ระนาบครึ่งระนาบสองอันก่อตัวเป็นมุมเท่าใด บทเรียน "มุมไดฮีดรัล"
ตามกฎแล้วการเตรียมนักเรียนเพื่อเข้าสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์จะเริ่มต้นด้วยการทำซ้ำสูตรพื้นฐานรวมถึงสูตรที่ให้คุณกำหนดมุมระหว่างระนาบได้ แม้ว่าเรขาคณิตส่วนนี้จะมีรายละเอียดอยู่ภายในอย่างเพียงพอก็ตาม หลักสูตรของโรงเรียนผู้สำเร็จการศึกษาจำนวนมากจำเป็นต้องทำซ้ำเนื้อหาพื้นฐาน เมื่อทำความเข้าใจกับวิธีการหามุมระหว่างเครื่องบิน นักเรียนมัธยมปลายจะสามารถคำนวณคำตอบที่ถูกต้องได้อย่างรวดเร็วเมื่อแก้ไขปัญหาและไว้วางใจในการได้รับคะแนนที่เหมาะสมจากผลการสอบผ่านแบบรวมรัฐ
ความแตกต่างหลัก
เพื่อให้แน่ใจว่าคำถามเกี่ยวกับวิธีการค้นหามุมไดฮีดรัลไม่ทำให้เกิดปัญหา เราขอแนะนำให้ปฏิบัติตามอัลกอริธึมการแก้ปัญหาที่จะช่วยคุณรับมือกับงาน Unified State Examination
ก่อนอื่นคุณต้องกำหนดเส้นตรงที่เครื่องบินตัดกัน
จากนั้นคุณจะต้องเลือกจุดบนเส้นนี้แล้ววาดตั้งฉากสองอันลงไป
ขั้นตอนต่อไปคือการหา ฟังก์ชันตรีโกณมิติมุมไดฮีดรัลที่เกิดจากตั้งฉาก วิธีที่สะดวกที่สุดในการทำเช่นนี้คือใช้สามเหลี่ยมที่เกิดขึ้นซึ่งมีมุมเป็นส่วนหนึ่ง
คำตอบจะเป็นค่าของมุมหรือฟังก์ชันตรีโกณมิติ
การเตรียมตัวสอบกับ Shkolkovo เป็นกุญแจสู่ความสำเร็จของคุณ
ระหว่างเรียนเมื่อวันก่อน ผ่านการสอบ Unified Stateเด็กนักเรียนหลายคนประสบปัญหาในการหาคำจำกัดความและสูตรที่ช่วยให้สามารถคำนวณมุมระหว่างระนาบ 2 ระนาบได้ หนังสือเรียนของโรงเรียนอาจไม่ได้อยู่ในมือเสมอไปเมื่อจำเป็น และเพื่อค้นหาสูตรที่จำเป็นและตัวอย่างการใช้งานที่ถูกต้องรวมถึงการหามุมระหว่างระนาบบนอินเทอร์เน็ตออนไลน์บางครั้งคุณต้องใช้เวลามาก
ข้อเสนอพอร์ทัลทางคณิตศาสตร์ "Shkolkovo" แนวทางใหม่เพื่อเตรียมตัวสอบเข้ารัฐ ชั้นเรียนในเว็บไซต์ของเราจะช่วยให้นักเรียนระบุส่วนที่ยากที่สุดสำหรับตนเองและเติมเต็มช่องว่างในความรู้
เราได้เตรียมและนำเสนอทุกอย่างไว้อย่างชัดเจนแล้ว วัสดุที่จำเป็น- คำจำกัดความและสูตรพื้นฐานแสดงไว้ในส่วน "ข้อมูลทางทฤษฎี"
เพื่อให้เข้าใจเนื้อหาได้ดีขึ้น เรายังแนะนำให้ฝึกแบบฝึกหัดที่เหมาะสมด้วย มีให้เลือกมากมายตัวอย่างเช่น งานที่มีระดับความซับซ้อนต่างกันจะแสดงไว้ในส่วน "แค็ตตาล็อก" งานทั้งหมดมีอัลกอริธึมโดยละเอียดสำหรับการค้นหาคำตอบที่ถูกต้อง รายการแบบฝึกหัดบนเว็บไซต์มีการเสริมและอัปเดตอยู่ตลอดเวลา
ขณะฝึกซ้อมการแก้ปัญหาที่ต้องใช้การหามุมระหว่างระนาบสองระนาบ นักเรียนจะมีโอกาสบันทึกงานออนไลน์เป็น "รายการโปรด" ด้วยเหตุนี้ พวกเขาจึงสามารถกลับมาใช้งานได้ตามจำนวนที่ต้องการ และหารือเกี่ยวกับความคืบหน้าในการแก้ปัญหากับครูในโรงเรียนหรือครูสอนพิเศษ
หัวข้อบทเรียน: " มุมไดฮีดรัล».วัตถุประสงค์ของบทเรียน: การแนะนำแนวคิดเรื่องมุมไดฮีดรัลและมุมเชิงเส้น
งาน:
ทางการศึกษา: พิจารณางานเกี่ยวกับการประยุกต์ใช้แนวคิดเหล่านี้พัฒนาทักษะเชิงสร้างสรรค์ในการค้นหามุมระหว่างระนาบ
พัฒนาการ: การพัฒนา ความคิดสร้างสรรค์นักเรียน, การพัฒนาตนเองส่วนบุคคลนักเรียน การพัฒนาคำพูดของนักเรียน
ทางการศึกษา: การหล่อเลี้ยงวัฒนธรรมการทำงานทางจิต วัฒนธรรมการสื่อสาร วัฒนธรรมการไตร่ตรอง
ประเภทบทเรียน: บทเรียนในการเรียนรู้ความรู้ใหม่
วิธีการสอน: อธิบายและอธิบาย
อุปกรณ์: คอมพิวเตอร์ ไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบ
วรรณกรรม:
เรขาคณิต. เกรด 10-11: หนังสือเรียน สำหรับเกรด 10-11 การศึกษาทั่วไป สถาบัน: พื้นฐานและโปรไฟล์ ระดับ / [ลิตร S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev ฯลฯ] - ฉบับที่ 18 – อ.: การศึกษา, 2552. – 255 น.
แผนการสอน:
ช่วงเวลาขององค์กร(2 นาที)
การอัพเดตความรู้ (5 นาที)
การเรียนรู้เนื้อหาใหม่ (12 นาที)
การเสริมเนื้อหาที่เรียนรู้ (21 นาที)
การบ้าน (2 นาที)
สรุป (3 นาที)
ความคืบหน้าของบทเรียน:
1. ช่วงเวลาขององค์กร
รวมถึงครูทักทายชั้นเรียน เตรียมห้องสำหรับบทเรียน และตรวจดูผู้ที่ขาดเรียน
2. การอัพเดตความรู้พื้นฐาน
ครู: ในบทเรียนสุดท้ายที่คุณเขียน งานอิสระ- โดยรวมแล้วงานก็เขียนได้ดี ตอนนี้เรามาทำซ้ำกันเล็กน้อย มุมในระนาบเรียกว่าอะไร?
นักเรียน: มุมบนเครื่องบินคือรูปร่างที่เกิดจากรังสีสองเส้นที่เล็ดลอดออกมาจากจุดหนึ่ง
ครู: มุมระหว่างเส้นในอวกาศเรียกว่าอะไร?
นักเรียน: มุมระหว่างเส้นตัดกันสองเส้นในอวกาศคือมุมที่เล็กที่สุดที่เกิดจากรังสีของเส้นเหล่านี้โดยมีจุดยอดอยู่ที่จุดตัดกัน
นักเรียน: มุมระหว่างเส้นที่ตัดกันคือมุมระหว่างเส้นที่ตัดกัน ตามลำดับ ซึ่งขนานกับข้อมูล
ครู: มุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบเรียกว่าอะไร?
นักเรียน: มุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบเรียกว่ามุมใดๆ ระหว่างเส้นตรงกับเส้นโครงบนระนาบนี้
3. ศึกษาเนื้อหาใหม่
ครู: ใน Stereometry พร้อมกับมุมดังกล่าวจะพิจารณามุมประเภทอื่นด้วย - มุมไดฮีดรัล คุณคงเดาได้แล้วว่าหัวข้อของบทเรียนวันนี้คืออะไร ดังนั้นให้เปิดสมุดบันทึกของคุณ จดวันที่ของวันนี้และหัวข้อของบทเรียน
เขียนบนกระดานและในสมุดบันทึก:
10.12.14.
มุมไดฮีดรัล
ครู : เพื่อแนะนำแนวคิดของมุมไดฮีดรัล ควรจำไว้ว่าเส้นตรงใดๆ ที่ลากในระนาบที่กำหนดจะแบ่งระนาบนี้ออกเป็นสองระนาบครึ่ง(รูปที่ 1 ก)
ครู : ลองจินตนาการว่าเรางอระนาบเป็นเส้นตรงเพื่อให้ระนาบครึ่งสองอันที่มีขอบเขตไม่อยู่ในระนาบเดียวกันอีกต่อไป (รูปที่ 1, b) รูปที่ได้คือมุมไดฮีดรัล มุมไดฮีดรัลคือรูปร่างที่เกิดจากเส้นตรงและระนาบครึ่งระนาบสองอันที่มีขอบเขตร่วมกันซึ่งไม่อยู่ในระนาบเดียวกัน ระนาบครึ่งระนาบที่สร้างมุมไดฮีดรัลเรียกว่าใบหน้า มุมไดฮีดรัลมีสองด้าน จึงเป็นที่มาของชื่อมุมไดฮีดรัล เส้นตรงซึ่งเป็นขอบเขตร่วมของครึ่งระนาบ เรียกว่าขอบของมุมไดฮีดรัล เขียนคำจำกัดความลงในสมุดบันทึกของคุณ
มุมไดฮีดรัลคือรูปร่างที่เกิดจากเส้นตรงและระนาบครึ่งระนาบสองอันที่มีขอบเขตร่วมกันซึ่งไม่อยู่ในระนาบเดียวกัน
ครู : ในชีวิตประจำวันเรามักจะเจอวัตถุที่มีรูปร่างเป็นมุมไดฮีดรัล ยกตัวอย่าง.
นักเรียน : โฟลเดอร์ที่เปิดไว้ครึ่งหนึ่ง
นักเรียน : ผนังห้องอยู่ชิดกับพื้น
นักเรียน : หลังคาหน้าจั่วของอาคาร
ครู : ขวา. และมีตัวอย่างดังกล่าวจำนวนมาก
ครู : ดังที่คุณทราบ มุมบนระนาบมีหน่วยวัดเป็นองศา คุณอาจมีคำถามว่า มุมไดฮีดรัลวัดได้อย่างไร? ทำได้ดังนี้ลองทำเครื่องหมายจุดใดจุดหนึ่งบนขอบของมุมไดฮีดรัลแล้ววาดรังสีตั้งฉากกับขอบจากจุดนี้ในแต่ละหน้า มุมที่เกิดจากรังสีเหล่านี้เรียกว่ามุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัล วาดภาพลงในสมุดบันทึกของคุณ
เขียนบนกระดานและในสมุดบันทึก
เกี่ยวกับ ∈ เอ เจเอสซี ⊥ ก, วีโอ ⊥ ก, SAบีดี– มุมไดฮีดรัล∠ เอโอบี– มุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัล
ครู : มุมเชิงเส้นทั้งหมดของมุมไดฮีดรัลมีค่าเท่ากัน วาดรูปแบบนี้อีกสักตัว
ครู : มาพิสูจน์กัน พิจารณามุมเชิงเส้นสองมุม AOB และพีคิวอาร์- รังสีโอเอและคิวพีนอนคว่ำหน้าและตั้งฉากกันโอคิวซึ่งหมายความว่าพวกเขาได้รับการกำกับร่วมกัน ในทำนองเดียวกันรังสี OB และคิวอาร์ร่วมกำกับ วิธี,∠ เอโอบี= ∠ พีคิวอาร์(เช่นมุมที่มีด้านชิดกัน)
ครู : ทีนี้ คำตอบสำหรับคำถามของเราคือวิธีวัดมุมไดฮีดรัลการวัดระดับของมุมไดฮีดรัลคือการวัดระดับของมุมเชิงเส้น วาดภาพมุมไดฮีดรัลแบบเฉียบพลัน ขวา และป้านใหม่จากหนังสือเรียนในหน้า 48
4. การรวมเนื้อหาที่ศึกษา
ครู : วาดภาพสำหรับงาน
№ 1 . ให้ไว้: ∆เอบีซี, AC = BC, AB อยู่ในระนาบα, ซีดี ⊥ แอลฟา, ซี∉ แอลฟา สร้างมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัลซีบีดี.
นักเรียน : สารละลาย:ซี.เอ็ม. ⊥ เอบี, ดี.ซี ⊥ เอบี∠ ซีเอ็มดี - ตามหา
№ 2. ให้ไว้: ∆เอบีซี, ∠ ค= 90°, BC อยู่บนเครื่องบินα, JSC⊥ α, ก∈ α.
สร้างมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัลเอบีซีโอ.
นักเรียน : สารละลาย:เอบี ⊥ บี.ซี.,เจเอสซี⊥ BC หมายถึงระบบปฏิบัติการ⊥ ดวงอาทิตย์.∠ เอซีโอ - ตามหา
№ 3 - ให้ไว้: ∆เอบีซี, ∠ C = 90°, AB อยู่ในระนาบα, ซีดี⊥ แอลฟา, ซี∉ แอลฟา สร้างมุมไดฮีดรัลเชิงเส้นบสท.
นักเรียน : สารละลาย: ซีเค ⊥ เอบี, ดี.ซี ⊥ เอบี,ดีเค ⊥ เอบี แปลว่า∠ ดีเคซี - ตามหา
№ 4 - ที่ให้ไว้:บสท- จัตุรมุขทำ⊥ เอบีซี. สร้างมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัลเอบีซีดี.
นักเรียน : สารละลาย:ดีเอ็ม ⊥ ดวงอาทิตย์,ทำ ⊥ VS แปลว่า โอม⊥ ดวงอาทิตย์;∠ โอเอ็มดี - ตามหา
5. สรุป.
ครู: วันนี้คุณเรียนรู้อะไรใหม่ในชั้นเรียน?
นักเรียน : สิ่งที่เรียกว่ามุมไดฮีดรัล, มุมเชิงเส้น, วัดมุมไดฮีดรัลอย่างไร
ครู : พวกเขาพูดอะไรซ้ำ?
นักเรียน : สิ่งที่เรียกว่ามุมบนเครื่องบิน มุมระหว่างเส้นตรง
6.การบ้าน.
เขียนบนกระดานและในสมุดบันทึกของท่าน: วรรค 22 หมายเลข 167 หมายเลข 170
มุมระหว่างระนาบสองระนาบที่แตกต่างกันสามารถกำหนดได้ ตำแหน่งสัมพัทธ์เครื่องบิน
กรณีเล็กๆ น้อยๆ หากเครื่องบินขนานกัน จากนั้นมุมระหว่างพวกมันจะถือว่าเท่ากับศูนย์
กรณีที่ไม่สำคัญหากเครื่องบินตัดกัน คดีนี้เป็นเรื่องที่ต้องหารือกันต่อไป ก่อนอื่น เราต้องการแนวคิดเรื่องมุมไดฮีดรัล
9.1 มุมไดฮีดรัล
มุมไดฮีดรัลคือระนาบครึ่งระนาบสองอันที่มีเส้นตรงร่วม (ซึ่งเรียกว่าขอบของมุมไดฮีดรัล) ในรูป 50 แสดงมุมไดฮีดรัลที่เกิดจากระนาบครึ่งระนาบ และ; ขอบของมุมไดฮีดรัลนี้คือเส้นตรง a ซึ่งพบได้ทั่วไปในระนาบครึ่งระนาบเหล่านี้
ข้าว. 50. มุมไดฮีดรัล
มุมไดฮีดรัลสามารถวัดเป็นองศาหรือเรเดียนได้ในคำเดียว โดยป้อนค่าเชิงมุมของมุมไดฮีดรัล ทำได้ดังนี้
บนขอบของมุมไดฮีดรัลที่เกิดจากระนาบครึ่งและเราหาจุด M โดยพลการ ให้เราวาดรังสี MA และ MB ตามลำดับโดยนอนอยู่ในระนาบครึ่งเหล่านี้และตั้งฉากกับขอบ (รูปที่ 51)
ข้าว. 51. มุมไดฮีดรัลเชิงเส้น
มุมที่ได้ AMB คือมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัล มุม " = \AMB คือค่าเชิงมุมของมุมไดฮีดรัลของเราอย่างแน่นอน
คำนิยาม. ค่าเชิงมุมมุมไดฮีดรัลคือขนาดของมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัลที่กำหนด
มุมเชิงเส้นทั้งหมดของมุมไดฮีดรัลจะเท่ากัน (ท้ายที่สุดแล้วจะได้มาจากกันและกันโดยการเลื่อนแบบขนาน) นั่นเป็นเหตุผล คำจำกัดความนี้ถูกต้อง: ค่า " ไม่ได้ขึ้นอยู่กับตัวเลือกเฉพาะของจุด M บนขอบของมุมไดฮีดรัล
9.2 การกำหนดมุมระหว่างระนาบ
เมื่อระนาบสองระนาบตัดกัน จะได้มุมไดฮีดรัลสี่มุม หากทุกอันมีขนาดเท่ากัน (อันละ 90 อัน) ระนาบนั้นจะถูกเรียกว่าตั้งฉาก มุมระหว่างระนาบคือ 90
ถ้ามุมไดฮีดรัลไม่เท่ากันทั้งหมด (นั่นคือ มีสองมุมแหลมและสองมุมป้าน) ดังนั้นมุมระหว่างระนาบจะเป็นค่าของมุมไดฮีดรัลเฉียบพลัน (รูปที่ 52)
ข้าว. 52. มุมระหว่างระนาบ
9.3 ตัวอย่างการแก้ปัญหา
ลองดูปัญหาสามประการ อย่างแรกนั้นง่าย ส่วนที่สองและสามอยู่ที่ประมาณระดับ C2 ในการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์
ปัญหาที่ 1. ค้นหามุมระหว่างสองหน้าของจัตุรมุขปกติ
สารละลาย. ให้ ABCD เป็นจัตุรมุขธรรมดา ขอให้เราวาดค่ามัธยฐาน AM และ DM ของใบหน้าที่เกี่ยวข้อง รวมถึงความสูงของจัตุรมุข DH (รูปที่ 53)
ข้าว. 53. ไปที่ภารกิจที่ 1
เนื่องจากค่ามัธยฐาน AM และ DM จึงเป็นความสูงของสามเหลี่ยมด้านเท่า ABC และ DBC เช่นกัน ดังนั้น มุม " = \AMD คือมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัลที่เกิดจากหน้า ABC และ DBC เราพบได้จากสามเหลี่ยม DHM:
01.00 น | ||||||
คำตอบ: อาร์คคอส 1 3 .
ภารกิจที่ 2. ในความถูกต้อง ปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมขอบด้านข้าง SABCD (จุดยอด S) เท่ากับด้านฐาน จุด K คือจุดกึ่งกลางของขอบ SA ค้นหามุมระหว่างระนาบ
สารละลาย. เส้น BC ขนานกับ AD และขนานกับระนาบ ADS ดังนั้น ระนาบ KBC จะตัดระนาบ ADS ตามเส้นตรง KL ขนานกับ BC (รูปที่ 54)
ข้าว. 54. ไปที่ภารกิจที่ 2
ในกรณีนี้ KL จะขนานกับเส้น AD ด้วย ดังนั้น KL เส้นกึ่งกลาง ADS สามเหลี่ยม และจุด L คือจุดกึ่งกลางของ DS
ลองหาความสูงของปิรามิด SO ให้ N เป็นจุดศูนย์กลางของ DO ดังนั้น LN คือเส้นกลางของสามเหลี่ยม DOS และด้วยเหตุนี้ LN k SO ซึ่งหมายความว่า LN ตั้งฉากกับระนาบ ABC
จากจุด N เราลดค่า NM ตั้งฉากลงเป็นเส้นตรง BC เส้นตรง NM จะเป็นเส้นโครงของ LM ที่เอียงไปบนระนาบ ABC จากทฤษฎีบทของสามฉากตั้งฉาก จะได้ว่า LM ตั้งฉากกับ BC เช่นกัน
ดังนั้น มุม " = \LMN คือมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัลที่เกิดจากครึ่งระนาบ KBC และ ABC เราจะหามุมนี้จาก สามเหลี่ยมมุมฉากแอลเอ็มเอ็น.
ให้ขอบของพีระมิดเท่ากับ a ก่อนอื่นเราจะหาความสูงของปิรามิด:
ดังนั้น=หน้า | ||||||||||||||||||||
สารละลาย. ให้ L เป็นจุดตัดของเส้น A1 K และ AB จากนั้นระนาบ A1 KC ตัดระนาบ ABC ตามเส้นตรง CL (รูปที่ 55)
ก ค
ข้าว. 55. ถึงปัญหา 3
สามเหลี่ยม A1 B1 K และ KBL เท่ากันที่ขาและมุมแหลม ดังนั้นขาอีกข้างจึงเท่ากัน: A1 B1 = BL
พิจารณาสามเหลี่ยม ACL ในนั้น BA = BC = BL มุม CBL คือ 120; ดังนั้น \BCL = 30 นอกจากนี้ \BCA = 60 ดังนั้น \ACL = \BCA + \BCL = 90
แล้วแอลซีล่ะ? เครื่องปรับอากาศ แต่เส้น AC ทำหน้าที่เป็นเส้นโครงของเส้น A1 C บนระนาบ ABC จากทฤษฎีบทของฉากตั้งฉากสามฉาก เราจะสรุปได้ว่า LC ? A1 ซี.
ดังนั้น มุม A1 CA คือมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัลที่เกิดจากระนาบครึ่ง A1 KC และ ABC นี่คือมุมที่ต้องการ จากสามเหลี่ยมหน้าจั่ว A1 AC เราจะเห็นว่ามันเท่ากับ 45
ที่เก็บมุมไดฮีดราล
เพื่อแนะนำแนวคิดของมุมไดฮีดรัล ก่อนอื่นให้เรานึกถึงสัจพจน์ของสเตอริโอเมทรีก่อน
ระนาบใดๆ สามารถแบ่งออกเป็นระนาบครึ่งระนาบของเส้น $a$ ที่อยู่ในระนาบนี้ได้ ในกรณีนี้ จุดที่อยู่ในระนาบครึ่งระนาบเดียวกันจะอยู่ที่ด้านหนึ่งของเส้นตรง $a$ และจุดที่อยู่ในระนาบครึ่งระนาบที่ต่างกันจะอยู่บนด้านตรงข้ามของเส้นตรง $a$ (รูปที่ 1)
รูปที่ 1.
หลักการสร้างมุมไดฮีดรัลนั้นขึ้นอยู่กับสัจพจน์นี้
คำจำกัดความ 1
รูปนี้เรียกว่า มุมไดฮีดรัลหากประกอบด้วยเส้นตรงและระนาบครึ่งสองระนาบของเส้นนี้ซึ่งไม่อยู่ในระนาบเดียวกัน
ในกรณีนี้จะเรียกว่าระนาบครึ่งหนึ่งของมุมไดฮีดรัล ขอบและเส้นตรงที่แยกครึ่งระนาบคือ ขอบไดฮีดรัล(รูปที่ 1)
รูปที่ 2 มุมไดฮีดรัล
การวัดองศาของมุมไดฮีดรัล
คำจำกัดความ 2
ให้เราเลือกจุดที่ต้องการ $A$ บนขอบ มุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นที่วางอยู่บนระนาบครึ่งระนาบที่ต่างกัน ตั้งฉากกับขอบและตัดกันที่จุด $A$ เรียกว่า มุมไดฮีดรัลเชิงเส้น(รูปที่ 3)
รูปที่ 3.
แน่นอนว่า ทุกมุมไดฮีดรัลมีจำนวนมุมเชิงเส้นเป็นอนันต์
ทฤษฎีบท 1
มุมเชิงเส้นทั้งหมดของมุมไดฮีดรัลด้านหนึ่งจะเท่ากัน
การพิสูจน์.
ลองพิจารณามุมเชิงเส้นสองมุม $AOB$ และ $A_1(OB)_1$ (รูปที่ 4)
รูปที่ 4.
เนื่องจากรังสี $OA$ และ $(OA)_1$ อยู่ในระนาบครึ่งระนาบเดียวกัน $\alpha $ และตั้งฉากกับเส้นตรงเดียวกัน ดังนั้นรังสีทั้งสองจึงเป็นโคทิศทาง เนื่องจากรังสี $OB$ และ $(OB)_1$ อยู่ในครึ่งระนาบเดียวกัน $\beta $ และตั้งฉากกับเส้นตรงเดียวกัน ดังนั้นรังสีทั้งสองจึงเป็นโคทิศทาง เพราะฉะนั้น
\[\มุม AOB=\มุม A_1(OB)_1\]
เนื่องจากความไม่แน่นอนของการเลือกมุมเชิงเส้น มุมเชิงเส้นทั้งหมดของมุมไดฮีดรัลด้านหนึ่งจะเท่ากัน
ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว
คำจำกัดความ 3
การวัดระดับของมุมไดฮีดรัลคือการวัดระดับของมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัล
ตัวอย่างของปัญหา
ตัวอย่างที่ 1
ขอให้เราได้รับระนาบไม่ตั้งฉากสองระนาบ $\alpha $ และ $\beta $ ซึ่งตัดกันตามเส้นตรง $m$ จุด $A$ อยู่ในระนาบ $\beta$ $AB$ ตั้งฉากกับเส้น $m$ $AC$ ตั้งฉากกับระนาบ $\alpha $ (จุด $C$ เป็นของ $\alpha $) พิสูจน์ว่ามุม $ABC$ เป็นมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัล
การพิสูจน์.
มาวาดภาพตามเงื่อนไขของปัญหากัน (รูปที่ 5)
รูปที่ 5.
เพื่อพิสูจน์ ให้นึกถึงทฤษฎีบทต่อไปนี้
ทฤษฎีบท 2:เส้นตรงที่ลากผ่านฐานของเส้นที่เอียงจะตั้งฉากกับเส้นนั้น ตั้งฉากกับเส้นโครง
เนื่องจาก $AC$ ตั้งฉากกับระนาบ $\alpha $ ดังนั้นจุด $C$ จึงเป็นเส้นโครงของจุด $A$ ลงบนระนาบ $\alpha $ ดังนั้น $BC$ จึงเป็นเส้นโครงของ $AB$ แบบเฉียง ตามทฤษฎีบทที่ 2 $BC$ ตั้งฉากกับขอบของมุมไดฮีดรัล
จากนั้น มุม $ABC$ จะเป็นไปตามข้อกำหนดทั้งหมดสำหรับการกำหนดมุมไดฮีดรัลเชิงเส้น
ตัวอย่างที่ 2
มุมไดฮีดรัลคือ $30^\circ$ บนใบหน้าด้านใดด้านหนึ่งมีจุด $A$ ซึ่งอยู่ห่างจากด้านอื่น 4$ ซม. จงหาระยะห่างจากจุด $A$ ถึงขอบของมุมไดฮีดรัล
สารละลาย.
ลองดูรูปที่ 5.
ตามเงื่อนไข เรามี $AC=4\cm$
ตามคำจำกัดความของการวัดระดับของมุมไดฮีดรัล เราได้มุม $ABC$ เท่ากับ $30^\circ$
สามเหลี่ยม $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยนิยามของไซน์ของมุมแหลม
\[\frac(AC)(AB)=บาป(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\] \
มุมไดฮีดรัล มุมไดฮีดรัลเชิงเส้น มุมไดฮีดรัลคือรูปร่างที่เกิดจากระนาบครึ่งระนาบสองอันซึ่งไม่อยู่ในระนาบเดียวกันและมีขอบเขตร่วม - เส้นตรง a ระนาบครึ่งระนาบที่สร้างมุมไดฮีดรัลเรียกว่าหน้าของมัน และขอบเขตร่วมของระนาบครึ่งระนาบเหล่านี้เรียกว่าขอบของมุมไดฮีดรัล มุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัลคือมุมที่ด้านข้างเป็นรังสีซึ่งใบหน้าของมุมไดฮีดรัลตัดกันด้วยระนาบที่ตั้งฉากกับขอบของมุมไดฮีดรัล มุมไดฮีดรัลแต่ละมุมจะมีมุมเชิงเส้นจำนวนเท่าใดก็ได้ โดยสามารถวาดระนาบตั้งฉากกับขอบนี้ผ่านจุดแต่ละจุดของขอบได้ รังสีที่ระนาบนี้ตัดกับหน้าของมุมไดฮีดรัลจะทำให้เกิดมุมเชิงเส้น
มุมเชิงเส้นทั้งหมดของมุมไดฮีดรัลมีค่าเท่ากัน ขอให้เราพิสูจน์ว่าถ้ามุมไดฮีดรัลที่เกิดจากระนาบของฐานของพีระมิด KABC และระนาบของพื้นผิวด้านข้างเท่ากัน ดังนั้นฐานของเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดยอด K จะเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในสามเหลี่ยม ABC
การพิสูจน์. ก่อนอื่น มาสร้างมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัลที่เท่ากันกันก่อน ตามคำนิยาม ระนาบของมุมเชิงเส้นจะต้องตั้งฉากกับขอบของมุมไดฮีดรัล ดังนั้น ขอบของมุมไดฮีดรัลจะต้องตั้งฉากกับด้านข้างของมุมเชิงเส้น ถ้า KO ตั้งฉากกับระนาบฐาน เราก็สามารถวาด OR ตั้งฉาก AC, หรือ ตั้งฉาก SV, OQ ตั้งฉาก AB แล้วเชื่อมต่อจุด P, Q, R กับจุด K ได้ ดังนั้น เราจะสร้างเส้นโครงของ RK, QK ที่มีความเอียง , RK เพื่อให้ขอบ AC, NE, AB ตั้งฉากกับเส้นโครงเหล่านี้ ดังนั้นซี่โครงเหล่านี้จึงตั้งฉากกับซี่โครงที่เอียงด้วย ดังนั้นระนาบของสามเหลี่ยม ROK, QOK, ROK จึงตั้งฉากกับขอบที่สอดคล้องกันของมุมไดฮีดรัล และสร้างมุมเชิงเส้นที่เท่ากันตามที่กล่าวไว้ในเงื่อนไข สามเหลี่ยมมุมฉาก ROK, QOK, ROK มีความเท่ากันทุกประการ (เนื่องจากมีขาร่วม OK และมุมที่อยู่ตรงข้ามกับขานี้เท่ากัน) ดังนั้น OR = OR = OQ หากเราวาดวงกลมโดยมีจุดศูนย์กลาง O และรัศมี OP แล้วด้านข้างของสามเหลี่ยม ABC จะตั้งฉากกับรัศมี OP, OR และ OQ ดังนั้นจึงสัมผัสกับวงกลมนี้
ความตั้งฉากของเครื่องบิน ระนาบอัลฟ่าและเบตาจะเรียกว่าตั้งฉากถ้ามุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัลมุมใดมุมหนึ่งที่เกิดขึ้นที่จุดตัดกันมีค่าเท่ากับ 90" สัญญาณของการตั้งฉากของระนาบสองระนาบ หากระนาบหนึ่งในสองระนาบผ่านเส้นตั้งฉากกับระนาบอื่น แล้วระนาบเหล่านี้จะตั้งฉากกัน
รูปนี้แสดงรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน ฐานของมันคือสี่เหลี่ยม ABCD และ A1B1C1D1 และซี่โครงด้านข้าง AA1 BB1, CC1, DD1 ตั้งฉากกับฐาน ตามมาว่า AA1 ตั้งฉากกับ AB กล่าวคือ ขอบด้านข้าง- สี่เหลี่ยมผืนผ้า. ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะปรับคุณสมบัติให้เหมาะสม เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนานกัน: ในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ใบหน้าทั้งหกด้านเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ใบหน้าทั้งหกเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า มุมไดฮีดรัลทั้งหมดของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้านขนานเป็นมุมฉาก มุมไดฮีดรัลทั้งหมดของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้านขนานเป็นมุมฉาก
ทฤษฎีบทกำลังสองของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้านขนาน เท่ากับผลรวมสี่เหลี่ยมสามมิติของมัน ให้เรากลับมาที่รูปอีกครั้ง และพิสูจน์ว่า AC12 = AB2 + AD2 + AA12 เนื่องจากขอบ CC1 ตั้งฉากกับฐาน ABCD มุม ACC1 จึงเป็นมุมฉาก จากสามเหลี่ยมมุมฉาก ACC1 โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราจะได้ AC12 = AC2 + CC12 แต่ AC เป็นเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยม ABCD ดังนั้น AC2 = AB2 + AD2 นอกจากนี้ CC1 = AA1 ดังนั้น AC12= AB2+AD2+AA12 ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว