วิธีการคำนวณจุดตัดของเส้นสองเส้น หาจุดตัดกันของเส้น
- ในการค้นหาพิกัดของจุดตัดกันของกราฟของฟังก์ชัน คุณจะต้องเทียบฟังก์ชันทั้งสองเข้าด้วยกัน ย้ายพจน์ที่มี $ x $ ทั้งหมดไปทางซ้าย และส่วนที่เหลือไปทางด้านขวา แล้วหารากของ สมการผลลัพธ์
- วิธีที่สองคือการสร้างระบบสมการและแก้มันโดยการแทนที่ฟังก์ชันหนึ่งไปเป็นอีกฟังก์ชันหนึ่ง
- วิธีที่สามเกี่ยวข้องกับการสร้างฟังก์ชันแบบกราฟิกและกำหนดจุดตัดด้วยสายตา
กรณีของฟังก์ชันเชิงเส้นสองตัว
พิจารณาฟังก์ชันเชิงเส้นสองฟังก์ชัน $ f(x) = k_1 x+m_1 $ และ $ g(x) = k_2 x + m_2 $ ฟังก์ชันเหล่านี้เรียกว่าโดยตรง มันค่อนข้างง่ายที่จะสร้างมัน คุณต้องใช้สองค่า $ x_1 $ และ $ x_2 $ และค้นหา $ f(x_1) $ และ $ (x_2) $ จากนั้นทำซ้ำเช่นเดียวกันกับฟังก์ชัน $ g(x) $ จากนั้น ให้ค้นหาพิกัดของจุดตัดของกราฟฟังก์ชันด้วยสายตา
คุณควรรู้ว่าฟังก์ชันเชิงเส้นมีจุดตัดเพียงจุดเดียวและเมื่อ $ k_1 \neq k_2 $ เท่านั้น มิฉะนั้น ในกรณีของ $ k_1=k_2 $ ฟังก์ชันจะขนานกัน เนื่องจาก $ k $ คือสัมประสิทธิ์ความชัน ถ้า $ k_1 \neq k_2 $ แต่ $ m_1=m_2 $ จุดตัดจะเป็น $ M(0;m) $ ขอแนะนำให้จำกฎนี้ไว้เพื่อแก้ไขปัญหาอย่างรวดเร็ว
ตัวอย่างที่ 1 |
ให้ $ f(x) = 2x-5 $ และ $ g(x)=x+3 $ มอบให้ ค้นหาพิกัดของจุดตัดของกราฟฟังก์ชัน |
สารละลาย |
วิธีการทำเช่นนี้? เนื่องจากมีการนำเสนอฟังก์ชันเชิงเส้นสองฟังก์ชัน สิ่งแรกที่เราดูคือสัมประสิทธิ์ความชันของทั้งสองฟังก์ชัน $ k_1 = 2 $ และ $ k_2 = 1 $ เราสังเกตว่า $ k_1 \neq k_2 $ จึงมีจุดตัดหนึ่งจุด ลองหามันโดยใช้สมการ $ f(x)=g(x) $: $$ 2x-5 = x+3 $$ เราย้ายเงื่อนไขที่มี $ x $ ไปทางซ้ายและที่เหลือไปทางขวา: $$ 2x - x = 3+5 $$ เราได้ $ x=8 $ ค่า abscissa ของจุดตัดของกราฟ และตอนนี้เรามาหาพิกัดกัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ แทน $ x = 8 $ ลงในสมการใดๆ ก็ได้ ไม่ว่าจะเป็น $ f(x) $ หรือ $ g(x) $: $$ ฉ(8) = 2\cdot 8 - 5 = 16 - 5 = 11 $$ ดังนั้น $ M (8;11) $ คือจุดตัดของกราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นสองฟังก์ชัน หากคุณไม่สามารถแก้ปัญหาของคุณได้ โปรดส่งมาให้เรา เราจะจัดให้ วิธีแก้ปัญหาโดยละเอียด- คุณจะสามารถดูความคืบหน้าของการคำนวณและรับข้อมูลได้ วิธีนี้จะช่วยให้คุณได้เกรดจากอาจารย์ได้ทันเวลา! |
คำตอบ |
$$ ล้าน (8;11) $$ |
กรณีของฟังก์ชันไม่เชิงเส้นสองตัว
ตัวอย่างที่ 3 |
ค้นหาพิกัดของจุดตัดของกราฟฟังก์ชัน: $ f(x)=x^2-2x+1 $ และ $ g(x)=x^2+1 $ |
สารละลาย |
แล้วฟังก์ชันไม่เชิงเส้นสองตัวล่ะ? อัลกอริทึมนั้นง่าย: เราเทียบสมการซึ่งกันและกันและค้นหาราก: $$ x^2-2x+1=x^2+1 $$ เราแจกแจงคำศัพท์ที่มีและไม่มี $ x $ ในด้านต่างๆ ของสมการ: $$ x^2-2x-x^2=1-1 $$ พบจุดหลุดของจุดที่ต้องการแล้ว แต่ยังไม่เพียงพอ ลำดับ $y$ ยังคงหายไป เราแทน $ x = 0 $ ลงในสมการใดๆ ในสองสมการของเงื่อนไขปัญหา ตัวอย่างเช่น: $$ ฉ(0)=0^2-2\cดอท 0 + 1 = 1 $$ $ M (0;1) $ - จุดตัดของกราฟฟังก์ชัน |
คำตอบ |
$$ ล้าน (0;1) $$ |
ในการแก้ปัญหาทางเรขาคณิตโดยใช้วิธีพิกัด จำเป็นต้องมีจุดตัดกัน ซึ่งพิกัดนั้นจะถูกใช้ในการแก้ปัญหา สถานการณ์เกิดขึ้นเมื่อคุณจำเป็นต้องค้นหาพิกัดของจุดตัดของเส้นสองเส้นบนระนาบหรือกำหนดพิกัดของเส้นเดียวกันในอวกาศ บทความนี้พิจารณากรณีต่างๆ ในการค้นหาพิกัดของจุดที่เส้นที่กำหนดตัดกัน
ยานเดกซ์RTB R-A-339285-1
จำเป็นต้องกำหนดจุดตัดกันของเส้นสองเส้น
บท ตำแหน่งสัมพัทธ์เส้นตรงบนเครื่องบินแสดงให้เห็นว่าสามารถตรงกัน ขนานกัน ตัดกันที่จุดร่วมจุดเดียว หรือตัดกันได้ เส้นตรงสองเส้นในอวกาศเรียกว่าตัดกันหากมีจุดร่วมจุดเดียว
คำจำกัดความของจุดตัดกันของเส้นมีลักษณะดังนี้:
คำจำกัดความ 1
จุดที่เส้นสองเส้นตัดกันเรียกว่าจุดตัดกัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง จุดตัดกันคือจุดตัดกัน
ลองดูรูปด้านล่าง
ก่อนที่จะหาพิกัดของจุดตัดกันของเส้นสองเส้นจำเป็นต้องพิจารณาตัวอย่างด้านล่าง
หากเครื่องบินมีระบบพิกัด O x y เส้นตรง a และ b สองเส้นจะถูกระบุ เส้น a สอดคล้องกับสมการทั่วไปในรูปแบบ A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 สำหรับเส้น b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 ดังนั้น M 0 (x 0 , y 0) คือจุดหนึ่งของระนาบ จำเป็นต้องพิจารณาว่าจุด M 0 จะเป็นจุดตัดกันของเส้นเหล่านี้หรือไม่
ในการแก้ปัญหาจำเป็นต้องปฏิบัติตามคำจำกัดความ จากนั้น เส้นจะต้องตัดกันที่จุดซึ่งมีพิกัดเป็นคำตอบของสมการที่กำหนด A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 และ A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 ซึ่งหมายความว่าพิกัดของจุดตัดจะถูกแทนที่ด้วยทั้งหมด สมการที่กำหนด- เมื่อมีการทดแทน หากพวกมันให้เอกลักษณ์ที่ถูกต้อง M 0 (x 0 , y 0) จะถือเป็นจุดตัดกัน
ตัวอย่างที่ 1
เมื่อกำหนดให้เส้นตัดกันสองเส้น 5 x - 2 y - 16 = 0 และ 2 x - 5 y - 19 = 0 จุด M 0 ที่มีพิกัด (2, - 3) จะเป็นจุดตัดหรือไม่
สารละลาย
เพื่อให้จุดตัดของเส้นถูกต้อง พิกัดของจุด M 0 จะต้องเป็นไปตามสมการของเส้นนั้น ซึ่งสามารถตรวจสอบได้โดยการแทนที่พวกมัน เราเข้าใจแล้ว
5 2 - 2 (- 3) - 16 = 0 ⇔ 0 = 0 2 2 - 5 (- 3) - 19 = 0 ⇔ 0 = 0
ความเท่าเทียมกันทั้งสองเป็นจริง ซึ่งหมายความว่า M 0 (2, - 3) คือจุดตัดของเส้นที่กำหนด
มาพรรณนากันเถอะ การตัดสินใจครั้งนี้บนเส้นพิกัดตามรูปด้านล่าง
คำตอบ:จุดที่กำหนดที่มีพิกัด (2, - 3) จะเป็นจุดตัดของเส้นที่กำหนด
ตัวอย่างที่ 2
เส้นตรง 5 x + 3 y - 1 = 0 และ 7 x - 2 y + 11 = 0 จะตัดกันที่จุด M 0 (2, - 3) หรือไม่
สารละลาย
ในการแก้ปัญหา คุณต้องแทนที่พิกัดของจุดลงในสมการทั้งหมด เราเข้าใจแล้ว
5 2 + 3 (- 3) - 1 = 0 ⇔ 0 = 0 7 2 - 2 (- 3) + 11 = 0 ⇔ 31 = 0
ความเท่าเทียมกันที่สองไม่เป็นความจริง หมายความว่าจุดที่กำหนดไม่อยู่ในเส้นตรง 7 x - 2 y + 11 = 0 จากนี้ เรามีจุด M 0 ไม่ใช่จุดตัดกันของเส้นตรง
ภาพวาดแสดงให้เห็นชัดเจนว่า M 0 ไม่ใช่จุดตัดกันของเส้น มีจุดร่วมที่มีพิกัด (- 1, 2)
คำตอบ:จุดที่มีพิกัด (2, - 3) ไม่ใช่จุดตัดของเส้นที่กำหนด
เราดำเนินการค้นหาพิกัดของจุดตัดของเส้นสองเส้นโดยใช้สมการที่กำหนดบนเครื่องบิน
เส้นตัดกันสองเส้น a และ b ถูกระบุโดยสมการของรูปแบบ A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 และ A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 ซึ่งอยู่ที่ O x y เมื่อกำหนดจุดตัด M 0 เราพบว่าเราควรค้นหาพิกัดต่อไปโดยใช้สมการ A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 และ A 2 x + B 2 y + C 2 = 0
จากคำจำกัดความจะเห็นได้ชัดว่า M 0 เป็นจุดร่วมของจุดตัดของเส้น ในกรณีนี้ พิกัดจะต้องเป็นไปตามสมการ A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 และ A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 กล่าวอีกนัยหนึ่ง นี่คือคำตอบของระบบผลลัพธ์ A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0
ซึ่งหมายความว่าในการหาพิกัดของจุดตัดกัน จำเป็นต้องบวกสมการทั้งหมดเข้ากับระบบแล้วแก้โจทย์
ตัวอย่างที่ 3
ให้เส้นตรงสองเส้น x - 9 y + 14 = 0 และ 5 x - 2 y - 16 = 0 บนระนาบ จำเป็นต้องหาทางแยก
สารละลาย
ต้องรวบรวมข้อมูลเกี่ยวกับเงื่อนไขของสมการเข้าสู่ระบบ หลังจากนั้นเราจะได้ x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0 ในการแก้สมการนี้ สมการแรกได้รับการแก้ไขสำหรับ x และนิพจน์จะถูกแทนที่ด้วยสมการที่สอง:
x - 9 ปี + 14 = 0 5 x - 2 ปี - 16 = 0 ⇔ x = 9 ปี - 14 5 x - 2 ปี - 16 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 ปี - 14 5 9 ปี - 14 - 2 ปี - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 43 y - 86 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 y = 2 ⇔ x = 9 2 - 14 y = 2 ⇔ x = 4 y = 2
ตัวเลขผลลัพธ์คือพิกัดที่ต้องค้นหา
คำตอบ: M 0 (4, 2) คือจุดตัดของเส้นตรง x - 9 y + 14 = 0 และ 5 x - 2 y - 16 = 0
การค้นหาพิกัดมาจากการแก้ระบบสมการเชิงเส้น หากให้สมการประเภทอื่นตามเงื่อนไขตามเงื่อนไข ก็ควรลดให้เป็นรูปแบบปกติ
ตัวอย่างที่ 4
กำหนดพิกัดของจุดตัดของเส้น x - 5 = y - 4 - 3 และ x = 4 + 9 · แลม y = 2 + แลม, แลมบ์ดา ∈ R.
สารละลาย
ก่อนอื่นคุณต้องนำสมการมา ลักษณะทั่วไป- จากนั้นเราจะได้ว่า x = 4 + 9 แลมบ์ y = 2 + แลม , แลมบ์ ∈ R ถูกแปลงเป็นดังนี้:
x = 4 + 9 · แลมซี = 2 + แลมบ์ ⇔ แลม = x - 4 9 แลมบ์ = y - 2 1 ⇔ x - 4 9 = y - 2 1 ⇔ ⇔ 1 · (x - 4) = 9 · (y - 2) ⇔ x - 9 ปี + 14 = 0
จากนั้นเราก็นำสมการของรูปแบบบัญญัติ x - 5 = y - 4 - 3 แล้วแปลงมัน เราเข้าใจแล้ว
x - 5 = y - 4 - 3 ⇔ - 3 x = - 5 ปี - 4 ⇔ 3 x - 5 ปี + 20 = 0
จากตรงนี้เราจะได้ว่าพิกัดคือจุดตัดกัน
x - 9 ปี + 14 = 0 3 x - 5 ปี + 20 = 0 ⇔ x - 9 ปี = - 14 3 x - 5 ปี = - 20
ลองใช้วิธีของ Cramer เพื่อค้นหาพิกัด:
∆ = 1 - 9 3 - 5 = 1 · (- 5) - (- 9) · 3 = 22 ∆ x = - 14 - 9 - 20 - 5 = - 14 · (- 5) - (- 9) · ( - 20) = - 110 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 110 22 = - 5 ∆ y = 1 - 14 3 - 20 = 1 · (- 20) - (- 14) · 3 = 22 ⇒ y = ∆ y ∆ = 22 22 = 1
คำตอบ:ม 0 (- 5 , 1) .
นอกจากนี้ยังมีวิธีค้นหาพิกัดของจุดตัดของเส้นที่อยู่บนเครื่องบินอีกด้วย ใช้ได้เมื่อเส้นใดเส้นหนึ่งถูกกำหนดโดยสมการพาราเมตริกในรูปแบบ x = x 1 + a x · แลม y = y 1 + a y · λ , λ ∈ R จากนั้นแทนที่จะเป็นค่า x เราแทนที่ x = x 1 + a x · แลมบ์ และ y = y 1 + a y · แลม โดยที่เราได้รับ แลมบ์ดา = แลมบ์ 0 ซึ่งสอดคล้องกับจุดตัดที่มีพิกัด x 1 + a x · แลม 0 , y 1 + a y · แล 0 .
ตัวอย่างที่ 5
กำหนดพิกัดของจุดตัดของเส้น x = 4 + 9 · แลมซี = 2 + แลมบ์ดา, แลมบ์ ∈ R และ x - 5 = y - 4 - 3
สารละลาย
จำเป็นต้องทำการทดแทนใน x - 5 = y - 4 - 3 ด้วยนิพจน์ x = 4 + 9 · แลม, y = 2 + แลมบ์ดา จากนั้นเราจะได้รับ:
4 + 9 แล - 5 = 2 + แล - 4 - 3
เมื่อแก้โจทย์เราจะพบว่า แล = - 1 ตามมาว่ามีจุดตัดระหว่างเส้น x = 4 + 9 · แลม y = 2 + แลม, แล ∈ R และ x - 5 = y - 4 - 3 ในการคำนวณพิกัด คุณต้องแทนที่นิพจน์ λ = - 1 ลงในสมการพาราเมตริก จากนั้นเราจะได้ x = 4 + 9 · (- 1) y = 2 + (- 1) ⇔ x = - 5 y = 1
คำตอบ:ม 0 (- 5 , 1) .
เพื่อให้เข้าใจหัวข้อนี้อย่างถ่องแท้คุณต้องทราบความแตกต่างบางประการ
ก่อนอื่นคุณต้องเข้าใจตำแหน่งของเส้นก่อน เมื่อตัดกันเราจะพบพิกัด ในกรณีอื่น ๆ จะไม่มีทางแก้ไข เพื่อหลีกเลี่ยงการตรวจสอบนี้ คุณสามารถสร้างระบบในรูปแบบ A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 + C 2 = 0 หากมีวิธีแก้ปัญหา เราจะสรุปได้ว่าเส้นตัดกัน หากไม่มีวิธีแก้ก็ขนานกัน เมื่อระบบมีวิธีแก้ปัญหาจำนวนไม่สิ้นสุด ก็ถือว่าเกิดขึ้นพร้อมกัน
ตัวอย่างที่ 6
เส้นตรงที่กำหนด x 3 + y - 4 = 1 และ y = 4 3 x - 4 พิจารณาว่าพวกเขามีจุดร่วมกันหรือไม่.
สารละลาย
ลดความซับซ้อนของสมการที่กำหนด เราได้ 1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 และ 4 3 x - y - 4 = 0
ควรรวบรวมสมการเข้าสู่ระบบเพื่อการแก้ปัญหาในภายหลัง:
1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 1 3 x - y - 4 = 0 ⇔ 1 3 x - 1 4 y = 1 4 3 x - y = 4
จากนี้เราจะเห็นว่าสมการแสดงออกมาซึ่งกันและกัน จากนั้นเราจะได้คำตอบจำนวนอนันต์ จากนั้นสมการ x 3 + y - 4 = 1 และ y = 4 3 x - 4 จะนิยามเส้นเดียวกัน ดังนั้นจึงไม่มีจุดตัดกัน
คำตอบ:สมการที่กำหนดให้นิยามเส้นตรงเดียวกัน
ตัวอย่างที่ 7
ค้นหาพิกัดของจุดตัดเส้นตรง 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 และ 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0
สารละลาย
ตามเงื่อนไขนี้เป็นไปได้ เส้นจะไม่ตัดกัน จำเป็นต้องสร้างระบบสมการและแก้โจทย์ ในการแก้ปัญหาจำเป็นต้องใช้วิธี Gaussian เนื่องจากสามารถตรวจสอบสมการความเข้ากันได้ได้ เราได้รับระบบรูปแบบ:
2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 2 (3 + 2) x - 7 y - 1 = 0 ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 ปี = 1 ⇔ ⇔ 2 x + 2 - 3 y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 ปี + (2 x + (2 - 3) y) · (- (3 + 2)) = 1 + - 7 · (- (3 + 2)) ⇔ ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 0 = 22 - 7 2
เราได้รับความเท่าเทียมกันที่ไม่ถูกต้อง ซึ่งหมายความว่าระบบไม่มีวิธีแก้ไข เราสรุปได้ว่าเส้นขนานกัน ไม่มีจุดตัดกัน
วิธีแก้ปัญหาที่สอง
ก่อนอื่นคุณต้องพิจารณาว่ามีจุดตัดของเส้นอยู่หรือไม่
n 1 → = (2, 2 - 3) คือเวกเตอร์ปกติของเส้นตรง 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 แล้วเวกเตอร์ n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7 คือ เวกเตอร์ปกติของเส้นตรง 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0
จำเป็นต้องตรวจสอบความเป็นเส้นตรงของเวกเตอร์ n 1 → = (2, 2 - 3) และ n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7) เราได้รับความเท่าเทียมกันของรูปแบบ 2 2 (3 + 2) = 2 - 3 - 7 ถูกต้องเพราะ 2 2 3 + 2 - 2 - 3 - 7 = 7 + 2 - 3 (3 + 2) 7 (3 + 2) = 7 - 7 7 (3 + 2) = 0 ตามมาว่าเวกเตอร์อยู่ในแนวเดียวกัน ซึ่งหมายความว่าเส้นขนานกันและไม่มีจุดตัดกัน
คำตอบ:ไม่มีจุดตัดกัน เส้นขนานกัน
ตัวอย่างที่ 8
ค้นหาพิกัดของจุดตัดของเส้นที่กำหนด 2 x - 1 = 0 และ y = 5 4 x - 2
สารละลาย
ในการแก้โจทย์ เราเขียนระบบสมการขึ้นมา เราได้รับ
2 x - 1 = 0 5 4 x - y - 2 = 0 ⇔ 2 x = 1 5 4 x - y = 2
ลองหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์หลักกัน สำหรับสิ่งนี้ 2 0 5 4 - 1 = 2 · (- 1) - 0 · 5 4 = - 2 เนื่องจากมันไม่เท่ากับศูนย์ ระบบจึงมี 1 คำตอบ ตามมาว่าเส้นตัดกัน มาแก้ระบบการหาพิกัดของจุดตัดกัน:
2 x = 1 5 4 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 4 5 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 5 4 1 2 - y = 2 ⇔ x = 1 2 y = - 11 8
เราพบว่าจุดตัดของเส้นที่กำหนดมีพิกัด M 0 (1 2, - 11 8)
คำตอบ:ม 0 (1 2 , - 11 8) .
การหาพิกัดของจุดตัดกันของเส้นตรงสองเส้นในอวกาศ
ในทำนองเดียวกันจะพบจุดตัดของเส้นตรงในอวกาศ
เมื่อให้เส้นตรง a และ b เข้ามา ประสานงานเครื่องบิน O x y z สมการของระนาบที่ตัดกัน จากนั้นจะมีเส้นตรง a ซึ่งสามารถกำหนดได้โดยใช้ระบบที่กำหนด A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 1 = 0 และเส้นตรง b - A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0
เมื่อจุด M 0 เป็นจุดตัดกันของเส้น พิกัดของมันจะต้องเป็นคำตอบของสมการทั้งสอง เราได้รับ สมการเชิงเส้นในระบบ:
A 1 x + B 1 ปี + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 ปี + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 ปี + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 ปี + C 4 z + D 4 = 0
ลองดูงานที่คล้ายกันโดยใช้ตัวอย่าง
ตัวอย่างที่ 9
ค้นหาพิกัดของจุดตัดของเส้นที่กำหนด x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 และ 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0
สารละลาย
เราเขียนระบบ x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 แล้วแก้มัน หากต้องการหาพิกัด คุณต้องแก้โจทย์ผ่านเมทริกซ์ จากนั้นเราจะได้เมทริกซ์หลักของรูปแบบ A = 1 0 0 0 1 2 3 2 0 4 0 - 2 และเมทริกซ์ขยาย T = 1 0 0 1 0 1 2 - 3 4 0 - 2 4 . เรากำหนดอันดับเกาส์เซียนของเมทริกซ์
เราเข้าใจแล้ว
1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , 1 0 0 1 0 1 2 - 3 3 2 0 - 3 4 0 - 2 4 = 0
ตามมาว่าอันดับของเมทริกซ์ขยายมีค่าเป็น 3 จากนั้นระบบสมการ x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 27 - 4 = 0 ให้ผลลัพธ์เพียงคำตอบเดียวเท่านั้น
ฐานรองมีดีเทอร์มิแนนต์ 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 ดังนั้นสมการสุดท้ายจึงใช้ไม่ได้ เราจะได้ว่า x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y - 3. ผลเฉลยของระบบ x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 1 + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 ปี = - 3 ⇔ ⇔ x = 1 - 3 + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ x = 1 z = 0 y = - 3 .
ซึ่งหมายความว่าจุดตัด x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 และ 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 มีพิกัด (1, - 3, 0)
คำตอบ: (1 , - 3 , 0) .
ระบบรูปแบบ A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 มีคำตอบเดียวเท่านั้น ซึ่งหมายความว่าเส้น a และ b ตัดกัน
ในกรณีอื่นๆ สมการก็ไม่มีทางแก้ได้ กล่าวคือ ไม่มีจุดร่วมเช่นกัน นั่นคือไม่สามารถหาจุดที่มีพิกัดได้เนื่องจากไม่มีอยู่จริง
ดังนั้น ระบบที่มีรูปแบบ A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 แก้ได้โดยวิธีเกาส์เซียน หากเข้ากันไม่ได้ เส้นจะไม่ตัดกัน หากมีวิธีแก้ปัญหาจำนวนอนันต์ มันก็เกิดขึ้นพร้อมกัน
คุณสามารถแก้ไขได้โดยการคำนวณอันดับพื้นฐานและอันดับขยายของเมทริกซ์ จากนั้นใช้ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์-คาเปลลี เราได้รับวิธีแก้ปัญหาเพียงข้อเดียว มากมายหรือไม่มีเลย
ตัวอย่างที่ 10
จะได้สมการของเส้น x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 และ x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0 หาจุดตัด.
สารละลาย
ก่อนอื่น มาสร้างระบบสมการกันก่อน เราจะได้ว่า x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0 เราแก้มันโดยใช้วิธีเกาส์เซียน:
1 2 - 3 4 2 - 1 0 - 5 1 0 - 3 0 3 - 2 2 1 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 - 2 0 - 4 0 - 8 11 - 11 ~ ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 7 5 - 159 5 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 0 311 10
แน่นอนว่าระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหา ซึ่งหมายความว่าเส้นไม่ตัดกัน ไม่มีจุดตัดกัน
คำตอบ:ไม่มีจุดตัดกัน
หากกำหนดเส้นตรงโดยใช้สมการรูปกรวยหรือพาราเมตริก คุณจะต้องลดเส้นให้อยู่ในรูปสมการของระนาบที่ตัดกัน จากนั้นจึงหาพิกัด
ตัวอย่างที่ 11
ให้สองบรรทัด x = - 3 - แลม y = - 3 แลมซ = - 2 + 3 แลมบ์, แลมบ์ ∈ R และ x 2 = y - 3 0 = z 5 ใน O x y z หาจุดตัด.
สารละลาย
เรากำหนดเส้นตรงด้วยสมการของระนาบที่ตัดกันสองอัน เราเข้าใจแล้ว
x = - 3 - แลมบ์ y = - 3 แลมบ์ z = - 2 + 3 แลมบ์ ⇔ แลม = x + 3 - 1 แลมบ์ = y - 3 แลมบ์ = z + 2 3 ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 = z + 2 3 ⇔ ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 x + 3 - 1 = z + 2 3 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 x 2 = y - 3 0 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 x 2 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0
เราค้นหาพิกัด 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 สำหรับสิ่งนี้เราคำนวณอันดับของเมทริกซ์ อันดับของเมทริกซ์คือ 3 และฐานรองคือ 3 - 1 0 3 0 1 0 1 0 = - 3 ≠ 0 ซึ่งหมายความว่าต้องแยกสมการสุดท้ายออกจากระบบ เราเข้าใจแล้ว
3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0
เรามาแก้ระบบโดยใช้วิธีของแครเมอร์กันดีกว่า เราได้แล้วว่า x = - 2 y = 3 z = - 5 จากจุดนี้เราจะได้ว่าจุดตัดของเส้นที่กำหนดให้จุดที่มีพิกัด (- 2, 3, - 5)
คำตอบ: (- 2 , 3 , - 5) .
หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter
บทเรียนจากชุด “อัลกอริทึมทางเรขาคณิต”
สวัสดีผู้อ่านที่รัก!
มาทำความรู้จักกันต่อครับ อัลกอริธึมทางเรขาคณิต- ในบทเรียนที่แล้ว เราพบสมการของเส้นตรงโดยใช้พิกัดของจุดสองจุด เราได้สมการของรูปแบบ:
วันนี้เราจะเขียนฟังก์ชันที่จะหาพิกัดของจุดตัดกันโดยใช้สมการของเส้นตรงสองเส้น (ถ้ามี) ในการตรวจสอบความเท่าเทียมกันของจำนวนจริง เราจะใช้ฟังก์ชันพิเศษ RealEq()
จุดบนระนาบอธิบายด้วยจำนวนจริงคู่หนึ่ง เมื่อใช้ประเภทจริง ควรใช้การดำเนินการเปรียบเทียบโดยใช้ฟังก์ชันพิเศษจะดีกว่า
เหตุผลที่ทราบ: ในประเภท Real ในระบบการเขียนโปรแกรม Pascal ไม่มีความสัมพันธ์ในการสั่งซื้อดังนั้นจึงเป็นการดีกว่าที่จะไม่ใช้บันทึกในรูปแบบ a = b โดยที่ a และ b เป็นตัวเลขจริง
วันนี้เราจะมาแนะนำฟังก์ชัน RealEq() เพื่อใช้การดำเนินการ “=” (เท่ากันอย่างเคร่งครัด):
ฟังก์ชัน RealEq(Const a, b:Real):บูลีน; (เท่ากันอย่างเคร่งครัด) เริ่มต้น RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq}
งาน. จะได้สมการของเส้นตรงสองเส้นคือ และ ค้นหาจุดตัดของพวกเขา
สารละลาย. วิธีแก้ปัญหาที่ชัดเจนคือการแก้ระบบสมการเส้นตรง: มาเขียนระบบนี้ใหม่ให้แตกต่างออกไปเล็กน้อย:
(1)
ให้เราแนะนำสัญกรณ์ต่อไปนี้: , , - โดยที่ D คือดีเทอร์มิแนนต์ของระบบ และคือดีเทอร์มิแนนต์ที่เป็นผลจากการแทนที่คอลัมน์ของสัมประสิทธิ์สำหรับค่าที่ไม่รู้จักที่สอดคล้องกันด้วยคอลัมน์ของเทอมอิสระ ถ้า แล้วระบบ (1) แน่นอน นั่นคือ มันมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ วิธีแก้ปัญหานี้สามารถพบได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้ ซึ่งเรียกว่า สูตรแครมเมอร์- ฉันขอเตือนคุณถึงวิธีคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ลำดับที่สอง ดีเทอร์มิแนนต์จะแยกเส้นทแยงมุมสองเส้น: เส้นหลักและเส้นรอง เส้นทแยงมุมหลักประกอบด้วยองค์ประกอบที่หันไปในทิศทางจากมุมซ้ายบนของดีเทอร์มิแนนต์ไปยังมุมขวาล่าง เส้นทแยงมุมด้านข้าง - จากขวาบนไปซ้ายล่าง ตัวกำหนดลำดับที่สองจะเท่ากับผลคูณขององค์ประกอบของเส้นทแยงมุมหลัก ลบด้วยผลคูณขององค์ประกอบของเส้นทแยงมุมรอง
รหัสใช้ฟังก์ชัน RealEq() เพื่อตรวจสอบความเท่าเทียมกัน การคำนวณจำนวนจริงจะดำเนินการด้วยความแม่นยำ _Eps=1e-7
โปรแกรม geom2; Const _Eps: Real=1e-7;(ความแม่นยำในการคำนวณ) var a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y,d,dx,dy:Real;<=_Eps End; {RealEq} Function LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2: real; var x,y:real):Boolean; {Определение координат точки пересечения двух линий. Значение функции равно true, если точка пересечения есть, и false, если прямые параллельны. } var d:real; begin d:=a1*b2-b1*a2; if Not(RealEq(d,0)) then begin LineToPoint:=True; dx:=-c1*b2+b1*c2; dy:=-a1*c2+c1*a2; x:=dx/d; y:=dy/d; end else LineToPoint:=False End;{LineToPoint} begin {main} writeln("Введите коэффициенты уравнений: a1,b1,c1,a2,b2,c2 "); readln(a1,b1,c1,a2,b2,c2); if LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y) then writeln(x:5:1,y:5:1) else writeln("Прямые параллельны."); end.
ฟังก์ชัน RealEq(Const a, b:Real):บูลีน; (เท่ากันอย่างเคร่งครัด) เริ่มต้น RealEq:=Abs(a-b)
เมื่อแก้ไขปัญหาทางเรขาคณิตโดยใช้วิธีพิกัด คุณจะต้องค้นหาพิกัดของจุดตัดกันของเส้น บ่อยครั้งที่คุณต้องมองหาพิกัดของจุดตัดกันของเส้นสองเส้นบนเครื่องบิน แต่บางครั้งก็จำเป็นต้องกำหนดพิกัดของจุดตัดกันของเส้นสองเส้นในอวกาศ ในบทความนี้ เราจะพูดถึงการค้นหาพิกัดของจุดที่เส้นสองเส้นตัดกัน
การนำทางหน้า
จุดตัดของเส้นสองเส้นคือคำจำกัดความ
ก่อนอื่นเรามากำหนดจุดตัดกันของเส้นตรงสองเส้นกันก่อน
ดังนั้น เพื่อที่จะหาพิกัดของจุดตัดกันของเส้นตรงสองเส้นที่กำหนดบนระนาบตามสมการทั่วไป คุณจะต้องแก้ระบบที่ประกอบด้วยสมการของเส้นตรงที่กำหนด
ลองดูวิธีแก้ปัญหาตัวอย่าง
ตัวอย่าง.
ค้นหาจุดตัดของเส้นตรงสองเส้นที่กำหนดในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมบนระนาบด้วยสมการ x-9y+14=0 และ 5x-2y-16=0
สารละลาย.
เราได้สมการเส้นทั่วไปมาสองสมการ มาสร้างระบบกัน: - คำตอบของระบบสมการผลลัพธ์นั้นหาได้ง่ายโดยการแก้สมการแรกด้วยความเคารพกับตัวแปร x และแทนที่นิพจน์นี้เป็นสมการที่สอง:
วิธีแก้ระบบสมการที่พบทำให้เราได้พิกัดที่ต้องการของจุดตัดกันของเส้นตรงสองเส้น
คำตอบ:
ม 0 (4, 2) x-9y+14=0 และ 5x-2y-16=0 .
ดังนั้น การหาพิกัดของจุดตัดของเส้นตรงสองเส้นที่กำหนดโดยสมการทั่วไปบนระนาบ จึงต้องอาศัยการแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวที่มีตัวแปรที่ไม่รู้จักสองตัว แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเส้นบนระนาบไม่ได้ถูกกำหนดโดยสมการทั่วไป แต่โดยสมการประเภทอื่น (ดูประเภทของสมการของเส้นบนระนาบ)? ในกรณีเหล่านี้ คุณสามารถลดสมการของเส้นให้อยู่ในรูปแบบทั่วไปก่อน แล้วจึงค้นหาพิกัดของจุดตัดเท่านั้น
ตัวอย่าง.
และ .
สารละลาย.
ก่อนที่จะค้นหาพิกัดของจุดตัดของเส้นที่กำหนด เราจะลดสมการให้อยู่ในรูปแบบทั่วไป การเปลี่ยนจากสมการเส้นตรงพาราเมตริก ถึงสมการทั่วไปของเส้นนี้จะเป็นดังนี้:
ทีนี้มาดำเนินการที่จำเป็นกับสมการทางบัญญัติของเส้นตรง:
ดังนั้นพิกัดที่ต้องการของจุดตัดของเส้นจึงเป็นคำตอบของระบบสมการของรูปแบบ - เพื่อแก้ปัญหาเราใช้:
คำตอบ:
ม 0 (-5, 1)
มีอีกวิธีหนึ่งในการค้นหาพิกัดของจุดตัดของเส้นสองเส้นบนเครื่องบิน สะดวกในการใช้เมื่อเส้นใดเส้นหนึ่งถูกกำหนดโดยสมการพาราเมตริกของแบบฟอร์ม และอีกอันเป็นสมการของเส้นตรงประเภทอื่น ในกรณีนี้ ในสมการอื่น คุณสามารถแทนที่นิพจน์แทนตัวแปร x และ y ได้ และ จากตำแหน่งที่จะสามารถรับค่าที่สอดคล้องกับจุดตัดของเส้นที่กำหนดได้ ในกรณีนี้จุดตัดของเส้นมีพิกัด
ลองหาพิกัดของจุดตัดกันของเส้นจากตัวอย่างที่แล้วโดยใช้วิธีนี้
ตัวอย่าง.
กำหนดพิกัดของจุดตัดของเส้น และ .
สารละลาย.
ลองแทนนิพจน์เส้นตรงลงในสมการ:
เมื่อแก้สมการผลลัพธ์แล้วเราจะได้ ค่านี้สอดคล้องกับจุดร่วมของเส้น และ . เราคำนวณพิกัดของจุดตัดโดยการแทนที่เส้นตรงลงในสมการพาราเมตริก:
.
คำตอบ:
ม 0 (-5, 1) .
เพื่อให้ภาพสมบูรณ์ ควรมีการอภิปรายอีกประเด็นหนึ่ง
ก่อนที่จะค้นหาพิกัดของจุดตัดกันของเส้นตรงสองเส้นบนระนาบ จะมีประโยชน์มากที่จะต้องแน่ใจว่าเส้นที่กำหนดตัดกันจริง ๆ หากปรากฎว่าเส้นเดิมตรงกันหรือขนานกันก็ไม่มีปัญหาในการค้นหาพิกัดของจุดตัดของเส้นดังกล่าว
แน่นอนคุณสามารถทำได้โดยไม่ต้องตรวจสอบและสร้างระบบสมการของแบบฟอร์มทันที และแก้ไขมัน ถ้าระบบสมการมีวิธีแก้เฉพาะเจาะจง ระบบจะให้พิกัดของจุดที่เส้นเดิมตัดกัน หากระบบสมการไม่มีคำตอบ เราสามารถสรุปได้ว่าเส้นเดิมนั้นขนานกัน (เนื่องจากไม่มีคู่ของจำนวนจริง x และ y ที่จะเป็นไปตามสมการทั้งสองของเส้นที่กำหนดพร้อมกัน) จากการมีอยู่ของคำตอบจำนวนอนันต์ต่อระบบสมการ ตามมาว่าเส้นตรงดั้งเดิมมีจุดร่วมมากมายอย่างไม่สิ้นสุด กล่าวคือ มันตรงกัน
ลองดูตัวอย่างที่เหมาะกับสถานการณ์เหล่านี้
ตัวอย่าง.
ค้นหาว่าเส้นและตัดกันหรือไม่ และหากตัดกัน ให้หาพิกัดของจุดตัดกัน
สารละลาย.
สมการเส้นที่กำหนดสอดคล้องกับสมการ และ - ลองแก้ระบบที่ประกอบด้วยสมการเหล่านี้กัน .
เห็นได้ชัดว่าสมการของระบบแสดงเป็นเส้นตรงผ่านกันและกัน (สมการที่สองของระบบได้มาจากสมการแรกโดยการคูณทั้งสองส่วนด้วย 4) ดังนั้น ระบบสมการจึงมีคำตอบจำนวนอนันต์ ดังนั้นสมการจึงกำหนดเส้นตรงเดียวกัน และเราไม่สามารถพูดถึงการหาพิกัดของจุดตัดของเส้นเหล่านี้ได้
คำตอบ:
สมการและกำหนดเส้นตรงเดียวกันในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม Oxy ดังนั้นเราจึงไม่สามารถพูดถึงการหาพิกัดของจุดตัดได้
ตัวอย่าง.
ค้นหาพิกัดของจุดตัดของเส้น และ ถ้าเป็นไปได้
สารละลาย.
เงื่อนไขของปัญหาทำให้เส้นอาจไม่ตัดกัน มาสร้างระบบจากสมการเหล่านี้กัน ให้เรานำไปใช้เพื่อแก้มัน เนื่องจากมันช่วยให้เราสร้างความเข้ากันได้หรือความไม่เข้ากันของระบบสมการ และถ้ามันเข้ากันได้ ให้ค้นหาวิธีแก้ไข:
สมการสุดท้ายของระบบหลังจากผ่านวิธีเกาส์โดยตรงกลายเป็นความเท่าเทียมกันที่ไม่ถูกต้อง ดังนั้นระบบสมการจึงไม่มีคำตอบ จากนี้เราสามารถสรุปได้ว่าเส้นเดิมนั้นขนานกัน และเราไม่สามารถพูดถึงการหาพิกัดของจุดตัดกันของเส้นเหล่านี้ได้
วิธีแก้ปัญหาที่สอง
ลองดูว่าเส้นที่กำหนดตัดกันหรือไม่
- เวกเตอร์เส้นปกติ และเวกเตอร์ เป็นเวกเตอร์เส้นปกติ - เรามาตรวจสอบการดำเนินการกัน และ : ความเท่าเทียมกัน เป็นจริง เนื่องจากเวกเตอร์ปกติของเส้นตรงที่กำหนดจึงเป็นเส้นตรง แล้วเส้นเหล่านี้จะขนานหรือบังเอิญ ดังนั้นเราจึงไม่สามารถหาพิกัดของจุดตัดของเส้นเดิมได้
คำตอบ:
เป็นไปไม่ได้ที่จะหาพิกัดของจุดตัดของเส้นที่กำหนด เนื่องจากเส้นเหล่านี้ขนานกัน
ตัวอย่าง.
ค้นหาพิกัดของจุดตัดของเส้น 2x-1=0 และ หากมันตัดกัน
สารละลาย.
ลองเขียนระบบสมการที่เป็นสมการทั่วไปของเส้นตรงที่กำหนด: - ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์หลักของระบบสมการนี้ไม่ใช่ศูนย์ ดังนั้นระบบสมการจึงมีคำตอบเฉพาะซึ่งระบุจุดตัดของเส้นที่กำหนด
ในการหาพิกัดของจุดตัดของเส้น เราต้องแก้ระบบ:
ผลลัพธ์ที่ได้จะให้พิกัดของจุดตัดของเส้นตรงแก่เรา นั่นคือ 2x-1=0 และ .
คำตอบ:
การหาพิกัดของจุดตัดกันของเส้นตรงสองเส้นในอวกาศ
พิกัดของจุดตัดกันของเส้นสองเส้นในพื้นที่สามมิติจะพบในทำนองเดียวกัน
ลองดูวิธีแก้ปัญหาของตัวอย่าง
ตัวอย่าง.
ค้นหาพิกัดของจุดตัดของเส้นสองเส้นที่กำหนดในอวกาศโดยสมการ และ .
สารละลาย.
มาเขียนระบบสมการจากสมการของเส้นที่กำหนด: - คำตอบของระบบนี้จะให้พิกัดจุดตัดของเส้นในอวกาศที่ต้องการแก่เรา มาหาคำตอบของระบบสมการที่เป็นลายลักษณ์อักษรกัน
เมทริกซ์หลักของระบบมีรูปแบบ และขยาย - .
เรามากำหนดกัน A และอันดับของเมทริกซ์ T เราใช้
ในปริภูมิสองมิติ เส้นตรงสองเส้นตัดกันที่จุดเดียวเท่านั้น ซึ่งกำหนดโดยพิกัด (x,y) เนื่องจากทั้งสองเส้นผ่านจุดตัดกัน พิกัด (x,y) จะต้องเป็นไปตามสมการทั้งสองที่อธิบายเส้นเหล่านี้ ด้วยทักษะเพิ่มเติม คุณสามารถค้นหาจุดตัดของพาราโบลาและเส้นโค้งกำลังสองอื่นๆ ได้
ขั้นตอน
จุดตัดกันของเส้นสองเส้น
- หากคุณไม่ได้ให้สมการของเส้นตามข้อมูลที่คุณรู้
- ตัวอย่าง- กำหนดเส้นตรงที่อธิบายโดยสมการและ y − 12 = − 2 x (\displaystyle y-12=-2x)- หากต้องการแยกตัว “y” ในสมการที่สอง ให้บวกเลข 12 เข้ากับทั้งสองด้านของสมการ:
-
คุณกำลังมองหาจุดตัดกันของเส้นทั้งสองเส้น นั่นคือจุดที่พิกัด (x, y) เป็นไปตามสมการทั้งสอง เนื่องจากตัวแปร “y” อยู่ทางด้านซ้ายของแต่ละสมการ จึงสามารถหานิพจน์ที่อยู่ทางด้านขวาของแต่ละสมการได้ เขียนสมการใหม่.
- ตัวอย่าง- เพราะ y = x + 3 (\displaystyle y=x+3)และ y = 12 − 2 x (\displaystyle y=12-2x)จากนั้นเราสามารถเขียนความเท่าเทียมกันได้ดังต่อไปนี้: .
-
ค้นหาค่าของตัวแปร "x"สมการใหม่มีตัวแปรเพียงตัวเดียวคือ "x" หากต้องการค้นหา "x" ให้แยกตัวแปรนั้นทางด้านซ้ายของสมการโดยคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่เหมาะสมจากทั้งสองด้านของสมการ คุณควรจะได้สมการในรูปแบบ x = __ (หากคุณทำไม่ได้ ดูหัวข้อนี้)
- ตัวอย่าง. x + 3 = 12 − 2 x (\displaystyle x+3=12-2x)
- เพิ่ม 2 x (\รูปแบบการแสดงผล 2x)ในแต่ละด้านของสมการ:
- 3 x + 3 = 12 (\displaystyle 3x+3=12)
- ลบ 3 จากแต่ละด้านของสมการ:
- 3 x = 9 (\displaystyle 3x=9)
- แบ่งแต่ละด้านของสมการด้วย 3:
- x = 3 (\displaystyle x=3).
-
ใช้ค่าที่พบของตัวแปร "x" เพื่อคำนวณค่าของตัวแปร "y"เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แทนที่ค่าที่พบของ "x" ลงในสมการ (ค่าใดก็ได้) ของเส้นตรง
- ตัวอย่าง. x = 3 (\displaystyle x=3)และ y = x + 3 (\displaystyle y=x+3)
- y = 3 + 3 (\displaystyle y=3+3)
- y = 6 (\displaystyle y=6)
-
ตรวจสอบคำตอบเมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แทนที่ค่า "x" ลงในสมการอื่นของเส้นตรงแล้วค้นหาค่าของ "y" หากคุณได้รับค่า y ที่แตกต่างกัน ให้ตรวจสอบว่าการคำนวณของคุณถูกต้อง
- ตัวอย่าง: x = 3 (\displaystyle x=3)และ y = 12 − 2 x (\displaystyle y=12-2x)
- y = 12 − 2 (3) (\displaystyle y=12-2(3))
- y = 12 − 6 (\displaystyle y=12-6)
- y = 6 (\displaystyle y=6)
- คุณมีค่า y เท่ากัน ดังนั้นจึงไม่มีข้อผิดพลาดในการคำนวณ
-
เขียนพิกัด (x,y)เมื่อคำนวณค่าของ "x" และ "y" แล้วคุณจะพบพิกัดของจุดตัดกันของสองเส้น เขียนพิกัดของจุดตัดกันในรูปแบบ (x,y)
- ตัวอย่าง. x = 3 (\displaystyle x=3)และ y = 6 (\displaystyle y=6)
- ดังนั้น เส้นตรงสองเส้นตัดกันที่จุดที่มีพิกัด (3,6)
-
การคำนวณในกรณีพิเศษในบางกรณี ไม่พบค่าของตัวแปร "x" แต่นั่นไม่ได้หมายความว่าคุณทำผิดพลาด กรณีพิเศษเกิดขึ้นเมื่อตรงตามเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้:
- หากเส้นตรงสองเส้นขนานกัน เส้นทั้งสองจะไม่ตัดกัน ในกรณีนี้ ตัวแปร "x" จะลดลง และสมการของคุณจะกลายเป็นความเท่าเทียมกันที่ไม่มีความหมาย (เช่น 0 = 1 (\displaystyle 0=1)- ในกรณีนี้ ให้เขียนคำตอบของคุณว่าเส้นไม่ตัดกันหรือไม่มีวิธีแก้ปัญหา
- หากสมการทั้งสองอธิบายเส้นตรงเส้นเดียว ก็จะมีจุดตัดกันเป็นจำนวนอนันต์ ในกรณีนี้ ตัวแปร "x" จะลดลง และสมการของคุณจะกลายเป็นความเท่าเทียมกันที่เข้มงวด (เช่น 3 = 3 (\displaystyle 3=3)- ในกรณีนี้ ให้เขียนคำตอบของคุณว่าทั้งสองบรรทัดตรงกัน
ปัญหาเกี่ยวกับฟังก์ชันกำลังสอง
-
นิยามของฟังก์ชันกำลังสองในฟังก์ชันกำลังสอง ตัวแปรตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไปจะมีระดับที่สอง (แต่ไม่สูงกว่า) ตัวอย่างเช่น x 2 (\รูปแบบการแสดงผล x^(2))หรือ y 2 (\displaystyle y^(2))- กราฟของฟังก์ชันกำลังสองคือเส้นโค้งที่อาจไม่ตัดกันหรืออาจตัดกันที่จุดหนึ่งหรือสองจุด ในส่วนนี้ เราจะบอกวิธีหาจุดตัดหรือจุดของเส้นโค้งกำลังสอง
-
เขียนแต่ละสมการใหม่โดยแยกตัวแปร “y” ทางด้านซ้ายของสมการเงื่อนไขอื่นๆ ของสมการควรวางไว้ทางด้านขวาของสมการ
- ตัวอย่าง- ค้นหาจุดตัดกันของกราฟ x 2 + 2 x − y = − 1 (\displaystyle x^(2)+2x-y=-1)และ
- แยกตัวแปร "y" ทางด้านซ้ายของสมการ:
- และ y = x + 7 (\displaystyle y=x+7) .
- ในตัวอย่างนี้ คุณจะได้รับฟังก์ชันกำลังสองหนึ่งฟังก์ชันและฟังก์ชันเชิงเส้นหนึ่งฟังก์ชัน จำไว้ว่าหากคุณได้รับฟังก์ชันกำลังสอง การคำนวณจะคล้ายกับขั้นตอนด้านล่างนี้
-
เทียบนิพจน์ทางด้านขวาของแต่ละสมการเนื่องจากตัวแปร “y” อยู่ทางด้านซ้ายของแต่ละสมการ จึงสามารถหานิพจน์ที่อยู่ทางด้านขวาของแต่ละสมการได้
- ตัวอย่าง. y = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle y=x^(2)+2x+1)และ y = x + 7 (\displaystyle y=x+7)
-
ย้ายเงื่อนไขทั้งหมดของสมการที่ได้ไปทางด้านซ้าย และเขียน 0 ทางด้านขวาโดยทำการคำนวณขั้นพื้นฐาน ซึ่งจะช่วยให้คุณสามารถแก้สมการผลลัพธ์ได้
- ตัวอย่าง. x 2 + 2 x + 1 = x + 7 (\displaystyle x^(2)+2x+1=x+7)
- ลบ "x" จากทั้งสองข้างของสมการ:
- x 2 + x + 1 = 7 (\รูปแบบการแสดงผล x^(2)+x+1=7)
- ลบ 7 จากทั้งสองข้างของสมการ:
-
แก้สมการกำลังสองเมื่อย้ายเงื่อนไขทั้งหมดของสมการไปทางซ้าย คุณจะได้สมการกำลังสอง สามารถแก้ไขได้ 3 วิธี คือ ใช้สูตรพิเศษ และ
- ตัวอย่าง. x 2 + x − 6 = 0 (\displaystyle x^(2)+x-6=0)
- เมื่อคุณแยกตัวประกอบสมการ คุณจะได้ทวินามสองตัว ซึ่งเมื่อคูณจะได้สมการดั้งเดิม ในตัวอย่างของเรา เทอมแรก x 2 (\รูปแบบการแสดงผล x^(2))สามารถย่อยสลายได้เป็น x * x เขียนสิ่งนี้ลงไป: (x)(x) = 0
- ในตัวอย่างของเรา พจน์อิสระ -6 สามารถแยกตัวประกอบเป็นปัจจัยต่อไปนี้ได้: − 6 ∗ 1 (\displaystyle -6*1), − 3 ∗ 2 (\displaystyle -3*2), − 2 ∗ 3 (\displaystyle -2*3), − 1 ∗ 6 (\displaystyle -1*6).
- ในตัวอย่างของเรา เทอมที่สองคือ x (หรือ 1x) เพิ่มตัวประกอบแต่ละคู่ของเทอมจำลอง (ในตัวอย่างของเรา -6) จนกว่าคุณจะได้ 1 ในตัวอย่างของเรา คู่ปัจจัยที่เหมาะสมของเทอมจำลองคือตัวเลข -2 และ 3 ( − 2 ∗ 3 = − 6 (\displaystyle -2*3=-6)), เพราะ − 2 + 3 = 1 (\displaystyle -2+3=1).
- เติมคู่ตัวเลขที่พบลงในช่องว่าง: .
-
อย่าลืมจุดตัดที่สองของกราฟทั้งสองด้วยหากแก้ปัญหาได้เร็วและไม่รอบคอบอาจลืมจุดตัดที่สองไปได้เลย ต่อไปนี้เป็นวิธีค้นหาพิกัด x ของจุดตัดกันสองจุด:
- ตัวอย่าง (การแยกตัวประกอบ)- ถ้าอยู่ในสมการ (x − 2) (x + 3) = 0 (\displaystyle (x-2)(x+3)=0)หนึ่งในนิพจน์ในวงเล็บจะเท่ากับ 0 จากนั้นสมการทั้งหมดจะเท่ากับ 0 ดังนั้นเราจึงสามารถเขียนได้ดังนี้: x − 2 = 0 (\displaystyle x-2=0) → x = 2 (\displaystyle x=2) และ x + 3 = 0 (\displaystyle x+3=0) → x = − 3 (\displaystyle x=-3) (นั่นคือ คุณพบรากของสมการสองอัน)
- ตัวอย่าง (การใช้สูตรหรือการเติมกำลังสองสมบูรณ์)- เมื่อใช้วิธีใดวิธีหนึ่งเหล่านี้ รากที่สองจะปรากฏขึ้นในกระบวนการแก้ปัญหา ตัวอย่างเช่น สมการจากตัวอย่างของเราจะอยู่ในรูปแบบ x = (− 1 + 25) / 2 (\displaystyle x=(-1+(\sqrt (25)))/2)- จำไว้ว่าเมื่อหารากที่สอง คุณจะได้คำตอบสองวิธี ในกรณีของเรา: 25 = 5 ∗ 5 (\displaystyle (\sqrt (25))=5*5), และ 25 = (− 5) ∗ (− 5) (\displaystyle (\sqrt (25))=(-5)*(-5))- เขียนสมการสองสมการแล้วหาค่า x สองค่า
-
กราฟตัดกันที่จุดหนึ่งหรือไม่ตัดกันเลยสถานการณ์ดังกล่าวเกิดขึ้นหากตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้:
- หากกราฟตัดกันที่จุดหนึ่ง สมการกำลังสองจะถูกแบ่งออกเป็นตัวประกอบที่เหมือนกัน เช่น (x-1) (x-1) = 0 และรากที่สองของ 0 จะปรากฏในสูตร ( 0 (\displaystyle (\sqrt (0)))- ในกรณีนี้ สมการจะมีวิธีแก้ปัญหาเพียงวิธีเดียว
- หากกราฟไม่ตัดกันเลย สมการจะไม่แยกตัวประกอบ และรากที่สองของจำนวนลบจะปรากฏในสูตร (เช่น − 2 (\displaystyle (\sqrt (-2)))- ในกรณีนี้ ให้เขียนคำตอบของคุณว่าไม่มีวิธีแก้ปัญหา
เขียนสมการของแต่ละบรรทัด โดยแยกตัวแปร “y” ทางด้านซ้ายของสมการเงื่อนไขอื่นๆ ของสมการควรวางไว้ทางด้านขวาของสมการ บางทีสมการที่ให้คุณอาจมีตัวแปร f(x) หรือ g(x) แทน "y"; ในกรณีนี้ ให้แยกตัวแปรดังกล่าวออก หากต้องการแยกตัวแปร ให้ใช้คณิตศาสตร์ที่เหมาะสมจากทั้งสองด้านของสมการ