วิธีลากรองจ์ (การเปลี่ยนแปลงของค่าคงที่) สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นของลำดับแรก
การบรรยายครั้งที่ 44. สมการเชิงเส้นตรงของลำดับที่สอง วิธีการแปรผันของค่าคงที่ตามอำเภอใจ สมการเชิงเส้นตรงของลำดับที่สองที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ (ด้านขวาพิเศษ)
การเปลี่ยนแปลงทางสังคม รัฐและคริสตจักร
การเมืองสังคมพวกบอลเชวิคส่วนใหญ่ถูกกำหนดโดยแนวทางทางชนชั้นของพวกเขาตามคำสั่งเมื่อวันที่ 10 พฤศจิกายน พ.ศ. 2460 ระบบชนชั้นถูกทำลาย ตำแหน่งก่อนการปฏิวัติ ตำแหน่ง และรางวัลต่างๆ ถูกยกเลิก มีการเลือกตั้งผู้พิพากษาแล้ว การทำให้รัฐพลเรือนเป็นฆราวาสได้ดำเนินการไปแล้ว มีการจัดตั้งการศึกษาและการรักษาพยาบาลฟรี (พระราชกฤษฎีกาวันที่ 31 ตุลาคม พ.ศ. 2461) ผู้หญิงได้รับสิทธิเท่าเทียมกับผู้ชาย (กฤษฎีกาลงวันที่ 16 และ 18 ธันวาคม พ.ศ. 2460) กฤษฎีกาว่าด้วยการแต่งงานแนะนำสถาบันการแต่งงานแบบพลเมือง
ตามคำสั่งของสภาผู้บังคับการประชาชนเมื่อวันที่ 20 มกราคม พ.ศ. 2461 คริสตจักรถูกแยกออกจากรัฐและจากระบบการศึกษา ส่วนใหญ่ ทรัพย์สินของคริสตจักรถูกยึด สังฆราชแห่งมอสโกและ Tikhon ของ All Rus (เลือกเมื่อวันที่ 5 พฤศจิกายน พ.ศ. 2460) เมื่อวันที่ 19 มกราคม พ.ศ. 2461 ได้ทำลายล้างอำนาจของโซเวียตและเรียกร้องให้ต่อสู้กับพวกบอลเชวิค
ลองพิจารณาเชิงเส้น สมการเอกพันธ์การสั่งซื้อครั้งที่สอง
โครงสร้างของคำตอบทั่วไปของสมการดังกล่าวถูกกำหนดโดยทฤษฎีบทต่อไปนี้:
ทฤษฎีบท 1คำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์ (1) แสดงเป็นผลรวมของคำตอบเฉพาะของสมการนี้กับคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน
(2)
การพิสูจน์. จำเป็นต้องพิสูจน์จำนวนเงินนั้น
มี การตัดสินใจร่วมกันสมการ (1) ก่อนอื่นให้เราพิสูจน์ว่าฟังก์ชัน (3) เป็นวิธีแก้สมการ (1)
การแทนผลรวมเป็นสมการ (1) แทน ที่, จะมี
เนื่องจากมีวิธีแก้สมการ (2) นิพจน์ในวงเล็บแรกจึงเท่ากับศูนย์เหมือนกัน เนื่องจากมีวิธีแก้สมการ (1) นิพจน์ในวงเล็บที่สองจึงเท่ากับ ฉ(x). ดังนั้นความเสมอภาค (4) จึงเป็นอัตลักษณ์ ดังนั้นส่วนแรกของทฤษฎีบทจึงได้รับการพิสูจน์แล้ว
ให้เราพิสูจน์ข้อความที่สอง: นิพจน์ (3) คือ ทั่วไปการแก้สมการ (1) เราต้องพิสูจน์ว่าสามารถเลือกค่าคงที่ตามอำเภอใจที่รวมอยู่ในนิพจน์นี้เพื่อให้ตรงตามเงื่อนไขเริ่มต้น:
(5)
ไม่ว่าจะเป็นตัวเลขอะไรก็ตาม x 0 , ย 0และ (ถ้าเพียง x 0ถูกพรากไปจากบริเวณที่ทำหน้าที่ 1, 2และ ฉ(x)ต่อเนื่อง)
สังเกตว่าสามารถแสดงออกมาในรูปแบบได้ . จากนั้นตามเงื่อนไข (5) เราจะได้
ให้เราแก้ระบบนี้และพิจารณา ค 1และ ค 2. มาเขียนระบบใหม่ในรูปแบบ:
(6)
โปรดทราบว่าดีเทอร์มิแนนต์ของระบบนี้คือดีเทอร์มิแนนต์ของ Wronski สำหรับฟังก์ชัน เวลา 1และ เวลา 2ตรงจุด x=x 0. เนื่องจากฟังก์ชันเหล่านี้มีความเป็นอิสระเชิงเส้นตามเงื่อนไข ดีเทอร์มิแนนต์ของ Wronski จึงไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นระบบ (6) จึงมีคำตอบที่แน่นอน ค 1และ ค 2, เช่น. มีความหมายเช่นนั้น ค 1และ ค 2ภายใต้สูตร (3) กำหนดคำตอบของสมการ (1) ที่ตรงตามเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด Q.E.D.
ให้เรามาดูวิธีการทั่วไปในการค้นหาคำตอบบางส่วนของสมการที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน
ให้เราเขียนคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์ (2)
. (7)
เราจะหาคำตอบเฉพาะสำหรับสมการเอกพันธ์ (1) ในรูปแบบ (7) โดยพิจารณาจาก ค 1และ ค 2เหมือนมีฟังก์ชันบางอย่างที่ยังไม่เป็นที่รู้จักจาก เอ็กซ์
ให้เราแยกความแตกต่างความเท่าเทียมกัน (7):
เรามาเลือกฟังก์ชั่นที่คุณกำลังมองหากัน ค 1และ ค 2เพื่อให้เกิดความเท่าเทียมกัน
. (8)
เมื่อพิจารณาเรื่องนี้แล้ว เงื่อนไขเพิ่มเติมแล้วอนุพันธ์อันดับแรกจะอยู่ในรูปแบบ
.
ตอนนี้เราพบว่าการแสดงออกนี้แตกต่าง:
เมื่อแทนลงในสมการ (1) เราจะได้
นิพจน์ในสองวงเล็บแรกจะกลายเป็นศูนย์ เนื่องจาก คุณ 1และ คุณ 2– การแก้สมการเอกพันธ์ ดังนั้นความเสมอภาคสุดท้ายจึงเกิดขึ้น
. (9)
ดังนั้น ฟังก์ชัน (7) จะเป็นคำตอบของสมการแบบไม่เอกพันธ์ (1) หากเป็นฟังก์ชัน ค 1และ ค 2เป็นไปตามสมการ (8) และ (9) มาสร้างระบบสมการจากสมการ (8) และ (9) กัน
เนื่องจากดีเทอร์มีแนนต์ของระบบนี้คือดีเทอร์มิแนนต์ของวอรอนสกี้สำหรับคำตอบอิสระเชิงเส้น คุณ 1และ คุณ 2สมการ (2) จึงไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นการแก้ระบบเราจะพบทั้งฟังก์ชันบางอย่างของ เอ็กซ์.
ให้เราพิจารณาสมการแบบไม่เอกพันธ์เชิงเส้น
. (2)
ให้ y 1 ,y 2 ,.., y n เป็นระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา และให้ y 1 ,y 2 ,.., y n เป็นระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา และกำหนดให้เป็นคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน L(y)=0 คล้ายกับกรณีของสมการอันดับหนึ่ง เราจะหาคำตอบของสมการ (2) ในรูปแบบ
. (3)
ให้เราตรวจสอบให้แน่ใจว่ามีวิธีแก้ปัญหาในรูปแบบนี้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราแทนฟังก์ชันลงในสมการ เพื่อแทนที่ฟังก์ชันนี้ลงในสมการ เราจะหาอนุพันธ์ของมัน อนุพันธ์อันดับ 1 เท่ากับ
. (4)
เมื่อคำนวณอนุพันธ์อันดับสอง เทอมสี่จะปรากฏทางด้านขวาของ (4) เมื่อคำนวณอนุพันธ์อันดับสาม แปดเทอมจะปรากฏขึ้น และอื่นๆ ดังนั้น เพื่อความสะดวกในการคำนวณเพิ่มเติม เทอมแรกใน (4) จึงถูกกำหนดให้เป็นศูนย์ เมื่อคำนึงถึงสิ่งนี้ อนุพันธ์อันดับสองจะเท่ากับ
. (5)
ด้วยเหตุผลเดียวกันกับเมื่อก่อน ใน (5) เรายังกำหนดให้เทอมแรกเท่ากับศูนย์ด้วย ในที่สุด, อนุพันธ์อันดับที่ nเท่ากับ
. (6)
เรามีการแทนที่ค่าที่ได้รับของอนุพันธ์ลงในสมการดั้งเดิม
. (7)
เทอมที่สองใน (7) เท่ากับศูนย์ เนื่องจากฟังก์ชัน y j , j=1,2,..,n เป็นคำตอบของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน L(y)=0 เมื่อรวมกับระบบก่อนหน้าเราจะได้ระบบสมการพีชคณิตสำหรับการค้นหาฟังก์ชัน C" j (x)
(8)
ดีเทอร์มีแนนต์ของระบบนี้คือดีเทอร์มิแนนต์ของวอรอนสกี้ของระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา y 1 ,y 2 ,..,y n ของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน L(y)=0 ดังนั้นจึงไม่เท่ากับศูนย์ ด้วยเหตุนี้ จึงมีวิธีแก้ไขปัญหาเฉพาะสำหรับระบบ (8) เมื่อพบแล้วเราได้รับฟังก์ชัน C" j (x), j=1,2,…,n และด้วยเหตุนี้ C j (x), j=1,2,…,n แทนที่ค่าเหล่านี้เป็น (3) เราได้คำตอบของสมการอสมการเชิงเส้นตรง
วิธีการที่นำเสนอนี้เรียกว่าวิธีการแปรผันของค่าคงที่ตามอำเภอใจหรือวิธีลากรองจ์
ตัวอย่างหมายเลข 1 มาหาคำตอบทั่วไปของสมการ y"" + 4y" + 3y = 9e -3 x พิจารณาสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน y"" + 4y" + 3y = 0 รากของสมการคุณลักษณะของมัน r 2 + 4r + 3 = 0 เท่ากับ -1 และ - 3 ดังนั้น ระบบพื้นฐานของการแก้สมการเอกพันธ์ประกอบด้วยฟังก์ชัน y 1 = e - x และ y 2 = e -3 x เรามองหาคำตอบของสมการเอกพันธ์ในรูปแบบ y = C 1 (x)e - x + C 2 (x)e -3 x เพื่อค้นหาอนุพันธ์ C" 1 , C" 2 เราเขียนระบบสมการ (8)
การแก้ปัญหาที่เราพบ , เรามีการรวมฟังก์ชันที่ได้รับ
ในที่สุดเราก็ได้
ตัวอย่างหมายเลข 2 แก้เชิงเส้น สมการเชิงอนุพันธ์ลำดับที่สองที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่โดยวิธีการเปลี่ยนค่าคงที่ตามอำเภอใจ:
y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3
สารละลาย:
สมการเชิงอนุพันธ์นี้อ้างอิงถึงสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่
เราจะหาคำตอบของสมการในรูปแบบ y = e rx ในการทำเช่นนี้ เราเขียนสมการคุณลักษณะของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่:
r 2 -6 r + 8 = 0
ง = (-6) 2 - 4 1 8 = 4
รากของสมการคุณลักษณะ: r 1 = 4, r 2 = 2
ดังนั้น ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาจึงประกอบด้วยฟังก์ชันต่างๆ:
y 1 = อี 4x , y 2 = อี 2x
คำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์มีรูปแบบดังนี้
ค้นหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะโดยวิธีการเปลี่ยนค่าคงที่ตามใจชอบ
เพื่อค้นหาอนุพันธ์ของ C" i เราเขียนระบบสมการ:
ค" 1 (4e 4x) + C" 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
สมมุติ C" 1 จากสมการแรก:
ค" 1 = -ค 2 อี -2x
และแทนที่มันเป็นอันที่สอง เป็นผลให้เราได้รับ:
C" 1 = 2/(อี 2x +2e 4x)
ค" 2 = -2e 2x /(อี 2x +2e 4x)
เรารวมฟังก์ชันที่ได้รับ C" i:
ค 1 = 2ln(อี -2x +2) - อี -2x + C * 1
ค 2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2
เพราะว่า จากนั้นเราเขียนนิพจน์ผลลัพธ์ในรูปแบบ:
C 1 = (2ln(อี -2x +2) - อี -2x + C * 1) อี 4x = 2 อี 4x ln(อี -2x +2) - อี 2x + C * 1 อี 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = อี 2x ln(2e 2x +1) – 2x อี 2x + C * 2 อี 2x
ดังนั้นคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์จึงมีรูปแบบดังนี้:
y = 2 อี 4x ln(e -2x +2) - อี 2x + C * 1 อี 4x + อี 2x ln(2e 2x +1) – 2x อี 2x + C * 2 อี 2x
หรือ
y = 2 อี 4x ln(e -2x +2) - อี 2x + อี 2x ln(2e 2x +1) – 2x อี 2x + C * 1 อี 4x + C * 2 อี 2x
มาหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะภายใต้เงื่อนไข:
y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3
เมื่อแทน x = 0 ลงในสมการที่พบ เราจะได้:
y(0) = 2 ln(3) - 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
เราพบอนุพันธ์อันดับหนึ่งของวิธีแก้ปัญหาทั่วไปที่ได้รับ:
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
แทน x = 0 เราจะได้:
y'(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
เราได้ระบบสมการสองสมการ:
3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10 ln3
หรือ
ค*1+ค*2=2
4ค 1 + 2ค 2 = 4
หรือ
ค*1+ค*2=2
2ค 1 + ค 2 = 2
ที่ไหน:
ค 1 = 0, ค * 2 = 2
โซลูชันส่วนตัวจะถูกเขียนเป็น:
y = 2 อี 4x ln(e -2x +2) - อี 2x + อี 2x ln(2e 2x +1) – 2x อี 2x + 2 อี 2x
ให้เราหันมาพิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นแบบไม่เอกพันธ์ของแบบฟอร์ม
ที่ไหน - ฟังก์ชั่นที่จำเป็นของการโต้แย้ง และฟังก์ชันต่างๆ
จะได้รับและต่อเนื่องในช่วงเวลาหนึ่ง
.
ให้เราพิจารณาสมการเอกพันธ์เชิงเส้นซึ่งด้านซ้ายเกิดขึ้นพร้อมกับด้านซ้ายของสมการเอกพันธ์เชิงเส้น (2.31)
เรียกว่าสมการในรูป (2.32) สมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกับสมการเอกพันธ์ (2.31).
ทฤษฎีบทต่อไปนี้กล่าวถึงโครงสร้างของคำตอบทั่วไปของสมการเชิงเส้นแบบไม่เป็นเนื้อเดียวกัน (2.31)
ทฤษฎีบท 2.6ผลเฉลยทั่วไปของสมการไม่เอกพันธ์เชิงเส้น (2.31) ในพื้นที่
คือผลรวมของคำตอบเฉพาะใดๆ ของมันกับคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน (2.32) ในโดเมน (2.33) เช่น
ที่ไหน - การแก้สมการเฉพาะ (2.31)
เป็นระบบพื้นฐานของการแก้สมการเอกพันธ์ (2.32) และ
- ค่าคงที่ตามอำเภอใจ
คุณจะพบข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทนี้ใน
เมื่อใช้ตัวอย่างของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสอง เราจะร่างวิธีการซึ่งสามารถหาคำตอบเฉพาะของสมการแบบไม่เอกพันธ์เชิงเส้นได้ วิธีการนี้เรียกว่า วิธีลากรองจ์ของการแปรผันของค่าคงที่ตามอำเภอใจ.
ลองให้สมการเชิงเส้นแบบไม่เอกพันธ์มาให้เรา
(2.35)
ค่าสัมประสิทธิ์อยู่ที่ไหน
และด้านขวา
อย่างต่อเนื่องในช่วงเวลาหนึ่ง
.
ให้เราแสดงโดย
และ
ระบบพื้นฐานของการแก้สมการเอกพันธ์
(2.36)
จากนั้นสารละลายทั่วไปจะมีรูปแบบ
(2.37)
ที่ไหน และ - ค่าคงที่ตามอำเภอใจ
เราจะหาคำตอบของสมการ (2.35) ในรูปแบบเดียวกัน , เช่นเดียวกับคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน โดยแทนที่ค่าคงที่ตามใจชอบด้วยฟังก์ชันหาอนุพันธ์ของ (เราเปลี่ยนแปลงค่าคงที่ตามอำเภอใจ)เหล่านั้น.
ที่ไหน
และ
- ฟังก์ชั่นที่สร้างความแตกต่างบางอย่างจาก ซึ่งยังไม่ทราบและเราจะพยายามหาว่าฟังก์ชัน (2.38) จะเป็นคำตอบของสมการเอกพันธ์ (2.35) เราได้รับความแตกต่างทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกัน (2.38)
ดังนั้นเมื่อคำนวณแล้ว อนุพันธ์อันดับสองของ
และ
เราต้องการสิ่งนั้นทุกที่ใน
ตรงตามเงื่อนไข
แล้วสำหรับ จะมี
ลองคำนวณอนุพันธ์อันดับสองกัน
การแทนที่นิพจน์สำหรับ ,,จาก (2.38), (2.40), (2.41) เข้าสู่สมการ (2.35) เราได้
การแสดงออกใน วงเล็บเหลี่ยมมีค่าเท่ากับศูนย์ทุกจุดใน
, เพราะ และ - คำตอบบางส่วนของสมการ (2.36) ในกรณีนี้ (2.42) จะอยู่ในรูปแบบ เมื่อรวมเงื่อนไขนี้เข้ากับเงื่อนไข (2.39) เราจะได้ระบบสมการในการกำหนด
และ
(2.43)
ระบบสุดท้ายคือระบบของสมการเชิงเส้นไม่เอกพันธ์เชิงเส้นเชิงพีชคณิตสองตัวที่สัมพันธ์กัน
และ
. ดีเทอร์มิแนนต์ของระบบนี้คือดีเทอร์มิแนนต์ของ Wronski สำหรับระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา ,และดังนั้นจึงไม่ใช่ศูนย์ทุกแห่งใน
. ซึ่งหมายความว่าระบบ (2.43) มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ มีการแก้ไขในทางใดทางหนึ่งค่อนข้าง
,
เราจะพบ
ที่ไหน
และ
- ฟังก์ชั่นที่รู้จัก
ดำเนินการบูรณาการและคำนึงถึงว่าเป็น
,
เราควรใช้ฟังก์ชันหนึ่งคู่และตั้งค่าคงที่การรวมเป็นศูนย์ เราได้รับ
การแทนที่นิพจน์ (2.44) ลงในความสัมพันธ์ (2.38) เราสามารถเขียนคำตอบที่ต้องการลงในสมการเอกพันธ์ (2.35) ในรูปแบบได้
วิธีนี้สามารถสรุปได้ทั่วไปเพื่อค้นหาคำตอบเฉพาะของสมการอสมการเชิงเส้นตรง -ลำดับที่
ตัวอย่างที่ 2.6. แก้สมการ
ที่
ถ้าฟังก์ชั่น
สร้างระบบพื้นฐานของการแก้สมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน
เรามาหาวิธีแก้ไขโดยเฉพาะกัน สมการที่กำหนด. เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ตามวิธีลากรองจ์ เราต้องแก้ระบบ (2.43) ก่อน ซึ่งในกรณีของเราจะมีรูปแบบ
ลดทั้งสองด้านของแต่ละสมการโดย เราได้รับ
เราพบการลบสมการแรกทีละเทอมจากสมการที่สอง
แล้วจากสมการแรกก็จะตามมา
เราจะได้ดำเนินการรวมและตั้งค่าคงที่การรวมเป็นศูนย์
คำตอบเฉพาะของสมการนี้สามารถแสดงเป็น
ผลเฉลยทั่วไปของสมการนี้มีรูปแบบ
ที่ไหน และ - ค่าคงที่ตามอำเภอใจ
สุดท้ายนี้ ขอให้เราสังเกตคุณสมบัติที่น่าทึ่งอย่างหนึ่ง ซึ่งมักเรียกว่าหลักการของการซ้อนของคำตอบ และอธิบายไว้ในทฤษฎีบทต่อไปนี้
ทฤษฎีบท 2.7ถ้าอยู่ระหว่าง
การทำงาน
- คำตอบเฉพาะของฟังก์ชันสมการ
คำตอบเฉพาะของสมการในช่วงเวลาเดียวกันคือฟังก์ชัน
มีวิธีแก้สมการโดยเฉพาะ
พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์แบบไม่เอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับแรก:
(1)
.
มีสามวิธีในการแก้สมการนี้:
- วิธีการแปรผันของค่าคงที่ (ลากรองจ์)
ลองพิจารณาแก้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับหนึ่งโดยใช้วิธีลากรองจ์
วิธีการแปรผันของค่าคงที่ (ลากรองจ์)
ในการแปรผันของวิธีคงที่ เราจะแก้สมการในสองขั้นตอน ในขั้นตอนแรก เราทำให้สมการดั้งเดิมง่ายขึ้นและแก้สมการเอกพันธ์ ในขั้นตอนที่สอง เราจะแทนที่ค่าคงที่ของการรวมที่ได้รับในขั้นตอนแรกของการแก้ปัญหาด้วยฟังก์ชัน จากนั้นเราหาคำตอบทั่วไปของสมการดั้งเดิม
พิจารณาสมการ:
(1)
ขั้นตอนที่ 1 การแก้สมการเอกพันธ์
เรากำลังมองหาคำตอบของสมการเอกพันธ์:
นี่คือสมการที่แยกออกจากกัน
เราแยกตัวแปร - คูณด้วย dx หารด้วย y:
มาบูรณาการกัน:
อินทิกรัลเหนือ y - ตาราง:
แล้ว
มาเพิ่มศักยภาพกันเถอะ:
ลองแทนที่ค่าคงที่ e C ด้วย C แล้วลบเครื่องหมายโมดูลัสซึ่งลงมาเพื่อคูณด้วยค่าคงที่ ±1ซึ่งเราจะรวมไว้ใน C:
ขั้นตอนที่ 2 แทนที่ค่าคงที่ C ด้วยฟังก์ชัน
ทีนี้ลองแทนที่ค่าคงที่ C ด้วยฟังก์ชัน x:
ซี → คุณ (เอ็กซ์)
นั่นคือเราจะหาคำตอบของสมการดั้งเดิม (1)
เช่น:
(2)
การหาอนุพันธ์
ตามกฎการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:
.
ตามกฎการสร้างความแตกต่างของผลิตภัณฑ์:
.
แทนลงในสมการเดิม (1)
:
(1)
;
.
สมาชิกสองคนลดลง:
;
.
มาบูรณาการกัน:
.
เข้ามาแทน. (2)
:
.
ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้คำตอบทั่วไปสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นลำดับที่หนึ่ง:
.
ตัวอย่างการแก้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นลำดับที่หนึ่งโดยวิธีลากรองจ์
แก้สมการ
สารละลาย
เราแก้สมการเอกพันธ์:
เราแยกตัวแปร:
คูณด้วย:
มาบูรณาการกัน:
อินทิกรัลแบบตาราง:
มาเพิ่มศักยภาพกันเถอะ:
ลองแทนที่ค่าคงที่ e C ด้วย C และลบเครื่องหมายมอดุลัสออก:
จากที่นี่:
ลองแทนที่ค่าคงที่ C ด้วยฟังก์ชันของ x:
ซี → คุณ (เอ็กซ์)
ค้นหาอนุพันธ์:
.
แทนลงในสมการดั้งเดิม:
;
;
หรือ:
;
.
มาบูรณาการกัน:
;
การแก้สมการ:
.
วิธีการแปรผันของค่าคงที่ตามอำเภอใจหรือวิธีลากรองจ์เป็นอีกวิธีหนึ่งในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นลำดับที่หนึ่งและสมการเบอร์นูลลี
สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นของลำดับแรกคือสมการที่มีรูปแบบ y’+p(x)y=q(x) หากมีศูนย์ทางด้านขวา: y'+p(x)y=0 นี่จะเป็นเส้นตรง เป็นเนื้อเดียวกันสมการลำดับที่ 1 ดังนั้นสมการที่ไม่เป็นศูนย์ ด้านขวา, y'+p(x)y=q(x), — ต่างกัน สมการเชิงเส้นลำดับที่ 1.
วิธีการแปรผันของค่าคงที่ตามอำเภอใจ (วิธีลากรองจ์) เป็นดังนี้:
1) เรากำลังมองหาคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์ y’+p(x)y=0: y=y*
2) ในวิธีแก้ปัญหาทั่วไป เราถือว่า C ไม่ใช่ค่าคงที่ แต่เป็นฟังก์ชันของ x: C = C (x) เราค้นหาอนุพันธ์ของวิธีแก้ปัญหาทั่วไป (y*)’ และแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์สำหรับ y* และ (y*)’ ให้เป็นเงื่อนไขเริ่มต้น จากสมการผลลัพธ์เราจะพบฟังก์ชัน C(x)
3) ในคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์ แทนที่จะเป็น C เราจะแทนที่นิพจน์ที่พบ C(x)
ลองดูตัวอย่างวิธีการเปลี่ยนค่าคงที่ตามอำเภอใจ มาทำงานเดียวกันกับใน เปรียบเทียบความคืบหน้าของการแก้ปัญหา และตรวจสอบให้แน่ใจว่าคำตอบที่ได้รับตรงกัน
1) y’=3x-y/x
ลองเขียนสมการใหม่ในรูปแบบมาตรฐาน (ไม่เหมือนกับวิธีของเบอร์นูลลี ซึ่งเราต้องการรูปแบบสัญลักษณ์เพียงเพื่อดูว่าสมการนั้นเป็นเส้นตรง)
y’+y/x=3x (I) ตอนนี้เราดำเนินการตามแผน
1) แก้สมการเอกพันธ์ y’+y/x=0 นี่คือสมการที่มีตัวแปรที่แยกออกจากกันได้ ลองนึกภาพ y’=dy/dx แทน: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x เราคูณทั้งสองข้างของสมการด้วย dx และหารด้วย xy≠0: dy/y=-dx/x มาบูรณาการกัน:
2) ในผลลัพธ์ของคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์ เราจะถือว่า C ไม่ใช่ค่าคงที่ แต่เป็นฟังก์ชันของ x: C=C(x) จากที่นี่
เราแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์ให้เป็นเงื่อนไข (I):
มารวมทั้งสองข้างของสมการกัน:
โดยที่ C เป็นค่าคงที่ใหม่อยู่แล้ว
3) ในคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์ y=C/x โดยที่เราถือว่า C=C(x) นั่นคือ y=C(x)/x แทนที่จะเป็น C(x) เราจะแทนที่นิพจน์ที่พบ x³ +C: y=(x³ +C)/x หรือ y=x²+C/x เราก็ได้คำตอบเหมือนกับการแก้ด้วยวิธีเบอร์นูลลี
คำตอบ: y=x²+C/x
2) y’+y=cosx.
ในที่นี้สมการเขียนไว้แล้วในรูปแบบมาตรฐาน ไม่จำเป็นต้องแปลงมัน
1) แก้สมการเชิงเส้นเอกพันธ์ y’+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. มาบูรณาการกัน:
เพื่อให้ได้รูปแบบสัญลักษณ์ที่สะดวกยิ่งขึ้น เราจะนำเลขยกกำลังของ C เป็น C ตัวใหม่:
การแปลงนี้ดำเนินการเพื่อให้ค้นหาอนุพันธ์ได้สะดวกยิ่งขึ้น
2) ในผลลัพธ์ของคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์เชิงเส้น เราถือว่า C ไม่ใช่ค่าคงที่ แต่เป็นฟังก์ชันของ x: C=C(x) ภายใต้เงื่อนไขนี้
เราแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์ y และ y’ ลงในเงื่อนไข:
คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย
เราอินทิเกรตทั้งสองด้านของสมการโดยใช้สูตรอินทิเกรตตามส่วนต่างๆ เราได้:
โดยที่ C ไม่ใช่ฟังก์ชันอีกต่อไป แต่เป็นค่าคงที่ธรรมดา
3) ในคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์
แทนที่ฟังก์ชันที่พบ C(x):
เราก็ได้คำตอบเหมือนกับการแก้ด้วยวิธีเบอร์นูลลี
วิธีการแปรผันของค่าคงที่ตามอำเภอใจก็ใช้ในการแก้เช่นกัน
y'x+y=-xy²
เรานำสมการมาสู่รูปแบบมาตรฐาน: y’+y/x=-y² (II)
1) แก้สมการเอกพันธ์ y’+y/x=0 dy/dx=-y/x เราคูณทั้งสองข้างของสมการด้วย dx และหารด้วย y: dy/y=-dx/x ตอนนี้เรามารวมเข้าด้วยกัน:
เราแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์ให้เป็นเงื่อนไข (II):
มาทำให้ง่ายขึ้น:
เราได้รับสมการที่มีตัวแปรที่แยกได้สำหรับ C และ x:
โดยที่ C เป็นค่าคงที่ปกติอยู่แล้ว ในระหว่างกระบวนการรวมระบบ เราเขียนเพียง C แทน C(x) เพื่อไม่ให้สัญลักษณ์โอเวอร์โหลด และในตอนท้ายเราก็กลับมาที่ C(x) เพื่อไม่ให้ C(x) สับสนกับ C ใหม่
3) ในคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์ y=C(x)/x เราจะแทนที่ฟังก์ชันที่พบ C(x):
เราได้คำตอบเหมือนกับการแก้ปัญหาโดยใช้วิธีเบอร์นูลลี
ตัวอย่างการทดสอบตัวเอง:
1. ลองเขียนสมการใหม่ในรูปแบบมาตรฐาน: y’-2y=x
1) แก้สมการเอกพันธ์ y’-2y=0 y’=dy/dx ดังนั้น dy/dx=2y คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย dx หารด้วย y แล้วอินทิเกรต:
จากที่นี่เราพบ y:
เราแทนที่นิพจน์สำหรับ y และ y’ ลงในเงื่อนไข (เพื่อความกระชับ เราจะใช้ C แทน C(x) และ C’ แทน C"(x)):
ในการค้นหาอินทิกรัลทางด้านขวา เราใช้สูตรอินทิกรัลตามส่วน:
ตอนนี้เราแทน u, du และ v ลงในสูตร:
ที่นี่ C = const
3) ตอนนี้เราแทนที่เนื้อเดียวกันลงในสารละลาย