วิธีแก้สมการเอกพันธ์ สมการเอกพันธ์
ปัจจุบันตามระดับพื้นฐานการเรียนคณิตศาสตร์ กำหนดให้เรียนคณิตศาสตร์ชั้นมัธยมศึกษาตอนปลายเพียง 4 ชั่วโมงเท่านั้น (พีชคณิต 2 ชั่วโมง เรขาคณิต 2 ชั่วโมง) ในโรงเรียนขนาดเล็กในชนบท พวกเขากำลังพยายามเพิ่มจำนวนชั่วโมงเนื่องจากองค์ประกอบของโรงเรียน แต่ถ้าชั้นเรียนเป็นแบบมนุษยธรรม ก็จะเพิ่มองค์ประกอบของโรงเรียนสำหรับการศึกษาวิชามนุษยศาสตร์ ในหมู่บ้านเล็กๆ เด็กนักเรียนมักไม่มีทางเลือก เขาเรียนในชั้นเรียนนั้น ซึ่งมีอยู่ที่โรงเรียน เขาไม่ได้ตั้งใจจะเป็นทนายความ นักประวัติศาสตร์ หรือนักข่าว (ก็มีกรณีเช่นนี้) แต่อยากเป็นวิศวกรหรือนักเศรษฐศาสตร์ ดังนั้นเขาจึงต้องผ่านการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ที่ได้คะแนนสูง ภายใต้สถานการณ์เช่นนี้ ครูคณิตศาสตร์ต้องหาทางออกจากสถานการณ์ปัจจุบันด้วยตนเอง ยิ่งไปกว่านั้น ตามตำราเรียนของ Kolmogorov ไม่ได้จัดให้มีการศึกษาหัวข้อ "สมการเอกพันธ์" ในปีที่ผ่านมา ฉันต้องใช้บทเรียนสองบทในการแนะนำหัวข้อนี้และเสริมสร้างหัวข้อนี้ น่าเสียดายที่การตรวจสอบการควบคุมดูแลด้านการศึกษาของเราห้ามไม่ให้มีบทเรียนคู่ที่โรงเรียน ดังนั้นจำนวนแบบฝึกหัดจึงต้องลดลงเหลือ 45 นาที และระดับความยากของแบบฝึกหัดจึงลดลงเหลือระดับปานกลาง ฉันขอนำเสนอแผนการสอนในหัวข้อนี้ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 10 โดยมีระดับพื้นฐานในการเรียนคณิตศาสตร์ในโรงเรียนขนาดเล็กในชนบท
ประเภทบทเรียน: แบบดั้งเดิม.
เป้า: เรียนรู้การแก้สมการเอกพันธ์ทั่วไป
งาน:
ความรู้ความเข้าใจ:
พัฒนาการ:
เกี่ยวกับการศึกษา:
- ส่งเสริมการทำงานหนักโดยอาศัยคนไข้ทำงานให้เสร็จ ความรู้สึกของความสนิทสนมกันผ่านการทำงานเป็นคู่และเป็นกลุ่ม
ในระหว่างเรียน
ฉัน.องค์กร เวที(3 นาที)
ครั้งที่สอง ทดสอบความรู้ที่จำเป็นในการเรียนรู้เนื้อหาใหม่ (10 นาที)
ระบุปัญหาหลักด้วยการวิเคราะห์งานที่เสร็จสมบูรณ์เพิ่มเติม พวกเขาเลือก 3 ตัวเลือก งานแยกตามระดับความยากและระดับความพร้อมของเด็ก ตามด้วยคำอธิบายที่กระดาน
ระดับ 1. แก้สมการ:
- 3(x+4)=12,
- 2(x-15)=2x-30
- 5(2x)=-3x-2(x+5)
- x 2 -10x+21=0 คำตอบ: 7;3
ระดับ 2. แก้สมการตรีโกณมิติอย่างง่ายและไบ สมการกำลังสอง:
คำตอบ:
b) x 4 -13x 3 +36=0 คำตอบ: -2; 2; -3; 3
ระดับ 3.การแก้สมการโดยการเปลี่ยนตัวแปร:
b) x 6 -9x 3 +8=0 คำตอบ:
สาม.การสื่อสารหัวข้อการกำหนดเป้าหมายและวัตถุประสงค์
เรื่อง: สมการเอกพันธ์
เป้า: เรียนรู้การแก้สมการเอกพันธ์ทั่วไป
งาน:
ความรู้ความเข้าใจ:
- ทำความคุ้นเคยกับสมการเอกพันธ์เรียนรู้การแก้สมการประเภทที่พบบ่อยที่สุด
พัฒนาการ:
- พัฒนาการคิดเชิงวิเคราะห์
- การพัฒนาทักษะทางคณิตศาสตร์: เรียนรู้ที่จะระบุคุณสมบัติหลักที่ทำให้สมการเอกพันธ์แตกต่างจากสมการอื่น ๆ สามารถสร้างความคล้ายคลึงกันของสมการเอกพันธ์ในรูปแบบต่าง ๆ ได้
IV. การเรียนรู้ความรู้ใหม่ (15 นาที)
1. ช่วงบรรยาย
คำจำกัดความ 1(เขียนลงในสมุดบันทึก). สมการที่อยู่ในรูป P(x;y)=0 เรียกว่าเป็นเนื้อเดียวกัน ถ้า P(x;y) เป็นพหุนามที่เป็นเนื้อเดียวกัน
พหุนามในตัวแปรสองตัว x และ y เรียกว่าเอกพันธ์ถ้าระดับของแต่ละเทอมเท่ากับจำนวน k เท่ากัน
คำจำกัดความ 2(เป็นเพียงการแนะนำ). สมการของแบบฟอร์ม
เรียกว่าสมการเอกพันธ์ของระดับ n เทียบกับ u(x) และ v(x) โดยการหารทั้งสองข้างของสมการด้วย (v(x))n เราสามารถใช้การทดแทนเพื่อให้ได้สมการ
ซึ่งช่วยให้เราสามารถจัดรูปสมการดั้งเดิมได้ง่ายขึ้น กรณี v(x)=0 จะต้องพิจารณาแยกกัน เนื่องจากเป็นไปไม่ได้ที่จะหารด้วย 0
2. ตัวอย่างของสมการเอกพันธ์:
อธิบาย: ทำไมพวกมันถึงเป็นเนื้อเดียวกัน ให้ยกตัวอย่างสมการดังกล่าวของคุณ
3. ภารกิจในการกำหนดสมการเอกพันธ์:
ท่ามกลาง สมการที่กำหนดกำหนดสมการเอกพันธ์และอธิบายตัวเลือกของคุณ:
หลังจากที่คุณอธิบายตัวเลือกของคุณแล้ว ให้ใช้หนึ่งในตัวอย่างเพื่อแสดงวิธีแก้สมการเอกพันธ์:
4. ตัดสินใจด้วยตัวเอง:
คำตอบ:
b) 2sin x – 3 cos x =0
หารทั้งสองข้างของสมการด้วย cos x เราจะได้ 2 tg x -3=0, tg x=⅔ , x=arctg⅔ +
5. แสดงวิธีแก้ปัญหาด้วยตัวอย่างจากโบรชัวร์“พี.วี. ชูลคอฟ. สมการและอสมการใน หลักสูตรของโรงเรียนคณิตศาสตร์. Moscow Pedagogical University “วันที่หนึ่งเดือนกันยายน” 2549 หน้า 22” เป็นหนึ่งในความเป็นไปได้ ตัวอย่างการสอบ Unified Stateระดับ C
วี. แก้โจทย์การรวมโดยใช้ตำราเรียนของบาชมาคอฟ
หน้า 183 หมายเลข 59 (1.5) หรือตามตำราเรียนที่แก้ไขโดย Kolmogorov: หน้า 81 หมายเลข 169 (a, c)
คำตอบ:
วี. ทดสอบงานอิสระ (7 นาที)
1 ตัวเลือก | ตัวเลือกที่ 2 |
แก้สมการ: | |
ก) บาป 2 x-5ซินxคอสx+6คอส 2 x=0 | ก) 3ซิน 2 x+2ซิน x คอส x-2คอส 2 x=0 |
b) cos 2 -3sin 2 =0 |
ข) |
คำตอบสำหรับงาน:
ตัวเลือก 1 a) คำตอบ: arctan2+πn,n € Z; b) คำตอบ: ±π/2+ 3πn,n € Z; วี)
ตัวเลือกที่ 2 a) คำตอบ: arctg(-1±31/2)+πn,n € Z; b) คำตอบ: -arctg3+πn, 0.25π+πk, ; ค) (-5;-2); (5;2)
ปกเกล้าเจ้าอยู่หัว. การบ้าน
หมายเลข 169 ตาม Kolmogorov หมายเลข 59 ตาม Bashmakov
นอกจากนี้ให้แก้ระบบสมการ:
คำตอบ: อาร์กแทน(-1±√3) +πn,
อ้างอิง:
- พี.วี. ชูลคอฟ. สมการและอสมการในรายวิชาคณิตศาสตร์ของโรงเรียน – อ.: Pedagogical University “First of September”, 2549. หน้า 22
- A. Merzlyak, V. Polonsky, E. Rabinovich, M. Yakir ตรีโกณมิติ. – อ.: “AST-PRESS”, 1998, หน้า 389
- พีชคณิตสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 เรียบเรียงโดย N.Ya. วิเลนกินา. – อ.: “การตรัสรู้”, 1997.
- พีชคณิตสำหรับเกรด 9 เรียบเรียงโดย N.Ya. วิเลนกินา. มอสโก "การตรัสรู้", 2544
- มิ.ย. บาชมาคอฟ พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ สำหรับเกรด 10-11 - ม.: “การตรัสรู้” 2536
- โคลโมโกรอฟ, อับรามอฟ, ดุดนิทซิน. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ สำหรับเกรด 10-11 – อ.: “การตรัสรู้”, 1990.
- เอ.จี. มอร์ดโควิช. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ ส่วนที่ 1 หนังสือเรียนสำหรับเกรด 10-11 – อ.: “Mnemosyne”, 2004.
หยุด! ลองทำความเข้าใจสูตรยุ่งยากนี้กัน
ตัวแปรแรกของกำลังที่มีค่าสัมประสิทธิ์ควรมาก่อน ในกรณีของเรามันเป็น
ในกรณีของเรามันเป็น ดังที่เราพบ นั่นหมายความว่าระดับของตัวแปรแรกมาบรรจบกัน และมีตัวแปรตัวที่สองถึงระดับแรกอยู่ ค่าสัมประสิทธิ์
เรามีมัน
ตัวแปรแรกคือกำลัง และตัวแปรที่สองคือกำลังสองพร้อมค่าสัมประสิทธิ์ นี่คือเทอมสุดท้ายในสมการ
อย่างที่คุณเห็น สมการของเราตรงกับคำจำกัดความในรูปแบบของสูตร
ลองดูที่ส่วนที่สอง (วาจา) ของคำจำกัดความ
เรามีสองสิ่งที่ไม่รู้จักและ มันมาบรรจบกันที่นี่
ลองพิจารณาเงื่อนไขทั้งหมด ในนั้นผลรวมของระดับของสิ่งที่ไม่รู้ควรจะเท่ากัน
ผลรวมขององศาจะเท่ากัน
ผลรวมของยกกำลังเท่ากับ (at และ at)
ผลรวมขององศาจะเท่ากัน
อย่างที่เห็น ทุกอย่างลงตัว!!!
ทีนี้มาฝึกนิยามสมการเอกพันธ์กันดีกว่า
พิจารณาว่าสมการใดเป็นเนื้อเดียวกัน:
สมการเอกพันธ์ - สมการที่มีตัวเลข:
ลองพิจารณาสมการแยกกัน
ถ้าเราหารแต่ละเทอมด้วยการแยกตัวประกอบแต่ละเทอม เราจะได้
และสมการนี้ก็เข้าข่ายนิยามของสมการเอกพันธ์โดยสิ้นเชิง
จะแก้สมการเอกพันธ์ได้อย่างไร?
ตัวอย่างที่ 2
ลองหารสมการด้วย
ตามเงื่อนไขของเรา y จะเท่ากันไม่ได้ ดังนั้นเราจึงสามารถแบ่งได้อย่างปลอดภัย
เมื่อทำการทดแทนเราจะได้สมการกำลังสองอย่างง่าย:
เนื่องจากนี่คือสมการกำลังสองรีดิวซ์ เราจึงใช้ทฤษฎีบทของเวียตา:
หลังจากทำการทดแทนแบบย้อนกลับ เราก็จะได้คำตอบ
คำตอบ:
ตัวอย่างที่ 3
ลองหารสมการด้วย (ตามเงื่อนไข)
คำตอบ:
ตัวอย่างที่ 4
ค้นหาว่า
ที่นี่คุณไม่จำเป็นต้องหาร แต่คูณ ลองคูณสมการทั้งหมดด้วย:
มาแทนที่และแก้สมการกำลังสองกัน:
เมื่อทำการทดแทนแบบย้อนกลับเราจะได้คำตอบ:
คำตอบ:
การแก้สมการตรีโกณมิติเอกพันธ์
การแก้สมการตรีโกณมิติเอกพันธ์ไม่แตกต่างจากวิธีการแก้ปัญหาที่อธิบายไว้ข้างต้น เฉพาะที่นี่เท่านั้น เหนือสิ่งอื่นใด คุณต้องรู้ตรีโกณมิติสักหน่อย และสามารถแก้สมการตรีโกณมิติได้ (คุณสามารถอ่านส่วนนี้ได้)
ลองดูสมการดังกล่าวโดยใช้ตัวอย่าง
ตัวอย่างที่ 5
แก้สมการ
เราเห็นสมการเอกพันธ์ทั่วไป: และไม่ทราบค่า และผลรวมของกำลังในแต่ละเทอมมีค่าเท่ากัน
สมการเอกพันธ์ดังกล่าวแก้ได้ไม่ยาก แต่ก่อนที่จะแบ่งสมการ ให้พิจารณากรณีที่ว่าเมื่อใด
ในกรณีนี้ สมการจะอยู่ในรูปแบบ: , ดังนั้น แต่ไซน์และโคไซน์จะเท่ากันในเวลาเดียวกันไม่ได้ เพราะตามอัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน ดังนั้นเราจึงสามารถแบ่งได้อย่างปลอดภัยเป็น:
เนื่องจากสมการถูกกำหนดไว้ ดังนั้นตามทฤษฎีบทของ Vieta:
คำตอบ:
ตัวอย่างที่ 6
แก้สมการ
ดังตัวอย่าง คุณต้องหารสมการด้วย ลองพิจารณากรณีนี้เมื่อ:
แต่ไซน์และโคไซน์จะเท่ากันในเวลาเดียวกันไม่ได้ เพราะตามอัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน นั่นเป็นเหตุผล
มาแทนที่และแก้สมการกำลังสองกัน:
เรามาทำการทดแทนแบบย้อนกลับแล้วค้นหาและ:
คำตอบ:
การแก้สมการเอ็กซ์โปเนนเชียลเอกพันธ์
สมการเอกพันธ์ได้รับการแก้ไขในลักษณะเดียวกับที่กล่าวไว้ข้างต้น หากลืมวิธีตัดสินใจ สมการเลขชี้กำลัง- ดูส่วนที่เกี่ยวข้อง ()!
ลองดูตัวอย่างบางส่วน
ตัวอย่างที่ 7
แก้สมการ
ลองจินตนาการเช่นนี้:
เราเห็นสมการเอกพันธ์ทั่วไปซึ่งมีตัวแปรสองตัวและผลรวมของกำลัง ลองแบ่งสมการออกเป็น:
อย่างที่คุณเห็น เมื่อทำการทดแทน เราจะได้สมการกำลังสองด้านล่าง (ไม่จำเป็นต้องกลัวการหารด้วยศูนย์ - มันจะมากกว่าศูนย์อย่างเคร่งครัดเสมอ):
ตามทฤษฎีบทของ Vieta:
คำตอบ: .
ตัวอย่างที่ 8
แก้สมการ
ลองจินตนาการเช่นนี้:
ลองแบ่งสมการออกเป็น:
มาแทนที่และแก้สมการกำลังสองกัน:
รูตไม่ตรงตามเงื่อนไข เรามาทำการทดแทนแบบย้อนกลับแล้วค้นหา:
คำตอบ:
สมการเอกพันธ์ ระดับเฉลี่ย
ก่อนอื่น ผมขอเตือนคุณโดยใช้ตัวอย่างปัญหาหนึ่ง สมการเอกพันธ์คืออะไร และอะไรคือคำตอบของสมการเอกพันธ์
แก้ปัญหา:
ค้นหาว่า
คุณจะสังเกตเห็นสิ่งที่น่าสงสัยได้ที่นี่: ถ้าเราหารแต่ละเทอมด้วย เราจะได้:
นั่นคือตอนนี้ไม่มีการแยกจากกันและ - ตอนนี้ตัวแปรในสมการคือค่าที่ต้องการ และนี่คือสมการกำลังสองธรรมดาที่สามารถแก้ได้ง่ายๆ โดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตต้า ผลคูณของรากเท่ากัน และผลรวมคือตัวเลข และ
คำตอบ:
สมการของแบบฟอร์ม
เรียกว่าเป็นเนื้อเดียวกัน นั่นคือนี่คือสมการที่มีค่าไม่ทราบสองตัว ซึ่งแต่ละเทอมจะมีพลังรวมของค่าไม่ทราบเหล่านี้เท่ากัน ตัวอย่างเช่น ในตัวอย่างข้างต้น จำนวนนี้เท่ากับ สมการที่เป็นเนื้อเดียวกันแก้ได้โดยการหารด้วยค่าที่ไม่ทราบค่าตัวใดตัวหนึ่งในระดับนี้:
และการแทนที่ตัวแปรในภายหลัง: . ดังนั้นเราจึงได้สมการกำลังโดยไม่ทราบค่า:
บ่อยครั้งที่เราจะเจอสมการระดับที่สอง (นั่นคือกำลังสอง) และเรารู้วิธีแก้สมการเหล่านี้:
โปรดทราบว่าเราสามารถหาร (และคูณ) สมการทั้งหมดด้วยตัวแปรได้เท่านั้น ถ้าเรามั่นใจว่าตัวแปรนี้ไม่สามารถเท่ากับศูนย์ได้! เช่น ถ้าเราถูกขอให้ค้นหา เราก็จะเข้าใจทันทีว่าเพราะมันแบ่งแยกไม่ได้ ในกรณีที่ไม่ชัดเจนนัก จำเป็นต้องตรวจสอบกรณีแยกต่างหากเมื่อตัวแปรนี้มีค่าเท่ากับศูนย์ ตัวอย่างเช่น:
แก้สมการ
สารละลาย:
เราเห็นสมการเอกพันธ์ทั่วไปที่นี่ และไม่ทราบค่า และผลรวมของกำลังในแต่ละเทอมมีค่าเท่ากัน
แต่ก่อนที่จะหารด้วยสมการกำลังสองที่สัมพันธ์กัน เราต้องพิจารณากรณีที่เมื่อก่อน ในกรณีนี้ สมการจะอยู่ในรูปแบบ: ซึ่งหมายถึง แต่ไซน์และโคไซน์ไม่สามารถเท่ากับศูนย์ในเวลาเดียวกันได้ เพราะตามอัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน: ดังนั้นเราจึงสามารถแบ่งได้อย่างปลอดภัยเป็น:
ฉันหวังว่าวิธีแก้ปัญหานี้จะชัดเจนอย่างสมบูรณ์ใช่ไหม ถ้าไม่อ่านหัวข้อ หากไม่ชัดเจนว่ามาจากไหนคุณต้องกลับไปที่ส่วนนี้เร็วกว่านี้
ตัดสินใจด้วยตัวเอง:
- ค้นหาว่า
- ค้นหาว่า
- แก้สมการ
ต่อไปนี้ผมจะเขียนคำตอบของสมการเอกพันธ์โดยตรงสั้นๆ:
โซลูชั่น:
คำตอบ: .
แต่ที่นี่เราต้องคูณแทนที่จะหาร:
คำตอบ:
หากคุณยังไม่ได้ใช้สมการตรีโกณมิติ คุณสามารถข้ามตัวอย่างนี้ได้
เนื่องจากที่นี่เราต้องหารด้วย ก่อนอื่นต้องแน่ใจว่าหนึ่งร้อยไม่เท่ากับศูนย์:
และนี่เป็นไปไม่ได้
คำตอบ: .
สมการเอกพันธ์ สั้น ๆ เกี่ยวกับสิ่งสำคัญ
การแก้สมการเอกพันธ์ทั้งหมดลดลงเหลือเพียงการหารด้วยค่าที่ไม่รู้จักค่าใดค่าหนึ่งยกกำลัง และการเปลี่ยนแปลงตัวแปรเพิ่มเติม
อัลกอริทึม:
เอาล่ะ หัวข้อมันจบลงแล้ว หากคุณกำลังอ่านบรรทัดเหล่านี้แสดงว่าคุณเจ๋งมาก
เพราะมีคนเพียง 5% เท่านั้นที่สามารถเชี่ยวชาญบางสิ่งได้ด้วยตัวเอง และถ้าคุณอ่านจนจบแสดงว่าคุณอยู่ใน 5% นี้!
ตอนนี้สิ่งที่สำคัญที่สุด
คุณเข้าใจทฤษฎีในหัวข้อนี้แล้ว และขอย้ำอีกครั้งว่า...นี่มันสุดยอดมาก! คุณเก่งกว่าคนรอบข้างส่วนใหญ่อยู่แล้ว
ปัญหาคือว่านี่อาจไม่เพียงพอ...
เพื่ออะไร?
เพื่อความสำเร็จ ผ่านการสอบ Unified Stateสำหรับการเข้าศึกษาในวิทยาลัยด้วยงบประมาณและที่สำคัญที่สุดคือตลอดชีวิต
ฉันจะไม่โน้มน้าวคุณในสิ่งใด ฉันจะพูดสิ่งเดียวเท่านั้น...
คนที่ได้รับ การศึกษาที่ดีมีรายได้มากกว่าผู้ที่ไม่ได้รับมันมาก นี่คือสถิติ
แต่นี่ไม่ใช่สิ่งสำคัญ
สิ่งสำคัญคือพวกเขามีความสุขมากขึ้น (มีการศึกษาเช่นนี้) อาจเป็นเพราะโอกาสมากมายเปิดกว้างต่อหน้าพวกเขาและชีวิตก็สดใสขึ้น? ไม่รู้...
แต่คิดเอาเองนะ...
ต้องใช้อะไรบ้างเพื่อให้แน่ใจว่าจะดีกว่าคนอื่นๆ ในการสอบ Unified State และสุดท้ายจะ... มีความสุขมากขึ้น?
ช่วยคุณโดยการแก้ปัญหาในหัวข้อนี้
คุณจะไม่ถูกถามถึงทฤษฎีในระหว่างการสอบ
คุณจะต้องการ แก้ปัญหากับเวลา.
และถ้าคุณยังไม่ได้แก้ไขมัน (มาก!) คุณจะทำผิดพลาดโง่ ๆ อย่างแน่นอนหรือไม่มีเวลาเลย
มันก็เหมือนกับกีฬา - คุณต้องทำซ้ำหลาย ๆ ครั้งจึงจะชนะอย่างแน่นอน
ค้นหาคอลเลกชันทุกที่ที่คุณต้องการ จำเป็นต้องมีวิธีแก้ปัญหา การวิเคราะห์โดยละเอียด และตัดสินใจ ตัดสินใจ ตัดสินใจ!
คุณสามารถใช้งานของเรา (ไม่จำเป็น) และแน่นอนว่าเราแนะนำพวกเขา
เพื่อให้ใช้งานของเราได้ดียิ่งขึ้น คุณต้องช่วยยืดอายุหนังสือเรียน YouClever ที่คุณกำลังอ่านอยู่
ยังไง? มีสองตัวเลือก:
- ปลดล็อคงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทความนี้ - 299 ถู
- ปลดล็อกการเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทความทั้ง 99 บทของหนังสือเรียน - 499 ถู
ใช่ เรามีบทความดังกล่าว 99 บทความในหนังสือเรียนของเราและเข้าถึงงานทั้งหมดได้ และสามารถเปิดข้อความที่ซ่อนอยู่ในนั้นได้ทันที
การเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดมีให้ตลอดทั้งชีวิตของไซต์
สรุปแล้ว...
หากคุณไม่ชอบงานของเราก็หาคนอื่น อย่าหยุดแค่ทฤษฎี
“เข้าใจแล้ว” และ “ฉันแก้ได้” เป็นทักษะที่แตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง คุณต้องการทั้งสองอย่าง
ค้นหาปัญหาและแก้ไข!
ตัวอย่างเช่นฟังก์ชัน
เป็นฟังก์ชันเอกพันธ์ของมิติที่ 1 เนื่องจาก
เป็นฟังก์ชันเอกพันธ์ของมิติที่สาม เนื่องจาก
เป็นฟังก์ชันเอกพันธ์ของมิติศูนย์ เนื่องจาก
, เช่น.
.
คำจำกัดความ 2 สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง ย" = ฉ(x, ย) เรียกว่าเป็นเนื้อเดียวกันหากเป็นฟังก์ชัน ฉ(x, ย) เป็นฟังก์ชันเอกพันธ์ของมิติศูนย์เทียบกับ x และ ยหรืออย่างที่พวกเขาพูดกันว่า ฉ(x, ย) เป็นฟังก์ชันเอกพันธ์ของดีกรี 0
ก็สามารถแสดงออกมาในรูปแบบได้
ซึ่งช่วยให้เราสามารถกำหนดสมการเอกพันธ์เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ที่สามารถแปลงเป็นรูปแบบ (3.3)
การทดแทน
ลดสมการเอกพันธ์ให้เป็นสมการที่มีตัวแปรที่แยกกันได้ อันที่จริงหลังจากเปลี่ยนตัวแล้ว ย =xzเราได้รับ
,
เมื่อแยกตัวแปรและอินทิเกรต เราจะพบว่า:
,
ตัวอย่างที่ 1 แก้สมการ
Δ เราถือว่า ย =zx,
แทนนิพจน์เหล่านี้ ย
และ ดี้ลงในสมการนี้:
หรือ
เราแยกตัวแปร:
และบูรณาการ:
,
กำลังเปลี่ยน zบน , เราได้รับ
.
ตัวอย่างที่ 2 หา การตัดสินใจร่วมกันสมการ
Δ ในสมการนี้ ป
(x,ย)
=x 2 -2ย 2 ,ถาม(x,ย)
=2เอ็กซ์ซีเป็นฟังก์ชันเนื้อเดียวกันของมิติที่สอง ดังนั้นสมการนี้จึงเป็นเนื้อเดียวกัน ก็สามารถแสดงออกมาในรูปแบบได้
และแก้แบบเดียวกับข้างบน แต่เราใช้รูปแบบการบันทึกที่แตกต่างออกไป มาใส่กันเถอะ ย =
zx, ที่ไหน ดี้ =
zdx
+
xdz. เราจะได้การแทนที่นิพจน์เหล่านี้ลงในสมการดั้งเดิม
ดีเอ็กซ์+2 zxdz = 0 .
เราแยกตัวแปรด้วยการนับ
.
ลองอินทิเกรตสมการนี้ทีละเทอม
, ที่ไหน
นั่นคือ
. กลับสู่ฟังก์ชั่นก่อนหน้า
ค้นหาวิธีแก้ปัญหาทั่วไป
ตัวอย่างที่ 3
.
หาคำตอบทั่วไปของสมการ
.
Δ ห่วงโซ่ของการเปลี่ยนแปลง: ,ย =
zx,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
การบรรยายครั้งที่ 8
4. สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นของลำดับแรก สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นของลำดับแรกมีรูปแบบ
นี่คือพจน์อิสระ หรือที่เรียกว่าด้านขวาของสมการ เราจะพิจารณาสมการเชิงเส้นในรูปแบบนี้ดังต่อไปนี้
ถ้า
0 จากนั้นสมการ (4.1a) เรียกว่าเชิงเส้นตรงที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน ถ้า
0 จากนั้นสมการจะอยู่ในรูปแบบ
และเรียกว่าเอกพันธ์เชิงเส้น
ชื่อของสมการ (4.1a) อธิบายได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าฟังก์ชันที่ไม่รู้จัก ย และอนุพันธ์ของมัน ป้อนเป็นเส้นตรงเช่น ในระดับแรก
ในสมการเอกพันธ์เชิงเส้น ตัวแปรจะถูกแยกออกจากกัน เขียนใหม่ให้อยู่ในรูป
ที่ไหน
และเมื่อรวมเข้าด้วยกัน เราได้รับ:
,เหล่านั้น.
|
เมื่อแบ่งตาม เราแพ้การตัดสินใจ
. อย่างไรก็ตาม สามารถรวมไว้ในกลุ่มโซลูชันที่พบ (4.3) ได้หากเราถือว่าเป็นเช่นนั้น กับก็สามารถรับค่า 0 ได้เช่นกัน
มีหลายวิธีในการแก้สมการ (4.1a) ตาม วิธีการของเบอร์นูลลี, หาคำตอบได้ในรูปของผลิตภัณฑ์ที่มีสองฟังก์ชันของ เอ็กซ์:
คุณสามารถเลือกหนึ่งในฟังก์ชันเหล่านี้ได้ตามใจชอบ เนื่องจากมีเพียงผลิตภัณฑ์เท่านั้น ยูวี ต้องเป็นไปตามสมการดั้งเดิม ส่วนอีกสมการถูกกำหนดตามสมการ (4.1a)
เราพบว่ามีความแตกต่างทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกัน (4.4)
.
การแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์สำหรับอนุพันธ์ ตลอดจนคุณค่า ที่
ลงในสมการ (4.1a) เราได้
, หรือ
เหล่านั้น. เป็นฟังก์ชัน โวลต์ให้เราหาคำตอบของสมการเชิงเส้นเอกพันธ์ (4.6):
(ที่นี่ คจำเป็นต้องเขียนไม่เช่นนั้นคุณจะไม่ได้แบบทั่วไป แต่เป็นวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ)
ดังนั้น เราจะเห็นว่าผลลัพธ์ของการทดแทนที่ใช้ (4.4) สมการ (4.1a) จะลดลงเหลือสองสมการที่มีตัวแปรที่แยกออกจากกัน (4.6) และ (4.7)
การทดแทน
และ โวลต์(x) ลงในสูตร (4.4) ในที่สุดเราก็ได้
,
. |
ตัวอย่างที่ 1
หาคำตอบทั่วไปของสมการ
เอาล่ะ
, แล้ว
. การแทนที่นิพจน์ และ ลงในสมการดั้งเดิม เราได้
หรือ
(*)
ให้เราตั้งค่าสัมประสิทธิ์เป็นศูนย์เท่ากับ :
เรามีการแยกตัวแปรในสมการผลลัพธ์
(ค่าคงที่ตามอำเภอใจ ค
เราไม่เขียน) จากที่นี่ โวลต์=
x. พบคุณค่า โวลต์แทนลงในสมการ (*):
,
,
.
เพราะฉะนั้น,
ผลเฉลยทั่วไปของสมการดั้งเดิม
โปรดทราบว่าสมการ (*) สามารถเขียนได้ในรูปแบบที่เทียบเท่า:
.
สุ่มเลือกฟังก์ชั่น ยู, แต่ไม่ โวลต์เราก็เชื่อได้
. โซลูชันนี้แตกต่างจากโซลูชันที่พิจารณาโดยการแทนที่เท่านั้น โวลต์บน ยู(และดังนั้นจึง ยูบน โวลต์) ดังนั้นค่าสุดท้าย ที่กลายเป็นเหมือนกัน
จากข้อมูลข้างต้น เราได้รับอัลกอริธึมสำหรับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นลำดับที่หนึ่ง
โปรดสังเกตเพิ่มเติมว่าบางครั้งสมการลำดับที่หนึ่งจะกลายเป็นเส้นตรงถ้า ที่ถือเป็นตัวแปรอิสระ และ x– ขึ้นอยู่กับ เช่น สลับบทบาท x และ ย. ก็สามารถทำได้โดยมีเงื่อนไขว่า xและ ดีเอ็กซ์ป้อนสมการเชิงเส้นตรง
ตัวอย่างที่ 2
.
แก้สมการ
.
ในลักษณะที่ปรากฏ สมการนี้ไม่เป็นเชิงเส้นเมื่อเทียบกับฟังก์ชัน ที่.
แต่อย่างไรก็ตามหากเราพิจารณาว่า xเป็นหน้าที่ของ ที่เช่นนั้นแล้ว
ก็สามารถนำมาเข้ารูปได้
(4.1 ข) |
กำลังเปลี่ยน บน ,เราได้รับ
หรือ
. หารทั้งสองข้างของสมการสุดท้ายด้วยผลคูณ เย้เรามาทำให้มันเป็นรูปเป็นร่างกันเถอะ
, หรือ
.
(**)
ที่นี่ P(y)=,
. นี่คือสมการเชิงเส้นเทียบกับ x. พวกเราเชื่อว่า
,
. เมื่อแทนนิพจน์เหล่านี้เป็น (**) เราจะได้
หรือ
.
ลองเลือก v แล้วอันนั้น
,
, ที่ไหน
;
. ต่อไปเรามี
,
,
.
เพราะ
แล้วเราก็ได้คำตอบทั่วไปของสมการนี้ในรูปแบบ
.
โปรดทราบว่าในสมการ (4.1a) ป(x) และ ถาม (x) สามารถรวมได้ไม่เฉพาะในรูปแบบของฟังก์ชันจาก xแต่มีค่าคงที่ด้วย: ป= ก,ถาม= ข. สมการเชิงเส้น
สามารถแก้ไขได้โดยใช้การทดแทน y= ยูวี และการแยกตัวแปร:
;
.
จากที่นี่
;
;
; ที่ไหน
. เมื่อพ้นจากลอการิทึมแล้ว เราจะได้คำตอบทั่วไปของสมการ
(ที่นี่
).
ที่ ข= 0 เรามาแก้สมการกัน
(ดูสมการการเติบโตแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล (2.4) ที่
).
ขั้นแรก เรารวมสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน (4.2) ตามที่ระบุไว้ข้างต้น วิธีการแก้ปัญหามีรูปแบบ (4.3) เราจะพิจารณาปัจจัย กับใน (4.3) เป็นฟังก์ชันของ เอ็กซ์, เช่น. โดยพื้นฐานแล้วทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงตัวแปร
เราพบการบูรณาการจากที่ไหน
โปรดทราบว่าตาม (4.14) (ดู (4.9) เพิ่มเติม) ผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงเส้นแบบไม่เอกพันธ์จะเท่ากับผลรวมของผลเฉลยทั่วไปของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน (4.3) และผลเฉลยเฉพาะของสมการเอกพันธ์ที่กำหนดโดย ภาคเรียนที่สองรวมอยู่ใน (4.14) (และใน (4.9))
เมื่อแก้สมการเฉพาะ คุณควรทำการคำนวณข้างต้นซ้ำ แทนที่จะใช้สูตรยุ่งยาก (4.14)
ให้เราใช้วิธีลากรองจ์กับสมการที่พิจารณา ตัวอย่างที่ 1 :
.
เรารวมสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน
.
เราจะได้การแยกตัวแปรออกมา
และต่อไป
. การแก้นิพจน์ตามสูตร ย
=
Cx. เรามองหาคำตอบของสมการดั้งเดิมในรูปแบบ ย
=
ค(x)x. เราได้แทนนิพจน์นี้ลงในสมการที่กำหนด
;
;
,
. ผลเฉลยทั่วไปของสมการดั้งเดิมมีรูปแบบ
.
โดยสรุป เราสังเกตว่าสมการเบอร์นูลลีลดลงเป็นสมการเชิงเส้น
,
( |
ซึ่งสามารถเขียนได้ในรูป
. |
การทดแทน
มันลดเหลือสมการเชิงเส้น:
,
,
.
สมการของเบอร์นูลลีสามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีการที่อธิบายไว้ข้างต้น
ตัวอย่างที่ 3
.
หาคำตอบทั่วไปของสมการ
.
ห่วงโซ่แห่งการเปลี่ยนแปลง:
,
,,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์อันดับหนึ่ง
เป็นสมการของรูปแบบ
โดยที่ f คือฟังก์ชัน
วิธีการหาสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์
ในการพิจารณาว่าสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งเป็นเนื้อเดียวกันหรือไม่ คุณต้องใส่ค่าคงที่ t และแทนที่ y ด้วย ty และ x ด้วย tx: y → ty, x → tx ถ้าไม่ยกเลิกก็จะประมาณนี้ สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์. อนุพันธ์ y′ จะไม่เปลี่ยนแปลงกับการแปลงนี้
.
ตัวอย่าง
ตรวจสอบว่าสมการที่กำหนดเป็นเนื้อเดียวกันหรือไม่
สารละลาย
เราทำการแทนที่ y → ty, x → tx
หารด้วย t 2
.
.
สมการไม่มีค่า t ดังนั้น นี่คือสมการเอกพันธ์
วิธีการแก้สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์
สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์อันดับหนึ่งจะลดลงเป็นสมการที่มีตัวแปรที่แยกได้โดยใช้การแทนที่ y = ux มาแสดงกันเถอะ พิจารณาสมการ:
(ฉัน)
มาทำการทดแทนกัน:
y = ux,
โดยที่คุณเป็นฟังก์ชันของ x แยกความแตกต่างด้วยความเคารพ x:
ย' =
แทนลงในสมการเดิม (ฉัน).
,
,
(สอง) .
มาแยกตัวแปรกัน คูณด้วย dx แล้วหารด้วย x ( ฉ(ยู) - คุณ ).
ที่ฉ (คุณ) - คุณ ≠ 0และ x ≠ 0
เราได้รับ:
มาบูรณาการกัน:
ดังนั้นเราจึงได้อินทิกรัลทั่วไปของสมการ (ฉัน)ในพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส:
ให้เราแทนที่ค่าคงที่ของการอินทิเกรต C ด้วย อินซี, แล้ว
ให้เราละเว้นเครื่องหมายโมดูลัสเนื่องจาก เครื่องหมายที่ถูกต้องถูกกำหนดโดยการเลือกเครื่องหมายของค่าคงที่ C จากนั้นอินทิกรัลทั่วไปจะอยู่ในรูปแบบ:
ต่อไปเราควรพิจารณากรณี f (คุณ) - คุณ = 0.
หากสมการนี้มีราก แสดงว่าสมการนั้นคือคำตอบของสมการ (สอง). ตั้งแต่สมการ (สอง)ไม่ตรงกับสมการดั้งเดิม ดังนั้นคุณควรตรวจสอบให้แน่ใจว่าคำตอบเพิ่มเติมเป็นไปตามสมการดั้งเดิม (ฉัน).
เมื่อใดก็ตามที่เราอยู่ในกระบวนการแปลง ให้แบ่งสมการใดๆ ด้วยฟังก์ชันบางอย่าง ซึ่งเราแสดงว่าเป็น g (x, ย)แล้วการแปลงเพิ่มเติมจะใช้ได้สำหรับ g (x, y) ≠ 0. ดังนั้นควรพิจารณากรณี g แยกกัน (x, y) = 0.
ตัวอย่างของการแก้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งที่เป็นเนื้อเดียวกัน
แก้สมการ
สารละลาย
ลองตรวจสอบว่าสมการนี้เป็นเนื้อเดียวกันหรือไม่ เราทำการแทนที่ y → ty, x → tx ในกรณีนี้ y′ → y′
,
,
.
เราย่อมันให้สั้นลงด้วย t
ค่าคงที่ t ลดลง ดังนั้นสมการจึงเป็นเนื้อเดียวกัน
เราทำการทดแทน y = ux โดยที่ u เป็นฟังก์ชันของ x
ย' = (ux) ′ = u′ x + u (x) ′ = u′ x + u
แทนลงในสมการเดิม
,
,
,
.
เมื่อ x ≥ 0
, |x| = x เมื่อ x ≤ 0
, |x| = - x . เราเขียน |x| = x แปลว่าเครื่องหมายบนสุดหมายถึงค่า x ≥ 0
และอันล่าง - ถึงค่า x ≤ 0
.
,
คูณด้วย dx แล้วหารด้วย
เมื่อคุณ 2 - 1 ≠ 0
เรามี:
มาบูรณาการกัน:
อินทิกรัลแบบตาราง
.
ลองใช้สูตร:
(ก + ข)(ก - ข) = ก 2 - ข 2.
ให้ a = u, .
.
ลองใช้โมดูโลและลอการิทึมทั้งสองด้านกัน
.
จากที่นี่
.
ดังนั้นเราจึงมี:
,
.
เราละเว้นเครื่องหมายของโมดูลัสเนื่องจากเครื่องหมายที่ต้องการนั้นมั่นใจได้โดยการเลือกเครื่องหมายของค่าคงที่ C
คูณด้วย x แล้วแทนที่ ux = y
,
.
ยกกำลังสอง
,
,
.
ตอนนี้พิจารณากรณีนี้คุณ 2 - 1 = 0
.
รากของสมการนี้
.
ง่ายต่อการตรวจสอบว่าฟังก์ชัน y = x เป็นไปตามสมการดั้งเดิม
คำตอบ
,
,
.
อ้างอิง:
น.เอ็ม. กุนเธอร์ อาร์.โอ. Kuzmin, ชุดของปัญหาทางคณิตศาสตร์ขั้นสูง, “ลาน”, 2546.
ฟังก์ชัน f(x,y) ถูกเรียก ฟังก์ชันที่เป็นเนื้อเดียวกันของอาร์กิวเมนต์ของมิติ n ถ้าอัตลักษณ์เป็นจริง f(tx,ty) \equiv t^nf(x,y).
ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน f(x,y)=x^2+y^2-xy เป็นฟังก์ชันเอกพันธ์ของมิติที่สอง เนื่องจาก
F(tx,ty)=(tx)^2+(ty)^2-(tx)(ty)=t^2(x^2+y^2-xy)=t^2f(x,y)
เมื่อ n=0 เรามีฟังก์ชันมิติเป็นศูนย์ ตัวอย่างเช่น, \frac(x^2-y^2)(x^2+y^2)เป็นฟังก์ชันเอกพันธ์ของมิติศูนย์ เนื่องจาก
(f(tx,ty)=\frac((tx)^2-(ty)^2)((tx)^2+(ty)^2)=\frac(t^2(x^2-y^ 2))(t^2(x^2+y^2))=\frac(x^2-y^2)(x^2+y^2)=f(x,y).)
สมการเชิงอนุพันธ์ของแบบฟอร์ม \frac(dy)(dx)=f(x,y)กล่าวกันว่าเป็นเนื้อเดียวกันด้วยความเคารพต่อ x และ y ถ้า f(x,y) เป็นฟังก์ชันเนื้อเดียวกันของอาร์กิวเมนต์ที่มีมิติเป็นศูนย์ สมการเอกพันธ์สามารถแสดงเป็นได้เสมอ
\frac(dy)(dx)=\varphi\!\left(\frac(y)(x)\right)
ด้วยการแนะนำฟังก์ชันใหม่ที่จำเป็น u=\frac(y)(x) สมการ (1) สามารถลดลงเป็นสมการด้วยการแยกตัวแปร:
X\frac(du)(dx)=\varphi(u)-u.
ถ้า u=u_0 เป็นรากของสมการ \varphi(u)-u=0 ดังนั้นคำตอบของสมการเอกพันธ์จะเป็น u=u_0 หรือ y=u_0x (เส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิด)
ความคิดเห็นเมื่อแก้สมการเอกพันธ์ ไม่จำเป็นต้องลดให้เหลือรูปแบบ (1) คุณสามารถทำการทดแทนได้ทันที y=ux
ตัวอย่างที่ 1แก้สมการเอกพันธ์ xy"=\sqrt(x^2-y^2)+y.
สารละลาย.เรามาเขียนสมการในรูปแบบกัน y"=\sqrt(1-(\left(\frac(y)(x)\right)\^2}+\frac{y}{x} !}ดังนั้นสมการนี้จึงกลายเป็นเนื้อเดียวกันเทียบกับ x และ y ลองใส่ u=\frac(y)(x) หรือ y=ux แล้ว y"=xu"+u เราได้แทนนิพจน์สำหรับ y และ y" ลงในสมการ x\frac(du)(dx)=\sqrt(1-u^2). เราแยกตัวแปร: \frac(du)(1-u^2)=\frac(dx)(x). จากที่นี่เราพบโดยการบูรณาการ
\arcsin(u)=\ln|x|+\ln(C_1)~(C_1>0), หรือ \arcsin(u)=\ln(C_1|x|).
ตั้งแต่ C_1|x|=\pm(C_1x) ดังนั้น แทน \pm(C_1)=C เราได้รับ \อาร์คซิน(u)=\ln(Cx), ที่ไหน |\ln(Cx)|\leqslant\frac(\pi)(2)หรือ อี^(-\pi/2)\leqslant(Cx)\leqslant(e^(\pi/2)). แทนที่ u ด้วย \frac(y)(x) เราจะได้อินทิกรัลทั่วไป \อาร์คซิน(y)(x)=\ln(Cx).
ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาทั่วไป: y=x\sin\ln(Cx)
เมื่อแยกตัวแปร เราหารทั้งสองด้านของสมการด้วยผลคูณ x\sqrt(1-u^2) ดังนั้นเราจึงอาจสูญเสียคำตอบ ซึ่งทำให้ผลคูณนี้หายไป
ตอนนี้ให้เราตั้งค่า x=0 และ \sqrt(1-u^2)=0 แต่ x\ne0 เนื่องจากการทดแทน u=\frac(y)(x) และจากความสัมพันธ์ \sqrt(1-u^2)=0 เราจึงได้สิ่งนั้น 1-\frac(y^2)(x^2)=0จากที่ y=\pm(x) จากการตรวจสอบโดยตรง เรามั่นใจว่าฟังก์ชัน y=-x และ y=x ก็เป็นคำตอบเช่นกัน สมการที่กำหนด.
ตัวอย่างที่ 2พิจารณาตระกูลของเส้นโค้งอินทิกรัล C_\alpha ของสมการเอกพันธ์ y"=\varphi\!\left(\frac(y)(x)\right). แสดงว่าเส้นสัมผัสที่จุดตรงกับเส้นโค้งที่กำหนดโดยสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์นี้ขนานกัน
บันทึก:เราจะโทร เหมาะสมจุดเหล่านั้นบนเส้นโค้ง C_\alpha ซึ่งอยู่บนรังสีเดียวกันที่เล็ดลอดออกมาจากจุดกำเนิด
สารละลาย.ตามคำจำกัดความของประเด็นที่เรามี \frac(y)(x)=\frac(y_1)(x_1)ดังนั้นโดยอาศัยสมการของมันเอง y"=y"_1 โดยที่ y" และ y"_1 - เนินเขาแทนเจนต์ของเส้นโค้งอินทิกรัล C_\alpha และ C_(\alpha_1) ที่จุด M และ M_1 ตามลำดับ (รูปที่ 12)
สมการลดลงเป็นเนื้อเดียวกัน
ก.พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์ของแบบฟอร์ม
\frac(dy)(dx)=f\!\left(\frac(ax+by+c)(a_1x+b_1y+c_1)\right)
โดยที่ a,b,c,a_1,b_1,c_1 เป็นค่าคงที่ และ f(u) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องของอาร์กิวเมนต์ u
ถ้า c=c_1=0 สมการ (3) จะเป็นเนื้อเดียวกันและถูกอินทิเกรตตามที่ระบุไว้ข้างต้น
หากตัวเลขอย่างน้อยหนึ่งตัว c,c_1 แตกต่างจากศูนย์ ก็ควรแยกสองกรณีออก
1) ปัจจัยกำหนด \Delta=\begin(vmatrix)a&b\\a_1&b_1\end(vmatrix)\ne0. การแนะนำตัวแปรใหม่ \xi และ \eta ตามสูตร x=\xi+h,~y=\eta+k โดยที่ h และ k ยังคงเป็นค่าคงที่ที่ไม่ทราบแน่ชัด เราจะลดสมการ (3) ลงในแบบฟอร์ม
\frac(d\eta)(d\xi)=f\!\left(\frac(a\xi+b\eta+ah+bk+c)(a_1\xi+b_2\eta+a_1h+b_1k+c_1 )\ขวา).
การเลือก h และ k เป็นวิธีแก้ระบบสมการเชิงเส้น
\begin(กรณี)ah+bk+c=0,\\a_1h+b_1k+c_1=0\end(กรณี)~(\Delta\ne0),
เราได้รับสมการเอกพันธ์ \frac(d\eta)(d\xi)=f\!\left(\frac(a\xi+b\eta)(a_1\xi+b_1\eta)\right). เมื่อพบอินทิกรัลทั่วไปแล้วแทนที่ \xi ด้วย x-h และ \eta ด้วย y-k เราจะได้อินทิกรัลทั่วไปของสมการ (3)
2) ปัจจัยกำหนด \Delta=\begin(vmatrix)a&b\\a_1&b_1\end(vmatrix)=0. ระบบ (4) ในกรณีทั่วไปไม่มีวิธีแก้ไข และวิธีการข้างต้นใช้ไม่ได้ ในกรณีนี้ \frac(a_1)(a)=\frac(b_1)(b)=\แลมบ์ดาดังนั้นสมการ (3) จึงมีรูปแบบ \frac(dy)(dx)=f\!\left(\frac(ax+by+c)(\lambda(ax+by)+c_1)\right). การทดแทน z=ax+by ทำให้เกิดสมการที่มีตัวแปรที่แยกออกจากกันได้
ตัวอย่างที่ 3แก้สมการ (x+y-2)\,dx+(x-y+4)\,dy=0.
สารละลาย.พิจารณาระบบเชิงเส้น สมการพีชคณิต \begin(กรณี)x+y-2=0,\\x-y+4=0.\end(กรณี)
ปัจจัยกำหนดของระบบนี้ \Delta=\begin(vmatrix)\hfill1&\hfill1\\\hfill1&\hfill-1\end(vmatrix)=-2\ne0.
ระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ x_0=-1,~y_0=3 เราทำการเปลี่ยน x=\xi-1,~y=\eta+3 จากนั้นสมการ (5) จะอยู่ในรูปแบบ
(\xi+\eta)\,d\xi+(\xi-\eta)\,d\eta=0
สมการนี้เป็นสมการเอกพันธ์ การตั้งค่า \eta=u\xi เราได้รับ
(\xi+\xi(u))\,d\xi+(\xi-\xi(u))(\xi\,du+u\,d\xi)=0, ที่ไหน (1+2u-u^2)\,d\xi+\xi(1-u)\,du=0.
การแยกตัวแปร \frac(d\xi)(\xi)+\frac(1-u)(1+2u-u^2)\,du=0.
เราพบการบูรณาการ \ln|\xi|+\frac(1)(2)\ln|1+2u-u^2|=\ln(C)หรือ \xi^2(1+2u-u^2)=C
กลับไปที่ตัวแปร x,~y:
(x+1)^2\ซ้าย=C_1หรือ x^2+2xy-y^2-4x+8y=C~~(C=C_1+14)
ตัวอย่างที่ 4แก้สมการ (x+y+1)\,dx+(2x+2y-1)\,dy=0.
สารละลาย.ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น \begin(กรณี)x+y+1=0,\\2x+2y-1=0\end(กรณี)เข้ากันไม่ได้ ในกรณีนี้ วิธีการที่ใช้ในตัวอย่างก่อนหน้านี้ไม่เหมาะสม ในการอินทิเกรตสมการ เราใช้การแทนที่ x+y=z, dy=dz-dx จะได้สมการออกมาเป็นรูปร่าง
(2-z)\,dx+(2z-1)\,dz=0
เราจะได้การแยกตัวแปรออกมา
Dx-\frac(2z-1)(z-2)\,dz=0ดังนั้น x-2z-3\ln|z-2|=C
เมื่อกลับไปที่ตัวแปร x,~y เราจะได้อินทิกรัลทั่วไปของสมการนี้
X+2y+3\ln|x+y-2|=C
บี.บางครั้งสมการสามารถทำให้เป็นเนื้อเดียวกันได้โดยการแทนที่ตัวแปร y=z^\alpha สิ่งนี้เกิดขึ้นเมื่อพจน์ทั้งหมดในสมการมีขนาดเท่ากัน หากกำหนดตัวแปร x เป็นมิติ 1 ตัวแปร y - มิติ \alpha และอนุพันธ์ \frac(dy)(dx) - มิติ \alpha-1
ตัวอย่างที่ 5แก้สมการ (x^2y^2-1)\,dy+2xy^3\,dx=0.
สารละลาย.ทำการทดแทน y=z^\อัลฟา,~dy=\อัลฟา(z^(\alpha-1))\,dzโดยที่ \alpha เป็นตัวเลขใดๆ ในตอนนี้ ซึ่งเราจะเลือกในภายหลัง เราได้แทนนิพจน์ของ y และ dy ลงในสมการ
\alpha(x^2x^(2\alpha)-1)z^(\alpha-1)\,dz+2xz^(3\alpha)\,dx=0หรือ \alpha(x^2z^(3\alpha-1)-z^(\alpha-1))\,dz+2xz^(3\alpha)\,dx=0,
โปรดทราบว่า x^2z^(3\alpha-1) มีมิติ 2+3\อัลฟา-1=3\อัลฟา+1, z^(\alpha-1) มีมิติ \alpha-1 , xz^(3\alpha) มีมิติ 1+3\alpha สมการที่ได้จะเป็นเนื้อเดียวกันหากการวัดทุกพจน์เท่ากันนั่นคือ หากตรงตามเงื่อนไข 3\อัลฟา+1=\อัลฟา-1หรือ \alpha-1
ลองใส่ y=\frac(1)(z) ; สมการดั้งเดิมจะอยู่ในรูปแบบ
\left(\frac(1)(z^2)-\frac(x^2)(z^4)\right)dz+\frac(2x)(z^3)\,dx=0หรือ (z^2-x^2)\,dz+2xz\,dx=0
ให้เราใส่ตอนนี้ z=ux,~dz=u\,dx+x\,du. จากนั้นสมการนี้จะอยู่ในรูปแบบ (u^2-1)(u\,dx+x\,du)+2u\,dx=0, ที่ไหน คุณ(u^2+1)\,dx+x(u^2-1)\,du=0.
การแยกตัวแปรในสมการนี้ \frac(dx)(x)+\frac(u^2-1)(u^3+u)\,du=0. เราพบการบูรณาการ
\ln|x|+\ln(u^2+1)-\ln|u|=\ln(C)หรือ \frac(x(u^2+1))(u)=C
แทนที่ u ผ่าน \frac(1)(xy) เราจะได้อินทิกรัลทั่วไปของสมการนี้ 1+x^2y^2=Cy
สมการนี้ยังมีคำตอบที่ชัดเจน y=0 ซึ่งได้มาจากอินทิกรัลทั่วไปที่ C\to\infty ถ้าอินทิกรัลเขียนอยู่ในรูปแบบ y=\frac(1+x^2y^2)(C)แล้วไปที่ขีดจำกัดที่ C\to\infty ดังนั้น ฟังก์ชัน y=0 จึงเป็นคำตอบเฉพาะของสมการดั้งเดิม
Javascript ถูกปิดใช้งานในเบราว์เซอร์ของคุณหากต้องการคำนวณ คุณต้องเปิดใช้งานตัวควบคุม ActiveX!