วิธีหาปริมาตรของปิรามิดทรงสี่เหลี่ยมที่ถูกตัดทอน สูตรปริมาตรของปิรามิดเต็มและถูกตัดทอน
เป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมที่เกิดจากฐานของปิระมิดและมีส่วนที่ขนานกับมัน เราสามารถพูดได้ว่าปิรามิดที่ถูกตัดทอนคือปิรามิดที่ตัดส่วนบนออก ตัวเลขนี้มีคุณสมบัติพิเศษมากมาย:
- ใบหน้าด้านข้างของปิรามิดเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู
- ขอบด้านข้างของปิรามิดที่ถูกตัดทอนปกติจะมีความยาวเท่ากันและเอียงไปที่ฐานในมุมเดียวกัน
- ฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่คล้ายกัน
- ในปิรามิดที่ถูกตัดทอนปกติใบหน้าจะมีสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วเหมือนกันซึ่งมีพื้นที่เท่ากัน พวกเขายังเอียงไปที่ฐานในมุมเดียว
สูตรสำหรับพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดที่ถูกตัดทอนคือผลรวมของพื้นที่ด้านข้าง:
เนื่องจากด้านข้างของปิรามิดที่ถูกตัดทอนเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู คุณจะต้องใช้สูตรในการคำนวณพารามิเตอร์ พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู- สำหรับปิรามิดที่ถูกตัดทอนตามปกติ คุณสามารถใช้สูตรอื่นในการคำนวณพื้นที่ได้ เนื่องจากด้านข้าง ใบหน้า และมุมที่ฐานเท่ากัน จึงเป็นไปได้ที่จะใช้เส้นรอบรูปของฐานและเส้นตั้งฉากในฐาน และยังหาพื้นที่ผ่านมุมที่ฐานได้อีกด้วย
ตามเงื่อนไขในปิรามิดที่ถูกตัดทอนตามปกติ ถ้าให้ค่าระยะกึ่งกลาง (ความสูงของด้าน) และความยาวของด้านข้างของฐานแล้ว พื้นที่ก็สามารถคำนวณได้จากผลคูณครึ่งของผลรวมของเส้นรอบรูปของ ฐานและระยะกึ่งกลาง:
ลองดูตัวอย่างการคำนวณพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดที่ถูกตัดทอน
ให้ปิรามิดห้าเหลี่ยมปกติ อะโพเทม ล= 5 ซม. ความยาวของขอบในฐานใหญ่คือ ก= 6 ซม. และขอบอยู่ที่ฐานเล็ก ข= 4 ซม. คำนวณพื้นที่ของปิรามิดที่ถูกตัดทอน
ก่อนอื่น เรามาค้นหาเส้นรอบวงของฐานกันก่อน เนื่องจากเราได้รับปิรามิดห้าเหลี่ยม เราจึงเข้าใจว่าฐานเป็นรูปห้าเหลี่ยม ซึ่งหมายความว่าฐานจะมีรูปที่มีด้านเหมือนกันห้าด้าน ลองหาเส้นรอบวงของฐานที่ใหญ่กว่า:
ในทำนองเดียวกัน เราจะหาเส้นรอบวงของฐานที่เล็กกว่า:
ตอนนี้เราสามารถคำนวณพื้นที่ของปิรามิดที่ถูกตัดทอนตามปกติได้ แทนที่ข้อมูลลงในสูตร:
ดังนั้นเราจึงคำนวณพื้นที่ของปิรามิดที่ถูกตัดทอนปกติผ่านเส้นรอบวงและเส้นตั้งฉาก
อีกวิธีหนึ่งในการคำนวณพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดปกติคือสูตร ผ่านมุมที่ฐานและพื้นที่ของฐานเหล่านี้เอง.
ลองดูตัวอย่างการคำนวณ เราจำสิ่งนั้นได้ สูตรนี้ใช้กับปิรามิดที่ถูกตัดทอนปกติเท่านั้น
ให้พีระมิดรูปสี่เหลี่ยมปกติได้รับ ขอบของฐานด้านล่างคือ a = 6 ซม. และขอบของฐานด้านบนคือ b = 4 ซม. มุมไดฮีดรัลที่ฐานคือ β = 60° ค้นหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดที่ถูกตัดทอนตามปกติ
ขั้นแรก เรามาคำนวณพื้นที่ของฐานกันก่อน เนื่องจากพีระมิดเป็นแบบปกติ ขอบฐานทั้งหมดจึงเท่ากัน เมื่อพิจารณาว่าฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน เราเข้าใจว่าจำเป็นต้องคำนวณ พื้นที่ของสี่เหลี่ยม- มันเป็นผลคูณของความกว้างและความยาว แต่เมื่อยกกำลังสองค่าเหล่านี้จะเท่ากัน มาหาพื้นที่ฐานที่ใหญ่กว่ากัน:
ตอนนี้เราใช้ค่าที่พบเพื่อคำนวณพื้นที่ผิวด้านข้าง
เมื่อรู้สูตรง่ายๆ ไม่กี่ข้อ เราก็คำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูด้านข้างของปิรามิดที่ถูกตัดทอนได้อย่างง่ายดายโดยใช้ค่าต่างๆ
ความสามารถในการคำนวณปริมาตรของตัวเลขเชิงพื้นที่เป็นสิ่งสำคัญในการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติหลายประการในเรขาคณิต หนึ่งในตัวเลขที่พบบ่อยที่สุดคือปิรามิด ในบทความนี้เราจะพิจารณาทั้งปิรามิดแบบเต็มและปิรามิดที่ถูกตัดทอน
ปิรามิดเป็นรูปสามมิติ
ทุกคนรู้เกี่ยวกับปิรามิดของอียิปต์ดังนั้นพวกเขาจึงมีความคิดที่ดีว่าเราจะพูดถึงรูปร่างแบบไหน อย่างไรก็ตาม โครงสร้างหินของอียิปต์เป็นเพียงกรณีพิเศษของปิรามิดขนาดใหญ่ประเภทหนึ่งเท่านั้น
วัตถุเรขาคณิตที่พิจารณาในกรณีทั่วไปคือฐานรูปหลายเหลี่ยม ซึ่งแต่ละจุดยอดเชื่อมต่อกับจุดหนึ่งในอวกาศซึ่งไม่อยู่ในระนาบของฐาน คำจำกัดความนี้ผลลัพธ์ที่ได้คือรูปที่ประกอบด้วยรูปสามเหลี่ยม n เหลี่ยมหนึ่งรูปและรูปสามเหลี่ยม n รูป
พีระมิดใดๆ ประกอบด้วยหน้า n+1 หน้า ขอบ 2*n และจุดยอด n+1 เนื่องจากรูปดังกล่าวเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่สมบูรณ์แบบ จำนวนองค์ประกอบที่ทำเครื่องหมายไว้จึงเป็นไปตามความเท่าเทียมกันของออยเลอร์:
2*n = (n+1) + (n+1) - 2
รูปหลายเหลี่ยมที่ฐานเป็นชื่อของปิรามิด เช่น สามเหลี่ยม ห้าเหลี่ยม และอื่นๆ ชุดของปิรามิดด้วย ด้วยเหตุผลที่แตกต่างกันแสดงในภาพด้านล่าง
จุดที่สามเหลี่ยม n รูปเชื่อมต่อกันเรียกว่าจุดยอดของปิรามิด ถ้าตั้งฉากกับฐานและตัดกันที่จุดศูนย์กลางเรขาคณิต รูปดังกล่าวจะเรียกว่าเส้นตรง หากไม่ตรงตามเงื่อนไขนี้จะเกิดปิรามิดแบบเอียง
รูปร่างตรงที่มีฐานประกอบด้วย n-gon ด้านเท่ากันหมด (เท่ากันหมด) เรียกว่าปกติ
สูตรปริมาตรของปิรามิด
ในการคำนวณปริมาตรของปิรามิด เราจะใช้แคลคูลัสอินทิกรัล ในการทำเช่นนี้ เราแบ่งตัวเลขโดยการตัดระนาบที่ขนานกับฐานออกเป็นชั้นบางๆ จำนวนอนันต์ รูปด้านล่างแสดงปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมที่มีความสูง h และความยาวด้าน L โดยที่ชั้นบางๆ ของส่วนนั้นจะมีรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน
พื้นที่ของแต่ละชั้นสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:
A(z) = A 0 *(h-z) 2 /ชั่วโมง 2 .
โดยที่ 0 คือพื้นที่ของฐาน z คือค่าของพิกัดแนวตั้ง จะเห็นได้ว่าถ้า z = 0 สูตรจะให้ค่า A 0 .
เพื่อให้ได้สูตรปริมาตรของปิรามิด คุณควรคำนวณอินทิกรัลส่วนสูงทั้งหมดของรูป ซึ่งก็คือ:
V = ∫ ชั่วโมง 0 (A(z)*dz)
แทนที่การพึ่งพา A(z) และคำนวณแอนติเดริเวทีฟ เราจะได้นิพจน์:
V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| ชั่วโมง 0 = 1/3*A 0 *ชั่วโมง
เราได้สูตรปริมาตรของปิรามิดมา หากต้องการค้นหาค่า V เพียงคูณความสูงของรูปด้วยพื้นที่ฐานแล้วหารผลลัพธ์ด้วยสาม
โปรดทราบว่านิพจน์ผลลัพธ์นั้นถูกต้องสำหรับการคำนวณปริมาตรของปิรามิดประเภทใดก็ได้ นั่นคือมันสามารถเอียงได้และฐานของมันสามารถเป็น n-gon ได้ตามอำเภอใจ
และปริมาตรของมัน
สูตรทั่วไปสำหรับปริมาตรที่ได้รับในย่อหน้าข้างต้นสามารถปรับแต่งได้ในกรณีของปิรามิดที่มีฐานปกติ พื้นที่ของฐานดังกล่าวคำนวณโดยใช้สูตรต่อไปนี้:
A 0 = ไม่มี/4*L 2 *ctg(pi/n)
โดยที่ L คือความยาวด้านของรูปหลายเหลี่ยมปกติที่มีจุดยอด n จุด สัญลักษณ์ pi คือตัวเลข pi
เมื่อแทนนิพจน์ A 0 ลงในสูตรทั่วไป เราจะได้ปริมาตรของปิรามิดปกติ:
V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n)
ตัวอย่างเช่นสำหรับ ปิรามิดสามเหลี่ยมสูตรนี้นำไปสู่นิพจน์ต่อไปนี้:
V 3 = 3/12*L 2 *h*ctg(60 o) = √3/12*L 2 *h
สำหรับพีระมิดรูปสี่เหลี่ยมปกติ สูตรปริมาตรจะอยู่ในรูปแบบ:
V 4 = 4/12*L 2 *h*ctg(45 o) = 1/3*L 2 *h
การกำหนดปริมาตรของปิรามิดปกติต้องอาศัยความรู้ด้านฐานและความสูงของปิรามิด
ปิรามิดที่ถูกตัดทอน
สมมติว่าเราเลือกปิรามิดตามใจชอบแล้วตัดพื้นผิวด้านข้างที่มีจุดยอดออก ส่วนที่เหลือเรียกว่าปิรามิดที่ถูกตัดทอน ประกอบด้วยฐาน n-gonal สองฐานและสี่เหลี่ยมคางหมู n อันที่เชื่อมต่อพวกมันเข้าด้วยกัน หากระนาบการตัดขนานกับฐานของรูป พีระมิดที่ถูกตัดทอนจะถูกสร้างขึ้นโดยมีฐานขนานกันคล้ายกัน นั่นคือความยาวของด้านหนึ่งของด้านใดด้านหนึ่งสามารถหาได้โดยการคูณความยาวของอีกด้านหนึ่งด้วยสัมประสิทธิ์ k
รูปด้านบนแสดงฐานปกติที่ถูกตัดทอน จะเห็นได้ว่าฐานบนของมันเหมือนกับฐานล่างที่ประกอบขึ้นด้วยรูปหกเหลี่ยมปกติ
สูตรที่สามารถหาได้โดยใช้แคลคูลัสอินทิกรัลที่คล้ายกับสูตรข้างต้นคือ:
V = 1/3*ส*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1))
โดยที่ A 0 และ A 1 คือพื้นที่ของฐานล่าง (ใหญ่) และฐานบน (เล็ก) ตามลำดับ ตัวแปร h แสดงถึงความสูงของปิรามิดที่ถูกตัดทอน
ปริมาตรของปิรามิด Cheops
เป็นเรื่องที่น่าสนใจในการแก้ปัญหาการกำหนดปริมาตรที่ปิรามิดอียิปต์ที่ใหญ่ที่สุดบรรจุอยู่ภายในตัวมันเอง
ในปี 1984 นักอียิปต์วิทยาชาวอังกฤษ Mark Lehner และ Jon Goodman ได้สร้างมิติที่แน่นอนของปิรามิด Cheops ความสูงเดิมคือ 146.50 เมตร (ปัจจุบันประมาณ 137 เมตร) ความยาวเฉลี่ยทั้งสี่ด้านของโครงสร้างคือ 230.363 เมตร ฐานของปิระมิดเป็นทรงสี่เหลี่ยมมีความแม่นยำสูง
ลองใช้ตัวเลขที่ให้มาเพื่อกำหนดปริมาตรของหินยักษ์นี้ เนื่องจากปิระมิดเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสปกติ สูตรจึงใช้ได้:
แทนที่ตัวเลขเราจะได้:
โวลต์ 4 = 1/3*(230.363) 2 *146.5 data 2591444 ม. 3
ปริมาตรของปิรามิด Cheops เกือบ 2.6 ล้านลูกบาศก์เมตร สำหรับการเปรียบเทียบ เราทราบว่าสระว่ายน้ำโอลิมปิกมีปริมาตร 2.5,000 ลบ.ม. นั่นคือเพื่อเติมเต็มปิรามิด Cheops ทั้งหมดคุณจะต้องมีพูลดังกล่าวมากกว่า 1,000 พูล!
- 09.10.2014
ปรีแอมพลิฟายเออร์ที่แสดงในภาพได้รับการออกแบบให้ใช้กับแหล่งกำเนิดเสียง 4 ชนิด เช่น ไมโครโฟน เครื่องเล่นซีดี วิทยุ เป็นต้น ในกรณีนี้ ปรีแอมพลิฟายเออร์จะมีอินพุตเดียวซึ่งสามารถเปลี่ยนความไวจาก 50 mV เป็น 500 เอ็มวี แรงดันเอาต์พุตของเครื่องขยายเสียง 1,000mV โดยการเชื่อมต่อแหล่งสัญญาณต่าง ๆ เมื่อสลับสวิตช์ SA1 เราจะได้...
- 20.09.2014
แหล่งจ่ายไฟได้รับการออกแบบสำหรับโหลด 15…20 W แหล่งที่มาถูกสร้างขึ้นตามวงจรของตัวแปลงความถี่สูงพัลส์รอบเดียว ทรานซิสเตอร์ใช้ในการประกอบออสซิลเลเตอร์ในตัวซึ่งทำงานที่ความถี่ 20…40 kHz ความถี่จะถูกปรับโดยความจุ C5 องค์ประกอบ VD5, VD6 และ C6 สร้างวงจรสตาร์ทออสซิลเลเตอร์ ในวงจรทุติยภูมิหลังจากวงจรเรียงกระแสบริดจ์จะมีโคลงเชิงเส้นแบบธรรมดาบนไมโครวงจรซึ่งช่วยให้คุณมี ...
- 28.09.2014
รูปนี้แสดงเครื่องกำเนิดไฟฟ้าที่ใช้วงจรไมโคร K174XA11 ซึ่งความถี่ถูกควบคุมโดยแรงดันไฟฟ้า เมื่อเปลี่ยนความจุ C1 จาก 560 เป็น 4700 pF สามารถรับช่วงความถี่ได้กว้าง ในขณะที่ความถี่จะถูกปรับโดยการเปลี่ยนความต้านทาน R4 ตัวอย่างเช่นผู้เขียนพบว่าด้วย C1 = 560pF ความถี่ของเครื่องกำเนิดสามารถเปลี่ยนได้โดยใช้ R4 จาก 600Hz เป็น 200kHz ...
- 03.10.2014
หน่วยนี้ได้รับการออกแบบมาให้จ่ายไฟให้กับ ULF อันทรงพลัง โดยได้รับการออกแบบมาสำหรับแรงดันเอาต์พุต ±27V และโหลดสูงสุด 3A บนแขนแต่ละข้าง แหล่งจ่ายไฟเป็นแบบสองขั้วทำจากทรานซิสเตอร์คอมโพสิตที่สมบูรณ์ KT825-KT827 แขนทั้งสองข้างของโคลงถูกสร้างขึ้นตามวงจรเดียวกัน แต่ในแขนอีกข้างหนึ่ง (ไม่แสดง) ขั้วของตัวเก็บประจุจะเปลี่ยนไปและใช้ทรานซิสเตอร์ประเภทอื่น...