วิธีแก้สมการเชิงอนุพันธ์ลำดับที่สูงกว่า สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่สูงกว่า
สมการแก้ได้โดยการอินทิเกรตโดยตรง
พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์ต่อไปนี้:
.
เราอินทิเกรต n ครั้ง
;
;
และอื่น ๆ คุณยังสามารถใช้สูตร:
.
ดูสมการเชิงอนุพันธ์ที่สามารถแก้ได้โดยตรง บูรณาการ > > >
สมการที่ไม่มีตัวแปรตาม y อย่างชัดเจน
การทดแทนจะทำให้ลำดับของสมการลดลงหนึ่งรายการ นี่คือฟังก์ชันจาก .
ดูสมการเชิงอนุพันธ์ของลำดับที่สูงกว่าที่ไม่มีฟังก์ชันอย่างชัดเจน > > >
สมการที่ไม่มีตัวแปรอิสระ x ชัดเจน
.
เราพิจารณาว่านั่นคือฟังก์ชันของ
.
แล้ว
ในทำนองเดียวกันสำหรับอนุพันธ์อื่น ๆ เป็นผลให้ลำดับของสมการลดลงหนึ่ง
ดูสมการเชิงอนุพันธ์ของลำดับที่สูงกว่าที่ไม่มีตัวแปรที่ชัดเจน > > >
สมการที่เป็นเนื้อเดียวกันด้วยความเคารพต่อ y, y′, y′′, ...
,
เพื่อแก้สมการนี้ เราทำการทดแทน
.
ฟังก์ชันของ .
แล้ว
เราก็แปลงอนุพันธ์ในทำนองเดียวกัน ฯลฯ เป็นผลให้ลำดับของสมการลดลงหนึ่ง
ดูสมการเชิงอนุพันธ์ลำดับสูงกว่าที่เป็นเนื้อเดียวกันโดยคำนึงถึงฟังก์ชันและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน > > > สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่สูงกว่า:
(1)
,
ลองพิจารณาดู
(2)
,
สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่ n
โดยที่ฟังก์ชันของตัวแปรอิสระอยู่ที่ไหนปล่อยให้สมการนี้ไม่มีคำตอบที่เป็นอิสระเชิงเส้น ดังนั้นคำตอบทั่วไปของสมการ (1) จึงมีรูปแบบดังนี้ ค่าคงที่ตามอำเภอใจอยู่ที่ไหน ฟังก์ชั่นเหล่านี้ก่อให้เกิดระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาระบบการแก้ปัญหาขั้นพื้นฐาน
ดูสมการเชิงอนุพันธ์ลำดับสูงกว่าที่เป็นเนื้อเดียวกันโดยคำนึงถึงฟังก์ชันและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน > > > เชิงเส้น:
.
สมการเอกพันธ์
,
ลำดับที่ n คือคำตอบที่เป็นอิสระเชิงเส้นของสมการนี้
สมการเชิงอนุพันธ์แบบไม่เอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่ n
ปล่อยให้มีวิธีแก้เฉพาะเจาะจง (อะไรก็ได้) สำหรับสมการนี้ ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาทั่วไปจะมีรูปแบบ:
คำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์ (1) อยู่ที่ไหน
(3)
.
สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่และสามารถลดได้ สมการเอกพันธ์เชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่นี่คือสมการของแบบฟอร์ม:
(2)
.
ที่นี่ - สมการลักษณะเฉพาะ:
(4)
.
ถ้าสมการนี้มี รากต่างๆจากนั้นระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาจะมีรูปแบบ:
.
ถ้ามี รากที่ซับซ้อน
,
แล้วก็ยังมีรากคอนจูเกตที่ซับซ้อนอยู่ด้วย
รากทั้งสองนี้สอดคล้องกับโซลูชัน และ ซึ่งเรารวมไว้ในระบบพื้นฐานแทนที่จะเป็นโซลูชันที่ซับซ้อน และหลายราก
หลายหลากสอดคล้องกับคำตอบที่เป็นอิสระเชิงเส้น:รากที่ซับซ้อนหลายเท่า
.
การคูณและค่าคอนจูเกตที่ซับซ้อนนั้นสอดคล้องกับวิธีแก้ปัญหาอิสระเชิงเส้น:
ดูสมการเชิงอนุพันธ์ลำดับสูงกว่าที่เป็นเนื้อเดียวกันโดยคำนึงถึงฟังก์ชันและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน > > > สมการเชิงเส้นตรงที่มีส่วนพิเศษเป็นเนื้อเดียวกัน
,
สมการของแบบฟอร์ม 1
พหุนามขององศา s อยู่ที่ไหน 2
และส
- - ถาวร. ก่อนอื่น เรามองหาคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์ (3) ถ้าสมการคุณลักษณะ (4)ไม่มีราก
,
จากนั้นเราจะมองหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะในรูปแบบ:
;
;
ที่ไหน 1
พหุนามขององศา s อยู่ที่ไหน 2
.
s - ยิ่งใหญ่ที่สุดของ s ถ้าสมการคุณลักษณะ (4)มีราก
.
หลายหลาก จากนั้นเราจะหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะในรูปแบบ:
.
หลังจากนี้เราจะได้วิธีแก้ปัญหาทั่วไป:
สมการไม่เอกพันธ์เชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่
1)
มีวิธีแก้ไขที่เป็นไปได้สามวิธีที่นี่.
วิธีเบอร์นูลลี
.
อันดับแรก เราจะหาคำตอบที่ไม่ใช่ศูนย์ของสมการเอกพันธ์
,
จากนั้นเราก็ทำการทดแทน - 1
โดยที่ฟังก์ชันของตัวแปร x คือ
2)
เราได้สมการเชิงอนุพันธ์สำหรับ u ซึ่งมีเฉพาะอนุพันธ์ของ u เทียบกับ x.
เมื่อทำการทดแทนเราจะได้สมการ n
,
- ลำดับที่
3)
วิธีการทดแทนเชิงเส้น.
มาทำการทดแทนกันเถอะ
(2)
.
โดยที่ หนึ่งในรากของสมการคุณลักษณะ (4) เป็นผลให้เราได้สมการแบบไม่เอกพันธ์เชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์ลำดับคงที่
,
การใช้การทดแทนนี้อย่างต่อเนื่อง เราจะลดสมการดั้งเดิมให้เป็นสมการอันดับหนึ่ง
วิธีการแปรผันของค่าคงที่ลากรองจ์
ในวิธีนี้ เราจะแก้สมการเอกพันธ์ (3) ก่อน วิธีแก้ปัญหาของเขาดูเหมือนว่า:
.
เรายังถือว่าค่าคงที่เป็นฟังก์ชันของตัวแปร x
.
จากนั้นการแก้สมการดั้งเดิมจะมีรูปแบบ:
ฟังก์ชั่นที่ไม่รู้จักอยู่ที่ไหน เมื่อแทนที่สมการดั้งเดิมและกำหนดข้อจำกัดบางประการ เราจะได้สมการซึ่งเราสามารถค้นหาประเภทของฟังก์ชันได้
สมการของออยเลอร์
น.เอ็ม. กันเตอร์, อาร์.โอ. Kuzmin, ชุดของปัญหาทางคณิตศาสตร์ขั้นสูง, “ลาน”, 2546.
มักจะเป็นเพียงการกล่าวถึง สมการเชิงอนุพันธ์ทำให้นักเรียนรู้สึกไม่สบายใจ ทำไมสิ่งนี้ถึงเกิดขึ้น? บ่อยที่สุดเนื่องจากเมื่อศึกษาพื้นฐานของเนื้อหาทำให้เกิดช่องว่างในความรู้เนื่องจากการศึกษาเพิ่มเติมเกี่ยวกับความแตกต่างกลายเป็นเพียงการทรมาน ยังไม่แน่ชัดว่าจะทำอย่างไร ตัดสินใจอย่างไร จะเริ่มตรงไหน?
อย่างไรก็ตาม เราจะพยายามแสดงให้คุณเห็นว่าความแตกต่างนั้นไม่ยากอย่างที่คิด
แนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์
จากโรงเรียนเรารู้สมการที่ง่ายที่สุดซึ่งเราต้องค้นหาค่า x ที่ไม่รู้จัก โดยพื้นฐานแล้ว สมการเชิงอนุพันธ์แตกต่างเพียงเล็กน้อยจากพวกเขา - แทนที่จะเป็นตัวแปร เอ็กซ์ คุณต้องค้นหาฟังก์ชันในนั้น ใช่(x) ซึ่งจะทำให้สมการกลายเป็นอัตลักษณ์
ดี สมการเชิงอนุพันธ์มีความสำคัญอย่างยิ่งในทางปฏิบัติ นี่ไม่ใช่คณิตศาสตร์เชิงนามธรรมที่ไม่เกี่ยวข้องกับโลกรอบตัวเรา สมการเชิงอนุพันธ์ใช้เพื่ออธิบายจำนวนจริงจำนวนมาก กระบวนการทางธรรมชาติ- ตัวอย่างเช่น การสั่นของสาย การเคลื่อนที่ของออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิก โดยใช้สมการเชิงอนุพันธ์ในปัญหากลศาสตร์ ค้นหาความเร็วและความเร่งของร่างกาย อีกด้วย ธอมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในด้านชีววิทยา เคมี เศรษฐศาสตร์ และวิทยาศาสตร์อื่นๆ อีกมากมาย
สมการเชิงอนุพันธ์ (ธอ) คือสมการที่มีอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y(x) ตัวฟังก์ชันเอง ตัวแปรอิสระ และพารามิเตอร์อื่นๆ ในชุดค่าผสมต่างๆ
สมการเชิงอนุพันธ์มีหลายประเภท: สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นและไม่เชิงเส้น สมการเชิงอนุพันธ์แบบเอกพันธ์และแบบไม่เอกพันธ์ สมการเชิงอนุพันธ์ลำดับที่หนึ่งและสูงกว่า สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย และอื่นๆ
โดยการตัดสินใจ สมการเชิงอนุพันธ์เป็นฟังก์ชันที่เปลี่ยนให้เป็นอัตลักษณ์ มีวิธีแก้ไขปัญหาทั่วไปและเฉพาะสำหรับรีโมทคอนโทรล
ผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์คือชุดคำตอบทั่วไปที่เปลี่ยนสมการให้มีเอกลักษณ์เฉพาะตัว ผลเฉลยบางส่วนของสมการเชิงอนุพันธ์คือผลเฉลยที่ทำให้พอใจ เงื่อนไขเพิ่มเติมระบุไว้ในเบื้องต้น
ลำดับของสมการเชิงอนุพันธ์ถูกกำหนดโดยลำดับสูงสุดของอนุพันธ์
สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ
สมการเชิงอนุพันธ์สามัญเป็นสมการที่มีตัวแปรอิสระตัวเดียว
ลองพิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์สามัญที่ง่ายที่สุดของลำดับแรก ดูเหมือนว่า:
สมการนี้สามารถแก้ไขได้โดยการรวมทางด้านขวามือเข้าด้วยกัน
ตัวอย่างของสมการดังกล่าว:
สมการที่แยกออกจากกัน
โดยทั่วไป สมการประเภทนี้จะมีลักษณะดังนี้:
นี่คือตัวอย่าง:
เมื่อแก้สมการดังกล่าว คุณจะต้องแยกตัวแปรต่างๆ ออกให้อยู่ในรูปแบบ:
หลังจากนี้ยังคงรวมทั้งสองส่วนเข้าด้วยกันและรับวิธีแก้ไข
สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นของลำดับแรก
สมการดังกล่าวมีลักษณะดังนี้:
โดยที่ p(x) และ q(x) คือฟังก์ชันบางส่วนของตัวแปรอิสระ และ y=y(x) คือฟังก์ชันที่ต้องการ นี่คือตัวอย่างของสมการดังกล่าว:
เมื่อแก้สมการดังกล่าว ส่วนใหญ่มักจะใช้วิธีการเปลี่ยนแปลงค่าคงที่ตามอำเภอใจหรือแสดงฟังก์ชันที่ต้องการเป็นผลคูณของฟังก์ชันอื่นอีกสองฟังก์ชัน y(x)=u(x)v(x)
ในการแก้สมการดังกล่าว จำเป็นต้องมีการเตรียมการบางอย่าง และจะค่อนข้างยากในการ "สรุป"
ตัวอย่างการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ด้วยตัวแปรที่แยกไม่ออก
ดังนั้นเราจึงดูประเภทรีโมตคอนโทรลที่ง่ายที่สุด ตอนนี้เรามาดูวิธีแก้ปัญหาของหนึ่งในนั้นกัน ให้นี่เป็นสมการที่มีตัวแปรที่แยกกันไม่ออก
ก่อนอื่น มาเขียนอนุพันธ์ใหม่ในรูปแบบที่คุ้นเคยกว่านี้:
จากนั้นเราแบ่งตัวแปรนั่นคือในส่วนหนึ่งของสมการที่เรารวบรวม "ฉัน" ทั้งหมดและอีกส่วนหนึ่ง - "X":
ตอนนี้ยังคงรวมทั้งสองส่วนเข้าด้วยกัน:
เรารวมและรับคำตอบทั่วไปสำหรับสมการนี้:
แน่นอนว่าการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ถือเป็นศิลปะอย่างหนึ่ง คุณต้องสามารถเข้าใจว่าสมการเป็นของประเภทใด และเรียนรู้ที่จะเห็นว่าการเปลี่ยนแปลงใดที่จำเป็นต้องทำเพื่อนำไปสู่รูปแบบใดรูปแบบหนึ่ง ไม่ต้องพูดถึงความสามารถในการแยกความแตกต่างและบูรณาการ และเพื่อที่จะประสบความสำเร็จในการแก้ปัญหา DE คุณต้องฝึกฝน (เช่นเดียวกับในทุกสิ่ง) และถ้าคุณมี ในขณะนี้คุณไม่มีเวลาคิดหาวิธีแก้ปัญหาสมการเชิงอนุพันธ์ หรือปัญหาคอชี่ติดอยู่เหมือนกระดูกในลำคอ หรือคุณไม่รู้ โปรดติดต่อผู้เขียนของเรา ในเวลาอันสั้นเราจะจัดเตรียมแบบสำเร็จรูปและ วิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดรายละเอียดที่คุณสามารถเข้าใจได้ตลอดเวลาที่สะดวกสำหรับคุณ ในระหว่างนี้ เราขอแนะนำให้ดูวิดีโอในหัวข้อ “วิธีแก้สมการเชิงอนุพันธ์”:
ทฤษฎีการคำนวณ สมการเชิงอนุพันธ์แบบไม่เอกพันธ์(DU) จะไม่ระบุไว้ในเอกสารนี้ จากบทเรียนก่อนหน้านี้ คุณจะพบข้อมูลเพียงพอที่จะค้นหาคำตอบของคำถาม "จะแก้สมการเชิงอนุพันธ์แบบไม่เอกพันธ์ได้อย่างไร"ระดับของสมการเชิงอนุพันธ์ที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันไม่ได้มีบทบาทสำคัญที่นี่ มีวิธีการไม่มากนักที่อนุญาตให้คำนวณหาคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ดังกล่าวได้ เพื่อให้ง่ายต่อการอ่านคำตอบในตัวอย่าง การเน้นหลักจะอยู่ที่วิธีการคำนวณและเคล็ดลับที่จะช่วยอำนวยความสะดวกในการหาฟังก์ชันสุดท้ายเท่านั้น
ตัวอย่างที่ 1 แก้สมการเชิงอนุพันธ์
วิธีแก้ปัญหา: ให้ไว้ สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์ของลำดับที่สามยิ่งไปกว่านั้น มันมีเพียงอนุพันธ์อันดับสองและสามเท่านั้น และไม่มีฟังก์ชันและอนุพันธ์อันดับหนึ่ง ในกรณีเช่นนี้ ใช้วิธีการลดระดับสมการเชิงอนุพันธ์ เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้แนะนำพารามิเตอร์ - มาแสดงอนุพันธ์อันดับสองผ่านพารามิเตอร์ p กัน
แล้วอนุพันธ์อันดับสามของฟังก์ชันจะเท่ากับ
DE ที่เป็นเนื้อเดียวกันดั้งเดิมจะถูกทำให้ง่ายขึ้นในแบบฟอร์ม
เราเขียนมันเป็นดิฟเฟอเรนเชียลแล้ว ลดเหลือสมการตัวแปรที่แยกออกจากกันและหาทางแก้ไขโดยการบูรณาการ
โปรดจำไว้ว่าพารามิเตอร์นั้นเป็นอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน
ดังนั้น เพื่อค้นหาสูตรสำหรับฟังก์ชันนั้น เราจึงรวมการพึ่งพาส่วนต่างที่พบสองครั้ง
ในฟังก์ชันค่า C 1 , C 2 , C 3 เท่ากับค่าที่กำหนดเอง
นี่คือลักษณะที่เรียบง่ายของโครงการ: หาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์โดยการใส่พารามิเตอร์ปัญหาต่อไปนี้ซับซ้อนกว่าและคุณจะได้เรียนรู้การแก้สมการเชิงอนุพันธ์แบบไม่เอกพันธ์อันดับสาม มีความแตกต่างบางประการระหว่างระบบควบคุมที่เป็นเนื้อเดียวกันและต่างกันในแง่ของการคำนวณ ดังที่คุณจะเห็นในตอนนี้
ตัวอย่างที่ 2 หา
วิธีแก้ไข: เรามีลำดับที่สาม ดังนั้นควรหาวิธีแก้ปัญหาในรูปแบบของผลรวมของสอง - วิธีแก้ปัญหาที่เป็นเนื้อเดียวกันและวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ สมการที่ไม่เหมือนกัน
มาตัดสินใจกันก่อน
อย่างที่คุณเห็น มันมีเพียงอนุพันธ์อันดับสองและสามของฟังก์ชันเท่านั้น และไม่มีฟังก์ชันนั้นเอง ชนิดนี้ ความแตกต่าง สมการได้รับการแก้ไขโดยการแนะนำพารามิเตอร์ซึ่งเข้าในทางกลับกันจะช่วยลดและทำให้การค้นหาคำตอบของสมการง่ายขึ้น ในทางปฏิบัติดูเหมือนว่า ดังต่อไปนี้: ให้อนุพันธ์อันดับสองเท่ากับฟังก์ชันหนึ่ง จากนั้นอนุพันธ์อันดับสามจะมีสัญลักษณ์อย่างเป็นทางการ
สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์ที่พิจารณาของลำดับที่ 3 จะถูกแปลงเป็นสมการลำดับที่หนึ่ง
จากที่เมื่อหารตัวแปรแล้วเราจะพบอินทิกรัล
x*dp-p*dx=0;
เราขอแนะนำให้กำหนดหมายเลขสูตรในปัญหาดังกล่าว เนื่องจากคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับ 3 มีค่าคงที่ 3 ค่า ลำดับที่สี่มีค่าคงที่ 4 ค่า และต่อไปเรื่อยๆ ตามการเปรียบเทียบ ตอนนี้เรากลับไปที่พารามิเตอร์ที่แนะนำ: เนื่องจากอนุพันธ์อันดับสองมีรูปแบบ จากนั้นจึงอินทิเกรตเมื่อเรามีการพึ่งพาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
และจากการบูรณาการซ้ำแล้วซ้ำเล่า เราจึงพบ มุมมองทั่วไปฟังก์ชันที่เป็นเนื้อเดียวกัน
ผลเฉลยบางส่วนของสมการลองเขียนมันเป็นตัวแปรคูณด้วยลอการิทึม สิ่งนี้ตามมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าส่วนทางขวา (ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน) ของ DE เท่ากับ -1/x และเพื่อให้ได้สัญกรณ์ที่เทียบเท่ากัน
ควรหาวิธีแก้ปัญหาในรูปแบบ
มาหาค่าสัมประสิทธิ์ A เพื่อคำนวณอนุพันธ์ของลำดับที่หนึ่งและที่สอง
ลองแทนนิพจน์ที่พบลงในสมการเชิงอนุพันธ์ดั้งเดิมและหาค่าสัมประสิทธิ์ให้เท่ากับกำลังของ x:
มีค่าเหล็กเท่ากับ -1/2 และมีรูปแบบ
วิธีแก้ปัญหาทั่วไปสมการเชิงอนุพันธ์เขียนมันลงไปเป็นผลรวมของสิ่งที่พบ
โดยที่ C 1, C 2, C 3 เป็นค่าคงที่ใดๆ ที่สามารถปรับแก้ได้โดยใช้ปัญหาคอชี
ตัวอย่างที่ 3 ค้นหาอินทิกรัลของ DE ลำดับที่สาม
วิธีแก้: เรากำลังมองหาอินทิกรัลทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์แบบไม่เอกพันธ์อันดับสามในรูปแบบของผลรวมของคำตอบของสมการเอกพันธ์เอกพันธ์และสมการเอกพันธ์บางส่วน ขั้นแรก สำหรับสมการประเภทใดก็ตามที่เราเริ่มต้น วิเคราะห์สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์
ประกอบด้วยอนุพันธ์อันดับสองและสามของฟังก์ชันที่ไม่รู้จักในปัจจุบันเท่านั้น เราแนะนำการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร (พารามิเตอร์): เราแสดงด้วยอนุพันธ์อันดับสอง
แล้วอนุพันธ์อันดับสามก็เท่ากับ
การแปลงแบบเดียวกันได้ดำเนินการในงานก่อนหน้านี้ สิ่งนี้ช่วยให้ ลดสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสามให้เป็นสมการอันดับหนึ่งของแบบฟอร์ม
โดยการบูรณาการเราพบว่า
เราจำได้ว่า ตามการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร นี่เป็นเพียงอนุพันธ์อันดับสอง
และในการหาคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสามที่เป็นเนื้อเดียวกัน จะต้องอินทิเกรตสองครั้ง
ขึ้นอยู่กับประเภทของด้านขวา (ส่วนที่ไม่สม่ำเสมอ =x+1) เรามองหาคำตอบบางส่วนของสมการในรูปแบบ
จะรู้ได้อย่างไรว่าจะมองหาคำตอบบางส่วนในรูปแบบใด คุณควรได้รับการสอนในภาคทฤษฎีของหลักสูตรสมการเชิงอนุพันธ์ ถ้าไม่เช่นนั้น เราก็เสนอแนะได้เพียงว่าให้เลือกนิพจน์สำหรับฟังก์ชันโดยที่เมื่อแทนที่ในสมการ คำที่มีอนุพันธ์สูงสุดหรือน้อยกว่านั้นอยู่ในลำดับเดียวกัน (คล้ายกัน) กับส่วนที่ไม่เหมือนกันของสมการ
ฉันคิดว่าตอนนี้มันชัดเจนมากขึ้นสำหรับคุณแล้วว่าประเภทของโซลูชันส่วนตัวมาจากไหน มาหาค่าสัมประสิทธิ์ A, B สำหรับสิ่งนี้เราคำนวณอนุพันธ์อันดับสองและสามของฟังก์ชัน
และแทนที่มันลงในสมการเชิงอนุพันธ์ หลังจากจัดกลุ่มคำศัพท์ที่คล้ายกันแล้ว เราก็จะได้ สมการเชิงเส้น
ซึ่งสำหรับกำลังเท่ากันของตัวแปร เขียนระบบสมการ
และค้นหาเหล็กที่ไม่รู้จัก หลังจากการทดแทนก็จะแสดงออกด้วยการพึ่งพาอาศัยกัน
ผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เท่ากับผลรวมของเนื้อเดียวกันและบางส่วนและมีรูปแบบ
โดยที่ C 1, C 2, C 3 เป็นค่าคงที่ตามอำเภอใจ
ตัวอย่างที่ 4 ป แก้สมการเชิงอนุพันธ์
วิธีแก้: เรามีคำตอบซึ่งเราจะหาได้จากผลรวม คุณทราบรูปแบบการคำนวณแล้ว มาพิจารณากันต่อ สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์
ตามวิธีมาตรฐาน ป้อนพารามิเตอร์
สมการเชิงอนุพันธ์เริ่มต้นจะอยู่ในรูปแบบ จากจุดที่เราพบการหารตัวแปร
โปรดจำไว้ว่าพารามิเตอร์นั้นเท่ากับอนุพันธ์อันดับสอง
เมื่อรวม DE เราจะได้อนุพันธ์อันดับหนึ่งของฟังก์ชัน
โดยการบูรณาการซ้ำแล้วซ้ำเล่า หาอินทิกรัลทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์
เรามองหาคำตอบบางส่วนของสมการในรูปแบบ, เพราะ ด้านขวาเท่ากับ
มาหาค่าสัมประสิทธิ์ A กัน - โดยแทนที่ y* ลงในสมการเชิงอนุพันธ์และเทียบค่าสัมประสิทธิ์ด้วยกำลังเท่ากันของตัวแปร
หลังจากการทดแทนและการจัดกลุ่มคำศัพท์เราได้รับการพึ่งพา
โดยเหล็กมีค่าเท่ากับ A=8/3
ดังนั้นเราจึงสามารถเขียนได้ วิธีแก้ปัญหาบางส่วนของ DE
ผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เท่ากับผลรวมของที่พบ
โดยที่ C 1, C 2, C 3 เป็นค่าคงที่ตามอำเภอใจ หากกำหนดเงื่อนไข Cauchy เราก็สามารถกำหนดเงื่อนไขเหล่านี้ได้อย่างง่ายดาย
ฉันคิดว่าเนื้อหาจะเป็นประโยชน์สำหรับคุณในการเตรียมตัว ชั้นเรียนภาคปฏิบัติ, โมดูลหรือ ทดสอบงาน- ปัญหา Cauchy ไม่ได้ถูกกล่าวถึงในที่นี้ แต่จากบทเรียนก่อนหน้านี้ คุณมักจะรู้วิธีการแก้ปัญหา
สมการในรูปแบบ: เรียกว่าสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นที่มีลำดับสูงกว่า โดยที่ 0 , a 1 , ... a n เป็นฟังก์ชันของตัวแปร x หรือค่าคงที่ และ 0 , a 1 , ... a n และ f (x) ถือว่าต่อเนื่อง
ถ้า 0 = 1 (ถ้า
จากนั้นคุณสามารถแบ่งออกเป็นมันได้)
สมการจะอยู่ในรูปแบบ:
ถ้า
สมการไม่เป็นเนื้อเดียวกัน
สมการเป็นเนื้อเดียวกัน
สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับ n
สมการของรูปแบบ: เรียกว่าสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับ n
ทฤษฎีบทต่อไปนี้ใช้ได้กับสมการเหล่านี้:
ทฤษฎีบท 1:ถ้า
- สารละลาย แล้วผลรวม
- ยังเป็นวิธีแก้ปัญหา
หลักฐาน: ลองแทนผลรวมเข้า
เนื่องจากอนุพันธ์ของลำดับใดๆ ของผลรวมจะเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์ของมัน คุณจึงสามารถจัดกลุ่มใหม่ได้โดยเปิดวงเล็บ:
เพราะ y 1 และ y 2 คือคำตอบ
0=0(ถูกต้อง)
จำนวนเงินก็เป็นการตัดสินใจเช่นกัน
ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว
ทฤษฎีบท 2:ถ้า y 0 เป็นคำตอบ , ที่
- ยังเป็นวิธีแก้ปัญหา .
หลักฐาน: เรามาทดแทนกัน
ลงในสมการ
เนื่องจาก C ถูกนำออกจากเครื่องหมายอนุพันธ์แล้ว
เพราะ วิธีแก้ปัญหา 0=0 (ถูกต้อง)
Сy 0 ก็เป็นวิธีแก้ปัญหาเช่นกัน
ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว
ข้อพิสูจน์จาก T1 และ T2:ถ้า
- โซลูชั่น (*)
ผลรวมเชิงเส้นก็เป็นคำตอบ (*) เช่นกัน
ระบบฟังก์ชันอิสระเชิงเส้นและขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง ดีเทอร์มิแนนต์ของ Wronski และคุณสมบัติของมัน
คำนิยาม:ระบบฟังก์ชั่น
- เรียกว่าเป็นอิสระเชิงเส้นหากเป็นการรวมเชิงเส้นของสัมประสิทธิ์
.
คำนิยาม:ระบบฟังก์ชั่น
- เรียกว่าขึ้นอยู่กับเชิงเส้นหากมีสัมประสิทธิ์
.
ลองใช้ระบบของฟังก์ชันที่ขึ้นต่อเชิงเส้นสองตัวกัน
เพราะ
หรือ
- เงื่อนไขความเป็นอิสระเชิงเส้นของสองฟังก์ชัน
1)
เป็นอิสระเชิงเส้น
2)
ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น
3) ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น
คำนิยาม:มีระบบฟังก์ชั่นให้
- ฟังก์ชั่นของตัวแปร x
ปัจจัยกำหนด
-Wronski ดีเทอร์มิแนนต์สำหรับระบบการทำงาน
.
สำหรับระบบที่มีสองฟังก์ชัน ดีเทอร์มิแนนต์ของ Wronski จะมีลักษณะดังนี้:
คุณสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์ Wronsky:
ทฤษฎีบท:เกี่ยวกับคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นลำดับที่ 2
หาก y 1 และ y 2 เป็นคำตอบที่เป็นอิสระเชิงเส้นของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นลำดับที่ 2
วิธีแก้ปัญหาทั่วไปคือ:
การพิสูจน์:
- การตัดสินใจขึ้นอยู่กับผลที่ตามมาจาก T1 และ T2
หากกำหนดเงื่อนไขเบื้องต้นแล้ว และ จะต้องพบอย่างไม่คลุมเครือ
- เงื่อนไขเริ่มต้น
มาสร้างระบบการค้นหากันเถอะ และ - ในการทำเช่นนี้ เราจะแทนที่เงื่อนไขเริ่มต้นลงในคำตอบทั่วไป
ปัจจัยกำหนดของระบบนี้:
- ดีเทอร์มิแนนต์ของ Wronski คำนวณที่จุด x 0
เพราะ และ เป็นอิสระเชิงเส้น
(อันละ 2 0)
เนื่องจากดีเทอร์มิแนนต์ของระบบไม่เท่ากับ 0 ดังนั้นระบบจึงมีคำตอบเฉพาะและ และ พบได้เฉพาะจากระบบ
คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับ n
จะเห็นได้ว่าสมการไม่มีคำตอบที่เป็นอิสระเชิงเส้น
คำนิยาม: n คำตอบที่เป็นอิสระเชิงเส้น
สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับ n เรียกว่า ระบบการแก้ปัญหาขั้นพื้นฐาน
คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับ n เช่น (*) คือการรวมกันเชิงเส้นของระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา:
ที่ไหน
- ระบบการแก้ปัญหาขั้นพื้นฐาน
สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นอันดับ 2 ที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่
นี่คือสมการของแบบฟอร์ม:
, โดยที่ และ g คือตัวเลข(*)
คำนิยาม:สมการ
- เรียกว่า สมการลักษณะเฉพาะสมการเชิงอนุพันธ์ (*) – สมการกำลังสองธรรมดาซึ่งวิธีการแก้ปัญหาขึ้นอยู่กับ D ในกรณีต่อไปนี้เป็นไปได้:
1)D>0
- สองโซลูชั่นที่แตกต่างกันที่ถูกต้อง
2)D=0
- หนึ่งรากที่แท้จริงของการคูณ 2
3)ง<0
- รากคอนจูเกตที่ซับซ้อนสองอัน
สำหรับแต่ละกรณีนี้ เราจะระบุระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาที่ประกอบด้วย 2 ฟังก์ชัน และ .
เราจะแสดงให้เห็นว่า:
1) และ - แอลเอ็นแซด
2) และ - สารละลาย (*)
ลองพิจารณา 1 กรณีง>0
- 2 รากที่แตกต่างกันจริง
เอ็กซ์
สมการลักษณะเฉพาะ:
มาเป็น FSR:
ก) แสดง LNZ
b) เราจะแสดงสิ่งนั้น - วิธีแก้ปัญหา (*) ทดแทน
+พี
+ก
=0
ความเท่าเทียมกันอย่างแท้จริง
สารละลาย (*)
แสดงเช่นเดียวกันสำหรับ y 2
บทสรุป:
- เอฟเอสอาร์ (*)
วิธีแก้ปัญหาทั่วไป
ลองพิจารณากรณีที่ 2:ด=0
- 1 รากที่แท้จริงของการคูณ 2.
มาเป็น FSR:
นิวซีแลนด์:
มีแอลเอ็นซี.
- การแก้สมการ (ดูกรณีที่ 1) มาแสดงกันเถอะ
- สารละลาย.
วางไว้ในรีโมทคอนโทรล
-สารละลาย.
บทสรุป:เอฟเอสอาร์
ตัวอย่าง:
กรณีที่ 3:
ดี<0
- รากคอนจูเกตที่ซับซ้อน 2 อัน
มาทดแทนกันเถอะ
ในตัวละคร สมการ
จำนวนเชิงซ้อนจะเป็น 0 เมื่อส่วนจริงและส่วนจินตภาพเป็น 0
- เราจะใช้มัน
มาแสดงกันเถอะ
- จัดตั้ง FSR
ก) นิวซีแลนด์:
ข)
- โซลูชันการควบคุมระยะไกล
ความเท่าเทียมกันอย่างแท้จริง
- การตัดสินใจของระบบควบคุม
ก็แสดงให้เห็นเช่นเดียวกัน ยังเป็นวิธีแก้ปัญหา
บทสรุป:เอฟเอสอาร์:
วิธีแก้ปัญหาทั่วไป:
หากระบุหมายเลข
- จากนั้นหาวิธีแก้ปัญหาทั่วไปก่อน
อนุพันธ์ของมัน:
จากนั้นพวกเขาก็แทนที่ n.u ในระบบนี้แล้วค้นหา และ .
ดี:
สมการเชิงอนุพันธ์ของลำดับที่สองและลำดับที่สูงกว่า
สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่
ตัวอย่างการแก้ปัญหา
มาดูสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองและสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสูงกว่ากันดีกว่า หากคุณมีความคิดที่คลุมเครือว่าสมการเชิงอนุพันธ์คืออะไร (หรือไม่เข้าใจว่ามันคืออะไร) ฉันขอแนะนำให้เริ่มด้วยบทเรียน สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง ตัวอย่างการแก้ปัญหา- ดังนั้นหลักการวิธีแก้ปัญหาและแนวคิดพื้นฐานของลำดับที่หนึ่งจึงขยายไปสู่สมการเชิงอนุพันธ์ลำดับที่สูงกว่าโดยอัตโนมัติ มันสำคัญมากที่จะต้องเข้าใจสมการลำดับที่หนึ่งก่อน.
ผู้อ่านหลายคนอาจมีอคติว่าการควบคุมระยะไกลของคำสั่งที่ 2, 3 และคำสั่งอื่น ๆ เป็นสิ่งที่ยากมากและไม่สามารถเข้าถึงได้ นี่เป็นสิ่งที่ผิด - การเรียนรู้ที่จะแก้ไขการกระจายลำดับที่สูงกว่านั้นแทบจะไม่ยากไปกว่า DE ลำดับที่ 1 “ธรรมดา”- และในบางสถานที่ก็ง่ายกว่านั้นอีก เนื่องจากโซลูชันต่างๆ ใช้สื่อการสอนจากหลักสูตรของโรงเรียนอย่างจริงจัง
ยอดนิยมที่สุด สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสอง- สู่สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสอง จำเป็นรวมถึงอนุพันธ์อันดับสองและ ไม่รวม
ควรสังเกตว่าทารกบางคน (และแม้แต่ทั้งหมดพร้อมกัน) อาจขาดหายไปจากสมการ สิ่งสำคัญคือพ่อต้องอยู่บ้าน สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองดั้งเดิมที่สุดมีลักษณะดังนี้:
สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสามในงานปฏิบัตินั้นพบได้น้อยกว่ามาก จากการสังเกตส่วนตัวของฉัน พวกเขาจะได้รับคะแนนเสียงประมาณ 3-4% ใน State Duma
ถึงสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสาม จำเป็นรวมถึงอนุพันธ์อันดับสามและ ไม่รวมอนุพันธ์ที่มีคำสั่งสูงกว่า:
สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสามที่ง่ายที่สุดมีลักษณะดังนี้: – พ่ออยู่ที่บ้าน ลูก ๆ ทุกคนออกไปเดินเล่น
ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถกำหนดสมการเชิงอนุพันธ์ของลำดับที่ 4, 5 และสูงกว่าได้ ในปัญหาในทางปฏิบัติระบบควบคุมดังกล่าวไม่ค่อยล้มเหลว แต่ฉันจะพยายามยกตัวอย่างที่เกี่ยวข้อง
สมการเชิงอนุพันธ์ลำดับที่สูงกว่าซึ่งเสนอไว้ในปัญหาเชิงปฏิบัติสามารถแบ่งออกเป็นสองกลุ่มหลัก
1) กลุ่มแรก - สิ่งที่เรียกว่า สมการที่สามารถลดลงตามลำดับได้- มาเร็ว!
2) กลุ่มที่สอง – สมการเชิงเส้นของลำดับที่สูงกว่าพร้อมค่าสัมประสิทธิ์คงที่- ซึ่งเราจะเริ่มดูกันตอนนี้เลย
สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นลำดับที่สอง
โดยมีค่าสัมประสิทธิ์คงที่
ในทางทฤษฎีและการปฏิบัติ สมการดังกล่าวแบ่งออกเป็นสองประเภท: สมการเอกพันธ์และ สมการที่ไม่เหมือนกัน.
DE ลำดับที่สองที่เป็นเนื้อเดียวกันพร้อมค่าสัมประสิทธิ์คงที่มีแบบฟอร์มดังนี้
ที่ไหน และ เป็นค่าคงที่ (ตัวเลข) และทางด้านขวา – อย่างเคร่งครัดศูนย์.
อย่างที่คุณเห็นไม่มีปัญหาใด ๆ กับสมการเอกพันธ์ สิ่งสำคัญคือ แก้สมการกำลังสองให้ถูกต้อง.
บางครั้งอาจมีสมการเอกพันธ์ที่ไม่เป็นมาตรฐาน เช่น สมการในรูปแบบ โดยที่อนุพันธ์อันดับสองมีค่าคงที่ที่แตกต่างจากความสามัคคี (และโดยธรรมชาติแล้วจะแตกต่างจากศูนย์) อัลกอริธึมการแก้ปัญหาไม่เปลี่ยนแปลงเลย คุณควรเขียนสมการคุณลักษณะอย่างใจเย็นและค้นหารากของมัน ถ้าเป็นสมการคุณลักษณะ จะมีรากจริงที่แตกต่างกันสองแบบ เช่น จากนั้นวิธีแก้ปัญหาทั่วไปจะถูกเขียนตามรูปแบบปกติ: .
ในบางกรณี เนื่องจากการพิมพ์ผิดในสภาพ รากที่ "ไม่ดี" อาจส่งผลให้บางอย่างเช่น - จะทำอย่างไรคำตอบจะต้องเขียนดังนี้:
ด้วย”แย่”คอนจูเกตที่มีรากที่ซับซ้อนเช่น ไม่มีปัญหาเช่นกัน วิธีแก้ไขทั่วไป:
นั่นคือ มีวิธีแก้ไขปัญหาทั่วไปอยู่แล้ว- เพราะสมการกำลังสองใดๆ มีสองราก
ในย่อหน้าสุดท้าย ตามที่ข้าพเจ้าสัญญาไว้ เราจะพิจารณาโดยสังเขป:
สมการเอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่สูงกว่า
ทุกอย่างคล้ายกันมาก
สมการเอกพันธ์เชิงเส้นอันดับสามมีรูปแบบดังนี้:
โดยที่ค่าคงที่
สำหรับสมการนี้ คุณต้องสร้างสมการคุณลักษณะและหารากของมันด้วย สมการคุณลักษณะตามที่หลายคนคาดเดามีลักษณะดังนี้:
และมัน ถึงอย่างไรมี สามอย่างแน่นอนราก
ตัวอย่างเช่น รากทั้งหมดเป็นจริงและแตกต่าง: จากนั้นวิธีแก้ปัญหาทั่วไปจะถูกเขียนดังนี้:
ถ้ารากหนึ่งมีจริง และอีกสองรากมีความซับซ้อน เราจะเขียนวิธีแก้ปัญหาทั่วไปดังนี้:
กรณีพิเศษเมื่อทั้งสามรากเป็นทวีคูณ (เหมือนกัน) ลองพิจารณา DE ที่เป็นเนื้อเดียวกันที่ง่ายที่สุดของลำดับที่ 3 กับพ่อที่โดดเดี่ยว: . สมการลักษณะเฉพาะมีรากที่เป็นศูนย์ตรงกันสามตัว เราเขียนวิธีแก้ปัญหาทั่วไปดังนี้:
ถ้าเป็นสมการคุณลักษณะ มีหลายราก ดังนั้นคำตอบทั่วไปจะเป็นดังนี้:
ตัวอย่างที่ 9
แก้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสามเอกพันธ์
สารละลาย:มาเขียนและแก้สมการคุณลักษณะกัน:
, – ได้รับรากจริงหนึ่งรากและรากที่ซับซ้อนคอนจูเกตสองอัน
คำตอบ:วิธีแก้ปัญหาทั่วไป
ในทำนองเดียวกัน เราสามารถพิจารณาสมการเอกพันธ์เชิงเส้นลำดับที่สี่ที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่: โดยที่ ค่าคงที่