ตัวคูณร่วมมากของจำนวน ตัวคูณร่วมน้อย (LCM): คำจำกัดความ ตัวอย่าง และคุณสมบัติ
กลับไปข้างหน้า
ความสนใจ! การแสดงตัวอย่างสไลด์มีวัตถุประสงค์เพื่อให้ข้อมูลเท่านั้น และอาจไม่ได้แสดงถึงคุณลักษณะทั้งหมดของงานนำเสนอ หากคุณสนใจ งานนี้กรุณาดาวน์โหลดเวอร์ชันเต็ม
นักเรียนระดับมัธยมศึกษาจะต้องเผชิญกับแนวคิดเรื่องตัวหารร่วมมาก (GCD) และตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 หัวข้อนี้เข้าใจยากเสมอ เด็กๆ มักจะสับสนกับแนวคิดเหล่านี้และไม่เข้าใจว่าทำไมจึงต้องศึกษาพวกเขา ใน เมื่อเร็วๆ นี้และในวรรณคดีวิทยาศาสตร์ยอดนิยม มีข้อความระบุว่าควรแยกเนื้อหานี้ออกจากหลักสูตรของโรงเรียน ฉันคิดว่าสิ่งนี้ไม่เป็นความจริงทั้งหมดและจำเป็นต้องศึกษาหากไม่ได้อยู่ในชั้นเรียนในช่วงเวลานอกหลักสูตรระหว่างชั้นเรียนในโรงเรียนเนื่องจากมีส่วนช่วยในการพัฒนาการคิดเชิงตรรกะในเด็กนักเรียนเพิ่มความเร็วในการดำเนินการคำนวณ และความสามารถในการแก้ไขปัญหาด้วยวิธีที่สวยงาม
เมื่อศึกษาหัวข้อ "การบวกและการลบเศษส่วนด้วย ตัวส่วนที่แตกต่างกัน“เราสอนให้เด็กๆ หาตัวส่วนร่วมของตัวเลขตั้งแต่สองตัวขึ้นไป เช่น ต้องบวกเศษส่วน 1/3 และ 1/5 นักเรียนสามารถหาตัวเลขที่หารด้วย 3 และ 5 ลงตัวได้ง่ายๆ โดยไม่มีเศษเหลืออยู่ นี่ คือเลข 15 แน่นอนว่าถ้าตัวเลขน้อยก็หาตัวส่วนร่วมได้ง่ายถ้ารู้จักตารางสูตรคูณดี เด็กคนหนึ่งสังเกตเห็นว่าตัวเลขนี้เป็นผลคูณของเลข 3 และ 5 เด็ก ๆ มี ความเห็นที่ว่าสามารถหาตัวส่วนร่วมของตัวเลขได้เสมอ เช่น ลบเศษส่วน 7/ 18 และ 5/24 ให้เราหาผลคูณของตัวเลข 18 และ 24 ซึ่งจะเท่ากับ 432 . เราได้รับมันแล้ว. จำนวนมากและหากคุณจำเป็นต้องทำการคำนวณเพิ่มเติม (โดยเฉพาะตัวอย่างสำหรับการดำเนินการทั้งหมด) โอกาสที่จะเกิดข้อผิดพลาดก็จะเพิ่มขึ้น แต่ค่าตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ที่พบ ซึ่งในกรณีนี้เทียบเท่ากับตัวส่วนร่วมน้อย (LCD) นั่นคือ 72 จะช่วยอำนวยความสะดวกในการคำนวณอย่างมาก และนำไปสู่วิธีแก้ปัญหาที่รวดเร็วกว่าสำหรับตัวอย่าง และด้วยเหตุนี้จึงช่วยประหยัดค่า เวลาที่จัดสรรไว้สำหรับการทำงานนี้ให้เสร็จสิ้นซึ่งมีบทบาทสำคัญในการทำการทดสอบขั้นสุดท้ายให้เสร็จสิ้น การทดสอบโดยเฉพาะในระหว่างการประเมินขั้นสุดท้าย
เมื่อศึกษาหัวข้อ “การลดเศษส่วน” คุณสามารถเคลื่อนที่ตามลำดับได้โดยการหารตัวเศษและส่วนของเศษส่วนด้วยจำนวนธรรมชาติเดียวกัน โดยใช้เครื่องหมายของการหารตัวเลขลงตัว จนได้เศษส่วนที่ลดไม่ได้ในที่สุด เช่น คุณต้องลดเศษส่วน 128/344 ขั้นแรก หารเศษและส่วนของเศษส่วนด้วยเลข 2 เราจะได้เศษส่วน 64/172 อีกครั้ง หารเศษและส่วนของเศษส่วนผลลัพธ์ด้วย 2 เราจะได้เศษส่วน 32/86 หารเศษและส่วนของเศษส่วนด้วย 2 อีกครั้ง เราจะได้เศษส่วนที่ลดไม่ได้ 16/43 แต่การลดเศษส่วนสามารถทำได้ง่ายกว่ามากหากเราหาตัวหารร่วมมากของตัวเลข 128 และ 344 ได้ GCD(128, 344) = 8 การหารตัวเศษและส่วนของเศษส่วนด้วยจำนวนนี้ เราจะได้เศษส่วนที่ลดไม่ได้ทันที .
ต้องแสดงให้เด็กๆดู. วิธีการที่แตกต่างกันการหาตัวหารร่วมมาก (GCD) และตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ของตัวเลข ในกรณีง่าย ๆ สะดวกในการค้นหาตัวหารร่วมมาก (GCD) และตัวคูณร่วมน้อย (LCD) ของตัวเลขโดยการแจงนับแบบง่าย เมื่อตัวเลขมากขึ้น คุณสามารถใช้การแยกตัวประกอบเฉพาะได้ หนังสือเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 (ผู้เขียน N.Ya. Vilenkin) แสดงวิธีการต่อไปนี้ในการค้นหาตัวหารร่วมมาก (GCD) ของตัวเลข ลองแยกตัวเลขออกเป็นปัจจัยเฉพาะ:
- 16 = 2*2*2*2
- 120 = 2*2*2*3*5
จากนั้น จากปัจจัยที่รวมอยู่ในการขยายของตัวเลขตัวใดตัวหนึ่ง เราจะขีดฆ่าปัจจัยที่ไม่รวมอยู่ในการขยายของตัวเลขอีกจำนวนหนึ่ง ผลคูณของตัวประกอบที่เหลือจะเป็นตัวหารร่วมมากของตัวเลขเหล่านี้ ในกรณีนี้ นี่คือเลข 8 จากประสบการณ์ของฉันเอง ฉันเชื่อว่าเด็กๆ จะชัดเจนมากขึ้นหากเราขีดเส้นใต้ปัจจัยเดียวกันในการสลายตัวของตัวเลข แล้วในการสลายตัวครั้งหนึ่ง เราพบผลคูณของ ปัจจัยที่ขีดเส้นใต้ นี่คือตัวหารร่วมมากของจำนวนเหล่านี้ ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 เด็กๆ มีความกระตือรือร้นและอยากรู้อยากเห็น คุณสามารถกำหนดภารกิจต่อไปนี้ได้: ลองใช้วิธีที่อธิบายไว้เพื่อค้นหาตัวหารร่วมมากของตัวเลข 343 และ 287 ยังไม่ทราบแน่ชัดว่าจะแยกตัวประกอบเหล่านี้เป็นตัวประกอบเฉพาะได้อย่างไร และที่นี่ คุณสามารถเล่าให้พวกเขาฟังเกี่ยวกับวิธีการอันมหัศจรรย์ที่ชาวกรีกโบราณคิดค้นขึ้น ซึ่งช่วยให้คุณสามารถค้นหาตัวหารร่วมมาก (GCD) โดยไม่ต้องแยกตัวประกอบเป็นจำนวนเฉพาะ วิธีการหาตัวหารร่วมมากนี้มีอธิบายไว้ครั้งแรกในองค์ประกอบของยุคลิด มันถูกเรียกว่าอัลกอริทึมแบบยุคลิด ประกอบด้วยสิ่งต่อไปนี้ ขั้นแรก ให้หารจำนวนที่มากกว่าด้วยจำนวนที่น้อยกว่า ถ้าได้เศษมาให้หารจำนวนที่น้อยกว่าด้วยเศษ ถ้าได้เศษมาอีก ให้นำเศษแรกมาหารด้วยวินาที หารต่อด้วยวิธีนี้จนกว่าเศษที่เหลือจะเป็นศูนย์ ตัวหารสุดท้ายคือตัวหารร่วมมาก (GCD) ของตัวเลขเหล่านี้
กลับมาที่ตัวอย่างของเรา และเพื่อความชัดเจน ให้เขียนคำตอบในรูปแบบของตาราง
เงินปันผล | ตัวแบ่ง | ส่วนตัว | ที่เหลือ |
343 | 287 | 1 | 56 |
287 | 56 | 5 | 7 |
56 | 7 | 8 | 0 |
ดังนั้น gcd(344,287) = 7
จะค้นหาตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ของตัวเลขเดียวกันได้อย่างไร? มีวิธีใดบ้างที่ไม่จำเป็นต้องแยกตัวเลขเหล่านี้เป็นตัวประกอบเฉพาะก่อน? ปรากฎว่ามี และเป็นเรื่องง่ายมากในนั้น เราจำเป็นต้องคูณตัวเลขเหล่านี้และหารผลคูณด้วยตัวหารร่วมมาก (GCD) ที่เราพบ ใน ในตัวอย่างนี้ผลคูณของตัวเลขคือ 98441 หารด้วย 7 แล้วเราจะได้ตัวเลข 14063 LCM(343,287) = 14063
หัวข้อที่ยากอย่างหนึ่งในวิชาคณิตศาสตร์คือการแก้โจทย์ปัญหาคำศัพท์ เราจำเป็นต้องแสดงให้นักเรียนเห็นว่าแนวคิดของตัวหารร่วมมาก (GCD) และตัวคูณร่วมน้อย (LCM) สามารถใช้แก้ปัญหาที่บางครั้งแก้ไขได้ยากด้วยวิธีปกติได้อย่างไร เป็นการเหมาะสมที่จะพิจารณาร่วมกับนักเรียนพร้อมกับงานที่เสนอโดยผู้เขียนตำราเรียนของโรงเรียนโบราณและ งานบันเทิงพัฒนาความอยากรู้อยากเห็นของเด็กและเพิ่มความสนใจในการศึกษาหัวข้อนี้ การเรียนรู้แนวคิดเหล่านี้อย่างมีทักษะช่วยให้นักเรียนมองเห็นวิธีแก้ปัญหาที่สวยงามสำหรับปัญหาที่ไม่ได้มาตรฐาน และหากเด็กมีอารมณ์เพิ่มขึ้นหลังจากแก้ไขปัญหาได้ดี นี่ถือเป็นสัญญาณของความสำเร็จในการทำงาน
ดังนั้นการเรียนในโรงเรียนจึงมีแนวคิดเรื่อง “ตัวหารร่วมมาก (GCD)” และ “ตัวคูณร่วมน้อย (LCD)” ของตัวเลข
ช่วยให้คุณประหยัดเวลาที่กำหนดในการทำงานให้เสร็จสิ้นซึ่งนำไปสู่การเพิ่มขึ้นอย่างมากในปริมาณงานที่เสร็จสมบูรณ์
เพิ่มความเร็วและความแม่นยำในการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ซึ่งนำไปสู่การลดจำนวนข้อผิดพลาดในการคำนวณลงอย่างมาก
ช่วยให้คุณค้นหาวิธีที่สวยงามในการแก้ปัญหาข้อความที่ไม่ได้มาตรฐาน
พัฒนาความอยากรู้อยากเห็นของนักเรียน ขยายขอบเขตอันไกลโพ้นของพวกเขา
สร้างข้อกำหนดเบื้องต้นสำหรับการศึกษาบุคลิกภาพเชิงสร้างสรรค์ที่หลากหลาย
แลนซิโนวา ไอซ่า
ดาวน์โหลด:
ดูตัวอย่าง:
หากต้องการใช้ตัวอย่างการนำเสนอ ให้สร้างบัญชีสำหรับตัวคุณเอง ( บัญชี) Google และเข้าสู่ระบบ: https://accounts.google.com
คำอธิบายสไลด์:
ปัญหาเกี่ยวกับ GCD และ LCM ของตัวเลข งานของนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 ของ MCOU "โรงเรียนมัธยม Kamyshovskaya" Lantsinova Aisa หัวหน้างาน Zoya Erdnigoryaevna Goryaeva ครูคณิตศาสตร์ p. คามีเชโว, 2013
ตัวอย่างการหา gcd ของตัวเลข 50, 75 และ 325 1) ลองแยกตัวเลข 50, 75 และ 325 ให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙ 13 2) จากปัจจัยที่รวมอยู่ในการขยายของตัวเลขใดจำนวนหนึ่งเหล่านี้ เราจะขีดฆ่าจำนวนที่ไม่รวมอยู่ในการขยายของจำนวนอื่น ๆ . 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙13 3) ค้นหาผลคูณของปัจจัยที่เหลือ 5 ∙ 5 = 25 คำตอบ: GCD (50, 75 และ 325) = 25 ค่าธรรมชาติที่ใหญ่ที่สุด จำนวนที่เมื่อหารจำนวน a และ b โดยไม่มีเศษ ตัวหารร่วมมากของจำนวนเหล่านี้เรียกว่าตัวหารร่วมมากของจำนวนเหล่านี้
ตัวอย่างการหาค่า LCM ของตัวเลข 72, 99 และ 117 1) ลองแยกตัวเลข 72, 99 และ 117 ให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 99 = 3 ∙ 3 ∙ 11 117 = 3 ∙ 3 ∙13 2) เขียนปัจจัยที่รวมอยู่ในการขยายของหนึ่งในตัวเลข 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 และเพิ่มปัจจัยที่ขาดหายไปของตัวเลขที่เหลือ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 13 3) ค้นหาผลคูณของปัจจัยผลลัพธ์ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 13= 10296 คำตอบ: LCM (72, 99 และ 117) = 10296 ตัวคูณร่วมน้อย ตัวเลขธรรมชาติ a และ b ตั้งชื่อจำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุดซึ่งเป็นผลคูณของ a และ b
แผ่นกระดาษแข็งมีรูปร่างเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาว 48 ซม. และกว้าง 40 ซม. แผ่นนี้จะต้องตัดเป็นสี่เหลี่ยมเท่ากันโดยไม่เสียเปล่า ตารางงานนี้สามารถรับกำลังสองที่ใหญ่ที่สุดได้กี่ช่องและมีกี่ช่อง วิธีแก้ปัญหา: 1) S = a ∙ b – พื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า S= 48 ∙ 40 = 1960 ซม.² – พื้นที่กระดาษแข็ง 2) a – ด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัส 48: a – จำนวนสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สามารถวางได้ตามความยาวของกระดาษแข็ง 40: a – จำนวนสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สามารถวางขวางความกว้างของกระดาษแข็งได้ 3) GCD (40 และ 48) = 8 (ซม.) – ด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัส 4) S = a² – พื้นที่หนึ่งสี่เหลี่ยม S = 8² = 64 (cm²) – พื้นที่หนึ่งสี่เหลี่ยมจัตุรัส 5) 1960: 64 = 30 (จำนวนกำลังสอง) คำตอบ: 30 สี่เหลี่ยมด้านละ 8 ซม. ปัญหาจีซีดี
เตาผิงในห้องจะต้องปูกระเบื้องเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ต้องใช้กระเบื้องกี่แผ่นสำหรับเตาผิงขนาด 195 ͯ 156 ซม. และมีอะไรบ้าง? ขนาดที่ใหญ่ที่สุดกระเบื้อง? วิธีแก้ไข: 1) S = 196 ͯ 156 = 30420 (ซม.²) – S ของพื้นผิวเตาผิง 2) GCD (195 และ 156) = 39 (ซม.) – ด้านข้างกระเบื้อง 3) S = a² = 39² = 1521 (cm²) – พื้นที่ 1 แผ่น 4) 30420: = 20 (ชิ้น) คำตอบ: 20 แผ่น ขนาด 39 ͯ 39 (ซม.) ปัญหาจีซีดี
ต้องมีรั้วรอบพื้นที่สวนขนาด 54 ͯ 48 ม. โดยต้องวางเสาคอนกรีตเป็นระยะ ๆ จะต้องนำเสาจำนวนกี่ต้นมาติดตั้งในบริเวณนี้ และจะต้องวางเสาให้ห่างจากกันมากที่สุดเท่าใด วิธีแก้: 1) P = 2(a + b) – เส้นรอบรูปของพื้นที่ P = 2(54 + 48) = 204 ม. 2) GCD (54 และ 48) = 6 (ม.) – ระยะห่างระหว่างเสา 3) 204: 6 = 34 (เสาหลัก) ตอบ 34 เสา ระยะ 6 เมตร มีปัญหา GCD
ช่อดอกไม้ถูกรวบรวมจากกุหลาบเบอร์กันดี 210 ดอก สีขาว 126 ดอก และกุหลาบแดง 294 ดอก โดยแต่ละช่อประกอบด้วยดอกกุหลาบที่มีสีเดียวกันจำนวนเท่ากัน ที่ จำนวนมากที่สุดช่อดอกไม้ทำจากดอกกุหลาบเหล่านี้ และแต่ละช่อมีดอกกุหลาบสีละกี่ดอก? วิธีแก้ปัญหา: 1) GCD (210, 126 และ 294) = 42 (ช่อดอกไม้) 2) 210: 42 = 5 (กุหลาบเบอร์กันดี) 3) 126: 42 = 3 (กุหลาบขาว) 4) 294: 42 = 7 (กุหลาบแดง) คำตอบ: 42 ช่อ: 5 เบอร์กันดี, 3 สีขาว, กุหลาบแดง 7 ดอกในแต่ละช่อ ปัญหาจีซีดี
Tanya และ Masha ซื้อชุดไปรษณีย์จำนวนเท่ากัน ทันย่าจ่าย 90 รูเบิลและ Masha จ่าย 5 รูเบิล มากกว่า. หนึ่งชุดราคาเท่าไหร่คะ? แต่ละคนซื้อกี่ชุด? วิธีแก้ปัญหา: 1) 90 + 5 = 95 (ถู.) Masha จ่ายแล้ว 2) GCD (90 และ 95) = 5 (รูเบิล) – ราคา 1 ชุด 3) 980: 5 = 18 (ชุด) – ซื้อโดย Tanya 4) 95: 5 = 19 (ชุด) – ซื้อโดย Masha คำตอบ: 5 รูเบิล 18 ชุด 19 ชุด ปัญหาจีซีดี
การเดินทางด้วยเรือท่องเที่ยวสามครั้งเริ่มต้นที่เมืองท่า ครั้งแรกใช้เวลา 15 วัน ครั้งที่สอง - 20 วัน และที่สาม - 12 วัน เมื่อกลับถึงท่าเรือแล้ว เรือก็ออกเดินทางอีกครั้งในวันเดียวกัน วันนี้เรือออกจากท่าเรือทั้งสามเส้นทาง พวกเขาจะออกเรือด้วยกันครั้งแรกอีกกี่วัน? เรือแต่ละลำจะเดินทางได้กี่เที่ยว? วิธีแก้ไข: 1) NOC (15,20 และ 12) = 60 (วัน) – เวลาประชุม 2) 60: 15 = 4 (การเดินทาง) – 1 ลำ 3) 60: 20 = 3 (การเดินทาง) – 2 ลำ 4) 60: 12 = 5 (เที่ยวบิน) – 3 ลำ คำตอบ: 60 วัน 4 เที่ยวบิน 3 เที่ยวบิน 5 เที่ยวบิน งาน NOC
Masha ซื้อไข่ให้หมีที่ร้าน ระหว่างทางไปป่า เธอพบว่าจำนวนไข่หารด้วย 2,3,5,10 และ 15 ลงตัว Masha ซื้อไข่กี่ฟอง? วิธีแก้ปัญหา: LOC (2;3;5;10;15) = 30 (ไข่) คำตอบ: Masha ซื้อไข่ 30 ฟอง งาน NOC
จำเป็นต้องทำกล่องที่มีก้นสี่เหลี่ยมเพื่อรองรับกล่องขนาด 16 ͯ 20 ซม. ด้านที่สั้นที่สุดของก้นสี่เหลี่ยมควรเป็นเท่าใดจึงจะใส่กล่องให้แน่นเข้ากับกล่องได้ วิธีแก้ปัญหา: 1) LCM (16 และ 20) = 80 (กล่อง) 2) S = a ∙ b – พื้นที่ 1 กล่อง S = 16 ∙ 20 = 320 (cm²) – พื้นที่ด้านล่างของ 1 กล่อง 3) 320 ∙ 80 = 25600 (cm²) – พื้นที่ฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส 4) S = a² = a ∙ a 25600 = 160 ∙ 160 – ขนาดของกล่อง คำตอบ: 160 ซม. คือด้านข้างของฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส งาน NOC
ริมถนนจากจุด K จะมีเสาไฟฟ้าทุก ๆ 45 ม. พวกเขาตัดสินใจเปลี่ยนเสาเหล่านี้ด้วยเสาอื่นโดยตั้งให้ห่างจากกัน 60 ม. มีเสากี่ต้นและจะมีกี่เสา? วิธีแก้ปัญหา: 1) LCM (45 และ 60) = 180 2) 180: 45 = 4 – มีเสาหลักอยู่ 3) 180: 60 = 3 – กลายเป็นเสาหลัก คำตอบ: 4 เสา 3 เสา งาน NOC
ถ้าเดินขบวนเป็นแถว 12 คน แล้วเปลี่ยนเป็นแถวเรียงเป็นแถว 18 คน จะมีทหารกี่นายที่เดินสวนสนาม? วิธีแก้ปัญหา: 1) NOC (12 และ 18) = 36 (คน) - เดินขบวน คำตอบ: 36 คน งาน NOC
ตัวหารร่วมมากและตัวคูณร่วมน้อยเป็นแนวคิดหลักทางคณิตศาสตร์ที่ช่วยให้คุณดำเนินการได้อย่างง่ายดาย เศษส่วนสามัญ- LCM และมักใช้เพื่อค้นหาตัวส่วนร่วมของเศษส่วนหลายตัว
แนวคิดพื้นฐาน
ตัวหารของจำนวนเต็ม X คือจำนวนเต็ม Y อีกจำนวนหนึ่ง โดยที่ X หารกันโดยไม่เหลือเศษ ตัวอย่างเช่น ตัวหารของ 4 คือ 2 และ 36 คือ 4, 6, 9 ผลคูณของจำนวนเต็ม X คือตัวเลข Y ที่หารด้วย X ลงตัวโดยไม่มีเศษ ตัวอย่างเช่น 3 เป็นผลคูณของ 15 และ 6 เป็นผลคูณของ 12
สำหรับคู่ตัวเลขใดๆ เราสามารถหาตัวหารร่วมและตัวคูณได้ ตัวอย่างเช่น สำหรับ 6 และ 9 ตัวคูณร่วมคือ 18 และตัวหารร่วมคือ 3 แน่นอนว่าคู่สามารถมีตัวหารและตัวคูณได้หลายตัว ดังนั้นการคำนวณจึงใช้ GCD ตัวหารที่ใหญ่ที่สุดและ LCM ตัวคูณที่เล็กที่สุด
ตัวหารที่น้อยที่สุดนั้นไม่มีความหมาย เนื่องจากสำหรับจำนวนใดๆ ก็ตามจะเป็นหนึ่งเสมอ ผลคูณที่ยิ่งใหญ่ที่สุดก็ไม่มีความหมายเช่นกัน เนื่องจากลำดับของผลคูณไปจนถึงค่าอนันต์
กำลังค้นหา gcd
มีหลายวิธีในการค้นหาตัวหารร่วมมาก วิธีที่มีชื่อเสียงที่สุดคือ:
- การค้นหาตัวหารตามลำดับ การเลือกตัวร่วมสำหรับคู่ และค้นหาตัวที่ใหญ่ที่สุด
- การสลายตัวของตัวเลขเป็นปัจจัยที่แบ่งแยกไม่ได้
- อัลกอริธึมแบบยุคลิด;
- อัลกอริธึมไบนารี
วันนี้ที่ สถาบันการศึกษาวิธีที่นิยมมากที่สุดคือวิธีการแยกตัวประกอบเฉพาะและอัลกอริทึมแบบยุคลิด ในทางกลับกันจะใช้เมื่อแก้สมการไดโอแฟนไทน์: จำเป็นต้องค้นหา GCD เพื่อตรวจสอบสมการเพื่อหาความเป็นไปได้ในการแก้ไขเป็นจำนวนเต็ม
การค้นหา NOC
ตัวคูณร่วมน้อยยังถูกกำหนดโดยการแจงนับตามลำดับหรือการแยกตัวประกอบให้เป็นตัวประกอบที่หารไม่ได้ นอกจากนี้ยังง่ายต่อการค้นหา LCM หากได้กำหนดตัวหารที่ยิ่งใหญ่ที่สุดแล้ว สำหรับตัวเลข X และ Y นั้น LCM และ GCD มีความสัมพันธ์กันโดยความสัมพันธ์ต่อไปนี้:
จอแอลซีดี(X,Y) = X × Y / GCD(X,Y)
ตัวอย่างเช่น ถ้า GCM(15,18) = 3 แล้ว LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90 ตัวอย่างที่ชัดเจนที่สุดของการใช้ LCM คือการหาตัวส่วนร่วมซึ่งเป็นตัวคูณร่วมน้อยของ เศษส่วนที่กำหนด
ตัวเลขโคไพรม์
ถ้าคู่ของตัวเลขไม่มีตัวหารร่วมกัน คู่ดังกล่าวจะเรียกว่าโคไพรม์ gcd สำหรับคู่ดังกล่าวจะเท่ากับ 1 เสมอ และขึ้นอยู่กับความสัมพันธ์ระหว่างตัวหารและตัวคูณ gcd สำหรับคู่โคไพรม์จะเท่ากับผลคูณของตัวหาร ตัวอย่างเช่น จำนวน 25 และ 28 ค่อนข้างเป็นจำนวนเฉพาะ เนื่องจากไม่มีตัวหารร่วม และ LCM(25, 28) = 700 ซึ่งสอดคล้องกับผลคูณของจำนวนนั้น จำนวนที่แบ่งแยกไม่ได้สองตัวใดๆ จะเป็นจำนวนเฉพาะเสมอ
ตัวหารร่วมและเครื่องคิดเลขหลายตัว
การใช้เครื่องคิดเลขของเราทำให้คุณสามารถคำนวณ GCD และ LCM เพื่อให้ได้ตัวเลขต่างๆ ให้เลือก งานในการคำนวณตัวหารร่วมและตัวคูณพบได้ในเลขคณิตเกรด 5 และ 6 แต่ GCD และ LCM เป็น แนวคิดหลักคณิตศาสตร์และใช้ในทฤษฎีจำนวน ระนาบ และพีชคณิตเชิงการสื่อสาร
ตัวอย่างชีวิตจริง
ตัวส่วนร่วมของเศษส่วน
ตัวคูณร่วมน้อยใช้ในการค้นหาตัวส่วนร่วมของเศษส่วนหลายตัว ให้เข้า ปัญหาทางคณิตศาสตร์คุณต้องรวมเศษส่วน 5 ตัว:
1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.
ในการบวกเศษส่วน นิพจน์ต้องถูกลดให้เป็นตัวส่วนร่วม ซึ่งจะช่วยลดปัญหาในการหา LCM เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เลือกตัวเลข 5 ตัวในเครื่องคิดเลขและป้อนค่าของตัวส่วนในเซลล์ที่เกี่ยวข้อง โปรแกรมจะคำนวณ LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360 ตอนนี้คุณต้องคำนวณตัวประกอบเพิ่มเติมสำหรับแต่ละเศษส่วนซึ่งกำหนดเป็นอัตราส่วนของ LCM ต่อตัวส่วน ดังนั้นตัวคูณเพิ่มเติมจะมีลักษณะดังนี้:
- 360/8 = 45
- 360/9 = 40
- 360/12 = 30
- 360/15 = 24
- 360/18 = 20.
หลังจากนั้น เราคูณเศษส่วนทั้งหมดด้วยตัวประกอบเพิ่มเติมที่เกี่ยวข้องแล้วได้:
45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.
เราสามารถรวมเศษส่วนดังกล่าวได้อย่างง่ายดายแล้วได้ผลลัพธ์เป็น 159/360 เราลดเศษส่วนลง 3 และดูคำตอบสุดท้าย - 53/120
การแก้สมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้น
สมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้นคือนิพจน์ในรูปแบบ ax + by = d ถ้าอัตราส่วน d / gcd(a, b) เป็นจำนวนเต็ม สมการก็จะแก้ได้ในจำนวนเต็ม ลองตรวจสอบสมการสองสามสมการเพื่อดูว่าสมการเหล่านี้มีค่าเฉลยเป็นจำนวนเต็มหรือไม่ ก่อนอื่น ลองตรวจสอบสมการ 150x + 8y = 37 เมื่อใช้เครื่องคิดเลข เราจะพบว่า GCD (150.8) = 2 หาร 37/2 = 18.5 ตัวเลขไม่ใช่จำนวนเต็ม ดังนั้นสมการจึงไม่มีรากของจำนวนเต็ม
ลองตรวจสอบสมการ 1320x + 1760y = 10120 ใช้เครื่องคิดเลขหา GCD(1320, 1760) = 440 หาร 10120/440 = 23 ผลลัพธ์ที่ได้คือจำนวนเต็ม ดังนั้น สมการไดโอแฟนไทน์จึงแก้ได้ด้วยสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม .
บทสรุป
GCD และ LCM มีบทบาทสำคัญในทฤษฎีจำนวน และแนวความคิดเองก็มีการใช้กันอย่างแพร่หลายในสาขาคณิตศาสตร์ที่หลากหลาย ใช้เครื่องคิดเลขของเราคำนวณตัวหารที่มากที่สุดและผลคูณน้อยที่สุดของจำนวนตัวเลขใดๆ ก็ได้
ตัวหารหลายตัว
ลองพิจารณาปัญหาต่อไปนี้: ค้นหาตัวหารของตัวเลข 140 แน่นอนว่าตัวเลข 140 ไม่มีตัวหารเพียงตัวเดียวแต่มีหลายตัว ในกรณีเช่นนี้มีการกล่าวถึงปัญหา มากมายการตัดสินใจ มาหาพวกเขาทั้งหมดกันเถอะ ก่อนอื่น ลองแยกจำนวนนี้เป็นปัจจัยง่ายๆ:
140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7.
ตอนนี้เราสามารถเขียนตัวหารทั้งหมดได้อย่างง่ายดาย. เริ่มจากปัจจัยหลักกันก่อน นั่นคือปัจจัยที่มีอยู่ในส่วนขยายที่ระบุข้างต้น:
จากนั้นเราเขียนสิ่งที่ได้จากการคูณตัวหารเฉพาะเป็นคู่:
2∙2 = 4, 2∙5 = 10, 2∙7 = 14, 5∙7 = 35.
จากนั้น - ตัวที่มีตัวหารเฉพาะสามตัว:
2∙2∙5 = 20, 2∙2∙7 = 28, 2∙5∙7 = 70.
สุดท้ายนี้ อย่าลืมหน่วยและจำนวนที่สลายตัวด้วย:
ตัวหารทั้งหมดที่เราพบมีรูปแบบ มากมายตัวหารของตัวเลข 140 ซึ่งเขียนด้วยเครื่องหมายปีกกา:
เซตตัวหารของตัวเลข 140 =
{1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.
เพื่อความสะดวกในการรับรู้ เราได้เขียนตัวหารไว้ที่นี่ ( องค์ประกอบของชุด) ตามลำดับจากน้อยไปหามาก แต่โดยทั่วไปแล้ว สิ่งนี้ไม่จำเป็น นอกจากนี้เรายังแนะนำตัวย่อสัญกรณ์ แทนที่จะเขียนว่า “เซตตัวหารของตัวเลข 140” เราจะเขียนเป็น “D(140)” ดังนั้น,
ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถค้นหาเซตตัวหารของจำนวนธรรมชาติอื่นๆ ได้ เช่นจากการย่อยสลาย
105 = 3 ∙ 5 ∙ 7
เราได้รับ:
ง(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105)
จากเซตของตัวหารทั้งหมด ควรแยกเซตของตัวหารอย่างง่าย ซึ่งสำหรับตัวเลข 140 และ 105 จะเท่ากันตามลำดับ:
PD(140) = (2, 5, 7)
PD(105) = (3, 5, 7)
ควรเน้นเป็นพิเศษว่าในการสลายตัวของจำนวน 140 ไปเป็นปัจจัยเฉพาะ ทั้งสองจะปรากฏขึ้นสองครั้ง ในขณะที่ในชุด PD(140) มีเพียงตัวเดียวเท่านั้น โดยพื้นฐานแล้ว เซตของ PD(140) คือคำตอบของปัญหาทั้งหมด: “จงหาตัวประกอบเฉพาะของจำนวน 140” เป็นที่ชัดเจนว่าไม่ควรตอบคำตอบเดียวกันซ้ำมากกว่าหนึ่งครั้ง
การลดเศษส่วน ตัวหารร่วมมาก
พิจารณาเศษส่วน
เรารู้ว่าเศษส่วนนี้สามารถลดลงได้ด้วยตัวเลขที่เป็นทั้งตัวหารของตัวเศษ (105) และตัวหารของตัวส่วน (140) มาดูเซต D(105) และ D(140) แล้วเขียนองค์ประกอบร่วมของมันกัน
ง(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105);
ด(140) = (1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140)
องค์ประกอบทั่วไปของเซต D(105) และ D(140) =
ความเสมอภาคสุดท้ายสามารถเขียนให้สั้นลงได้ กล่าวคือ:
ง(105) ∩ ง(140) = (1, 5, 7, 35)
ไอคอนพิเศษ “∩” (“กระเป๋าที่มีรูอยู่ด้านล่าง”) บ่งบอกว่าจากสองชุดที่เขียนไว้ด้านตรงข้ามกัน ต้องเลือกเฉพาะองค์ประกอบทั่วไปเท่านั้น รายการ “D(105) ∩ D(140)” อ่านว่า “ จุดตัดชุดของ De จาก 105 และ De จาก 140”
[หมายเหตุตลอดทางว่าคุณสามารถดำเนินการไบนารี่ต่างๆ ด้วยเซตได้ เกือบจะเหมือนกับตัวเลข การดำเนินการไบนารีทั่วไปอีกอย่างหนึ่งคือ สมาคมซึ่งระบุด้วยไอคอน “∪” (“กระเป๋าโดยหงายรูขึ้น”) การรวมกันของสองชุดประกอบด้วยองค์ประกอบทั้งหมดของทั้งสองชุด:
PD(105) = (3, 5, 7);
PD(140) = (2, 5, 7);
พีดี(105) ∪ พีดี(140) = (2, 3, 5, 7) -
เราจึงพบว่าเศษส่วน
สามารถลดจำนวนลงด้วยตัวเลขใดๆ ที่อยู่ในเซตได้
ง(105) ∩ ง(140) = (1, 5, 7, 35)
และไม่สามารถลดลงเป็นจำนวนธรรมชาติอื่นได้ นั่นคือทั้งหมดที่ วิธีที่เป็นไปได้คำย่อ (ยกเว้นคำย่อที่ไม่น่าสนใจโดยหนึ่ง):
แน่นอนว่า วิธีที่ดีที่สุดคือการลดเศษส่วนด้วยจำนวนที่มีขนาดใหญ่ที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ ในกรณีนี้คือเลข 35 ซึ่งว่ากันว่าเป็น ตัวหารร่วมมาก (จีซีดี) หมายเลข 105 และ 140 เขียนว่า
กซีดี(105, 140) = 35.
อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติ หากเราได้รับตัวเลขสองตัวมาและจำเป็นต้องหาตัวหารร่วมมากของพวกมัน เราไม่ควรสร้างเซตใดๆ เลย ก็เพียงพอแล้วที่จะแยกตัวเลขทั้งสองออกเป็นปัจจัยเฉพาะและเน้นปัจจัยเหล่านี้ซึ่งพบได้ทั่วไปในการสลายตัวทั้งสอง เช่น:
105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;
140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .
การคูณตัวเลขที่ขีดเส้นใต้ (ในส่วนขยายใดๆ) เราจะได้:
gcd(105, 140) = 5 ∙ 7 = 35.
แน่นอนว่าอาจมีปัจจัยที่ขีดเส้นใต้ไว้มากกว่า 2 ปัจจัย:
168 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7;
396 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11.
จากนี้ก็ชัดเจนว่า
gcd(168, 396) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.
สถานการณ์นี้สมควรได้รับการกล่าวถึงเป็นพิเศษเมื่อไม่มีปัจจัยร่วมกันเลยและไม่มีอะไรต้องเน้น เช่น:
42 = 2 ∙ 3 ∙ 7;
ในกรณีนี้
GCD(42, 55) = 1.
เรียกจำนวนธรรมชาติสองตัวที่ GCD เท่ากับหนึ่ง สำคัญซึ่งกันและกัน- หากคุณสร้างเศษส่วนจากตัวเลขดังกล่าว เช่น
แล้วเศษส่วนนั้นก็คือ ลดไม่ได้.
โดยทั่วไป กฎการลดเศษส่วนสามารถเขียนได้ดังนี้:
ก/ gcd( ก, ข) |
|||
ข/ gcd( ก, ข) |
นี่ก็สันนิษฐานว่า กและ ขเป็นจำนวนธรรมชาติ และเศษส่วนทั้งหมดเป็นบวก หากตอนนี้เราเพิ่มเครื่องหมายลบทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกัน เราจะได้กฎที่สอดคล้องกันสำหรับเศษส่วนลบ
การบวกและการลบเศษส่วน ตัวคูณร่วมน้อย
สมมติว่าคุณต้องคำนวณผลรวมของเศษส่วนสองส่วน:
เรารู้แล้วว่าตัวส่วนถูกแยกตัวประกอบเป็นปัจจัยเฉพาะอย่างไร:
105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;
140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .
จากการสลายตัวนี้จะตามมาทันทีเพื่อที่จะนำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วม ก็เพียงพอที่จะคูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วนแรกด้วย 2 ∙ 2 (ผลคูณของตัวประกอบเฉพาะที่ไม่เน้นของตัวส่วนที่สอง) และ ตัวเศษและส่วนของเศษส่วนที่สองด้วย 3 (“ผลคูณ” ตัวประกอบเฉพาะที่ไม่เน้นความเครียดของตัวส่วนแรก) เป็นผลให้ตัวส่วนของเศษส่วนทั้งสองจะเท่ากับตัวเลขซึ่งสามารถแสดงได้ดังนี้:
2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 105 ∙ 2 ∙ 2 = 140 ∙ 3 = 420.
จะสังเกตได้ง่ายว่าทั้งตัวส่วนดั้งเดิม (ทั้ง 105 และ 140) เป็นตัวหารของตัวเลข 420 และตัวเลข 420 ก็เป็นจำนวนทวีคูณของตัวส่วนทั้งสอง - และไม่ใช่แค่ตัวคูณเท่านั้น ตัวคูณร่วมน้อย (NOC) หมายเลข 105 และ 140 เขียนดังนี้:
ล.ซม.(105, 140) = 420.
เมื่อพิจารณาการสลายตัวของตัวเลข 105 และ 140 ให้ละเอียดยิ่งขึ้น เราจะเห็นเช่นนั้น
105 ∙ 140 = GCD(105, 140) ∙ GCD(105, 140)
ในทำนองเดียวกัน สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ ขและ ง:
ข ∙ ง= ล็อค( ข, ง) ∙ GCD( ข, ง).
ทีนี้มาสรุปผลรวมเศษส่วนของเรากัน:
3 ∙ 5 ∙ 7 |
2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 |
2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 |
2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 |
2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 |
2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 |
2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 |
บันทึก.ในการแก้ปัญหาบางอย่าง คุณต้องรู้ว่ากำลังสองของตัวเลขคืออะไร ยกกำลังสองตัวเลข กหมายเลขที่เรียก กคูณด้วยตัวมันเองนั่นคือ ก∙ก- (ตามที่สังเกตง่ายจะเท่ากับพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านข้าง ก). |