แบบจำลองทฤษฎีการเข้าคิว ตัวอย่างการแก้ปัญหาระบบคิว
1. บทนำ.
1.1.
ข้อมูลทางประวัติศาสตร์ ระบบส่วนใหญ่ที่มนุษย์รับมือนั้นเป็นระบบสุ่ม ความพยายามที่จะอธิบายสิ่งเหล่านี้ทางคณิตศาสตร์โดยใช้แบบจำลองที่กำหนดขึ้นจะนำไปสู่การทำให้สถานการณ์ที่แท้จริงมีความหยาบขึ้น ในการแก้ไขปัญหาการวิเคราะห์และออกแบบระบบดังกล่าว จะต้องคำนึงถึงสถานะของกิจการเมื่อใดความบังเอิญเป็นสิ่งชี้ขาด
สำหรับกระบวนการที่เกิดขึ้นในระบบ ในเวลาเดียวกันการละเลยการสุ่มและพยายาม "บีบ" วิธีแก้ปัญหาที่ระบุไว้ในกรอบที่กำหนดจะนำไปสู่การบิดเบือนและข้อผิดพลาดในข้อสรุปและคำแนะนำในทางปฏิบัติ ปัญหาแรกของทฤษฎีระบบกำลังเข้าคิว (TSMO) ได้รับการตรวจสอบโดยพนักงานของบริษัทโทรศัพท์โคเปนเฮเกน ซึ่งเป็นนักวิทยาศาสตร์ชาวเดนมาร์ก A.K. แอร์ลัง (1878-1929) ระหว่าง 1908 ถึง 1922 งานเหล่านี้เกิดขึ้นจริงด้วยความปรารถนาที่จะปรับปรุงการทำงานของเครือข่ายโทรศัพท์และพัฒนาวิธีการที่จะทำให้สามารถปรับปรุงคุณภาพการบริการลูกค้าในเชิงรุกโดยขึ้นอยู่กับจำนวนอุปกรณ์ที่ใช้ ปรากฎว่าสถานการณ์ที่เกิดขึ้นที่การแลกเปลี่ยนทางโทรศัพท์นั้นเป็นเรื่องปกติไม่เพียง แต่สำหรับการสื่อสารทางโทรศัพท์เท่านั้น การดำเนินงานสนามบิน ท่าเรือทะเลและแม่น้ำ ร้านค้า อาคารผู้โดยสาร ระบบคอมพิวเตอร์อิเล็กทรอนิกส์สถานีเรดาร์
ฯลฯ สามารถอธิบายได้ภายในกรอบของ TSMO
1.2.ตัวอย่างระบบคิว การวิเคราะห์งาน TSMO ตัวอย่างที่ 1การสื่อสารทางโทรศัพท์ในยุคแอร์แลงประกอบด้วยการแลกเปลี่ยนทางโทรศัพท์ที่เชื่อมต่อกับ
จำนวนมาก
สมาชิก ผู้ให้บริการโทรศัพท์ของสถานีจะเชื่อมต่อหมายเลขโทรศัพท์ระหว่างกันเมื่อมีสายเข้าปัญหา: จำนวนผู้ให้บริการโทรศัพท์ (สมมติว่ามีการจ้างงานเต็มที่) ควรทำงานที่สถานีเพื่อลดการสูญเสียความต้องการ
งาน: กำหนดจำนวนแพทย์ เจ้าหน้าที่ช่วยเหลือ และรถยนต์ เพื่อให้เวลารอสำหรับการโทรมีความเหมาะสมที่สุดสำหรับผู้ป่วย โดยขึ้นอยู่กับการลดต้นทุนการดำเนินงานระบบและเพิ่มคุณภาพการบริการให้สูงสุด
ตัวอย่างที่ 3งานที่สำคัญคือการจัดการขนส่งสินค้าทางทะเลและทางแม่น้ำ ในเรื่องนี้ การใช้เรือและท่าเรือให้เกิดประโยชน์สูงสุดถือเป็นสิ่งสำคัญอย่างยิ่ง
วัตถุประสงค์: เพื่อให้มีปริมาณการขนส่งในระดับหนึ่งด้วยต้นทุนที่น้อยที่สุด ในเวลาเดียวกัน ลดการหยุดทำงานของเรือระหว่างการดำเนินการขนถ่าย
ตัวอย่างที่ 4ระบบประมวลผลข้อมูลประกอบด้วยช่องสัญญาณมัลติเพล็กซ์และคอมพิวเตอร์หลายเครื่อง สัญญาณจากเซ็นเซอร์จะเข้าสู่ช่องสัญญาณมัลติเพล็กซ์ ซึ่งสัญญาณเหล่านั้นจะถูกบัฟเฟอร์และประมวลผลล่วงหน้า
จากนั้นพวกเขาก็ไปที่คอมพิวเตอร์ซึ่งมีคิวน้อยที่สุด
วัตถุประสงค์: เพื่อให้แน่ใจว่าการประมวลผลสัญญาณจะเร่งความเร็วตามความยาวคิวทั้งหมดที่กำหนดตัวอย่างที่ 5
- ในรูปที่ 1.1
แสดงบล็อกไดอะแกรมของระบบคิวทั่วไป - องค์กรซ่อมแซม (เช่น ซ่อมพีซี) ลำดับการดำเนินการมีความชัดเจนจากแผนภาพและไม่ต้องการคำอธิบาย
รูปที่ 1.1.
- ไม่ใช่เรื่องยากที่จะยกตัวอย่างอื่นๆ อีกมากมายจากกิจกรรมด้านต่างๆ
- ลักษณะสำหรับงานดังกล่าวคือ:
- เงื่อนไขของการสุ่ม "สองเท่า" –
เวลาที่รับคำสั่งซื้อบริการจะเป็นแบบสุ่ม (ที่จุดรับโทรศัพท์, สถานีรถพยาบาล, ที่ทางเข้าของผู้ประมวลผล, เวลาที่เรือเดินทะเลมาถึงเพื่อบรรทุกเป็นแบบสุ่ม ฯลฯ )
ระยะเวลาการให้บริการเป็นแบบสุ่ม
2) ปัญหาภัยพิบัติในยุคของเรา - คิว: จัดส่งหน้าล็อค, รถยนต์อยู่หน้าเคาน์เตอร์, งานที่ทางเข้าของโปรเซสเซอร์ของศูนย์คอมพิวเตอร์ ฯลฯ
ระบบจริงที่ต้องจัดการในทางปฏิบัติมักจะซับซ้อนมากและประกอบด้วยขั้นตอนการบำรุงรักษา (ขั้นตอน) จำนวนหนึ่ง (รูปที่ 1.1) นอกจากนี้ ในแต่ละขั้นตอนอาจมีความเป็นไปได้ที่จะล้มเหลวในการปฏิบัติตามหรืออาจมีสถานการณ์ของการบริการที่มีลำดับความสำคัญที่เกี่ยวข้องกับข้อกำหนดอื่น ๆ ในกรณีนี้ หน่วยบริการแต่ละหน่วยอาจหยุดทำงาน (สำหรับการซ่อมแซม การปรับเปลี่ยน ฯลฯ) หรืออาจเชื่อมต่อวิธีการเพิ่มเติม อาจมีบางสถานการณ์ที่การอ้างสิทธิ์ที่ถูกปฏิเสธถูกนำเข้าสู่ระบบอีกครั้ง (ซึ่งอาจเกิดขึ้นในระบบสารสนเทศ
โอ้).
1.3.
แนวคิด คำจำกัดความ คำศัพท์เฉพาะทาง
QS ทั้งหมดมีโครงสร้างที่กำหนดไว้อย่างดี ดังแสดงในรูปที่ 1.2
- รูปที่ 1.2
- คำจำกัดความเงื่อนไข
- โฟลว์คือลำดับของเหตุการณ์ โฟลว์ของข้อกำหนดการบริการเรียกว่าโฟลว์ความต้องการ
- กระแสความต้องการเข้าสู่ระบบการให้บริการเรียกว่ากระแสขาเข้า
- กระแสของคำขอที่ได้รับการบริการเรียกว่ากระแสข้อมูลขาออก
- ชุดคิวและอุปกรณ์บริการ (ช่องสัญญาณ) เรียกว่าระบบบริการ แต่ละคำขอมาถึงช่องทางของตัวเองซึ่งอยู่ระหว่างการดำเนินการบริการ SMO แต่ละอันมี
กฎบางอย่าง
การจัดคิวและกฎเกณฑ์หรือระเบียบวินัยในการให้บริการ
1.4.
การจำแนกประเภทของ SMO
1.2. 1.4.1.
ขึ้นอยู่กับลักษณะของแหล่งที่มาของข้อกำหนด ความแตกต่างระหว่าง QS ที่มีข้อกำหนดอินพุตที่มีจำนวนจำกัดและจำนวนอนันต์ในกรณีแรก ความต้องการที่มีจำกัดและมักจะคงที่จะไหลเวียนอยู่ในระบบ ซึ่งจะถูกส่งกลับไปยังแหล่งที่มาหลังจากบริการเสร็จสิ้น
ในกรณีที่สอง แหล่งที่มาจะสร้างคำขอจำนวนอนันต์
โรงปฏิบัติงานที่มีเครื่องจักรจำนวนคงที่หรือพีซีจำนวนหนึ่งในระดับเทอร์มินัล ซึ่งต้องมีการตรวจสอบและซ่อมแซมเชิงป้องกันอย่างต่อเนื่อง
ตัวอย่างที่ 2
- - อินเทอร์เน็ตที่มีความต้องการไม่รู้จบที่ทางเข้า ร้านค้า ร้านทำผม ฯลฯ
- QS ประเภทแรกเรียกว่าปิด ส่วนประเภทที่สอง - เปิด
- SMO มีความโดดเด่น:
1.4.2.
- ตามวินัยการบริการ:
- มาก่อนได้สิทธิ์ก่อน;
- บริการแบบสุ่ม (ตามกฎหมายการจำหน่ายที่กำหนด)
บริการลำดับความสำคัญ
1.4.4.
- ตามจำนวนหน่วยบริการ:
- ช่องทางเดียว;
- สองช่องทาง;
หลายช่อง 1.4.5.
ตามจำนวนขั้นตอน (ระยะ) ของการให้บริการ - เฟสเดียวและหลายเฟส (ตัวอย่างของระบบคิวแบบหลายเฟสอาจเป็นสายการผลิตใดก็ได้)
1.4.6.
ตามคุณสมบัติของช่อง: ให้เป็นเนื้อเดียวกันเมื่อช่องสัญญาณมีลักษณะเหมือนกันและต่างกันอย่างอื่น
กระบวนการสุ่มของมาร์คอฟที่มีสถานะแยกกันและเวลาต่อเนื่องกัน ดังที่อภิปรายในการบรรยายครั้งก่อน เกิดขึ้นในระบบคิว (QS)
- ระบบคิว
- – คือระบบที่รับคำขอบริการตามเวลาสุ่ม และคำขอที่ได้รับจะให้บริการโดยใช้ช่องทางบริการที่มีให้กับระบบ
- ตัวอย่างของระบบคิว ได้แก่ :
- หน่วยการชำระเงินสดในธนาคารและรัฐวิสาหกิจ
- คอมพิวเตอร์ส่วนบุคคลที่ให้บริการแอปพลิเคชันที่เข้ามาหรือข้อกำหนดสำหรับการแก้ปัญหาบางอย่าง สถานีบริการรถยนต์ ปั๊มน้ำมันบริษัทตรวจสอบบัญชี;
- แผนกต่างๆ
เจ้าหน้าที่ตรวจสอบภาษี |
ผู้ที่เกี่ยวข้องกับการยอมรับและการตรวจสอบการรายงานปัจจุบันของวิสาหกิจ |
|
การแลกเปลี่ยนทางโทรศัพท์ ฯลฯ |
โหนด |
ความต้องการ |
โรงพยาบาล |
||
ระเบียบ |
ผู้ป่วย การผลิต |
สนามบิน |
ออกไปสู่รันเวย์
จุดลงทะเบียน
- ผู้โดยสาร ลองพิจารณาแผนภาพการทำงานของ QS (รูปที่ 1) ระบบประกอบด้วยตัวสร้างคำขอ ผู้มอบหมายงาน และหน่วยบริการ หน่วยบัญชีความล้มเหลว (ตัวยุติ ตัวทำลายคำสั่ง) โดยทั่วไป โหนดบริการอาจมีช่องทางการให้บริการหลายช่องทาง ข้าว. 1เครื่องกำเนิดแอปพลิเคชัน
- – คำขอสร้างวัตถุ: ถนน, เวิร์กช็อปพร้อมยูนิตที่ติดตั้ง อินพุตคือ การไหลของแอปพลิเคชัน
- (การไหลของลูกค้าไปที่ร้านค้า, การไหลของหน่วยที่ชำรุด (เครื่องจักร, เครื่องจักร) เพื่อการซ่อมแซม, การไหลของผู้เยี่ยมชมตู้เสื้อผ้า, การไหลของรถยนต์ไปที่ปั๊มน้ำมัน ฯลฯ )
- ผู้จัดส่ง
- – บุคคลหรืออุปกรณ์ที่รู้ว่าต้องทำอย่างไรกับแอปพลิเคชัน โหนดที่ควบคุมและสั่งการคำขอไปยังช่องทางบริการ ผู้จัดส่ง:
- ยอมรับแอปพลิเคชัน
- สร้างคิวหากทุกช่องไม่ว่าง
- นำพวกเขาไปยังช่องทางบริการหากมีช่องฟรี
- ปฏิเสธการสมัคร (ด้วยเหตุผลหลายประการ); รับข้อมูลจากโหนดบริการเกี่ยวกับช่องฟรี
- ตรวจสอบเวลาการทำงานของระบบ คิว
- – ตัวสะสมแอปพลิเคชัน อาจจะไม่มีคิว จากบริการจะเกิดขึ้นหากทุกช่องไม่ว่าง (บางช่องอาจไม่ทำงาน)
นอกเหนือจากองค์ประกอบพื้นฐานเหล่านี้ใน QS แล้ว แหล่งข้อมูลบางแห่งยังเน้นองค์ประกอบต่อไปนี้ด้วย:
terminator – ผู้ทำลายธุรกรรม;
คลังสินค้า – การจัดเก็บทรัพยากรและผลิตภัณฑ์สำเร็จรูป
ตรวจสอบ การบัญชี– เพื่อดำเนินการต่างๆ เช่น “การเดินสายไฟ”
ผู้จัดการ – ผู้จัดการทรัพยากร
การจำแนกประเภทของ SMO
ส่วนแรก (ขึ้นอยู่กับคิว):
- QS ที่มีความล้มเหลว
- SMO พร้อมคิว
ใน QS ที่มีความล้มเหลวแอปพลิเคชันที่ได้รับในเวลาที่ทุกช่องไม่ว่างถูกปฏิเสธ ออกจาก QS และจะไม่ได้รับบริการในอนาคต
ใน ต่อคิวด้วยแอปพลิเคชั่นที่มาถึงในเวลาที่ทุกช่องไม่ว่างจะไม่ออก แต่เข้าคิวและรอโอกาสที่จะให้บริการ
QS พร้อมคิวจะถูกแบ่งออกเป็น ประเภทต่างๆขึ้นอยู่กับวิธีการจัดคิว - จำกัดหรือไม่จำกัด- ข้อจำกัดอาจเกี่ยวข้องกับความยาวของคิวและเวลารอ "วินัยในการให้บริการ"
ตัวอย่างเช่น จะพิจารณา QS ต่อไปนี้:
- CMO ที่มีคำขอไม่อดทน (ความยาวคิวและเวลาในการให้บริการมีจำกัด)
- QS ที่มีบริการลำดับความสำคัญ เช่น คำขอบางรายการได้รับการบริการโดยไม่ตั้งใจ เป็นต้น
ประเภทของข้อจำกัดคิวสามารถนำมารวมกันได้
การจำแนกประเภทอื่นแบ่ง CMO ตามแหล่งที่มาของแอปพลิเคชัน แอปพลิเคชัน (ข้อกำหนด) สามารถสร้างขึ้นโดยระบบเองหรือโดยบางส่วน สภาพแวดล้อมภายนอกมีอยู่อย่างเป็นอิสระจากระบบ
โดยปกติแล้ว กระแสของแอปพลิเคชันที่สร้างโดยระบบนั้นจะขึ้นอยู่กับระบบและสถานะของระบบ
นอกจากนี้ SMO ยังแบ่งออกเป็น เปิดซีเอ็มโอและ ปิดเอสเอ็มโอ
ใน QS แบบเปิด ลักษณะของโฟลว์ของแอปพลิเคชันไม่ได้ขึ้นอยู่กับสถานะของ QS เอง (จำนวนช่องสัญญาณที่ถูกครอบครอง) ใน QS แบบปิด - ขึ้นอยู่กับพวกเขา ตัวอย่างเช่น หากพนักงานคนหนึ่งให้บริการเครื่องจักรกลุ่มหนึ่งที่จำเป็นต้องมีการปรับเปลี่ยนเป็นครั้งคราว ปริมาณของ "ความต้องการ" ที่ไหลออกมาจากเครื่องจักรนั้นจะขึ้นอยู่กับจำนวนเครื่องจักรที่ทำงานอยู่แล้วและรอการปรับเปลี่ยน
ตัวอย่างของระบบปิด: แคชเชียร์ออกค่าจ้างให้กับองค์กร
ขึ้นอยู่กับจำนวนช่อง QS แบ่งออกเป็น:
- ช่องทางเดียว;
- หลายช่อง
ลักษณะของระบบคิว
ลักษณะสำคัญของระบบคิวประเภทต่างๆ คือ:
- กระแสอินพุตของข้อกำหนดที่เข้ามาหรือการร้องขอบริการ
- ระเบียบวินัยของคิว;
- กลไกการบริการ
สตรีมความต้องการอินพุต
สำหรับคำอธิบาย สตรีมอินพุตจำเป็นต้องตั้งค่า กฎหมายความน่าจะเป็นที่กำหนดลำดับช่วงเวลาที่ได้รับคำขอรับบริการและระบุจำนวนข้อกำหนดดังกล่าวในใบเสร็จรับเงินแต่ละครั้ง ตามกฎแล้ว ในกรณีนี้ พวกเขาดำเนินการโดยใช้แนวคิด "การกระจายช่วงเวลาที่น่าจะได้รับข้อกำหนด" ที่นี่พวกเขาสามารถทำสิ่งต่อไปนี้: ข้อกำหนดส่วนบุคคลและกลุ่ม (จำนวนข้อกำหนดดังกล่าวในใบเสร็จรับเงินปกติแต่ละใบ- ในกรณีหลังมักจะ เรากำลังพูดถึงเกี่ยวกับระบบบริการที่มีบริการกลุ่มขนาน
ฉัน– เวลามาถึงระหว่างข้อกำหนด – ตัวแปรสุ่มที่กระจายอย่างอิสระเหมือนกัน
อี(เอ)– เวลามาถึงเฉลี่ย (MO)
แลมบ์=1/อี(เอ)– ความเข้มงวดของการรับข้อเรียกร้อง
ลักษณะสตรีมอินพุต:
- กฎหมายความน่าจะเป็นที่กำหนดลำดับช่วงเวลาที่ได้รับคำขอรับบริการ
- จำนวนคำขอในการมาถึงครั้งถัดไปสำหรับโฟลว์กลุ่ม
ระเบียบวินัยในการเข้าคิว
ปฏิเสธการสมัคร (ด้วยเหตุผลหลายประการ); – ชุดข้อกำหนดที่รอการบริการ
คิวมีชื่อ.
ระเบียบวินัยในการเข้าคิว กำหนดหลักการตามความต้องการที่มาถึงอินพุตของระบบการให้บริการที่เชื่อมต่อจากคิวไปยังขั้นตอนการบริการ ระเบียบวินัยของคิวที่ใช้บ่อยที่สุดถูกกำหนดโดยกฎต่อไปนี้:
- มาก่อนได้ก่อน;
เข้าก่อนออกก่อน (FIFO)
ประเภทของคิวที่พบบ่อยที่สุด
โครงสร้างข้อมูลใดที่เหมาะสมในการอธิบายคิวดังกล่าว อาร์เรย์ไม่ดี (จำกัด) คุณสามารถใช้โครงสร้าง LIST
รายการมีจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด รายการประกอบด้วยรายการ รายการคือเซลล์รายการ แอปพลิเคชันมาถึงจุดสิ้นสุดของรายการ และได้รับเลือกให้รับบริการตั้งแต่จุดเริ่มต้นของรายการ บันทึกประกอบด้วยลักษณะของแอปพลิเคชันและลิงก์ (บ่งชี้ว่าใครอยู่เบื้องหลัง) นอกจากนี้ หากคิวมีกำหนดเวลารอ จะต้องระบุเวลารอสูงสุดด้วย
ในฐานะโปรแกรมเมอร์ คุณควรจะสามารถสร้างรายการแบบสองทางและทางเดียวได้
แสดงรายการการกระทำ:
- ใส่เข้าไปในหาง;
- เริ่มจากจุดเริ่มต้น
- ลบออกจากรายการหลังจากหมดเวลา
- คนสุดท้ายที่มาถึง - เสิร์ฟก่อน LIFO (คลิปหนีบตลับหมึก ทางตันที่สถานีรถไฟ เดินเข้าไปในรถที่มีผู้คนหนาแน่น)
โครงสร้างที่เรียกว่า STACK สามารถอธิบายได้ด้วยโครงสร้างอาร์เรย์หรือรายการ
- การเลือกแอปพลิเคชันแบบสุ่ม
- การเลือกแอปพลิเคชันตามเกณฑ์ลำดับความสำคัญ
แต่ละแอปพลิเคชันจะมีลักษณะเฉพาะตามระดับความสำคัญ และเมื่อได้รับจะไม่อยู่ที่ส่วนท้ายของคิว แต่อยู่ที่ส่วนท้ายของกลุ่มลำดับความสำคัญ ผู้มอบหมายงานจะเรียงลำดับตามลำดับความสำคัญ
ลักษณะคิว
- ข้อจำกัดรอเวลาช่วงเวลาของการบริการ (มีคิวที่มีเวลารอบริการที่ จำกัด ซึ่งเกี่ยวข้องกับแนวคิดของ "ความยาวคิวที่อนุญาต");
- ความยาวคิว
กลไกการบริการ
กลไกการบริการ กำหนดโดยลักษณะของขั้นตอนการบริการและโครงสร้างของระบบการบริการ ลักษณะขั้นตอนการบำรุงรักษาประกอบด้วย:
- จำนวนช่องทางการให้บริการ ( เอ็น);
- ระยะเวลาของขั้นตอนการให้บริการ (การกระจายเวลาที่เป็นไปได้สำหรับข้อกำหนดในการให้บริการ)
- จำนวนข้อกำหนดที่พึงพอใจอันเป็นผลมาจากแต่ละขั้นตอนดังกล่าว (สำหรับการสมัครแบบกลุ่ม)
- ความน่าจะเป็นของความล้มเหลวของช่องบริการ
- โครงสร้างของระบบบริการ
เพื่ออธิบายคุณลักษณะของขั้นตอนการบริการในเชิงวิเคราะห์ จะใช้แนวคิดของ "การกระจายเวลาที่เป็นไปได้สำหรับข้อกำหนดในการให้บริการ"
ส ฉัน– เวลาให้บริการ ฉันข้อกำหนด -th;
อี(ส)– ระยะเวลาการให้บริการโดยเฉลี่ย
μ=1/E(S)– ความเร็วของการร้องขอการบริการ
ควรสังเกตว่าเวลาที่ต้องใช้ในการให้บริการแอปพลิเคชันนั้นขึ้นอยู่กับลักษณะของแอปพลิเคชันเองหรือความต้องการของลูกค้า และขึ้นอยู่กับเงื่อนไขและความสามารถของระบบการบริการ ในบางกรณีก็จำเป็นต้องคำนึงถึงด้วย ความน่าจะเป็นของความล้มเหลวของช่องบริการหลังจากระยะเวลาอันจำกัด คุณลักษณะนี้สามารถจำลองเป็นโฟลว์ของความล้มเหลวที่เข้าสู่ QS และมีลำดับความสำคัญเหนือคำขออื่นๆ ทั้งหมด
อัตราการใช้ QS
เอ็น·μ – ความเร็วบริการในระบบเมื่ออุปกรณ์บริการทั้งหมดไม่ว่าง
ρ=λ/( เอ็นμ) – เรียกว่า อัตราการใช้ QS แสดงจำนวนทรัพยากรระบบที่ใช้
โครงสร้างระบบการให้บริการ
โครงสร้างระบบการให้บริการจะกำหนดตามจำนวนและ ตำแหน่งสัมพัทธ์ช่องทางการให้บริการ (กลไก อุปกรณ์ ฯลฯ) ประการแรก ควรเน้นว่าระบบบริการอาจมีช่องทางการให้บริการมากกว่าหนึ่งช่องทาง แต่มีหลายช่องทาง ระบบประเภทนี้สามารถรองรับความต้องการได้หลายข้อพร้อมกัน ในกรณีนี้ทุกช่องทางการให้บริการจะให้บริการแบบเดียวกันจึงอาจโต้แย้งได้ว่า บริการแบบขนาน .
ตัวอย่าง. เครื่องบันทึกเงินสดในร้าน
ระบบการบริการอาจประกอบด้วยช่องทางการให้บริการหลายประเภทซึ่งแต่ละความต้องการบริการจะต้องผ่าน เช่น ในระบบบริการ มีการนำขั้นตอนการให้บริการข้อกำหนดมาใช้อย่างสม่ำเสมอ - กลไกการบริการจะกำหนดลักษณะของโฟลว์คำขอขาออก (เสิร์ฟ)
ตัวอย่าง. คณะกรรมการการแพทย์
บริการแบบผสมผสาน – การให้บริการเงินฝากในธนาคารออมสิน: อันดับแรกคือผู้ควบคุม จากนั้นจึงแคชเชียร์ ตามกฎแล้ว มีผู้ควบคุม 2 คนต่อแคชเชียร์
ดังนั้น, ฟังก์ชั่นระบบคิวใด ๆ จะถูกกำหนดโดยปัจจัยหลักดังต่อไปนี้ :
- การกระจายความน่าจะเป็นของช่วงเวลาที่ได้รับการร้องขอบริการ (เดี่ยวหรือกลุ่ม)
- อำนาจของแหล่งที่มาของข้อกำหนด
- การกระจายระยะเวลาการให้บริการที่น่าจะเป็น
- การกำหนดค่าของระบบการให้บริการ (บริการแบบขนาน ต่อเนื่อง หรือขนานตามลำดับ)
- จำนวนและผลผลิตของช่องทางบริการ
- ระเบียบวินัยของคิว
เกณฑ์หลักสำหรับประสิทธิผลของการทำงานของ QS
เช่น เกณฑ์หลักสำหรับประสิทธิผลของระบบคิว ขึ้นอยู่กับลักษณะของปัญหาที่กำลังแก้ไข สิ่งต่อไปนี้อาจปรากฏขึ้น:
- ความน่าจะเป็นในการให้บริการคำขอที่เข้ามาทันที (P obsl = K obs / K post)
- ความน่าจะเป็นที่จะปฏิเสธที่จะให้บริการแอปพลิเคชันที่เข้ามา (P open = K open / K post)
แน่นอนว่า P obsl + P เปิด =1
การไหล ความล่าช้า การบำรุงรักษา สูตรพอลลาเช็ค-คินชิน
ล่าช้า – หนึ่งในเกณฑ์ในการให้บริการ QS คือเวลาที่แอปพลิเคชันใช้ในการรอรับบริการ
ฉัน– ความล่าช้าในการขอคิว ฉัน;
W ฉัน =D ฉัน +S ฉัน– ระยะเวลาที่ต้องการในระบบ ฉัน.
(ด้วยความน่าจะเป็น 1) – ความล่าช้าโดยเฉลี่ยที่กำหนดของการร้องขอในคิว
(ด้วยความน่าจะเป็น 1) – เวลาเฉลี่ยที่กำหนดไว้ซึ่งข้อกำหนดอยู่ใน QS (กำลังรอ)
ถาม(เสื้อ) –จำนวนคำขอในคิวต่อครั้ง เสื้อ;
ลิตร(เสื้อ)– จำนวนความต้องการในระบบในแต่ละครั้ง ที(ถาม(เสื้อ)บวกกับจำนวนข้อกำหนดที่ให้บริการในแต่ละครั้ง ที
แล้วตัวชี้วัด (ถ้ามี)
(ด้วยความน่าจะเป็น 1) – จำนวนคำขอโดยเฉลี่ยในสถานะคงตัวในคิวในช่วงเวลาหนึ่ง
(ด้วยความน่าจะเป็น 1) – จำนวนความต้องการโดยเฉลี่ยของสถานะคงตัวในระบบในช่วงเวลาหนึ่ง
โปรดทราบว่า ρ<1 – обязательное условие существования ง, ว, คิวและ ลในระบบคิว
หากเราจำได้ว่า ρ= แล/( เอ็นμ) จะเห็นได้ว่าหากความเข้มในการรับใบสมัครมากกว่า เอ็นμ จากนั้น ρ>1 และเป็นเรื่องปกติที่ระบบจะไม่สามารถรับมือกับกระแสการใช้งานดังกล่าวได้ ดังนั้นเราจึงไม่สามารถพูดถึงปริมาณได้ ง, ว, คิวและ ล.
ถึงเรื่องทั่วไปที่สุดและ ผลลัพธ์ที่ต้องการสำหรับระบบคิวจะมีสมการอนุรักษ์ดังนี้
ควรสังเกตว่าเกณฑ์ข้างต้นสำหรับการประเมินประสิทธิภาพของระบบสามารถคำนวณเชิงวิเคราะห์สำหรับระบบคิวได้ ด/ด/น(เอ็น>1) เช่น ระบบที่มีโฟลว์คำขอและบริการของ Markov สำหรับ ม/ก/ l สำหรับการกระจายใดๆ ชและสำหรับระบบอื่นๆ โดยทั่วไป การกระจายเวลาระหว่างมาถึง การกระจายเวลาบริการ หรือทั้งสองอย่างจะต้องเป็นแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล (หรือการกระจาย Erlang เอ็กซ์โปเนนเชียลลำดับ k บางประเภท) เพื่อให้โซลูชันเชิงวิเคราะห์เป็นไปได้
นอกจากนี้เรายังสามารถพูดคุยเกี่ยวกับลักษณะต่างๆ เช่น:
- ความจุของระบบสัมบูรณ์ – А=Р obsl *l;
- ความจุของระบบสัมพัทธ์ –
อีกตัวอย่างที่น่าสนใจ (และภาพประกอบ) ของโซลูชันเชิงวิเคราะห์ – การคำนวณความล่าช้าเฉลี่ยในสถานะคงตัวในคิวสำหรับระบบคิว ม/ก/ 1 ตามสูตร:
.
ในรัสเซีย สูตรนี้เรียกว่า สูตรพอลลาเชค – Khinchin ในต่างประเทศสูตรนี้มีความเกี่ยวข้องกับชื่อของรอสส์
ดังนั้นหาก อี(ส)มีค่ามากกว่าจึงเกิดการโอเวอร์โหลด (ในกรณีนี้วัดเป็น ง) จะมีขนาดใหญ่ขึ้น ซึ่งเป็นสิ่งที่คาดหวังได้ สูตรยังเผยให้เห็นข้อเท็จจริงที่ไม่ชัดเจน: ความแออัดจะเพิ่มขึ้นเมื่อความแปรปรวนของการกระจายเวลาการบริการเพิ่มขึ้น แม้ว่าเวลาการให้บริการโดยเฉลี่ยจะยังคงเท่าเดิมก็ตาม โดยสังหรณ์ใจ สิ่งนี้สามารถอธิบายได้ดังต่อไปนี้: ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มของเวลาในการให้บริการสามารถรับได้ คุ้มค่ามาก(เนื่องจากจะต้องเป็นบวก) กล่าวคือ อุปกรณ์บริการเดียวจะไม่ว่าง เวลานานซึ่งจะนำไปสู่การเพิ่มคิว
เรื่องของทฤษฎีการเข้าคิวคือการสร้างความสัมพันธ์ระหว่างปัจจัยที่กำหนดการทำงานของระบบคิวและประสิทธิภาพของการดำเนินงาน ในกรณีส่วนใหญ่ พารามิเตอร์ทั้งหมดที่อธิบายระบบคิวเป็นตัวแปรสุ่มหรือฟังก์ชัน ดังนั้นระบบเหล่านี้จึงอยู่ในระบบสุ่ม
ลักษณะการสุ่มของโฟลว์ของแอปพลิเคชัน (ข้อกำหนด) รวมถึงในกรณีทั่วไป ระยะเวลาของการบริการนำไปสู่ความจริงที่ว่ากระบวนการสุ่มเกิดขึ้นในระบบคิว โดยธรรมชาติของกระบวนการสุ่ม ที่เกิดขึ้นในระบบคิว (QS) มีความโดดเด่น ระบบมาร์โคเวียนและไม่ใช่มาร์โคเวียน - ในระบบมาร์คอฟ การไหลเข้าของข้อกำหนดและการไหลออกของข้อกำหนดการบริการ (แอปพลิเคชัน) คือปัวซอง กระแสปัวซองทำให้ง่ายต่อการอธิบายและสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบคิว โมเดลเหล่านี้ก็พอแล้ว โซลูชั่นง่ายๆดังนั้นการประยุกต์ใช้ทฤษฎีการเข้าคิวที่รู้จักกันดีที่สุดจึงใช้รูปแบบมาร์คอฟ ในกรณีของกระบวนการที่ไม่ใช่มาร์คอฟ ปัญหาในการศึกษาระบบคิวจะซับซ้อนมากขึ้นอย่างมาก และจำเป็นต้องใช้การสร้างแบบจำลองทางสถิติและวิธีการเชิงตัวเลขโดยใช้คอมพิวเตอร์
ภารกิจที่ 1แผงควบคุมได้รับสตรีมคำขอ ซึ่งเป็นสตรีม Erlang ลำดับที่สอง ความเข้มข้นของการไหลของแอปพลิเคชันคือ 6 การใช้งานต่อชั่วโมง หากผู้มอบหมายงานออกจากรีโมตคอนโทรลโดยไม่ได้ตั้งใจ เมื่อคำขอถัดไปครั้งแรกเขาจะต้องกลับไปที่รีโมตคอนโทรล ค้นหาความหนาแน่นของการกระจายของเวลาที่รอสำหรับการใช้งานครั้งถัดไปและสร้างกราฟ คำนวณความน่าจะเป็นที่ผู้มอบหมายงานจะหายไปตั้งแต่ 10 ถึง 20 นาที สารละลาย- เนื่องจากการไหล Erlang ลำดับที่สองเป็นการไหลคงที่และมีผลตามมาที่จำกัด สูตรของ Palm จึงใช้ได้
ที่ไหน f1(θ)-
ความหนาแน่นของการแจกแจงความน่าจะเป็นสำหรับเวลารอสำหรับเหตุการณ์ที่ใกล้ที่สุดครั้งแรก
λ
- ความเข้มของการไหล
- ลำดับการไหล
(θ)
- ฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็นสำหรับเวลาระหว่างเหตุการณ์สองเหตุการณ์ที่อยู่ใกล้เคียงกันของโฟลว์ Erlang - ลำดับแรก (E)
เป็นที่ทราบกันว่าฟังก์ชันการกระจายสำหรับโฟลว์ E มีรูปแบบ
. (2)
ตามเงื่อนไขของปัญหา โฟลว์ของคำขอคือ Erlang order =2 จากนั้นจาก (1) และ (2) เราได้
.
จากความสัมพันธ์ล่าสุดของ แล = 6 เราจะได้
f1(θ)=3е-6θ(1+6θ), θ≥0. (3)
ลองพลอตฟังก์ชันกัน f1(θ) - ที่ θ <0 เรามี f1(θ) =0 - ที่ θ =0 , f1(0)=3- พิจารณาขีดจำกัด
เมื่อคำนวณขีดจำกัดเพื่อแสดงความไม่แน่นอนของประเภท จะใช้กฎของโลปิตาล จากผลการวิจัย เราสร้างกราฟของฟังก์ชัน f1(θ)
(รูปที่ 1)
ให้ความสนใจกับมิติเวลาในข้อความของปัญหา: สำหรับความเข้มข้นนี่คือคำขอต่อชั่วโมงสำหรับเวลา - นาที มาดูหน่วยเวลาเดียวกัน: 10 นาที = 1/6 ชั่วโมง, 20 นาที = 1/3 ชั่วโมง สำหรับค่าเหล่านี้เราสามารถคำนวณได้ f1(θ) และชี้แจงลักษณะของเส้นโค้ง
ลำดับเหล่านี้จะระบุไว้บนกราฟเหนือจุดที่สอดคล้องกันบนเส้นโค้ง
จากหลักสูตรทฤษฎีความน่าจะเป็น เราทราบแล้วว่าความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มจะชนกัน เอ็กซ์ลงในส่วน [α, β] เท่ากับตัวเลขกับพื้นที่ใต้เส้นโค้งการกระจายความหนาแน่นของความน่าจะเป็น ฉ(x)- พื้นที่นี้แสดงด้วยอินทิกรัลจำกัดเขต
ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ต้องการจึงเท่ากับ
อินทิกรัลนี้สามารถคำนวณได้ง่ายๆ ด้วยส่วนต่างๆ ถ้าเราใส่
U=1+6θและ dV=е-6θดθ- แล้ว คุณ=6ดθและ วี=
.
การใช้สูตร เราได้รับ
คำตอบ: ความน่าจะเป็นที่ผู้มอบหมายงานจะหายไปตั้งแต่ 10 ถึง 20 นาทีคือ 0.28
ภารกิจที่ 2ห้องแสดงสินค้ามี 5 จอ ขั้นตอนการใช้งานนั้นเรียบง่าย จำนวนผู้ใช้โดยเฉลี่ยที่เยี่ยมชมห้องจัดแสดงต่อวันคือ 140 เวลาในการประมวลผลข้อมูลโดยผู้ใช้หนึ่งรายบนจอแสดงผลหนึ่งจอจะกระจายตามกฎเอ็กซ์โปเนนเชียลและโดยเฉลี่ยคือ 40 นาที ตรวจสอบว่ามีโหมดการทำงานแบบอยู่กับที่สำหรับห้องโถงหรือไม่ โอกาสที่ผู้ใช้จะพบว่าจอแสดงผลทั้งหมดไม่ว่าง จำนวนผู้ใช้เฉลี่ยในห้องจัดแสดง จำนวนผู้ใช้โดยเฉลี่ยในคิว เวลารอโดยเฉลี่ยสำหรับการแสดงผลฟรี เวลาเฉลี่ยที่ผู้ใช้ใช้ในห้องแสดงผล สารละลาย. QS ที่พิจารณาในปัญหาอยู่ในคลาสของระบบหลายช่องสัญญาณที่มีคิวไม่จำกัด จำนวนช่อง =5 ให้เราค้นหาความเข้มของการไหลของแอปพลิเคชัน: โดยที่ (ชั่วโมง) - เวลาเฉลี่ยระหว่างคำขอสองครั้งติดต่อกันจากโฟลว์ผู้ใช้ที่เข้ามา แล้ว ผู้ใช้/ชั่วโมง
มาดูความเข้มข้นของกระแสการบริการกัน: โดยที่ M[T serv.]=40 นาที=0.67 ชั่วโมง คือเวลาเฉลี่ยในการให้บริการผู้ใช้หนึ่งรายด้วยจอแสดงผลเดียว
แล้ว ผู้ใช้/ชั่วโมง
ดังนั้นตัวแยกประเภทของระบบนี้มีแบบฟอร์ม QS (5, ∞; 5.85; 1.49)
มาคำนวณปัจจัยโหลดของ QS กัน - เป็นที่ทราบกันว่าสำหรับ QS ของคลาสนี้ โหมดคงที่จะมีอยู่หากอัตราส่วนของตัวประกอบโหลดของระบบต่อจำนวนช่องสัญญาณน้อยกว่าหนึ่งช่อง เราพบความสัมพันธ์นี้
.
ดังนั้นจึงมีระบอบการปกครองที่นิ่งอยู่ การกระจายความน่าจะเป็นแบบจำกัดของรัฐคำนวณโดยใช้สูตร
เนื่องจาก =5 เรามี
มาคำนวณ P* - ความน่าจะเป็นที่ผู้ใช้จะพบว่าจอแสดงผลทั้งหมดไม่ว่าง แน่นอนว่ามันเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ดังกล่าว: จอแสดงผลทั้งหมดไม่ว่าง ไม่มีคิว (p5); จอแสดงผลทั้งหมดไม่ว่าง ผู้ใช้หนึ่งรายอยู่ในคิว (p6) จอแสดงผลทั้งหมดไม่ว่าง ผู้ใช้สองคนอยู่ในคิว (p7) และอื่นๆ เนื่องจากสำหรับกลุ่มเหตุการณ์ทั้งหมด ผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้จะเท่ากับ 1 ดังนั้นความเท่าเทียมกันจึงเป็นจริง
P*=p5+p6+p7+…=1 - โป - p1 - p2 - p3 - p4
เรามาค้นหาความน่าจะเป็นเหล่านี้กัน: โร=0,014; หน้า 1=3,93*0,014; หน้า 2=7,72*0,014; หน้า 3=10,12*0,014; หน้า 4=9,94*0,014.
เราได้นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บแล้ว
P*=1-0.0148*(1+3.93+7.72+10.12+9.94)=1-0.014*32.71=1-0.46=0.54
ใช้สูตรในการคำนวณตัวบ่งชี้ประสิทธิภาพหรือไม่? มาหากัน:
- 1. จำนวนผู้ใช้เฉลี่ยในคิว
2. จำนวนผู้ใช้เฉลี่ยในห้องจัดแสดง
3. เวลารอคอยโดยเฉลี่ยสำหรับการแสดงผลฟรี
4. เวลาเฉลี่ยที่ผู้ใช้ใช้ในห้องแสดงผล
คำตอบ: ห้องแสดงมีโหมดการทำงานแบบอยู่กับที่และมีลักษณะตามตัวบ่งชี้ต่อไปนี้ ป*=0.54; ผู้ใช้; ผู้ใช้; - -
ภารกิจที่ 3ระบบคิวแบบสองช่องทาง (QS) ที่มีความล้มเหลวจะได้รับโฟลว์ปัวซองที่อยู่กับที่ เวลาระหว่างการมาถึงของคำขอสองครั้งติดต่อกันจะถูกกระจายตามกฎเอ็กซ์โพเนนเชียลพร้อมพารามิเตอร์ γ=5 คำขอต่อนาที ระยะเวลาในการให้บริการแต่ละคำขอคือ 0.5 นาที ใช้วิธี Monte Carlo ค้นหาจำนวนคำขอโดยเฉลี่ยที่ให้บริการในช่วงเวลา 4 นาที ทิศทาง: ทำการทดสอบสามครั้ง สารละลาย.ให้เราอธิบายการสร้างแบบจำลองทางสถิติของการทำงานของ QS ที่กำหนดโดยใช้ไดอะแกรมเวลา ให้เราแนะนำสัญกรณ์ต่อไปนี้สำหรับแกนเวลา:ใน- กระแสการสมัครเข้ามาที่นี่ ที- ช่วงเวลาที่ได้รับใบสมัคร ติ- ช่วงเวลาระหว่างการใช้งานสองครั้งติดต่อกัน เห็นได้ชัดว่า ที=ที-1 +ตฉัน.
K1 เป็นช่องทางการให้บริการแรก
ช่องทางบริการ K2 วินาที; ที่นี่เส้นหนาบนแกนเวลาบ่งบอกถึงช่วงเวลาการเข้าใช้ช่อง หากทั้งสองช่องว่าง คำขอจะให้บริการในช่อง K1 หากไม่ว่าง คำขอจะให้บริการโดยช่อง K2
หากทั้งสองช่องไม่ว่าง คำขอจะปล่อยให้ QS ไม่ถูกให้บริการ
Out OB - กระแสคำขอบริการขาออก
Out PT - กระแสขาออกของคำขอที่สูญหายเนื่องจากความล้มเหลวของ QS (กรณีการเข้าใช้ทั้งสองช่องทาง)
การทดสอบทางสถิติจะดำเนินต่อไปตามช่วงเวลา แน่นอนว่าเกินเวลาใดๆ ทีแม็กซ์ทำให้เกิดการดัมพ์คำขอลงในเอาต์พุตสตรีมขาออก PT ดังนั้นในรูป 3 ใบสมัครหมายเลข 10 ที่เข้ามาในระบบในขณะนี้ t10ไม่มีเวลาให้บริการจนถึงขณะนี้ ทีแม็กซ์, เพราะ t10+ค่า >tmax- ดังนั้นจึงไม่ได้รับการยอมรับจากช่องฟรี K1 สำหรับการบริการและถูกรีเซ็ตเป็น Output PT โดยได้รับการปฏิเสธ
ข้าว. 3
จากแผนภาพเวลา เห็นได้ชัดว่าจำเป็นต้องเรียนรู้วิธีการสร้างแบบจำลองช่วงเวลา ตฉัน- เรามาประยุกต์ใช้วิธีกัน ฟังก์ชันผกผัน- เนื่องจากตัวแปรสุ่ม ติกระจายตามกฎเลขชี้กำลังพร้อมพารามิเตอร์ λ =5 ดังนั้นความหนาแน่นของการกระจายจะมีรูปแบบ ฉ(τ)=5е-5τ- แล้วค่า เอฟ(ติ)ฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็นถูกกำหนดโดยอินทิกรัล
.
เป็นที่รู้กันว่าช่วงฟังก์ชันการแจกแจง เอฟ(ต)
มีส่วน เราเลือกตัวเลขจากตารางตัวเลขสุ่มและพิจารณา ตฉันจากความเท่าเทียมกันมาจากไหน อย่างไรก็ตาม หาก . ดังนั้นคุณสามารถรับการใช้งานได้ทันทีจากตารางตัวเลขสุ่ม เพราะฉะนั้น,
อี-5Tฉัน=
ริ, หรือ –5Tฉัน=
อินริ, ที่ไหน . สะดวกในการป้อนผลการคำนวณลงในตาราง
เพื่อทำการทดสอบครั้งที่ 1 เราทำ ตัวเลขสุ่มจากภาคผนวก 2 โดยเริ่มจากหมายเลขแรกของบรรทัดแรก จากนั้นทำการเลือกเป็นแถว ลองทำการทดสอบอีกสองครั้ง
ให้ความสนใจกับการเลือกตัวเลขสุ่มจากตารางในภาคผนวก 2 หากในการทดสอบหมายเลข 1 ตัวเลขสุ่มสุดท้ายสำหรับแอปพลิเคชันหมายเลข 16 คือ 0.37 (ตัวเลขสุ่มตัวแรกในบรรทัดที่สอง) แล้วการทดสอบหมายเลข 2 เริ่มต้นด้วย สุ่มเลขต่อไปนี้ 0.54 . การทดลองที่ 2 มีเลขสุ่มตัวสุดท้าย 0.53 (เลขตัวที่ห้าในแถวที่สาม) ดังนั้นการทดลองครั้งที่ 3 จะเริ่มด้วยหมายเลข 0.19 โดยทั่วไป ภายในชุดการทดสอบหนึ่งชุด ตัวเลขสุ่มจากตารางจะถูกเลือกโดยไม่มีช่องว่างหรือการแทรกในลำดับที่แน่นอน เช่น ตามแถว
ตารางที่ 1 การทดสอบครั้งที่ 1
ใบสมัครเลขที่ |
สล. ตัวเลข |
- ริ |
ช่วงเวลารับใบสมัคร |
ช่วงเวลาแห่งการสิ้นสุดการให้บริการ |
เคาน์เตอร์รับสมัคร |
|||
K1 | ||||||||
ใบสมัครเลขที่ |
สล. ตัวเลข |
- ริ |
ช่วงเวลารับใบสมัคร |
ช่วงเวลาแห่งการสิ้นสุดการให้บริการ |
เคาน์เตอร์รับสมัคร |
|||
ใบสมัครเลขที่ |
สล. ตัวเลข |
- ริ |
ช่วงเวลารับใบสมัคร |
ช่วงเวลาแห่งการสิ้นสุดการให้บริการ |
เคาน์เตอร์รับสมัคร |
||||
K1 | |||||||||
ดังนั้น จากผลการทดสอบทั้งสามรายการ จำนวนแอปพลิเคชันที่ให้บริการจึงเป็นดังนี้: x1=9, x2=9, x3=8. มาดูจำนวนคำขอโดยเฉลี่ยที่ให้บริการกัน:
คำตอบ: จำนวนใบสมัครโดยเฉลี่ยที่ให้บริการโดย QS ใน 4 นาทีคือ 8.6(6)
การวาดภาพ 0 - 2 โฟลว์ของเหตุการณ์ (a) และโฟลว์ที่ง่ายที่สุด (b)
10.5.2.1. ความนิ่ง
การไหลเรียกว่านิ่ง , ถ้าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จำนวนหนึ่งที่เกิดขึ้นในช่วงเวลาพื้นฐาน ความยาว τ (
รูปที่ 0-2 , ก)ขึ้นอยู่กับความยาวของหน้าตัดเท่านั้นและไม่ได้ขึ้นอยู่กับตำแหน่งบนแกนที่แน่นอนที บริเวณนี้ตั้งอยู่
การไหลแบบคงที่หมายถึงความสม่ำเสมอของมันเมื่อเวลาผ่านไป ลักษณะความน่าจะเป็นของการไหลดังกล่าวจะไม่เปลี่ยนแปลงขึ้นอยู่กับเวลา โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สิ่งที่เรียกว่าความเข้มข้น (หรือ "ความหนาแน่น") ของโฟลว์ของเหตุการณ์ ซึ่งเป็นจำนวนเฉลี่ยของเหตุการณ์ต่อหน่วยเวลาสำหรับโฟลว์ที่อยู่กับที่ จะต้องคงที่ แน่นอนว่าไม่ได้หมายความว่าจำนวนเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นจริงต่อหน่วยเวลาจะคงที่ แต่การไหลอาจมีการควบแน่นและการเกิดปฏิกิริยาเฉพาะที่ สิ่งสำคัญคือสำหรับการไหลคงที่ การควบแน่นและการเกิดปฏิกิริยาเหล่านี้ไม่เกิดขึ้นเป็นประจำ และจำนวนเหตุการณ์โดยเฉลี่ยที่ตกลงภายในช่วงระยะเวลาเดียวจะยังคงที่คงที่ตลอดระยะเวลาที่พิจารณา
ในทางปฏิบัติ มักจะมีเหตุการณ์ต่างๆ เกิดขึ้นมากมาย (อย่างน้อยก็ใน พื้นที่จำกัดเวลา) ถือเป็นการหยุดนิ่ง ตัวอย่างเช่น สายโทรศัพท์ที่เข้ามาที่ชุมสายโทรศัพท์ เช่น ระหว่าง 12 ถึง 13 ชั่วโมงอาจถือเป็นโทรศัพท์บ้าน โฟลว์เดียวกันจะไม่หยุดนิ่งตลอดทั้งวันอีกต่อไป (ในเวลากลางคืนความเข้มข้นของโฟลว์การโทรจะน้อยกว่าในระหว่างวันมาก) โปรดทราบว่าเช่นเดียวกันกับกระบวนการทางกายภาพส่วนใหญ่ ซึ่งเราเรียกว่า "การหยุดนิ่ง" ในความเป็นจริง กระบวนการเหล่านี้หยุดนิ่งในช่วงเวลาที่จำกัดเท่านั้น และการขยายขอบเขตนี้ไปสู่ระยะอนันต์เป็นเพียงเทคนิคที่สะดวกซึ่งใช้เพื่อจุดประสงค์นี้ ของการทำให้เข้าใจง่าย
10.5.2.2. ไม่มีผลที่ตามมา
กระแสของเหตุการณ์เรียกว่ากระแสที่ไม่มีผลตามมา , หากส่วนเวลาใดๆ ที่ไม่ทับซ้อนกัน จำนวนเหตุการณ์ที่ตรงกับช่วงใดช่วงหนึ่งไม่ได้ขึ้นอยู่กับจำนวนเหตุการณ์ที่ตกบนอีกช่วงหนึ่ง (หรืออื่นๆ หากพิจารณามากกว่าสองช่วง)
ในกระแสดังกล่าว เหตุการณ์ที่ก่อตัวเป็นกระแสจะปรากฏขึ้นในช่วงเวลาต่อเนื่องกัน โดยไม่แยกจากกัน ตัวอย่างเช่น การไหลเวียนของผู้โดยสารที่เข้าสู่สถานีรถไฟใต้ดินถือได้ว่าเป็นการไหลโดยไม่มีผลกระทบ เนื่องจากเหตุผลที่กำหนดการมาถึงของผู้โดยสารแต่ละรายในช่วงเวลาที่กำหนดและไม่ได้อยู่ที่อื่น ตามกฎแล้วไม่เกี่ยวข้องกับเหตุผลที่คล้ายคลึงกันสำหรับ ผู้โดยสารคนอื่นๆ หากการพึ่งพาอาศัยกันปรากฏขึ้น เงื่อนไขสำหรับการไม่มีผลที่ตามมาจะถูกละเมิด
ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาการไหลของรถไฟบรรทุกสินค้าไปตามเส้นทางรถไฟ เนื่องจากเงื่อนไขด้านความปลอดภัย หากไม่สามารถติดตามกันบ่อยกว่าตามช่วงเวลาได้เสื้อ 0 จากนั้นจะมีการพึ่งพาระหว่างเหตุการณ์ในโฟลว์ และเงื่อนไขของการไม่มีผลกระทบที่ตามมาจะถูกละเมิด แต่ถ้าเว้นช่วงเสื้อ 0 มีขนาดเล็กเมื่อเทียบกับช่วงเวลาเฉลี่ยระหว่างรถไฟ ดังนั้นการละเมิดดังกล่าวจึงไม่มีนัยสำคัญ
การวาดภาพ 0 - 3 การกระจายปัวซอง
พิจารณาบนแกนที กระแสเหตุการณ์ที่ง่ายที่สุดที่มีความเข้มข้น แล (ภาพที่ 0-2 ข) . เราจะสนใจช่วงเวลาสุ่ม T ระหว่างเหตุการณ์ใกล้เคียงในโฟลว์นี้ มาดูกฎการกระจายของมันกันดีกว่า ก่อนอื่น เรามาค้นหาฟังก์ชันการแจกแจงกันก่อน:
ฉ(เสื้อ) = พี(ท
คือความน่าจะเป็นที่ค่า T จะมีค่าน้อยกว่าที- ให้เราเลื่อนจากจุดเริ่มต้นของช่วง T (คะแนนเสื้อ 0 ) ส่วนที และหาความน่าจะเป็นที่ช่วง T จะมีน้อยลงที - การทำเช่นนี้เป็นสิ่งจำเป็นสำหรับส่วนของความยาวเสื้อ ที่อยู่ติดกับจุดหนึ่งเสื้อ 0 , มีเหตุการณ์โฟลว์เกิดขึ้นอย่างน้อยหนึ่งครั้ง ลองคำนวณความน่าจะเป็นของอันนี้กันฉ(ที) ผ่านความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงกันข้าม (ตามส่วนที จะไม่กระทบกับเหตุการณ์โฟลว์ใดๆ):
F (t) = 1 - ป 0
ความน่าจะเป็น พี 0เราพบโดยใช้สูตร (1) โดยสมมติว่าม = 0:
โดยที่ฟังก์ชันการกระจายของค่า T จะเป็น:
(0-3)
เพื่อหาความหนาแน่นของการกระจายฉ(ที) ตัวแปรสุ่ม ที,จำเป็นต้องแยกแยะนิพจน์ (0-1) ด้วยที:
0-4)
กฎการกระจายที่มีความหนาแน่น (0-4) เรียกว่าเลขชี้กำลัง (หรือเลขชี้กำลัง ). ปริมาณ แล เรียกว่าพารามิเตอร์ กฎหมายสาธิต
รูปที่ 0 - 4 การกระจายแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล
เรามาค้นหาคุณสมบัติเชิงตัวเลขของตัวแปรสุ่มกัน ต- ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ (ค่าเฉลี่ย)ม [ เสื้อ ]= ม เสื้อ , และความแปรปรวน Dt
( 0-5)
เรามี.
(บูรณาการโดยส่วนต่างๆ)
(0-6)
การกระจายตัวของค่า T คือ: เมื่อหาค่ารากที่สองของความแปรปรวน เราจะพบค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม
ต.
ดังนั้น สำหรับการแจกแจงแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล ค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจะเท่ากันและผกผันกับพารามิเตอร์ γ โดยที่ λ ความเข้มของการไหล ม ดังนั้นรูปลักษณ์ภายนอก
เหตุการณ์ในช่วงเวลาที่กำหนดสอดคล้องกับการแจกแจงแบบปัวซอง และความน่าจะเป็นที่ช่วงเวลาระหว่างเหตุการณ์จะน้อยกว่าจำนวนที่กำหนดไว้ล่วงหน้าจะสอดคล้องกับการแจกแจงแบบเลขชี้กำลัง ทั้งหมดนี้เป็นเพียงคำอธิบายที่แตกต่างกันของกระบวนการสุ่มเดียวกัน .
ตัวอย่าง SMO-1
ตัวอย่างเช่น พิจารณาระบบธนาคารที่ทำงานแบบเรียลไทม์และให้บริการลูกค้าจำนวนมาก ในช่วงชั่วโมงเร่งด่วน คำขอจากพนักงานธนาคารที่ทำงานร่วมกับลูกค้าจะสร้างโฟลว์ปัวซองและมาถึงโดยเฉลี่ย 2 คำขอต่อวินาที (γ = 2) โฟลว์ประกอบด้วยคำขอที่มาถึงความเข้มข้น 2 คำขอต่อวินาทีลองคำนวณความน่าจะเป็น P ( ม. ) ลักษณะภายนอก ม
ข้อความใน 1 วินาที เนื่องจาก แล = 2 จากสูตรก่อนหน้าที่เรามี การแทนที่ ม. =0, 1, 2, 3 เราได้รับค่าต่อไปนี้ (โดยมีความแม่นยำสี่
ตำแหน่งทศนิยม): รูปที่ 0 - 5
ตัวอย่างกระแสอย่างง่าย
เป็นไปได้ที่จะรับข้อความมากกว่า 9 ข้อความใน 1 วินาที แต่ความน่าจะเป็นนี้ต่ำมาก (ประมาณ 0.000046)
การกระจายผลลัพธ์สามารถนำเสนอในรูปแบบของฮิสโตแกรม (แสดงในรูป)
ตัวอย่าง SMO-2
อุปกรณ์ (เซิร์ฟเวอร์) ที่ประมวลผลสามข้อความต่อ 1 วินาทีให้มีอุปกรณ์ที่สามารถประมวลผลข้อความสามข้อความใน 1 วินาที (µ=3) โดยเฉลี่ยแล้วจะได้รับสองข้อความต่อ 1 วินาทีและเป็นไปตาม ค
การกระจายปัวซอง สัดส่วนของข้อความเหล่านี้จะถูกประมวลผลทันทีเมื่อได้รับ?
ความน่าจะเป็นที่อัตราการมาถึงจะน้อยกว่าหรือเท่ากับ 3 วินาทีถูกกำหนดโดย
กล่าวอีกนัยหนึ่ง 85.71% ของข้อความจะถูกส่งทันที และ 14.29% จะถูกส่งโดยมีความล่าช้าบ้าง อย่างที่คุณเห็น ความล่าช้าในการประมวลผลหนึ่งข้อความเป็นระยะเวลานานกว่าเวลาประมวลผลของ 3 ข้อความนั้นแทบจะไม่เกิดขึ้น เวลาในการประมวลผลสำหรับ 1 ข้อความโดยเฉลี่ยอยู่ที่ 1/3 วินาที ดังนั้น เวลาแฝงที่มากกว่า 1 วินาทีจึงเกิดขึ้นได้ยาก ซึ่งค่อนข้างยอมรับได้สำหรับระบบส่วนใหญ่
ตัวอย่าง SMO- 3
· หากพนักงานธนาคารยุ่งอยู่กับเวลา 80% และใช้เวลาที่เหลือเพื่อรอลูกค้า ก็ถือว่าเขาเป็นอุปกรณ์ที่มีปัจจัยการใช้งานอยู่ที่ 0.8
· หากใช้ช่องทางการสื่อสารเพื่อส่งสัญลักษณ์ 8 บิตที่อัตรา 2,400 bps นั่นคือสัญลักษณ์สูงสุด 2,400/8 จะถูกส่งใน 1 วินาที และเรากำลังสร้างระบบที่มีจำนวนข้อมูลทั้งหมดคือ 12,000 สัญลักษณ์ที่ส่งจากอุปกรณ์ต่างๆ ผ่านช่องทางการสื่อสารต่อนาทีของการโหลดที่หนักที่สุด (รวมถึงการซิงโครไนซ์ สัญลักษณ์สิ้นสุดข้อความ การควบคุม ฯลฯ) ดังนั้นอัตราการใช้อุปกรณ์ช่องสัญญาณสื่อสารในช่วงนาทีนี้จะเท่ากับ
· หากกลไกการเข้าถึงไฟล์ทำการเข้าถึงไฟล์ 9,000 ครั้งในช่วงเวลาเร่งด่วน และเวลาเฉลี่ยต่อการเข้าถึงคือ 300 มิลลิวินาที อัตราการใช้งานฮาร์ดแวร์ในชั่วโมงเร่งด่วนของกลไกการเข้าถึงคือ
แนวคิดการใช้อุปกรณ์จะถูกใช้ค่อนข้างบ่อย ยิ่งการใช้อุปกรณ์ใกล้ถึง 100% ยิ่งเกิดความล่าช้าและคิวก็จะยิ่งนานขึ้น
เมื่อใช้สูตรก่อนหน้านี้ คุณสามารถสร้างตารางของค่าฟังก์ชันปัวซอง ซึ่งคุณสามารถระบุความน่าจะเป็นของการมาถึงได้ม หรือข้อความเพิ่มเติมในช่วงเวลาที่กำหนด ตัวอย่างเช่น หากมีข้อความโดยเฉลี่ย 3.1 ข้อความต่อวินาที [เช่น จ. แล = 3.1] ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะได้รับ 5 ข้อความขึ้นไปในวินาทีที่กำหนดคือ 0.2018 (สำหรับม = 5 ในตาราง) หรือในรูปแบบการวิเคราะห์
การใช้นิพจน์นี้ นักวิเคราะห์ระบบสามารถคำนวณความน่าจะเป็นที่ระบบจะไม่ตรงตามเกณฑ์โหลดที่กำหนด
บ่อยครั้งสามารถคำนวณค่าโหลดของอุปกรณ์เบื้องต้นได้
ρ ≤ 0.9
ค่าเหล่านี้สามารถรับได้โดยใช้ตารางปัวซอง
ให้อัตราการมาถึงข้อความเฉลี่ยอีกครั้ง แล = 3.1 ข้อความ/วินาที จากตารางพบว่าความน่าจะเป็นที่จะได้รับ 6 ข้อความขึ้นไปใน 1 วินาทีคือ 0.0943 ดังนั้นตัวเลขนี้จึงสามารถใช้เป็นเกณฑ์ในการโหลดสำหรับการคำนวณเบื้องต้นได้
10.6.2. งานออกแบบ
หากข้อความมาถึงอุปกรณ์โดยไม่ได้ตั้งใจ อุปกรณ์จะใช้เวลาส่วนหนึ่งในการประมวลผลหรือให้บริการแต่ละข้อความ ส่งผลให้เกิดการสร้างคิว คิวที่ธนาคารกำลังรอการเปิดตัวแคชเชียร์และคอมพิวเตอร์ของเขา (เทอร์มินัล) คิวข้อความในบัฟเฟอร์อินพุตของคอมพิวเตอร์กำลังรอการประมวลผลโดยโปรเซสเซอร์ คิวคำขอสำหรับอาร์เรย์ข้อมูลรอให้ช่องสัญญาณว่าง ฯลฯ คิวอาจก่อตัวขึ้นที่จุดคอขวดทั้งหมดในระบบ
ยิ่งอัตราการใช้อุปกรณ์สูงเท่าไร คิวผลลัพธ์ก็จะยิ่งนานขึ้นเท่านั้น ดังที่แสดงด้านล่าง เป็นไปได้ที่จะออกแบบระบบปฏิบัติการที่น่าพึงพอใจโดยมีปัจจัยการใช้งาน ρ = 0.7 แต่ค่าสัมประสิทธิ์ที่เกิน ρ > 0.9 อาจทำให้คุณภาพการบริการลดลง กล่าวอีกนัยหนึ่ง หากลิงก์ข้อมูลจำนวนมากมีการโหลด 20% ก็ไม่น่าจะมีคิวอยู่ ถ้ากำลังโหลด; เท่ากับ 0.9 ตามกฎแล้วคิวจะก่อตัวขึ้นซึ่งบางครั้งก็ใหญ่มาก
ปัจจัยการใช้อุปกรณ์เท่ากับอัตราส่วนของภาระบนอุปกรณ์ โหลดสูงสุดซึ่งอุปกรณ์นี้สามารถทนได้หรือเท่ากับอัตราส่วนของเวลาที่อุปกรณ์ถูกใช้ต่อเวลาทั้งหมดในการทำงาน
เมื่อออกแบบระบบ เป็นเรื่องปกติที่จะประมาณค่าปัจจัยการใช้งานสำหรับอุปกรณ์ประเภทต่างๆ ตัวอย่างที่เกี่ยวข้องจะได้รับในบทต่อ ๆ ไป การรู้ค่าสัมประสิทธิ์เหล่านี้ทำให้คุณสามารถคำนวณคิวสำหรับอุปกรณ์ที่เกี่ยวข้องได้
· ความยาวคิวคืออะไร?
· จะใช้เวลานานแค่ไหน?
คำถามประเภทนี้สามารถตอบได้โดยใช้ทฤษฎีการเข้าคิว
10.6.3. ระบบการจัดคิว คลาส และคุณลักษณะหลัก
สำหรับ QS โฟลว์เหตุการณ์คือโฟลว์ของแอปพลิเคชัน โฟลว์ของแอปพลิเคชัน “การบริการ” ฯลฯ หากโฟลว์เหล่านี้ไม่ใช่ปัวซอง (กระบวนการมาร์คอฟ) คำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการที่เกิดขึ้นใน QS จะซับซ้อนมากขึ้นอย่างไม่มีใครเทียบได้และต้องใช้ความยุ่งยากมากขึ้น เครื่องมือที่นำมาสู่สูตรการวิเคราะห์สามารถทำได้ในกรณีที่ง่ายที่สุดเท่านั้น
อย่างไรก็ตาม เครื่องมือของทฤษฎีการจัดคิวแบบ "Markovian" ยังมีประโยชน์ในกรณีที่กระบวนการที่เกิดขึ้นใน QS แตกต่างจากแบบ Markovian ด้วยความช่วยเหลือ ทำให้สามารถประเมินลักษณะการทำงานของ QS ได้โดยประมาณ ควรสังเกตว่ายิ่ง QS ซับซ้อนมากเท่าไหร่ก็ยิ่งมีช่องทางการให้บริการมากขึ้นเท่านั้น สูตรโดยประมาณที่ได้รับโดยใช้ทฤษฎีมาร์คอฟก็จะยิ่งแม่นยำมากขึ้นเท่านั้น นอกจากนี้ ในหลายกรณี เพื่อตัดสินใจอย่างมีข้อมูลในการจัดการการปฏิบัติงานของ QS ไม่จำเป็นต้องมีความรู้ที่แน่นอนเกี่ยวกับคุณลักษณะทั้งหมดของมัน ซึ่งมักจะเป็นเพียงความรู้โดยประมาณเท่านั้นก็เพียงพอแล้ว
QS แบ่งออกเป็นระบบต่างๆ ด้วย:
· ความล้มเหลว (ด้วยความสูญเสีย) ในระบบดังกล่าว คำขอที่ได้รับในเวลาที่ทุกช่องไม่ว่างจะได้รับ "การปฏิเสธ" ออกจาก QS และจะไม่เข้าร่วมในกระบวนการบริการเพิ่มเติม
· ซึ่งรอคอย (มีคิว). ในระบบดังกล่าว คำร้องขอที่มาถึงในเวลาที่ทุกช่องสัญญาณไม่ว่างจะถูกจัดคิวและรอจนกว่าช่องใดช่องหนึ่งจะว่าง เมื่อช่องว่างแล้ว คำขอใดรายการหนึ่งที่อยู่ในคิวจะได้รับการยอมรับสำหรับการบริการ
การบริการ(วินัยในการเข้าคิว) ในระบบรอได้
· สั่ง (ใบสมัครได้รับการประมวลผลตามลำดับที่ได้รับ)
· ไม่เป็นระเบียบ(ใบสมัครจะเสิร์ฟตามลำดับแบบสุ่ม) หรือ
· ซ้อนกัน (คำขอสุดท้ายจะถูกเลือกก่อนจากคิว)
· ลำดับความสำคัญ
โอ โดยมีลำดับความสำคัญแบบคงที่
โอ ด้วยลำดับความสำคัญแบบไดนามิก
(ในกรณีหลังคือ ก่อนหน้านั้น เช่น tet อาจเพิ่มขึ้นตามระยะเวลาในการรอใบสมัคร)
ระบบคิวแบ่งออกเป็นระบบ
· กับการรอคอยไม่จำกัดและ
· มีจำกัด ซึ่งรอคอย.
ในระบบที่มีการรอแบบไม่จำกัด แต่ละคำขอที่มาถึงในเวลาที่ไม่มีช่องฟรีจะเข้าสู่คิวและ "อดทน" จะรอให้ช่องนั้นพร้อมใช้งานและยอมรับเพื่อรับบริการ แอปพลิเคชันใดๆ ที่ CMO ได้รับจะได้รับบริการไม่ช้าก็เร็ว
ในระบบที่มีการรอคอยที่จำกัด จะมีการกำหนดข้อจำกัดบางประการเกี่ยวกับการคงแอปพลิเคชันไว้ในคิว อาจมีข้อจำกัดเหล่านี้
· ความยาวคิว (จำนวนแอปพลิเคชันพร้อมกันในคิวในระบบที่มีความยาวคิวจำกัด)
· เวลาที่แอปพลิเคชันใช้ในคิว (หลังจากอยู่ในคิวช่วงระยะเวลาหนึ่ง แอปพลิเคชันจะออกจากคิวและระบบมีเวลารอที่จำกัด)
· ระยะเวลารวมของการเข้าพักของแอปพลิเคชันใน CMO
ฯลฯ
อาจใช้ค่าบางอย่าง (ตัวบ่งชี้ประสิทธิภาพ) ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับประเภทของ QS ในการประเมินประสิทธิผล ตัวอย่างเช่น สำหรับ QS ที่มีความล้มเหลว คุณลักษณะที่สำคัญที่สุดประการหนึ่งของประสิทธิภาพการผลิตคือสิ่งที่เรียกว่า ปริมาณงานที่แน่นอนจำนวนคำขอโดยเฉลี่ยที่ระบบสามารถให้บริการได้ต่อหน่วยเวลา
นอกเหนือจากสัมบูรณ์แล้วยังมักถูกมองว่า ปริมาณงานสัมพัทธ์ QS คือส่วนแบ่งเฉลี่ยของแอปพลิเคชันขาเข้าที่ให้บริการโดยระบบ (อัตราส่วนของจำนวนแอปพลิเคชันเฉลี่ยที่ให้บริการโดยระบบต่อหน่วยเวลาต่อจำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยที่ได้รับในช่วงเวลานี้)
นอกเหนือจากปริมาณงานสัมบูรณ์และสัมพัทธ์แล้ว เมื่อวิเคราะห์ QS ที่มีความล้มเหลว เราอาจสนใจคุณลักษณะอื่น ๆ ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับงานวิจัย เช่น:
· จำนวนช่องสัญญาณที่ไม่ว่างโดยเฉลี่ย
· เวลาหยุดทำงานสัมพัทธ์โดยเฉลี่ยของระบบโดยรวมและของแต่ละช่องสัญญาณ
ฯลฯ
คำถามที่มีความคาดหวังจะมีลักษณะที่แตกต่างกันเล็กน้อย แน่นอนว่าสำหรับ QS ที่มีการรอคอยไม่จำกัด ทั้งปริมาณงานสัมบูรณ์และปริมาณงานสัมพัทธ์จะสูญเสียความหมายไป เนื่องจากแต่ละคำขอที่ได้รับนั้นมาเร็วหรือจะเสิร์ฟช้า สำหรับ QS ดังกล่าว ลักษณะสำคัญคือ:
· จำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยในคิว
· จำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยในระบบ (อยู่ในคิวและอยู่ระหว่างการบริการ)
· เวลารอโดยเฉลี่ยสำหรับแอปพลิเคชันในคิว
· เวลาเฉลี่ยที่แอปพลิเคชันอยู่ในระบบ (อยู่ในคิวและอยู่ระหว่างการบริการ)
ตลอดจนลักษณะอื่นๆ ของความคาดหวัง
สำหรับ QS ที่มีการรอคอยที่จำกัด คุณลักษณะทั้งสองกลุ่มเป็นที่สนใจ: ทั้งปริมาณงานสัมบูรณ์และปริมาณงานสัมพันธ์ และคุณลักษณะการรอคอย
เพื่อวิเคราะห์กระบวนการที่เกิดขึ้นใน QS จำเป็นต้องทราบพารามิเตอร์หลักของระบบ: จำนวนช่องสัญญาณ พีความเข้มข้นของการไหลของแอปพลิเคชันλ , ประสิทธิภาพของแต่ละช่อง (จำนวนเฉลี่ยของคำขอ μ ที่ให้บริการโดยช่องต่อหน่วยเวลา) เงื่อนไขสำหรับการก่อตัวของคิว (ข้อจำกัด หากมี)
ลักษณะการทำงานของ QS จะแสดงขึ้นอยู่กับค่าของพารามิเตอร์เหล่านี้
10.6.4. สูตรคำนวณคุณสมบัติของ QS ในกรณีให้บริการด้วยอุปกรณ์ตัวเดียว
รูปที่ 0 - 6 รูปแบบของระบบคิวแบบมีคิว
คิวดังกล่าวสามารถสร้างขึ้นได้จากข้อความที่อินพุตตัวประมวลผลที่กำลังรอการประมวลผล อาจเกิดขึ้นได้ในระหว่างการทำงานของจุดสมาชิกที่เชื่อมต่อกับช่องทางการสื่อสารแบบหลายจุด ในทำนองเดียวกัน รถยนต์จะต่อคิวกันที่ปั๊มน้ำมัน อย่างไรก็ตาม หากมีทางเข้าบริการมากกว่าหนึ่งทาง เราก็มีคิวที่มีอุปกรณ์จำนวนมากและการวิเคราะห์ก็จะซับซ้อนมากขึ้น
ลองพิจารณากรณีของขั้นตอนการร้องขอบริการที่ง่ายที่สุด
วัตถุประสงค์ของทฤษฎีการจัดคิวที่นำเสนอคือการประมาณขนาดคิวโดยเฉลี่ย เช่นเดียวกับเวลาเฉลี่ยที่ใช้กับข้อความที่รออยู่ในคิว ขอแนะนำให้ประเมินความถี่ที่คิวเกินความยาวที่กำหนด ข้อมูลนี้จะช่วยให้เราคำนวณ เช่น จำนวนหน่วยความจำบัฟเฟอร์ที่จำเป็นสำหรับการจัดเก็บคิวข้อความและโปรแกรมที่เกี่ยวข้อง จำนวนสายการสื่อสารที่ต้องการ ขนาดบัฟเฟอร์ที่จำเป็นสำหรับฮับ เป็นต้น โดยจะสามารถประมาณเวลาตอบสนองได้
ลักษณะแต่ละอย่างจะแตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับวิธีการที่ใช้
พิจารณาคิวด้วยเซิร์ฟเวอร์เดียว เมื่อออกแบบระบบคอมพิวเตอร์ คิวประเภทนี้ส่วนใหญ่จะถูกคำนวณโดยใช้สูตรที่กำหนดค่าสัมประสิทธิ์การเปลี่ยนแปลงของเวลาให้บริการ
สูตร Khinchin-Polacek ใช้ในการคำนวณความยาวของคิวเมื่อออกแบบระบบสารสนเทศ ใช้ในกรณีของการกระจายเวลามาถึงแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลสำหรับการกระจายเวลาการบริการและระเบียบวินัยในการควบคุมใดๆ ตราบใดที่การเลือกข้อความถัดไปสำหรับการบริการไม่ได้ขึ้นอยู่กับเวลาในการให้บริการ
เมื่อออกแบบระบบ มีสถานการณ์ที่คิวเกิดขึ้นเมื่อวินัยการจัดการขึ้นอยู่กับเวลาในการให้บริการอย่างไม่ต้องสงสัย ตัวอย่างเช่น ในบางกรณี เราอาจเลือกข้อความที่สั้นกว่าสำหรับบริการที่มีลำดับความสำคัญเพื่อให้ได้รับเวลาบริการโดยเฉลี่ยที่ต่ำกว่า เมื่อควบคุมสายสื่อสาร คุณสามารถกำหนดลำดับความสำคัญให้กับข้อความที่ป้อนได้สูงกว่าข้อความที่ส่งออก เนื่องจากข้อความแรกจะสั้นกว่า ในกรณีเช่นนี้ ไม่จำเป็นต้องใช้สมการคินชินอีกต่อไป
เวลาให้บริการส่วนใหญ่ในระบบสารสนเทศอยู่ระหว่างสองกรณีนี้ เวลาบำรุงรักษาเท่ากับค่าคงที่นั้นหาได้ยาก แม้แต่เวลาในการเข้าถึงฮาร์ดไดรฟ์ก็ไม่คงที่เนื่องจากตำแหน่งที่แตกต่างกันของอาร์เรย์ข้อมูลบนพื้นผิว ตัวอย่างหนึ่งที่แสดงให้เห็นกรณีของเวลาให้บริการคงที่คือการยึดครองสายสื่อสารเพื่อส่งข้อความที่มีความยาวคงที่
ในทางกลับกัน การกระจายเวลาการบริการไม่มากเท่ากับในกรณีของการกระจายตามอำเภอใจหรือแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล เช่นซิส ไม่ค่อยถึงค่าทีเอส. บางครั้งกรณีนี้ถือเป็น "กรณีที่เลวร้ายที่สุด" ดังนั้นจึงใช้สูตรที่เกี่ยวข้องกับการกระจายเวลาการบริการแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล การคำนวณดังกล่าวอาจทำให้ขนาดคิวและเวลารอสูงเกินจริงเล็กน้อย แต่ข้อผิดพลาดนี้อย่างน้อยก็ไม่เป็นอันตราย
แน่นอนว่าการกระจายเวลาการบริการแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลไม่ใช่กรณีที่เลวร้ายที่สุดในการจัดการกับความเป็นจริง อย่างไรก็ตาม หากเวลาการบริการที่ได้รับจากการคำนวณการเข้าคิวกลายเป็นการกระจายที่แย่กว่าการกระจายแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล นี่มักจะเป็นสัญญาณเตือนสำหรับผู้ออกแบบ หากค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานมากกว่าค่าเฉลี่ย ก็มักจะจำเป็นต้องปรับการคำนวณ
ลองพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้ ข้อความมี 6 ประเภท โดยมีระยะเวลาให้บริการ 15, 20, 25, 30, 35 และ 300 โดยจำนวนข้อความแต่ละประเภทเท่ากัน ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของเวลาที่ระบุสูงกว่าค่าเฉลี่ยเล็กน้อย ค่าเวลาบริการล่าสุดสูงกว่าค่าอื่นมาก ซึ่งจะทำให้ข้อความยังคงอยู่ในคิวนานกว่าหากเวลาในการให้บริการมีลำดับความสำคัญเท่ากัน ในกรณีนี้เมื่อออกแบบขอแนะนำให้ใช้มาตรการเพื่อลดความยาวของคิว ตัวอย่างเช่น หากตัวเลขเหล่านี้เกี่ยวข้องกับความยาวของข้อความ ก็อาจคุ้มค่าที่จะแบ่งข้อความที่ยาวมากออกเป็นส่วนๆ
10.6.6. ตัวอย่างการคำนวณ
เมื่อออกแบบระบบธนาคาร เป็นที่พึงปรารถนาที่จะทราบจำนวนลูกค้าที่จะต้องเข้าแถวรอเจ้าหน้าที่หนึ่งคนในช่วงเวลาเร่งด่วน
เวลาตอบสนองของระบบและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจะคำนวณโดยคำนึงถึงเวลาในการป้อนข้อมูลจากเวิร์กสเตชัน การพิมพ์ และการดำเนินการเอกสาร
การดำเนินการของแคชเชียร์หมดเวลาแล้ว เวลาให้บริการ ts เท่ากับเวลาทั้งหมดที่แคชเชียร์ใช้กับลูกค้า อัตราการใช้ประโยชน์ของแคชเชียร์ ρ เป็นสัดส่วนกับเวลาที่เขาครอบครอง หาก γ คือจำนวนลูกค้าในช่วงชั่วโมงเร่งด่วน ดังนั้น ρ สำหรับแคชเชียร์จะเท่ากับ
สมมติว่าในช่วงเวลาเร่งด่วนมีลูกค้า 30 รายต่อชั่วโมง โดยเฉลี่ยแล้วแคชเชียร์จะใช้เวลา 1.5 นาทีต่อลูกค้าหนึ่งราย แล้ว
ρ =(1.5 * 30) / 60 = 0.75
นั่นคือแคชเชียร์ถูกใช้ไป 75%
สามารถประมาณจำนวนคนที่ต่อแถวได้อย่างรวดเร็วโดยใช้กราฟ ตามมาจากพวกเขาว่าถ้า ρ = 0.75 แล้วคือจำนวนเฉลี่ย nq ของคนในบรรทัดชำระเงินอยู่ระหว่าง 1.88 ถึง 3.0 ขึ้นอยู่กับ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานสำหรับทีเอส .
สมมติว่าการวัดค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานสำหรับ tส ให้ค่า 0.5 นาที แล้ว
σ s = 0.33 t s
จากกราฟในรูปแรก เราพบว่า nq = 2.0 กล่าวคือ โดยเฉลี่ยแล้ว ลูกค้า 2 รายจะรออยู่ที่เครื่องบันทึกเงินสด
เวลาทั้งหมดที่ลูกค้าใช้จ่ายที่เครื่องบันทึกเงินสดสามารถดูได้ดังนี้
เสื้อ ∑ = เสื้อ q + เสื้อ ส = 2.5 นาที + 1.5 นาที = 4 นาที
อยู่ที่ไหน คำนวณโดยใช้สูตรคินชิน-โพลาเชค
10.6.7. ปัจจัยกำไร
จากการวิเคราะห์เส้นโค้งที่แสดงในภาพ เราจะพบว่าเมื่อมีการใช้งานอุปกรณ์ที่ให้บริการคิวมากกว่า 80% เส้นโค้งจะเริ่มเติบโตในอัตราที่น่าตกใจ ข้อเท็จจริงนี้มีความสำคัญมากเมื่อออกแบบระบบการส่งข้อมูล หากเรากำลังออกแบบระบบที่มีการใช้งานฮาร์ดแวร์มากกว่า 80% การรับส่งข้อมูลที่เพิ่มขึ้นเล็กน้อยอาจทำให้ประสิทธิภาพของระบบลดลงหรือแม้กระทั่งทำให้ระบบล่มได้
ปริมาณการเข้าชมเพิ่มขึ้นเล็กน้อย x% ส่งผลให้ขนาดคิวเพิ่มขึ้นประมาณ
หากอัตราการใช้อุปกรณ์เป็น 50% การเพิ่มขึ้นนี้จะเท่ากับ 4ts% สำหรับการกระจายเวลาการบริการแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล แต่หากอัตราการใช้งานฮาร์ดแวร์อยู่ที่ 90% ขนาดคิวที่เพิ่มขึ้นจะเป็น 100ts% ซึ่งใหญ่กว่า 25 เท่า โหลดที่เพิ่มขึ้นเล็กน้อยที่การใช้งานฮาร์ดแวร์ 90% ส่งผลให้ขนาดคิวเพิ่มขึ้น 25 เท่า เมื่อเทียบกับกรณีการใช้งานฮาร์ดแวร์ 50%
เวลาที่ใช้ในคิวก็เพิ่มขึ้นเช่นกัน
ด้วยการกระจายเวลาการบริการแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล ค่านี้มีค่า 4 tส 2 สำหรับปัจจัยการใช้อุปกรณ์เท่ากับ 50% และ 100 ตันส 2 สำหรับค่าสัมประสิทธิ์ 90% เช่น แย่ลงอีก 25 เท่า
นอกจากนี้ สำหรับอัตราการใช้อุปกรณ์ที่ต่ำ ผลกระทบของการเปลี่ยนแปลงใน σs ต่อขนาดคิวก็มีน้อยมาก อย่างไรก็ตาม สำหรับค่าสัมประสิทธิ์ที่มีขนาดใหญ่ การเปลี่ยนแปลงใน σส ส่งผลต่อขนาดคิวอย่างมาก ดังนั้นเมื่อออกแบบระบบที่มีการใช้อุปกรณ์สูง จึงควรได้รับข้อมูลที่ถูกต้องเกี่ยวกับพารามิเตอร์σ ส- ความไม่ถูกต้องของสมมติฐานเกี่ยวกับเลขชี้กำลังของการแจกแจงแบบ tสจะสังเกตเห็นได้ชัดเจนที่สุดที่ค่า ρ ขนาดใหญ่ ยิ่งไปกว่านั้น หากเวลาในการให้บริการเพิ่มขึ้นอย่างกะทันหัน ซึ่งเป็นไปได้ในช่องทางการสื่อสารเมื่อส่งข้อความยาว ในกรณีที่มี ρ ขนาดใหญ่ คิวที่สำคัญก็จะก่อตัวขึ้น
ตัวอย่างการแก้ปัญหาระบบคิว
คุณต้องแก้ไขปัญหาข้อ 1–3 ข้อมูลเริ่มต้นจะได้รับในตาราง 2–4.
สัญลักษณ์บางอย่างที่ใช้ในทฤษฎีการเข้าคิวสำหรับสูตร:
n – จำนวนช่องใน QS;
แล - ความเข้มของการไหลเข้าของคำขอ P ใน;
โวลต์ - ความเข้มของการไหลออกของคำขอ P ออก;
μ – ความเข้มของการไหลของบริการ P ob;
ρ – ตัวบ่งชี้โหลดระบบ (การจราจร);
m คือจำนวนตำแหน่งสูงสุดในคิว ซึ่งจำกัดความยาวของคิวแอปพลิเคชัน
ผม – จำนวนแหล่งแอปพลิเคชัน
p k – ความน่าจะเป็นของสถานะ k ของระบบ
p o - ความน่าจะเป็นของความเกียจคร้านของทั้งระบบเช่น ความน่าจะเป็นที่ทุกช่องสัญญาณจะว่าง
p syst – ความน่าจะเป็นของการยอมรับแอปพลิเคชันเข้าสู่ระบบ
p ปฏิเสธ – ความน่าจะเป็นของการปฏิเสธแอปพลิเคชันที่จะยอมรับเข้าสู่ระบบ
p ob – ความน่าจะเป็นที่แอปพลิเคชันจะได้รับการบริการ
A คือความสามารถสัมบูรณ์ของระบบ
Q – ความจุของระบบสัมพัทธ์
Och – จำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยในคิว
เกี่ยวกับ – จำนวนคำขอโดยเฉลี่ยภายใต้บริการ
Syst – จำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยในระบบ
Och – เวลารอโดยเฉลี่ยสำหรับแอปพลิเคชันในคิว
เกี่ยวกับ – เวลาเฉลี่ยในการให้บริการแอปพลิเคชัน เกี่ยวข้องกับแอปพลิเคชันที่ให้บริการเท่านั้น
Sys – เวลาเฉลี่ยที่แอปพลิเคชันยังคงอยู่ในระบบ
Ож – เวลาเฉลี่ยที่จำกัดการรอแอปพลิเคชันในคิว;
– จำนวนช่องสัญญาณที่ถูกครอบครองโดยเฉลี่ย
ปริมาณงานสัมบูรณ์ของ QS A คือจำนวนคำขอโดยเฉลี่ยที่ระบบสามารถให้บริการได้ต่อหน่วยเวลา
ความสามารถสัมพัทธ์ของ QS Q คืออัตราส่วนของจำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยที่ให้บริการโดยระบบต่อหน่วยเวลาต่อจำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยที่ได้รับในช่วงเวลานี้
เมื่อแก้ไขปัญหาการเข้าคิว คุณต้องปฏิบัติตามลำดับต่อไปนี้:
1) การกำหนดประเภทของ QS ตามตาราง 4.1;
2) การเลือกสูตรตามประเภทของ QS
3) การแก้ปัญหา;
4) การกำหนดข้อสรุปเกี่ยวกับปัญหา
1. แผนการตายและการสืบพันธุ์เรารู้ว่าด้วยกราฟสถานะที่มีป้ายกำกับ เราสามารถเขียนสมการโคลโมโกรอฟสำหรับความน่าจะเป็นของรัฐได้อย่างง่ายดาย และยังเขียนและแก้โจทย์ได้ สมการพีชคณิตสำหรับความน่าจะเป็นขั้นสุดท้าย ในบางกรณีสมการสุดท้ายก็เป็นไปได้
ตัดสินใจล่วงหน้าในรูปแบบจดหมาย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สิ่งนี้สามารถทำได้หากกราฟสถานะของระบบเรียกว่า "แผนการตายและการสืบพันธุ์"
กราฟสถานะสำหรับโครงการการตายและการสืบพันธุ์มีรูปแบบดังแสดงในรูปที่ 1 19.1. ลักษณะเฉพาะของกราฟนี้คือสถานะทั้งหมดของระบบสามารถดึงมารวมกันเป็นห่วงโซ่เดียวได้ โดยแต่ละสถานะเฉลี่ย ( ส 1 , ส 2 ,…,ส n-1) เชื่อมต่อกันด้วยลูกศรตรงและย้อนกลับกับแต่ละสถานะใกล้เคียง - ขวาและซ้าย และสถานะสุดขั้ว (ส 0 , สน) - มีรัฐใกล้เคียงเพียงรัฐเดียว คำว่า “แผนการตายและการสืบพันธุ์” มีต้นกำเนิดมาจากปัญหาทางชีววิทยา ซึ่งรูปแบบเดียวกันนี้อธิบายถึงการเปลี่ยนแปลงขนาดประชากร
แผนการตายและการสืบพันธุ์มักพบในปัญหาเชิงปฏิบัติต่างๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีคิว ดังนั้นจึงเป็นประโยชน์อย่างยิ่งในการค้นหาความน่าจะเป็นขั้นสุดท้ายของรัฐสำหรับมัน
ให้เราสมมติว่ากระแสเหตุการณ์ทั้งหมดที่ถ่ายโอนระบบไปตามลูกศรของกราฟนั้นง่ายที่สุด (เพื่อความกระชับ เราจะเรียกระบบด้วย สและกระบวนการที่เกิดขึ้นนั้นง่ายที่สุด)
การใช้กราฟในรูป ในสูตร 19.1 เราจะเขียนและแก้สมการพีชคณิตสำหรับความน่าจะเป็นสุดท้ายของสถานะ) การดำรงอยู่เป็นไปตามข้อเท็จจริงที่ว่าจากแต่ละรัฐสามารถไปซึ่งกันและกันได้ในจำนวนรัฐที่จำกัด) สำหรับรัฐแรก ส 0 เรามี:
(19.1)
สำหรับสถานะที่สอง เอส1:
โดยอาศัยอำนาจตาม (19.1) ความเสมอภาคสุดท้ายจะลดลงตามแบบฟอร์ม
ที่ไหน เคยอมรับค่าทั้งหมดตั้งแต่ 0 ถึง พีดังนั้นความน่าจะเป็นสุดท้าย หน้า 0 , หน้า 1 ,..., p n เป็นไปตามสมการ
(19.2)
นอกจากนี้ยังจำเป็นต้องคำนึงถึงเงื่อนไขการทำให้เป็นมาตรฐานด้วย
พี 0 + พี 1 + พี 2 +…+ พี n=1. (19.3)
มาแก้ระบบสมการนี้กัน จากสมการแรก (19.2) เราแสดงออกมา พี 1 ผ่าน ร 0 :
พี 1 = พี 0. (19.4)
จากวินาทีที่คำนึงถึง (19.4) เราได้รับ:
(19.5)
จากครั้งที่สามโดยคำนึงถึง (19.5)
(19.6)
และโดยทั่วไปสำหรับใครก็ตาม เค(ตั้งแต่ 1 ถึง n):
(19.7)
ให้เราใส่ใจกับสูตร (19.7) ตัวเศษคือผลคูณของความเข้มทั้งหมดซึ่งอยู่ที่ลูกศรชี้จากซ้ายไปขวา (ตั้งแต่ต้นจนจบ รัฐนี้ ส k) และในตัวส่วน - ผลคูณของความเข้มทั้งหมดยืนอยู่ที่ลูกศรที่ทอดจากขวาไปซ้าย (ตั้งแต่ต้นถึง ส เค)
ดังนั้นความน่าจะเป็นของรัฐทั้งหมด ร 0 ,หน้า 1 , ..., รแสดงผ่านหนึ่งในนั้น ( ร 0). ให้เราแทนที่นิพจน์เหล่านี้เป็นเงื่อนไขการทำให้เป็นมาตรฐาน (19.3) เราได้รับเอามันออกจากวงเล็บ ร 0:
จากตรงนี้เราจะได้นิพจน์สำหรับ ร 0 :
(เรายกวงเล็บยกกำลัง -1 เพื่อไม่ให้เขียนเศษส่วนสองชั้น) ความน่าจะเป็นอื่นๆ ทั้งหมดแสดงผ่าน ร 0 (ดูสูตร (19.4) - (19.7)) โปรดทราบว่าค่าสัมประสิทธิ์สำหรับ ร 0 ในแต่ละอันไม่มีอะไรมากไปกว่าพจน์ที่ต่อเนื่องกันของอนุกรมหลังเลขหนึ่งในสูตร (19.8) ดังนั้นการคำนวณ ร 0 , เราพบสัมประสิทธิ์ทั้งหมดนี้แล้ว
สูตรผลลัพธ์มีประโยชน์มากในการแก้ปัญหาที่ง่ายที่สุดของทฤษฎีคิว
^2. สูตรของน้องตอนนี้เราจะส่งออกอันหนึ่ง สูตรสำคัญ, การเชื่อมต่อ (สำหรับการจำกัดโหมดอยู่กับที่) จำนวนคำขอโดยเฉลี่ย ลระบบที่อยู่ในระบบคิว (เช่น กำลังเสิร์ฟหรือยืนอยู่ในคิว) และเวลาเฉลี่ยที่คำขอยังคงอยู่ในระบบ วระบบ
ลองพิจารณา QS ใดๆ (ช่องทางเดียว หลายช่องทาง Markov ไม่ใช่ Markov ที่มีคิวไม่จำกัดหรือจำกัด) และโฟลว์สองเหตุการณ์ที่เกี่ยวข้องกัน: โฟลว์ของคำขอที่มาถึง QS และโฟลว์ของคำขอที่ออก คำพูดคำจา หากมีการกำหนดโหมดการจำกัดแบบคงที่ไว้ในระบบ จำนวนเฉลี่ยของแอปพลิเคชันที่มาถึง QS ต่อหน่วยเวลาจะเท่ากับจำนวนเฉลี่ยของแอปพลิเคชันที่ปล่อยทิ้งไว้: ทั้งสองโฟลว์มีความเข้มเท่ากัน แล
เรามาแสดงว่า: เอ็กซ์(ท) -จำนวนใบสมัครที่มาถึง QS จนถึงปัจจุบัน ที ย(ที) - จำนวนแอปพลิเคชันที่ออกจาก CMO
จนถึงขณะนี้ ทีฟังก์ชั่นทั้งสองเป็นการสุ่มและเปลี่ยนแปลงอย่างกะทันหัน (เพิ่มขึ้นทีละหนึ่ง) เมื่อมีคำสั่งซื้อมาถึง (เอ็กซ์(ที)) และการถอนใบสมัคร (ป(ท)).ประเภทของฟังก์ชัน X(t) และ Y(t)แสดงในรูป 19.2; ขั้นบันไดทั้งสองเส้นอันบนสุดคือ เอ็กซ์(ที)ต่ำกว่า- ใช่(t)แน่นอนว่าไม่ว่าช่วงเวลาใดก็ตาม ทีความแตกต่างของพวกเขา ซี(ที)= X(เสื้อ) - Y(เสื้อ)ไม่มีอะไรมากไปกว่าจำนวนแอปพลิเคชันใน CMO เมื่อมีเส้น เอ็กซ์(ที)และ ใช่(t)รวมกันแล้วไม่มีแอพพลิเคชั่นในระบบ
พิจารณาระยะเวลาที่ยาวนานมาก ต(พิจารณากราฟอย่างต่อเนื่องเกินกว่าภาพวาด) และคำนวณจำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยใน QS มันจะเท่ากับอินทิกรัลของฟังก์ชัน ซี(ที)ในช่วงเวลานี้หารด้วยความยาวของช่วงเวลา ที:
ลระบบ = . (19.9) โอ
แต่อินทิกรัลนี้ไม่มีอะไรมากไปกว่าพื้นที่ของร่างที่แรเงาในรูป 19.2. ลองมาดูภาพวาดนี้กันดีกว่า รูปประกอบด้วยสี่เหลี่ยม ซึ่งแต่ละรูปมีความสูงเท่ากับหนึ่งและมีฐานเท่ากับเวลาที่คำขอที่เกี่ยวข้อง (ครั้งแรก วินาที ฯลฯ) ที่ใช้ในระบบ มากำหนดช่วงเวลาเหล่านี้กัน เสื้อ 1, เสื้อ 2,...จริงอยู่เมื่อสิ้นสุดช่วงเวลา ตสี่เหลี่ยมบางอันจะเข้าสู่ร่างที่แรเงาไม่สมบูรณ์ แต่บางส่วน แต่มีขนาดใหญ่เพียงพอ ตสิ่งเล็กๆ น้อยๆ เหล่านี้จะไม่สำคัญ ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า
(19.10)
โดยที่จำนวนเงินใช้กับใบสมัครทั้งหมดที่ได้รับในช่วงเวลานั้น เมื่อหาค่ารากที่สองของความแปรปรวน เราจะพบค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม
แบ่งด้านขวาและด้านซ้าย (.19.10) ด้วยความยาวของช่วงเวลา เมื่อหาค่ารากที่สองของความแปรปรวน เราจะพบค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มเราได้รับโดยคำนึงถึง (19.9)
ลระบบ - (19.11)
หารและคูณ ด้านขวา(19.11) สำหรับความเข้ม X:
ลระบบ -
แต่ขนาด ตเลไม่มีอะไรมากไปกว่าจำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยที่ได้รับในช่วงเวลาหนึ่ง ↑ ต.ถ้าเราหารผลรวมของเวลาทั้งหมด ฉันด้วยจำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ย เราจะได้เวลาเฉลี่ยที่แอปพลิเคชันยังคงอยู่ในระบบ วระบบ ดังนั้น,
ลระบบ = แล วระบบ -
วระบบ - (19.12)
นี่คือสูตรที่ยอดเยี่ยมของ Little: สำหรับ QS ใด ๆ สำหรับลักษณะของคำขอใด ๆ สำหรับการกระจายเวลาการบริการ สำหรับวินัยในการบริการใด ๆ เวลาเฉลี่ยที่แอปพลิเคชันอยู่ในระบบจะเท่ากับจำนวนเฉลี่ยของแอปพลิเคชันในระบบหารด้วยความเข้มข้นของโฟลว์แอปพลิเคชัน
ในทำนองเดียวกัน สูตรที่สองของ Little ได้มาซึ่งสัมพันธ์กับเวลาเฉลี่ยที่แอปพลิเคชันอยู่ในคิว ^W ดีมากและจำนวนใบสมัครโดยเฉลี่ยในคิว ลคะแนน:
วโอ้ = . (19.13)
สำหรับเอาต์พุต ก็เพียงพอแล้วแทนที่จะเป็นบรรทัดล่างสุดในรูปที่ 1 19.2 รับหน้าที่ คุณ(t)- จำนวนใบสมัครที่เหลือก่อน ทีไม่ใช่จากระบบ แต่มาจากคิว (หากแอปพลิเคชันที่มาถึงระบบไม่เข้าคิว แต่ไปเข้ารับบริการทันที เรายังสามารถสันนิษฐานได้ว่าเข้าสู่คิว แต่ใช้เวลาเป็นศูนย์)
สูตรของลิตเติ้ล (19.12) และ (19.13) มีบทบาทสำคัญในทฤษฎีการเข้าคิว น่าเสียดายที่สูตรเหล่านี้ในคู่มือที่มีอยู่ส่วนใหญ่ (พิสูจน์แล้วใน มุมมองทั่วไปค่อนข้างเร็ว ๆ นี้) ไม่ได้รับ 1)
§ 20. ระบบการเข้าคิวที่ง่ายที่สุดและคุณลักษณะของระบบ
ในส่วนนี้ เราจะดู QS ที่ง่ายที่สุดบางส่วนและหานิพจน์สำหรับคุณลักษณะเหล่านั้น (ตัวบ่งชี้ประสิทธิภาพ) ในการทำเช่นนั้น เราจะสาธิตหลักๆ เทคนิคระเบียบวิธีลักษณะของทฤษฎีการเข้าคิวระดับประถมศึกษา "มาร์คอฟ" เราจะไม่ไล่ตามจำนวนตัวอย่าง QS ที่จะได้รับการแสดงออกถึงคุณลักษณะขั้นสุดท้าย หนังสือเล่มนี้ไม่ใช่หนังสืออ้างอิงเกี่ยวกับทฤษฎีการเข้าคิว (บทบาทนี้จะดีกว่ามากเมื่อใช้คู่มือพิเศษ) เป้าหมายของเราคือการแนะนำผู้อ่านให้รู้จักกับ "กลเม็ดเล็กๆ น้อยๆ" บางอย่างที่ทำให้เส้นทางง่ายขึ้นผ่านทฤษฎีการเข้าคิว ซึ่งในหนังสือที่มีอยู่หลายเล่ม (แม้จะแกล้งทำเป็นว่าเป็นที่นิยม) อาจดูเหมือนเป็นตัวอย่างที่ไม่ต่อเนื่องกัน
ในส่วนนี้ เราจะพิจารณากระแสเหตุการณ์ทั้งหมดที่ถ่ายโอน QS จากรัฐหนึ่งไปอีกรัฐหนึ่งว่าเป็นวิธีที่ง่ายที่สุด (โดยไม่ต้องกำหนดเป็นพิเศษในแต่ละครั้ง) ในหมู่พวกเขาจะมีสิ่งที่เรียกว่า "กระแสบริการ" มันหมายถึงโฟลว์ของคำขอที่ให้บริการโดยช่องทางหนึ่งที่ไม่ว่างอย่างต่อเนื่อง ในโฟลว์นี้ ช่วงเวลาระหว่างเหตุการณ์ เช่นเคยในโฟลว์ที่ง่ายที่สุด มีการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล (ในคู่มือหลายเล่มพวกเขาพูดว่า: "เวลาในการให้บริการเป็นแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล" เราเองก็จะใช้คำนี้ในอนาคต)
1) ในหนังสือยอดนิยมเล่มหนึ่ง มีการให้ที่มาของสูตรของ Little ที่แตกต่างกันเล็กน้อยเมื่อเปรียบเทียบกับสูตรข้างต้น โดยทั่วไป การทำความคุ้นเคยกับหนังสือเล่มนี้ (“การสนทนาครั้งที่สอง”) มีประโยชน์สำหรับการทำความรู้จักเบื้องต้นกับทฤษฎีการเข้าคิว
ในส่วนนี้ การกระจายเวลาการบริการแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลจะดำเนินการเหมือนเช่นเคยสำหรับระบบที่ "ง่ายที่สุด"
เราจะแนะนำคุณลักษณะด้านประสิทธิภาพของ QS ที่อยู่ระหว่างการพิจารณาในขณะที่เราดำเนินการต่อไป
^ 1. n- ระบบคิวช่องที่มีความล้มเหลว(ปัญหาเออร์แลง). ในที่นี้เราจะพิจารณาหนึ่งในปัญหา "คลาสสิก" ประการแรกๆ ของทฤษฎีการเข้าคิว
ปัญหานี้เกิดขึ้นจากความต้องการในทางปฏิบัติของระบบโทรศัพท์ และได้รับการแก้ไขเมื่อต้นศตวรรษนี้โดย Erlant นักคณิตศาสตร์ชาวเดนมาร์ก ปัญหาระบุไว้ดังนี้: มี nช่องทาง (สายสื่อสาร) ที่ได้รับกระแสคำขอที่มีความเข้มข้น γ กระแสบริการมีความเข้มข้น μ (ส่วนกลับของเวลาบริการโดยเฉลี่ย ทีเกี่ยวกับ). ค้นหาความน่าจะเป็นขั้นสุดท้ายของสถานะ QS รวมถึงลักษณะของประสิทธิผล:
^เอ -ปริมาณงานที่แน่นอน เช่น จำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยที่ให้บริการต่อหน่วยเวลา
ถาม-ปริมาณงานสัมพัทธ์ เช่น ส่วนแบ่งเฉลี่ยของแอปพลิเคชันขาเข้าที่ให้บริการโดยระบบ
↑ พี เปิด- ความน่าจะเป็นของการปฏิเสธ เช่น ใบสมัครจะทำให้ QS ไม่ได้รับการดูแล
เค-จำนวนช่องสัญญาณที่ไม่ว่างโดยเฉลี่ย
สารละลาย. สถานะของระบบ ^ส(SMO) จะถูกกำหนดหมายเลขตามจำนวนคำขอในระบบ (ในกรณีนี้จะตรงกับจำนวนช่องที่ถูกครอบครอง):
ส 0 -ไม่มีแอปพลิเคชันเดียวใน CMO
เอส 1 -มีหนึ่งคำขอใน QS (ช่องหนึ่งถูกครอบครองส่วนที่เหลือว่าง)
เอส เค -ตั้งอยู่ในเอสเอ็มโอ เคแอปพลิเคชัน ( เคช่องถูกครอบครองส่วนที่เหลือว่าง)
ส น -ตั้งอยู่ในเอสเอ็มโอ nแอปพลิเคชัน (ทั้งหมด nช่องไม่ว่าง)
กราฟสถานะของ SMO สอดคล้องกับรูปแบบการเสียชีวิตระหว่างการสืบพันธุ์ (รูปที่ 20.1) มาทำเครื่องหมายกราฟนี้ - ทำเครื่องหมายความรุนแรงของโฟลว์เหตุการณ์ถัดจากลูกศร จาก ส 0 นิ้ว ส 1ระบบจะถูกถ่ายโอนโดยโฟลว์ของคำขอที่มีความเข้มข้น γ (ทันทีที่คำขอมาถึง ระบบจะข้ามไป ส 0วี ส 1)แอปพลิเคชั่นแปลโฟลว์เดียวกัน
ระบบจากสถานะด้านซ้ายใด ๆ ไปทางขวาที่อยู่ใกล้เคียง (ดูลูกศรบนในรูปที่ 20.1)
ใส่ความเข้มไว้ที่ลูกศรด้านล่าง ให้ระบบอยู่ในสถานะ ^ส 1 (หนึ่งช่องใช้งานได้) มันสร้างบริการμต่อหน่วยเวลา วางไว้ที่ลูกศร ส 1 →สความเข้ม 0 ไมโคร ทีนี้ลองจินตนาการว่าระบบอยู่ในสถานะ เอส 2(ทำงานสองช่อง) เพื่อที่เธอจะได้ไป เอส1,จำเป็นที่ช่องแรกหรือช่องที่สองจะให้บริการเสร็จสิ้น ความเข้มรวมของกระแสการบริการคือ2μ; เราวางไว้ข้างลูกศรที่เกี่ยวข้อง กระแสการบริการทั้งหมดที่จัดทำโดยสามช่องทางมีความเข้มข้น3μ, เคช่อง - กม.เราทำเครื่องหมายความเข้มเหล่านี้ที่ลูกศรด้านล่างในรูปที่ 1 20.1.
และตอนนี้ เมื่อทราบความเข้มข้นทั้งหมดแล้ว เราจะใช้สูตรสำเร็จรูป (19.7), (19.8) เพื่อหาความน่าจะเป็นขั้นสุดท้ายในโครงการความตายและการสืบพันธุ์ ใช้สูตร (19.8) เราได้รับ:
เงื่อนไขการขยาย จะเป็นค่าสัมประสิทธิ์สำหรับ หน้า 0ในสำนวนสำหรับ หน้า 1
โปรดทราบว่าในสูตร (20.1), (20.2) ความเข้ม γ และ μ ไม่ได้รวมไว้แยกกัน แต่อยู่ในรูปแบบของอัตราส่วน γ/μ เท่านั้น มาแสดงกันเถอะ
แลม/μ = ρ (20.3)
และเราจะเรียกค่า p ว่า "ความเข้มที่ลดลงของโฟลว์ของแอปพลิเคชัน" ความหมายของมันคือจำนวนคำขอโดยเฉลี่ยที่ได้รับในช่วงเวลาเฉลี่ยของการให้บริการหนึ่งคำขอ เมื่อใช้สัญกรณ์นี้ เราจะเขียนสูตร (20.1), (20.2) ใหม่ในรูปแบบ:
สูตร (20.4), (20.5) สำหรับความน่าจะเป็นขั้นสุดท้ายของรัฐต่างๆ เรียกว่าสูตร Erlang เพื่อเป็นเกียรติแก่ผู้ก่อตั้งทฤษฎีการเข้าคิว สูตรอื่นๆ ส่วนใหญ่ของทฤษฎีนี้ (ปัจจุบันมีมากกว่าเห็ดในป่า) ไม่มีชื่อพิเศษใดๆ
ดังนั้นจึงพบความน่าจะเป็นขั้นสุดท้าย เมื่อใช้สิ่งเหล่านี้ เราจะคำนวณลักษณะการทำงานของ QS ก่อนอื่นเราจะพบ ↑ พี เปิด- - ความน่าจะเป็นที่แอปพลิเคชันที่เข้ามาจะถูกปฏิเสธ (จะไม่ได้รับบริการ) สำหรับเรื่องนี้ก็จำเป็นทุกอย่าง nช่องไม่ว่างซึ่งหมายความว่า
รเปิด = รน = . (20.6)
จากที่นี่ เราจะพบปริมาณงานสัมพัทธ์ - ความน่าจะเป็นที่คำขอจะได้รับบริการ:
ถาม = 1 – ปเปิด = 1 - (20.7)
เราได้รับปริมาณงานสัมบูรณ์โดยการคูณความเข้มของโฟลว์ของคำขอ γ ด้วย ถาม:
ก = แลมคิว = แลมบ์ (20.8)
สิ่งที่เหลืออยู่คือการค้นหาจำนวนช่องสัญญาณที่ถูกครอบครองโดยเฉลี่ย เคค่านี้สามารถหาได้ "โดยตรง" เนื่องจากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องที่มีค่าที่เป็นไปได้ 0, 1, ... , nและความน่าจะเป็นของค่าเหล่านี้ р 0 р 1 , ..., р n:
เค = 0 · พี 0 + 1 · หน้า 1 + 2 · หน้า 2 + ... + หน้า · พีเอ็น
การแทนที่นิพจน์ (20.5) ในที่นี้ รเค (ค= 0, 1, ..., พี)และเมื่อทำการแปลงที่เหมาะสม เราก็จะได้สูตรที่ถูกต้องในที่สุด เคแต่เราจะได้มันมาอย่างเรียบง่ายมากขึ้น (นี่คือหนึ่งใน "เทคนิคเล็กๆ น้อยๆ"!) อันที่จริง เรารู้ถึงปริมาณงานที่แน่นอน ก.นี่ไม่มีอะไรมากไปกว่าความเข้มข้นของโฟลว์ของแอปพลิเคชันที่ให้บริการโดยระบบ i.sal ที่ไม่ว่างแต่ละรายการจะให้บริการโดยเฉลี่ย |l คำขอต่อหน่วยเวลา ซึ่งหมายความว่าจำนวนช่องที่ถูกครอบครองโดยเฉลี่ยคือ
k = A/μ, (20.9)
หรือคำนึงถึง (20.8)
เค = (20.10)
เราขอแนะนำให้ผู้อ่านแก้ตัวอย่างด้วยตัวเอง มีสถานีสื่อสาร 3 ช่องทาง ( n= 3) ความเข้มของการไหลของแอปพลิเคชัน แล = 1.5 (แอปพลิเคชันต่อนาที) เวลาเฉลี่ยในการให้บริการหนึ่งคำขอ ที rev = 2 (นาที) กระแสของเหตุการณ์ทั้งหมด (เช่นเดียวกับในย่อหน้านี้) เป็นวิธีที่ง่ายที่สุด ค้นหาความน่าจะเป็นขั้นสุดท้ายของสถานะและคุณลักษณะของประสิทธิผลของ QS: เอ คิว พีเปิด, เคในกรณีนี้ นี่คือคำตอบ: พี 0 = 1/13, พี 1 = 3/13, พี 2 = 9/26, หน้า 3 = 9/26 ≈ 0,346,
ก≈ 0,981, ถาม ≈ 0,654, ปก็ได้ µ 0.346, เค อยู่ที่ 1,96.
จากการตอบกลับ เป็นที่ชัดเจนว่า QS ของเรามีการใช้งานมากเกินไปอย่างมาก โดยเฉลี่ยแล้ว มีประมาณ 2 ช่องทางจาก 3 ช่องทาง และแอปพลิเคชันที่เข้ามาประมาณ 35% ยังคงไม่ได้รับบริการ เราขอเชิญชวนผู้อ่านหากเขาอยากรู้อยากเห็นและไม่เกียจคร้านเพื่อดูว่าจะต้องใช้ช่องทางกี่ช่องเพื่อตอบสนองคำขอที่เข้ามาอย่างน้อย 80% และจะว่างช่องสัดส่วนไหน?
มีคำใบ้บางอย่างอยู่แล้ว การเพิ่มประสิทธิภาพในความเป็นจริง การบำรุงรักษาแต่ละช่องมีค่าใช้จ่ายจำนวนหนึ่งต่อหน่วยเวลา ในเวลาเดียวกัน แต่ละแอปพลิเคชันที่ให้บริการก็สร้างรายได้บางส่วน คูณรายได้นี้ด้วยจำนวนการสมัครโดยเฉลี่ย เอ,ให้บริการต่อหน่วยเวลา เราจะได้รายได้เฉลี่ยจาก SMO ต่อหน่วยเวลา โดยธรรมชาติแล้ว เมื่อจำนวนช่องเพิ่มขึ้น รายได้นี้จะเพิ่มขึ้น แต่ต้นทุนที่เกี่ยวข้องกับการรักษาช่องก็เพิ่มขึ้นเช่นกัน จะมีอะไรเกินดุล - รายได้หรือค่าใช้จ่ายเพิ่มขึ้น? ขึ้นอยู่กับเงื่อนไขการดำเนินการ "ค่าธรรมเนียมในการให้บริการแอปพลิเคชัน" และค่าใช้จ่ายในการบำรุงรักษาช่องสัญญาณ เมื่อทราบค่าเหล่านี้ คุณจะพบจำนวนช่องสัญญาณที่เหมาะสมและคุ้มค่าที่สุด เราจะไม่แก้ไขปัญหาดังกล่าว โดยปล่อยให้ "ผู้อ่านที่ไม่ขี้เกียจและอยากรู้อยากเห็น" คนเดิมคิดตัวอย่างและแก้ไข โดยทั่วไปแล้ว การประดิษฐ์ปัญหาจะพัฒนามากกว่าการแก้ปัญหาที่ใครบางคนวางไว้แล้ว
^ 2. QS ช่องทางเดียวพร้อมคิวไม่จำกัดในทางปฏิบัติ บ่อยครั้งมีบริการทางการแพทย์แบบช่องทางเดียวที่มีคิว (แพทย์ที่ให้บริการผู้ป่วย โทรศัพท์สาธารณะที่มีบูธเดียว คอมพิวเตอร์ที่ปฏิบัติตามคำสั่งของผู้ใช้) ในทฤษฎีการจัดคิว QS ช่องทางเดียวที่มีคิวก็ครอบครองสถานที่พิเศษเช่นกัน (สูตรการวิเคราะห์ส่วนใหญ่ที่ได้รับจนถึงตอนนี้สำหรับระบบที่ไม่ใช่มาร์คอฟนั้นเป็นของ QS ดังกล่าว) ดังนั้นเราจะให้ความสนใจเป็นพิเศษกับ QS ช่องทางเดียวพร้อมคิว
ให้มี QS ช่องทางเดียวพร้อมคิวที่ไม่มีการกำหนดข้อจำกัด (ทั้งความยาวของคิวหรือเวลาในการรอ) QS นี้ได้รับโฟลว์คำขอที่มีความเข้มข้น แล ; กระแสการบริการมีความเข้มข้น μ ตรงกันข้ามกับเวลาการให้บริการคำขอโดยเฉลี่ย ทีเกี่ยวกับ. จำเป็นต้องค้นหาความน่าจะเป็นขั้นสุดท้ายของสถานะ QS รวมถึงลักษณะของประสิทธิผล:
ลระบบ - จำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยในระบบ
วระบบ - เวลาเฉลี่ยที่แอปพลิเคชันอยู่ในระบบ
^ ลออ- จำนวนแอปพลิเคชันเฉลี่ยในคิว
วดีมาก - เวลาเฉลี่ยที่แอปพลิเคชันใช้ในคิว
ปแซน - ความน่าจะเป็นที่ช่องไม่ว่าง (โหลดช่อง)
ส่วนเรื่องสัมบูรณ์ แบนด์วิธ กและญาติ ถามไม่จำเป็นต้องคำนวณ:
เนื่องจากคิวไม่ จำกัด แต่ละแอปพลิเคชันจะได้รับบริการไม่ช้าก็เร็วดังนั้น ก = แล,ด้วยเหตุผลเดียวกัน ถาม= 1.
สารละลาย. เช่นเดิม เราจะกำหนดหมายเลขสถานะของระบบตามจำนวนแอปพลิเคชันใน QS:
ส 0 - ช่องฟรี
ส 1 - ช่องไม่ว่าง (ให้บริการตามคำขอ) ไม่มีคิว
ส 2 - ช่องไม่ว่าง คำขอหนึ่งรายการอยู่ในคิว
ส k - ช่องไม่ว่าง เค-มี 1 ใบสมัครอยู่ในคิว
ตามทฤษฎีแล้ว จำนวนสถานะนั้นไม่จำกัด (ไม่สิ้นสุด) กราฟสถานะมีรูปแบบดังแสดงในรูปที่ 1 20.2. นี่เป็นแผนการแห่งความตายและการสืบพันธุ์ แต่มีจำนวนสถานะไม่สิ้นสุด ตามลูกศรทั้งหมด โฟลว์ของคำขอที่มีความเข้มข้น lam ย้ายระบบจากซ้ายไปขวา และจากขวาไปซ้าย - โฟลว์ของบริการที่มีความเข้มข้น μ
ก่อนอื่น ลองถามตัวเองก่อนว่าในกรณีนี้มีความน่าจะเป็นขั้นสุดท้ายหรือไม่? ท้ายที่สุดแล้ว จำนวนสถานะของระบบนั้นไม่มีที่สิ้นสุด และตามหลักการแล้วคือเมื่อใด เสื้อ → ∞คิวจะยาวขึ้นเรื่อยๆ! ใช่ มันเป็นอย่างนั้น: ความน่าจะเป็นขั้นสุดท้ายสำหรับ QS ดังกล่าวนั้นไม่ได้มีอยู่เสมอไป แต่จะเกิดขึ้นเมื่อระบบไม่ได้โอเวอร์โหลดเท่านั้น สามารถพิสูจน์ได้ว่าถ้า ρ น้อยกว่าหนึ่งอย่างเคร่งครัด (ρ< 1), то финальные вероятности существуют, а при ρ ≥ 1 очередь при ที→ ∞ เติบโตอย่างไร้ขีดจำกัด ข้อเท็จจริงนี้ดูเหมือนว่า "ไม่อาจเข้าใจได้" โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อ ρ = 1 ดูเหมือนว่าไม่มีการกำหนดข้อกำหนดที่เป็นไปไม่ได้ในระบบ: ในช่วงเวลาของการให้บริการหนึ่งคำขอ โดยเฉลี่ยหนึ่งคำขอจะมาถึง และทุกอย่างควรเป็นไปตามลำดับ แต่ในความเป็นจริงแล้ว ไม่เป็นเช่นนั้น ที่ ρ = 1 QS จะจัดการกับโฟลว์ของคำขอเฉพาะในกรณีที่โฟลว์นี้เป็นปกติ และเวลาให้บริการจะไม่สุ่มเช่นกัน เท่ากับช่วงเวลาระหว่างคำขอ ในกรณีที่ "เหมาะ" นี้ จะไม่มีคิวเลย ช่องสัญญาณจะยุ่งอย่างต่อเนื่องและจะออกคำขอรับบริการเป็นประจำ แต่ทันทีที่โฟลว์ของแอปพลิเคชันหรือโฟลว์ของบริการกลายเป็นแบบสุ่มเล็กน้อยคิวก็จะเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีกำหนด ในทางปฏิบัติ สิ่งนี้ไม่ได้เกิดขึ้นเพียงเพราะ “จำนวนแอปพลิเคชันในคิวที่ไม่มีที่สิ้นสุด” เป็นเพียงนามธรรม สิ่งเหล่านี้คือข้อผิดพลาดร้ายแรงที่อาจเกิดจากการแทนที่ตัวแปรสุ่มด้วยความคาดหวังทางคณิตศาสตร์!
แต่กลับมาที่ QS ช่องทางเดียวของเราพร้อมคิวไม่จำกัด พูดอย่างเคร่งครัด เราได้รับสูตรสำหรับความน่าจะเป็นขั้นสุดท้ายในโครงการความตายและการสืบพันธุ์เฉพาะในกรณีของจำนวนรัฐที่จำกัด แต่ให้เราใช้เสรีภาพในการใช้พวกมันกับจำนวนรัฐที่ไม่มีที่สิ้นสุด มาคำนวณความน่าจะเป็นสุดท้ายของสถานะโดยใช้สูตร (19.8), (19.7) ในกรณีของเรา จำนวนพจน์ในสูตร (19.8) จะไม่มีที่สิ้นสุด เราได้รับนิพจน์สำหรับ หน้า 0:
พี 0 = -1 =
= (1 + р + р 2 + ... + р k +….) -1 . (20.11)
อนุกรมในสูตร (20.11) เป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิต เรารู้ว่าสำหรับ ρ< 1 ряд сходится - это бесконечно убывающая ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตมีตัวส่วน p สำหรับ p ≥ 1 อนุกรมจะแยกออก (ซึ่งเป็นทางอ้อม แม้ว่าจะไม่เข้มงวด แต่ก็เป็นหลักฐานที่แสดงว่าความน่าจะเป็นขั้นสุดท้ายของสถานะต่างๆ หน้า 0 , หน้า 1 , ..., หน้า , ...มีอยู่ที่หน้าเท่านั้น<1). Теперь предположим, что это условие выполнено, и ρ <1. Суммируя прогрессию в (20.11), имеем
1 + ρ + ρ 2 + ... + ρ k + ... = ,
พี 0 = 1 - ρ (20.12)
ความน่าจะเป็น r 1, r 2, ..., r k,... จะพบได้โดยใช้สูตร:
หน้า 1 = ρ หน้า 0 , หน้า 2= ρ 2 พี 0 ,…,พี เค = ρ หน้า 0, ...,
จากที่เมื่อคำนึงถึง (20.12) ในที่สุดเราก็พบ:
หน้า 1= ρ (1 - ρ) หน้า 2= ρ 2 (1 - ρ), . - - - พี เค =ρ เค(1 - ρ), . - .(20.13)
อย่างที่คุณเห็นความน่าจะเป็น หน้า 0, หน้า 1, ..., พีเค...สร้างความก้าวหน้าทางเรขาคณิตด้วยตัวส่วน p น่าแปลกที่จำนวนสูงสุดของพวกเขา พี 0 -ความน่าจะเป็นที่ช่องจะเป็นอิสระโดยสมบูรณ์ ไม่ว่าระบบจะโหลดคิวมากแค่ไหนก็ตาม หากสามารถรับมือกับโฟลว์ของคำขอได้เลย (ρ<1), самое вероятное число заявок в системе будет 0.
มาดูจำนวนแอปพลิเคชันเฉลี่ยของ CMO กัน ↑ ระบบแอล- - ที่นี่คุณจะต้องคนจรจัดเล็กน้อย ตัวแปรสุ่ม Z-จำนวนแอปพลิเคชันในระบบ - มีค่าที่เป็นไปได้ 0, 1, 2, .... เค ...ด้วยความน่าจะเป็น หน้า 0, หน้า 1, หน้า 2, ..., หน้า, ...ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของมันคือ
ลระบบ = 0 · พี 0 + 1 · พี 1+2 พี 2 +…+เค · พีเค +…= (20.14)
(ผลรวมไม่ได้นำมาจาก 0 ถึง ∞ แต่จาก 1 ถึง ∞ เนื่องจากเทอมศูนย์เท่ากับศูนย์)
ให้เราแทนที่เป็นสูตร (20.14) นิพจน์สำหรับ พีเค (20.13):
ลระบบ -
ทีนี้ลองนำ ρ (1-ρ) ออกจากเครื่องหมายผลรวม:
ลระบบ = ρ (1-ρ)
เราจะใช้ "เคล็ดลับเล็กๆ น้อยๆ" อีกครั้ง: เคρ เค-1 ไม่มีอะไรมากไปกว่าอนุพันธ์ที่เกี่ยวข้องกับ ρ จากนิพจน์ ρ เค- วิธี,
ลระบบ = ρ (1-ρ)
การย้อนกลับการดำเนินการของการสร้างความแตกต่างและการสรุป เราได้รับ:
ลระบบ = ρ (1-ρ) (20.15)
แต่ผลรวมในสูตร (20.15) ไม่มีอะไรมากไปกว่าผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดด้วยเทอมแรก ρ และตัวส่วน ρ จำนวนนี้
เท่ากับ และอนุพันธ์ของมัน . แทนที่นิพจน์นี้เป็น (20.15) เราได้รับ:
ลระบบ = . (20.16)
ตอนนี้เราใช้สูตรของ Little (19.12) และค้นหาเวลาเฉลี่ยที่แอปพลิเคชันยังคงอยู่ในระบบ:
วระบบ = (20.17)
ลองหาจำนวนเฉลี่ยของแอปพลิเคชันในคิวกัน ลดีมาก เราจะให้เหตุผลดังนี้: จำนวนแอปพลิเคชันในคิวเท่ากับจำนวนแอปพลิเคชันในระบบลบด้วยจำนวนแอปพลิเคชันที่อยู่ระหว่างการให้บริการ ซึ่งหมายความว่า (ตามกฎการเพิ่มความคาดหวังทางคณิตศาสตร์) จำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยในคิว ล och เท่ากับจำนวนคำขอโดยเฉลี่ยในระบบ ลระบบลบจำนวนคำขอเฉลี่ยภายใต้บริการ จำนวนคำขอภายใต้บริการอาจเป็นศูนย์ (หากช่องว่าง) หรือหนึ่งรายการ (หากช่องไม่ว่าง) ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มนั้นเท่ากับความน่าจะเป็นที่ช่องสัญญาณไม่ว่าง (เราแสดงว่ามัน รแซน) อย่างชัดเจน, ร zan เท่ากับความน่าจะเป็นลบหนึ่ง หน้า 0ว่าช่องนั้นฟรี:
รแซน = 1 - ร 0 = ρ (20.18)
ดังนั้นจำนวนคำขอโดยเฉลี่ยภายใต้บริการจึงเท่ากับ
^L เกี่ยวกับ= ρ, (20.19)
ลโอ้ = ลระบบ – ρ =
และในที่สุด
ลโอค = (20.20)
เมื่อใช้สูตรของ Little (19.13) เราค้นหาเวลาเฉลี่ยที่แอปพลิเคชันอยู่ในคิว:
(20.21)
ดังนั้นจึงพบคุณลักษณะทั้งหมดของประสิทธิผลของ QS
ขอเชิญผู้อ่านมาแก้ตัวอย่างด้วยตัวเอง: QS แบบช่องสัญญาณเดียวคือสถานีจัดเรียงรางรถไฟซึ่งรับการไหลของรถไฟที่ง่ายที่สุดด้วยความเข้มข้น แล = 2 (ขบวนต่อชั่วโมง) การบริการ (ยุบ)
องค์ประกอบจะใช้เวลาสุ่ม (บ่งชี้) ด้วยค่าเฉลี่ย รอบ = 20(นาที.). ที่จอดรถขาเข้าของสถานีมีสองรางรถไฟที่มาถึงสามารถรอให้บริการได้ ถ้าทั้งสองรางไม่ว่าง รถไฟจะถูกบังคับให้รอบนรางด้านนอก จำเป็นต้องค้นหา (สำหรับการจำกัด โหมดการทำงานแบบอยู่กับที่ของสถานี): ค่าเฉลี่ย, จำนวนขบวนรถไฟ ลระบบที่เกี่ยวข้องกับสถานี เวลาเฉลี่ย วระบบการเดินรถที่สถานี (บนรางภายใน รางภายนอก และอยู่ระหว่างการซ่อมบำรุง) จำนวนเฉลี่ย ลจำนวนรถไฟที่รอต่อแถวที่จะยุบ (ไม่ว่ารางไหน) เวลาเฉลี่ย วคะแนนอยู่ในรถไฟต่อแถว นอกจากนี้ให้พยายามค้นหาจำนวนรถไฟโดยเฉลี่ยที่รอการแยกขบวนบนรางด้านนอก ลเวลาภายนอกและเวลาเฉลี่ยของการรอนี้ วต่อ (ปริมาณสองอันสุดท้ายสัมพันธ์กันด้วยสูตรของลิตเติ้ล) สุดท้าย ค้นหาค่าปรับ Sh รายวันทั้งหมดที่สถานีจะต้องจ่ายค่าหยุดทำงานของรถไฟบนรางภายนอก หากสถานีจ่ายค่าปรับ (รูเบิล) เป็นเวลาหนึ่งชั่วโมงของการหยุดทำงานของรถไฟหนึ่งขบวน ในกรณีนี้ นี่คือคำตอบ: ลระบบ = 2 (องค์ประกอบ) วระบบ = 1 (ชั่วโมง) ล och = 4/3 (องค์ประกอบ) ว och = 2/3 (ชั่วโมง) ลต่อ = 16/27 (องค์ประกอบ) วต่อ = 8/27 data 0.297 (ชั่วโมง) ค่าปรับเฉลี่ยรายวัน Ш สำหรับการรอรถไฟบนรางภายนอกนั้นได้มาโดยการคูณจำนวนรถไฟเฉลี่ยที่มาถึงสถานีต่อวัน เวลารอโดยเฉลี่ยสำหรับรถไฟบนรางภายนอกและค่าปรับรายชั่วโมง ก: ก ñ 14.2 ก.
^ 3. รีแชนแนล QS ไม่จำกัดคิวค่อนข้างคล้ายกับปัญหา 2 แต่ซับซ้อนกว่าเล็กน้อยคือปัญหาของ n-channel QS พร้อมคิวไม่จำกัด การกำหนดหมายเลขสถานะจะขึ้นอยู่กับจำนวนแอปพลิเคชันในระบบอีกครั้ง:
ส 0- ไม่มีการร้องขอใน SMO (ทุกช่องฟรี)
เอส 1 -ช่องหนึ่งถูกครอบครองส่วนที่เหลือเป็นอิสระ
เอส 2 -สองช่องถูกครอบครองส่วนที่เหลือเป็นอิสระ
เอสเค- ยุ่ง เคช่องที่เหลือฟรี
ส- ทุกคนมีงานยุ่ง nช่องทาง (ไม่มีคิว)
ส เอ็น+1- ทุกคนมีงานยุ่ง nช่องทางหนึ่งแอปพลิเคชันอยู่ในคิว
ส n+อาร์ -น้ำหนักไม่ว่าง nช่อง รใบสมัครอยู่ในคิว
กราฟสถานะจะแสดงในรูป 20.3. เราขอเชิญชวนผู้อ่านให้คิดด้วยตนเองและปรับค่าความเข้มที่ระบุด้วยลูกศร รูปกราฟ 20.3
λ λ λ λ λ λ λ λ λ
μ 2μ kμ (k+1)μ nμ nμ nμ nμ nμ
มีรูปแบบของความตายและการสืบพันธุ์ แต่มีสภาวะจำนวนไม่สิ้นสุด ให้เรารายงานโดยไม่ต้องพิสูจน์ถึงสภาพธรรมชาติของการมีอยู่ของความน่าจะเป็นขั้นสุดท้าย: ρ/ n<1. Если ρ/n≥ 1 คิวจะขยายเป็นอนันต์
ให้เราสมมุติว่าเงื่อนไข ρ/ n < 1 выполнено, и финальные вероятности существуют. Применяя все те же формулы (19.8), (19.7) для схемы гибели и размножения, найдем эти финальные вероятности. В выражении для หน้า 0จะมีชุดคำศัพท์ที่มีแฟกทอเรียล บวกกับผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดด้วยตัวส่วน ρ/ n- สรุปแล้วเราพบว่า
(20.22)
ตอนนี้เรามาดูคุณลักษณะด้านประสิทธิภาพของ QS กันดีกว่า วิธีที่ง่ายที่สุดในการค้นหาจำนวนช่องสัญญาณที่ถูกครอบครองโดยเฉลี่ยคือ เค== แลมบ์ดา/μ, = ρ (โดยทั่วไปจะเป็นจริงสำหรับ QS ใดๆ ที่มีคิวไม่จำกัด) ลองหาจำนวนเฉลี่ยของแอปพลิเคชันในระบบกัน ลระบบและจำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยในคิว ลดีมาก ในจำนวนนี้การคำนวณวินาทีจะง่ายกว่าโดยใช้สูตร
ลโอ้ =
ดำเนินการเปลี่ยนแปลงที่เหมาะสมตามตัวอย่างของภารกิจที่ 2
(โดยมีความแตกต่างของซีรีส์) เราได้รับ:
ลโอ้ = (20.23)
เพิ่มจำนวนคำขอโดยเฉลี่ยภายใต้บริการ (ซึ่งเป็นจำนวนเฉลี่ยของช่องสัญญาณที่ถูกครอบครองด้วย) เค =ρ เราได้รับ:
ลระบบ = ลโอ้ + ρ (20.24)
การแบ่งสำนวนสำหรับ ลดีมาก ลระบบเปิด แล , เมื่อใช้สูตรของ Little เราจะได้เวลาเฉลี่ยที่แอปพลิเคชันอยู่ในคิวและในระบบ:
(20.25)
ทีนี้ลองแก้ตัวอย่างที่น่าสนใจกัน ห้องจำหน่ายตั๋วรถไฟที่มีหน้าต่าง 2 บานคือ QS แบบ 2 ช่องทางซึ่งมีคิวไม่จำกัดอยู่ที่หน้าต่าง 2 บานพร้อมกัน (หากหน้าต่างบานหนึ่งว่าง ผู้โดยสารที่อยู่ในสายที่ใกล้ที่สุดจะรับไป) บ็อกซ์ออฟฟิศขายตั๋วไปสองจุด: A และ ใน.ความเข้มข้นของกระแสการสมัคร (ผู้โดยสารที่ต้องการซื้อตั๋ว) ทั้ง 2 จุด เอ และ บีเหมือนกัน: แลม A = แลมบ์ B = 0.45 (ผู้โดยสารต่อนาที) และโดยรวมแล้ว สิ่งเหล่านี้ก่อให้เกิดการร้องขอทั้งหมดที่มีความเข้มข้น แลม A + แลมบ์ ข = 0.9 แคชเชียร์ใช้เวลาโดยเฉลี่ยสองนาทีในการให้บริการผู้โดยสาร ประสบการณ์แสดงให้เห็นว่าคิวสะสมที่สำนักงานขายตั๋ว ผู้โดยสารบ่นเกี่ยวกับความล่าช้าของการบริการ ได้รับข้อเสนอการหาเหตุผลเข้าข้างตนเอง: แทนที่จะเป็นสำนักงานขายตั๋วแห่งเดียวและ กและใน ใน,สร้างสำนักงานขายตั๋วพิเศษสองแห่ง (แต่ละหน้าต่างในแต่ละหน้าต่าง) ขายตั๋วหนึ่งแห่ง - เฉพาะประเด็นเท่านั้น กอีกอย่าง - ตรงประเด็นเท่านั้น ใน.ภูมิปัญญาของข้อเสนอนี้เป็นข้อขัดแย้ง - บางคนแย้งว่าคิวจะยังคงเหมือนเดิม มีความจำเป็นต้องตรวจสอบประโยชน์ของข้อเสนอด้วยการคำนวณ เนื่องจากเราสามารถคำนวณคุณลักษณะเฉพาะสำหรับ QS ที่ง่ายที่สุดเท่านั้น สมมติว่าโฟลว์ของเหตุการณ์ทั้งหมดเป็นวิธีที่ง่ายที่สุด (ซึ่งจะไม่ส่งผลกระทบต่อด้านคุณภาพของข้อสรุป)
เอาล่ะมาทำธุรกิจกันดีกว่า พิจารณาสองทางเลือกในการจัดระเบียบการขายตั๋ว - ที่มีอยู่และที่เสนอ
ตัวเลือกที่ 1 (ที่มีอยู่) QS แบบสองช่องทางได้รับโฟลว์คำขอที่มีความเข้มข้น แล = 0.9; ความเข้มของการไหลของบริการμ = 1/2 = 0.5; ρ = แล/μ = ลิตร.8 เนื่องจาก ρ/2 = 0.9<1, финальные вероятности существуют. По первой формуле (20.22) находим ร 0 data 0.0525. พบจำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยในคิวโดยใช้สูตร (20.23): L och ‐ 7.68; เวลาเฉลี่ยที่ใช้ในแอปพลิเคชันในคิว (ตามสูตรแรก (20.25)) เท่ากับ วและ µ 8.54 (นาที)
ตัวเลือก II (เสนอ) จำเป็นต้องพิจารณา QS ช่องทางเดียวสองช่อง (สองหน้าต่างพิเศษ) แต่ละคนได้รับกระแสของแอปพลิเคชันที่มีความเข้ม แล = 0.45; ม . ยังคงเท่ากับ 0.5; ρ = แล/μ = 0.9<1; финальные вероятности существуют. По формуле (20.20) находим среднюю длину очереди (к одному окошку) ลโอ้ = 8.1
มากสำหรับคุณ! ปรากฎว่าความยาวของคิวไม่เพียงไม่ลดลง แต่ยังเพิ่มขึ้นอีกด้วย! บางทีเวลารอโดยเฉลี่ยในแถวอาจลดลง? มาดูกัน. การแบ่งปัน ลและที่ แล = 0.45 เราได้รับ วมาก อยู่ที่ 18 (นาที)
มากสำหรับการหาเหตุผลเข้าข้างตนเอง! แทนที่จะลดลง ทั้งความยาวเฉลี่ยของคิวและเวลารอโดยเฉลี่ยก็เพิ่มขึ้น!
ลองเดาว่าทำไมสิ่งนี้ถึงเกิดขึ้น? เมื่อคิดถึงเรื่องนี้ เราก็ได้ข้อสรุป: สิ่งนี้เกิดขึ้นเพราะในตัวเลือกแรก (QS สองช่องทาง) สัดส่วนเวลาเฉลี่ยที่พนักงานเก็บเงินแต่ละคนไม่ได้ใช้งานจะน้อยลง: ถ้าเขาไม่ยุ่งกับการให้บริการผู้โดยสารที่ซื้อ ตั๋วไปยังจุด เอ,เขาสามารถมีส่วนร่วมในการให้บริการผู้โดยสารที่ซื้อตั๋วไปยังจุดหนึ่งได้ ใน,และในทางกลับกัน ในตัวเลือกที่สอง ไม่มีการแลกเปลี่ยนกันได้: แคชเชียร์ว่างก็แค่นั่งกอดอก...
ดี , โอเค” ผู้อ่านก็พร้อมที่จะเห็นด้วย “เพิ่มขึ้นอธิบายได้ แต่ทำไมมันถึงสำคัญขนาดนี้ล่ะ? มีข้อผิดพลาดในการคำนวณที่นี่หรือไม่?
และเราจะตอบคำถามนี้ ไม่มีข้อผิดพลาด สิ่งนั้นก็คือ , ในตัวอย่างของเรา QS ทั้งสองทำงานที่ขีดจำกัดความสามารถ ทันทีที่คุณเพิ่มเวลาให้บริการเล็กน้อย (เช่น ลด μ) พวกเขาจะไม่รับมือกับจำนวนผู้โดยสารอีกต่อไป และคิวจะเริ่มเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขีดจำกัด และ "การหยุดทำงานเพิ่มเติม" ของแคชเชียร์ก็เทียบเท่ากับประสิทธิภาพการทำงานที่ลดลงμ
ดังนั้นผลลัพธ์ของการคำนวณซึ่งในตอนแรกดูเหมือนจะขัดแย้งกัน (หรือแม้แต่ไม่ถูกต้อง) กลับกลายเป็นว่าถูกต้องและอธิบายได้
ทฤษฎีการเข้าคิวอุดมไปด้วยข้อสรุปที่ขัดแย้งกันดังกล่าว ซึ่งเหตุผลที่ไม่ชัดเจนเลย ผู้เขียนเองก็ "ประหลาดใจ" ซ้ำแล้วซ้ำอีกกับผลการคำนวณซึ่งต่อมากลายเป็นว่าถูกต้อง
เมื่อคำนึงถึงปัญหาสุดท้าย ผู้อ่านสามารถตั้งคำถามในลักษณะนี้: หากบ็อกซ์ออฟฟิศขายตั๋วได้เพียงจุดเดียว เวลาในการให้บริการก็ควรจะลดลงตามธรรมชาติ ไม่ใช่ครึ่งหนึ่ง แต่อย่างน้อยก็ค่อนข้างบ้าง แต่เราคิดว่ายังเฉลี่ยอยู่ที่ 2 (นาที) เราขอเชิญผู้อ่านที่จู้จี้จุกจิกตอบคำถาม: ควรลดลงเท่าไหร่เพื่อให้ "ข้อเสนอการหาเหตุผลเข้าข้างตนเอง" กลายเป็นผลกำไร? เราเผชิญหน้ากันอีกครั้ง ถึงแม้จะเป็นเพียงปัญหาเบื้องต้น แต่ก็ยังเป็นปัญหาการปรับให้เหมาะสมอยู่ ด้วยความช่วยเหลือของการคำนวณโดยประมาณแม้ในแบบจำลอง Markov ที่ง่ายที่สุดก็เป็นไปได้ที่จะชี้แจงด้านคุณภาพของปรากฏการณ์ - การกระทำที่ได้ผลกำไรอย่างไรและวิธีที่ไม่ได้ผลกำไร ในส่วนถัดไป เราจะแนะนำโมเดลพื้นฐานที่ไม่ใช่ของ Markov ซึ่งจะขยายขีดความสามารถของเราต่อไป
หลังจากที่ผู้อ่านคุ้นเคยกับวิธีการคำนวณความน่าจะเป็นขั้นสุดท้ายของสถานะและลักษณะการทำงานของ QS ที่ง่ายที่สุด (เขาเชี่ยวชาญโครงร่างการตายและการสืบพันธุ์และสูตรของ Little) เขาสามารถเสนอ QS ง่าย ๆ อีกสองรายการเพื่อการพิจารณาอย่างอิสระ
^ 4. QS ช่องทางเดียวพร้อมคิวที่จำกัดปัญหาแตกต่างจากปัญหา 2 เพียงตรงที่จำนวนแอปพลิเคชันในคิวถูกจำกัด (ต้องไม่เกินจำนวนที่ระบุ ต)หากแอปพลิเคชันใหม่มาถึงในเวลาที่สถานที่ทั้งหมดในคิวเต็ม จะทำให้ QS ไม่ถูกให้บริการ (ได้รับการปฏิเสธ)
เราจำเป็นต้องค้นหาความน่าจะเป็นขั้นสุดท้ายของสถานะ (โดยวิธีการในปัญหานี้มีอยู่สำหรับ ρ ใด ๆ - หลังจากนั้นจำนวนสถานะมีจำกัด) ความน่าจะเป็นของความล้มเหลว รเปิดปริมาณงานที่แน่นอน เอ,ความน่าจะเป็นที่ช่องไม่ว่าง รไม่ว่าง ความยาวคิวโดยเฉลี่ย ลดีมาก จำนวนการสมัคร CMO โดยเฉลี่ย ลน้องสาว , เวลารอโดยเฉลี่ยในคิว วดีมาก , เวลาเฉลี่ยที่แอปพลิเคชันจะอยู่ใน CMO วระบบ เมื่อคำนวณคุณลักษณะของคิว คุณสามารถใช้เทคนิคเดียวกันกับที่เราใช้ในปัญหาที่ 2 โดยมีความแตกต่างที่คุณต้องสรุปไม่ใช่ความก้าวหน้าที่ไม่มีที่สิ้นสุด แต่เป็นความก้าวหน้าที่มีขอบเขต
^ 5. ปิด QS ด้วยหนึ่งช่องทางและ มแหล่งที่มาของแอปพลิเคชันหากจะให้เจาะจง เรามาวางปัญหาในรูปแบบต่อไปนี้: มีพนักงานคนหนึ่งทำหน้าที่ ตเครื่องจักรแต่ละเครื่องต้องมีการปรับเปลี่ยน (แก้ไข) เป็นระยะๆ ความเข้มของการไหลของอุปสงค์ของแต่ละเครื่องคือ แล . หากเครื่องจักรเกิดขัดข้องในขณะที่คนงานว่าง เครื่องจักรจะเข้าใช้งานทันที หากล้มเหลวในขณะที่คนงานกำลังยุ่ง ก็จะเข้าแถวและรอให้คนงานเป็นอิสระ เวลาการตั้งค่าเครื่องโดยเฉลี่ย ทีรอบ = 1/ไมโคร ระดับความเข้มข้นของคำขอที่ส่งถึงผู้ปฏิบัติงานขึ้นอยู่กับจำนวนเครื่องจักรที่ทำงาน ถ้ามันได้ผล เคเครื่องจักรมันก็เท่ากัน เคแล. ค้นหาความน่าจะเป็นในสถานะสุดท้าย จำนวนเครื่องจักรที่ทำงานโดยเฉลี่ย และความน่าจะเป็นที่ผู้ปฏิบัติงานจะไม่ว่าง
โปรดทราบว่าใน QS นี้มีความน่าจะเป็นขั้นสุดท้าย
จะมีอยู่สำหรับค่าใด ๆ ของ γ และ μ = 1/ ทีเกี่ยวกับ เนื่องจากจำนวนสถานะของระบบมีจำกัด