล่านี้ - เวกเตอร์และผลคูณผสมของเวกเตอร์ถูกกำหนดและทำงานในพื้นที่สามมิติ ง่ายกว่านี้แล้ว!
การดำเนินการนี้เหมือนกับผลคูณสเกลาร์ที่เกี่ยวข้อง เวกเตอร์สองตัว- ปล่อยให้สิ่งเหล่านี้เป็นตัวอักษรที่ไม่เน่าเปื่อย
การกระทำนั้นเอง แสดงโดย ดังต่อไปนี้- มีตัวเลือกอื่นๆ แต่ฉันคุ้นเคยกับการแทนผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ด้วยวิธีนี้ในวงเล็บเหลี่ยมที่มีเครื่องหมายกากบาท
และทันที คำถาม: ถ้าเข้า. ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เวกเตอร์สองตัวเกี่ยวข้องกัน และตรงนี้เวกเตอร์สองตัวก็คูณด้วย อะไรคือความแตกต่าง- ความแตกต่างที่ชัดเจนประการแรกคือในผลลัพธ์:
ผลลัพธ์ของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์คือ NUMBER:
ผลลัพธ์ของผลคูณไขว้ของเวกเตอร์คือ VECTOR: นั่นคือเราคูณเวกเตอร์แล้วได้เวกเตอร์อีกครั้ง สโมสรส่วนตัว- ที่จริงแล้วนี่คือที่มาของชื่อของการดำเนินการ ในด้านต่างๆ วรรณกรรมการศึกษาการกำหนดอาจแตกต่างกันไป ฉันจะใช้ตัวอักษร
คำจำกัดความของผลิตภัณฑ์ข้าม
อันดับแรกจะมีคำจำกัดความพร้อมรูปภาพแล้วแสดงความคิดเห็น
คำนิยาม: สินค้าเวกเตอร์ ไม่ใช่คอลลิเนียร์เวกเตอร์, นำเข้ามา ในลำดับนี้
เรียกว่าเวกเตอร์ ความยาวซึ่งเป็นตัวเลข เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานสร้างขึ้นจากเวกเตอร์เหล่านี้ เวกเตอร์ ตั้งฉากกับเวกเตอร์และได้รับการกำกับเพื่อให้พื้นฐานมีการวางแนวที่ถูกต้อง:
เรามาแจกแจงคำจำกัดความทีละส่วน มีอะไรน่าสนใจมากมายที่นี่!
ดังนั้นจึงสามารถเน้นประเด็นสำคัญต่อไปนี้ได้:
1) เวกเตอร์ดั้งเดิม ระบุด้วยลูกศรสีแดง ตามคำจำกัดความ ไม่ใช่แนวตรง- จะเหมาะสมที่จะพิจารณากรณีของเวกเตอร์คอลลิเนียร์ในภายหลังเล็กน้อย
2) ถ่ายเวกเตอร์ ตามลำดับที่กำหนดไว้อย่างเคร่งครัด: – "a" คูณด้วย "เป็น"ไม่ใช่ "เป็น" กับ "a" ผลลัพธ์ของการคูณเวกเตอร์คือ VECTOR ซึ่งระบุด้วยสีน้ำเงิน หากคูณเวกเตอร์ในลำดับย้อนกลับ เราจะได้เวกเตอร์ที่มีความยาวเท่ากันและมีทิศทางตรงกันข้าม (สีราสเบอร์รี่) นั่นคือความเท่าเทียมกันเป็นจริง .
3) ตอนนี้เรามาทำความคุ้นเคยกับความหมายทางเรขาคณิตของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์กันดีกว่า นี่เป็นจุดสำคัญมาก! ความยาวของเวกเตอร์สีน้ำเงิน (และด้วยเหตุนี้จึงเป็นเวกเตอร์สีแดงเข้ม) มีค่าเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์ ในรูป สี่เหลี่ยมด้านขนานนี้เป็นสีเทาดำ
บันทึก : การวาดภาพเป็นแผนผังและโดยธรรมชาติแล้วความยาวที่ระบุของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ไม่เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน
ให้เรานึกถึงสูตรเรขาคณิตสูตรหนึ่ง: พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับผลคูณของด้านที่อยู่ติดกันและไซน์ของมุมระหว่างด้านเหล่านั้น- ดังนั้น จากสูตรข้างต้น สูตรคำนวณ LENGTH ของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์จึงใช้ได้:
ฉันขอย้ำว่าสูตรนี้เกี่ยวกับ LENGTH ของเวกเตอร์ และไม่เกี่ยวกับเวกเตอร์นั้นเอง ความหมายเชิงปฏิบัติคืออะไร? และความหมายก็คือในปัญหาของเรขาคณิตวิเคราะห์ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานมักพบผ่านแนวคิดของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:
มาอันที่สองกันดีกว่า สูตรสำคัญ- เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน (เส้นประสีแดง) แบ่งออกเป็นสองส่วน สามเหลี่ยมเท่ากัน- ดังนั้นจึงสามารถหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่สร้างบนเวกเตอร์ (การแรเงาสีแดง) ได้โดยใช้สูตร:
4) ข้อเท็จจริงที่สำคัญไม่แพ้กันก็คือ เวกเตอร์นั้นตั้งฉากกับเวกเตอร์ นั่นก็คือ - แน่นอนว่า เวกเตอร์ที่มีทิศทางตรงกันข้าม (ลูกศรราสเบอร์รี่) ก็มีตั้งฉากกับเวกเตอร์ดั้งเดิมเช่นกัน
5) เวกเตอร์ถูกกำหนดทิศทางเช่นนั้น พื้นฐานมี ขวาปฐมนิเทศ. ในบทเรียนเกี่ยวกับ การเปลี่ยนไปสู่พื้นฐานใหม่ฉันพูดรายละเอียดเพียงพอเกี่ยวกับ การวางแนวเครื่องบินและตอนนี้เราจะหาว่าการวางแนวของอวกาศคืออะไร ฉันจะอธิบายบนนิ้วของคุณ มือขวา - ประสานจิต นิ้วชี้ ด้วยเวกเตอร์และ นิ้วกลางด้วยเวกเตอร์ นิ้วนางและนิ้วก้อยกดมันลงบนฝ่ามือของคุณ ส่งผลให้ นิ้วหัวแม่มือ – ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์จะค้นหาขึ้น นี่เป็นพื้นฐานที่ถูกต้อง (นี่คืออันนี้ในรูป) ตอนนี้เปลี่ยนเวกเตอร์ ( นิ้วชี้และนิ้วกลาง) ในบางสถานที่ ผลก็คือ นิ้วหัวแม่มือจะหมุน และผลิตภัณฑ์เวกเตอร์จะมองลงมาแล้ว นี่เป็นพื้นฐานที่ถูกต้องเช่นกัน คุณอาจมีคำถาม: พื้นฐานใดที่ออกจากการปฐมนิเทศ? “กำหนด” ให้เป็นนิ้วเดียวกัน มือซ้ายเวกเตอร์ และรับพื้นฐานด้านซ้ายและการวางแนวด้านซ้ายของปริภูมิ (ในกรณีนี้นิ้วหัวแม่มือจะอยู่ในทิศทางของเวกเตอร์ด้านล่าง)- หากพูดเป็นรูปเป็นร่าง ฐานเหล่านี้จะ "บิด" หรือปรับทิศทางพื้นที่ไปในทิศทางที่ต่างกัน และแนวคิดนี้ไม่ควรถือเป็นสิ่งที่ลึกซึ้งหรือเป็นนามธรรม - ตัวอย่างเช่น การวางแนวของอวกาศถูกเปลี่ยนโดยกระจกธรรมดาที่สุด และหากคุณ "ดึงวัตถุที่สะท้อนออกจากกระจกมอง" ในกรณีทั่วไป จะไม่สามารถรวมเข้ากับ "ต้นฉบับ" ได้ ยังไงก็ตาม ชูสามนิ้วขึ้นไปที่กระจกแล้ววิเคราะห์การสะท้อน ;-)
...ตอนนี้คุณรู้ดีแค่ไหนแล้ว ไปทางขวาและซ้ายฐานเพราะคำพูดของอาจารย์บางคนเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงการวางแนวนั้นน่ากลัว =)
ผลคูณไขว้ของเวกเตอร์คอลลิเนียร์
มีการพูดคุยถึงคำจำกัดความโดยละเอียดแล้ว ยังคงต้องค้นหาว่าจะเกิดอะไรขึ้นเมื่อเวกเตอร์อยู่ในแนวเดียวกัน หากเวกเตอร์อยู่ในแนวเดียวกัน ก็สามารถวางพวกมันบนเส้นตรงเส้นเดียวได้ และสี่เหลี่ยมด้านขนานของเราก็จะ "พับ" ให้เป็นเส้นตรงเส้นเดียวด้วย ดังที่นักคณิตศาสตร์กล่าวว่า เสื่อมโทรมสี่เหลี่ยมด้านขนานมีค่าเท่ากับศูนย์ ตามมาจากสูตรเดียวกัน - ไซน์ของศูนย์หรือ 180 องศาเท่ากับศูนย์ ซึ่งหมายความว่าพื้นที่เป็นศูนย์
ดังนั้น ถ้า แล้ว - พูดอย่างเคร่งครัด ผลคูณเวกเตอร์นั้นเท่ากับเวกเตอร์ศูนย์ แต่ในทางปฏิบัติมักถูกละเลยและเขียนไว้ว่ามันเท่ากับศูนย์
กรณีพิเศษคือผลคูณไขว้ของเวกเตอร์กับตัวมันเอง:
เมื่อใช้ผลคูณไขว้ คุณสามารถตรวจสอบความเป็นเส้นตรงของเวกเตอร์สามมิติได้ และ งานนี้เราจะวิเคราะห์ด้วย
เพื่อแก้ปัญหา ตัวอย่างการปฏิบัติอาจจำเป็น ตารางตรีโกณมิติเพื่อหาค่าของไซน์จากมัน
มาจุดไฟกันเถอะ:
ตัวอย่างที่ 1
ก) จงหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ ถ้า
b) ค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์ ถ้า
สารละลาย: ไม่ นี่ไม่ใช่การพิมพ์ผิด ฉันจงใจทำให้ข้อมูลเริ่มต้นในส่วนคำสั่งเหมือนกัน เพราะการออกแบบโซลูชั่นจะแตกต่างออกไป!
ก) ตามเงื่อนไขคุณต้องค้นหา ความยาวเวกเตอร์ (ผลคูณข้าม) ตามสูตรที่เกี่ยวข้อง:
คำตอบ:
หากคุณถูกถามเกี่ยวกับความยาว ในคำตอบเราจะระบุมิติ - หน่วย
b) ตามเงื่อนไขคุณต้องค้นหา สี่เหลี่ยมสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างจากเวกเตอร์ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้เป็นตัวเลขเท่ากับความยาวของผลคูณเวกเตอร์:
คำตอบ:
โปรดทราบว่าคำตอบไม่ได้พูดถึงผลิตภัณฑ์เวกเตอร์เลย พื้นที่ของรูปดังนั้น มิติข้อมูลจึงเป็นหน่วยสี่เหลี่ยม
เรามักจะมองหาสิ่งที่เราต้องค้นหาตามเงื่อนไข และจากสิ่งนี้ เราจึงกำหนดสูตรขึ้นมา ชัดเจนคำตอบ. อาจดูเหมือนเป็นวรรณกรรมตามตัวอักษร แต่มีครูที่เป็นวรรณกรรมจำนวนมาก และงานที่ได้รับมอบหมายก็มีโอกาสดีที่จะถูกส่งกลับเพื่อแก้ไข แม้ว่านี่จะไม่ใช่การพูดเล่นที่ลึกซึ้งนัก แต่หากคำตอบไม่ถูกต้อง เราก็จะรู้สึกว่าบุคคลนั้นไม่เข้าใจสิ่งง่ายๆ และ/หรือไม่เข้าใจแก่นแท้ของงาน ประเด็นนี้จะต้องถูกควบคุมเสมอเมื่อแก้ไขปัญหาใดๆ ในคณิตศาสตร์ขั้นสูงและในวิชาอื่นๆ ด้วย
ตัวอักษรตัวใหญ่ “en” หายไปไหน? โดยหลักการแล้ว มันอาจจะแนบมากับโซลูชันเพิ่มเติมได้ แต่เพื่อที่จะย่อรายการให้สั้นลง ฉันไม่ได้ทำเช่นนี้ ฉันหวังว่าทุกคนจะเข้าใจสิ่งนั้นและเป็นการกำหนดสิ่งเดียวกัน
ตัวอย่างยอดนิยมสำหรับโซลูชัน DIY:
ตัวอย่างที่ 2
ค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่สร้างจากเวกเตอร์ถ้า
สูตรการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมผ่านผลคูณเวกเตอร์มีระบุไว้ในความคิดเห็นต่อคำจำกัดความ คำตอบและคำตอบอยู่ท้ายบทเรียน
ในทางปฏิบัติ งานนี้เป็นเรื่องธรรมดามาก โดยทั่วไปแล้ว รูปสามเหลี่ยมสามารถทรมานคุณได้
เพื่อแก้ไขปัญหาอื่น ๆ เราจะต้อง:
คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์
เราได้พิจารณาคุณสมบัติบางอย่างของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์แล้ว แต่ฉันจะรวมคุณสมบัติเหล่านี้ไว้ในรายการนี้
สำหรับเวกเตอร์ที่กำหนดเองและตัวเลขที่กำหนดเอง คุณสมบัติดังต่อไปนี้:
1) ในแหล่งข้อมูลอื่นๆ รายการนี้มักจะไม่ได้เน้นในคุณสมบัติ แต่มีความสำคัญมากในแง่การปฏิบัติ ดังนั้นปล่อยให้มันเป็นไป
2) – ทรัพย์สินดังกล่าวยังกล่าวถึงข้างต้นบางครั้งเรียกว่า การต่อต้านคอมมิวทิตี- กล่าวอีกนัยหนึ่ง ลำดับของเวกเตอร์มีความสำคัญ
3) – เชื่อมโยงหรือ เชื่อมโยงกฎหมายผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ ค่าคงที่สามารถเคลื่อนย้ายออกไปนอกผลคูณเวกเตอร์ได้อย่างง่ายดาย จริงๆ แล้วพวกเขาควรทำอะไรที่นั่น?
4) – การจำหน่ายหรือ การกระจายกฎหมายผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ ไม่มีปัญหาในการเปิดวงเล็บเช่นกัน
เพื่อสาธิต ลองดูตัวอย่างสั้นๆ:
ตัวอย่างที่ 3
ค้นหาว่า
สารละลาย:เงื่อนไขนี้จำเป็นต้องค้นหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์อีกครั้ง มาวาดภาพจิ๋วของเรากันเถอะ:
(1) ตามกฎการเชื่อมโยง เราใช้ค่าคงที่อยู่นอกขอบเขตของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์
(2) เราย้ายค่าคงที่ออกไปนอกโมดูล และโมดูลจะ "กิน" เครื่องหมายลบ ความยาวต้องไม่เป็นลบ
(3) ส่วนที่เหลือชัดเจน
คำตอบ:
ถึงเวลาเพิ่มฟืนลงในกองไฟแล้ว:
ตัวอย่างที่ 4
คำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่สร้างจากเวกเตอร์ถ้า
สารละลาย: หาพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยใช้สูตร - สิ่งที่จับได้ก็คือเวกเตอร์ "tse" และ "de" นั้นถูกนำเสนอเป็นผลรวมของเวกเตอร์ อัลกอริทึมที่นี่เป็นมาตรฐานและค่อนข้างชวนให้นึกถึงตัวอย่างหมายเลข 3 และ 4 ของบทเรียน ผลคูณดอทของเวกเตอร์- เพื่อความชัดเจน เราจะแบ่งวิธีแก้ปัญหาออกเป็นสามขั้นตอน:
1) ในขั้นตอนแรก เราแสดงผลคูณเวกเตอร์ผ่านผลคูณเวกเตอร์ อันที่จริง ลองเขียนเวกเตอร์ในรูปของเวกเตอร์กัน- ยังไม่มีคำว่ายาว!
(1) แทนนิพจน์ของเวกเตอร์
(2) ใช้กฎการกระจาย เราจะเปิดวงเล็บตามกฎการคูณพหุนาม
(3) การใช้กฎเชื่อมโยง เราย้ายค่าคงที่ทั้งหมดไปไกลกว่าผลคูณเวกเตอร์ ด้วยประสบการณ์เพียงเล็กน้อยก็สามารถดำเนินการขั้นตอนที่ 2 และ 3 พร้อมๆ กันได้
(4) เทอมแรกและเทอมสุดท้ายมีค่าเท่ากับศูนย์ (เวกเตอร์ศูนย์) เนื่องจากคุณสมบัติที่ดี ในระยะที่สอง เราใช้คุณสมบัติของการต่อต้านการเปลี่ยนแปลงของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:
(5) เรานำเสนอข้อกำหนดที่คล้ายกัน
เป็นผลให้เวกเตอร์กลายเป็นเวกเตอร์ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นจะต้องทำให้สำเร็จ:
2) ในขั้นตอนที่สอง เราจะหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์ที่เราต้องการ การดำเนินการนี้คล้ายกับตัวอย่างที่ 3:
3) ค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่ต้องการ:
ขั้นที่ 2-3 ของการแก้ปัญหาสามารถเขียนเป็นบรรทัดเดียวได้
คำตอบ:
ปัญหาที่พิจารณาค่อนข้างบ่อยใน การทดสอบนี่คือตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ:
ตัวอย่างที่ 5
ค้นหาว่า
คำตอบสั้น ๆ และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน มาดูกันว่าคุณใส่ใจแค่ไหนเมื่อศึกษาตัวอย่างก่อนหน้านี้ ;-)
ผลคูณไขว้ของเวกเตอร์ในพิกัด
ระบุไว้ตามหลักออร์โธนอร์มอล แสดงโดยสูตร:สูตรนั้นง่ายมาก: ในบรรทัดบนสุดของดีเทอร์มิแนนต์เราเขียนเวกเตอร์พิกัดในบรรทัดที่สองและสามเรา "ใส่" พิกัดของเวกเตอร์แล้วใส่ วี ตามลำดับที่เข้มงวด
– ขั้นแรกพิกัดของเวกเตอร์ “ve” ตามด้วยพิกัดของเวกเตอร์ “double-ve” หากจำเป็นต้องคูณเวกเตอร์ในลำดับอื่น ควรสลับแถว:
ตัวอย่างที่ 10
ตรวจสอบว่าเวกเตอร์อวกาศต่อไปนี้เป็นเส้นตรงหรือไม่:
ก)
ข)
สารละลาย: การตรวจสอบจะขึ้นอยู่กับข้อความใดข้อความหนึ่งในบทเรียนนี้: หากเวกเตอร์อยู่ในแนวเดียวกัน ผลคูณของเวกเตอร์จะเท่ากับศูนย์ (เวกเตอร์ศูนย์): .
ก) ค้นหาผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:
ดังนั้นเวกเตอร์จึงไม่อยู่ในแนวเดียวกัน
b) ค้นหาผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:
คำตอบ: ก) ไม่ใช่เส้นตรง b)
นี่อาจเป็นข้อมูลพื้นฐานทั้งหมดเกี่ยวกับผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์
ส่วนนี้จะไม่ใหญ่มาก เนื่องจากมีปัญหาเล็กน้อยในการใช้ผลคูณของเวกเตอร์ผสม ในความเป็นจริงทุกอย่างจะขึ้นอยู่กับคำจำกัดความ ความหมายทางเรขาคณิต และสูตรการทำงานสองสามสูตร
ผลคูณผสมของเวกเตอร์คือ ผลิตภัณฑ์ของสามเวกเตอร์:
ดังนั้นพวกเขาจึงเข้าแถวเหมือนรถไฟและแทบรอไม่ไหวที่จะถูกระบุตัวตน
ประการแรก อีกครั้ง คำจำกัดความและรูปภาพ:
คำนิยาม: งานผสม ไม่ใช่ระนาบเวกเตอร์, ดำเนินการตามลำดับนี้, เรียกว่า ปริมาตรที่ขนานกันสร้างขึ้นบนเวกเตอร์เหล่านี้ โดยมีเครื่องหมาย “+” หากฐานถูกต้อง และเครื่องหมาย “–” หากเหลือฐาน
มาวาดรูปกันเถอะ เส้นที่เรามองไม่เห็นนั้นถูกวาดด้วยเส้นประ:
มาดำดิ่งสู่คำจำกัดความ:
2) ถ่ายเวกเตอร์ ในลำดับที่แน่นอนนั่นคือการจัดเรียงเวกเตอร์ในผลิตภัณฑ์ใหม่ตามที่คุณอาจเดาได้จะไม่เกิดขึ้นโดยไม่มีผลกระทบ
3) ก่อนที่จะแสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับความหมายทางเรขาคณิต ฉันจะทราบข้อเท็จจริงที่ชัดเจน: ผลคูณผสมของเวกเตอร์คือ NUMBER- ในวรรณกรรมด้านการศึกษาการออกแบบอาจแตกต่างกันเล็กน้อย ฉันคุ้นเคยกับการแสดงถึงผลิตภัณฑ์แบบผสม และผลลัพธ์ของการคำนวณด้วยตัวอักษร "pe"
ตามคำนิยาม ผลคูณที่ผสมคือปริมาตรของเส้นขนานสร้างขึ้นจากเวกเตอร์ (รูปวาดด้วยเวกเตอร์สีแดงและเส้นสีดำ) นั่นคือจำนวนเท่ากับปริมาตรของเส้นขนานที่กำหนด
บันทึก : ภาพวาดเป็นแผนผัง
4) ไม่ต้องกังวลเกี่ยวกับแนวคิดเรื่องการวางแนวของพื้นฐานและพื้นที่อีกต่อไป ความหมายของส่วนสุดท้ายคือสามารถเพิ่มเครื่องหมายลบลงในโวลุ่มได้ ด้วยคำพูดง่ายๆผลิตภัณฑ์ผสมอาจเป็นค่าลบ:
โดยตรงจากคำจำกัดความเป็นไปตามสูตรในการคำนวณปริมาตรของเส้นขนานที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์
ผลคูณผสม (หรือเวกเตอร์-สเกลาร์)เรียกว่าเวกเตอร์สามตัว a, b, c (ถ่ายตามลำดับที่ระบุ) ผลิตภัณฑ์ดอทเวกเตอร์ a ด้วยผลคูณเวกเตอร์ b x c เช่น ตัวเลข a(b x c) หรือสิ่งที่เหมือนกัน (b x c)aการกำหนด: abc.
วัตถุประสงค์. เครื่องคิดเลขออนไลน์ได้รับการออกแบบมาเพื่อคำนวณผลคูณของเวกเตอร์ ผลลัพธ์ที่ได้จะถูกบันทึกเป็นไฟล์ Word นอกจากนี้ เท็มเพลตโซลูชันจะถูกสร้างขึ้นใน Excel
สัญญาณของระนาบร่วมของเวกเตอร์
เวกเตอร์สามตัว (หรือ จำนวนที่มากขึ้น) เรียกว่า coplanar ถ้าพวกมันถูกลดขนาดลงสู่จุดกำเนิดร่วมและอยู่ในระนาบเดียวกันถ้าอย่างน้อยหนึ่งในสามเวกเตอร์เป็นศูนย์ แล้วเวกเตอร์ทั้งสามนั้นก็ถูกพิจารณาว่าเป็นระนาบเดียวกัน
สัญญาณของการมีระนาบร่วมกัน- ถ้าระบบ a, b, c เป็นคนถนัดขวา ดังนั้น abc>0 ; ถ้าซ้ายก็ abc ความหมายทางเรขาคณิตของผลิตภัณฑ์ผสม- ผลคูณ abc ของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่โคพลานาร์สามตัว a, b, c เท่ากับ ปริมาตรของเส้นขนานที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์ a, b, c ใช้เครื่องหมายบวกหากระบบ a, b, c ถนัดขวา และเครื่องหมายลบหากระบบนี้ถนัดซ้าย
คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์ผสม
- เมื่อปัจจัยถูกจัดเรียงใหม่เป็นวงกลม ผลคูณผสมจะไม่เปลี่ยนแปลง เมื่อปัจจัยสองตัวถูกจัดเรียงใหม่ เครื่องหมายจะกลับกัน: abc=bca=cab=-(bac)=-(cba)=-(acb)
มันตามมาจากความหมายทางเรขาคณิต - (a+b)cd=acd+bcd (คุณสมบัติการกระจาย) ขยายไปยังเงื่อนไขจำนวนเท่าใดก็ได้
ตามมาจากคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์ผสม - (ma)bc=m(abc) (คุณสมบัติเชิงรวมกับตัวประกอบสเกลาร์)
ตามมาจากคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์ผสม คุณสมบัติเหล่านี้ทำให้สามารถใช้การแปลงกับผลิตภัณฑ์ผสมที่แตกต่างจากพีชคณิตทั่วไปได้เฉพาะในกรณีที่สามารถเปลี่ยนลำดับของปัจจัยได้เฉพาะโดยคำนึงถึงสัญลักษณ์ของผลิตภัณฑ์เท่านั้น - ผลคูณผสมที่มีตัวประกอบเท่ากันอย่างน้อยสองตัวจะเท่ากับศูนย์: aab=0
ตัวอย่างหมายเลข 1 ค้นหาผลิตภัณฑ์แบบผสม
ตัวอย่างหมายเลข 2 (a+b)(b+c)(c+a)= (axb+axc+bxb+bxc)(c+a)= (axb+axc +bxc)(c+a)=abc+acc+aca+ aba +สำเนาลับ+บีซีเอ พจน์ทั้งหมดยกเว้นสองพจน์สุดขั้วมีค่าเท่ากับศูนย์ นอกจากนี้ bca=abc ดังนั้น (a+b)(b+c)(c+a)=2abc
ตัวอย่างหมายเลข 3 คำนวณผลคูณผสมของเวกเตอร์สามตัว a=15i+20j+5k, b=2i-4j+14k, c=3i-6j+21k
สารละลาย- ในการคำนวณผลคูณผสมของเวกเตอร์ จำเป็นต้องค้นหาดีเทอร์มิแนนต์ของระบบที่ประกอบด้วยพิกัดเวกเตอร์ มาเขียนระบบในรูปแบบกัน