ค้นหาสมการของเส้นสัมผัสกันกับเส้นขนาน เครื่องคิดเลขออนไลน์
Y = f(x) และหาก ณ จุดนี้ สามารถวาดแทนเจนต์ให้กับกราฟของฟังก์ชันที่ไม่ตั้งฉากกับแกนแอบซิสซาได้ ความลาดชันแทนเจนต์เท่ากับ f "(a) เราได้ใช้สิ่งนี้มาหลายครั้งแล้ว ตัวอย่างเช่นใน§ 33 เป็นที่ยอมรับว่ากราฟของฟังก์ชัน y = sin x (ไซนัสอยด์) ที่จุดกำเนิดสร้างมุม 45° ด้วย แกนแอบซิสซา (แม่นยำกว่านั้น แทนเจนต์ของกราฟที่จุดกำเนิดของพิกัดทำให้มุม 45° กับทิศทางบวกของแกน x) และในตัวอย่างนี้ พบ 5 § 33 จุดบนกราฟของค่าที่กำหนด ฟังก์ชั่นโดยที่แทนเจนต์ขนานกับแกน x ในตัวอย่างที่ 2 ของ§ 33 สมการถูกวาดขึ้นสำหรับแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน y = x 2 ที่จุด x = 1 (แม่นยำยิ่งขึ้นที่จุด (1; 1) แต่บ่อยครั้งที่ค่า abscissa เท่านั้นคือ โดยเชื่อว่าถ้ารู้ค่าแอบซิสซา ก็จะหาค่าพิกัดได้จากสมการ y = f(x)) ในส่วนนี้ เราจะพัฒนาอัลกอริทึมสำหรับเขียนสมการแทนเจนต์ให้กับกราฟของฟังก์ชันใดๆ
ให้ฟังก์ชัน y = f(x) และจุด M (a; f(a)) ถูกกำหนดไว้ และเป็นที่รู้กันว่ามี f"(a) อยู่ ให้เราเขียนสมการสำหรับแทนเจนต์กับกราฟของ a ฟังก์ชันที่กำหนด ณ จุดที่กำหนด สมการนี้เปรียบเสมือนสมการของเส้นตรงใดๆ ที่ไม่ขนานกับแกนพิกัด มีรูปแบบ y = kx+m ดังนั้น ภารกิจคือหาค่าสัมประสิทธิ์ k และ m
ไม่มีปัญหากับสัมประสิทธิ์เชิงมุม k: เรารู้ว่า k = f "(a) ในการคำนวณค่า m เราใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าเส้นตรงที่ต้องการผ่านจุด M(a; f (a)) ซึ่งหมายความว่าหากเราแทนที่พิกัดจุด M ลงในสมการของเส้นตรง เราจะได้ความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง: f(a) = ka+m ซึ่งเราจะพบว่า m = f(a) - ka
มันยังคงทดแทนค่าที่พบของสัมประสิทธิ์ชุดอุปกรณ์เข้าไป สมการตรง:
เราได้สมการแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) ที่จุด x=a แล้ว
ถ้าพูดว่า
แทนที่ค่าที่พบ a = 1, f(a) = 1 f"(a) = 2 ลงในสมการ (1) เราได้รับ: y = 1+2(x-f) เช่น y = 2x-1
เปรียบเทียบผลลัพธ์นี้กับผลลัพธ์ที่ได้รับในตัวอย่างที่ 2 จากมาตรา 33 โดยธรรมชาติแล้วสิ่งเดียวกันก็เกิดขึ้น
เรามาสร้างสมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน y = tan x ที่จุดกำเนิดกันดีกว่า เรามี: นี่หมายถึง cos x f"(0) = 1 การแทนที่ค่าที่พบ a = 0, f(a) = 0, f"(a) = 1 ลงในสมการ (1) เราได้รับ: y = x
นั่นคือเหตุผลที่เราวาดแทนเจนตอยด์ในมาตรา 15 (ดูรูปที่ 62) ผ่านจุดกำเนิดของพิกัดที่มุม 45° ถึงแกนแอบซิสซา
แก้ปัญหาเหล่านี้ให้เพียงพอ ตัวอย่างง่ายๆจริงๆ แล้วเราใช้อัลกอริธึมบางอย่างซึ่งมีอยู่ในสูตร (1) มาทำให้อัลกอริทึมนี้ชัดเจนกัน
อัลกอริธึมสำหรับการพัฒนาสมการแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน y = f(x)
1) กำหนด abscissa ของจุดสัมผัสกันด้วยตัวอักษร a
2) คำนวณ 1 (a)
3) ค้นหา f"(x) และคำนวณ f"(a)
4) แทนตัวเลขที่พบ a, f(a), (a) ลงในสูตร (1)
ตัวอย่างที่ 1เขียนสมการแทนเจนต์ให้กับกราฟของฟังก์ชันที่จุด x = 1
ให้เราใช้อัลกอริธึมโดยคำนึงถึงสิ่งนั้นด้วย ในตัวอย่างนี้
ในรูป 126 วาดไฮเปอร์โบลา สร้างเส้นตรง y = 2
ภาพวาดยืนยันการคำนวณข้างต้น: แน่นอนว่าเส้น y = 2 แตะไฮเปอร์โบลาที่จุด (1; 1)
คำตอบ: y = 2- x
ตัวอย่างที่ 2วาดเส้นสัมผัสกันกับกราฟของฟังก์ชันเพื่อให้ขนานกับเส้นตรง y = 4x - 5
ให้เราชี้แจงการกำหนดปัญหา ข้อกำหนดในการ "วาดเส้นสัมผัสกัน" มักจะหมายถึง "การสร้างสมการสำหรับเส้นสัมผัสกัน" นี่เป็นตรรกะ เพราะหากบุคคลหนึ่งสามารถสร้างสมการแทนเจนต์ได้ เขาก็จะไม่มีปัญหาในการสร้างสมการแทนเจนต์ ประสานงานเครื่องบินเส้นตรงตามสมการของเธอ
ลองใช้อัลกอริธึมในการเขียนสมการแทนเจนต์โดยคำนึงว่าในตัวอย่างนี้ แต่มีความคลุมเครือไม่เหมือนกับตัวอย่างก่อนหน้านี้: ไม่มีการระบุ abscissa ของจุดแทนเจนต์อย่างชัดเจน
เรามาเริ่มคิดแบบนี้กันดีกว่า แทนเจนต์ที่ต้องการจะต้องขนานกับเส้นตรง y = 4x-5 เส้นตรงสองเส้นจะขนานกันก็ต่อเมื่อความชันเท่ากันเท่านั้น ซึ่งหมายความว่าค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของแทนเจนต์จะต้องเท่ากับค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรงที่กำหนด: ดังนั้น เราสามารถหาค่าของ a ได้จากสมการ f"(a) = 4
เรามี:
จากสมการ หมายความว่า มีแทนเจนต์สองตัวที่ตรงตามเงื่อนไขของปัญหา: ตัวหนึ่งอยู่ที่จุด Abscissa 2 และอีกตัวอยู่ที่จุด Abscissa -2
ตอนนี้คุณสามารถปฏิบัติตามอัลกอริทึมได้แล้ว
ตัวอย่างที่ 3จากจุด (0; 1) วาดเส้นสัมผัสกันไปที่กราฟของฟังก์ชัน
ลองใช้อัลกอริธึมในการเขียนสมการแทนเจนต์ โดยในตัวอย่างนี้ โปรดทราบว่าตัวอย่างที่ 2 จะไม่มีการระบุค่า Abscissa ของจุดแทนเจนต์อย่างชัดเจน อย่างไรก็ตาม เราปฏิบัติตามอัลกอริธึม
ตามเงื่อนไข แทนเจนต์จะผ่านจุด (0; 1) แทนค่า x = 0, y = 1 ลงในสมการ (2) เราได้รับ:
ดังที่คุณเห็นในตัวอย่างนี้ เฉพาะในขั้นตอนที่สี่ของอัลกอริธึมเท่านั้นที่เราจัดการเพื่อค้นหา abscissa ของจุดสัมผัสกัน แทนค่า a =4 ลงในสมการ (2) เราได้รับ:
ในรูป 127 นำเสนอภาพประกอบทางเรขาคณิตของตัวอย่างที่พิจารณา: กราฟของฟังก์ชันถูกลงจุด
ในมาตรา 32 เราตั้งข้อสังเกตว่าสำหรับฟังก์ชัน y = f(x) ที่มีอนุพันธ์ที่จุดคงที่ x ความเท่าเทียมกันโดยประมาณนั้นใช้ได้:
เพื่อความสะดวกในการให้เหตุผลเพิ่มเติม ให้เราเปลี่ยนสัญกรณ์: แทนที่จะเป็น x เราจะเขียน a แทนที่จะเขียน x และดังนั้น แทนที่จะเขียน เราจะเขียน x-a จากนั้นความเท่าเทียมกันโดยประมาณที่เขียนไว้ด้านบนจะอยู่ในรูปแบบ:
ตอนนี้ดูรูป 128. แทนเจนต์ถูกวาดไปที่กราฟของฟังก์ชัน y = f(x) ที่จุด M (a; f (a)) จุด x ถูกทำเครื่องหมายไว้บนแกน x ใกล้กับ a เห็นได้ชัดว่า f(x) คือลำดับของกราฟของฟังก์ชันที่จุด x ที่ระบุ f(a) + f"(a) (x-a) คืออะไร นี่คือพิกัดของแทนเจนต์ที่สอดคล้องกับจุดเดียวกัน x - ดูสูตร (1) ความหมายของความเท่าเทียมกันโดยประมาณ (3) คืออะไร? ความจริง ในการคำนวณค่าประมาณของฟังก์ชันให้นำค่าพิกัดของแทนเจนต์
ตัวอย่างที่ 4ค้นหาค่าโดยประมาณของนิพจน์ตัวเลข 1.02 7
มันเป็นเรื่องของเกี่ยวกับการหาค่าของฟังก์ชัน y = x 7 ที่จุด x = 1.02 ให้เราใช้สูตร (3) โดยคำนึงถึงสิ่งนั้นในตัวอย่างนี้
เป็นผลให้เราได้รับ:
หากเราใช้เครื่องคิดเลข เราจะได้: 1.02 7 = 1.148685667...
อย่างที่คุณเห็นความแม่นยำในการประมาณนั้นค่อนข้างยอมรับได้
คำตอบ: 1,02 7 =1,14.
เอ.จี. พีชคณิต Mordkovich ชั้นประถมศึกษาปีที่ 10
การวางแผนตามปฏิทินในวิชาคณิตศาสตร์ วิดีโอในวิชาคณิตศาสตร์ออนไลน์ ดาวน์โหลดคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน
เนื้อหาบทเรียน บันทึกบทเรียนสนับสนุนวิธีการเร่งความเร็วการนำเสนอบทเรียนแบบเฟรมเทคโนโลยีเชิงโต้ตอบ ฝึกฝน งานและแบบฝึกหัด การทดสอบตัวเอง เวิร์คช็อป การฝึกอบรม กรณีศึกษา ภารกิจ การบ้าน การอภิปราย คำถาม คำถามวาทศิลป์จากนักเรียน ภาพประกอบ เสียง คลิปวิดีโอ และมัลติมีเดียภาพถ่าย รูปภาพ กราฟิก ตาราง แผนภาพ อารมณ์ขัน เกร็ดเล็กเกร็ดน้อย เรื่องตลก การ์ตูน อุปมา คำพูด ปริศนาอักษรไขว้ คำพูด ส่วนเสริม บทคัดย่อบทความ เคล็ดลับสำหรับเปล ตำราเรียนขั้นพื้นฐาน และพจนานุกรมคำศัพท์เพิ่มเติมอื่นๆ การปรับปรุงตำราเรียนและบทเรียนแก้ไขข้อผิดพลาดในตำราเรียนอัปเดตชิ้นส่วนในตำราเรียน องค์ประกอบของนวัตกรรมในบทเรียน แทนที่ความรู้ที่ล้าสมัยด้วยความรู้ใหม่ สำหรับครูเท่านั้น บทเรียนที่สมบูรณ์แบบแผนปฏิทินสำหรับปี หลักเกณฑ์โปรแกรมการอภิปราย บทเรียนบูรณาการบทความนี้ให้คำอธิบายโดยละเอียดเกี่ยวกับคำจำกัดความ ความหมายทางเรขาคณิตอนุพันธ์ที่มีสัญกรณ์กราฟิก เราจะพิจารณาสมการของเส้นสัมผัสกันด้วยตัวอย่าง โดยจะพบสมการของเส้นโค้งสัมผัสถึงลำดับที่ 2
Yandex.RTB R-A-339285-1 คำจำกัดความ 1
มุมเอียงของเส้นตรง y = k x + b เรียกว่ามุม α ซึ่งวัดจากทิศทางบวกของแกน x ไปยังเส้นตรง y = k x + b ในทิศทางบวก
ในภาพ ทิศทาง x ระบุด้วยลูกศรสีเขียวและส่วนโค้งสีเขียว และมุมเอียงระบุด้วยส่วนโค้งสีแดง เส้นสีน้ำเงินหมายถึงเส้นตรง
คำจำกัดความ 2
ความชันของเส้นตรง y = k x + b เรียกว่าสัมประสิทธิ์ตัวเลข k
ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมเท่ากับแทนเจนต์ของเส้นตรง หรืออีกนัยหนึ่งคือ k = t g α
- มุมเอียงของเส้นตรงจะเท่ากับ 0 ก็ต่อเมื่อมันขนานกันประมาณ x และความชันเท่ากับศูนย์ เพราะแทนเจนต์ของศูนย์เท่ากับ 0 ซึ่งหมายความว่ารูปแบบของสมการจะเป็น y = b
- หากมุมเอียงของเส้นตรง y = k x + b เป็นแบบเฉียบพลันแสดงว่าเงื่อนไข 0 เป็นไปตามนั้น< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0 และกราฟเพิ่มขึ้น
- ถ้า α = π 2 ตำแหน่งของเส้นตรงจะตั้งฉากกับ x ความเท่าเทียมกันระบุโดย x = c โดยค่า c เป็นจำนวนจริง
- ถ้ามุมเอียงของเส้นตรง y = k x + b ป้าน มันจะสอดคล้องกับเงื่อนไข π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает ความหมายเชิงลบและกราฟกำลังลดลง
เส้นตัดคือเส้นที่ลากผ่าน 2 จุดของฟังก์ชัน f (x) กล่าวอีกนัยหนึ่ง เส้นตัดเป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุดใดๆ บนกราฟของฟังก์ชันที่กำหนด
รูปนี้แสดงว่า A B คือเส้นตัดมุม และ f (x) คือเส้นโค้งสีดำ ส่วน α คือเส้นโค้งสีแดง ซึ่งแสดงถึงมุมเอียงของเส้นตัด
เมื่อสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรงเท่ากับแทนเจนต์ของมุมเอียง จะเห็นได้ชัดว่าสามารถหาแทนเจนต์ของสามเหลี่ยมมุมฉาก A B C ได้จากอัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านที่อยู่ติดกัน
คำจำกัดความที่ 4
เราได้รับสูตรสำหรับค้นหาซีแคนต์ของแบบฟอร์ม:
k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A โดยที่ abscissas ของจุด A และ B คือค่า x A, x B และ f (x A), f (x B) คือฟังก์ชันค่าที่จุดเหล่านี้
แน่นอนว่าค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตัดถูกกำหนดโดยใช้ความเท่าเทียมกัน k = f (x B) - f (x A) x B - x A หรือ k = f (x A) - f (x B) x A - x B และต้องเขียนสมการเป็น y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) หรือ
y = ฉ (x A) - ฉ (x B) x A - x B x - x B + ฉ (x B) .
เส้นตัดจะแบ่งกราฟออกเป็น 3 ส่วนทางสายตา: ทางด้านซ้ายของจุด A จาก A ถึง B และทางด้านขวาของ B รูปด้านล่างแสดงให้เห็นว่ามีเส้นตัด 3 เส้นที่ถือว่าบังเอิญ นั่นคือ พวกมันถูกกำหนดโดยใช้ สมการที่คล้ายกัน
ตามคำจำกัดความ เป็นที่ชัดเจนว่าเส้นตรงและเส้นตัดในกรณีนี้ตรงกัน
เส้นตัดสามารถตัดกราฟของฟังก์ชันที่กำหนดได้หลายครั้ง หากมีสมการในรูปแบบ y = 0 สำหรับเส้นตัดมุม จำนวนจุดตัดกับไซนัสอยด์จะไม่มีที่สิ้นสุด
คำจำกัดความที่ 5
แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน f (x) ที่จุด x 0 ; f (x 0) เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนด x 0; f (x 0) โดยมีส่วนที่มีค่า x หลายค่าใกล้กับ x 0
ตัวอย่างที่ 1
เรามาดูตัวอย่างด้านล่างนี้กันดีกว่า เป็นที่ชัดเจนว่าเส้นที่กำหนดโดยฟังก์ชัน y = x + 1 ถือเป็นเส้นสัมผัสของ y = 2 x ที่จุดที่มีพิกัด (1; 2) เพื่อความชัดเจนจำเป็นต้องพิจารณากราฟที่มีค่าใกล้เคียงกับ (1; 2) ฟังก์ชัน y = 2 x จะแสดงเป็นสีดำ เส้นสีน้ำเงินคือเส้นสัมผัสกัน และจุดสีแดงคือจุดตัดกัน
แน่นอนว่า y = 2 x รวมเข้ากับเส้นตรง y = x + 1
ในการหาค่าแทนเจนต์เราควรพิจารณาพฤติกรรมของแทนเจนต์ A B เมื่อจุด B เข้าใกล้จุด A อย่างไม่สิ้นสุด เราจะนำเสนอรูปวาดเพื่อความชัดเจน
เส้นตัด A B ซึ่งระบุด้วยเส้นสีน้ำเงิน มีแนวโน้มไปที่ตำแหน่งของเส้นสัมผัสกันเอง และมุมเอียงของเส้นตัด α จะเริ่มมีแนวโน้มที่จะทำมุมเอียงของเส้นสัมผัสกัน α x
คำนิยาม 6
เส้นสัมผัสกันของกราฟของฟังก์ชัน y = f (x) ที่จุด A ถือเป็นตำแหน่งจำกัดของเส้นตัดขวาง A B เนื่องจาก B มีแนวโน้มไปทาง A นั่นคือ B → A
ตอนนี้เรามาดูความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่งกันดีกว่า
มาดูการพิจารณาเซแคนต์ A B สำหรับฟังก์ชัน f (x) โดยที่ A และ B ที่มีพิกัด x 0, f (x 0) และ x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x) และ ∆ x คือ แสดงว่าเป็นการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ ตอนนี้ฟังก์ชันจะอยู่ในรูปแบบ ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . เพื่อความชัดเจน เรามายกตัวอย่างการวาดภาพกัน
ลองพิจารณาผลลัพธ์ สามเหลี่ยมมุมฉาก A B C เราใช้คำจำกัดความของแทนเจนต์ในการแก้โจทย์ นั่นคือ เราได้ความสัมพันธ์ ∆ y ∆ x = t g α จากนิยามของแทนเจนต์ จะได้ว่า lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x ตามกฎของอนุพันธ์ ณ จุดหนึ่ง เรามีอนุพันธ์ f (x) ที่จุด x 0 เรียกว่าขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ โดยที่ ∆ x → 0 จากนั้นเราแสดงว่ามันเป็น f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x
ตามมาว่า f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x โดยที่ k x แสดงเป็นความชันของแทนเจนต์
นั่นคือเราพบว่า f ' (x) สามารถมีอยู่ได้ที่จุด x 0 และเหมือนกับค่าแทนเจนต์ของกราฟที่กำหนดของฟังก์ชันที่จุดแทนเจนต์เท่ากับ x 0, f 0 (x 0) โดยที่ค่าของ ความชันของแทนเจนต์ที่จุดเท่ากับอนุพันธ์ที่จุด x 0 . จากนั้นเราจะได้ k x = f " (x 0)
ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งคือ ให้แนวคิดเรื่องการมีอยู่ของเส้นสัมผัสกันกับกราฟที่จุดเดียวกัน
ในการเขียนสมการของเส้นตรงใดๆ บนระนาบ จำเป็นต้องมีสัมประสิทธิ์เชิงมุมกับจุดที่มันผ่านไป สัญกรณ์ของมันคือ x 0 ที่จุดตัด
สมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน y = f (x) ที่จุด x 0, f 0 (x 0) ใช้รูปแบบ y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0)
ซึ่งหมายความว่าค่าสุดท้ายของอนุพันธ์ f "(x 0) สามารถกำหนดตำแหน่งของแทนเจนต์ได้นั่นคือในแนวตั้งที่ให้มา lim x → x 0 + 0 f "(x) = ∞ และ lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞หรือไม่มีเลยภายใต้เงื่อนไข lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) .
ตำแหน่งของแทนเจนต์ขึ้นอยู่กับค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม k x = f "(x 0) เมื่อขนานกับแกน o x เราจะได้ k k = 0 เมื่อขนานกับ o y - k x = ∞ และรูปแบบของ สมการแทนเจนต์ x = x 0 เพิ่มขึ้นเมื่อ k x > 0 ลดลงเมื่อ k x< 0 .
ตัวอย่างที่ 2
รวบรวมสมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 ณ จุดที่มีพิกัด (1; 3) และกำหนดมุมเอียง
สารละลาย
โดยเงื่อนไข เรามีฟังก์ชันที่นิยามไว้สำหรับจำนวนจริงทั้งหมด เราพบว่าจุดที่มีพิกัดที่ระบุตามเงื่อนไข (1; 3) คือจุดสัมผัส จากนั้น x 0 = - 1, f (x 0) = - 3
จำเป็นต้องค้นหาอนุพันธ์ ณ จุดที่มีค่า - 1 เราเข้าใจแล้ว
y " = อี x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = อี x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = อี x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 ปี " (x 0) = y " (- 1) = อี - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3
ค่าของ f' (x) ที่จุดแทนเจนต์คือความชันของแทนเจนต์ ซึ่งเท่ากับค่าแทนเจนต์ของความชัน
จากนั้น k x = t ก α x = y " (x 0) = 3 3
ตามมาว่า α x = a rc t g 3 3 = π 6
คำตอบ:สมการแทนเจนต์จะอยู่ในรูปแบบ
y = ฉ " (x 0) x - x 0 + ฉ (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3
เพื่อความชัดเจน เราจะยกตัวอย่างเป็นภาพประกอบกราฟิก
สีดำใช้สำหรับกราฟของฟังก์ชันดั้งเดิม สีฟ้า– ภาพแทนเจนต์ จุดสีแดง – จุดแทนเจนต์ รูปภาพทางด้านขวาแสดงมุมมองที่ขยายใหญ่ขึ้น
ตัวอย่างที่ 3
พิจารณาการมีอยู่ของเส้นสัมผัสกราฟของฟังก์ชันที่กำหนด
y = 3 · x - 1 5 + 1 ณ จุดพิกัด (1 ; 1) เขียนสมการและหามุมเอียง
สารละลาย
ตามเงื่อนไขแล้ว โดเมนของนิยามของฟังก์ชันที่กำหนดถือเป็นเซตของจำนวนจริงทั้งหมด
มาดูการหาอนุพันธ์กันดีกว่า
y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5
ถ้า x 0 = 1 แสดงว่า f' (x) ไม่ได้ถูกกำหนดไว้ แต่ลิมิตจะเขียนเป็น lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ และ lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ ซึ่งหมายถึง การดำรงอยู่ของเส้นสัมผัสแนวตั้งที่จุด (1; 1)
คำตอบ:สมการจะอยู่ในรูปแบบ x = 1 โดยที่มุมเอียงจะเท่ากับ π 2
เพื่อความชัดเจน เรามาอธิบายเป็นภาพกราฟิกกันดีกว่า
ตัวอย่างที่ 4
ค้นหาจุดบนกราฟของฟังก์ชัน y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 โดยที่
- ไม่มีแทนเจนต์
- แทนเจนต์ขนานกับ x;
- เส้นสัมผัสขนานกับเส้นตรง y = 8 5 x + 4
สารละลาย
จำเป็นต้องคำนึงถึงขอบเขตของคำจำกัดความ โดยเงื่อนไข เรามีฟังก์ชันที่นิยามไว้บนเซตของจำนวนจริงทั้งหมด เราขยายโมดูลและแก้ไขระบบด้วยช่วงเวลา x ∈ - ∞ ; 2 และ [ - 2 ; + ∞) . เราเข้าใจแล้ว
y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)
จำเป็นต้องแยกแยะฟังก์ชั่น เรามีสิ่งนั้น
y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)
เมื่อ x = − 2 อนุพันธ์จะไม่มีอยู่เนื่องจากขีดจำกัดด้านเดียวไม่เท่ากัน ณ จุดนั้น:
ลิม x → - 2 - 0 y " (x) = ลิม x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 ลิม x → - 2 + 0 y " (x) = ลิม x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3
เราคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุด x = - 2 โดยที่เราได้รับค่านั้น
- y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2 นั่นคือแทนเจนต์ที่จุด ( - 2; - 2) จะไม่มีอยู่
- แทนเจนต์จะขนานกับ x เมื่อความชันเป็นศูนย์ จากนั้น k x = t g α x = f "(x 0) นั่นคือจำเป็นต้องค้นหาค่าของ x ดังกล่าวเมื่ออนุพันธ์ของฟังก์ชันเปลี่ยนเป็นศูนย์ นั่นคือค่าของ f ' (x) จะเป็นจุดสัมผัสกัน โดยที่แทนเจนต์ขนานกับ x
เมื่อ x ∈ - ∞ ; - 2 จากนั้น - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 และสำหรับ x ∈ (- 2; + ∞) เราจะได้ 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0
1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞
คำนวณค่าฟังก์ชันที่สอดคล้องกัน
y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 ปี 3 = ปี (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 ปี 4 = ปี (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3
ดังนั้น - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 ถือเป็นจุดที่ต้องการของกราฟฟังก์ชัน
ลองดูการแสดงวิธีแก้ปัญหาแบบกราฟิก
เส้นสีดำคือกราฟของฟังก์ชัน จุดสีแดงคือจุดสัมผัส
- เมื่อเส้นขนานกัน ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมจะเท่ากัน จากนั้นจำเป็นต้องค้นหาจุดบนกราฟฟังก์ชันโดยที่ความชันจะเท่ากับค่า 8 5 ในการทำเช่นนี้คุณต้องแก้สมการในรูปแบบ y "(x) = 8 5 จากนั้นถ้า x ∈ - ∞; - 2 เราจะได้สิ่งนั้น - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5 และถ้า x ∈ ( - 2 ; + ∞) ดังนั้น 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5
สมการแรกไม่มีราก เนื่องจากเป็นสมการจำแนก น้อยกว่าศูนย์. ลองเขียนลงไปดู
1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0
อีกสมการหนึ่งมีรากจริงสองอัน
1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞
มาดูการหาค่าของฟังก์ชันกันดีกว่า เราเข้าใจแล้ว
y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3
คะแนนที่มีค่า - 1; 4 15, 5; 8 3 คือจุดที่แทนเจนต์ขนานกับเส้นตรง y = 8 5 x + 4
คำตอบ:เส้นสีดำ – กราฟของฟังก์ชัน เส้นสีแดง – กราฟของ y = 8 5 x + 4 เส้นสีน้ำเงิน – แทนเจนต์ที่จุด - 1; 4 15, 5; 8 3.
อาจมีจำนวนแทนเจนต์เป็นจำนวนอนันต์สำหรับฟังก์ชันที่กำหนด
ตัวอย่างที่ 5
เขียนสมการแทนเจนต์ที่มีอยู่ทั้งหมดของฟังก์ชัน y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 ซึ่งตั้งฉากกับเส้นตรง y = - 2 x + 1 2
สารละลาย
ในการรวบรวมสมการแทนเจนต์ จำเป็นต้องค้นหาค่าสัมประสิทธิ์และพิกัดของจุดแทนเจนต์ตามเงื่อนไขของการตั้งฉากของเส้น คำจำกัดความมีดังต่อไปนี้ ผลคูณของสัมประสิทธิ์เชิงมุมที่ตั้งฉากกับเส้นตรงเท่ากับ - 1 กล่าวคือ เขียนเป็น k x · k ⊥ = - 1 จากเงื่อนไขที่เรามีว่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมตั้งฉากกับเส้นตรงและเท่ากับ k ⊥ = - 2 จากนั้น k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2
ตอนนี้คุณต้องค้นหาพิกัดของจุดสัมผัส คุณต้องค้นหา x แล้วตามด้วยค่าของมันสำหรับฟังก์ชันที่กำหนด โปรดทราบว่าจากความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ ณ จุดนั้น
x 0 เราได้รับว่า k x = y "(x 0) จากความเท่าเทียมกันนี้เราจะพบค่าของ x สำหรับจุดสัมผัส
เราเข้าใจแล้ว
y " (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - บาป 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 บาป 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 บาป 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 บาป 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ บาป 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9
สมการตรีโกณมิตินี้จะใช้ในการคำนวณพิกัดของจุดสัมผัสกัน
3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk หรือ 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk
3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk หรือ 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk
x 0 = 2 3 π 4 - a rc sin 1 9 + 2 πk หรือ x 0 = 2 3 5 π 4 + a rc sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z
Z คือเซตของจำนวนเต็ม
พบจุดติดต่อ x แล้ว ตอนนี้คุณต้องดำเนินการค้นหาค่าของ y:
y 0 = 3 เพราะ 3 2 x 0 - π 4 - 1 3
y 0 = 3 1 - บาป 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 หรือ y 0 = 3 - 1 - บาป 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3
y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 หรือ y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3
y 0 = 4 5 - 1 3 หรือ y 0 = - 4 5 + 1 3
จากนี้เราจะได้ว่า 2 3 π 4 - a rc sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a rc บาป 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 คือจุดสัมผัส
คำตอบ:สมการที่จำเป็นจะเขียนเป็น
y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z
หากต้องการแสดงภาพ ให้พิจารณาฟังก์ชันและเส้นสัมผัสกันบนเส้นพิกัด
รูปแสดงว่าฟังก์ชันนั้นอยู่ที่ช่วง [ - 10 ; 10 ] โดยที่เส้นสีดำคือกราฟของฟังก์ชัน เส้นสีน้ำเงินคือเส้นสัมผัสกัน ซึ่งตั้งฉากกับเส้นที่กำหนดในรูปแบบ y = - 2 x + 1 2 จุดสีแดงคือจุดสัมผัส
สมการมาตรฐานของเส้นโค้งลำดับที่ 2 ไม่ใช่ฟังก์ชันค่าเดียว สมการแทนเจนต์สำหรับพวกมันถูกรวบรวมตามรูปแบบที่ทราบ
สัมผัสกันเป็นวงกลม
กำหนดวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด x c e n t e r ; y c e n t e r และรัศมี R ใช้สูตร x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2
ความเท่าเทียมกันนี้สามารถเขียนเป็นการรวมกันของสองฟังก์ชัน:
y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r
ฟังก์ชันแรกจะอยู่ที่ด้านบน และฟังก์ชันที่สองจะอยู่ที่ด้านล่าง ดังแสดงในรูป
เพื่อรวบรวมสมการของวงกลมที่จุด x 0; y 0 ซึ่งอยู่ในครึ่งวงกลมบนหรือล่างคุณควรค้นหาสมการของกราฟของฟังก์ชันในรูปแบบ y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r หรือ y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + ได้ตามจุดที่กำหนด
เมื่อถึงจุด x c e n t e r ; y c e n t e r + R และ x c e n t r ; y c e n t e r - R แทนเจนต์สามารถกำหนดได้จากสมการ y = y c e n t e r + R และ y = y c e n t e r - R และที่จุด x c e n t e r + R ; ใช่แล้ว และ
x c e n t e r - R ; y c e n t e r จะขนานกับ o y จากนั้นเราจะได้สมการในรูปแบบ x = x c e n t e r + R และ x = x c e n t e r - R
แทนเจนต์กับวงรี
เมื่อวงรีมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ x c e n t e r ; y c e n t e r ด้วยครึ่งแกน a และ b จากนั้นสามารถระบุได้โดยใช้สมการ x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1
วงรีและวงกลมสามารถแสดงได้โดยการรวมสองฟังก์ชันเข้าด้วยกัน ได้แก่ วงรีครึ่งบนและครึ่งล่าง แล้วเราจะได้รับสิ่งนั้น
y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r
ถ้าแทนเจนต์อยู่ที่จุดยอดของวงรี พวกมันจะขนานกันประมาณ x หรือประมาณ y ด้านล่างเพื่อความชัดเจนให้พิจารณารูป
ตัวอย่างที่ 6
เขียนสมการแทนเจนต์ให้กับวงรี x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 ที่จุดที่มีค่า x เท่ากับ x = 2
สารละลาย
จำเป็นต้องค้นหาจุดสัมผัสที่สอดคล้องกับค่า x = 2 เราแทนสมการที่มีอยู่ของวงรีแล้วพบว่า
x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5
จากนั้น 2 ; 5 3 2 + 5 และ 2; - 5 3 2 + 5 คือจุดสัมผัสที่อยู่ในครึ่งวงรีบนและล่าง
มาดูการค้นหาและแก้สมการของวงรีเทียบกับ y กันดีกว่า เราเข้าใจแล้ว
x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 ปี = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2
เห็นได้ชัดว่าวงรีครึ่งบนถูกกำหนดโดยใช้ฟังก์ชันในรูปแบบ y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 และวงรีครึ่งล่าง y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2
ลองใช้อัลกอริธึมมาตรฐานเพื่อสร้างสมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันที่จุดหนึ่ง ให้เราเขียนสมการของแทนเจนต์แรกที่จุดที่ 2; 5 3 2 + 5 จะเป็นเช่นนี้
y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2" = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5
เราพบว่าสมการของแทนเจนต์ที่สองที่มีค่า ณ จุดนั้น
2 ; - 5 3 2 + 5 ขึ้นรูปแบบ
y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5
กราฟิกแทนเจนต์ถูกกำหนดดังนี้:
แทนเจนต์ถึงอติพจน์
เมื่อไฮเปอร์โบลามีจุดศูนย์กลางที่ x c e n t e r ; y c e n t e r และจุดยอด x c e n t e r + α ; ใช่ และ x c e n t e r - α ; y c e n t e r ความไม่เท่าเทียมกัน x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 เกิดขึ้น หากมีจุดยอด x c e n t e r ; ใช่ c e n t e r + b และ x c e n t e r ; y c e n t e r - b จากนั้นระบุโดยใช้ความไม่เท่าเทียมกัน x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1
ไฮเปอร์โบลาสามารถแสดงเป็นฟังก์ชันสองฟังก์ชันรวมกันของแบบฟอร์มได้
y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r หรือ y = b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r
ในกรณีแรก เราพบว่าแทนเจนต์ขนานกับ y และส่วนที่สองขนานกับ x
ตามมาว่าในการหาสมการของแทนเจนต์กับไฮเปอร์โบลา จำเป็นต้องค้นหาว่าจุดสัมผัสของฟังก์ชันใดเป็นของฟังก์ชันใด เพื่อระบุสิ่งนี้ จำเป็นต้องแทนที่สมการและตรวจสอบตัวตน
ตัวอย่างที่ 7
เขียนสมการแทนเจนต์ของไฮเปอร์โบลา x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ที่จุดที่ 7; - 3 3 - 3 .
สารละลาย
จำเป็นต้องแปลงบันทึกคำตอบสำหรับการค้นหาไฮเปอร์โบลาโดยใช้ 2 ฟังก์ชัน เราเข้าใจแล้ว
x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 และ y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3
มีความจำเป็นต้องระบุว่าจุดที่กำหนดด้วยพิกัด 7 เป็นของฟังก์ชันใด - 3 3 - 3 .
เห็นได้ชัดว่าในการตรวจสอบฟังก์ชันแรกจำเป็นต้องมี y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 จากนั้นจุดไม่อยู่ในกราฟ เพราะความเท่าเทียมกันไม่คงอยู่
สำหรับฟังก์ชันที่สอง เรามี y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 ซึ่งหมายความว่าจุดนั้นอยู่ในกราฟที่กำหนด จากตรงนี้คุณควรจะพบความชัน
เราเข้าใจแล้ว
y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3
คำตอบ:สมการแทนเจนต์สามารถแสดงเป็น
y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3
อธิบายไว้ชัดเจนดังนี้
แทนเจนต์กับพาราโบลา
ในการสร้างสมการแทนเจนต์ของพาราโบลา y = a x 2 + b x + c ที่จุด x 0, y (x 0) คุณต้องใช้อัลกอริทึมมาตรฐาน จากนั้นสมการจะอยู่ในรูปแบบ y = y "(x 0) x - x 0 + y ( x 0).แทนเจนต์ดังกล่าวที่จุดยอดขนานกับ x
คุณควรนิยามพาราโบลา x = a y 2 + by y + c เป็นผลรวมของสองฟังก์ชัน ดังนั้นเราจึงต้องแก้สมการของ y เราเข้าใจแล้ว
x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - ข - ข 2 - 4 ก (ค - x) 2 ก
แสดงภาพกราฟิกเป็น:
หากต้องการทราบว่าจุด x 0, y (x 0) เป็นของฟังก์ชันหรือไม่ ให้ดำเนินการเบาๆ ตามอัลกอริทึมมาตรฐาน แทนเจนต์ดังกล่าวจะขนานกับ y สัมพันธ์กับพาราโบลา
ตัวอย่างที่ 8
เขียนสมการแทนเจนต์ลงในกราฟ x - 2 y 2 - 5 y + 3 เมื่อเรามีมุมแทนเจนต์ 150 °
สารละลาย
เราเริ่มหาคำตอบโดยแทนพาราโบลาเป็นฟังก์ชัน 2 ฟังก์ชัน เราเข้าใจแล้ว
2 ปี 2 - 5 ปี + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 ปี = 5 - 49 - 8 x - 4
ค่าของความชันเท่ากับค่าของอนุพันธ์ที่จุด x 0 ของฟังก์ชันนี้ และเท่ากับค่าแทนเจนต์ของมุมเอียง
เราได้รับ:
k x = y "(x 0) = เสื้อ ก α x = เสื้อ ก 150 ° = - 1 3
จากที่นี่ เราจะกำหนดค่า x สำหรับจุดสัมผัส
ฟังก์ชันแรกจะถูกเขียนเป็น
y " = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3
แน่นอน ไม่มีรากที่แท้จริง เนื่องจากเราได้ค่าลบ เราสรุปได้ว่าไม่มีเส้นสัมผัสกันที่มีมุม 150° สำหรับฟังก์ชันดังกล่าว
ฟังก์ชันที่สองจะถูกเขียนเป็น
y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4
เรามีจุดติดต่อคือ 23 4 ; - 5 + 3 4 .
คำตอบ:สมการแทนเจนต์จะอยู่ในรูปแบบ
y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4
ลองพรรณนามันแบบกราฟิกด้วยวิธีนี้:
หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter
สมการของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน
พี. โรมานอฟ, ต. โรมาโนวา,
แมกนิโตกอร์สค์
ภูมิภาคเชเลียบินสค์
สมการของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน
บทความนี้ได้รับการตีพิมพ์โดยได้รับการสนับสนุนจาก ITAKA+ Hotel Complex เมื่ออยู่ในเมืองของช่างต่อเรือ Severodvinsk คุณจะไม่พบปัญหาในการหาที่อยู่อาศัยชั่วคราว ,ออนไลน์ โรงแรมคอมเพล็กซ์“ITHAKA+” http://itakaplus.ru คุณสามารถเช่าอพาร์ทเมนต์ในเมืองได้อย่างง่ายดายและรวดเร็ว ในช่วงเวลาใดก็ได้ โดยชำระเงินรายวัน
บน เวทีที่ทันสมัยการพัฒนาการศึกษางานหลักประการหนึ่งคือการสร้างบุคลิกภาพที่มีความคิดสร้างสรรค์ ความสามารถในการสร้างสรรค์ของนักเรียนสามารถพัฒนาได้ก็ต่อเมื่อพวกเขามีส่วนร่วมอย่างเป็นระบบในพื้นฐานของกิจกรรมการวิจัย รากฐานสำหรับนักเรียนในการใช้พลังสร้างสรรค์ ความสามารถ และพรสวรรค์ของตนเองนั้นถูกสร้างขึ้นด้วยความรู้และทักษะที่เต็มเปี่ยม ในเรื่องนี้ปัญหาของการสร้างระบบความรู้และทักษะพื้นฐานสำหรับแต่ละหัวข้อของหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนก็มีความสำคัญไม่น้อย ในเวลาเดียวกันทักษะที่ครบถ้วนควรเป็นเป้าหมายการสอนไม่ใช่ของงานแต่ละงาน แต่เป็นระบบที่คิดอย่างรอบคอบ ในความหมายที่กว้างที่สุด ระบบถูกเข้าใจว่าเป็นชุดขององค์ประกอบการโต้ตอบที่เชื่อมโยงถึงกันซึ่งมีความสมบูรณ์และโครงสร้างที่มั่นคง
ลองพิจารณาเทคนิคในการสอนนักเรียนว่าจะเขียนสมการแทนเจนต์ให้กับกราฟของฟังก์ชันได้อย่างไร โดยพื้นฐานแล้ว ปัญหาทั้งหมดในการค้นหาสมการแทนเจนต์ขึ้นอยู่กับความจำเป็นในการเลือกจากชุด (บันเดิล ตระกูล) ของเส้นตรงที่ตรงตามข้อกำหนด - เส้นเหล่านั้นสัมผัสกับกราฟของฟังก์ชันบางอย่าง ในกรณีนี้ ชุดของบรรทัดที่ใช้เลือกสามารถระบุได้สองวิธี:
ก) จุดที่วางอยู่บนระนาบ xOy (ดินสอเส้นกลาง)
b) ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม (ลำแสงขนานของเส้นตรง)
ในเรื่องนี้ เมื่อศึกษาหัวข้อ “แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน” เพื่อแยกองค์ประกอบของระบบ เราได้ระบุปัญหาไว้ 2 ประเภท คือ
1) ปัญหาเกี่ยวกับแทนเจนต์ที่กำหนดโดยจุดที่มันผ่านไป
2) ปัญหาเกี่ยวกับแทนเจนต์ที่กำหนดโดยความชัน
การฝึกอบรมการแก้ปัญหาแทนเจนต์ดำเนินการโดยใช้อัลกอริทึมที่เสนอโดย A.G. มอร์ดโควิช. ความแตกต่างพื้นฐานจากที่ทราบอยู่แล้วคือ abscissa ของจุดแทนเจนต์แสดงด้วยตัวอักษร a (แทนที่จะเป็น x0) ดังนั้นสมการแทนเจนต์จึงอยู่ในรูปแบบ
y = ฉ(ก) + ฉ "(ก)(x – ก)
(เทียบกับ y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)) นี้ เทคนิคระเบียบวิธีในความคิดของเรา ช่วยให้นักเรียนเข้าใจได้อย่างรวดเร็วและง่ายดายว่าพิกัดของจุดปัจจุบันเขียนอยู่ที่ไหนในสมการแทนเจนต์ทั่วไป และจุดสัมผัสกันอยู่ที่ไหน
อัลกอริทึมในการเขียนสมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน y = f(x)
1. กำหนด abscissa ของจุดสัมผัสกันด้วยตัวอักษร a
2. หา f(a)
3. ค้นหา f "(x) และ f "(a)
4. แทนตัวเลขที่พบ a, f(a), f "(a) ลงในสมการแทนเจนต์ทั่วไป y = f(a) = f "(a)(x – a)
อัลกอริทึมนี้สามารถรวบรวมได้บนพื้นฐานของการระบุการปฏิบัติงานโดยอิสระของนักเรียนและลำดับของการนำไปปฏิบัติ
การปฏิบัติแสดงให้เห็นว่าการแก้ปัญหาตามลำดับของแต่ละปัญหาสำคัญโดยใช้อัลกอริทึมช่วยให้คุณพัฒนาทักษะในการเขียนสมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันเป็นระยะและขั้นตอนของอัลกอริทึมทำหน้าที่เป็นจุดอ้างอิงสำหรับการดำเนินการ . แนวทางนี้สอดคล้องกับทฤษฎีการก่อตัวของการกระทำทางจิตอย่างค่อยเป็นค่อยไปซึ่งพัฒนาโดย P.Ya Galperin และ N.F. ทาลิซินา.
ในงานประเภทแรก มีการระบุงานหลักสองงาน:
- แทนเจนต์ผ่านจุดที่วางอยู่บนเส้นโค้ง (ปัญหาที่ 1)
- แทนเจนต์ผ่านจุดที่ไม่อยู่บนเส้นโค้ง (ปัญหาที่ 2)
ภารกิจที่ 1. เขียนสมการแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน ที่จุด M(3; – 2)
สารละลาย. จุด M(3; – 2) เป็นจุดสัมผัส เนื่องจาก
1. a = 3 – abscissa ของจุดสัมผัสกัน
2. ฉ(3) = – 2.
3. ฉ "(x) = x 2 – 4, ฉ "(3) = 5
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – สมการแทนเจนต์
ปัญหาที่ 2 เขียนสมการแทนเจนต์ทั้งหมดลงในกราฟของฟังก์ชัน y = – x 2 – 4x + 2 ที่ผ่านจุด M(– 3; 6)
สารละลาย. จุด M(– 3; 6) ไม่ใช่จุดสัมผัส เนื่องจาก f(– 3) 6 (รูปที่ 2)
2. ฉ(ก) = – ก 2 – 4a + 2
3. ฉ "(x) = – 2x – 4, ฉ "(ก) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – สมการแทนเจนต์
แทนเจนต์ผ่านจุด M(– 3; 6) ดังนั้นพิกัดของมันจึงเป็นไปตามสมการแทนเจนต์
6 = – ก 2 – 4ก + 2 – 2(ก + 2)(– 3 – ก)
2 + 6a + 8 = 0↑ ก 1 = – 4, ก 2 = – 2.
ถ้า a = – 4 แล้วสมการแทนเจนต์จะเป็น y = 4x + 18
ถ้า a = – 2 สมการแทนเจนต์จะมีรูปแบบ y = 6
ในประเภทที่สอง งานหลักจะเป็นดังนี้:
- แทนเจนต์ขนานกับเส้นบางเส้น (ปัญหา 3)
- แทนเจนต์ผ่านมุมหนึ่งไปยังเส้นที่กำหนด (ปัญหาที่ 4)
ปัญหาที่ 3 เขียนสมการแทนเจนต์ทั้งหมดลงในกราฟของฟังก์ชัน y = x 3 – 3x 2 + 3 ขนานกับเส้นตรง y = 9x + 1
สารละลาย.
1. a – abscissa ของจุดสัมผัสกัน
2. ฉ(ก) = ก 3 – 3a 2 + 3
3. ฉ "(x) = 3x 2 – 6x, ฉ "(a) = 3a 2 – 6a
แต่ในทางกลับกัน f "(a) = 9 (เงื่อนไขความขนาน) ซึ่งหมายความว่าเราต้องแก้สมการ 3a 2 – 6a = 9 รากของมันคือ a = – 1, a = 3 (รูปที่ 3 ).
4. 1) ก = – 1;
2) ฉ(– 1) = – 1;
3) ฉ "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);
y = 9x + 8 – สมการแทนเจนต์;
1) ก = 3;
2) ฉ(3) = 3;
3) ฉ "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);
y = 9x – 24 – สมการแทนเจนต์
ปัญหาที่ 4 เขียนสมการแทนเจนต์ลงในกราฟของฟังก์ชัน y = 0.5x 2 – 3x + 1 โดยส่งผ่านมุม 45° ไปยังเส้นตรง y = 0 (รูปที่ 4)
สารละลาย. จากเงื่อนไข f "(a) = tan 45° เราพบว่า a: a – 3 = 1^a = 4.
1. a = 4 – abscissa ของจุดสัมผัสกัน
2. ฉ(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. ฉ "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4)
y = x – 7 – สมการแทนเจนต์
เป็นเรื่องง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่าการแก้ปัญหาอื่น ๆ ขึ้นอยู่กับการแก้ปัญหาสำคัญอย่างน้อยหนึ่งปัญหา ลองพิจารณาปัญหาสองข้อต่อไปนี้เป็นตัวอย่าง
1. เขียนสมการของแทนเจนต์ลงในพาราโบลา y = 2x 2 – 5x – 2 หากแทนเจนต์ตัดกันที่มุมขวาและมีอันใดอันหนึ่งแตะพาราโบลาที่จุดด้วย abscissa 3 (รูปที่ 5)
สารละลาย. เนื่องจากให้ค่า abscissa ของจุดสัมผัส ส่วนแรกของการแก้ปัญหาจึงลดลงเป็นปัญหาหลัก 1
1. a = 3 – abscissa ของจุดสัมผัสของด้านใดด้านหนึ่งของมุมฉาก
2. ฉ(3) = 1.
3. ฉ "(x) = 4x – 5, ฉ "(3) = 7
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – สมการของแทนเจนต์แรก
ให้ก – มุมเอียงของแทนเจนต์แรก เนื่องจากแทนเจนต์ตั้งฉากกัน มุมเอียงของแทนเจนต์ที่สองจึงเป็นมุมเอียง จากสมการ y = 7x – 20 ของแทนเจนต์แรก เรามี tg a = 7 มาหากัน
ซึ่งหมายความว่าความชันของแทนเจนต์ที่สองเท่ากับ
แนวทางแก้ไขเพิ่มเติมอยู่ที่งานหลัก 3
ให้ B(c; f(c)) เป็นจุดสัมผัสของเส้นที่สอง
1. – ละทิ้งจุดสัมผัสที่สอง
2.
3.
4.
– สมการของแทนเจนต์ที่สอง
บันทึก. ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นสัมผัสกันจะหาได้ง่ายขึ้นถ้านักเรียนรู้อัตราส่วนของค่าสัมประสิทธิ์ของเส้นตั้งฉาก k 1 k 2 = – 1
2. เขียนสมการของแทนเจนต์ร่วมทั้งหมดลงในกราฟของฟังก์ชัน
สารละลาย. ภารกิจอยู่ที่การค้นหา abscissa ของจุดแทนเจนต์ของแทนเจนต์ทั่วไปนั่นคือการแก้ปัญหาสำคัญ 1 ในรูปแบบทั่วไป จัดทำระบบสมการแล้วแก้ไข (รูปที่ 6)
1. ให้ a เป็น abscissa ของจุดแทนเจนต์ที่วางอยู่บนกราฟของฟังก์ชัน y = x 2 + x + 1
2. ฉ(ก) = ก 2 + ก + 1
3. ฉ "(ก) = 2a + 1
4. y = ก 2 + ก + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2
1. ให้ c เป็น abscissa ของจุดแทนเจนต์ที่วางอยู่บนกราฟของฟังก์ชัน
2.
3. ฉ "(ค) = ค.
4.
เนื่องจากแทนเจนต์เป็นเรื่องทั่วไปแล้ว
ดังนั้น y = x + 1 และ y = – 3x – 3 จึงเป็นเส้นสัมผัสกันทั่วไป
เป้าหมายหลักของงานที่พิจารณาคือการเตรียมนักเรียนให้รับรู้ประเภทของปัญหาหลักอย่างอิสระเมื่อแก้ไขปัญหาที่ซับซ้อนมากขึ้นซึ่งต้องใช้ทักษะการวิจัยบางอย่าง (ความสามารถในการวิเคราะห์ เปรียบเทียบ สรุป สรุป ตั้งสมมติฐาน ฯลฯ ) งานดังกล่าวรวมถึงงานใดๆ ที่งานหลักถูกรวมไว้เป็นส่วนประกอบ ให้เราพิจารณาเป็นตัวอย่างปัญหา (ตรงกันข้ามกับปัญหา 1) ในการค้นหาฟังก์ชันจากตระกูลแทนเจนต์ของมัน
3. เส้นตรง y = x และ y = – 2x แทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน y = x 2 + bx + c สำหรับ b และ c คืออะไร?
สารละลาย.
ให้ t เป็น abscissa ของจุดสัมผัสของเส้นตรง y = x โดยมีพาราโบลา y = x 2 + bx + c; p คือจุดหักล้างของจุดสัมผัสของเส้นตรง y = – 2x โดยมีพาราโบลา y = x 2 + bx + c จากนั้นสมการแทนเจนต์ y = x จะอยู่ในรูปแบบ y = (2t + b)x + c – t 2 และสมการแทนเจนต์ y = – 2x จะอยู่ในรูปแบบ y = (2p + b)x + c – p 2 .
มาเขียนและแก้ระบบสมการกัน
คำตอบ:
ปัญหาที่ต้องแก้ไขอย่างอิสระ
1. เขียนสมการของแทนเจนต์ที่วาดลงบนกราฟของฟังก์ชัน y = 2x 2 – 4x + 3 ที่จุดตัดของกราฟด้วยเส้น y = x + 3
คำตอบ: y = – 4x + 3, y = 6x – 9.5
2. ค่าใดที่แทนเจนต์ดึงไปยังกราฟของฟังก์ชัน y = x 2 – ax ที่จุดของกราฟโดยมี abscissa x 0 = 1 ผ่านจุด M(2; 3)?
คำตอบ: ก = 0.5
3. เส้นตรง y = px – 5 แตะเส้นโค้ง y = 3x 2 – 4x – 2 มีค่าเท่าใด
คำตอบ: หน้า 1 = – 10, หน้า 2 = 2
4. ค้นหาจุดร่วมทั้งหมดของกราฟของฟังก์ชัน y = 3x – x 3 และแทนเจนต์ที่วาดมายังกราฟนี้ผ่านจุด P(0; 16)
คำตอบ: ก(2; – 2), ข(– 4; 52)
5. จงหาระยะห่างที่สั้นที่สุดระหว่างพาราโบลา y = x 2 + 6x + 10 กับเส้นตรง
คำตอบ:
6. บนเส้นโค้ง y = x 2 – x + 1 ให้หาจุดที่เส้นสัมผัสของกราฟขนานกับเส้นตรง y – 3x + 1 = 0
คำตอบ: ม(2; 3)
7. เขียนสมการแทนเจนต์ลงในกราฟของฟังก์ชัน y = x 2 + 2x – | 4x | ซึ่งแตะจุดสองจุด วาดรูป.
คำตอบ: y = 2x – 4
8. พิสูจน์ว่าเส้นตรง y = 2x – 1 ไม่ได้ตัดกับเส้นโค้ง y = x 4 + 3x 2 + 2x ค้นหาระยะห่างระหว่างจุดที่ใกล้เคียงที่สุด
คำตอบ:
9. บนพาราโบลา y = x 2 จุดสองจุดจะถูกลากโดยมีจุดหักมุม x 1 = 1, x 2 = 3 เส้นตัดจะถูกลากผ่านจุดเหล่านี้ เส้นสัมผัสกันของพาราโบลาจะขนานกับเส้นตัดที่จุดใดของพาราโบลา? เขียนสมการซีแคนต์และแทนเจนต์
คำตอบ: y = 4x – 3 – สมการซีแคนต์; y = 4x – 4 – สมการแทนเจนต์
10. ค้นหามุม q ระหว่างแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน y = x 3 – 4x 2 + 3x + 1 วาดที่จุดด้วย abscissas 0 และ 1
คำตอบ: q = 45°
11. แทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันมีมุม 135° กับแกน Ox ที่จุดใด
คำตอบ: ก(0; – 1), ข(4; 3)
12. ที่จุด A(1; 8) ถึงเส้นโค้ง แทนเจนต์ถูกดึงออกมา ค้นหาความยาวของส่วนแทนเจนต์ระหว่างแกนพิกัด
คำตอบ:
13. เขียนสมการแทนเจนต์ร่วมทั้งหมดลงในกราฟของฟังก์ชัน y = x 2 – x + 1 และ y = 2x 2 – x + 0.5
คำตอบ: y = – 3x และ y = x
14. ค้นหาระยะห่างระหว่างเส้นสัมผัสกันกับกราฟของฟังก์ชัน ขนานกับแกน x
คำตอบ:
15. จงพิจารณาว่าพาราโบลา y = x 2 + 2x – 8 มีมุมตัดกับแกน x อยู่ที่มุมใด
คำตอบ: q 1 = อาร์กแทน 6, q 2 = อาร์กแทน (– 6)
16. กราฟฟังก์ชัน ค้นหาจุดทั้งหมด โดยค่าแทนเจนต์ของแต่ละจุดของกราฟจะตัดกับครึ่งแกนบวกของพิกัด โดยตัดส่วนที่เท่ากันออกจากจุดเหล่านั้น
คำตอบ: ก(– 3; 11)
17. เส้นตรง y = 2x + 7 และพาราโบลา y = x 2 – 1 ตัดกันที่จุด M และ N จงหาจุด K ของจุดตัดของเส้นตรงที่สัมผัสกับพาราโบลาที่จุด M และ N
คำตอบ: K(1; – 9)
18. เส้น y = 9x + b แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน y = x 3 – 3x + 15 เป็นค่าใดของ b
คำตอบ: – 1; 31.
19. เส้นตรง y = kx – 10 มีจุดร่วมเพียงจุดเดียวกับกราฟของฟังก์ชัน y = 2x 2 + 3x – 2 สำหรับค่า k ใด สำหรับค่า k ที่พบ ให้กำหนดพิกัดของจุด
คำตอบ: k 1 = – 5, A(– 2; 0); k 2 = 11, B(2; 12)
20. ค่าของ b ที่แทนเจนต์วาดไปที่กราฟของฟังก์ชัน y = bx 3 – 2x 2 – 4 ที่จุดที่มี abscissa x 0 = 2 ผ่านจุด M(1; 8)?
คำตอบ: ข = – 3
21. พาราโบลาที่มีจุดยอดบนแกน Ox แตะเส้นที่ผ่านจุด A(1; 2) และ B(2; 4) ที่จุด B จงหาสมการของพาราโบลา
คำตอบ:
22. พาราโบลา y = x 2 + kx + 1 สัมผัสกับแกน Ox ที่มีค่าสัมประสิทธิ์ k เท่ากับเท่าใด
คำตอบ: k = d 2
23. จงหามุมระหว่างเส้นตรง y = x + 2 และเส้นโค้ง y = 2x 2 + 4x – 3
29. จงหาระยะห่างระหว่างแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันกับตัวกำเนิดด้วยทิศทางบวกของแกน Ox ที่มุม 45°
คำตอบ:
30. จงหาตำแหน่งของจุดยอดของพาราโบลาทั้งหมดในรูปแบบ y = x 2 + ax + b สัมผัสกันกับเส้นตรง y = 4x – 1
คำตอบ: เส้นตรง y = 4x + 3
วรรณกรรม
1. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina M.V. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: 3,600 ปัญหาสำหรับเด็กนักเรียนและผู้เข้ามหาวิทยาลัย – ม., บัสตาร์ด, 1999.
2. Mordkovich A. สัมมนา 4 สำหรับครูรุ่นเยาว์ หัวข้อ: การประยุกต์อนุพันธ์ – ม., “คณิตศาสตร์”, เลขที่ 21/94.
3. การสร้างความรู้และทักษะตามทฤษฎีการดูดซึมการกระทำทางจิตอย่างค่อยเป็นค่อยไป / เอ็ด. พ.ย. กัลเปรินา, N.F. ทาลิซินา. – ม., มหาวิทยาลัยแห่งรัฐมอสโก, 2511
โปรแกรมทางคณิตศาสตร์นี้ค้นหาสมการของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน \(f(x)\) ที่จุดที่ผู้ใช้ระบุ \(a\)
โปรแกรมไม่เพียงแสดงสมการแทนเจนต์เท่านั้น แต่ยังแสดงกระบวนการแก้ปัญหาอีกด้วย
เครื่องคิดเลขออนไลน์นี้อาจมีประโยชน์สำหรับนักเรียนมัธยมปลาย โรงเรียนมัธยมในการเตรียมตัวสำหรับ การทดสอบและการสอบเมื่อทดสอบความรู้ก่อนการสอบ Unified State เพื่อให้ผู้ปกครองได้ควบคุมการแก้ปัญหาต่างๆในวิชาคณิตศาสตร์และพีชคณิต หรืออาจจะแพงเกินไปสำหรับคุณที่จะจ้างครูสอนพิเศษหรือซื้อตำราเรียนใหม่ หรือคุณเพียงต้องการที่จะทำให้มันเสร็จโดยเร็วที่สุด? การบ้านในวิชาคณิตศาสตร์หรือพีชคณิต? ในกรณีนี้ คุณสามารถใช้โปรแกรมของเราพร้อมวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดได้
ด้วยวิธีนี้คุณสามารถดำเนินการฝึกอบรมและ/หรือฝึกอบรมของคุณเองได้ น้องชายหรือน้องสาวในขณะที่ระดับการศึกษาด้านปัญหาที่กำลังแก้ไขเพิ่มขึ้น
หากคุณต้องการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เราก็มีหน้าที่ค้นหาอนุพันธ์
หากคุณไม่คุ้นเคยกับกฎสำหรับการเข้าสู่ฟังก์ชัน เราขอแนะนำให้คุณทำความคุ้นเคยกับกฎเหล่านั้น
ป้อนนิพจน์ฟังก์ชัน \(f(x)\) และตัวเลข \(a\) ค้นหาสมการแทนเจนต์ พบว่าไม่ได้โหลดสคริปต์บางตัวที่จำเป็นในการแก้ปัญหานี้ และโปรแกรมอาจไม่ทำงาน
คุณอาจเปิดใช้งาน AdBlock ไว้
ในกรณีนี้ ให้ปิดการใช้งานและรีเฟรชเพจ
เพื่อให้วิธีแก้ปัญหาปรากฏขึ้น คุณต้องเปิดใช้งาน JavaScript
ต่อไปนี้เป็นคำแนะนำเกี่ยวกับวิธีเปิดใช้งาน JavaScript ในเบราว์เซอร์ของคุณ
เพราะ มีคนจำนวนมากยินดีแก้ไขปัญหา คำขอของคุณอยู่ในคิวแล้ว
ภายในไม่กี่วินาทีวิธีแก้ปัญหาจะปรากฏขึ้นด้านล่าง
โปรดรอ วินาที...
ถ้าคุณ สังเกตเห็นข้อผิดพลาดในการแก้ปัญหาจากนั้นคุณสามารถเขียนเกี่ยวกับเรื่องนี้ในแบบฟอร์มคำติชม
อย่าลืม ระบุว่างานใดคุณตัดสินใจว่าอะไร เข้าไปในทุ่งนา.
เกม ปริศนา อีมูเลเตอร์ของเรา:
ทฤษฎีเล็กน้อย
ความลาดชันโดยตรง
จำได้ว่ากราฟของฟังก์ชันเชิงเส้น \(y=kx+b\) เป็นเส้นตรง เรียกหมายเลข \(k=tg \alpha \) ความชันของเส้นตรงและมุม \(\alpha \) คือมุมระหว่างเส้นนี้กับแกน Ox
ถ้า \(k>0\) แล้ว \(0 ถ้า \(kสมการของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน
ถ้าจุด M(a; f(a)) อยู่ในกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) และหาก ณ จุดนี้ สามารถลากแทนเจนต์ไปที่กราฟของฟังก์ชันที่ไม่ตั้งฉากกับแกน x ได้ จากความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์นั้นตามมาว่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของแทนเจนต์เท่ากับ f "(a) ต่อไปเราจะพัฒนาอัลกอริทึมสำหรับการเขียนสมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันใด ๆ
ให้ฟังก์ชัน y = f(x) และจุด M(a; f(a)) ถูกกำหนดไว้บนกราฟของฟังก์ชันนี้ ให้รู้ว่ามี f"(a) อยู่ ลองสร้างสมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันที่กำหนด ณ จุดที่กำหนด สมการนี้เหมือนกับสมการของเส้นตรงใดๆ ที่ไม่ขนานกับแกนพิกัด จะมี รูปแบบ y = kx + b ดังนั้นงานคือการหาค่าของสัมประสิทธิ์ k และ b
ทุกอย่างชัดเจนด้วยสัมประสิทธิ์เชิงมุม k: เป็นที่ทราบกันว่า k = f"(a) ในการคำนวณค่า b เราใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าเส้นตรงที่ต้องการผ่านจุด M(a; f(a)) . ซึ่งหมายความว่าหากเราแทนพิกัดของจุด M ลงในสมการของเส้นตรง เราจะได้ความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง: \(f(a)=ka+b\) นั่นคือ \(b = f(a) - คะ\)
ยังคงทดแทนค่าที่พบของสัมประสิทธิ์ k และ b ลงในสมการของเส้นตรง:
เราได้รับ สมการของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน\(y = f(x) \) ที่จุด \(x=a \)
อัลกอริทึมในการค้นหาสมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน \(y=f(x)\)
1. กำหนด abscissa ของจุดสัมผัสกันด้วยตัวอักษร \(a\)
2. คำนวณ \(f(a)\)
3. ค้นหา \(f"(x)\) และคำนวณ \(f"(a)\)
4. แทนตัวเลขที่พบ \(a, f(a), f"(a) \) ลงในสูตร \(y=f(a)+ f"(a)(x-a) \)
ให้ฟังก์ชัน f มอบให้ ซึ่ง ณ จุดหนึ่ง x 0 มีอนุพันธ์จำกัด f (x 0) จากนั้นเส้นตรงที่ผ่านจุด (x 0 ; f (x 0)) ซึ่งมีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม f ’(x 0) เรียกว่าแทนเจนต์
จะเกิดอะไรขึ้นถ้าอนุพันธ์ไม่มีอยู่ที่จุด x 0? มีสองตัวเลือก:
- กราฟก็ไม่มีแทนเจนต์เช่นกัน ตัวอย่างคลาสสิกคือฟังก์ชัน y = |x | ณ จุด (0; 0)
- แทนเจนต์กลายเป็นแนวตั้ง นี่เป็นเรื่องจริง ตัวอย่างเช่น สำหรับฟังก์ชัน y = arcsin x ที่จุด (1; π /2)
สมการแทนเจนต์
เส้นตรงที่ไม่ใช่แนวตั้งใดๆ จะได้มาจากสมการในรูปแบบ y = kx + b โดยที่ k คือความชัน แทนเจนต์ก็ไม่มีข้อยกเว้น และเพื่อสร้างสมการที่จุดใดจุดหนึ่ง x 0 ก็เพียงพอแล้วที่จะทราบค่าของฟังก์ชันและอนุพันธ์ ณ จุดนี้
ดังนั้น ให้กำหนดฟังก์ชัน y = f (x) ซึ่งมีอนุพันธ์ y = f ’(x) บนเซ็กเมนต์ จากนั้น ณ จุดใดๆ x 0 ∈ (a ; b) ก็สามารถวาดแทนเจนต์ไปที่กราฟของฟังก์ชันนี้ ซึ่งได้จากสมการ:
y = f ’(x 0) (x − x 0) + f (x 0)
โดยที่ f ’(x 0) คือค่าของอนุพันธ์ที่จุด x 0 และ f (x 0) คือค่าของฟังก์ชันนั้นเอง
งาน. รับฟังก์ชัน y = x 3 . เขียนสมการแทนเจนต์ให้กับกราฟของฟังก์ชันนี้ที่จุด x 0 = 2
สมการแทนเจนต์: y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0) เราได้รับจุด x 0 = 2 แต่จะต้องคำนวณค่า f (x 0) และ f ’(x 0)
ก่อนอื่น เรามาค้นหาค่าของฟังก์ชันกันก่อน ทุกอย่างเป็นเรื่องง่ายที่นี่: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
ตอนนี้เรามาหาอนุพันธ์กัน: f ’(x) = (x 3)’ = 3x 2;
เราแทน x 0 = 2 ลงในอนุพันธ์: f ’(x 0) = f ’(2) = 3 2 2 = 12;
โดยรวมแล้วเราได้: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16
นี่คือสมการแทนเจนต์
งาน. เขียนสมการแทนเจนต์ให้กับกราฟของฟังก์ชัน f (x) = 2sin x + 5 ที่จุด x 0 = π /2
ครั้งนี้เราจะไม่อธิบายแต่ละการกระทำโดยละเอียด - เราจะระบุเฉพาะขั้นตอนสำคัญเท่านั้น เรามี:
ฉ (x 0) = ฉ (π /2) = 2ซิน (π /2) + 5 = 2 + 5 = 7;
ฉ ’(x) = (2ซิน x + 5)’ = 2คอส x;
ฉ ’(x 0) = ฉ ’(π /2) = 2cos (π /2) = 0;
สมการแทนเจนต์:
y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7
ในกรณีหลังนี้ เส้นตรงกลายเป็นแนวนอนเพราะว่า สัมประสิทธิ์เชิงมุม k = 0 ไม่มีอะไรผิดปกติ - เราเพิ่งเจอจุดสุดขั้ว