วิธีรับปริญญาจากลอการิทึม นิพจน์ลอการิทึม
วันนี้เราจะมาพูดถึง สูตรลอการิทึมและเราจะให้ตัวบ่งชี้ ตัวอย่างการแก้ปัญหา.
พวกเขาเองบ่งบอกถึงรูปแบบการแก้ปัญหาตามคุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม ก่อนที่จะใช้สูตรลอการิทึมเพื่อแก้โจทย์ ให้เราเตือนคุณเกี่ยวกับคุณสมบัติทั้งหมดก่อน:
ตอนนี้เราจะแสดงตามสูตร (คุณสมบัติ) เหล่านี้ ตัวอย่างการแก้ลอการิทึม.
ตัวอย่างการแก้ลอการิทึมตามสูตร
ลอการิทึมจำนวนบวก b ถึงฐาน a (เขียนแทนด้วยบันทึก a b) คือเลขชี้กำลังที่ต้องยก a ขึ้นเพื่อให้ได้ b โดยมี b > 0, a > 0 และ 1
ตามคำจำกัดความ ให้บันทึก a b = x ซึ่งเทียบเท่ากับ a x = b ดังนั้น ให้บันทึก a a x = x
ลอการิทึมตัวอย่าง:
บันทึก 2 8 = 3 เพราะ 2 3 = 8
บันทึก 7 49 = 2 เพราะ 7 2 = 49
บันทึก 5 1/5 = -1 เพราะ 5 -1 = 1/5
ลอการิทึมทศนิยม- นี่คือลอการิทึมสามัญซึ่งมีฐานคือ 10 ซึ่งแสดงว่าเป็น lg
บันทึก 10 100 = 2 เพราะ 10 2 = 100
ลอการิทึมธรรมชาติ- ยังเป็นลอการิทึมสามัญหรือลอการิทึม แต่มีฐาน e (e = 2.71828... - จำนวนอตรรกยะ) แสดงว่า ln.
ขอแนะนำให้จดจำสูตรหรือคุณสมบัติของลอการิทึมเพราะเราจะต้องใช้ในภายหลังเมื่อแก้ลอการิทึม สมการลอการิทึมและอสมการ เรามาทำงานแต่ละสูตรอีกครั้งพร้อมตัวอย่าง
- เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน
บันทึก a b = b8 2ล็อก 8 3 = (8 2ล็อก 8 3) 2 = 3 2 = 9
- ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ เท่ากับผลรวมลอการิทึม
บันทึก a (bc) = บันทึก a b + บันทึก a cบันทึก 3 8.1 + บันทึก 3 10 = บันทึก 3 (8.1*10) = บันทึก 3 81 = 4
- ลอการิทึมของผลหารเท่ากับผลต่างของลอการิทึม
log a (b/c) = บันทึก a b - บันทึก a c9 บันทึก 5 50 /9 บันทึก 5 2 = 9 บันทึก 5 50- บันทึก 5 2 = 9 บันทึก 5 25 = 9 2 = 81
- คุณสมบัติของกำลังของเลขลอการิทึมและฐานของลอการิทึม
เลขชี้กำลังของจำนวนลอการิทึม log a b m = mlog a b
เลขชี้กำลังของฐานของลอการิทึม log a n b =1/n*log a b
บันทึก a n b m = m/n*บันทึก a b
ถ้า m = n เราจะได้ log a n b n = log a b
บันทึก 4 9 = บันทึก 2 2 3 2 = บันทึก 2 3
- การเปลี่ยนไปสู่รากฐานใหม่
บันทึก a b = บันทึก c b/บันทึก c aถ้า c = b เราจะได้บันทึก b b = 1
จากนั้นให้ล็อก a b = 1/log b a
บันทึก 0.8 3*บันทึก 3 1.25 = บันทึก 0.8 3*บันทึก 0.8 1.25/บันทึก 0.8 3 = บันทึก 0.8 1.25 = บันทึก 4/5 5/4 = -1
อย่างที่คุณเห็น สูตรลอการิทึมไม่ได้ซับซ้อนอย่างที่คิด ตอนนี้ เมื่อดูตัวอย่างการแก้ลอการิทึมแล้ว เราก็มาดูสมการลอการิทึมกันดีกว่า เราจะดูตัวอย่างการแก้สมการลอการิทึมโดยละเอียดในบทความ: "" อย่าพลาด!
หากคุณยังคงมีคำถามเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหา โปรดเขียนคำถามเหล่านั้นในความคิดเห็นในบทความ
หมายเหตุ: เราตัดสินใจเลือกชั้นเรียนการศึกษาอื่นและศึกษาต่อต่างประเทศเป็นตัวเลือก
ลอการิทึมก็เหมือนกับตัวเลขอื่นๆ ที่สามารถบวก ลบ และแปลงได้ในทุกวิถีทาง แต่เนื่องจากลอการิทึมไม่ใช่ตัวเลขธรรมดาเสียทีเดียว จึงมีกฎที่เรียกว่า คุณสมบัติหลัก.
คุณจำเป็นต้องรู้กฎเหล่านี้อย่างแน่นอน - ไม่ใช่ปัญหาลอการิทึมร้ายแรงแม้แต่ข้อเดียวที่ไม่สามารถแก้ไขได้หากไม่มีกฎเหล่านี้ นอกจากนี้ยังมีน้อยมาก - คุณสามารถเรียนรู้ทุกสิ่งได้ภายในวันเดียว มาเริ่มกันเลย
การบวกและการลบลอการิทึม
พิจารณาลอการิทึมสองตัวที่มีฐานเดียวกัน: log ก xและเข้าสู่ระบบ ก ย- จากนั้นจึงสามารถบวกและลบได้ และ:
- บันทึก ก x+ บันทึก ก ย=บันทึก ก (x · ย);
- บันทึก ก x- บันทึก ก ย=บันทึก ก (x : ย).
ดังนั้น ผลรวมของลอการิทึมเท่ากับลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ และผลต่างเท่ากับลอการิทึมของผลหาร โปรดทราบ: จุดสำคัญที่นี่ - บริเวณที่เหมือนกัน- หากเหตุผลแตกต่าง กฎเหล่านี้ใช้ไม่ได้!
สูตรเหล่านี้จะช่วยคุณคำนวณนิพจน์ลอการิทึมแม้ว่าจะไม่ได้พิจารณาแต่ละส่วนก็ตาม (ดูบทเรียน "ลอการิทึมคืออะไร") ดูตัวอย่างและดู:
ล็อก 6 4 + ล็อก 6 9
เนื่องจากลอการิทึมมีฐานเท่ากัน เราจึงใช้สูตรผลรวม:
บันทึก 6 4 + บันทึก 6 9 = บันทึก 6 (4 9) = บันทึก 6 36 = 2
งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log 2 48 − log 2 3
ฐานเท่ากัน เราใช้สูตรผลต่าง:
บันทึก 2 48 - บันทึก 2 3 = บันทึก 2 (48: 3) = บันทึก 2 16 = 4
งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log 3 135 − log 3 5
ฐานก็เหมือนกัน ดังนั้นเราจึงได้:
บันทึก 3 135 - บันทึก 3 5 = บันทึก 3 (135: 5) = บันทึก 3 27 = 3
อย่างที่คุณเห็น นิพจน์ดั้งเดิมประกอบด้วยลอการิทึมที่ "ไม่ดี" ซึ่งไม่ได้คำนวณแยกกัน แต่หลังจากการแปลงจะได้ตัวเลขปกติโดยสมบูรณ์ หลายคนถูกสร้างขึ้นจากข้อเท็จจริงนี้ การทดสอบ- ใช่ สำนวนที่เหมือนการทดสอบมีการนำเสนออย่างจริงจังทุกประการ (บางครั้งแทบไม่มีการเปลี่ยนแปลงใดๆ) ในการสอบ Unified State
แยกเลขชี้กำลังออกจากลอการิทึม
ตอนนี้เรามาทำให้งานซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย จะเกิดอะไรขึ้นถ้าฐานหรืออาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมเป็นกำลัง? จากนั้นสามารถนำเลขชี้กำลังของระดับนี้ออกจากเครื่องหมายลอการิทึมได้ตามกฎต่อไปนี้:
สังเกตได้ง่ายว่า กฎข้อสุดท้ายตามมาสองอันแรก แต่ยังไงก็ดีกว่าที่จะจำไว้ - ในบางกรณีมันจะลดจำนวนการคำนวณลงอย่างมาก
แน่นอนว่ากฎทั้งหมดนี้สมเหตุสมผลหากสังเกต ODZ ของลอการิทึม: ก > 0, ก ≠ 1, x> 0. และอีกอย่างหนึ่ง: เรียนรู้การใช้สูตรทั้งหมด ไม่เพียงแต่จากซ้ายไปขวา แต่ยังในทางกลับกันอีกด้วย เช่น คุณสามารถป้อนตัวเลขก่อนที่ลอการิทึมจะลงชื่อเข้าใช้ลอการิทึมได้ นี่คือสิ่งที่จำเป็นบ่อยที่สุด
งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log 7 49 6 .
กำจัดระดับของการโต้แย้งโดยใช้สูตรแรก:
บันทึก 7 49 6 = 6 บันทึก 7 49 = 6 2 = 12
งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:
[คำบรรยายภาพ]
โปรดทราบว่าตัวส่วนประกอบด้วยลอการิทึม ฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังที่แน่นอน: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. เรามี:
[คำบรรยายภาพ]ฉันคิดว่าตัวอย่างสุดท้ายต้องมีการชี้แจง ลอการิทึมหายไปไหน? จนถึงที่สุด วินาทีสุดท้ายเราทำงานกับตัวส่วนเท่านั้น เรานำเสนอฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมที่อยู่ตรงนั้นในรูปแบบของกำลังและนำเลขชี้กำลังออกมา - เราได้เศษส่วน "สามชั้น"
ทีนี้มาดูเศษส่วนหลักกัน ตัวเศษและส่วนมีตัวเลขเดียวกัน: log 2 7 เนื่องจากบันทึก 2 7 ≠ 0 เราสามารถลดเศษส่วนได้ - 2/4 จะยังคงอยู่ในตัวส่วน ตามกฎของเลขคณิตแล้วทั้งสี่สามารถโอนไปยังตัวเศษซึ่งเป็นสิ่งที่ทำเสร็จแล้ว ผลลัพธ์คือคำตอบ: 2.
การเปลี่ยนไปสู่รากฐานใหม่
เมื่อพูดถึงกฎสำหรับการบวกและการลบลอการิทึม ฉันเน้นย้ำเป็นพิเศษว่ากฎเหล่านี้ใช้ได้เฉพาะกับฐานเดียวกันเท่านั้น จะทำอย่างไรถ้าเหตุผลต่างกัน? จะเกิดอะไรขึ้นถ้าพวกมันไม่ใช่เลขยกกำลังที่เท่ากัน?
สูตรสำหรับการเปลี่ยนไปใช้รากฐานใหม่มาช่วยเหลือ ให้เรากำหนดพวกมันในรูปแบบของทฤษฎีบท:
ให้บันทึกลอการิทึม ก x- แล้วสำหรับเลขอะไรก็ตาม คเช่นนั้น ค> 0 และ ค≠ 1 ความเท่าเทียมกันเป็นจริง:
[คำบรรยายภาพ]โดยเฉพาะถ้าเราใส่ ค = xเราได้รับ:
[คำบรรยายภาพ]
จากสูตรที่สองเป็นไปตามว่าสามารถสลับฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมได้ แต่ในกรณีนี้นิพจน์ทั้งหมดจะ "พลิกกลับ" เช่น ลอการิทึมจะปรากฏในตัวส่วน
สูตรเหล่านี้ไม่ค่อยพบในนิพจน์ตัวเลขทั่วไป มีความเป็นไปได้ที่จะประเมินว่าสะดวกเพียงใดเมื่อแก้สมการลอการิทึมและอสมการเท่านั้น
แต่มีปัญหาที่ไม่สามารถแก้ไขได้เลยนอกจากการย้ายฐานรากใหม่ ลองดูสองสามสิ่งเหล่านี้:
งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log 5 16 log 2 25
โปรดทราบว่าอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมทั้งสองมีกำลังที่แน่นอน มาดูตัวบ่งชี้กันดีกว่า: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; บันทึก 2 25 = บันทึก 2 5 2 = 2 บันทึก 2 5;
ทีนี้ลอง "ย้อนกลับ" ลอการิทึมที่สอง:
[คำบรรยายภาพ]เนื่องจากผลคูณไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อจัดเรียงปัจจัยใหม่ เราจึงคูณสี่และสองอย่างใจเย็น จากนั้นจึงจัดการกับลอการิทึม
งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log 9 100 lg 3
ฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมแรกคือกำลังที่แน่นอน มาเขียนสิ่งนี้และกำจัดตัวบ่งชี้:
[คำบรรยายภาพ]ตอนนี้ กำจัดลอการิทึมทศนิยมโดยการย้ายไปยังฐานใหม่:
[คำบรรยายภาพ]เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน
บ่อยครั้งในกระบวนการแก้ปัญหา จำเป็นต้องแสดงตัวเลขเป็นลอการิทึมของฐานที่กำหนด ในกรณีนี้สูตรต่อไปนี้จะช่วยเรา:
ในกรณีแรกคือหมายเลข nกลายเป็นเครื่องบ่งชี้ระดับการยืนหยัดในการโต้แย้ง ตัวเลข nสามารถเป็นอะไรก็ได้อย่างแน่นอน เพราะมันเป็นแค่ค่าลอการิทึม
สูตรที่สองเป็นคำจำกัดความที่ถอดความจริงๆ นั่นคือสิ่งที่เรียกว่า: ข้อมูลประจำตัวลอการิทึมพื้นฐาน
ที่จริงแล้วจะเกิดอะไรขึ้นถ้าตัวเลข ขยกกำลังให้เป็นจำนวนนั้น ขยกกำลังนี้ให้ตัวเลข ก- ถูกต้อง: คุณได้หมายเลขเดียวกันนี้ ก- อ่านย่อหน้านี้อย่างละเอียดอีกครั้ง หลายๆ คนอาจติดอยู่กับเรื่องนี้
เช่นเดียวกับสูตรสำหรับการย้ายไปยังฐานใหม่ บางครั้งเอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐานก็เป็นวิธีแก้ปัญหาเดียวที่เป็นไปได้
งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:
[คำบรรยายภาพ]
โปรดทราบว่าบันทึก 25 64 = บันทึก 5 8 - แค่เอากำลังสองจากฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม พิจารณาหลักเกณฑ์การคูณอำนาจด้วย พื้นฐานเดียวกันเราได้รับ:
[คำบรรยายภาพ]ถ้าใครไม่รู้ นี่คืองานจริงจากการสอบ Unified State :)
หน่วยลอการิทึมและศูนย์ลอการิทึม
โดยสรุป ฉันจะให้สองตัวตนที่แทบจะเรียกได้ว่าเป็นคุณสมบัติไม่ได้ - แต่เป็นผลสืบเนื่องมาจากคำจำกัดความของลอการิทึม สิ่งเหล่านี้มักเกิดปัญหาอยู่เสมอ และน่าประหลาดใจที่ยังสร้างปัญหาให้กับนักเรียน "ขั้นสูง" อีกด้วย
- บันทึก ก ก= 1 คือหน่วยลอการิทึม จำไว้ทุกครั้ง: ลอการิทึมของฐานใดๆ กจากฐานนี้เท่ากับหนึ่ง
- บันทึก ก 1 = 0 คือศูนย์ลอการิทึม ฐาน กสามารถเป็นอะไรก็ได้ แต่ถ้าอาร์กิวเมนต์มีอย่างใดอย่างหนึ่ง ลอการิทึมจะเท่ากับศูนย์! เพราะ ก 0 = 1 เป็นผลโดยตรงจากคำจำกัดความ
นั่นคือคุณสมบัติทั้งหมด อย่าลืมฝึกฝนการนำไปปฏิบัติ! ดาวน์โหลดเอกสารสรุปตอนต้นบทเรียน พิมพ์ออกมา และแก้ไขปัญหา
1.1. การกำหนดเลขชี้กำลังสำหรับเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม
X 1 = XX 2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N = X * X * … * X — N ครั้ง
1.2. ระดับศูนย์
ตามคำนิยาม เป็นที่ยอมรับกันโดยทั่วไปว่ากำลัง 0 ของจำนวนใดๆ คือ 1:1.3. ระดับลบ
X -N = 1/X N1.4. พลังเศษส่วน, ราก
X 1/N = N รากของ Xตัวอย่างเช่น: X 1/2 = √X
1.5. สูตรเพิ่มพลัง
X (N+M) = XN *XM1.6.สูตรการลบยกกำลัง
X (N-M) = X N /X M1.7. สูตรคูณพลัง
X N*M = (X N) ม1.8. สูตรการยกเศษส่วนเป็นยกกำลัง
(X/Y) N = X N /Y N2. หมายเลข จ.
ค่าของตัวเลข e เท่ากับขีดจำกัดต่อไปนี้:E = ลิม(1+1/N) โดยที่ N → ∞
ด้วยความแม่นยำ 17 หลัก ตัวเลข e คือ 2.71828182845904512
3. ความเท่าเทียมกันของออยเลอร์
ความเท่าเทียมกันนี้เชื่อมโยงตัวเลขห้าตัวที่มีบทบาทพิเศษในคณิตศาสตร์: 0, 1, e, pi, หน่วยจินตภาพอี (i*pi) + 1 = 0
4. ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง exp(x)
ประสบการณ์(x) = อีเอ็กซ์5. อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ฟังก์ชันเลขชี้กำลังมีคุณสมบัติที่น่าทึ่ง: อนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้นเท่ากับฟังก์ชันเลขชี้กำลังนั่นเอง:(ประสบการณ์(x))" = ประสบการณ์(x)
6. ลอการิทึม.
6.1. คำจำกัดความของฟังก์ชันลอการิทึม
ถ้า x = b y ลอการิทึมจะเป็นฟังก์ชันY = บันทึก ข(x)
ลอการิทึมแสดงให้เห็นว่าตัวเลขต้องยกกำลังเท่าใด - ฐานของลอการิทึม (b) เพื่อให้ได้ตัวเลขที่กำหนด (X) ฟังก์ชันลอการิทึมถูกกำหนดไว้สำหรับ X ที่มากกว่าศูนย์
ตัวอย่างเช่น: บันทึก 10 (100) = 2
6.2. ลอการิทึมทศนิยม
นี่คือลอการิทึมของฐาน 10:Y = บันทึก 10 (x) .
แสดงโดย Log(x): Log(x) = Log 10 (x)
ตัวอย่างของการใช้ลอการิทึมฐานสิบคือเดซิเบล
6.3. เดซิเบล
รายการจะถูกเน้นในหน้าเดซิเบลแยกต่างหาก6.4. ลอการิทึมไบนารี
นี่คือลอการิทึมฐาน 2:Y = บันทึก 2 (x)
เขียนแทนด้วย Lg(x): Lg(x) = Log 2 (X)
6.5. ลอการิทึมธรรมชาติ
นี่คือลอการิทึมของฐาน e:Y = บันทึก อี (x) .
เขียนแทนด้วย Ln(x): Ln(x) = Log e (X)
ลอการิทึมธรรมชาติ - ฟังก์ชันผกผันไปยังฟังก์ชันเลขชี้กำลัง exp(X)
6.6. จุดลักษณะ
โลกา(1) = 0บันทึก a (a) = 1
6.7. สูตรลอการิทึมผลิตภัณฑ์
บันทึก a (x*y) = บันทึก a (x)+บันทึก a (y)6.8. สูตรลอการิทึมของผลหาร
บันทึก a (x/y) = บันทึก a (x)-บันทึก a (y)6.9. ลอการิทึมของสูตรยกกำลัง
บันทึก a (x y) = y*บันทึก a (x)6.10. สูตรการแปลงเป็นลอการิทึมที่มีฐานต่างกัน
บันทึก b (x) = (บันทึก a (x))/บันทึก a (b)ตัวอย่าง:
บันทึก 2 (8) = บันทึก 10 (8)/บันทึก 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3
7. สูตรที่เป็นประโยชน์ในชีวิต
มักมีปัญหาในการแปลงปริมาตรเป็นพื้นที่หรือความยาวและ ปัญหาผกผัน- การแปลงพื้นที่เป็นปริมาตร ตัวอย่างเช่น ไม้กระดานขายเป็นลูกบาศก์ (ลูกบาศก์เมตร) และเราจำเป็นต้องคำนวณว่าไม้กระดานในปริมาตรหนึ่งจะครอบคลุมพื้นที่ผนังได้เท่าใด ดูการคำนวณไม้ จำนวนไม้ในลูกบาศก์ หรือหากทราบขนาดผนังต้องคำนวณจำนวนอิฐดูการคำนวณอิฐ
คุณได้รับอนุญาตให้ใช้วัสดุของไซต์ที่มีการติดตั้ง ลิงค์ที่ใช้งานอยู่ไปยังแหล่งที่มา
เริ่มต้นด้วย คุณสมบัติของลอการิทึมของหนึ่ง- สูตรของมันคือดังนี้: ลอการิทึมของเอกภาพเท่ากับศูนย์นั่นคือ เข้าสู่ระบบ 1=0สำหรับ a>0, a≠1 ใดๆ การพิสูจน์ไม่ใช่เรื่องยาก เนื่องจาก 0 =1 สำหรับเงื่อนไขใดๆ ที่เป็นไปตามเงื่อนไขข้างต้น a>0 และ a≠1 ดังนั้นบันทึกความเท่าเทียมกัน 1=0 ที่จะพิสูจน์จะตามมาทันทีจากคำจำกัดความของลอการิทึม
ให้เรายกตัวอย่างการประยุกต์ใช้คุณสมบัติที่พิจารณา: log 3 1=0, log1=0 และ
เรามาต่อกันที่ ไปยังทรัพย์สินดังต่อไปนี้: ลอการิทึมของตัวเลขเท่ากับฐานเท่ากับหนึ่งนั่นคือ เข้าสู่ระบบ a=1สำหรับ a>0, a≠1 อันที่จริง เนื่องจาก 1 =a สำหรับ a ใดๆ ดังนั้นตามนิยามของบันทึกลอการิทึม aa=1
ตัวอย่างของการใช้คุณสมบัติของลอการิทึมนี้คือบันทึกความเท่าเทียมกัน 5 5=1, บันทึก 5.6 5.6 และ lne=1
ตัวอย่างเช่น บันทึก 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 และ .
ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ของจำนวนบวกสองตัว x และ y เท่ากับสินค้าลอการิทึมของตัวเลขเหล่านี้: log a (x y)=บันทึก x+บันทึก a y, ก>0 , ก≠1 . ให้เราพิสูจน์คุณสมบัติของลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ เนื่องจากคุณสมบัติของปริญญา a log a x+log a y =a log a x ·a log a yและเนื่องจากโดยเอกลักษณ์ลอการิทึมหลัก จะมีบันทึก a x =x และบันทึก a y =y จากนั้นจึงบันทึก a x ·a บันทึก a y =x·y ดังนั้น บันทึก a x+log a y =x·y ซึ่งตามนิยามของลอการิทึม ความเท่าเทียมกันที่พิสูจน์ได้จะเป็นดังนี้
ลองแสดงตัวอย่างการใช้คุณสมบัติของลอการิทึมของผลิตภัณฑ์: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 และ .
คุณสมบัติของลอการิทึมของผลิตภัณฑ์สามารถสรุปได้ทั่วไปกับผลคูณของจำนวนจำกัด n ของจำนวนบวก x 1 , x 2 , …, x n เช่น บันทึก a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= บันทึก a x 1 +บันทึก a x 2 +…+บันทึก a xn - ความเท่าเทียมกันนี้สามารถพิสูจน์ได้โดยไม่มีปัญหา
ตัวอย่างเช่น ลอการิทึมธรรมชาติของผลิตภัณฑ์สามารถถูกแทนที่ด้วยผลรวมของลอการิทึมธรรมชาติสามตัวของตัวเลข 4, e และ
ลอการิทึมของผลหารของจำนวนบวกสองตัว x และ y เท่ากับผลต่างระหว่างลอการิทึมของตัวเลขเหล่านี้ คุณสมบัติของลอการิทึมของผลหารสอดคล้องกับสูตรของรูปแบบ โดยที่ a>0, a≠1, x และ y เป็นจำนวนบวกบางจำนวน ความถูกต้องของสูตรนี้ได้รับการพิสูจน์แล้วเช่นเดียวกับสูตรสำหรับลอการิทึมของผลิตภัณฑ์: เนื่องจาก แล้วตามนิยามของลอการิทึม
นี่คือตัวอย่างการใช้คุณสมบัติของลอการิทึม: .
เรามาต่อกันที่ คุณสมบัติของลอการิทึมของกำลัง- ลอการิทึมของดีกรีเท่ากับผลคูณของเลขชี้กำลังและลอการิทึมของโมดูลัสของฐานของดีกรีนี้ ให้เราเขียนคุณสมบัติของลอการิทึมของกำลังเป็นสูตร: บันทึก a b p =p·บันทึก a |b|โดยที่ a>0, a≠1, b และ p เป็นตัวเลขที่ทำให้ระดับ b p สมเหตุสมผล และ b p >0
ก่อนอื่น เราพิสูจน์คุณสมบัตินี้ว่าเป็นบวก b อัตลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐานช่วยให้เราสามารถแทนจำนวน b เป็นบันทึก a b จากนั้น b p =(a log a b) p และผลลัพธ์นิพจน์ เนื่องจากคุณสมบัติของกำลัง เท่ากับ a p·log a b ดังนั้นเราจึงมาถึงความเท่าเทียมกัน b p =a p·log a b โดยจากนิยามของลอการิทึม เราจะสรุปได้ว่า log a b p =p·log a b
ยังคงต้องพิสูจน์คุณสมบัตินี้สำหรับลบ b ที่นี่เราสังเกตว่านิพจน์ log a b p สำหรับลบ b นั้นสมเหตุสมผลสำหรับเลขชี้กำลังคู่ p เท่านั้น (เนื่องจากค่าของดีกรี b p ต้องมากกว่าศูนย์ มิฉะนั้นลอการิทึมจะไม่สมเหตุสมผล) และในกรณีนี้ b p =|b| พี แล้ว ข พี =|ข| p =(บันทึก a |b|) p =a p·บันทึก a |b|จากที่ log a b p =p·log a |b| -
ตัวอย่างเช่น, และ ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3
มันต่อเนื่องจากคุณสมบัติก่อนหน้า คุณสมบัติของลอการิทึมจากราก: ลอการิทึมของรากที่ n เท่ากับผลคูณของเศษส่วน 1/n ด้วยลอการิทึมของนิพจน์ราก นั่นคือ โดยที่ a>0, a≠1, n – จำนวนธรรมชาติ, มากกว่าหนึ่ง, b>0
การพิสูจน์จะขึ้นอยู่กับความเท่าเทียมกัน (ดู) ซึ่งใช้ได้กับ b ใดๆ ที่เป็นบวก และคุณสมบัติของลอการิทึมของกำลัง: .
นี่คือตัวอย่างการใช้คุณสมบัตินี้: .
ตอนนี้เรามาพิสูจน์กัน สูตรสำหรับการย้ายไปยังฐานลอการิทึมใหม่ใจดี - เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอที่จะพิสูจน์ความถูกต้องของบันทึกความเท่าเทียมกัน c b=log a b·log c a ข้อมูลประจำตัวลอการิทึมพื้นฐานช่วยให้เราสามารถแทนจำนวน b เป็นบันทึก a b จากนั้นให้บันทึก c b=log c a log a b ยังคงใช้คุณสมบัติของลอการิทึมของดีกรี: บันทึก c บันทึก a b = บันทึก a b บันทึก c a- นี่เป็นการพิสูจน์บันทึกความเท่าเทียมกัน c b=log a b·log c a ซึ่งหมายความว่าสูตรสำหรับการเปลี่ยนไปใช้ฐานใหม่ของลอการิทึมได้รับการพิสูจน์แล้วเช่นกัน
เรามาแสดงตัวอย่างการใช้คุณสมบัติของลอการิทึมกัน: และ .
สูตรสำหรับการย้ายไปยังฐานใหม่ช่วยให้คุณสามารถดำเนินการกับลอการิทึมที่มีฐาน "สะดวก" ได้ ตัวอย่างเช่น สามารถใช้เพื่อหาลอการิทึมธรรมชาติหรือทศนิยม เพื่อให้คุณสามารถคำนวณค่าลอการิทึมจากตารางลอการิทึมได้ สูตรสำหรับการย้ายไปยังฐานลอการิทึมใหม่ยังช่วยให้ในบางกรณีสามารถค้นหาค่าของลอการิทึมที่กำหนดเมื่อทราบค่าของลอการิทึมบางตัวที่มีฐานอื่น
มักใช้กรณีพิเศษของสูตรสำหรับการเปลี่ยนไปใช้ฐานลอการิทึมใหม่สำหรับ c=b ของแบบฟอร์ม - นี่แสดงว่าบันทึก a b และบันทึก b a – ตัวอย่างเช่น, .
สูตรนี้ก็ใช้บ่อยเช่นกัน ซึ่งสะดวกสำหรับการค้นหาค่าลอการิทึม เพื่อยืนยันคำพูดของเรา เราจะแสดงให้เห็นว่าสามารถใช้เพื่อคำนวณค่าลอการิทึมของแบบฟอร์มได้อย่างไร เรามี - เพื่อพิสูจน์สูตร ก็เพียงพอที่จะใช้สูตรเพื่อเปลี่ยนเป็นฐานใหม่ของลอการิทึม a: .
ยังคงต้องพิสูจน์คุณสมบัติของการเปรียบเทียบลอการิทึม
ให้เราพิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนบวกใดๆ b 1 และ b 2, b 1 log a b 2 และสำหรับ a>1 – บันทึกอสมการ a b 1 ท้ายที่สุด ยังคงต้องพิสูจน์คุณสมบัติสุดท้ายของลอการิทึมที่ระบุไว้ ให้เราจำกัดตัวเองอยู่เพียงการพิสูจน์ในส่วนแรก นั่นคือ เราจะพิสูจน์ว่าถ้า 1 >1, 2 >1 และ 1 1 เป็นจริง log a 1 b>log a 2 b ข้อความที่เหลือของคุณสมบัติของลอการิทึมนี้ได้รับการพิสูจน์ตามหลักการที่คล้ายกัน ลองใช้วิธีตรงกันข้าม สมมติว่าสำหรับ 1 >1, 2 >1 และ 1 1 เป็นจริง log a 1 b≤log a 2 b ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของลอการิทึม อสมการเหล่านี้สามารถเขียนใหม่ได้เป็น และ ตามลำดับ และจากนั้นจะเป็นไปตามนั้น log b a 1 ≤log b a 2 และ log b a 1 ≥log b a 2 ตามลำดับ จากนั้น ตามคุณสมบัติของกำลังที่มีฐานเดียวกัน ความเท่าเทียมกัน b log b a 1 ≥b log b a 2 และ b log b a 1 ≥b log b a 2 จะต้องคงอยู่ นั่นคือ a 1 ≥a 2 เราจึงขัดแย้งกับเงื่อนไข a 1
อ้างอิง.
- โคลโมโกรอฟ เอ.เอ็น., อับรามอฟ เอ.เอ็ม., ดุดนิตซิน ยู.พี. และอื่น ๆ พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: หนังสือเรียนสำหรับเกรด 10 - 11 ของสถาบันการศึกษาทั่วไป
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้เข้าโรงเรียนเทคนิค)
ลอการิทึมคืออะไร?
ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
วัสดุมาตราพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่ค่อย..." มากนัก
และสำหรับผู้ที่ “มากๆ…”)
ลอการิทึมคืออะไร? วิธีการแก้ลอการิทึม? คำถามเหล่านี้ทำให้บัณฑิตหลายคนสับสน ตามเนื้อผ้า หัวข้อลอการิทึมถือว่าซับซ้อน เข้าใจยาก และน่ากลัว โดยเฉพาะสมการที่มีลอการิทึม
นี่ไม่เป็นความจริงอย่างแน่นอน อย่างแน่นอน! ไม่เชื่อฉันเหรอ? ดี. ตอนนี้ในเวลาเพียง 10 - 20 นาที คุณ:
1. คุณจะเข้าใจ ลอการิทึมคืออะไร.
2. เรียนรู้การแก้สมการเอ็กซ์โปเนนเชียลทั้งคลาส แม้ว่าคุณจะไม่ได้ยินอะไรเกี่ยวกับพวกเขาก็ตาม
3. เรียนรู้การคำนวณลอการิทึมอย่างง่าย
ยิ่งไปกว่านั้น สำหรับสิ่งนี้ คุณเพียงแค่ต้องรู้ตารางสูตรคูณและวิธีบวกเลขยกกำลังเท่านั้น...
ฉันรู้สึกเหมือนคุณมีข้อสงสัย... เอาล่ะ ทำเครื่องหมายเวลาไว้! ไปกันเลย!
ขั้นแรก ให้แก้สมการนี้ในหัวของคุณ:
หากคุณชอบเว็บไซต์นี้...
ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)
คุณสามารถฝึกแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการยืนยันทันที มาเรียนรู้กันเถอะ - ด้วยความสนใจ!)
คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้