ขนานและสูตรของมัน เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนานกัน
ในบทเรียนนี้ทุกคนจะได้ศึกษาหัวข้อ “ เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนานกัน- ในตอนต้นของบทเรียนเราจะทำซ้ำสิ่งที่ขนานกันโดยพลการและตรงจำคุณสมบัติของใบหน้าตรงข้ามและเส้นทแยงมุมของเส้นขนาน จากนั้น เราจะมาดูว่าทรงลูกบาศก์คืออะไรและอภิปรายเกี่ยวกับคุณสมบัติพื้นฐานของมัน
หัวข้อ: ความตั้งฉากของเส้นและระนาบ
บทเรียน: ทรงลูกบาศก์
พื้นผิวที่ประกอบด้วยสี่เหลี่ยมด้านขนานสองอันที่เท่ากัน ABCD และ A 1 B 1 C 1 D 1 และสี่เหลี่ยมด้านขนานสี่อัน ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 เรียกว่า ขนานกัน(รูปที่ 1)
ข้าว. 1 วางขนานกัน
นั่นคือ: เรามีสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD สองอันที่เท่ากัน และ A 1 B 1 C 1 D 1 (ฐาน) พวกมันอยู่ในระนาบขนานกัน เพื่อให้ขอบด้านข้าง AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 ขนานกัน ดังนั้นจึงเรียกว่าพื้นผิวที่ประกอบด้วยสี่เหลี่ยมด้านขนาน ขนานกัน.
ดังนั้น พื้นผิวของสี่เหลี่ยมด้านขนานคือผลรวมของสี่เหลี่ยมด้านขนานทั้งหมดที่ประกอบเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน
1. ด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนั้นขนานและเท่ากัน
(รูปร่างเท่ากันคือสามารถนำมารวมกันได้โดยการทับซ้อนกัน)
ตัวอย่างเช่น:
ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (สี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากันตามคำจำกัดความ)
AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (เนื่องจาก AA 1 B 1 B และ DD 1 C 1 C เป็นด้านตรงข้ามกันของเส้นขนาน)
AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (เนื่องจาก AA 1 D 1 D และ BB 1 C 1 C เป็นหน้าตรงข้ามของเส้นขนาน)
2. เส้นทแยงมุมของจุดตัดด้านขนานที่จุดหนึ่งและถูกแบ่งครึ่งโดยจุดนี้
เส้นทแยงมุมของ AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B ตัดกันที่จุดหนึ่ง O และแต่ละเส้นทแยงมุมจะถูกแบ่งครึ่งตามจุดนี้ (รูปที่ 2)
ข้าว. 2 เส้นทแยงมุมของจุดตัดเส้นขนานและแบ่งครึ่งด้วยจุดตัด
3. ขอบขนานที่เท่ากันและขนานกันมีสามสี่เท่า: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, СС 1, DD 1
คำนิยาม. เส้นขนานเรียกว่าเส้นตรงหากขอบด้านข้างตั้งฉากกับฐาน
ให้ขอบด้านข้าง AA 1 ตั้งฉากกับฐาน (รูปที่ 3) ซึ่งหมายความว่าเส้นตรง AA 1 ตั้งฉากกับเส้นตรง AD และ AB ซึ่งอยู่ในระนาบของฐาน ซึ่งหมายความว่าใบหน้าด้านข้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า และฐานมีรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานตามใจชอบ ให้เราแสดงว่า ∠BAD = φ มุม φ สามารถเป็นมุมใดก็ได้
ข้าว. 3 ขนานขนานกัน
ดังนั้น เส้นขนานด้านขวาคือเส้นขนานที่ขอบด้านข้างตั้งฉากกับฐานของเส้นขนาน
คำนิยาม. ด้านขนานเรียกว่าสี่เหลี่ยมถ้าขอบด้านข้างตั้งฉากกับฐาน ฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ที่ขนานกันเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า (รูปที่ 4) ถ้า:
1. AA 1 ⊥ ABCD (ขอบด้านข้างตั้งฉากกับระนาบของฐาน นั่นคือ เส้นตรงขนานกัน)
2. ∠BAD = 90° เช่น ฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
ข้าว. 4 สี่เหลี่ยมด้านขนาน
รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมีคุณสมบัติทั้งหมดของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานตามอำเภอใจแต่มี คุณสมบัติเพิ่มเติมซึ่งได้มาจากคำนิยามของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้านขนาน
ดังนั้น, ทรงลูกบาศก์เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ขอบด้านข้างตั้งฉากกับฐาน ฐานของสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า.
1. ในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ใบหน้าทั้งหกเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
ABCD และ A 1 B 1 C 1 D 1 เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าตามคำจำกัดความ
2. ซี่โครงด้านข้างตั้งฉากกับฐาน- แค่นั้นแหละ ใบหน้าด้านข้างสี่เหลี่ยมด้านขนาน - สี่เหลี่ยม
3. ทั้งหมด มุมไดฮีดรัลเส้นตรงรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนานกัน
ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณามุมไดฮีดรัลของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีขอบ AB นั่นคือ มุมไดฮีดรัลระหว่างระนาบ ABC 1 และ ABC
AB คือขอบ โดยจุด A 1 อยู่ในระนาบเดียว - ในระนาบ ABB 1 และจุด D ในอีกระนาบ - ในระนาบ A 1 B 1 C 1 D 1 จากนั้นสามารถแสดงมุมไดฮีดรัลที่กำลังพิจารณาได้ ดังต่อไปนี้: ∠A 1 ABD.
ลองหาจุด A บนขอบ AB กัน AA 1 ตั้งฉากกับขอบ AB ในระนาบ АВВ-1, AD ตั้งฉากกับขอบ AB ในระนาบ ABC ซึ่งหมายความว่า ∠A 1 AD คือมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัลที่กำหนด ∠A 1 AD = 90° ซึ่งหมายความว่ามุมไดฮีดรัลที่ขอบ AB คือ 90°
∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°
ในทำนองเดียวกัน มีการพิสูจน์ว่ามุมไดฮีดรัลใดๆ ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้านขนานนั้นถูกต้อง
สี่เหลี่ยมจัตุรัสในแนวทแยงของทรงลูกบาศก์ เท่ากับผลรวมสี่เหลี่ยมสามมิติของมัน
บันทึก. ความยาวของขอบทั้งสามที่เล็ดลอดออกมาจากจุดยอดหนึ่งของทรงลูกบาศก์คือการวัดขนาดของทรงลูกบาศก์ บางครั้งเรียกว่าความยาว ความกว้าง ความสูง
ให้ไว้: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน (รูปที่ 5)
พิสูจน์: .
ข้าว. 5 สี่เหลี่ยมด้านขนาน
การพิสูจน์:
เส้นตรง CC 1 ตั้งฉากกับระนาบ ABC ดังนั้นกับเส้นตรง AC ซึ่งหมายความว่าสามเหลี่ยม CC 1 A เป็นมุมฉาก ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส:
ลองพิจารณาดู สามเหลี่ยมมุมฉากเอบีซี ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส:
แต่ BC และ AD เป็นด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยม ดังนั้น BC = AD แล้ว:
เพราะ , ก , ที่. เนื่องจาก CC 1 = AA 1 นี่คือสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์
เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานจะเท่ากัน
ให้เราแสดงขนาดของ ABC ที่ขนานกันเป็น a, b, c (ดูรูปที่ 6) จากนั้น AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =
ในบทเรียนนี้ ทุกคนจะสามารถศึกษาหัวข้อ “สี่เหลี่ยมด้านขนาน” ได้ ในตอนต้นของบทเรียนเราจะทำซ้ำสิ่งที่ขนานกันโดยพลการและตรงจำคุณสมบัติของใบหน้าตรงข้ามและเส้นทแยงมุมของเส้นขนาน จากนั้น เราจะมาดูว่าทรงลูกบาศก์คืออะไรและอภิปรายเกี่ยวกับคุณสมบัติพื้นฐานของมัน
หัวข้อ: ความตั้งฉากของเส้นและระนาบ
บทเรียน: ทรงลูกบาศก์
พื้นผิวที่ประกอบด้วยสี่เหลี่ยมด้านขนานสองอันที่เท่ากัน ABCD และ A 1 B 1 C 1 D 1 และสี่เหลี่ยมด้านขนานสี่อัน ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 เรียกว่า ขนานกัน(รูปที่ 1)
ข้าว. 1 วางขนานกัน
นั่นคือ: เรามีสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD สองอันที่เท่ากัน และ A 1 B 1 C 1 D 1 (ฐาน) พวกมันอยู่ในระนาบขนานกัน เพื่อให้ขอบด้านข้าง AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 ขนานกัน ดังนั้นจึงเรียกว่าพื้นผิวที่ประกอบด้วยสี่เหลี่ยมด้านขนาน ขนานกัน.
ดังนั้น พื้นผิวของสี่เหลี่ยมด้านขนานคือผลรวมของสี่เหลี่ยมด้านขนานทั้งหมดที่ประกอบเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน
1. ด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนั้นขนานและเท่ากัน
(รูปร่างเท่ากันคือสามารถนำมารวมกันได้โดยการทับซ้อนกัน)
ตัวอย่างเช่น:
ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (สี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากันตามคำจำกัดความ)
AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (เนื่องจาก AA 1 B 1 B และ DD 1 C 1 C เป็นด้านตรงข้ามกันของเส้นขนาน)
AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (เนื่องจาก AA 1 D 1 D และ BB 1 C 1 C เป็นหน้าตรงข้ามของเส้นขนาน)
2. เส้นทแยงมุมของจุดตัดด้านขนานที่จุดหนึ่งและถูกแบ่งครึ่งโดยจุดนี้
เส้นทแยงมุมของ AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B ตัดกันที่จุดหนึ่ง O และแต่ละเส้นทแยงมุมจะถูกแบ่งครึ่งตามจุดนี้ (รูปที่ 2)
ข้าว. 2 เส้นทแยงมุมของจุดตัดเส้นขนานและแบ่งครึ่งด้วยจุดตัด
3. ขอบขนานที่เท่ากันและขนานกันมีสามสี่เท่า: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, СС 1, DD 1
คำนิยาม. เส้นขนานเรียกว่าเส้นตรงหากขอบด้านข้างตั้งฉากกับฐาน
ให้ขอบด้านข้าง AA 1 ตั้งฉากกับฐาน (รูปที่ 3) ซึ่งหมายความว่าเส้นตรง AA 1 ตั้งฉากกับเส้นตรง AD และ AB ซึ่งอยู่ในระนาบของฐาน ซึ่งหมายความว่าใบหน้าด้านข้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า และฐานมีรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานตามใจชอบ ให้เราแสดงว่า ∠BAD = φ มุม φ สามารถเป็นมุมใดก็ได้
ข้าว. 3 ขนานขนานกัน
ดังนั้น เส้นขนานด้านขวาคือเส้นขนานที่ขอบด้านข้างตั้งฉากกับฐานของเส้นขนาน
คำนิยาม. ด้านขนานเรียกว่าสี่เหลี่ยมถ้าขอบด้านข้างตั้งฉากกับฐาน ฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ที่ขนานกันเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า (รูปที่ 4) ถ้า:
1. AA 1 ⊥ ABCD (ขอบด้านข้างตั้งฉากกับระนาบของฐาน นั่นคือ เส้นตรงขนานกัน)
2. ∠BAD = 90° เช่น ฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
ข้าว. 4 สี่เหลี่ยมด้านขนาน
รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมีคุณสมบัติทั้งหมดของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานตามอำเภอใจแต่มีคุณสมบัติเพิ่มเติมที่ได้มาจากคำจำกัดความของทรงลูกบาศก์
ดังนั้น, ทรงลูกบาศก์เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ขอบด้านข้างตั้งฉากกับฐาน ฐานของสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า.
1. ในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ใบหน้าทั้งหกเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
ABCD และ A 1 B 1 C 1 D 1 เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าตามคำจำกัดความ
2. ซี่โครงด้านข้างตั้งฉากกับฐาน- ซึ่งหมายความว่าใบหน้าด้านข้างทั้งหมดของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
3. มุมไดฮีดรัลทั้งหมดของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้านขนานนั้นถูกต้อง
ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณามุมไดฮีดรัลของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีขอบ AB นั่นคือ มุมไดฮีดรัลระหว่างระนาบ ABC 1 และ ABC
AB คือขอบ โดยจุด A 1 อยู่ในระนาบเดียว - ในระนาบ ABB 1 และจุด D ในอีกระนาบ - ในระนาบ A 1 B 1 C 1 D 1 จากนั้นมุมไดฮีดรัลที่กำลังพิจารณาก็สามารถแสดงได้ดังนี้: ∠A 1 ABD
ลองหาจุด A บนขอบ AB กัน AA 1 ตั้งฉากกับขอบ AB ในระนาบ АВВ-1, AD ตั้งฉากกับขอบ AB ในระนาบ ABC ซึ่งหมายความว่า ∠A 1 AD คือมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัลที่กำหนด ∠A 1 AD = 90° ซึ่งหมายความว่ามุมไดฮีดรัลที่ขอบ AB คือ 90°
∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°
ในทำนองเดียวกัน มีการพิสูจน์ว่ามุมไดฮีดรัลใดๆ ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้านขนานนั้นถูกต้อง
กำลังสองของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้านขนานมีค่าเท่ากับผลรวมของกำลังสองในสามมิติ
บันทึก. ความยาวของขอบทั้งสามที่เล็ดลอดออกมาจากจุดยอดหนึ่งของทรงลูกบาศก์คือการวัดขนาดของทรงลูกบาศก์ บางครั้งเรียกว่าความยาว ความกว้าง ความสูง
ให้ไว้: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน (รูปที่ 5)
พิสูจน์: .
ข้าว. 5 สี่เหลี่ยมด้านขนาน
การพิสูจน์:
เส้นตรง CC 1 ตั้งฉากกับระนาบ ABC ดังนั้นกับเส้นตรง AC ซึ่งหมายความว่าสามเหลี่ยม CC 1 A เป็นมุมฉาก ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส:
พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส:
แต่ BC และ AD เป็นด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยม ดังนั้น BC = AD แล้ว:
เพราะ , ก , ที่. เนื่องจาก CC 1 = AA 1 นี่คือสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์
เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานจะเท่ากัน
ให้เราแสดงขนาดของ ABC ที่ขนานกันเป็น a, b, c (ดูรูปที่ 6) จากนั้น AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =
รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานคือรูปทรงเรขาคณิต ซึ่งมีหน้าทั้ง 6 ด้านเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
ขึ้นอยู่กับประเภทของสี่เหลี่ยมด้านขนานเหล่านี้ ประเภทต่อไปนี้ขนานกัน:
- โดยตรง;
- โน้มเอียง;
- สี่เหลี่ยม
ปริซึมด้านขนานด้านขวาคือปริซึมสี่เหลี่ยมซึ่งมีขอบทำมุม 90° กับระนาบของฐาน
สี่เหลี่ยมด้านขนานคือปริซึมสี่เหลี่ยมจัตุรัส ซึ่งใบหน้าทั้งหมดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า คิวบ์มีความหลากหลาย ปริซึมสี่เหลี่ยมโดยที่หน้าและขอบทั้งหมดเท่ากัน
คุณสมบัติของรูปจะกำหนดคุณสมบัติของมันไว้ล่วงหน้า ซึ่งรวมถึง 4 ข้อความต่อไปนี้:
มันง่ายที่จะจดจำคุณสมบัติทั้งหมดที่กำหนด ง่ายต่อการเข้าใจและได้มาอย่างมีเหตุผลตามประเภทและลักษณะของตัวเรขาคณิต อย่างไรก็ตาม ข้อความง่ายๆ จะมีประโยชน์อย่างเหลือเชื่อเมื่อแก้ไขงาน USE ทั่วไป และจะช่วยประหยัดเวลาในการผ่านการทดสอบ
สูตรคู่ขนาน
การหาคำตอบของปัญหาการรู้เพียงคุณสมบัติของรูปนั้นไม่เพียงพอ คุณอาจต้องใช้สูตรในการหาพื้นที่และปริมาตรของตัวเรขาคณิต
พบพื้นที่ของฐานในลักษณะเดียวกับตัวบ่งชี้ที่สอดคล้องกันของสี่เหลี่ยมด้านขนานหรือสี่เหลี่ยมผืนผ้า คุณสามารถเลือกฐานของสี่เหลี่ยมด้านขนานได้ด้วยตัวเอง ตามกฎแล้วเมื่อแก้ไขปัญหาจะง่ายกว่าในการทำงานกับปริซึมซึ่งมีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
อาจจำเป็นต้องใช้สูตรสำหรับการค้นหาพื้นผิวด้านข้างของเส้นขนานในงานทดสอบ
ตัวอย่างการแก้ปัญหางานการสอบ Unified State ทั่วไป
ภารกิจที่ 1
ที่ให้ไว้: สี่เหลี่ยมด้านขนานขนาด 3, 4 และ 12 ซม.
จำเป็นหาความยาวของเส้นทแยงมุมหลักของรูปนั้น
สารละลาย: การแก้ปัญหาทางเรขาคณิตใด ๆ จะต้องเริ่มต้นด้วยการสร้างภาพวาดที่ถูกต้องและชัดเจนซึ่งจะระบุ "ให้" และค่าที่ต้องการ ภาพด้านล่างแสดงตัวอย่าง การออกแบบที่ถูกต้องเงื่อนไขงาน
เมื่อตรวจสอบภาพวาดที่ทำขึ้นและจดจำคุณสมบัติทั้งหมดของตัวเรขาคณิตแล้ว เราก็มาถึงวิธีการแก้ปัญหาที่ถูกต้องเพียงวิธีเดียว การใช้คุณสมบัติที่ 4 ของเส้นขนานเราจะได้นิพจน์ต่อไปนี้:
หลังจากการคำนวณอย่างง่าย เราจะได้นิพจน์ b2=169 ดังนั้น b=13 พบคำตอบของงานแล้ว คุณต้องใช้เวลาไม่เกิน 5 นาทีในการค้นหาและวาดภาพ
Parallepiped มีหลายประเภท:
· เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนานกัน- เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน มีใบหน้าทั้งหมด - สี่เหลี่ยม;
· รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานด้านขวาคือรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้าน 4 ด้าน - รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
· รูปขนานที่เอียงคือรูปขนานที่ใบหน้าด้านข้างไม่ตั้งฉากกับฐานรอง/แผ่นรอง
องค์ประกอบพื้นฐาน
ด้านสองด้านของด้านขนานที่ไม่มีขอบร่วมเรียกว่าด้านตรงข้าม และด้านที่มีขอบร่วมเรียกว่าด้านติดกัน จุดยอดสองจุดของจุดขนานที่ไม่ได้อยู่ในด้านเดียวกันเรียกว่าตรงกันข้าม ส่วน,การเชื่อมต่อจุดยอดตรงข้ามเรียกว่า แนวทแยงขนานกัน ความยาวสามขอบของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีจุดยอดร่วมเรียกว่า การวัด
คุณสมบัติ
· เส้นขนานมีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุม
· ส่วนใด ๆ ที่มีปลายเป็นของพื้นผิวของเส้นขนานและผ่านตรงกลางของเส้นทแยงมุมจะถูกแบ่งครึ่งด้วย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เส้นทแยงมุมทั้งหมดของจุดตัดคู่ขนานที่จุดหนึ่งและถูกแบ่งออกเป็นสองส่วน
· ด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานจะขนานและเท่ากัน
· กำลังสองของความยาวแนวทแยงของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับผลรวมของกำลังสองในสามมิติ
สูตรพื้นฐาน
ขนานกันทางขวา
· พื้นที่ผิวด้านข้าง S b =P o *h โดยที่ P o คือเส้นรอบวงของฐาน h คือความสูง
· พื้นที่ผิวทั้งหมด S p =S b +2S o โดยที่ S o คือพื้นที่ฐาน
· ปริมาณ V=S หรือ *ชม
เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนานกัน
· พื้นที่ผิวด้านข้าง S b =2c(a+b) โดยที่ a, b คือด้านข้างของฐาน, c คือขอบด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้านขนาน
· พื้นที่ผิวทั้งหมดส พี =2(ab+bc+ac)
· ปริมาณ V=abc โดยที่ a, b, c คือมิติของสี่เหลี่ยมด้านขนาน
· พื้นที่ผิวด้านข้าง S=6*h 2 โดยที่ h คือความสูงของขอบลูกบาศก์
34. จัตุรมุข- รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติมี 4 ใบหน้าที่เป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ จุดยอดของจัตุรมุข 4 , มาบรรจบกันทุกจุดยอด 3 ซี่โครง และซี่โครงทั้งหมด 6 - นอกจากนี้จัตุรมุขยังเป็นปิรามิดอีกด้วย
สามเหลี่ยมที่ประกอบเป็นจัตุรมุขเรียกว่า ใบหน้า (AOS, OSV, ACB, AOB), ข้างพวกเขา --- ซี่โครง (AO, OC, OB)และจุดยอด --- จุดยอด (A, B, C, O)จัตุรมุข. ขอบสองด้านของจัตุรมุขที่ไม่มีจุดยอดร่วมกันเรียกว่า ตรงข้าม... บางครั้งใบหน้าด้านหนึ่งของจัตุรมุขก็ถูกแยกออกและถูกเรียก พื้นฐานและอีกสาม --- ใบหน้าด้านข้าง.
จัตุรมุขเรียกว่า ถูกต้องถ้าหน้าทั้งหมดเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ในกรณีนี้คือจัตุรมุขปกติและจัตุรมุขธรรมดา ปิรามิดสามเหลี่ยม– นี่ไม่ใช่เรื่องเดียวกัน
คุณ จัตุรมุขปกติมุมไดฮีดรัลทั้งหมดที่ขอบและมุมสามเหลี่ยมทั้งหมดที่จุดยอดเท่ากัน
35. ปริซึมที่ถูกต้อง
ปริซึมคือรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีหน้าทั้งสอง (ฐาน) อยู่ในระนาบขนานกัน และขอบทั้งหมดที่อยู่ด้านนอกด้านเหล่านี้จะขนานกัน หน้าอื่นที่ไม่ใช่ฐานเรียกว่าหน้าด้านข้าง และขอบเรียกว่าขอบด้านข้าง ขอบด้านข้างทั้งหมดเท่ากันโดยเป็นส่วนขนานที่ล้อมรอบด้วยระนาบขนานกันสองอัน ใบหน้าด้านข้างของปริซึมทั้งหมดเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ด้านที่สอดคล้องกันของฐานของปริซึมจะเท่ากันและขนานกัน ปริซึมที่ขอบด้านข้างตั้งฉากกับระนาบของฐานเรียกว่าปริซึมตรง ส่วนปริซึมอื่นๆ เรียกว่าปริซึมเอียง ที่ฐาน ปริซึมที่ถูกต้องเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติอยู่ ใบหน้าของปริซึมดังกล่าวทุกด้านจะมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากัน
พื้นผิวของปริซึมประกอบด้วยฐานสองฐานและพื้นผิวด้านข้าง ความสูงของปริซึมคือส่วนที่ตั้งฉากกับระนาบซึ่งมีฐานของปริซึมอยู่ ความสูงของปริซึมคือระยะทาง ชมระหว่างระนาบของฐาน
พื้นที่ผิวด้านข้าง ส b ของปริซึมคือผลรวมของพื้นที่หน้าด้านข้าง พื้นที่ผิวทั้งหมด ส n ของปริซึมคือผลรวมของพื้นที่หน้าทุกด้าน สน= สข + 2 ส,ที่ไหน ส– พื้นที่ฐานปริซึม ส b คือพื้นที่ผิวด้านข้าง
36. รูปทรงหลายเหลี่ยมมีหน้าเดียว เรียกว่า พื้นฐาน, – รูปหลายเหลี่ยม
และหน้าอื่นๆ เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วมเรียกว่า ปิรามิด
.
ใบหน้าอื่นที่ไม่ใช่ฐานเรียกว่า ด้านข้าง
เรียกว่าจุดยอดร่วมของใบหน้าด้านข้าง ด้านบนของปิรามิด
เรียกว่าขอบที่เชื่อมต่อด้านบนของปิรามิดกับจุดยอดของฐาน ด้านข้าง
ความสูงของพีระมิด
เรียกว่าเส้นตั้งฉากที่ลากจากยอดปิรามิดถึงฐาน
ปิรามิดมีชื่อว่า ถูกต้อง, ถ้าฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติและมีความสูงผ่านจุดศูนย์กลางของฐาน
อะโพธีม ใบหน้าด้านข้างของปิรามิดปกติคือความสูงของใบหน้านี้ที่ดึงมาจากจุดยอดของปิรามิด
เครื่องบินขนานกับฐานของปิรามิดจะตัดออกเป็นปิรามิดที่คล้ายกันและ ปิรามิดที่ถูกตัดทอน
คุณสมบัติของปิรามิดปกติ
- ขอบด้านข้างของปิรามิดปกติจะเท่ากัน
- ใบหน้าด้านข้างของปิรามิดปกติเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีขนาดเท่ากัน
ถ้าขอบด้านข้างทั้งหมดเท่ากันก็แสดงว่า
· ความสูงถูกฉายไปที่ศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกกำหนดขอบเขตไว้
ซี่โครงด้านข้างทำมุมเท่ากันกับระนาบของฐาน
หากใบหน้าด้านข้างเอียงไปที่ระนาบของฐานในมุมเดียวกัน
·ความสูงถูกฉายไปที่ศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้
· ความสูงของใบหน้าด้านข้างเท่ากัน
· พื้นที่ผิวด้านข้างเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของเส้นรอบฐานของฐานและความสูงของหน้าด้านข้าง
37. ฟังก์ชัน y=f(x) โดยที่ x อยู่ในเซต ตัวเลขธรรมชาติเรียกว่าฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์ธรรมชาติหรือ ลำดับตัวเลข- เขียนแทนด้วย y=f(n) หรือ (y n)
ลำดับสามารถระบุได้หลายวิธี โดยวาจา นี่คือวิธีการระบุลำดับ หมายเลขเฉพาะ:
2, 3, 5, 7, 11 ฯลฯ
ลำดับจะถือว่าได้รับในเชิงวิเคราะห์หากให้สูตรสำหรับเทอมที่ n ของมัน:
1, 4, 9, 16, …, น 2, …
2) y n = C ลำดับดังกล่าวเรียกว่าค่าคงที่หรือคงที่ ตัวอย่างเช่น:
2, 2, 2, 2, …, 2, …
3) ใช่ =2 น . ตัวอย่างเช่น,
2, 2 2, 2 3, 2 4, …, 2 น, …
ลำดับกล่าวกันว่ามีขอบเขตอยู่ด้านบนหากเงื่อนไขทั้งหมดมีจำนวนสูงสุดที่กำหนด กล่าวอีกนัยหนึ่ง ลำดับสามารถเรียกว่ามีขอบเขตได้หากมีตัวเลข M โดยที่ความไม่เท่าเทียมกัน y n น้อยกว่าหรือเท่ากับ M ตัวเลข M เรียกว่าขอบเขตบนของลำดับ ตัวอย่างเช่น ลำดับ: -1, -4, -9, -16, ..., - n 2 ; จำกัดจากด้านบน
ในทำนองเดียวกัน ลำดับสามารถถูกเรียกว่ามีขอบเขตด้านล่างได้หากเงื่อนไขทั้งหมดมากกว่าจำนวนที่กำหนด ถ้าลำดับมีขอบเขตทั้งด้านบนและด้านล่างเรียกว่ามีขอบเขต
ลำดับเรียกว่าการเพิ่มขึ้นถ้าแต่ละพจน์ต่อมามีค่ามากกว่าลำดับก่อนหน้า
ลำดับเรียกว่าการลดลงถ้าสมาชิกที่ตามมาแต่ละตัวมีค่าน้อยกว่าสมาชิกก่อนหน้า ลำดับการเพิ่มและลดลำดับถูกกำหนดโดยคำเดียว - ลำดับแบบโมโนโทนิก
พิจารณาสองลำดับ:
1) มี: 1, 3, 5, 7, 9, …, 2n-1, …
2) xn: 1, ½, 1/3, 1/ 4, …, 1/n, …
หากเราพรรณนาเงื่อนไขของลำดับนี้บนเส้นจำนวน เราจะสังเกตว่าในกรณีที่สอง เงื่อนไขของลำดับจะควบแน่นประมาณจุดหนึ่ง แต่ในกรณีแรกไม่เป็นเช่นนั้น ในกรณีเช่นนี้ ลำดับ y n บอกว่าแยกออก และลำดับ x n ว่ามาบรรจบกัน
หมายเลข b เรียกว่าลิมิตของลำดับ y n หากย่านใกล้เคียงที่เลือกไว้ล่วงหน้าของจุด b มีสมาชิกทั้งหมดของลำดับ โดยเริ่มจากจำนวนที่กำหนด
ในกรณีนี้เราสามารถเขียนได้:
หากผลหารของความก้าวหน้ามีค่าน้อยกว่า 1 ในโมดูลัส ขีดจำกัดของลำดับนี้ เนื่องจาก x มีแนวโน้มที่จะเป็นอนันต์ จะเท่ากับศูนย์
ถ้าลำดับมาบรรจบกัน ก็จะมีขีดจำกัดเดียวเท่านั้น
หากลำดับมาบรรจบกัน แสดงว่าลำดับนั้นถูกขอบเขต
ทฤษฎีบทของไวเออร์ชตราสส์: หากลำดับมาบรรจบกันแบบซ้ำซาก มันก็จะมีขอบเขต
ขีดจำกัดของลำดับที่อยู่นิ่งจะเท่ากับเทอมใดๆ ของลำดับ
คุณสมบัติ:
1) จำนวนเงินที่จำกัดเท่ากับผลรวมของขีดจำกัด
2) ขีดจำกัดผลิตภัณฑ์ เท่ากับสินค้าขีดจำกัด
3) ขีดจำกัดของผลหารเท่ากับผลหารของขีดจำกัด
4) ตัวประกอบคงที่สามารถหาได้เกินเครื่องหมายจำกัด
คำถามที่ 38
ผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอนันต์
ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต- ลำดับของตัวเลข b 1, b 2, b 3,.. (สมาชิกของความก้าวหน้า) ซึ่งแต่ละหมายเลขที่ตามมาโดยเริ่มจากหมายเลขที่สองจะได้มาจากหมายเลขก่อนหน้าโดยการคูณด้วยจำนวนที่แน่นอน q (ตัวส่วน ของการก้าวหน้า) โดยที่ b 1 ≠0, q ≠0
ผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอนันต์คือจำนวนจำกัดที่ลำดับความก้าวหน้ามาบรรจบกัน
กล่าวอีกนัยหนึ่ง ไม่ว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจะนานแค่ไหน ผลรวมของพจน์ของมันจะไม่เกินจำนวนหนึ่งและในทางปฏิบัติแล้วจะเท่ากับจำนวนนี้ สิ่งนี้เรียกว่าผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
ไม่ใช่ทุกความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจะมีจำนวนจำกัดเช่นนี้ ใช้ได้เฉพาะความก้าวหน้าที่มีตัวส่วนเป็นเศษส่วนน้อยกว่า 1 เท่านั้น