วิธีค้นหารากที่สองของตัวเลขด้วยตนเอง รากที่สองทางคณิตศาสตร์คืออะไร
รากที่สองคืออะไร?
ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
วัสดุมาตราพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่ค่อย..." มากนัก
และสำหรับผู้ที่ “มากๆ…”)
แนวคิดนี้ง่ายมาก เป็นธรรมชาติฉันจะบอกว่า นักคณิตศาสตร์พยายามค้นหาปฏิกิริยาสำหรับทุกการกระทำ มีการบวก-มีการลบด้วย มีการคูณ - มีการหารด้วย มีกำลังสอง... ก็มีด้วย การสกัด รากที่สอง! แค่นั้นแหละ. การกระทำนี้ ( รากที่สอง) ในทางคณิตศาสตร์จะแสดงด้วยไอคอนนี้:
ไอคอนนั้นเรียกว่า เป็นคำที่สวยงาม "หัวรุนแรง".
วิธีการแยกราก?มาดูกันเลยดีกว่า ตัวอย่าง.
รากที่สองของ 9 คืออะไร? เลขกำลังสองอะไรจะให้เลข 9 แก่เรา? 3 กำลังสองให้เราได้ 9! เหล่านั้น:
แต่สแควร์รูทของศูนย์คืออะไร? ไม่มีคำถาม! ศูนย์สร้างกำลังสองได้เป็นจำนวนเท่าใด ใช่ มันให้ศูนย์! วิธี:
เข้าใจแล้ว, รากที่สองคืออะไร?จากนั้นเราก็พิจารณา ตัวอย่าง:
คำตอบ (ไม่เป็นระเบียบ): 6; 1; 4; 9; 5.
ตัดสินใจแล้ว? จริงสิ ง่ายกว่านี้ขนาดไหน!
แต่... คน ๆ หนึ่งจะทำอย่างไรเมื่อเขาเห็นงานบางอย่างที่มีรากฐาน?
บุคคลเริ่มรู้สึกเศร้า... เขาไม่เชื่อในความเรียบง่ายและความเบาของรากเหง้าของเขา แม้ว่าเขาจะดูเหมือนรู้ก็ตาม สแควร์รูทคืออะไร...
เนื่องจากบุคคลนั้นละเลยประเด็นสำคัญหลายประการเมื่อศึกษาถึงรากเหง้า จากนั้นเหล่าแฟชั่นเหล่านี้ก็จะแก้แค้นการทดสอบและการสอบอย่างโหดร้าย...
จุดที่หนึ่ง คุณต้องรู้จักรากด้วยสายตา!
รากที่สองของ 49 คืออะไร? เซเว่น? ขวา! รู้ได้ยังไงว่าเจ็ดโมง? ยกกำลังสองเจ็ดแล้วได้ 49 เหรอ? ขวา! โปรดทราบว่า แยกรากจาก 49 เราต้องดำเนินการย้อนกลับ - สแควร์ 7! และรับรองว่าเราไม่พลาด หรืออาจจะพลาด...
นี่คือความยากลำบาก การสกัดราก. สี่เหลี่ยมคุณสามารถใช้หมายเลขใดก็ได้โดยไม่มีปัญหา คูณตัวเลขด้วยตัวมันเองด้วยคอลัมน์ - แค่นี้เอง แต่สำหรับ การสกัดรากไม่มีเทคโนโลยีที่ง่ายและไม่ปลอดภัยเช่นนั้น เราต้อง หยิบตอบและตรวจสอบว่าถูกต้องโดยยกกำลังสองหรือไม่
กระบวนการสร้างสรรค์ที่ซับซ้อนนี้ - การเลือกคำตอบ - จะง่ายขึ้นอย่างมากหากคุณ จดจำกำลังสองของตัวเลขยอดนิยม เหมือนตารางสูตรคูณ ถ้าสมมุติว่าคุณต้องคูณ 4 ด้วย 6 คุณจะไม่บวกสี่เป็น 6 ครั้งใช่ไหม? คำตอบที่ 24 ปรากฏขึ้นทันที แม้ว่าไม่ใช่ทุกคนจะเข้าใจ ใช่...
ฟรีและ งานที่ประสบความสำเร็จด้วยรากก็เพียงพอที่จะรู้กำลังสองของตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 20 ยิ่งไปกว่านั้น ที่นั่นและ กลับ.เหล่านั้น. คุณควรจะสามารถท่องทั้งสองอย่างได้อย่างง่ายดาย เช่น 11 กำลังสองและรากที่สองของ 121 เพื่อให้เกิดการท่องจำ มีสองวิธี อย่างแรกคือการเรียนรู้ตารางสี่เหลี่ยม นี่จะช่วยได้มากในการแก้ตัวอย่าง ประการที่สองคือการแก้ตัวอย่างเพิ่มเติม วิธีนี้จะช่วยให้คุณจำตารางสี่เหลี่ยมได้อย่างมาก
และไม่มีเครื่องคิดเลข! เพื่อวัตถุประสงค์ในการทดสอบเท่านั้น ไม่อย่างนั้นจะช้าลงอย่างไร้ความปราณีระหว่างการสอบ...
ดังนั้น, สแควร์รูทคืออะไรและอย่างไร สกัดราก- ฉันคิดว่ามันชัดเจน ตอนนี้เรามาดูกันว่าเราสามารถดึงมันออกมาจากอะไรได้บ้าง
จุดที่สอง รูตฉันไม่รู้จักคุณ!
คุณสามารถหารากที่สองได้จากตัวเลขใด? ใช่เกือบทุกรายการ มันง่ายกว่าที่จะเข้าใจว่ามันมาจากอะไร มันเป็นสิ่งต้องห้ามแยกพวกเขา
ลองคำนวณรูตนี้:
เพื่อจะทำสิ่งนี้ เราต้องเลือกจำนวนที่กำลังสองที่ให้ค่า -4 เราเลือก.
อะไรนะ มันไม่พอดีเหรอ? 2 2 ให้ +4 (-2) 2 ให้อีก +4! แค่นั้นแหละ... ไม่มีตัวเลขใดที่เมื่อยกกำลังสองแล้วจะทำให้เราเป็นจำนวนลบ! แม้ว่าฉันจะรู้ตัวเลขเหล่านี้ก็ตาม แต่ฉันจะไม่บอกคุณ) ไปที่วิทยาลัยแล้วคุณจะพบกับตัวเอง
เรื่องเดียวกันนี้จะเกิดขึ้นกับจำนวนลบใดๆ จึงได้ข้อสรุปว่า
นิพจน์ที่มีจำนวนลบอยู่ใต้เครื่องหมายรากที่สอง - ไม่สมเหตุสมผล- นี่เป็นการดำเนินการที่ต้องห้าม เป็นสิ่งต้องห้ามเช่นเดียวกับการหารด้วยศูนย์ จำข้อเท็จจริงข้อนี้ไว้ให้มั่น!หรืออีกนัยหนึ่ง:
คุณไม่สามารถแยกรากที่สองออกจากจำนวนลบได้!
แต่ในบรรดาสิ่งอื่นๆ ทั้งหมด มันเป็นไปได้ ตัวอย่างเช่น สามารถคำนวณได้ค่อนข้างมาก
เมื่อมองแวบแรกนี่เป็นเรื่องยากมาก เลือกเศษส่วนแล้วยกกำลังสอง... ไม่ต้องกังวล เมื่อเราเข้าใจคุณสมบัติของรากแล้ว ตัวอย่างดังกล่าวก็จะลดลงเหลือตารางกำลังสองเดียวกัน ชีวิตจะง่ายขึ้น!
เอาล่ะ เศษส่วน แต่เรายังคงเจอสำนวนเช่น:
ไม่เป็นไร. ทุกอย่างเหมือนกัน รากที่สองของสองคือจำนวนที่เมื่อยกกำลังสองแล้วทำให้เราได้สอง เฉพาะตัวเลขนี้เท่านั้นที่ไม่เท่ากันโดยสิ้นเชิง... นี่คือ:
สิ่งที่น่าสนใจคือเศษส่วนนี้ไม่มีที่สิ้นสุด... ตัวเลขดังกล่าวเรียกว่าจำนวนอตรรกยะ ในรากที่สองนี่คือสิ่งที่พบบ่อยที่สุด อย่างไรก็ตามนี่คือสาเหตุว่าทำไมจึงเรียกว่าสำนวนที่มีรูท ไม่มีเหตุผล- เห็นได้ชัดว่าการเขียนเศษส่วนอนันต์ตลอดเวลานั้นไม่สะดวก ดังนั้น แทนที่จะเป็นเศษส่วนอนันต์ พวกเขาจึงปล่อยให้มันเป็นดังนี้:
ถ้าแก้ตัวอย่างแล้วเจอสิ่งที่ไม่สามารถดึงออกมาได้ เช่น
แล้วเราก็ปล่อยมันไว้อย่างนั้น นี่จะเป็นคำตอบ
คุณต้องเข้าใจอย่างชัดเจนว่าไอคอนหมายถึงอะไร
แน่นอนถ้าเอารากของตัวเลขมา เรียบคุณต้องทำเช่นนี้ คำตอบของงานอยู่ในรูปแบบเช่น
เป็นคำตอบที่สมบูรณ์ทีเดียว
และแน่นอน คุณจำเป็นต้องรู้ค่าโดยประมาณจากหน่วยความจำ:
ความรู้นี้ช่วยประเมินสถานการณ์ในงานที่ซับซ้อนได้อย่างมาก
จุดสาม. ฉลาดแกมโกงที่สุด
ความสับสนหลักในการทำงานกับรูตเกิดจากจุดนี้ พระองค์คือผู้ทรงให้ความไม่แน่ใจแก่เขา ความแข็งแกร่งของตัวเอง... มาจัดการกับปัญหานี้กันดีกว่า!
ก่อนอื่น ลองหาสแควร์รูทของสี่ตัวนั้นอีกครั้ง ฉันรบกวนคุณด้วยรากนี้แล้วหรือยัง) ไม่เป็นไรตอนนี้มันจะน่าสนใจ!
4 กำลังสองมีเลขอะไร? สอง สอง - ฉันได้ยินคำตอบที่ไม่พอใจ...
ขวา. สอง. แต่ยัง ลบสองจะให้ 4 กำลังสอง... ขณะเดียวกันคำตอบ
ถูกต้องและคำตอบ
ความผิดพลาดร้ายแรง แบบนี้.
แล้วมีเรื่องอะไรล่ะ?
อันที่จริง (-2) 2 = 4 และภายใต้นิยามของรากที่สองของสี่ ลบสองค่อนข้างเหมาะสม... นี่คือรากที่สองของสี่ด้วย
แต่! ใน หลักสูตรของโรงเรียนนักคณิตศาสตร์มักจะพิจารณารากที่สอง เฉพาะตัวเลขที่ไม่เป็นลบ!นั่นคือศูนย์และทั้งหมดเป็นบวก แม้แต่คำพิเศษก็ถูกประดิษฐ์ขึ้น: จากหมู่ ก- นี้ ไม่เป็นลบหมายเลขที่มีสี่เหลี่ยมจัตุรัส ก- ผลลัพธ์เชิงลบเมื่อแยกรากที่สองทางคณิตศาสตร์จะถูกละทิ้งไป ที่โรงเรียน ทุกอย่างล้วนเป็นรากที่สอง - เลขคณิต- แม้ว่าจะไม่ได้กล่าวถึงเป็นพิเศษก็ตาม
โอเค เป็นที่เข้าใจได้ ดีกว่าไม่ต้องกังวลกับผลลัพธ์เชิงลบ... นี่ยังไม่สับสน
ความสับสนเริ่มต้นขึ้นเมื่อแก้สมการกำลังสอง ตัวอย่างเช่น คุณต้องแก้สมการต่อไปนี้
สมการนั้นง่าย เราเขียนคำตอบ (ตามที่สอน):
คำตอบนี้ (ถูกต้องอย่างแน่นอน) เป็นเพียงเวอร์ชันย่อ สองคำตอบ:
หยุดหยุด! ข้างบนนี้ผมเขียนว่าสแควร์รูทเป็นตัวเลข เสมอไม่เป็นลบ! และนี่คือหนึ่งในคำตอบ - เชิงลบ- ความผิดปกติ นี่เป็นปัญหาแรก (แต่ไม่ใช่ปัญหาสุดท้าย) ที่ทำให้เกิดความไม่ไว้วางใจที่ต้นตอ... มาแก้ปัญหานี้กันดีกว่า มาเขียนคำตอบกัน (เพื่อความเข้าใจ!) ดังนี้:
วงเล็บไม่เปลี่ยนสาระสำคัญของคำตอบ ฉันแค่แยกมันด้วยวงเล็บ สัญญาณจาก ราก- ตอนนี้คุณสามารถเห็นได้อย่างชัดเจนว่ารากนั้นเอง (ในวงเล็บ) ยังคงเป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ! และสัญญาณก็คือ ผลลัพธ์ของการแก้สมการ- ท้ายที่สุดแล้วเมื่อแก้สมการใด ๆ เราต้องเขียน ทั้งหมด Xs ที่เมื่อแทนสมการเดิมแล้วจะได้ผลลัพธ์ที่ถูกต้อง รากของห้า (บวก!) ที่มีทั้งบวกและลบตรงกับสมการของเรา
แบบนี้. ถ้าคุณ แค่หาสแควร์รูทจากสิ่งใดสิ่งหนึ่งคุณ เสมอคุณได้รับ หนึ่งที่ไม่เป็นลบผลลัพธ์. ตัวอย่างเช่น:
เพราะมัน- รากที่สองทางคณิตศาสตร์.
แต่ถ้าคุณตัดสินใจอะไรบางอย่าง สมการกำลังสอง, พิมพ์:
ที่ เสมอปรากฎว่า สองคำตอบ (บวกและลบ):
เพราะนี่คือคำตอบของสมการ
หวัง, สแควร์รูทคืออะไรคุณมีจุดของคุณชัดเจน ตอนนี้ยังคงต้องค้นหาว่ารากสามารถทำอะไรได้บ้างคุณสมบัติของมันคืออะไร และอะไรคือประเด็นและข้อผิดพลาด... ขอโทษนะ ก้อนหิน!)
ทั้งหมดนี้อยู่ในบทเรียนต่อไปนี้
หากคุณชอบเว็บไซต์นี้...
ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)
คุณสามารถฝึกแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการยืนยันทันที มาเรียนรู้กันเถอะ - ด้วยความสนใจ!)
คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้
พื้นที่ที่ดินแปลงสี่เหลี่ยมคือ 81 dm² ค้นหาด้านของเขา สมมติว่าความยาวด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากับ เอ็กซ์เดซิเมตร จากนั้นพื้นที่ของแปลงคือ เอ็กซ์² ตารางเดซิเมตร เนื่องจากตามเงื่อนไข พื้นที่นี้เท่ากับ 81 dm² ดังนั้น เอ็กซ์² = 81 ความยาวของด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นจำนวนบวก จำนวนบวกที่มีกำลังสองคือ 81 คือหมายเลข 9 เมื่อแก้ปัญหาจำเป็นต้องค้นหาตัวเลข x ซึ่งมีกำลังสองคือ 81 เช่น แก้สมการ เอ็กซ์² = 81 สมการนี้มีสองราก: x 1 = 9 และ x 2 = - 9 เนื่องจาก 9² = 81 และ (- 9)² = 81 ทั้งเลข 9 และ - 9 เรียกว่ารากที่สองของ 81
โปรดทราบว่าหนึ่งในนั้น รากที่สอง เอ็กซ์= 9 เป็นจำนวนบวก มันถูกเรียกว่ารากที่สองทางคณิตศาสตร์ของ 81 และเขียนแทน √81 ดังนั้น √81 = 9
รากที่สองทางคณิตศาสตร์ของตัวเลข กเป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบซึ่งมีกำลังสองเท่ากับ ก.
ตัวอย่างเช่น ตัวเลข 6 และ - 6 เป็นรากที่สองของตัวเลข 36 อย่างไรก็ตาม ตัวเลข 6 เป็นรากที่สองทางคณิตศาสตร์ของ 36 เนื่องจาก 6 เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ และ 6² = 36 ตัวเลข - 6 ไม่ใช่ รากเลขคณิต
รากที่สองทางคณิตศาสตร์ของตัวเลข กแสดงดังต่อไปนี้: √ ก.
เครื่องหมายนี้เรียกว่าเครื่องหมายรากที่สองทางคณิตศาสตร์ ก- เรียกว่า สำนวนที่รุนแรง. นิพจน์ √ กอ่าน เช่นนี้: รากที่สองทางคณิตศาสตร์ของตัวเลข ก.ตัวอย่างเช่น √36 = 6, √0 = 0, √0.49 = 0.7 ในกรณีที่มีความชัดเจนแล้วว่า เรากำลังพูดถึงเกี่ยวกับรากเลขคณิต พวกเขาพูดสั้น ๆ ว่า: “รากที่สองของ ก«.
การค้นหารากที่สองของตัวเลขเรียกว่าการรูทกำลังสอง การกระทำนี้จะตรงกันข้ามกับการยกกำลังสอง
คุณสามารถยกกำลังสองจำนวนใดก็ได้ แต่คุณไม่สามารถแยกรากที่สองออกจากจำนวนใดๆ ได้ ตัวอย่างเช่นเป็นไปไม่ได้ที่จะแยกรากที่สองของตัวเลข - 4 หากมีรากดังกล่าวอยู่แล้วให้แสดงด้วยตัวอักษร เอ็กซ์เราจะได้ค่าเท่ากันที่ไม่ถูกต้อง x² = - 4 เนื่องจากมีจำนวนที่ไม่เป็นลบทางด้านซ้ายและจำนวนลบทางด้านขวา
นิพจน์ √ กมันสมเหตุสมผลก็ต่อเมื่อเท่านั้น ≥ 0. คำจำกัดความของรากที่สองสามารถเขียนสั้นๆ ได้ดังนี้: √ ≥ 0, (√ก)² = ก- ความเท่าเทียมกัน (√ ก)² = กถูกต้องสำหรับ ≥ 0. ดังนั้นเพื่อให้แน่ใจว่ารากที่สองของ not จำนวนลบ กเท่ากับ ขนั่นคือในความเป็นจริงแล้ว √ ก =ขคุณต้องตรวจสอบว่าตรงตามเงื่อนไขสองประการต่อไปนี้: ข ≥ 0, ข² = ก.
รากที่สองของเศษส่วน
มาคำนวณกัน โปรดทราบว่า √25 = 5, √36 = 6 และมาตรวจสอบว่ามีความเท่าเทียมกันหรือไม่
เพราะ และ แล้วความเท่าเทียมกันก็เป็นจริง ดังนั้น, .
ทฤษฎีบท:ถ้า ก≥ 0 และ ข> 0 นั่นคือรากของเศษส่วนเท่ากับรากของตัวเศษหารด้วยรากของตัวส่วน จำเป็นต้องพิสูจน์ว่า: และ .
ตั้งแต่ √ ก≥0 และ √ ข> 0 จากนั้น
เรื่องคุณสมบัติของการยกเศษส่วนเป็นกำลังและนิยามของรากที่สอง ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว ลองดูตัวอย่างบางส่วน
คำนวณโดยใช้ทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้ว .
ตัวอย่างที่สอง: พิสูจน์สิ่งนั้น , ถ้า ก ≤ 0, ข < 0. .
อีกตัวอย่างหนึ่ง: คำนวณ .
.
การแปลงรากที่สอง
การลบตัวคูณออกจากใต้เครื่องหมายรูท ให้การแสดงออกได้รับ ถ้า ก≥ 0 และ ข≥ 0 จากนั้นใช้ทฤษฎีบทรากของผลิตภัณฑ์ที่เราสามารถเขียนได้:
การแปลงนี้เรียกว่าการลบตัวประกอบออกจากเครื่องหมายรูท ลองดูตัวอย่าง;
คำนวณได้ที่ เอ็กซ์= 2. การทดแทนโดยตรง เอ็กซ์= 2 ในนิพจน์รากทำให้เกิดการคำนวณที่ซับซ้อน การคำนวณเหล่านี้สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้หากคุณลบตัวประกอบออกจากเครื่องหมายรากก่อน: เมื่อแทนค่า x = 2 เราจะได้:
ดังนั้น เมื่อลบตัวประกอบออกจากใต้เครื่องหมายราก นิพจน์รากจะแสดงในรูปแบบของผลคูณโดยที่ตัวประกอบตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไปเป็นกำลังสองของจำนวนที่ไม่เป็นลบ จากนั้นใช้ทฤษฎีบทรากผลคูณแล้วหารากของแต่ละตัวประกอบ ลองพิจารณาตัวอย่าง: ลดความซับซ้อนของนิพจน์ A = √8 + √18 - 4√2 โดยการนำตัวประกอบในสองเทอมแรกออกจากใต้เครื่องหมายราก เราจะได้: เราเน้นย้ำถึงความเท่าเทียมกัน ใช้ได้เฉพาะเมื่อเท่านั้น ก≥ 0 และ ข≥ 0. ถ้า ก < 0, то .
ถึงเวลาต้องจัดการมันแล้ว วิธีการสกัดราก- ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของราก โดยเฉพาะความเท่าเทียมกัน ซึ่งเป็นจริงสำหรับจำนวน b ใดๆ ที่ไม่ใช่ลบ
ด้านล่างเราจะดูวิธีการหลักในการแยกรากทีละรายการ
เริ่มจากกรณีที่ง่ายที่สุดกันก่อน - แยกรากออกจากจำนวนธรรมชาติโดยใช้ตารางสี่เหลี่ยม ตารางลูกบาศก์ ฯลฯ
ถ้าเป็นโต๊ะสี่เหลี่ยม ลูกบาศก์ ฯลฯ หากคุณไม่มีมัน ก็สมเหตุสมผลที่จะใช้วิธีการแยกราก ซึ่งเกี่ยวข้องกับการสลายจำนวนรากให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ
เป็นเรื่องที่ควรค่าแก่การกล่าวถึงเป็นพิเศษถึงสิ่งที่เป็นไปได้สำหรับรากที่มีเลขชี้กำลังคี่
สุดท้ายนี้ ลองพิจารณาวิธีการที่ช่วยให้เราค้นหาตัวเลขของค่ารูทได้ตามลำดับ
มาเริ่มกันเลย
การใช้โต๊ะสี่เหลี่ยม โต๊ะลูกบาศก์ ฯลฯ
ในกรณีที่ง่ายที่สุด ตารางสี่เหลี่ยม ลูกบาศก์ ฯลฯ ช่วยให้คุณสามารถแยกรากได้ ตารางเหล่านี้คืออะไร?
ตารางกำลังสองของจำนวนเต็มตั้งแต่ 0 ถึง 99 รวม (แสดงด้านล่าง) ประกอบด้วยสองโซน โซนแรกของตารางจะอยู่บนพื้นหลังสีเทา โดยการเลือกแถวที่ต้องการและคอลัมน์เฉพาะ จะทำให้คุณสามารถเขียนตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 99 ได้ ตัวอย่างเช่น ลองเลือกแถวที่มี 8 สิบและคอลัมน์ 3 หน่วย ซึ่งเราได้กำหนดหมายเลข 83 ไว้แล้ว โซนที่สองครอบครองส่วนที่เหลือของตาราง แต่ละเซลล์จะอยู่ที่จุดตัดของแถวหนึ่งกับบางคอลัมน์ และมีช่องสี่เหลี่ยมของตัวเลขที่ตรงกันตั้งแต่ 0 ถึง 99 ที่จุดตัดของแถว 8 สิบและคอลัมน์ 3 ที่เราเลือกจะมีเซลล์ที่มีหมายเลข 6,889 ซึ่งเป็นกำลังสองของหมายเลข 83
ตารางลูกบาศก์ ตารางกำลังสี่ของตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 99 และอื่นๆ คล้ายกับตารางสี่เหลี่ยม มีเพียงลูกบาศก์ กำลังสี่ ฯลฯ ในโซนที่สอง ตัวเลขที่สอดคล้องกัน
ตารางสี่เหลี่ยม ลูกบาศก์ กำลังสี่ ฯลฯ ช่วยให้คุณสามารถแยกรากที่สอง รากที่สาม รากที่สี่ ฯลฯ ตามลำดับจากตัวเลขในตารางเหล่านี้ ให้เราอธิบายหลักการใช้งานเมื่อทำการแยกราก
สมมติว่าเราจำเป็นต้องแยกรากที่ n ของตัวเลข a ในขณะที่ตัวเลข a อยู่ในตารางของกำลังที่ n เมื่อใช้ตารางนี้เราจะพบตัวเลข b โดยที่ a=b n แล้ว ดังนั้นเลข b จะเป็นรากที่ต้องการของดีกรีที่ n
ตามตัวอย่าง เราจะแสดงวิธีใช้ตารางคิวบ์เพื่อแยกรากที่สามของ 19,683 เราพบเลข 19,683 ในตารางลูกบาศก์ จากนั้นเราพบว่าเลขนี้คือเลขกำลังสามของเลข 27 ดังนั้น .
เห็นได้ชัดว่าตารางเลขยกกำลัง n สะดวกมากในการแยกราก อย่างไรก็ตาม สิ่งเหล่านี้มักจะไม่อยู่ในมือ และการคอมไพล์ต้องใช้เวลาพอสมควร ยิ่งไปกว่านั้น บ่อยครั้งจำเป็นต้องแยกรากออกจากตัวเลขที่ไม่อยู่ในตารางที่เกี่ยวข้อง ในกรณีเหล่านี้ คุณต้องหันไปใช้วิธีอื่นในการสกัดราก
แยกตัวประกอบจำนวนรากให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ
วิธีที่สะดวกพอสมควรในการแยกรากของจำนวนธรรมชาติ (หากแยกรากออกแล้ว) ก็คือการแยกจำนวนรากให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ ของเขา ประเด็นคือสิ่งนี้: หลังจากนั้นมันค่อนข้างง่ายที่จะแทนมันเป็นกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่ต้องการซึ่งช่วยให้คุณได้รับค่าของรูท มาชี้แจงประเด็นนี้กัน
ให้รากที่ n ของจำนวนธรรมชาติ a มีค่าเท่ากับ b ในกรณีนี้ ความเท่าเทียมกัน a=b n เป็นจริง เบอร์ b เหมือนๆ กัน จำนวนธรรมชาติสามารถแสดงเป็นผลคูณของตัวประกอบเฉพาะทั้งหมด p 1 , p 2 , …, p m ในรูปแบบ p 1 · p 2 · … · p m และเลขราก a ในกรณีนี้แสดงเป็น (p 1 · p 2 · … · น.) น. เนื่องจากการสลายตัวของจำนวนหนึ่งไปเป็นตัวประกอบเฉพาะจะมีลักษณะเฉพาะ การสลายตัวของจำนวนราก a ไปเป็นตัวประกอบเฉพาะจะมีรูปแบบ (p 1 ·p 2 ·…·p m) n ซึ่งทำให้สามารถคำนวณค่าของรากได้ เช่น.
โปรดสังเกตว่าถ้าการสลายตัวไปเป็นตัวประกอบเฉพาะของจำนวนราก a ไม่สามารถแสดงในรูปแบบได้ (p 1 ·p 2 ·…·p m) n ดังนั้นรากที่ n ของจำนวน a จะยังไม่ถูกดึงออกจนหมด
ลองคิดดูเมื่อแก้ตัวอย่าง
ตัวอย่าง.
หารากที่สองของ 144
สารละลาย.
หากคุณดูตารางกำลังสองที่ให้ไว้ในย่อหน้าก่อนหน้า คุณจะเห็นได้ชัดเจนว่า 144 = 12 2 ซึ่งชัดเจนว่ารากที่สองของ 144 เท่ากับ 12
แต่เมื่อคำนึงถึงประเด็นนี้ เราสนใจว่ารากจะถูกแยกออกมาอย่างไรโดยการแยกเลขราก 144 ให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ ลองดูวิธีแก้ปัญหานี้
มาย่อยสลายกันเถอะ 144 ถึงตัวประกอบเฉพาะ:
นั่นคือ 144=2·2·2·2·3·3 ขึ้นอยู่กับการสลายตัวที่เกิดขึ้น การเปลี่ยนแปลงต่อไปนี้สามารถดำเนินการได้: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2- เพราะฉะนั้น, .
การใช้คุณสมบัติของดีกรีและคุณสมบัติของราก อาจทำให้สูตรการแก้ปัญหาแตกต่างออกไปเล็กน้อย:
คำตอบ:
หากต้องการรวมวัสดุ ให้พิจารณาวิธีแก้ปัญหาของอีกสองตัวอย่าง
ตัวอย่าง.
คำนวณค่าของรูท
สารละลาย.
การแยกตัวประกอบเฉพาะของจำนวนราก 243 มีรูปแบบ 243=3 5 ดังนั้น, .
คำตอบ:
ตัวอย่าง.
ค่ารูตเป็นจำนวนเต็มหรือไม่?
สารละลาย.
เพื่อตอบคำถามนี้ ลองแยกจำนวนรากให้เป็นตัวประกอบเฉพาะแล้วดูว่าสามารถแสดงเป็นกำลังสามของจำนวนเต็มได้หรือไม่
เรามี 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2. การขยายตัวที่เกิดขึ้นไม่สามารถแสดงเป็นกำลังสามของจำนวนเต็มได้ เนื่องจากกำลังของตัวประกอบเฉพาะ 7 ไม่ใช่ผลคูณของสาม ดังนั้น จึงไม่สามารถแยกรากที่สามของ 285,768 ได้อย่างสมบูรณ์
คำตอบ:
เลขที่
แยกรากออกจากเลขเศษส่วน
ได้เวลาหาวิธีแยกรากของเศษส่วนแล้ว ให้เขียนเลขรากเศษส่วนเป็น p/q ตามคุณสมบัติของรากของผลหาร ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้เป็นจริง จากความเท่าเทียมกันนี้เป็นไปตามนั้น กฎการแยกรากของเศษส่วน: รากของเศษส่วนเท่ากับผลหารของรากของตัวเศษหารด้วยรากของตัวส่วน
ลองดูตัวอย่างการแยกรากออกจากเศษส่วน
ตัวอย่าง.
สแควร์รูทของอะไร เศษส่วนทั่วไป 25/169 .
สารละลาย.
จากการใช้ตารางกำลังสอง เราพบว่ารากที่สองของตัวเศษของเศษส่วนเดิมเท่ากับ 5 และรากที่สองของตัวส่วนเท่ากับ 13 แล้ว - เป็นการเสร็จสิ้นการแยกรากของเศษส่วนร่วม 25/169
คำตอบ:
รากของเศษส่วนทศนิยมหรือจำนวนคละจะถูกแยกออกมาหลังจากแทนที่จำนวนรากด้วยเศษส่วนสามัญ
ตัวอย่าง.
หารากที่สามของเศษส่วนทศนิยม 474.552
สารละลาย.
ลองจินตนาการถึงต้นฉบับ ทศนิยมเป็นเศษส่วนร่วม: 474.552=474552/1000 แล้ว - ยังคงต้องแยกรากที่สามที่อยู่ในตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนผลลัพธ์ เพราะ 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 =78 3 และ 1 000 = 10 3 จากนั้น และ - สิ่งที่เหลืออยู่คือการคำนวณให้เสร็จสิ้น .
คำตอบ:
.
การหารากของจำนวนลบ
คุ้มค่าที่จะอาศัยการแยกรากออกจากจำนวนลบ เมื่อศึกษาราก เราบอกว่าเมื่อเลขชี้กำลังรากเป็นเลขคี่ ก็อาจมีเลขลบอยู่ใต้เครื่องหมายรากได้ เราให้ความหมายเหล่านี้แก่รายการเหล่านี้: สำหรับจำนวนลบ −a และเลขชี้กำลังคี่ของราก 2 n−1 - ความเท่าเทียมกันนี้ให้ กฎสำหรับการแยกรากคี่ออกจากจำนวนลบ: หากต้องการแยกรากของจำนวนลบ คุณต้องหารากของจำนวนบวกตรงข้าม และใส่เครื่องหมายลบไว้หน้าผลลัพธ์
ลองดูวิธีแก้ปัญหาตัวอย่าง
ตัวอย่าง.
ค้นหาค่าของราก
สารละลาย.
มาแปลงนิพจน์ดั้งเดิมเพื่อให้มีจำนวนบวกอยู่ใต้เครื่องหมายรูท: - ตอนนี้ หมายเลขผสมแทนที่ด้วยเศษส่วนธรรมดา: - เราใช้กฎในการแยกรากของเศษส่วนสามัญ: - ยังคงต้องคำนวณรากในตัวเศษและส่วนของเศษส่วนผลลัพธ์: .
นี่เป็นบทสรุปสั้นๆ ของวิธีแก้ปัญหา: .
คำตอบ:
.
การกำหนดค่ารูตในระดับบิต
ในกรณีทั่วไป ใต้รากจะมีตัวเลขจำนวนหนึ่งซึ่งไม่สามารถแสดงเป็นกำลังที่ n ของจำนวนใดๆ ได้ด้วยการใช้เทคนิคที่กล่าวถึงข้างต้น แต่ในกรณีนี้ จำเป็นต้องทราบความหมายของรากที่กำหนด อย่างน้อยก็ขึ้นอยู่กับสัญญาณบางอย่าง ในกรณีนี้หากต้องการแยกรูทคุณสามารถใช้อัลกอริธึมที่ช่วยให้คุณได้รับค่าตัวเลขของตัวเลขที่ต้องการตามลำดับตามลำดับ
ขั้นตอนแรกของอัลกอริทึมนี้คือการค้นหาว่าบิตที่สำคัญที่สุดของค่ารูตคืออะไร ในการทำเช่นนี้ ตัวเลข 0, 10, 100, ... จะถูกยกกำลัง n ตามลำดับจนกระทั่งถึงช่วงเวลาที่ตัวเลขเกินจำนวนรากที่ได้รับ จากนั้นตัวเลขที่เรายกกำลัง n ในขั้นตอนก่อนหน้าจะระบุตัวเลขที่มีนัยสำคัญที่สุดที่สอดคล้องกัน
ตัวอย่างเช่น พิจารณาขั้นตอนนี้ของอัลกอริทึมเมื่อแยกรากที่สองของห้า นำตัวเลข 0, 10, 100, ... มายกกำลังสองจนกระทั่งเราได้ตัวเลขที่มากกว่า 5 เรามี 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5 ซึ่งหมายความว่าหลักที่สำคัญที่สุดจะเป็นหลักหน่วย ค่าของบิตนี้และค่าที่ต่ำกว่าจะพบได้ในขั้นตอนถัดไปของอัลกอริธึมการแยกรูต
ขั้นตอนที่ตามมาทั้งหมดของอัลกอริธึมมีวัตถุประสงค์เพื่อชี้แจงค่าของรูทตามลำดับโดยการค้นหาค่าของบิตถัดไปของค่ารูทที่ต้องการโดยเริ่มจากค่าสูงสุดและเลื่อนไปที่ค่าต่ำสุด ตัวอย่างเช่น ค่าของรูตในขั้นตอนแรกกลายเป็น 2 ในขั้นตอนที่สอง – 2.2 ในขั้นตอนที่สาม – 2.23 และต่อ ๆ ไปใน 2.236067977… ให้เราอธิบายว่าจะหาค่าของตัวเลขได้อย่างไร
พบตัวเลขโดยการค้นหาผ่านค่าที่เป็นไปได้ 0, 1, 2, ..., 9 ในกรณีนี้ กำลังที่ n ของตัวเลขที่เกี่ยวข้องจะถูกคำนวณแบบขนาน และนำไปเปรียบเทียบกับจำนวนราก หากในบางขั้นตอนค่าของระดับเกินจำนวนรากจะถือว่าพบค่าของตัวเลขที่สอดคล้องกับค่าก่อนหน้าและจะเปลี่ยนไปใช้ขั้นตอนถัดไปของอัลกอริธึมการแยกรูตหากไม่เกิดขึ้น แล้วค่าของหลักนี้คือ 9
ให้เราอธิบายประเด็นเหล่านี้โดยใช้ตัวอย่างเดียวกันในการแยกรากที่สองของห้า
ก่อนอื่นเราจะหาค่าของหลักหน่วย เราจะผ่านค่า 0, 1, 2, ..., 9 โดยคำนวณ 0 2, 1 2, ..., 9 2 ตามลำดับจนกว่าเราจะได้ค่าที่มากกว่าเลขราก 5 สะดวกในการนำเสนอการคำนวณทั้งหมดเหล่านี้ในรูปแบบของตาราง:
ดังนั้นค่าของหลักหน่วยคือ 2 (เนื่องจาก 2 2<5
, а 2 3 >5) มาดูค่าของตำแหน่งในสิบกันดีกว่า. ในกรณีนี้เราจะยกกำลังสองตัวเลข 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 เปรียบเทียบค่าผลลัพธ์กับเลขราก 5:
ตั้งแต่ 2.2 2<5
, а 2,3 2 >5 แล้วค่าของตำแหน่งในสิบคือ 2 คุณสามารถดำเนินการค้นหามูลค่าของตำแหน่งที่ร้อยได้:
นี่คือวิธีที่หาค่าถัดไปของรากของห้าได้ ซึ่งก็คือ 2.23 ดังนั้นคุณจึงสามารถค้นหาค่าต่อไปได้: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .
ในการรวมวัสดุเข้าด้วยกัน เราจะวิเคราะห์การแยกรากด้วยความแม่นยำระดับหนึ่งในร้อยโดยใช้อัลกอริธึมที่พิจารณา
ขั้นแรกเรากำหนดตัวเลขที่สำคัญที่สุด ในการทำเช่นนี้ เรายกกำลังสามของตัวเลข 0, 10, 100 เป็นต้น จนเราได้จำนวนที่มากกว่า 2,151,186 เรามี 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186 ดังนั้นเลขนัยสำคัญที่สุดคือหลักสิบ
มากำหนดมูลค่าของมันกัน
ตั้งแต่ 10 3<2 151,186
, а 20 3 >2 151.186 แล้วค่าหลักสิบคือ 1 มาดูหน่วยกันต่อ
ดังนั้น ค่าของหลักหน่วยคือ 2 เรามาต่อกันที่สิบกันดีกว่า
เนื่องจากแม้แต่ 12.9 3 ก็น้อยกว่าเลขราก 2 151.186 ดังนั้นค่าของตำแหน่งที่สิบคือ 9 ยังคงดำเนินการขั้นตอนสุดท้ายของอัลกอริทึมโดยจะให้ค่าของรูทแก่เราด้วยความแม่นยำที่ต้องการ
ในขั้นตอนนี้ ค่าของรากจะพบว่าแม่นยำถึงหนึ่งในร้อย: .
โดยสรุปของบทความนี้ผมอยากจะบอกว่ามีวิธีอื่นอีกมากมายในการแยกราก แต่สำหรับงานส่วนใหญ่ งานที่เราศึกษาข้างต้นก็เพียงพอแล้ว
อ้างอิง.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. พีชคณิต: หนังสือเรียนสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 สถาบันการศึกษา
- โคลโมโกรอฟ เอ.เอ็น., อับรามอฟ เอ.เอ็ม., ดุดนิตซิน ยู.พี. และอื่น ๆ พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: หนังสือเรียนสำหรับเกรด 10 - 11 ของสถาบันการศึกษาทั่วไป
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้เข้าโรงเรียนเทคนิค)
นักเรียนมักจะถามเสมอว่า “ทำไมฉันไม่สามารถใช้เครื่องคิดเลขในการสอบคณิตศาสตร์ได้? วิธีแยกรากที่สองของตัวเลขโดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลข? ลองตอบคำถามนี้กัน
จะแยกรากที่สองของตัวเลขโดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลขได้อย่างไร?
การกระทำ รากที่สองผกผันกับการกระทำของกำลังสอง
√81= 9 9 2 =81
หากคุณหารากที่สองของจำนวนบวกแล้วยกกำลังสองผลลัพธ์ คุณจะได้จำนวนเดียวกัน
จากจำนวนเล็กๆ ที่เป็นกำลังสองของจำนวนธรรมชาติ เช่น 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100 สามารถแยกรากที่สองออกมาทางวาจาได้ โดยปกติที่โรงเรียนพวกเขาจะสอนตารางกำลังสองของจำนวนธรรมชาติมากถึงยี่สิบ เมื่อรู้ตารางนี้แล้ว มันเป็นเรื่องง่ายที่จะแยกรากที่สองออกจากตัวเลข 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400 จากตัวเลขที่มากกว่า 400 คุณสามารถแยกมันออกมาได้โดยใช้วิธีการเลือกโดยใช้เคล็ดลับบางประการ ลองมาดูวิธีนี้พร้อมตัวอย่าง
ตัวอย่าง: แยกรากของหมายเลข 676.
เราสังเกตว่า 20 2 = 400 และ 30 2 = 900 ซึ่งหมายถึง 20< √676 < 900.
กำลังสองที่แน่นอนของจำนวนธรรมชาติลงท้ายด้วย 0; 1; 4; 5; 6; 9.
หมายเลข 6 ถูกกำหนดโดย 4 2 และ 6 2
ซึ่งหมายความว่าหากรากถูกนำมาจาก 676 จะเป็น 24 หรือ 26
ยังคงต้องตรวจสอบ: 24 2 = 576, 26 2 = 676
คำตอบ: √676 = 26 .
มากกว่า ตัวอย่าง: √6889 .
ตั้งแต่ 80 2 = 6400 และ 90 2 = 8100 จากนั้น 80< √6889 < 90.
หมายเลข 9 กำหนดโดย 3 2 และ 7 2 จากนั้น √6889 จะเท่ากับ 83 หรือ 87
ตรวจสอบกัน: 83 2 = 6889
คำตอบ: √6889 = 83 .
หากคุณพบว่าการแก้ปัญหาโดยใช้วิธีการเลือกนั้นทำได้ยาก คุณสามารถแยกตัวประกอบนิพจน์รากได้
ตัวอย่างเช่น, หา √893025.
ลองแยกตัวประกอบตัวเลข 893025 จำไว้ว่าคุณทำตอนเกรด 6
เราได้รับ: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945
มากกว่า ตัวอย่าง: √20736- ลองแยกตัวประกอบจำนวน 20736:
เราได้ √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144
แน่นอนว่าการแยกตัวประกอบต้องอาศัยความรู้เกี่ยวกับเครื่องหมายหารลงตัวและทักษะการแยกตัวประกอบ
และสุดท้ายก็มี กฎการแยกรากที่สอง- มาทำความคุ้นเคยกับกฎนี้พร้อมตัวอย่าง
คำนวณ √279841.
หากต้องการแยกรากของจำนวนเต็มหลายหลัก ให้หารจากขวาไปซ้ายเป็นหน้าที่มี 2 หลัก (ขอบซ้ายสุดอาจมีหนึ่งหลัก) เราเขียนแบบนี้: 27'98'41
ในการหาเลขตัวแรกของราก (5) เราจะหารากที่สองของกำลังสองสมบูรณ์ที่ใหญ่ที่สุดที่อยู่ในหน้าแรกทางซ้าย (27)
จากนั้นกำลังสองของหลักแรกของราก (25) จะถูกลบออกจากหน้าแรกและหน้าถัดไป (98) จะถูกบวกเข้ากับผลต่าง (ลบออก)
ทางด้านซ้ายของผลลัพธ์ 298 เขียนเลขสองหลักของรูต (10) หารด้วยจำนวนสิบทั้งหมดของตัวเลขที่ได้รับก่อนหน้านี้ (29/2 data 2) ทดสอบผลหาร (102 ∙2 = 204 ไม่ควรเกิน 298) และเขียน (2) หลังหลักแรกของราก
จากนั้นผลหารผลลัพธ์ 204 จะถูกลบออกจาก 298 และขอบถัดไป (41) จะถูกบวกเข้ากับผลต่าง (94)
ทางด้านซ้ายของผลลัพธ์หมายเลข 9441 เขียนผลคูณสองเท่าของหลักราก (52 ∙2 = 104) หารจำนวนสิบทั้งหมดของตัวเลข 9441 (944/104 กลับไปยัง 9) ด้วยผลิตภัณฑ์นี้ ทดสอบ ผลหาร (1,049 ∙9 = 9441) ควรเป็น 9441 และจดไว้ (9) หลังหลักที่สองของราก
เราได้รับคำตอบ √279841 = 529
สกัดในลักษณะเดียวกัน รากของเศษส่วนทศนิยม- เฉพาะจำนวนรากเท่านั้นที่ต้องแบ่งออกเป็นหน้าเพื่อให้ลูกน้ำอยู่ระหว่างหน้า
ตัวอย่าง. ค้นหาค่า √0.00956484
เพียงจำไว้ว่าหากเศษส่วนทศนิยมมีจำนวนตำแหน่งทศนิยมเป็นคี่ ก็จะไม่สามารถถอดรากที่สองจากเศษส่วนนั้นได้
ตอนนี้คุณได้เห็นสามวิธีในการแยกรากแล้ว เลือกอันที่เหมาะกับคุณที่สุดแล้วฝึกฝน หากต้องการเรียนรู้ที่จะแก้ปัญหา คุณต้องแก้ปัญหาเหล่านั้น และหากคุณมีคำถามใดๆ ลงทะเบียนบทเรียนของฉันได้เลย
เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มาดั้งเดิม
คณิตศาสตร์เกิดขึ้นเมื่อมนุษย์ตระหนักถึงตนเองและเริ่มวางตำแหน่งตนเองเป็นหน่วยอิสระของโลก ความปรารถนาที่จะวัด เปรียบเทียบ นับสิ่งที่อยู่รอบตัวคุณคือสิ่งที่เป็นรากฐานของวิทยาศาสตร์พื้นฐานประการหนึ่งในยุคของเรา ในตอนแรกสิ่งเหล่านี้เป็นอนุภาคของคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษาซึ่งทำให้สามารถเชื่อมโยงตัวเลขกับการแสดงออกทางกายภาพได้ต่อมาข้อสรุปเริ่มถูกนำเสนอในทางทฤษฎีเท่านั้น (เนื่องจากความเป็นนามธรรม) แต่หลังจากนั้นไม่นานตามที่นักวิทยาศาสตร์คนหนึ่งกล่าวไว้ " คณิตศาสตร์ถึงจุดสูงสุดของความซับซ้อนเมื่อมันหายไปจากตัวเลขทั้งหมด” แนวคิดของ "รากที่สอง" ปรากฏขึ้นในเวลาที่ข้อมูลเชิงประจักษ์สามารถรองรับได้อย่างง่ายดาย ซึ่งอยู่นอกเหนือระนาบของการคำนวณ
ที่ซึ่งทุกอย่างเริ่มต้นขึ้น
การกล่าวถึงรากครั้งแรกซึ่งปัจจุบันแสดงเป็น √ ได้รับการบันทึกไว้ในงานของนักคณิตศาสตร์ชาวบาบิโลนซึ่งเป็นผู้วางรากฐานสำหรับเลขคณิตสมัยใหม่ แน่นอนว่าพวกเขามีความคล้ายคลึงเล็กน้อยกับรูปแบบปัจจุบัน - นักวิทยาศาสตร์ในช่วงหลายปีที่ผ่านมาใช้แท็บเล็ตขนาดใหญ่เป็นครั้งแรก แต่ในสหัสวรรษที่สองก่อนคริสต์ศักราช จ. พวกเขาได้รับสูตรการคำนวณโดยประมาณที่แสดงวิธีแยกรากที่สอง ภาพด้านล่างแสดงหินที่นักวิทยาศาสตร์ชาวบาบิโลนแกะสลักกระบวนการอนุมาน √2 และปรากฏว่าถูกต้องมากจนพบความคลาดเคลื่อนในคำตอบในทศนิยมตำแหน่งที่สิบเท่านั้น
นอกจากนี้ รากยังถูกใช้หากจำเป็นต้องค้นหาด้านของสามเหลี่ยม โดยที่รู้อีกสองอัน เมื่อแก้สมการกำลังสอง ไม่มีทางหนีจากการแตกรากได้
นอกเหนือจากงานของชาวบาบิโลนแล้ว วัตถุประสงค์ของบทความนี้ยังได้รับการศึกษาในงานจีนเรื่อง "คณิตศาสตร์ในหนังสือเก้าเล่ม" และชาวกรีกโบราณได้ข้อสรุปว่าจำนวนใดก็ตามที่ไม่สามารถแยกรากออกมาได้โดยไม่มีเศษเหลือให้ผลลัพธ์ที่ไม่มีเหตุผล .
ต้นกำเนิดของคำนี้เกี่ยวข้องกับการแทนตัวเลขในภาษาอาหรับ: นักวิทยาศาสตร์โบราณเชื่อว่ากำลังสองของจำนวนตามใจชอบนั้นเติบโตจากรากเหมือนพืช ในภาษาละติน คำนี้ฟังดูเหมือน Radix (คุณสามารถติดตามรูปแบบได้ - ทุกสิ่งที่มีความหมายว่า "ราก" นั้นเป็นพยัญชนะ ไม่ว่าจะเป็นหัวไชเท้าหรือหัวไชเท้าอักเสบ)
นักวิทยาศาสตร์รุ่นต่อๆ มาหยิบยกแนวคิดนี้ขึ้นมา โดยกำหนดให้เป็น Rx ตัวอย่างเช่น ในศตวรรษที่ 15 เพื่อระบุว่ามีการใช้รากที่สองของจำนวนใดๆ a พวกเขาจึงเขียน R 2 a “เห็บ” ที่คุ้นเคยในสายตาของคนยุคใหม่ ปรากฏในศตวรรษที่ 17 เท่านั้น ต้องขอบคุณ Rene Descartes
วันของเรา
ในแง่คณิตศาสตร์ รากที่สองของตัวเลข y คือตัวเลข z ซึ่งกำลังสองเท่ากับ y กล่าวอีกนัยหนึ่ง z 2 =y เทียบเท่ากับ √y=z อย่างไรก็ตาม คำจำกัดความนี้เกี่ยวข้องกับรากเลขคณิตเท่านั้น เนื่องจากมีความหมายเป็นนัยถึงค่าที่ไม่เป็นลบของนิพจน์ กล่าวอีกนัยหนึ่ง √y=z โดยที่ z มากกว่าหรือเท่ากับ 0
โดยทั่วไป ซึ่งใช้กับการหารากพีชคณิต ค่าของนิพจน์อาจเป็นค่าบวกหรือลบก็ได้ ดังนั้น เนื่องจากข้อเท็จจริงที่ว่า z 2 =y และ (-z) 2 =y เรามี: √y=±z หรือ √y=|z|
เนื่องจากความจริงที่ว่าความรักในคณิตศาสตร์เพิ่มขึ้นเมื่อมีการพัฒนาทางวิทยาศาสตร์เท่านั้นจึงมีอาการแสดงความรักต่อคณิตศาสตร์หลายอย่างที่ไม่ได้แสดงออกด้วยการคำนวณแบบแห้ง ตัวอย่างเช่น นอกเหนือจากปรากฏการณ์ที่น่าสนใจเช่นวันพายแล้ว ก็มีการเฉลิมฉลองวันหยุดรากที่สองด้วย มีการเฉลิมฉลองเก้าครั้งทุกๆ ร้อยปี และถูกกำหนดตามหลักการต่อไปนี้ ตัวเลขที่ระบุตามลำดับวันและเดือนจะต้องเป็นรากที่สองของปี ดังนั้นครั้งต่อไปที่เราจะเฉลิมฉลองวันหยุดนี้คือวันที่ 4 เมษายน 2016
คุณสมบัติของรากที่สองบนสนาม R
นิพจน์ทางคณิตศาสตร์เกือบทั้งหมดมีพื้นฐานทางเรขาคณิต และ √y ซึ่งถูกกำหนดให้เป็นด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่ y ก็ไม่สามารถรอดพ้นชะตากรรมนี้ได้
จะหารากของตัวเลขได้อย่างไร?
มีอัลกอริธึมการคำนวณหลายอย่าง วิธีที่ง่ายที่สุด แต่ในขณะเดียวกันก็ค่อนข้างยุ่งยากคือการคำนวณทางคณิตศาสตร์ตามปกติซึ่งมีดังต่อไปนี้:
1) จากจำนวนที่เราต้องการรูท เลขคี่จะถูกลบออกตามลำดับ - จนกว่าส่วนที่เหลือที่เอาต์พุตจะน้อยกว่าจำนวนที่ถูกลบออกหรือแม้กระทั่งเท่ากับศูนย์ จำนวนการเคลื่อนไหวจะกลายเป็นจำนวนที่ต้องการในที่สุด เช่น คำนวณรากที่สองของ 25:
เลขคี่ถัดไปคือ 11 ส่วนที่เหลือคือ 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?
ในกรณีเช่นนี้ จะมีการขยายซีรีส์ Taylor:
√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n โดยที่ n รับค่าตั้งแต่ 0 ถึง
+∞ และ |y|≤1
การแสดงกราฟของฟังก์ชัน z=√y
พิจารณาฟังก์ชันเบื้องต้น z=√y บนสนามของจำนวนจริง R โดยที่ y มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ กำหนดการมีลักษณะดังนี้:
เส้นโค้งขยายจากจุดกำเนิดและจำเป็นต้องตัดกันจุด (1; 1)
คุณสมบัติของฟังก์ชัน z=√y บนสนามของจำนวนจริง R
1. โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันที่พิจารณาคือช่วงจากศูนย์ถึงบวกอนันต์ (รวมศูนย์ด้วย)
2. ช่วงของค่าของฟังก์ชันที่พิจารณาคือช่วงจากศูนย์ถึงบวกอนันต์ (รวมศูนย์อีกครั้ง)
3. ฟังก์ชันรับค่าต่ำสุด (0) ที่จุด (0; 0) เท่านั้น ไม่มีมูลค่าสูงสุด
4. ฟังก์ชัน z=√y ไม่เป็นคู่หรือคี่
5. ฟังก์ชัน z=√y ไม่ใช่คาบ
6. มีจุดตัดกันเพียงจุดเดียวของกราฟของฟังก์ชัน z=√y ที่มีแกนพิกัด: (0; 0)
7. จุดตัดของกราฟของฟังก์ชัน z=√y จะเป็นศูนย์ของฟังก์ชันนี้ด้วย
8. ฟังก์ชัน z=√y มีการเติบโตอย่างต่อเนื่อง
9. ฟังก์ชัน z=√y รับเฉพาะค่าบวก ดังนั้นกราฟจึงครองมุมพิกัดแรก
ตัวเลือกสำหรับการแสดงฟังก์ชัน z=√y
ในทางคณิตศาสตร์ เพื่ออำนวยความสะดวกในการคำนวณนิพจน์ที่ซับซ้อน บางครั้งจึงใช้รูปแบบกำลังของการเขียนรากที่สอง: √y=y 1/2 ตัวเลือกนี้สะดวก เช่น ในการเพิ่มฟังก์ชันเป็นกำลัง: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 วิธีนี้ยังเป็นตัวแทนที่ดีในการหาอนุพันธ์ด้วยการอินทิเกรต เนื่องจากวิธีนี้ทำให้รากที่สองจึงแสดงเป็นฟังก์ชันยกกำลังธรรมดาได้
และในการเขียนโปรแกรม การแทนที่สัญลักษณ์ √ คือการรวมกันของตัวอักษร sqrt
เป็นที่น่าสังเกตว่าในพื้นที่นี้รากที่สองเป็นที่ต้องการอย่างมากเนื่องจากเป็นส่วนหนึ่งของสูตรเรขาคณิตส่วนใหญ่ที่จำเป็นสำหรับการคำนวณ อัลกอริธึมการนับนั้นค่อนข้างซับซ้อนและขึ้นอยู่กับการเรียกซ้ำ (ฟังก์ชันที่เรียกตัวเอง)
รากที่สองในสนามเชิงซ้อน C
โดยทั่วไปแล้ว มันเป็นหัวข้อของบทความนี้ที่กระตุ้นการค้นพบสนามของจำนวนเชิงซ้อน C เนื่องจากนักคณิตศาสตร์ถูกหลอกหลอนด้วยคำถามของการได้รากคู่ของจำนวนลบ นี่คือวิธีที่หน่วยจินตภาพที่ฉันปรากฏ ซึ่งมีคุณสมบัติที่น่าสนใจมาก นั่นคือกำลังสองของมันคือ -1 ด้วยเหตุนี้ สมการกำลังสองจึงถูกแก้ไขแม้จะมีการแบ่งแยกเชิงลบก็ตาม ใน C คุณสมบัติเดียวกันนี้เกี่ยวข้องกับรากที่สองเช่นเดียวกับใน R สิ่งเดียวคือข้อจำกัดเกี่ยวกับนิพจน์รากจะถูกลบออก