วิธีเขียนสมการกำลังสองอีกวิธีหนึ่ง นิยามของสมการกำลังสอง
เราขอเตือนคุณว่าสมการกำลังสองที่สมบูรณ์คือสมการที่มีรูปแบบ:
การแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์นั้นยากกว่าเล็กน้อย (เพียงเล็กน้อย)
จดจำ สมการกำลังสองใดๆ ก็สามารถแก้ได้โดยใช้การแบ่งแยก!
แม้จะไม่สมบูรณ์ก็ตาม
วิธีอื่นๆ จะช่วยให้คุณทำได้เร็วขึ้น แต่หากคุณมีปัญหากับสมการกำลังสอง ให้เชี่ยวชาญวิธีแก้ปัญหาโดยใช้ตัวแบ่งแยกก่อน
1. การแก้สมการกำลังสองโดยใช้เครื่องจำแนก
การแก้สมการกำลังสองโดยใช้วิธีนี้นั้นง่ายมาก สิ่งสำคัญคือการจำลำดับของการกระทำและสูตรสองสามสูตร
ถ้า แล้วสมการนี้มี 2 ราก จำเป็นต้อง ความสนใจเป็นพิเศษเปลี่ยนเป็นขั้นตอนที่ 2
ตัวแยกแยะ D บอกเราถึงจำนวนรากของสมการ
- หากแล้วสูตรในขั้นตอนจะลดลงเหลือ ดังนั้นสมการจะมีเพียงรากเท่านั้น
- หากแล้วเราจะไม่สามารถแยกรากของการแบ่งแยกในขั้นตอนนั้นได้ นี่แสดงว่าสมการไม่มีราก
หันมากันดีกว่า ความรู้สึกทางเรขาคณิตสมการกำลังสอง
กราฟของฟังก์ชันเป็นรูปพาราโบลา:
กลับไปที่สมการของเราแล้วดูตัวอย่างบางส่วน
ตัวอย่างที่ 9
แก้สมการ
ขั้นตอนที่ 1เราข้ามไป
ขั้นตอนที่ 2
เราพบการเลือกปฏิบัติ:
ซึ่งหมายความว่าสมการมีสองราก
ขั้นตอนที่ 3
คำตอบ:
ตัวอย่างที่ 10
แก้สมการ
สมการนี้แสดงอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน ดังนั้น ขั้นตอนที่ 1เราข้ามไป
ขั้นตอนที่ 2
เราพบการเลือกปฏิบัติ:
ซึ่งหมายความว่าสมการนั้นมีรากเดียว
คำตอบ:
ตัวอย่างที่ 11
แก้สมการ
สมการนี้แสดงอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน ดังนั้น ขั้นตอนที่ 1เราข้ามไป
ขั้นตอนที่ 2
เราพบการเลือกปฏิบัติ:
ซึ่งหมายความว่าเราจะไม่สามารถแยกรากของการแบ่งแยกได้ ไม่มีรากของสมการ
ตอนนี้เรารู้วิธีเขียนคำตอบดังกล่าวอย่างถูกต้องแล้ว
คำตอบ:ไม่มีราก
2. การแก้สมการกำลังสองโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตนาม
หากคุณจำได้ว่ามีสมการประเภทหนึ่งที่เรียกว่าการลดลง (เมื่อค่าสัมประสิทธิ์ a เท่ากับ):
สมการดังกล่าวแก้ได้ง่ายมากโดยใช้ทฤษฎีบทของ Vieta:
ผลรวมของราก ที่ให้ไว้สมการกำลังสองเท่ากัน และผลิตภัณฑ์ของรากเท่ากัน
คุณเพียงแค่ต้องเลือกตัวเลขคู่หนึ่งซึ่งมีผลคูณเท่ากับเทอมอิสระของสมการและผลรวมเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สองโดยยึดด้วยเครื่องหมายตรงกันข้าม
ตัวอย่างที่ 12
แก้สมการ
สมการนี้สามารถแก้ได้โดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตนาม เพราะว่า -
ผลรวมของรากของสมการเท่ากันนั่นคือ เราได้สมการแรก:
และผลิตภัณฑ์มีค่าเท่ากับ:
มาเขียนและแก้ไขระบบกัน:
- และ. จำนวนเงินเท่ากับ;
- และ. จำนวนเงินเท่ากับ;
- และ. จำนวนเงินเท่ากัน
และเป็นแนวทางแก้ไขของระบบ:
คำตอบ: ; .
ตัวอย่างที่ 13
แก้สมการ
คำตอบ:
ตัวอย่างที่ 14
แก้สมการ
ให้สมการซึ่งหมายความว่า:
คำตอบ:
สมการกำลังสอง ระดับกลาง
สมการกำลังสองคืออะไร?
กล่าวอีกนัยหนึ่ง สมการกำลังสองคือสมการของรูปแบบ โดยที่ - ไม่ทราบ - ตัวเลขบางตัว และ
ตัวเลขนี้เรียกว่าสูงสุดหรือ ค่าสัมประสิทธิ์แรกสมการกำลังสอง - สัมประสิทธิ์ที่สอง, เอ - สมาชิกฟรี.
เพราะถ้าสมการกลายเป็นเส้นตรงทันที เพราะ จะหายไป
ในกรณีนี้และสามารถเท่ากับศูนย์ได้ ในสมการเก้าอี้นี้เรียกว่า ไม่สมบูรณ์.
หากเงื่อนไขทั้งหมดเข้าที่ นั่นคือ สมการก็คือ สมบูรณ์.
วิธีการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์
ขั้นแรก เรามาดูวิธีการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ซึ่งง่ายกว่า
เราสามารถแยกแยะประเภทของสมการได้ดังต่อไปนี้:
I. ในสมการนี้สัมประสิทธิ์และเทอมอิสระเท่ากัน
ครั้งที่สอง ในสมการนี้สัมประสิทธิ์จะเท่ากัน
ที่สาม ในสมการนี้ เทอมอิสระจะเท่ากับ
ตอนนี้เรามาดูวิธีแก้ปัญหาของแต่ละประเภทย่อยเหล่านี้กัน
เห็นได้ชัดว่า สมการที่กำหนดมีเพียงรากเดียวเสมอ:
จำนวนยกกำลังสองไม่สามารถเป็นค่าลบได้ เนื่องจากเมื่อคูณจำนวนลบสองตัวหรือจำนวนบวกสองตัว ผลลัพธ์จะเป็นจำนวนบวกเสมอ นั่นเป็นเหตุผล:
ถ้าสมการนั้นไม่มีคำตอบ
ถ้าเรามีสองราก
ไม่จำเป็นต้องจำสูตรเหล่านี้ สิ่งสำคัญที่ต้องจำคือต้องไม่น้อยไปกว่านี้
ตัวอย่างการแก้สมการกำลังสอง
ตัวอย่างที่ 15
คำตอบ:
อย่าลืมรากที่มีเครื่องหมายลบ!
ตัวอย่างที่ 16
กำลังสองของตัวเลขไม่สามารถเป็นลบได้ ซึ่งหมายความว่าสมการ
ไม่มีราก
หากต้องการเขียนสั้นๆ ว่าปัญหาไม่มีทางแก้ไข เราใช้ไอคอนชุดว่างเปล่า
คำตอบ:
ตัวอย่างที่ 17
ดังนั้น สมการนี้จึงมีราก 2 อัน คือ และ
คำตอบ:
นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ:
ผลคูณจะเท่ากับศูนย์ถ้ามีตัวประกอบอย่างน้อยหนึ่งตัวเท่ากับศูนย์ ซึ่งหมายความว่าสมการจะมีคำตอบเมื่อ:
ดังนั้น สมการกำลังสองนี้มีสองราก: และ
ตัวอย่าง:
แก้สมการ
สารละลาย:
ลองแยกตัวประกอบทางด้านซ้ายของสมการแล้วหาราก:
คำตอบ:
วิธีการแก้สมการกำลังสองสมบูรณ์
1. การเลือกปฏิบัติ
การแก้สมการกำลังสองด้วยวิธีนี้เป็นเรื่องง่าย สิ่งสำคัญคือการจำลำดับของการกระทำและสูตรสองสามสูตร จำไว้ว่าสมการกำลังสองใดๆ ก็สามารถแก้ได้โดยใช้การแบ่งแยก! แม้จะไม่สมบูรณ์ก็ตาม
คุณสังเกตเห็นรากจากการแยกแยะในสูตรหารากหรือไม่?
แต่การเลือกปฏิบัติอาจเป็นผลลบได้
จะทำอย่างไร?
เราต้องให้ความสนใจเป็นพิเศษกับขั้นตอนที่ 2 ผู้แยกแยะบอกเราถึงจำนวนรากของสมการ
- ถ้าสมการนั้นมีราก:
- ถ้าสมการนั้นมีรากเหมือนกัน แต่จริงๆ แล้วมีรากเดียว:
รากดังกล่าวเรียกว่ารากคู่
- ถ้าเช่นนั้นรากของการแบ่งแยกจะไม่ถูกแยกออก นี่แสดงว่าสมการไม่มีราก
ทำไมจึงเป็นไปได้ ปริมาณที่แตกต่างกันราก?
ให้เรามาดูความหมายทางเรขาคณิตของสมการกำลังสองกัน กราฟของฟังก์ชันเป็นรูปพาราโบลา:
ในกรณีพิเศษ ซึ่งเป็นสมการกำลังสอง
ซึ่งหมายความว่ารากของสมการกำลังสองคือจุดตัดกับแกนแอบซิสซา (แกน)
พาราโบลาไม่สามารถตัดแกนได้เลย หรืออาจตัดกันที่จุดเดียว (เมื่อจุดยอดของพาราโบลาอยู่บนแกน) หรือสองจุด
นอกจากนี้ ค่าสัมประสิทธิ์ยังรับผิดชอบต่อทิศทางของกิ่งก้านของพาราโบลาอีกด้วย ถ้า แล้วกิ่งก้านของพาราโบลาชี้ขึ้น และถ้า ชี้ลง
4 ตัวอย่างการแก้สมการกำลังสอง
ตัวอย่างที่ 18
คำตอบ:
ตัวอย่างที่ 19
คำตอบ: .
ตัวอย่างที่ 20
คำตอบ:
ตัวอย่างที่ 21
ซึ่งหมายความว่าไม่มีวิธีแก้ไข
คำตอบ: .
2. ทฤษฎีบทของเวียตตา
การใช้ทฤษฎีบทของ Vieta เป็นเรื่องง่ายมาก
สิ่งที่คุณต้องการก็คือ หยิบคู่ของตัวเลขดังกล่าวซึ่งผลคูณเท่ากับเทอมอิสระของสมการและผลรวมเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สองโดยยึดด้วยเครื่องหมายตรงกันข้าม
สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่าทฤษฎีบทของเวียตต้าสามารถใช้ได้เฉพาะในนั้นเท่านั้น สมการกำลังสองลดลง ()
ลองดูตัวอย่างบางส่วน:
ตัวอย่างที่ 22
แก้สมการ
สารละลาย:
สมการนี้สามารถแก้ได้โดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตนาม เพราะว่า - ค่าสัมประสิทธิ์อื่นๆ: ; -
ผลรวมของรากของสมการคือ:
และผลิตภัณฑ์มีค่าเท่ากับ:
เรามาเลือกคู่ของตัวเลขที่มีผลคูณเท่ากันและตรวจสอบว่าผลรวมเท่ากันหรือไม่:
- และ. จำนวนเงินเท่ากับ;
- และ. จำนวนเงินเท่ากับ;
- และ. จำนวนเงินเท่ากัน
และเป็นแนวทางแก้ไขของระบบ:
ดังนั้น และ คือรากของสมการของเรา
คำตอบ: ; -
ตัวอย่างที่ 23
สารละลาย:
ลองเลือกคู่ของตัวเลขที่ให้ไว้ในผลคูณ แล้วตรวจสอบว่าผลรวมเท่ากันหรือไม่:
และ: พวกเขาให้ทั้งหมด
และ: พวกเขาให้ทั้งหมด เพื่อให้ได้มาก็เพียงพอที่จะเปลี่ยนสัญญาณของรากที่ควรจะเป็นและท้ายที่สุดก็คือผลิตภัณฑ์
คำตอบ:
ตัวอย่างที่ 24
สารละลาย:
เทอมอิสระของสมการเป็นลบ ดังนั้นผลคูณของรากจึงเป็น จำนวนลบ- สิ่งนี้จะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อรากอันใดอันหนึ่งเป็นลบและอีกอันเป็นค่าบวก ดังนั้นผลรวมของรากจึงเท่ากับ ความแตกต่างของโมดูล.
ให้เราเลือกคู่ของตัวเลขที่ให้ไว้ในผลคูณและมีผลต่างเท่ากับ:
และ: ความแตกต่างเท่ากัน - ไม่พอดี
และ: - ไม่เหมาะสม;
และ: - ไม่เหมาะสม;
และ: - เหมาะสม สิ่งที่เหลืออยู่ก็คือจำไว้ว่าหนึ่งในรากนั้นเป็นลบ เนื่องจากผลรวมต้องเท่ากัน รากที่มีโมดูลัสน้อยกว่าจึงต้องเป็นลบ: เราตรวจสอบ:
คำตอบ:
ตัวอย่างที่ 25
แก้สมการ
สารละลาย:
ให้สมการซึ่งหมายความว่า:
พจน์อิสระเป็นลบ ดังนั้นผลคูณของรากจึงเป็นลบ และสิ่งนี้จะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อรากหนึ่งของสมการเป็นลบ และอีกรากหนึ่งเป็นค่าบวก
เรามาเลือกคู่ของตัวเลขที่มีผลคูณเท่ากัน แล้วพิจารณาว่ารากใดควรมีเครื่องหมายลบ:
เห็นได้ชัดว่ามีเพียงรากเท่านั้นและเหมาะสำหรับเงื่อนไขแรก:
คำตอบ:
ตัวอย่างที่ 26
แก้สมการ
สารละลาย:
ให้สมการซึ่งหมายความว่า:
ผลรวมของรากเป็นลบ ซึ่งหมายความว่ามีรากอย่างน้อยหนึ่งตัวที่เป็นลบ แต่เนื่องจากผลคูณของมันเป็นบวก มันหมายความว่ารากทั้งสองมีเครื่องหมายลบ
ให้เราเลือกคู่ของตัวเลขที่มีผลคูณเท่ากับ:
แน่นอนว่ารากคือตัวเลขและ
คำตอบ:
เห็นด้วย มันสะดวกมากที่จะหารากด้วยวาจา แทนที่จะนับการเลือกปฏิบัติที่น่ารังเกียจนี้
พยายามใช้ทฤษฎีบทของ Vieta ให้บ่อยที่สุด!
แต่ทฤษฎีบทของ Vieta นั้นมีความจำเป็นเพื่ออำนวยความสะดวกและเร่งการค้นหารากเหง้า
เพื่อให้คุณได้รับประโยชน์จากการใช้งาน คุณจะต้องดำเนินการต่างๆ ให้เป็นไปโดยอัตโนมัติ และสำหรับสิ่งนี้ ให้แก้ตัวอย่างอีกห้าตัวอย่าง
แต่อย่าโกง: คุณไม่สามารถใช้การเลือกปฏิบัติได้! ทฤษฎีบทของ Vieta เท่านั้น!
5 ตัวอย่างทฤษฎีบทของ Vieta สำหรับงานอิสระ
ตัวอย่างที่ 27
ภารกิจที่ 1. ((x)^(2))-8x+12=0
ตามทฤษฎีบทของ Vieta:
ตามปกติเราจะเริ่มการเลือกด้วยชิ้นส่วน:
ไม่เหมาะสมเพราะปริมาณ;
: จำนวนเป็นเพียงสิ่งที่คุณต้องการ
คำตอบ: ; -
ตัวอย่างที่ 28
ภารกิจที่ 2
และทฤษฎีบทเวียต้าที่เราชื่นชอบอีกครั้ง ผลรวมต้องเท่ากัน และผลิตภัณฑ์ต้องเท่ากัน
แต่เนื่องจากมันจะต้องไม่ใช่ แต่เราเปลี่ยนสัญญาณของราก: และ (ทั้งหมด)
คำตอบ: ; -
ตัวอย่างที่ 29
ภารกิจที่ 3
อืม... ที่ไหนล่ะ?
คุณต้องย้ายข้อกำหนดทั้งหมดไปไว้ในส่วนเดียว:
ผลรวมของรากเท่ากับผลคูณ
โอเค หยุด! ไม่ได้ให้สมการ
แต่ทฤษฎีบทของเวียตต้าใช้ได้เฉพาะในสมการที่กำหนดเท่านั้น
ก่อนอื่นคุณต้องให้สมการก่อน
หากคุณไม่สามารถเป็นผู้นำได้ ให้ละทิ้งแนวคิดนี้และแก้ไขด้วยวิธีอื่น (เช่น ผ่านการเลือกปฏิบัติ)
ฉันขอเตือนคุณว่าการให้สมการกำลังสองหมายถึงการทำให้สัมประสิทธิ์นำหน้าเท่ากัน:
แล้วผลรวมของรากเท่ากับ และผลคูณ.
ที่นี่มันง่ายพอๆ กับการเลือกปลอกลูกแพร์ เพราะมันเป็นจำนวนเฉพาะ (ขออภัยที่ซ้ำซาก)
คำตอบ: ; -
ตัวอย่างที่ 30
ภารกิจที่ 4
สมาชิกแบบฟรีเป็นค่าลบ
มีอะไรพิเศษเกี่ยวกับเรื่องนี้?
และความจริงก็คือรากจะมีอาการต่างกัน
และตอนนี้ในระหว่างการเลือก เราไม่ได้ตรวจสอบผลรวมของราก แต่ตรวจสอบความแตกต่างในโมดูล: ความแตกต่างนี้เท่ากัน แต่เป็นผลิตภัณฑ์
ดังนั้นรากจึงเท่ากับและ แต่หนึ่งในนั้นคือลบ
ทฤษฎีบทของเวียตาบอกเราว่าผลรวมของรากเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สองที่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม นั่นคือ
ซึ่งหมายความว่ารากที่เล็กกว่าจะมีเครื่องหมายลบ: และเนื่องจาก
คำตอบ: ; -
ตัวอย่างที่ 31
ภารกิจที่ 5
คุณควรทำอะไรก่อน?
ถูกต้อง ให้สมการ:
อีกครั้ง: เราเลือกปัจจัยของตัวเลขและผลต่างควรเท่ากับ:
รากเท่ากับและ แต่อันหนึ่งคือลบ ที่? ผลรวมควรเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าลบจะมีรากที่ใหญ่กว่า
คำตอบ: ; -
มาสรุปกัน
- ทฤษฎีบทของเวียตาใช้ในสมการกำลังสองที่กำหนดเท่านั้น
- เมื่อใช้ทฤษฎีบทของเวียตา คุณสามารถค้นหารากได้โดยการเลือกด้วยปากเปล่า
- หากไม่ได้ให้สมการหรือไม่พบสมการ คู่ที่เหมาะสมตัวคูณของพจน์อิสระ ซึ่งหมายความว่าไม่มีรากทั้งหมด และคุณต้องแก้มันด้วยวิธีอื่น (เช่น ผ่านการเลือกปฏิบัติ)
3. วิธีการเลือกกำลังสองที่สมบูรณ์
หากคำศัพท์ทั้งหมดที่มีสิ่งที่ไม่ทราบถูกแสดงในรูปแบบของคำศัพท์จากสูตรการคูณแบบย่อ - กำลังสองของผลรวมหรือผลต่าง - จากนั้นหลังจากแทนที่ตัวแปรแล้ว สมการสามารถนำเสนอในรูปแบบของสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของประเภทนั้น
ตัวอย่างเช่น:
ตัวอย่างที่ 32
แก้สมการ: .
สารละลาย:
คำตอบ:
ตัวอย่างที่ 33
แก้สมการ: .
สารละลาย:
คำตอบ:
โดยทั่วไป การเปลี่ยนแปลงจะมีลักษณะดังนี้:
ดังนี้.
ไม่เตือนคุณถึงอะไรเลยเหรอ?
นี่คือสิ่งที่เลือกปฏิบัติ! นั่นคือวิธีที่เราได้สูตรจำแนกมา
สมการกำลังสอง สั้น ๆ เกี่ยวกับสิ่งสำคัญ
สมการกำลังสอง- นี่คือสมการของรูปแบบ โดยที่ - ไม่ทราบ - ค่าสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง - เทอมอิสระ
สมการกำลังสองที่สมบูรณ์- สมการที่สัมประสิทธิ์ไม่เท่ากับศูนย์
สมการกำลังสองลดลง- สมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์นั่นคือ: .
สมการกำลังสองไม่สมบูรณ์- สมการที่สัมประสิทธิ์และหรือพจน์อิสระ c เท่ากับศูนย์:
- ถ้าสัมประสิทธิ์สมการจะมีลักษณะดังนี้: ,
- หากมีพจน์อิสระ สมการจะมีรูปแบบ: ,
- ถ้า และ สมการจะมีลักษณะดังนี้:
1. อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์
1.1. สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ โดยที่ :
1) มาแสดงสิ่งที่ไม่รู้จักกันเถอะ: ,
2) ตรวจสอบเครื่องหมายของนิพจน์:
- ถ้าสมการไม่มีคำตอบ
- ถ้าสมการนั้นมีสองราก
1.2. สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ โดยที่ :
1) นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ: ,
2) ผลคูณจะเท่ากับศูนย์หากมีปัจจัยอย่างน้อยหนึ่งตัวเท่ากับศูนย์ ดังนั้นสมการจึงมีรากสองอัน:
1.3. สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ โดยที่:
สมการนี้มีรากเดียวเสมอ:
2. อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์ของรูปแบบโดยที่
2.1. วิธีแก้ปัญหาโดยใช้การแบ่งแยก
1) นำสมการมาสู่รูปแบบมาตรฐาน: ,
2) มาคำนวณการแบ่งแยกโดยใช้สูตร: ซึ่งระบุจำนวนรากของสมการ:
3) ค้นหารากของสมการ:
- ถ้าสมการนั้นมีรากซึ่งพบได้จากสูตร:
- ถ้าสมการนั้นมีรากซึ่งพบได้จากสูตร:
- ถ้าสมการนั้นไม่มีราก
2.2. คำตอบโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตตา
ผลรวมของรากของสมการกำลังสองลดลง (สมการของรูปแบบ โดยที่) เท่ากัน และผลิตภัณฑ์ของรากเท่ากัน นั่นคือ , ก.
2.3. วิธีแก้โดยวิธีเลือกกำลังสองสมบูรณ์
วิดีโอสอน 2: การแก้สมการกำลังสอง
บรรยาย: สมการกำลังสอง
สมการ
สมการ- นี่คือความเท่าเทียมกันในนิพจน์ที่มีตัวแปร
แก้สมการ- หมายถึงการหาตัวเลขแทนตัวแปรที่จะนำมาซึ่งความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง
สมการอาจมีคำตอบเดียว มีหลายคำตอบหรือไม่มีเลยก็ได้
ในการแก้สมการใด ๆ ควรทำให้รูปแบบง่ายขึ้นให้มากที่สุด:
เชิงเส้น: ก*x = ข;
สี่เหลี่ยม: a*x 2 + b*x + c = 0
นั่นคือสมการใดๆ จะต้องถูกแปลงเป็นรูปแบบมาตรฐานก่อนที่จะแก้
สมการใดๆ สามารถแก้ไขได้สองวิธี: เชิงวิเคราะห์และเชิงกราฟิก
บนกราฟ การแก้สมการถือเป็นจุดที่กราฟตัดกับแกน OX
สมการกำลังสอง
สมการสามารถเรียกว่าสมการกำลังสองได้ถ้าเมื่อทำให้ง่ายขึ้นจะอยู่ในรูปแบบ:
a*x 2 + b*x + c = 0
ในเวลาเดียวกัน ก ข คคือค่าสัมประสิทธิ์ของสมการที่แตกต่างจากศูนย์ ก "เอ็กซ์"- รากของสมการ เชื่อกันว่าสมการกำลังสองมีสองรากหรืออาจไม่มีคำตอบเลย รากที่ได้อาจจะเหมือนกัน
"เอ"- ค่าสัมประสิทธิ์ที่อยู่หน้ารากกำลังสอง
"ข"- ยืนหยัดต่อหน้าสิ่งไม่รู้ในระดับที่หนึ่ง
"กับ"คือเทอมอิสระของสมการ
ตัวอย่างเช่น หากเรามีสมการในรูปแบบ:
2x 2 -5x+3=0
ในนั้น "2" คือสัมประสิทธิ์ของเทอมนำของสมการ "-5" คือสัมประสิทธิ์ที่สอง และ "3" คือเทอมอิสระ
การแก้สมการกำลังสอง
มีหลายวิธีในการแก้สมการกำลังสอง อย่างไรก็ตามใน หลักสูตรของโรงเรียนในทางคณิตศาสตร์ การแก้ปัญหาได้รับการศึกษาโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตต้า เช่นเดียวกับการใช้การแบ่งแยก
วิธีแก้ปัญหาจำแนก:
เมื่อแก้ด้วย วิธีนี้มีความจำเป็นต้องคำนวณการเลือกปฏิบัติโดยใช้สูตร:
หากในระหว่างการคำนวณคุณพบว่ามีการเลือกปฏิบัติ น้อยกว่าศูนย์ซึ่งหมายความว่าสมการนี้ไม่มีคำตอบ
หากการแบ่งแยกเป็นศูนย์ สมการจะมีคำตอบที่เหมือนกันสองคำตอบ ในกรณีนี้ พหุนามสามารถยุบได้โดยใช้สูตรการคูณแบบย่อให้เป็นกำลังสองของผลรวมหรือผลต่าง แล้วแก้มันเป็นสมการเชิงเส้น หรือใช้สูตร:
หากการแบ่งแยกมากกว่าศูนย์ คุณต้องใช้วิธีการต่อไปนี้:
ทฤษฎีบทของเวียตตา
หากให้สมการนั่นคือสัมประสิทธิ์ของคำนำหน้าเท่ากับ 1 คุณสามารถใช้ได้ ทฤษฎีบทของเวียตตา.
สมมุติว่าสมการคือ:
รากของสมการมีดังนี้:
สมการกำลังสองไม่สมบูรณ์
มีหลายทางเลือกในการรับสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ซึ่งประเภทนั้นขึ้นอยู่กับการมีอยู่ของสัมประสิทธิ์
1. ถ้าสัมประสิทธิ์ที่สองและสามเป็นศูนย์ (ข = 0, ค = 0)จากนั้นสมการกำลังสองจะมีลักษณะดังนี้:
สมการนี้จะมีคำตอบเฉพาะ ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อคำตอบของสมการเป็นศูนย์เท่านั้น
สมการกำลังสอง ข้อมูลทั่วไป.
ใน สมการกำลังสองจะต้องมี x กำลังสอง (จึงเรียกว่า
"สี่เหลี่ยม") นอกจากนี้ สมการอาจมี (หรืออาจจะไม่!) มีเพียง X (ยกกำลังแรก) และ
แค่ตัวเลข (สมาชิกฟรี). และไม่ควรมี X ในระดับสอง
สมการพีชคณิตลักษณะทั่วไป
ที่ไหน x- ตัวแปรอิสระ ก, ข, ค— สัมประสิทธิ์และ ก≠0 .
ตัวอย่างเช่น:
การแสดงออก เรียกว่า ตรีโกณมิติกำลังสอง.
องค์ประกอบของสมการกำลังสองมี ชื่อที่ถูกต้อง:
เรียกว่าสัมประสิทธิ์แรกหรือสูงสุด
· เรียกว่าวินาทีหรือสัมประสิทธิ์ที่
· เรียกว่าเป็นสมาชิกฟรี
สมการกำลังสองที่สมบูรณ์
สมการกำลังสองเหล่านี้มีคำศัพท์ครบชุดทางด้านซ้าย X กำลังสอง c
ค่าสัมประสิทธิ์ เอ, x ยกกำลังแรกด้วยสัมประสิทธิ์ ขและ ฟรี สมาชิกกับ. ในค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมด
จะต้องแตกต่างจากศูนย์
ไม่สมบูรณ์คือสมการกำลังสองซึ่งมีสัมประสิทธิ์อย่างน้อยหนึ่งตัว ยกเว้น
เทอมนำหน้า (ค่าสัมประสิทธิ์ที่สองหรือเทอมอิสระ) มีค่าเท่ากับศูนย์
สมมุติว่า ข= 0, - X ยกกำลังแรกจะหายไป ปรากฎว่า:
2x 2 -6x=0,
ฯลฯ และถ้าทั้งสองค่าสัมประสิทธิ์ ขและ คเท่ากับศูนย์ แล้วทุกอย่างจะง่ายขึ้น ตัวอย่างเช่น:
2x 2 = 0,
โปรดทราบว่า x กำลังสองปรากฏในสมการทั้งหมด
ทำไม กไม่สามารถเท่ากับศูนย์ได้ใช่ไหม? จากนั้น x กำลังสองจะหายไป และสมการจะกลายเป็น เชิงเส้น .
และวิธีแก้ปัญหาก็แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง...
การแก้สมการโดยใช้วิธี "โยน"
พิจารณาสมการกำลังสอง
ax 2 + bx + c = 0 โดยที่ a อยู่ที่ไหน? 0.
เมื่อคูณทั้งสองข้างด้วย a เราจะได้สมการ
2 x 2 + abx + ac = 0
ให้ขวาน = y โดยที่ x = y/a; แล้วเราก็มาถึงสมการ
y 2 + โดย + ac = 0,
เทียบเท่ากับสิ่งนี้ เราหารากของ 1 และ 2 โดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตนาม
ในที่สุดเราก็ได้ x 1 = y 1 /a และ x 1 = y 2 /a ด้วยวิธีนี้ ค่าสัมประสิทธิ์ a จะถูกคูณด้วยเทอมอิสระ ราวกับว่า "โยน" ลงไป ซึ่งเหตุนี้จึงเรียกว่าวิธี "โยน" วิธีการนี้ใช้เมื่อคุณสามารถหารากของสมการได้อย่างง่ายดายโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตา และที่สำคัญที่สุดคือเมื่อตัวแยกแยะเป็นกำลังสองที่แน่นอน
* ตัวอย่าง.
ลองแก้สมการ 2x 2 - 11x + 15 = 0 กัน
สารละลาย. ลอง "โยน" สัมประสิทธิ์ 2 ให้กับเทอมอิสระแล้วจึงได้สมการ
y 2 - 11y + 30 = 0.
ตามทฤษฎีบทของเวียตตา
y 1 = 5 x 1 = 5/2 x 1 = 2.5
y 2 = 6 x 2 = 6/2 x 2 = 3
คำตอบ: 2.5; 3.
คุณสมบัติของสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง
ก.ให้สมการกำลังสอง ax 2 + bx + c = 0 โดยที่ a? 0.
1) ถ้า a+ b + c = 0 (เช่นผลรวมของสัมประสิทธิ์เป็นศูนย์) ดังนั้น x 1 = 1
การพิสูจน์. ลองหารทั้งสองข้างของสมการด้วย a? 0 เราได้สมการกำลังสองลดลง
x 2 + b/a * x + c/a = 0
ตามทฤษฎีบทของเวียตตา
x 1 + x 2 = - b/a,
x 1 x 2 = 1* ค/ก.
ตามเงื่อนไข a - b + c = 0 โดยที่ b = a + c ดังนั้น,
x 1 + x 2 = - ก + ข/a= -1 - ค/ก
x 1 x 2 = - 1* (- ค/ก)
เหล่านั้น. x 1 = -1 และ x 2 = c/a ซึ่งเราต้องพิสูจน์
- * ตัวอย่าง.
- 1) แก้สมการ 345x 2 - 137x - 208 = 0
สารละลาย. เนื่องจาก a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0) ดังนั้น
x 1 = 1, x 2 = ค/a = -208/345
คำตอบ: 1; -208/345.
2) แก้สมการ 132x 2 - 247x + 115 = 0
สารละลาย. เนื่องจาก a + b + c = 0 (132 - 247 + 115 = 0) ดังนั้น
x 1 = 1, x 2 = ค/a = 115/132
คำตอบ: 1; 115/132.
บี.ถ้าสัมประสิทธิ์ที่สอง b = 2k เป็นเลขคู่ แสดงว่าสูตรราก
* ตัวอย่าง.
ลองแก้สมการ 3x2 - 14x + 16 = 0 กัน
สารละลาย. เรามี: a = 3, b = - 14, c = 16, k = - 7;
สมการกำลังสองคือสมการที่อยู่ในรูปแบบ a*x^2 +b*x+c=0 โดยที่ a,b,c เป็นจำนวนจริงใดๆ และ x เป็นตัวแปร ยิ่งไปกว่านั้น ตัวเลข a ไม่เท่ากับ 0
ตัวเลข a,b,c เรียกว่าสัมประสิทธิ์ ตัวเลข a เรียกว่าสัมประสิทธิ์นำหน้า ตัวเลข b คือสัมประสิทธิ์ของ x และตัวเลข c เรียกว่าพจน์อิสระ ชื่ออื่นๆ มีอยู่ในวรรณกรรมบางเล่มด้วย ตัวเลข a เรียกว่าสัมประสิทธิ์แรก และตัวเลข b เรียกว่าสัมประสิทธิ์ที่สอง
การจำแนกประเภทของสมการกำลังสอง
สมการกำลังสองมีการจำแนกประเภทเป็นของตัวเอง
ขึ้นอยู่กับความพร้อมของอัตราต่อรอง:
1. เต็ม
2. ไม่สมบูรณ์
โดยค่าสัมประสิทธิ์ระดับสูงสุดที่ไม่ทราบ(ค่าของสัมประสิทธิ์นำ):
1. ให้
2. ไม่ได้เป็นตัวแทน
สมการกำลังสอง เรียกว่าเสร็จสมบูรณ์หากมีสัมประสิทธิ์ทั้งสามอยู่และแตกต่างจากศูนย์ มุมมองทั่วไปสมการกำลังสองสมบูรณ์: มี*x^2 +ข*x+ค=0;
สมการกำลังสอง เรียกว่าไม่สมบูรณ์ถ้าในสมการ a*x^2 +b*x+c=0 ค่าสัมประสิทธิ์ b หรือ c มีค่าเท่ากับศูนย์ (b=0 หรือ c=0) อย่างไรก็ตาม สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์จะเป็นสมการที่มี ทั้งสัมประสิทธิ์ b และสัมประสิทธิ์ c เท่ากับศูนย์ในเวลาเดียวกัน (ทั้ง b=0 และ c=0)
เป็นที่น่าสังเกตว่าไม่มีการพูดถึงสัมประสิทธิ์นำในที่นี้ เนื่องจากตามคำจำกัดความของสมการกำลังสอง มันจะต้องแตกต่างจากศูนย์
ที่ให้ไว้ถ้าสัมประสิทธิ์นำหน้าเท่ากับหนึ่ง (a=1) รูปแบบทั่วไปของสมการกำลังสองข้างต้นคือ: x^2 +d*x+e=0
สมการกำลังสองเรียกว่า ไม่ทราบ,ถ้าสัมประสิทธิ์นำหน้าในสมการแตกต่างจากศูนย์ รูปแบบทั่วไปของสมการกำลังสองแบบไม่ลดทอนคือ: a*x^2 +b*x+c=0
ควรสังเกตว่าสมการกำลังสองที่ยังไม่ได้ลดสามารถลดให้เหลือค่าลดลงได้ ในการทำเช่นนี้ คุณต้องหารค่าสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสองด้วยค่าสัมประสิทธิ์นำหน้า
ตัวอย่างสมการกำลังสอง
ลองดูตัวอย่าง:เรามีสมการ 2*x^2 - 6*x+7 =0;
ลองแปลงมันเป็นสมการที่กำหนด ค่าสัมประสิทธิ์นำหน้าคือ 2 ลองหารค่าสัมประสิทธิ์ของสมการแล้วเขียนคำตอบลงไป
x^2 - 3*x+3.5 =0;
ดังที่คุณสังเกตเห็น ทางด้านขวาของสมการกำลังสองจะมีพหุนามของดีกรีที่สอง a*x^2 +b*x+c เรียกอีกอย่างว่ากำลังสองตรีโกณมิติ