วิธีหาค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมโดยรู้ด้านของมัน ค่ามัธยฐาน
ค่ามัธยฐานและความสูงของรูปสามเหลี่ยมเป็นหนึ่งในสิ่งที่น่าสนใจที่สุดและ หัวข้อที่น่าสนใจเรขาคณิต. คำว่า "ค่ามัธยฐาน" หมายถึงเส้นหรือส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมกับด้านตรงข้าม กล่าวอีกนัยหนึ่ง ค่ามัธยฐานคือเส้นที่ลากจากกึ่งกลางด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมไปยังจุดยอดตรงข้ามของรูปสามเหลี่ยมเดียวกัน เนื่องจากรูปสามเหลี่ยมมีจุดยอดเพียงสามจุดและมีด้านสามด้าน นั่นหมายความว่าจะมีค่ามัธยฐานได้เพียงสามจุดเท่านั้น
คุณสมบัติของค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม
- ค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมทั้งหมดตัดกันที่จุดหนึ่งและถูกคั่นด้วยจุดนี้ในอัตราส่วน 2:1 นับจากจุดยอด ดังนั้น หากคุณวาดค่ามัธยฐานทั้งสามเป็นรูปสามเหลี่ยม จุดตัดของพวกมันจะแบ่งพวกมันออกเป็นสองส่วน ส่วนที่ตั้งอยู่ใกล้จุดยอดมากที่สุดจะเป็น 2/3 ของเส้นทั้งหมด และส่วนที่ตั้งอยู่ใกล้ด้านข้างของสามเหลี่ยมมากที่สุดจะเป็น 1/3 ของเส้นทั้งหมด ค่ามัธยฐานตัดกันที่จุดหนึ่ง
- ค่ามัธยฐาน 3 อันที่วาดไว้ในสามเหลี่ยมเดียวจะแบ่งสามเหลี่ยมนี้ออกเป็นสามเหลี่ยมเล็กๆ 6 อัน ซึ่งพื้นที่จะเท่ากัน
- ยิ่งด้านของรูปสามเหลี่ยมที่ค่ามัธยฐานมามีขนาดใหญ่เท่าใด ค่ามัธยฐานก็จะยิ่งเล็กลงเท่านั้น ในทางกลับกัน ด้านที่สั้นที่สุดจะมีค่ามัธยฐานที่ยาวที่สุด
- ค่ามัธยฐานในสามเหลี่ยมมุมฉากมีลักษณะเฉพาะหลายประการในตัวเอง ตัวอย่างเช่น ถ้าเราอธิบายวงกลมรอบรูปสามเหลี่ยมที่จะผ่านจุดยอดทั้งหมด แสดงว่าค่ามัธยฐาน มุมขวาที่ถูกลากไปทางด้านตรงข้ามมุมฉากจะกลายเป็นรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ (นั่นคือ ความยาวของมันจะเป็นระยะห่างจากจุดใดๆ ของวงกลมถึงจุดศูนย์กลาง)
สมการความยาวของค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม
สูตรค่ามัธยฐานมาจากทฤษฎีบทของสจ๊วตและระบุว่าค่ามัธยฐานคือ รากที่สองจากอัตราส่วนของกำลังสองของผลรวมของด้านของสามเหลี่ยมที่ทำให้เกิดจุดยอด ให้ลบด้วยกำลังสองของด้านที่ลากค่ามัธยฐานให้เหลือ 4 กล่าวอีกนัยหนึ่ง หากต้องการหาความยาวของค่ามัธยฐาน คุณต้องนำความยาวของแต่ละด้านของสามเหลี่ยมยกกำลังสอง แล้วเขียนเป็นเศษส่วน โดยตัวเศษจะเท่ากับผลรวมของกำลังสองของด้านที่ สร้างมุมที่ค่ามัธยฐานมา ลบด้วยกำลังสองของด้านที่สาม ตัวส่วนตรงนี้คือเลข 4 จากนั้นเราต้องแยกรากที่สองออกจากเศษส่วนนี้ แล้วเราจะได้ความยาวของค่ามัธยฐาน
จุดตัดของค่ามัธยฐานสามเหลี่ยม
ดังที่เราเขียนไว้ข้างต้น ค่ามัธยฐานทั้งหมดของสามเหลี่ยมหนึ่งตัดกันที่จุดหนึ่ง จุดนี้เรียกว่าจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยม โดยแบ่งค่ามัธยฐานออกเป็นสองส่วน โดยมีความยาวเป็นสัดส่วน 2:1 ในกรณีนี้ จุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมก็เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบสามเหลี่ยมด้วย และรูปทรงเรขาคณิตอื่นๆ ก็มีจุดศูนย์กลางเป็นของตัวเอง
พิกัดจุดตัดของค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม
ในการหาพิกัดของจุดตัดของค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมหนึ่งรูป เราใช้คุณสมบัติของเซนทรอยด์ โดยที่มันจะแบ่งค่ามัธยฐานแต่ละส่วนออกเป็นส่วน 2:1 เราแสดงจุดยอดเป็น A(x 1 ;y 1), B(x 2 ;y 2), C(x 3 ;y 3),
และคำนวณพิกัดของจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมโดยใช้สูตร: x 0 = (x 1 + x 2 + x 3)/3; y 0 = (y 1 + y 2 + y 3)/3
พื้นที่ของสามเหลี่ยมผ่านค่ามัธยฐาน
ค่ามัธยฐานทั้งหมดของสามเหลี่ยมเดียวหารสามเหลี่ยมนี้ด้วย 6 สามเหลี่ยมเท่ากันและจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมจะหารค่ามัธยฐานแต่ละค่าในอัตราส่วน 2:1 ดังนั้นหากทราบพารามิเตอร์ของค่ามัธยฐานแต่ละอัน คุณสามารถคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมผ่านพื้นที่ของสามเหลี่ยมเล็ก ๆ อันใดอันหนึ่งได้ จากนั้นเพิ่มตัวบ่งชี้นี้ 6 เท่า
ค่ามัธยฐานคือส่วนที่ลากจากจุดยอดของสามเหลี่ยมไปยังตรงกลางของด้านตรงข้าม นั่นคือ แบ่งครึ่งที่จุดตัด จุดที่ค่ามัธยฐานตัดด้านตรงข้ามกับจุดยอดที่โผล่ออกมานั้นเรียกว่าฐาน ค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมแต่ละอันจะผ่านจุดหนึ่งเรียกว่าจุดตัด สูตรสำหรับความยาวสามารถแสดงได้หลายวิธี
สูตรแสดงความยาวของค่ามัธยฐาน
- บ่อยครั้งในโจทย์เรขาคณิต นักเรียนจะต้องจัดการกับส่วนต่างๆ เช่น ค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม สูตรสำหรับความยาวแสดงเป็นด้าน:
โดยที่ a, b และ c เป็นด้านข้าง ยิ่งกว่านั้น c คือด้านที่ค่ามัธยฐานตก นี่คือสิ่งที่ดูเหมือน สูตรง่ายๆ- บางครั้งจำเป็นต้องใช้ค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมในการคำนวณเสริม มีสูตรอื่นๆ.
- ในระหว่างการคำนวณ หากทราบด้านสองด้านของรูปสามเหลี่ยมและมุม α ที่แน่นอนที่อยู่ระหว่างสองด้านนั้น ความยาวของค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมซึ่งลดลงเหลือด้านที่สามจะแสดงได้ดังนี้
คุณสมบัติพื้นฐาน
- ค่ามัธยฐานทั้งหมดมีจุดตัด O ร่วมกันหนึ่งจุด และหารด้วยอัตราส่วน 2 ต่อ 1 หากนับจากจุดยอด จุดนี้เรียกว่าจุดศูนย์ถ่วงของรูปสามเหลี่ยม
- ค่ามัธยฐานแบ่งสามเหลี่ยมออกเป็นสองส่วนซึ่งมีพื้นที่เท่ากัน สามเหลี่ยมดังกล่าวเรียกว่าพื้นที่เท่ากัน
- หากคุณวาดค่ามัธยฐานทั้งหมด สามเหลี่ยมนั้นจะถูกแบ่งออกเป็น 6 หลักเท่าๆ กัน ซึ่งก็จะเป็นรูปสามเหลี่ยมด้วย
- หากด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมเท่ากัน ค่ามัธยฐานแต่ละด้านจะมีความสูงและเป็นเส้นแบ่งครึ่งด้วย กล่าวคือ ตั้งฉากกับด้านที่รูปสามเหลี่ยมถูกดึงออกมา และแบ่งครึ่งมุมที่รูปสามเหลี่ยมโผล่ออกมา
- ในสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ค่ามัธยฐานที่ดึงมาจากจุดยอดที่อยู่ตรงข้ามด้านที่ไม่เท่ากับด้านอื่นๆ จะเป็นระดับความสูงและเส้นแบ่งครึ่งด้วย ค่ามัธยฐานที่ดร็อปจากจุดยอดอื่นมีค่าเท่ากัน นี่เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับหน้าจั่ว
- ถ้าสามเหลี่ยมเป็นฐาน ปิรามิดปกติแล้วความสูงก็ลดลง พื้นฐานนี้จะถูกฉายไปที่จุดตัดกันของค่ามัธยฐานทั้งหมด
- ในสามเหลี่ยมมุมฉาก ค่ามัธยฐานที่ลากไปยังด้านที่ยาวที่สุดจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของความยาว
- ให้ O เป็นจุดตัดของค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยม สูตรด้านล่างนี้จะเป็นจริงสำหรับจุด M ใดๆ
- ค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมมีคุณสมบัติอื่น สูตรสำหรับกำลังสองของความยาวถึงกำลังสองด้านข้างแสดงไว้ด้านล่างนี้
คุณสมบัติของด้านที่ดึงค่ามัธยฐาน
- หากคุณเชื่อมต่อจุดตัดกันสองจุดของค่ามัธยฐานกับด้านที่จุดตัดนั้นตกลงไป ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นเส้นกึ่งกลางของรูปสามเหลี่ยมและเป็นครึ่งหนึ่งของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมที่ไม่มีจุดร่วม
- ฐานของระดับความสูงและค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม รวมถึงจุดกึ่งกลางของส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมกับจุดตัดของระดับความสูง อยู่บนวงกลมเดียวกัน
โดยสรุป มีเหตุผลที่จะกล่าวว่าส่วนที่สำคัญที่สุดส่วนหนึ่งคือค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม สูตรนี้สามารถใช้ในการหาความยาวของด้านอื่นๆ ได้
ค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม- นี่คือส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดของสามเหลี่ยมกับจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้ามของสามเหลี่ยมนี้
คุณสมบัติของค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยม
1. ค่ามัธยฐานแบ่งสามเหลี่ยมออกเป็นสองสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่เท่ากัน
2. ค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง ซึ่งแบ่งแต่ละจุดออกเป็นอัตราส่วน 2:1 นับจากจุดยอด จุดนี้เรียกว่าจุดศูนย์ถ่วงของสามเหลี่ยม (เซนทรอยด์)
3. สามเหลี่ยมทั้งหมดถูกหารด้วยค่ามัธยฐานของมันเป็นสามเหลี่ยมหกรูปเท่าๆ กัน
ความยาวของค่ามัธยฐานที่ลากไปด้านข้าง: (พิสูจน์โดยสร้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานแล้วใช้ความเท่ากันในสี่เหลี่ยมด้านขนานของผลรวมของกำลังสองของด้านกับผลรวมของกำลังสองของเส้นทแยงมุมเป็นสองเท่า )
T1.ค่ามัธยฐานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่จุด M ซึ่งแบ่งแต่ละค่าออกเป็นอัตราส่วน 2:1 นับจากจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม ให้ไว้: ∆ เอบีซี,เอสเอส 1, เอเอ 1, BB 1 - ค่ามัธยฐาน
∆เอบีซี- พิสูจน์: และ
D-vo: ให้ M เป็นจุดตัดของค่ามัธยฐาน CC 1, AA 1 ของสามเหลี่ยม ABC ทำเครื่องหมาย A 2 - ตรงกลางของส่วน AM และ C 2 - ตรงกลางของส่วน CM จากนั้น A 2 C 2 - เส้นกึ่งกลางสามเหลี่ยม เอเอ็มเอส.วิธี, เอ 2 ซี 2- เครื่องปรับอากาศ
และ A 2 C 2 = 0.5*AC กับ 1 ก 1 - เส้นกลางของสามเหลี่ยม ABC ดังนั้น ก 1 กับ 1 - เอซี และ เอ 1 กับ 1 = 0.5*เอซี
จัตุรัส ก 2 ค 1 ก 1 ค 2- สี่เหลี่ยมด้านขนาน เนื่องจากด้านตรงข้ามคือ A 1 กับ 1 และ เอ 2 ซี 2เท่ากันและขนานกัน เพราะฉะนั้น, เอ 2 ม =ปริญญาโท 1 และ ค 2 ม =เอ็มซี 1 . ซึ่งหมายความว่าจุด เอ 2และ มแบ่งค่ามัธยฐาน เอเอ 2ออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กัน คือ AM = 2MA 2 เช่นเดียวกับซม. = 2MC 1 - ดังนั้น จุด M ของจุดตัดของค่ามัธยฐานสองตัว เอเอ 2และ ซีซี 2สามเหลี่ยม ABC หารแต่ละอันในอัตราส่วน 2:1 โดยนับจากจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม ได้รับการพิสูจน์ในลักษณะเดียวกันโดยสิ้นเชิงว่าจุดตัดกันของค่ามัธยฐาน AA 1 และ BB 1 หารแต่ละจุดในอัตราส่วน 2:1 โดยนับจากจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม
บนค่ามัธยฐาน AA 1 จุดดังกล่าวคือจุด M ดังนั้นจุด มและมีจุดตัดกันของค่ามัธยฐาน AA 1 และ BB 1
ดังนั้น, n
ที2.พิสูจน์ว่าส่วนที่เชื่อมต่อเซนทรอยด์กับจุดยอดของสามเหลี่ยมนั้นแบ่งออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กัน ให้ไว้: ∆ABC - ค่ามัธยฐานของมัน
พิสูจน์: เอส แอมบี =เอส บีเอ็มซี =เอส บบส.การพิสูจน์. ใน,พวกเขามีเหมือนกัน เพราะ ฐานของมันเท่ากัน และความสูงที่ดึงมาจากจุดยอด เอ็มพวกเขามีเหมือนกัน แล้ว
ในทำนองเดียวกันก็พิสูจน์ได้ว่า ส AMB = ส บบส.ดังนั้น, S AMB = S AMC = S CMBn
ทฤษฎีบทเกี่ยวกับเส้นแบ่งครึ่งสามเหลี่ยม สูตรการหาเส้นแบ่งครึ่ง
เส้นแบ่งครึ่งมุม- รังสีที่มีจุดเริ่มต้นที่จุดยอดของมุม โดยแบ่งมุมออกเป็นสองมุมเท่าๆ กัน
เส้นแบ่งครึ่งของมุมคือตำแหน่งของจุดภายในมุมซึ่งมีระยะห่างจากด้านข้างของมุมเท่ากัน
คุณสมบัติ
1. ทฤษฎีบทเส้นแบ่งครึ่ง: เส้นแบ่งครึ่งของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมจะแบ่งด้านตรงข้ามออกเป็นอัตราส่วนเท่ากับอัตราส่วนของด้านที่อยู่ติดกันสองด้าน
2. เส้นแบ่งครึ่งของมุมภายในของสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง - จุดศูนย์กลาง - จุดศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ในสามเหลี่ยมนี้
3. ถ้าเส้นแบ่งครึ่งสองเส้นในสามเหลี่ยมเท่ากัน สามเหลี่ยมนั้นจะเป็นหน้าจั่ว (ทฤษฎีบทสไตเนอร์-เลมัส)
การคำนวณความยาวเส้นแบ่งครึ่ง
l c - ความยาวของเส้นแบ่งครึ่งที่ลากไปด้าน c
a,b,c - ด้านของสามเหลี่ยมที่อยู่ตรงข้ามจุดยอด A,B,C ตามลำดับ
p คือกึ่งปริมณฑลของรูปสามเหลี่ยม
ก , ข ล - ความยาวของส่วนที่เส้นแบ่งครึ่ง ล ค แบ่งด้าน ค
α,β,γ - มุมภายในของรูปสามเหลี่ยมที่ จุดยอด A,B,Cตามลำดับ
h c คือความสูงของสามเหลี่ยม ลดลงเหลือด้าน c
วิธีพื้นที่
ลักษณะของวิธีการจากชื่อเป็นไปตามวัตถุหลัก วิธีนี้คือพื้นที่ สำหรับตัวเลขจำนวนหนึ่ง เช่น สามเหลี่ยม พื้นที่นั้นค่อนข้างจะแสดงออกผ่านองค์ประกอบต่างๆ ของรูป (สามเหลี่ยม) ผสมกัน ดังนั้นเทคนิคที่มีประสิทธิภาพมากคือเมื่อเปรียบเทียบการแสดงออกที่แตกต่างกันสำหรับพื้นที่ของตัวเลขที่กำหนด ในกรณีนี้สมการจะเกิดขึ้นโดยมีองค์ประกอบที่ทราบและต้องการของรูปโดยการแก้ซึ่งเราจะกำหนดสิ่งที่ไม่ทราบ นี่คือจุดที่คุณลักษณะหลักของวิธีการหาพื้นที่ปรากฏ - มัน "สร้าง" ปัญหาพีชคณิตจากปัญหาทางเรขาคณิต โดยลดทุกอย่างลงจนเหลือเพียงการแก้สมการ (และบางครั้งก็เป็นระบบสมการ)
1) วิธีการเปรียบเทียบ: เกี่ยวข้องกับสูตร S จำนวนมากของตัวเลขเดียวกัน
2) วิธีความสัมพันธ์ S: ขึ้นอยู่กับปัญหาการสนับสนุนการติดตาม:
ทฤษฎีบทของซีวา
ให้จุด A", B", C" อยู่บนเส้น BC, CA, AB ของสามเหลี่ยม เส้น AA", BB", CC" ตัดกันที่จุดหนึ่งก็ต่อเมื่อ
การพิสูจน์.
ให้เราแสดงด้วยจุดตัดของส่วนต่างๆ และ . ให้เราลดตั้งฉากจากจุด C และ A ลงบนเส้น BB 1 จนกระทั่งพวกมันตัดกันที่จุด K และ L ตามลำดับ (ดูรูป)
เนื่องจากสามเหลี่ยมมีด้านร่วมกัน พื้นที่ของพวกมันจึงสัมพันธ์กับความสูงที่ลากมาทางด้านนี้ กล่าวคือ อัลและซีเค:
ความเสมอภาคสุดท้ายเป็นจริงเนื่องจาก สามเหลี่ยมมุมฉากและคล้ายกันในมุมแหลม
ในทำนองเดียวกันเราได้รับ และ
ลองคูณความเท่าเทียมกันทั้งสามนี้:
Q.E.D.
ความคิดเห็น ส่วน (หรือส่วนต่อเนื่องของส่วน) ที่เชื่อมต่อจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมกับจุดที่อยู่ด้านตรงข้ามหรือส่วนต่อของจุดนั้นเรียกว่าเซเวียนา
ทฤษฎีบท ( ทฤษฎีบทสนทนาเชฟวี่)- ให้จุด A", B", C" อยู่ด้าน BC, CA และ AB ของสามเหลี่ยม ABC ตามลำดับ ปล่อยให้ความสัมพันธ์เป็นที่น่าพอใจ
จากนั้นส่วน AA",BB",CC" จะตัดกันที่จุดหนึ่ง
ทฤษฎีบทของเมเนลอส
ทฤษฎีบทของเมเนลอส ให้เส้นตัดกันสามเหลี่ยม ABC โดยให้ C 1 เป็นจุดตัดกับด้าน AB, A 1 เป็นจุดตัดกับด้าน BC และ B 1 เป็นจุดตัดกับส่วนขยายของด้าน AC แล้ว
การพิสูจน์ - ให้เราลากเส้นขนานกับ AB ผ่านจุด C ให้เราแสดงด้วย K จุดตัดกับเส้นตรง B 1 C 1 .
สามเหลี่ยม AC 1 B 1 และ CKB 1 คล้ายกัน (∟C 1 AB 1 = ∟KCB 1, ∟AC 1 B 1 = ∟CKB 1) เพราะฉะนั้น,
สามเหลี่ยม BC 1 A 1 และ CKA 1 ก็คล้ายกันเช่นกัน (∟BA 1 C 1 =∟KA 1 C, ∟BC 1 A 1 =∟CKA 1) วิธี,
จากความเท่าเทียมกันแต่ละครั้งเราแสดง CK:
ที่ไหน Q.E.D.
ทฤษฎีบท (ทฤษฎีบทผกผันของเมเนลอส)ให้สามเหลี่ยม ABC มาให้ ให้จุด C 1 อยู่บนด้าน AB, จุด A 1 ในด้าน BC และจุด B 1 บนเส้นต่อเนื่องของด้าน AC และปล่อยให้ความสัมพันธ์ต่อไปนี้คงอยู่:
จากนั้นจุด A 1, B 1 และ C 1 อยู่บนเส้นเดียวกัน