ปัญหาเชิงผสมผสาน (ป.5) เชิงผสม
Combinatorics เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาคำถามเกี่ยวกับจำนวนค่าผสมต่างๆ ที่สามารถสร้างขึ้นจากวัตถุที่กำหนดได้ ขึ้นอยู่กับเงื่อนไขบางประการ พื้นฐานของการรวมกันมีความสำคัญมากในการประมาณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่มเพราะว่า เป็นสิ่งที่ช่วยให้เราคำนวณจำนวนตัวเลือกต่าง ๆ ที่เป็นไปได้โดยพื้นฐานสำหรับการพัฒนากิจกรรม
สูตรพื้นฐานของเชิงผสม
ให้มีสมาชิก k กลุ่ม และกลุ่ม i-th ประกอบด้วยสมาชิก ni
เรามาเลือกหนึ่งองค์ประกอบจากแต่ละกลุ่ม จากนั้นจำนวน N ทั้งหมดของวิธีที่สามารถเลือกได้จะถูกกำหนดโดยความสัมพันธ์ N=n 1 *n 2 *n 3 *...*n kตัวอย่างที่ 1
ให้เราอธิบายกฎนี้ด้วยตัวอย่างง่ายๆ ให้มีองค์ประกอบสองกลุ่มและกลุ่มแรกประกอบด้วยองค์ประกอบ n 1 รายการและองค์ประกอบที่สองจาก n 2 องค์ประกอบ สามารถสร้างองค์ประกอบที่แตกต่างกันได้กี่คู่จากสองกลุ่มนี้ โดยที่คู่นั้นมีองค์ประกอบเดียวจากแต่ละกลุ่ม สมมติว่าเรานำองค์ประกอบแรกจากกลุ่มแรก และไม่ได้เปลี่ยนมัน เราผ่านคู่ที่เป็นไปได้ทั้งหมด โดยเปลี่ยนเฉพาะองค์ประกอบจากกลุ่มที่สอง องค์ประกอบนี้สามารถมีได้ 2 คู่ จากนั้นเราก็นำองค์ประกอบที่สองจากกลุ่มแรกและสร้างคู่ที่เป็นไปได้ทั้งหมดให้กับมัน ก็จะมี 2 คู่ดังกล่าวเช่นกันเนื่องจากกลุ่มแรกมีเพียง n 1 องค์ประกอบ ตัวเลือกที่เป็นไปได้ทั้งหมดจึงเท่ากับ n 1 *n 2
ตัวอย่างที่ 2จากเลข 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 สามารถสร้างเลขคู่สามหลักได้กี่ตัว ถ้าซ้ำได้?
สารละลาย:
n 1 =6 (เพราะคุณสามารถใช้ตัวเลขใดๆ จาก 1, 2, 3, 4, 5, 6 เป็นหลักตัวแรก), n 2 =7 (เพราะคุณสามารถใช้ตัวเลขใดๆ จาก 0 เป็นหลักที่สอง , 1, 2 , 3, 4, 5, 6), n 3 = 4 (เนื่องจากตัวเลขใดๆ ตั้งแต่ 0, 2, 4, 6 สามารถใช้เป็นหลักที่สามได้) ดังนั้น N=n 1 *n 2 *n 3 =6*7*4=168
ในกรณีที่ทุกกลุ่มมีจำนวนองค์ประกอบเท่ากัน เช่น n 1 =n 2 =...n k =n เราสามารถสรุปได้ว่าการเลือกแต่ละรายการนั้นมาจากกลุ่มเดียวกัน และองค์ประกอบหลังจากการเลือกจะถูกส่งกลับไปยังกลุ่ม ดังนั้นจำนวนวิธีการเลือกทั้งหมดคือ n k วิธีการเลือกในเชิงผสมนี้เรียกว่าตัวอย่างพร้อมผลตอบแทน
ตัวอย่างที่ 3สำหรับแต่ละหลักของตัวเลขสี่หลัก มีความเป็นไปได้ห้าแบบ ซึ่งหมายความว่า N=5*5*5*5=5 4 =625
พิจารณาเซตที่ประกอบด้วยสมาชิก n ตัว ในเชิงผสมเซตนี้เรียกว่า ประชากรทั่วไป.
จำนวนตำแหน่งขององค์ประกอบ n ตัวโดย m
คำจำกัดความ 1.ที่พักจาก nองค์ประกอบโดย มในเชิงผสมใดๆ สั่งชุดจาก มองค์ประกอบต่าง ๆ ที่คัดเลือกมาจากประชากรใน nองค์ประกอบ
ตัวอย่างที่ 4การจัดเรียงที่แตกต่างกันของสามองค์ประกอบ (1, 2, 3) โดยสองจะเป็นเซต (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3 , 2 ). ตำแหน่งอาจแตกต่างกันทั้งในองค์ประกอบและตามลำดับ
จำนวนตำแหน่งในการจัดตำแหน่งจะแสดงด้วย A n m และคำนวณโดยสูตร:
ความคิดเห็น: n!=1*2*3*...*n (อ่าน: “en factorial”) นอกจากนี้ จะถือว่า 0!=1
ตัวอย่างที่ 5- มีตัวเลขสองหลักกี่ตัวที่หลักสิบและหลักหน่วยต่างกันและเป็นคี่?
ตัวอย่างที่ 2เพราะ หากมีเลขคี่ห้าหลัก ได้แก่ 1, 3, 5, 7, 9 งานนี้อยู่ที่การเลือกและวางตัวเลขที่แตกต่างกันสองหลักจากห้าหลักในตำแหน่งที่แตกต่างกันสองตำแหน่ง กล่าวคือ ตัวเลขที่ระบุจะเป็น:
คำจำกัดความ 2. การรวมกันจาก nองค์ประกอบโดย มในเชิงผสมใดๆ ชุดที่ไม่เรียงลำดับจาก มองค์ประกอบต่าง ๆ ที่คัดเลือกมาจากประชากรใน nองค์ประกอบ
ตัวอย่างที่ 6- สำหรับเซต (1, 2, 3) ชุดค่าผสมคือ (1, 2), (1, 3), (2, 3)
จำนวนการรวมกันขององค์ประกอบ n รายการ โดยแต่ละรายการเป็น m
จำนวนชุดค่าผสมแสดงด้วย C n m และคำนวณโดยสูตร:
ตัวอย่างที่ 7ผู้อ่านสามารถเลือกหนังสือสองเล่มจากหกเล่มที่มีอยู่ได้กี่วิธี?
ตัวอย่างที่ 2จำนวนวิธีเท่ากับจำนวนชุดค่าผสมของหนังสือหกเล่มจากสองเล่มนั่นคือ เท่ากับ:
การเรียงสับเปลี่ยนขององค์ประกอบ n
คำจำกัดความ 3. การเรียงสับเปลี่ยนจาก nองค์ประกอบเรียกว่าอะไรก็ได้ สั่งชุดองค์ประกอบเหล่านี้
ตัวอย่าง 7aการเรียงสับเปลี่ยนที่เป็นไปได้ทั้งหมดของเซตที่ประกอบด้วยสามองค์ประกอบ (1, 2, 3) คือ: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3) , ( 3, 2, 1), (3, 1, 2)
จำนวนการเรียงสับเปลี่ยนที่แตกต่างกันขององค์ประกอบ n เขียนแทนด้วย P n และคำนวณโดยสูตร P n =n!
ตัวอย่างที่ 8หนังสือ 7 เล่มที่เขียนโดยผู้แต่งต่างกันสามารถจัดเรียงเป็นแถวเดียวบนชั้นวางได้กี่วิธี?
ตัวอย่างที่ 2ปัญหานี้เกี่ยวกับจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนของหนังสือเจ็ดเล่มที่แตกต่างกัน มี P 7 =7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 วิธีจัดเรียงหนังสือ.
การอภิปราย.เราเห็นว่าจำนวนชุดค่าผสมที่เป็นไปได้สามารถคำนวณได้ตามกฎต่างๆ (การเรียงสับเปลี่ยน ชุดค่าผสม ตำแหน่ง) และผลลัพธ์จะแตกต่างกัน เนื่องจาก หลักการคำนวณและสูตรต่างกัน เมื่อดูคำจำกัดความอย่างละเอียด คุณจะสังเกตเห็นว่าผลลัพธ์นั้นขึ้นอยู่กับปัจจัยหลายประการพร้อมกัน
ประการแรก จากจำนวนองค์ประกอบที่เราสามารถรวมชุดต่างๆ เข้าด้วยกันได้ (จำนวนองค์ประกอบทั้งหมดมีขนาดใหญ่เพียงใด)
ประการที่สอง ผลลัพธ์ขึ้นอยู่กับขนาดของชุดองค์ประกอบที่เราต้องการ
สุดท้ายนี้ สิ่งสำคัญคือต้องทราบว่าลำดับขององค์ประกอบในชุดมีความสำคัญต่อเราหรือไม่ ให้เราอธิบายปัจจัยสุดท้ายโดยใช้ตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ 9มีผู้เข้าร่วมการประชุมผู้ปกครองจำนวน 20 คน องค์ประกอบของคณะกรรมการผู้ปกครองมีกี่ตัวเลือกหากต้องรวม 5 คน?
ตัวอย่างที่ 2ในตัวอย่างนี้ เราไม่สนใจลำดับชื่อในรายชื่อคณะกรรมการ หากเป็นผลให้คนกลุ่มเดียวกันกลายเป็นส่วนหนึ่งของมัน ดังนั้นสำหรับเราแล้ว นี่คือตัวเลือกเดียวกัน ดังนั้นเราจึงสามารถใช้สูตรในการคำนวณตัวเลขได้ การรวมกันจำนวน 20 องค์ประกอบ อย่างละ 5 ชิ้น
สิ่งต่าง ๆ จะแตกต่างกันหากสมาชิกคณะกรรมการแต่ละคนรับผิดชอบงานเฉพาะด้านตั้งแต่แรก จากนั้นด้วยรายชื่อคณะกรรมการชุดเดียวกัน ก็อาจมี 5 รายการอยู่ในนั้น! ตัวเลือก การเรียงสับเปลี่ยนเรื่องนั้น จำนวนตัวเลือกที่แตกต่างกัน (ทั้งในองค์ประกอบและพื้นที่รับผิดชอบ) จะถูกกำหนดในกรณีนี้ด้วยจำนวน ตำแหน่งจำนวน 20 องค์ประกอบ อย่างละ 5 ชิ้น
งานทดสอบตัวเอง
1. จากเลข 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 สามารถสร้างเลขคู่สามหลักได้กี่ตัว ถ้าซ้ำได้
2. มีตัวเลขห้าหลักที่อ่านเหมือนกันจากซ้ายไปขวาและจากขวาไปซ้ายกี่หมายเลข?
3. มี 10 วิชาในชั้นเรียนและ 5 บทเรียนต่อวัน คุณสามารถสร้างตารางเวลาสำหรับหนึ่งวันได้กี่วิธี?
4. สามารถเลือกผู้ร่วมประชุม 4 คนสำหรับการประชุมได้กี่วิธีหากในกลุ่มมี 20 คน?
5. สามารถใส่ตัวอักษรที่แตกต่างกันแปดตัวลงในซองจดหมายแปดซองที่แตกต่างกันได้กี่วิธี ถ้าแต่ละซองใส่ตัวอักษรได้เพียงตัวเดียว?
6. คณะกรรมการที่ประกอบด้วยนักคณิตศาสตร์สองคนและนักเศรษฐศาสตร์หกคน ควรประกอบด้วยนักคณิตศาสตร์สามคนและนักเศรษฐศาสตร์สิบคน สามารถทำได้กี่วิธี?
Combinatorics เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาคำถามว่าวัตถุ (องค์ประกอบ) ที่กำหนดสามารถนำมารวมกันได้กี่ประเภท
กฎการคูณ (สูตรพื้นฐานของการรวมกัน)
จำนวนวิธีทั้งหมดที่คุณสามารถเลือกองค์ประกอบหนึ่งรายการจากแต่ละกลุ่มและจัดเรียงตามลำดับที่แน่นอน (นั่นคือ รับชุดที่เรียงลำดับ) เท่ากับ:
ตัวอย่างที่ 1
มีการโยนเหรียญ 3 ครั้ง คุณสามารถคาดหวังผลการทอยที่แตกต่างกันได้กี่แบบ?
สารละลาย
เหรียญแรกมีทางเลือกให้เลือก - หัวหรือก้อย สำหรับเหรียญที่สองก็มีทางเลือกอื่นเช่นกัน ฯลฯ เช่น -
จำนวนวิธีที่ต้องการ:
กฎการบวก
ถ้าสองกลุ่มไม่มีองค์ประกอบที่เหมือนกัน การเลือกองค์ประกอบหนึ่งจาก หรือจาก , ...หรือจาก สามารถทำได้หลายวิธี
ตัวอย่างที่ 2
บนชั้นมีหนังสืออยู่ 30 เล่ม โดยแบ่งเป็นหนังสือเชิงคณิตศาสตร์ 20 เล่ม เล่มทางเทคนิค 6 เล่ม และเล่มเศรษฐศาสตร์ 4 เล่ม มีกี่วิธีในการเลือกหนังสือคณิตศาสตร์หรือเศรษฐศาสตร์หนึ่งเล่ม?
สารละลาย
หนังสือคณิตศาสตร์สามารถเลือกได้หลายวิธี หนังสือเศรษฐศาสตร์สามารถเลือกได้
ตามกฎผลรวมมีวิธีเลือกหนังสือคณิตหรือเศรษฐศาสตร์ได้
ตำแหน่งและการจัดเรียงใหม่
ตำแหน่ง- สิ่งเหล่านี้คือการรวบรวมองค์ประกอบตามลำดับที่แตกต่างกันไม่ว่าจะในองค์ประกอบหรือตามลำดับขององค์ประกอบ
ตำแหน่งที่ไม่มีการทำซ้ำเมื่อองค์ประกอบที่เลือกไม่ได้ส่งคืนให้กับประชากรก่อนที่จะเลือกองค์ประกอบถัดไป การเลือกดังกล่าวเรียกว่าการเลือกตามลำดับที่ไม่มีการทำซ้ำ และผลลัพธ์ที่ได้คือการวางตำแหน่งโดยไม่มีการซ้ำซ้อนขององค์ประกอบโดย
จำนวนวิธีต่างๆ ในการเลือกตามลำดับโดยไม่ต้องส่งคืนองค์ประกอบจากจำนวนประชากรของไดรฟ์ข้อมูลจะเท่ากับ:
ตัวอย่างที่ 3
ตารางรายวันประกอบด้วย 5 บทเรียนที่แตกต่างกัน กำหนดจำนวนตัวเลือกการจัดกำหนดการเมื่อเลือกจาก 11 สาขาวิชา
สารละลาย
ตัวเลือกกำหนดการแต่ละรายการแสดงถึงชุดของ 5 สาขาวิชาจาก 11 สาขาวิชา ซึ่งแตกต่างจากตัวเลือกอื่นๆ ทั้งในองค์ประกอบและลำดับ นั่นเป็นเหตุผล:
การจัดเรียงใหม่เป็นการเรียงลำดับคอลเลกชันที่แตกต่างกันตามลำดับองค์ประกอบเท่านั้น จำนวนการเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมดของชุดองค์ประกอบจะเท่ากับ
ตัวอย่างที่ 4
หนึ่งโต๊ะสามารถนั่งคน 4 คนได้กี่วิธี?
สารละลาย
ตัวเลือกที่นั่งแต่ละแบบจะแตกต่างกันไปตามลำดับของผู้เข้าร่วมเท่านั้นนั่นคือเป็นการเรียงสับเปลี่ยนขององค์ประกอบ 4 ประการ:
ตำแหน่งที่มีการทำซ้ำเมื่อองค์ประกอบที่เลือกถูกส่งกลับไปยังประชากรก่อนที่จะเลือกองค์ประกอบถัดไป การเลือกนี้เรียกว่าการเลือกตามลำดับพร้อมผลตอบแทน และผลลัพธ์เรียกว่าการวางตำแหน่งที่มีการซ้ำขององค์ประกอบโดย
จำนวนวิธีต่างๆ ทั้งหมดที่สามารถเลือกส่งคืนองค์ประกอบจากจำนวนประชากรของปริมาตรได้เท่ากับ
ตัวอย่างที่ 5
ลิฟต์หยุดที่ชั้น 7 ผู้โดยสาร 6 คนในห้องโดยสารลิฟต์สามารถออกจากชั้นเหล่านี้ได้กี่วิธี?
สารละลาย
แต่ละวิธีในการกระจายผู้โดยสารข้ามชั้นคือการรวมกันของผู้โดยสาร 6 คนทั่วทั้ง 7 ชั้น ซึ่งแตกต่างจากชุดค่าผสมอื่น ๆ ทั้งในองค์ประกอบและตามลำดับ เนื่องจากผู้โดยสารหนึ่งคนหรือหลายคนสามารถออกจากชั้นเดียวกันได้ ผู้โดยสารคนเดียวกันจึงสามารถออกซ้ำได้ ดังนั้นจำนวนชุดค่าผสมดังกล่าวจึงเท่ากับจำนวนตำแหน่งที่มีการทำซ้ำ 7 องค์ประกอบจาก 6:
การรวมกัน
การรวมกันขององค์ประกอบ n ตัวโดย k เรียกว่าคอลเลกชันที่ไม่เรียงลำดับซึ่งแตกต่างกันอย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบ
ปล่อยให้องค์ประกอบหลายอย่างถูกพรากไปจากประชากรทั่วไปในคราวเดียว (หรือองค์ประกอบต่างๆ จะถูกนำมาตามลำดับ แต่ไม่ได้คำนึงถึงลำดับของการปรากฏตัวของพวกมัน) อันเป็นผลมาจากการเลือกองค์ประกอบที่ไม่เรียงลำดับพร้อมกันจากประชากรทั่วไปของปริมาตรจึงได้ชุดค่าผสมที่เรียกว่า การรวมกันโดยไม่มีการซ้ำซ้อนจากองค์ประกอบโดย .
จำนวนการรวมกันขององค์ประกอบเท่ากับ:
ตัวอย่างที่ 6
มีแอปเปิ้ล 9 ลูกในกล่อง คุณสามารถเลือกแอปเปิ้ล 3 ผลจากกล่องได้กี่วิธี?
สารละลาย
แต่ละตัวเลือกประกอบด้วยแอปเปิ้ล 3 ลูกและแตกต่างจากตัวเลือกอื่น ๆ ในองค์ประกอบเท่านั้นนั่นคือเป็นการรวมกันโดยไม่มีองค์ประกอบ 9 ซ้ำ:
จำนวนวิธีที่คุณสามารถเลือกแอปเปิ้ล 3 ผลจาก 9 ผล:
ปล่อยให้องค์ประกอบถูกเลือกจากประชากรทั่วไปของไดรฟ์ข้อมูล ทีละรายการ และองค์ประกอบที่เลือกแต่ละรายการจะถูกส่งกลับไปยังประชากรทั่วไปก่อนที่จะเลือกองค์ประกอบถัดไป บันทึกนี้จะบันทึกองค์ประกอบที่ปรากฏและจำนวนครั้ง แต่ไม่ได้คำนึงถึงลำดับที่ปรากฏ มวลรวมที่ได้จะถูกเรียกว่า ผสมผสานกับการทำซ้ำจากองค์ประกอบโดย .
จำนวนชุดค่าผสมที่มีการซ้ำขององค์ประกอบตาม:
ตัวอย่างที่ 7
ที่ทำการไปรษณีย์จำหน่ายโปสการ์ด 3 แบบ คุณสามารถซื้อโปสการ์ด 6 ใบได้กี่วิธี?
นี่คือภารกิจในการค้นหาจำนวนชุดค่าผสมที่มีการซ้ำ 3 ถึง 6:
การแบ่งชุดออกเป็นกลุ่ม
ปล่อยให้ชุดขององค์ประกอบที่แตกต่างกันถูกแบ่งออกเป็นกลุ่มเช่นนี้ จากนั้นกลุ่มแรกประกอบด้วยองค์ประกอบ องค์ประกอบที่สอง องค์ประกอบกลุ่มที่ th และ สถานการณ์นี้เรียกว่าการแบ่งพาร์ติชันชุดออกเป็นกลุ่ม
จำนวนพาร์ติชันออกเป็นกลุ่ม เมื่อองค์ประกอบตกอยู่ในกลุ่มแรก องค์ประกอบอยู่ในกลุ่มที่สอง และองค์ประกอบอยู่ในกลุ่มที่ k จะเท่ากับ:
ตัวอย่างที่ 8
กลุ่ม 16 คนจะต้องแบ่งออกเป็นสามกลุ่มย่อย กลุ่มแรกควรมี 5 คน กลุ่มที่สอง - 7 คน กลุ่มที่สาม - 4 คน สามารถทำได้กี่วิธี?
เมื่อแก้ไขปัญหาในทางปฏิบัติหลายอย่าง มีความจำเป็นต้องใช้การรวมกันขององค์ประกอบ เลือกจากชุดที่กำหนดซึ่งมีคุณสมบัติบางอย่าง และวางไว้ในลำดับที่แน่นอน งานดังกล่าวเรียกว่า การรวมกัน- สาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับการแก้ปัญหาการเลือกและการจัดเรียงองค์ประกอบตามเงื่อนไขที่กำหนดเรียกว่าเชิงคณิตศาสตร์ คำว่า "combinatorics" มาจากคำภาษาละติน "รวมกัน"ซึ่งแปลเป็นภาษารัสเซียแปลว่า "รวม" "เชื่อมต่อ"
กลุ่มองค์ประกอบที่เลือกเรียกว่าการเชื่อมต่อ หากองค์ประกอบทั้งหมดของการเชื่อมต่อแตกต่างกัน เราจะได้การเชื่อมต่อโดยไม่ต้องทำซ้ำ ซึ่งเราจะพิจารณาด้านล่าง
ปัญหาเชิงผสมส่วนใหญ่แก้ไขได้โดยใช้กฎพื้นฐานสองข้อ - กฎผลรวมและกฎผลคูณ.
ภารกิจที่ 1
ร้าน Everything for Tea มีถ้วย 6 แบบและจานรอง 4 แบบ คุณสามารถซื้อถ้วยและจานรองได้กี่แบบ
สารละลาย.
เราสามารถเลือกถ้วยได้ 6 วิธี และจานรองได้ 4 วิธี เนื่องจากเราต้องซื้อถ้วยและจานรอง 1 คู่ จึงทำได้ 6 · 4 = 24 วิธี (ตามกฎผลิตภัณฑ์)
คำตอบ: 24.
เพื่อแก้ปัญหาเชิงผสมได้สำเร็จ คุณต้องเลือกสูตรที่ถูกต้องเพื่อใช้ค้นหาจำนวนสารประกอบที่ต้องการด้วย แผนภาพต่อไปนี้จะช่วยในเรื่องนี้
ลองพิจารณาแก้ไขปัญหาต่าง ๆ สำหรับการเชื่อมต่อประเภทต่าง ๆ โดยไม่ต้องทำซ้ำ
ภารกิจที่ 2
ค้นหาจำนวนตัวเลขสามหลักที่สามารถสร้างได้จากตัวเลข 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ถ้าตัวเลขซ้ำกันในตัวเลขนั้นไม่ได้
ตัวอย่างที่ 3
ในการเลือกสูตร เราพบว่าสำหรับตัวเลขที่เราจะเขียนนั้น ลำดับจะถูกนำมาพิจารณาและไม่ได้เลือกองค์ประกอบทั้งหมดพร้อมกัน หมายความว่าการเชื่อมต่อนี้เป็นการจัดเรียงองค์ประกอบ 7 รายการๆ ละ 3 รายการ ลองใช้สูตรสำหรับจำนวนตำแหน่ง: A 7 3 = 7(7 – 1)(7 – 2) = 7 · 6 · 5 = 210 หมายเลข
คำตอบ: 210.
ภารกิจที่ 3
มีหมายเลขโทรศัพท์เจ็ดหลักจำนวนเท่าใดที่ตัวเลขทั้งหมดต่างกันและไม่สามารถขึ้นต้นด้วยศูนย์ได้
ตัวอย่างที่ 3
เมื่อมองแวบแรก งานนี้เหมือนกับงานก่อนหน้า แต่ปัญหาคือเราจะต้องไม่คำนึงถึงการเชื่อมต่อที่เริ่มต้นจากศูนย์ ซึ่งหมายความว่าคุณต้องสร้างหมายเลขโทรศัพท์เจ็ดหลักทั้งหมดจากตัวเลข 10 หลักที่มีอยู่ จากนั้นลบจำนวนตัวเลขที่ขึ้นต้นด้วยศูนย์ออกจากหมายเลขผลลัพธ์ สูตรจะมีลักษณะดังนี้:
ก 10 7 – ก 9 6 = 10 9 8 7 6 5 4 – 9 8 7 6 5 4 = 544,320.
คำตอบ: 544 320.
ภารกิจที่ 4
หนังสือ 12 เล่มสามารถจัดวางบนชั้นวางได้กี่วิธี โดย 5 เล่มในนั้นเป็นคอลเลกชันบทกวี เพื่อให้คอลเลกชันอยู่ติดกัน
ตัวอย่างที่ 3
ก่อนอื่น ให้เรานำคอลเลกชั่น 5 คอลเลกชั่นเป็นหนังสือเล่มเดียวโดยมีเงื่อนไข เนื่องจากคอลเลกชั่นเหล่านั้นควรอยู่ติดกัน เนื่องจากลำดับเป็นสิ่งจำเป็นในการรวมกัน และใช้องค์ประกอบทั้งหมด ซึ่งหมายความว่าสิ่งเหล่านี้คือการเรียงสับเปลี่ยนขององค์ประกอบ 8 รายการ (หนังสือ 7 เล่ม + หนังสือทั่วไป 1 เล่ม) หมายเลขของพวกเขาคือ R 8 ต่อไปเราจะจัดเรียงเฉพาะคอลเลกชันบทกวีในหมู่พวกเราเอง ซึ่งสามารถทำได้ 5 วิธี เนื่องจากเราต้องจัดเรียงทั้งคอลเลกชันและหนังสือเล่มอื่นๆ เราจึงจะใช้กฎผลิตภัณฑ์ ดังนั้น ป 8 · ป 5 = 8! · 5!. จำนวนวิธีจะมีมาก ดังนั้นคำตอบจึงสามารถเหลืออยู่ในรูปผลคูณของแฟกทอเรียลได้
ตอบ: 8! · 5!
ปัญหาที่ 5.
ในชั้นเรียนมีเด็กชาย 16 คน และเด็กหญิง 12 คน เพื่อทำความสะอาดบริเวณใกล้โรงเรียน จำเป็นต้องมีเด็กชาย 4 คน และเด็กหญิง 3 คน สามารถเลือกนักเรียนทุกคนในชั้นเรียนได้กี่วิธี?
ตัวอย่างที่ 3
ขั้นแรก เราเลือกเด็กผู้ชาย 4 คนจาก 16 คนและเด็กผู้หญิง 3 คนจาก 12 คนแยกกัน เนื่องจากไม่ได้คำนึงถึงลำดับตำแหน่ง สารประกอบที่เกี่ยวข้องจึงเป็นการรวมกันโดยไม่มีการทำซ้ำ เนื่องจากจำเป็นต้องเลือกทั้งเด็กชายและเด็กหญิงพร้อมกัน เราจึงใช้กฎผลคูณ โดยจะคำนวณจำนวนวิธีดังนี้
ค 16 4 C 12 3 = (16!/(4! 12!)) (12!/(3! 9!)) = ((13 14 15 16) / (2 3 4)) ·((10 · 11 · 12) / (2 · 3)) = 400 400
คำตอบ: 400 400.
ดังนั้น การแก้ปัญหาแบบผสมผสานที่ประสบผลสำเร็จจึงขึ้นอยู่กับการวิเคราะห์สภาวะที่ถูกต้อง การกำหนดประเภทของสารประกอบที่จะประกอบขึ้น และการเลือกสูตรที่เหมาะสมสำหรับการคำนวณปริมาณของสารประกอบเหล่านั้น
ยังมีคำถามอยู่ใช่ไหม? ไม่ทราบวิธีแก้ปัญหาเชิงผสมใช่หรือไม่?
หากต้องการความช่วยเหลือจากครูสอนพิเศษ ให้ลงทะเบียน
บทเรียนแรกฟรี!
เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา
ประเภทและคุณสมบัติ: บทเรียนในการค้นพบและเรียนรู้ความรู้ใหม่โดยการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติ.
วัตถุประสงค์ของบทเรียน: สอนให้นักเรียนแก้ปัญหาเชิงผสมผสานโดยใช้วิธีการต่อไปนี้ 1) การค้นหาแบบจำกัด; 2) การสร้างแผนภูมิทางเลือกที่เป็นไปได้ 3) การใช้โต๊ะ
อุปกรณ์: ส่วนประกอบของศูนย์การศึกษา Vilenkin 5",คอมพิวเตอร์,ไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบ (บัตรประจำตัวประชาชน ) , ในแต่ละโต๊ะจะมี 2 แผ่น (รูปแบบ A4) พร้อมปัญหาในชั้นเรียนที่แก้ไขแล้ว 7 ข้อ และ 2 แผ่น (รูปแบบ A4) พร้อมปัญหาการทดสอบ 7 ข้อ. บนโต๊ะครูมีแผ่นงาน (รูปแบบ A4) ที่มีปัญหาในชั้นเรียนที่แก้ไขแล้ว 7 ข้อและแผ่นงาน (รูปแบบ A4) ที่มีปัญหาการทดสอบ 7 ข้อพร้อมวิธีแก้ไข งานพิมพ์การมอบหมายโครงงานสำหรับบ้าน
ขั้นตอนบทเรียน
งานบนเวที
ภาพ
กิจกรรมครู
กิจกรรมนักศึกษา
ก่อตั้ง UUD
องค์กร
รวบรวมการบ้าน เตรียมเข้าเรียน
เลื่อนบนกระดาน:
“เรียนรู้ยาก ต่อสู้ง่าย”
กรุณาส่งสมุดการบ้านของคุณเพื่อตรวจสอบ ฉันขอเตือนคุณว่าวันนี้เรากำลังเริ่มศึกษาหัวข้อใหม่
ผู้เข้าร่วมประชุมเดินผ่านห้องเรียนและรวบรวมสมุดบันทึก
การกำกับดูแลตนเอง การทำนาย และการประเมิน
การปรับปรุงความรู้ทางทฤษฎี
กำหนดวัตถุประสงค์ของบทเรียน
บนกระดาน: วันที่และชื่อเรื่อง: “ปัญหาเชิงผสม”
เพื่อนๆ วันนี้เราจะพาเดินทางสู่โลกของ “Combinatorics” ที่น่าหลงใหล
ตั้งคำถามในใจว่า "นี่คืออะไร"
การตั้งเป้าหมาย การสะท้อนวัตถุ
ชี้แจงเรื่องใหม่
ลา
ความคุ้นเคยเบื้องต้นกับแนวคิดพื้นฐาน
วิธีการวิธีการ
โซลูชั่น
ปัญหาเชิงผสม
เลื่อนบนกระดาน: คำว่า "combinatorics" มาจากคำภาษาละติน COMBINARE ซึ่งแปลว่า "เชื่อมต่อ" "รวม"
ครูถามว่าคุณคิดว่าคำว่า “combinatorics” หมายถึงอะไร?
ครูหยุดฟังคำตอบแล้วพูดคำจำกัดความ
คำว่า "combinatorics" มาจากคำภาษาละติน COMBINARE ซึ่งแปลว่า "เชื่อมต่อ" "รวม"
เด็ก ๆ ตอบด้วยการตั้งสมมุติฐาน
ตั้งใจฟัง อ่านคำจำกัดความในเอกสารประกอบคำบรรยาย
การเสนอและการทดสอบสมมติฐาน
เลื่อนบนกระดาน
เพื่อล็อคกระเป๋าเดินทางด้วยรหัสล็อคที่ประกอบด้วยตัวเลขสองตัวใดก็ได้ เจ้าของกระเป๋าเดินทางตัดสินใจใช้เฉพาะหมายเลข 1, 2 และ 3 เขาสามารถเลือกรหัสได้กี่วิธี?
ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้โดยใช้แผนผังตัวเลือกที่เป็นไปได้หรือค้นหาตัวเลือกที่เป็นไปได้ทั้งหมด
พวกเขาตั้งใจฟัง ดูสไลด์ คิด และจดจำ
การอ่านอย่างมีความหมาย.
เลื่อนบนกระดาน:
วิธีแก้ปัญหาด้วยต้นไม้ที่เป็นไปได้
ตัวเลือก
ต้นไม้แห่งทางเลือกที่เป็นไปได้ บ่อยครั้งเป็นกระบวนการสะดวกในการแจงนับโดยสร้างวงจรพิเศษที่เรียกว่าต้นไม้ทางเลือกที่เป็นไปได้
วาดรากของต้นไม้โดยใส่เครื่องหมาย *
ในการเลือกตัวเลขตัวแรกของรหัส เรามีสามตัวเลือก: 1; 2; 3. ดังนั้นให้วาดกิ่งสามกิ่งจากโคนต้นไม้แล้วติดเลข 1 ไว้ที่ปลายกิ่ง 2; 3.
ในการเลือกหลักที่สอง มีสามตัวเลือกเหมือนกัน เราดำเนินการ "กิ่งไม้"
การวิเคราะห์วัตถุ
เลื่อนบนกระดาน:
วิธีแก้ปัญหากำลังเดรัจฉาน
รหัสที่เหมาะสมคือตัวเลขสองหลักที่สามารถประกอบด้วยตัวเลขได้
1, 2, 3 เราจะเขียนตัวเลขทั้งหมดตามลำดับจากน้อยไปหามาก วิธีการแจงนับนี้จะช่วยให้เราไม่พลาดรหัสใด ๆ และในขณะเดียวกันก็ไม่ต้องทำซ้ำรหัสใด ๆ
จากจุดเริ่มต้นเราเขียนรหัสทั้งหมดที่ขึ้นต้นด้วยหมายเลข 1: 11, 12, 13 ตามลำดับจากน้อยไปหามาก จากนั้นเราเขียนรหัสที่ขึ้นต้นด้วยหมายเลข 2: 21, 22, 23 ตามลำดับจากน้อยไปมาก
จากนั้นจดรหัสจากน้อยไปหามากโดยขึ้นต้นด้วยหมายเลข 3: 31, 32, 33
จึงมี 9 วิธีให้เลือก
รหัส: 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33.
พวกเขาตั้งใจฟัง ดูสไลด์ คิด วิเคราะห์ จำแนกประเภท และจดจำ
การวิเคราะห์วัตถุ
การเลือกฐานเกณฑ์สำหรับการเปรียบเทียบ การแบ่งลำดับ การจำแนกประเภทของวัตถุ
การสร้างและการเปลี่ยนแปลงแบบจำลองและไดอะแกรมเพื่อแก้ไขปัญหาตามเงื่อนไขเฉพาะ
การรวมความรู้ใหม่
แสดงการประยุกต์ใช้ความรู้ทางทฤษฎีในทางปฏิบัติ
ผ่านการประยุกต์แก้ปัญหาเชิงปฏิบัติ
เลื่อนไปบนกระดานโดยมีเงื่อนไขของภารกิจที่ 1
ในห้องอาหารสำหรับอาหารเช้า คุณสามารถเลือกพิซซ่า ขนมปัง แซนด์วิช และคุณสามารถล้างมันด้วยชาและน้ำผลไม้ คุณสามารถเลือกอาหารเช้าได้กี่แบบ?
เลื่อนไปบนกระดานพร้อมกับวิธีแก้ปัญหา
สไลด์แสดงแผนผังตัวเลือกที่เป็นไปได้
ระดับแรก "เครื่องดื่ม"
สองตัวเลือก: ชา, น้ำผลไม้
ระดับที่สองสามตัวเลือก: PIZZA, BUN, SANDWICH
รวมอาหารเช้า 6 มื้อ ตัวเลือก:
ชา+พิซซ่า, ชา+พวง, ชา+แซนวิช, น้ำผลไม้+พิซซ่า, น้ำผลไม้+พวง, น้ำผลไม้+แซนด์วิช
พวกเขาตั้งใจฟัง ดูสไลด์ คิด วิเคราะห์ จำแนกประเภท และจดจำ
ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับวิชาชีพ
การวิเคราะห์วัตถุ
การเลือกฐานเกณฑ์สำหรับการเปรียบเทียบ การแบ่งลำดับ การจำแนกประเภทของวัตถุ
การสร้างและการเปลี่ยนแปลงแบบจำลองและไดอะแกรมเพื่อแก้ไขปัญหาตามเงื่อนไขเฉพาะ
เลื่อนไปบนกระดานตามเงื่อนไขของภารกิจที่ 2
ถนนสามสายทอดจากประเทศ “คณิตศาสตร์” สู่ประเทศ “วรรณกรรม” และถนนสี่สายทอดจากประเทศ “วรรณกรรม” สู่ประเทศ “พลศึกษา” คุณสามารถเดินทางจากประเทศ “คณิตศาสตร์” ไปได้กี่วิธี
ประเทศ “พลศึกษา” ผ่านประเทศ “วรรณกรรม”?
เลื่อนไปบนกระดานพร้อมกับวิธีแก้ปัญหา
การวาดภาพจะช่วยเราแก้ปัญหานี้
มาดู “เส้นทาง” ทั้งหมดกัน
ให้เรากำหนดถนนที่มาจากประเทศ “คณิตศาสตร์” ดังนี้ M1, M2, M3,
และจาก “วรรณกรรม” L1, L2, L3, L4
มาดูกันที่ M1+L1, M1+L2, M1+L3, M1+L4, M2+L1, M2+L2, M2+L3,
M2+L4, M3+L1, M3+L2, M3+L3, M3+L4
ดัน
เด็กๆ คิดเรื่องการคูณจำนวนถนน
หรือคุณสามารถคูณจำนวนถนน 3 * 4 = 12 ได้
พวกเขาตั้งใจฟัง ดูสไลด์ คิด วิเคราะห์ จำแนกประเภท และจดจำ
ทำความคุ้นเคยกับแบบจำลองและไดอะแกรมสำหรับการแก้ปัญหาตามเงื่อนไขเฉพาะ
เลื่อนไปบนกระดานตามเงื่อนไขของภารกิจที่ 3
รหัสตู้นิรภัยประกอบด้วยตัวอักษรและตัวเลข โดยให้ตัวอักษรอยู่อันดับแรก (เช่น A7) คุณสามารถสร้างรหัสได้กี่เวอร์ชันโดยใช้ตัวอักษร A, B, C และตัวเลข 3, 7, 9
เลื่อนไปบนกระดานพร้อมกับวิธีแก้ปัญหา
2) ในการเลือกตัวอักษรรหัสเรามีสามตัวเลือก: A; บี ; ค. ดังนั้นจึงดึงกิ่งสามกิ่งออกมาจากโคนต้นไม้และวางตัวอักษรไว้ที่ปลาย: A; บี ; ค.
3) ในการเลือกหมายเลข มีสามตัวเลือกเหมือนกัน เราดำเนินการ "กิ่ง"
ย้ายจากโคนต้นไม้ไปตามกิ่งก้านเราจะได้รหัสที่เป็นไปได้ทั้งหมด
A3, A7, A9, B3, B7, B9, C3, C7, C9
หรือรวม 3*3=9 ตัวเลือก
พวกเขาตั้งใจฟัง ดูสไลด์ คิด วิเคราะห์ จำแนกประเภท และจดจำ
ทำความคุ้นเคยกับแบบจำลองและไดอะแกรมสำหรับการแก้ปัญหาตามเงื่อนไขเฉพาะ
เลื่อนไปบนกระดานตามเงื่อนไขของภารกิจที่ 4
หลายประเทศได้ตัดสินใจใช้ธงในรูปแบบแถบแนวนอน 3 แถบที่มีความกว้างเท่ากันแต่มีสีต่างกัน เพื่อเป็นสัญลักษณ์ของรัฐ ได้แก่ สีขาว สีฟ้า สีแดง จะมีกี่ประเทศที่สามารถใช้สัญลักษณ์ดังกล่าวได้ โดยที่แต่ละประเทศมีธงเป็นของตัวเองและแตกต่างจากประเทศอื่นๆ
เลื่อนไปบนกระดานพร้อมกับวิธีแก้ปัญหา
วิธีแรก: กำหนดสีของแถบด้วยตัวอักษรตัวแรกของชื่อสี
B – ขาว, K – แดง, C – น้ำเงิน
มาแก้กันด้วยกำลังดุร้าย:
บีเอสเค, บีเคเอส, SBK, เอสเคบี, เคบีเอส, เคเอสบี
มีทั้งหมดหกตัวเลือก
วิธีที่สอง:
ใช้ดินสอและวาดธง
พวกเขาตั้งใจฟัง ดูสไลด์ คิด วิเคราะห์ จำแนกประเภท และจดจำ
ทำความคุ้นเคยกับแบบจำลองและไดอะแกรมสำหรับการแก้ปัญหาตามเงื่อนไขเฉพาะ
เลื่อนไปบนกระดานตามเงื่อนไขของภารกิจที่ 5
ครอบครัวมี 4 คนและมีเก้าอี้ 4 ตัวที่โต๊ะในห้องครัว ครอบครัวตัดสินใจนั่งบนเก้าอี้ 4 ตัวในลักษณะที่แตกต่างกันทุกเย็นเมื่อรับประทานอาหารเย็น สมาชิกในครอบครัวสามารถทำได้กี่วันโดยไม่ต้องทำซ้ำ?
เลื่อนไปบนกระดานพร้อมกับวิธีแก้ปัญหา
วิธีแก้ปัญหาที่สอง
เพื่อความชัดเจนเรามาทาสีเก้าอี้ด้วยสีต่างๆกัน
มาซ่อมเก้าอี้สีแดงที่อยู่ด้านบนแล้วจัดเรียงเก้าอี้อีกสามตัวใหม่เพื่อให้ได้ตัวเลือกหกตัว
เราจะดำเนินการเดียวกันกับสีที่เหลือ เราจะได้ 6 * 4 = 24 ตัวเลือกที่แตกต่างกัน
วิธีที่สอง:
สมาชิกในครอบครัวสามารถนั่งบนเก้าอี้ตัวแรกได้เช่น 4 ตัวเลือก ในวันที่สอง – 3 คนเนื่องจากสมาชิกในครอบครัวคนหนึ่งนั่งอยู่แล้ว สำหรับบุคคลที่สาม – 2 คนเช่น
สองคนกำลังนั่งอยู่ ในวันที่สี่มีเพียงคนเดียวเนื่องจากสมาชิกในครอบครัวสามคนนั่งอยู่แล้ว
ลองคูณตัวเลือกทั้งหมดกัน
4*3*2*1= 24
พวกเขาตั้งใจฟัง ดูสไลด์ คิด วิเคราะห์ จำแนกประเภท และจดจำ
ทำความคุ้นเคยกับแบบจำลองและไดอะแกรมสำหรับการแก้ปัญหาตามเงื่อนไขเฉพาะ
เลื่อนไปบนกระดานตามเงื่อนไขของภารกิจที่ 6
วาสยาตัดสินใจไปปีใหม่
งานรื่นเริงในชุดทหารเสือ ที่ร้านเช่าเขาได้รับข้อเสนอให้เลือก: กางเกงขายาวสามประเภท เสื้อชั้นในสองใบ หมวกสามใบ จากไอเท็มเหล่านี้คุณสามารถสร้างเครื่องแต่งกายคาร์นิวัลได้กี่แบบ?
เลื่อนไปบนกระดานพร้อมกับวิธีแก้ปัญหา
ให้เราแสดงว่า: หมวกตัวแรก Ш1, ตัวที่สอง – Ш2, ตัวที่สาม – Ш3
1) สไลด์แสดงรากของต้นไม้ในรูปของเครื่องหมาย *
2) กางเกงสามชั้นแรก;
3) ระดับที่สองสองเสื้อชั้นใน;
4) ระดับที่สามสามตัวพิมพ์ใหญ่;
รวม 18 ตัวเลือก
หรือเพียงแค่คูณ “ระดับ”
3*2*3=18
พวกเขาตั้งใจฟัง ดูสไลด์ คิด วิเคราะห์ จำแนกประเภท และจดจำ
ทำความคุ้นเคยกับแบบจำลองและไดอะแกรมสำหรับการแก้ปัญหาตามเงื่อนไขเฉพาะ
เลื่อนไปบนกระดานตามเงื่อนไขของภารกิจที่ 7
เมื่อพวกเขาพบกัน คนแคระทั้ง 7 ก็จับมือกัน มีการจับมือกันกี่ครั้ง?
คนแคระทั้งเจ็ดตัดสินใจแลกเปลี่ยนรูปถ่ายกัน คุณต้องการรูปถ่ายกี่ใบ?
เลื่อนบนกระดานพร้อมวิธีแก้ปัญหา: ก)
เลื่อนบนกระดานพร้อมวิธีแก้ปัญหา: b)
งานทั้งสองนี้คล้ายกันมาก แต่ก็ยังแตกต่างกัน
เมื่อแก้ไขปัญหาดังกล่าวควรใช้ตารางจะดีกว่า
1) ลองวาดตารางขนาด 8*8 แถวแรกและคอลัมน์แรกเป็นโนมส์
2) ขีดเส้นทแยงมุมของโต๊ะด้วยวิธีเดียวกับที่คำพังเพยไม่สามารถทักทายตัวเองได้
3) เซลล์คือผู้ที่ทักทายใคร
4) ด้านล่างของตารางทำซ้ำด้านบน
พวกโนมส์ตัวแรกทักทายคนที่สอง = พวกโนมส์คนที่สองทักทายคนแรก
มีการจับมือกันทั้งหมด 21 ครั้ง
ปัญหา b) แตกต่างจาก a) ตรงที่จำเป็น
พิจารณาด้านล่างของตารางเป็น
พวกโนมส์ตัวแรกก็ส่งรูปถ่ายให้คนที่สอง ไม่เท่ากันคำพังเพยที่สองให้รูปถ่ายแก่คนแรก
ทั้งหมด 42 รูป
พวกเขาตั้งใจฟัง ดูสไลด์ คิด วิเคราะห์ จำแนกประเภท และจดจำ
ทำความคุ้นเคยกับแบบจำลองและไดอะแกรมสำหรับการแก้ปัญหาตามเงื่อนไขเฉพาะ
การจัดระบบความรู้
จัดระบบวิธีการแก้ปัญหาแบบผสมผสาน
สไลด์บนกระดาน
และสไลด์ถัดไป
สไลด์แนวทางแก้ไขปัญหาหมายเลข 7
เราคุ้นเคยกับวิธีการแก้ไขสามวิธี 1) แผนผังทางเลือก; 2) เกินกำลัง;
3) การนำเสนอข้อมูลแบบตาราง
พวกเขาตั้งใจฟัง ดูสไลด์ คิด วิเคราะห์ จำแนกประเภท และจดจำ
การจัดระบบความรู้เป็นสาม
วิธีการ
การเรียนรู้ความรู้ใหม่
ให้คำจำกัดความ
การพัฒนาปัญหาเชิงผสม
เลื่อนบนกระดาน
ขอให้เด็กนิยามแนวคิดของ “ปัญหาเชิงผสมผสาน” ด้วยคำพูดของตนเอง
ตอบคำถาม
การสร้างการเปรียบเทียบ
จำแนกทักษะแล้ว
ภาษีมูลค่าเพิ่ม
ระบุสามวิธีในการแก้ปัญหาประเภทนี้
สไลด์ถัดไป
สไลด์เพื่อแก้ไขปัญหาหมายเลข 7
ขอให้เด็กพูดด้วยคำพูดของตนเองเกี่ยวกับวิธีการแก้ไขสามวิธี
ปัญหาเชิงผสม
ตอบคำถาม
จำแนกทักษะแล้ว
ภาษีมูลค่าเพิ่ม
การเลือกวิธีแก้ไขปัญหาที่มีประสิทธิภาพสูงสุดขึ้นอยู่กับแนวทางแก้ไขเฉพาะ
สรุปเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหาหลายตัวแปรของปัญหาเชิงผสม
สไลด์
ถามเด็กๆ คุณคิดว่าปัญหาแบบผสมผสานทั้งหมดสามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีการต่างๆ หรือไม่ เพราะเหตุใด
หลังจากฉายสไลด์วิชาพลศึกษาแล้ว แค่นาทีเดียว (นักเรียน 3 คนถูกเรียกไปที่กระดานและนั่งที่โต๊ะต่างกัน)
ตอบคำถาม
สร้างแบบจำลองและไดอะแกรมเพื่อแก้ไขปัญหาตามเงื่อนไขเฉพาะ
สะท้อน
เหล่านี้
ดำเนินงานอิสระเป็นกลุ่ม กลุ่มย่อย เป็นรายบุคคล
เส้นทแยงมุม
ครึ่งหนึ่ง
เท่ากัน
ที่มุมขวา
ใช่
ใช่
ใช่
ในแต่ละโต๊ะจะมีแผ่นงาน (รูปแบบ A4) พร้อมเจ็ดงาน (ภาคผนวกหมายเลข 1)
เลื่อนพร้อมคำตอบ
โต๊ะบนกระดาน (คำตอบของทีม)
โคมัน-
ใช่ #1
โคมัน-
ใช่ #2
7 ก
7 ข
เลือกสองทีมจำนวน 8-12 คนจากชั้นเรียน พวกเขาได้รับมอบหมายงาน:
แจกจ่ายตามงาน: นักเรียนหนึ่งหรือสองคนต่องาน
มีเวลาไม่เกิน 7 นาทีในการแก้ปัญหา
หมายเหตุ: ครูสามารถสร้างทีมได้ ไม่มีการมอบหมายงานตามงาน ต้องมอบหมายเฉพาะตัวเด็กเองภายใน 1 นาที หากทำไม่ได้ นักเรียนจะได้รับงานตามตำแหน่งของเด็ก
สำหรับทุกการแก้ไขอย่างถูกต้อง
ทีมจะได้รับ 1 คะแนนสำหรับงาน
ตรวจสอบชั้นเรียน: คำตอบของทีมเขียนไว้บนกระดาน เด็กๆ ที่แก้ปัญหาได้แล้วจะบอกคำตอบและเจ้าหน้าที่ก็จดคำตอบไว้
คำตอบที่ถูกต้องบนสไลด์
นักเรียนที่ไม่เกี่ยวข้องกับทีมจะแก้ปัญหาจำนวนเท่าใดก็ได้จากเจ็ดปัญหาที่พวกเขาเลือก
ทำงานอิสระเป็นทีม เป็นคู่ เป็นรายบุคคล
การผสมผสานระหว่างการทำงานอิสระของแต่ละบุคคลและการทำงานร่วมกันเป็นทีม
คำอธิบายการบ้าน
จัดเตรียม
ความเข้าใจของเด็กเกี่ยวกับวัตถุประสงค์ เนื้อหา และวิธีการนำไปปฏิบัติ
การบ้าน
นักเรียนแต่ละคนมีข้อความการบ้านนี้อยู่บนโต๊ะ
การมอบหมายงาน
การบ้านโครงการ
มาสามอันสำหรับทุกคน
ปัญหาการรวมกันใด ๆ
กลุ่มละไม่เกิน 5 คน
เรา (ครูและนักเรียน) จะใช้งานเหล่านี้ในอนาคตในการแข่งขันตอบคำถาม และไม่เพียงแต่ในชั้นเรียนเท่านั้น แต่ยังรวมถึงที่โรงเรียนด้วย
นั่นคือเราจะสร้างธนาคารของ "งานสำหรับแบบทดสอบ"
คิดให้ละเอียดถึงเงื่อนไขในการปฏิบัติงานให้สำเร็จ:
1) เป็นรายบุคคลหรือเป็นกลุ่ม
2) สิ่งที่ต้องใช้เมื่อร่างงานทรัพยากรอะไร
การควบคุมตนเอง
การพัฒนาความตระหนักรู้ในตนเองความรับผิดชอบ
ไม่มีความสัมพันธ์
ภาคผนวกหมายเลข 1
ภารกิจที่ 1
ในห้องอาหารสำหรับอาหารเช้า คุณสามารถเลือกขนมปัง พายกับกะหล่ำปลี พายกับมันฝรั่ง แซนด์วิช และคุณสามารถล้างมันด้วยชาหรือผลไม้แช่อิ่ม คุณสามารถเลือกอาหารเช้าได้กี่แบบ?
ภารกิจที่ 2
ถนนสี่สายทอดจากประเทศ "คณิตศาสตร์" สู่ประเทศ "วรรณกรรม" และถนนห้าสายทอดจากประเทศ "วรรณกรรม" สู่ประเทศ "พลศึกษา" คุณสามารถเดินทางจากประเทศ “คณิตศาสตร์” ไปได้กี่วิธี
ประเทศ “พลศึกษา” ผ่าน ประเทศ “วรรณกรรม”?
ภารกิจที่ 3
รหัสตู้นิรภัยประกอบด้วยตัวอักษรและตัวเลข โดยให้ตัวอักษรอยู่อันดับแรก (เช่น A7) คุณสามารถสร้างรหัสได้กี่เวอร์ชันโดยใช้ตัวอักษร A, M, F และตัวเลข 1, 4, 6, 9
ภารกิจที่ 4
หลายประเทศได้ตัดสินใจใช้ธงในรูปแบบแถบแนวนอนสี่แถบที่มีความกว้างเท่ากันแต่มีสีต่างกัน เพื่อเป็นสัญลักษณ์ของรัฐ ได้แก่ สีขาว สีฟ้า สีแดง สีเขียว จะมีกี่ประเทศที่สามารถใช้สัญลักษณ์ดังกล่าวได้ โดยที่แต่ละประเทศมีธงเป็นของตัวเองและแตกต่างจากประเทศอื่นๆ
ปัญหา #5
ครอบครัวมี 5 คน และโต๊ะในครัวมีเก้าอี้ 5 ตัว ครอบครัวตัดสินใจนั่งบนเก้าอี้ 5 ตัวในลักษณะที่แตกต่างกันทุกเย็นเมื่อรับประทานอาหารเย็น สมาชิกในครอบครัวสามารถทำได้กี่วันโดยไม่ต้องทำซ้ำ?
ปัญหา #6
วาสยาตัดสินใจไปงานรื่นเริงปีใหม่โดยแต่งตัวเป็นทหารเสือ ที่ร้านเช่าเขาได้รับข้อเสนอให้เลือก: กางเกงขายาวสี่ประเภท เสื้อชั้นในสองชุด หมวกสองใบ จากไอเท็มเหล่านี้คุณสามารถสร้างเครื่องแต่งกายคาร์นิวัลได้กี่แบบ?
ปัญหาหมายเลข 7
เมื่อพวกเขาพบกัน คนแคระทั้ง 4 คนก็จับมือกัน มีการจับมือกันกี่ครั้ง?
คนแคระทั้งห้าตัดสินใจแลกเปลี่ยนรูปถ่ายกัน คุณต้องการรูปถ่ายกี่ใบ?
ภาคผนวกหมายเลข 2
การบ้าน (กิจกรรมโครงการ)
การบ้านโครงการ
มาสามอันสำหรับทุกคน
ปัญหาการรวมกันใด ๆ
เมื่อเกิดปัญหา คุณสามารถใช้: หนังสือเรียน “Vilenkin. คณิตศาสตร์ 5; หนังสืออื่นๆ; แหล่งข้อมูลทางอินเทอร์เน็ต
เข้าร่วมกลุ่มได้แต่มีเงื่อนไขคือ
นักเรียนแต่ละคนมีงานเหลือสามงาน
กลุ่มละไม่เกิน 5 คน
3) UMK “ คณิตศาสตร์ Dorofeev 5”;
4) แหล่งข้อมูลอินเทอร์เน็ต (gif1000)
ระดับ: 5
ในบทความนี้ เราจะดูบทเรียนหนึ่งในหลักสูตรคณิตศาสตร์ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 ซึ่งเน้นไปที่การแนะนำวิชาคณิตศาสตร์เชิงผสม
วัตถุประสงค์ของบทเรียน
ทางการศึกษา:
แนะนำนักเรียนให้รู้จักกับปัญหาประเภทใหม่ (ปัญหาเชิงซ้อน) วิธีการแก้ปัญหา - การแจกแจงตัวเลือกที่เป็นไปได้ การสร้างแผนภูมิตัวเลือกที่เป็นไปได้ การใช้กฎการคูณ
แนะนำแนวคิดใหม่ - แฟกทอเรียล รวมเข้าด้วยกันเมื่อแก้โจทย์ปัญหา ตัวอย่าง สมการ
ทางการศึกษา:
การสร้างความเคารพต่อสหายความสามารถในการฟังและได้ยินคู่สนทนา
การสร้างทัศนคติต่อมิตรภาพซึ่งเป็นหนึ่งในคุณค่าที่สำคัญที่สุดของมนุษย์
พัฒนาการ:
การก่อตัวของความสนใจในเรื่อง;
การพัฒนาทักษะการใช้คอมพิวเตอร์
พัฒนาการคิดเชิงตรรกะ
การพัฒนาความสามารถในการพิสูจน์และยืนยันความคิดเห็นของตน
ความคืบหน้าของบทเรียน
1. ช่วงเวลาขององค์กร
ครู: วันนี้เรามีบทเรียนที่ไม่ธรรมดา เราจะแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่น่าสนใจที่สุดสาขาหนึ่ง - วิชาคณิตศาสตร์เชิงผสม ในทางวิทยาศาสตร์และในชีวิตจริง บ่อยครั้งเราต้องแก้ปัญหา คำถามหลักคือคำถามที่ว่า “สามารถทำได้กี่วิธี?” ตัวอย่างเช่น:
คุณสามารถให้คะแนนนักเรียนในชั้นเรียนได้กี่วิธี?
คุณสามารถกำหนดผู้ตรวจสอบชั้นเรียนได้กี่วิธี?
คุณสามารถมอบหมายผู้ดูแลห้องเรียนสองคนได้กี่วิธี?
เมื่อแก้ไขปัญหาดังกล่าว คุณจะต้องสร้างชุดค่าผสมต่างๆ จากองค์ประกอบจำนวนจำกัดและนับจำนวนชุดค่าผสม ปัญหาดังกล่าวเรียกว่าปัญหาเชิงผสมผสาน และสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่พิจารณาปัญหาดังกล่าวเรียกว่าปัญหาเชิงผสมผสาน คุณจะพบว่าบทเรียนจะเน้นไปที่หัวข้ออื่นใดเมื่อเราตรวจสอบว่าคุณทำการบ้านอย่างไร
2. ตรวจการบ้านเสร็จ
(ในบทเรียนที่แล้ว การบ้านจะรวบรวมในลักษณะที่มี 6 งานพอดี ตัวอย่างเช่นในตำราเรียนของ Vilenkin N.Ya. และคณะ ซึ่งอาจเป็นหมายเลข 693(a, c), 735(1 ), 765(ก,ข,วี))
บนกระดานมีโต๊ะและการ์ดติดแม่เหล็ก การ์ดด้านหนึ่งเป็นคำตอบการบ้าน อีกด้านเป็นตัวอักษร
ครู: มาตรวจการบ้านของคุณกันดีกว่า เปิดสมุดบันทึกแล้วหยิบดินสอของคุณ ค้นหาคำตอบของตัวเลขการบ้าน
นักเรียนไปที่กระดานทีละคน เลือกการ์ดที่มีคำตอบแล้วติดไว้ที่เซลล์ของตารางใต้หมายเลขงาน ขั้นแรก การ์ดจะถูกตรึงไว้ในเซลล์ของตารางโดยมีด้านที่เขียนคำตอบไว้ เพื่อให้นักเรียนสามารถตรวจสอบความถูกต้องของการบ้านได้ ส่วนที่เหลือตรวจคำตอบในสมุดบันทึก
แบบฝึกหัดที่ | 693(ก) | 693(ค) | 735(1) | 765(ก) | 765(ข) | 765(ค) |
คำตอบ | 25 | 13 | 6 | 182 000 | 6 300 | 65 000 |
ตัวเลือกคำตอบ (อยู่ที่ด้านต่างๆ ของการ์ด) มีการจงใจแจกไพ่มากเกินไปจนบางคำตอบไม่ถูกต้อง
ง | ร | ที่ | และ | ข | ก | ม | n | โอ |
25 | 13 | 6 | 182 000 | 6 300 | 65 000 | 49 | 12 | 18 200 |
“ 5” - หากทุกอย่างถูกต้อง
“4” - หากเกิดข้อผิดพลาดประการหนึ่ง
“ 3” - ข้อผิดพลาด 2-3 ข้อ
“ 2” - มีข้อผิดพลาดมากกว่า 3 รายการ
ครู: เรามาพลิกไพ่กันดีกว่า คุณได้คำอะไรมา? (มิตรภาพ). แน่นอนวันนี้ในบทเรียนเราจะไม่เพียง แต่แก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์พัฒนาทักษะการคำนวณ แต่ยังพูดคุยเกี่ยวกับมิตรภาพด้วย
3. วัสดุใหม่
ครู: เราก็บอกไปแล้วว่าวันนี้เราจะมาเรียนรู้การแก้ปัญหากัน คำถามหลักคือ คำถาม “มีกี่วิธี..”.
มีสามคำคือ "FRIENDSHIP", "BUSINESS", "LOVES" (ตัดกระดาษด้วยคำเหล่านี้ - 7 ใบสำหรับแต่ละคำ) คำเหล่านี้สามารถใช้สร้างวลีได้กี่วิธี?
นักเรียนเสนอทางเลือก ตัวเลือกเหล่านี้เขียนไว้บนกระดาน
คำตอบ: 6 วิธี
ครู: คุณคิดว่าตัวเลือกใดถูกต้องจากมุมมองของภาษารัสเซีย (มิตรภาพรักธุรกิจ) คุณเข้าใจข้อความนี้ได้อย่างไร?
ครู: นี่คือการแจงนับตัวเลือกที่เป็นไปได้ทั้งหมดหรืออย่างที่พวกเขามักจะพูดกันคือชุดค่าผสมที่เป็นไปได้ทั้งหมด ดังนั้นนี่คือปัญหาเชิงผสม ลองคิดดูว่าเราจะเขียนและจัดวิธีแก้ไขปัญหานี้อย่างไร
1 วิธี. เรามาแสดงคำที่เสนอด้วยตัวพิมพ์ใหญ่:
มิตรภาพ – D
รัก – ล
DELO – E (ลองเอาตัวอักษรตัวที่สองของคำนี้มาใช้)
จากนั้นวิธีการทั้งหมดที่คุณตั้งชื่อสามารถแสดงรายการได้: DLE, DEL, LDE, ICE, EDL, ELD
ปรากฎว่าสารละลายสามารถกำหนดได้ในรูปแบบของแบบจำลองที่เรียกว่าแผนผังทางเลือกที่เป็นไปได้ ประการแรกชัดเจนเหมือนภาพใดๆ และประการที่สองช่วยให้คุณคำนึงถึงทุกสิ่งโดยไม่พลาดสิ่งใด
นักเรียนจัดทำแผนภาพภายใต้การแนะนำของครู:
วิธีที่ 3 (การใช้เหตุผล)
หนึ่งในสามคำสามารถมาก่อน: มิตรภาพ ความรัก ธุรกิจ หากเลือกคำแรก ตำแหน่งที่สองสามารถเป็นหนึ่งในสองคำที่เหลืออยู่ และอันดับที่สามสามารถมีคำที่เหลืออยู่ได้เพียงคำเดียว ดังนั้นตัวเลือกทั้งหมดคือ: .
โปรดทราบว่าเทคนิคสุดท้ายเรียกว่า กฎการคูณ
แต่ละวิธีทั้งสามนี้มีข้อดีและข้อเสียในตัวเอง (หารือ) ทางเลือกของการแก้ปัญหาเป็นของคุณ! อย่างไรก็ตาม โปรดทราบว่ากฎการคูณช่วยให้เราสามารถแก้ปัญหาต่างๆ มากมายได้ในขั้นตอนเดียว
ย่ามีเพื่อน 3 คน และเธอซื้อช็อกโกแลตแท่งให้แต่ละคนและต้องการมอบให้พวกเขาในช่วงวันหยุด เธอทำเช่นนี้ได้กี่วิธี?
วิธีแก้ไข: นักเรียนทำคำตอบบนกระดาน (วิธีแก้ทำได้ 3 วิธี)
ในกลุ่มเพื่อนมี 6 คน: Andrey, Boris, Vitya, Grisha, Dima, Egor ในโรงอาหารของโรงเรียนมีเก้าอี้ 6 ตัวที่โต๊ะ เพื่อนๆ ตัดสินใจนั่งบนเก้าอี้ทั้ง 6 ตัวที่แตกต่างกันทุกวันขณะรับประทานอาหารเช้า กี่ครั้งแล้วที่พวกเขาสามารถทำได้โดยไม่ต้องทำซ้ำ?
ครู: เราจะเลือกวิธีไหน? (นักเรียนภายใต้คำแนะนำของครูควรสรุปว่านี่เป็นวิธีที่สาม - กฎการคูณ)
นักเรียนร่างวิธีแก้ปัญหาไว้บนกระดาน
เพื่อความสะดวกในการให้เหตุผล เราจะถือว่าเพื่อนๆ นั่งที่โต๊ะทีละคน เราจะถือว่า Andrey เป็นคนแรกที่นั่งลงที่โต๊ะ เขามีเก้าอี้ให้เลือก 6 แบบ บอริสเป็นคนที่สองที่จะนั่งลงและเลือกเก้าอี้อย่างอิสระจากเก้าอี้ที่เหลือ 5 ตัว วิทยาเลือกอันดับที่สาม และเขาจะมีเก้าอี้ให้เลือก 4 ตัว Grisha จะมี 3 ตัวเลือก Dima – 2, Egor – 1 ตามกฎการคูณเราจะได้:
คำตอบคือ 720 วัน หรือเกือบ 2 ปี
ครู: อย่างที่เราเห็นแล้ว เงื่อนไขของปัญหาแตกต่างกัน แต่วิธีแก้ปัญหาก็เหมือนกัน ดังนั้นจึงสะดวกที่จะแนะนำสัญกรณ์เดียวกันสำหรับคำตอบเหล่านี้
คำจำกัดความ: ผลคูณของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดตั้งแต่ 1 ถึง n เรียกว่า n - แฟกทอเรียล และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ n!
เข้าสู่ระบบ n- อ่านว่า "En factorial" ซึ่งแปลตามตัวอักษรจากภาษาอังกฤษแปลว่า "ประกอบด้วย nตัวคูณ” ให้เราสังเกตคุณลักษณะที่สำคัญของมูลค่านี้ – การเติบโตอย่างรวดเร็ว
คำนวณ:
ก) 1!; ข) 2!; ค) 3!; ง) 4!; จ) 5!; จ)10!
พวกเขาคิดว่ามันเป็น 0! =1 (เขียน)
ภารกิจที่ 5
ครู: มิตรภาพเป็นหนึ่งในความมั่งคั่งที่สำคัญที่สุดที่คนเราจะมีได้ ไม่ใช่เพื่ออะไรเลยที่บทกวีและเพลงที่แต่งขึ้นเกี่ยวกับมิตรภาพสุภาษิตและคำพูด คุณรู้สุภาษิตและคำพูดเกี่ยวกับมิตรภาพอะไรบ้าง?
เพื่อนที่ต้องการคือเพื่อนจริงๆ
ไม่มีร้อยรูเบิล แต่มีเพื่อนเป็นร้อย
มีความปลอดภัยเป็นตัวเลข
ตายซะเถอะ แต่ช่วยเพื่อนของคุณด้วย
เพื่อนเก่าดีกว่าเพื่อนใหม่สองคน
ชีวิตเป็นเรื่องยากหากไม่มีเพื่อน
ทำได้ดี! การมีเพื่อนที่ดีและจริงใจเป็นสิ่งสำคัญมากสำหรับทุกคน เรามาแก้ตัวอย่างบางส่วนโดยใช้แนวคิดใหม่ - แฟกทอเรียล และเรียนรู้สุภาษิตใหม่เกี่ยวกับมิตรภาพ
7!+ | 8! – (13 - 5) 2 | 6! – 5! | ||
ไพ่ที่มีคำตอบก็สมบูรณ์ด้วยการจอง (มีไพ่ที่มีตัวเลขที่ไม่ตอบ)
ตารางหลังจากกรอก:
7!+ | 8! – (13 - 5) 2 | 6! – 5! | ||
5048 | 40256 | 600 | 24 | 7 |
เลขที่ | เพื่อน - | มองหา | แต่พบว่า - | ดูแล |
ภารกิจที่ 6
เพื่อน 4 คนมาเยี่ยมวาสยาและพวกเขากำลังจะดูหนังเรื่องใหม่ วาสยามีเก้าอี้อยู่ในห้องของเขา และเขายังนำเก้าอี้ 4 ตัวมาจากห้องครัวด้วย เขาจะนั่งเก้าอี้อย่างไม่ต้องสงสัยและนั่งเพื่อน ๆ ไว้บนเก้าอี้ วาสยาคำนวณว่าเขาสามารถนั่งเพื่อนได้ 24 วิธี
ครู: วาสยาคำนวณถูกต้องหรือไม่? (ใช่จากมุมมองทางคณิตศาสตร์)
เขาทำได้ดีไหม? (มีการกล่าวถึงประเด็นทางศีลธรรมของปัญหา)
4. ช่วงเวลาพลศึกษา
ครู: พักสักหน่อยแล้วเราจะออกกำลังกายกันสักครู่ ถ้าฉันอ่านสำนวนถูกต้องคุณก็ยืนขึ้นยกมือขึ้นและถ้าผิดให้นั่งโดยเอามือวางไว้ข้างตัว
เราลุกขึ้น. เริ่มกันเลย ระวังด้วย
การแสดงออก | คำพูดของครู | จริง/เท็จ |
5! +3 | จำนวน 5! และ 3 | + |
2 – 7! | สินค้าชิ้นที่ 2 และ 7! | - |
4x: 2! | ส่วนตัว 4x และ 2! | + |
5! + 7! + 3! | ผลรวม 5!, 7! และ 3! | + |
20! - 19! | ส่วนตัว 20! และ 19! | - |
6. ทำงานอิสระ.
ครู: เอาล่ะ หลังจากที่เราได้พักผ่อนกันดีแล้ว มาดูสิ่งที่เราเรียนรู้ที่จะทำในชั้นเรียนวันนี้กัน เพื่อทำเช่นนี้ เราจะทำงานของเราเอง
ตัวเลือกที่ 1 | ตัวเลือกที่ 2 |
1. ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 ในวันพุธ มี 5 บทเรียน: คณิตศาสตร์ ภาษารัสเซีย วรรณกรรม ดนตรี และแรงงาน คุณสามารถสร้างตัวเลือกกำหนดการรายวันได้กี่ตัวเลือก? | 1. วางตัวอักษรที่แตกต่างกันหกตัวไว้ในซองจดหมายที่แตกต่างกัน 6 ซอง มีกี่วิธีที่จะเปิดเผยวิธีนี้? |
2. คำนวณ: ก) 6! – 2; ข) 4! + (2+3) 2 |
2. คำนวณ: ก) 3 2 + 5! ข) (9-4) 2 + 4! |
3. เด็กชาย 5 คนสามารถเข้าแถวที่ห้องขายตั๋วได้กี่วิธีถ้า Tolya ยังเป็นคนแรก? | 3. ดาชาสามารถกินอาหารกลางวันประกอบด้วยมื้อที่หนึ่ง สอง สาม และเค้กได้กี่วิธี ถ้าเธอจะกินเค้กก่อนแน่นอน? |
7. การบ้าน.
คิดเขียนเงื่อนไขและวิธีแก้ปัญหาของปัญหาเชิงผสม 2 ข้อในหัวข้อ "ครอบครัว" วาดบนแผ่น A4 คุณสามารถวาดภาพสำหรับงานได้
8. สรุปบทเรียน
มาสรุปบทเรียนกันดีกว่า
คุณเรียนรู้อะไรใหม่? (เราได้รับกฎการคูณ ตรวจสอบแบบจำลองทางเรขาคณิต - ต้นไม้แห่งตัวเลือก แนะนำแนวคิดใหม่ - แฟคทอเรียล)
คุณชอบอะไร?
คุณจำอะไรได้บ้าง?
คะแนนบทเรียน
วรรณกรรม:
- อี.เอ. บูนิโมวิช, วี.เอ. บูลิชอฟ ความน่าจะเป็นและสถิติในหลักสูตรคณิตศาสตร์โรงเรียนการศึกษาทั่วไป: บรรยาย 1-4, 5 – 8 – อ.: Pedagogical University “First of September”, 2549.
- วิเลนคิน เอ็น.ยา. คณิตศาสตร์. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5: หนังสือเรียนเพื่อการศึกษาทั่วไป สถาบัน / N.Ya. Vilenkin และอื่น ๆ - M.: Mnemosyna, 2009.
- สมีกาโลวา อี.วี. บทเพิ่มเติมเกี่ยวกับคณิตศาสตร์สำหรับนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 SPb: สมิโอ. กด, 2549.
- มอร์ดโควิช เอ.จี. กิจกรรม ความน่าจะเป็น