ค่าคงที่ e ค่าคงที่ของโลก "pi" และ "e" ในกฎพื้นฐานของฟิสิกส์และสรีรวิทยา
ตัวเลขค่อนข้างล่าสุด บางครั้งเรียกว่า "เลข Neper" ตามผู้ประดิษฐ์ลอการิทึมนักคณิตศาสตร์ชาวสก็อต John Napier (1550-1617) แต่สิ่งนี้ไม่มีมูลเพราะไม่มีพื้นฐานที่มั่นคงในการอ้างว่า Napier มีตัวเลข อีการแสดงที่ชัดเจน" . เป็นครั้งแรกที่สัญกรณ์ " อี"แนะนำโดย Leonhard Euler (1707-1783) เขายังคำนวณตำแหน่งทศนิยม 23 ตำแหน่งที่แน่นอนของตัวเลขนี้โดยใช้การแสดงตัวเลข อีในรูปแบบของอนุกรมตัวเลขอนันต์: ได้รับโดย Daniel Bernoulli (1700-1782) "ในปี พ.ศ. 2416 เฮอร์ไมต์ได้พิสูจน์ความเหนือกว่าของตัวเลข อี.L ออยเลอร์ได้ผลลัพธ์ที่น่าทึ่งเกี่ยวกับตัวเลข อี, p และ: . เขายังมีข้อดีในการกำหนดฟังก์ชันสำหรับค่าที่ซับซ้อน zซึ่งเป็นจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ในสาขาที่ซับซ้อน - ทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน " ออยเลอร์ได้รับสูตรต่อไปนี้: พิจารณาลอการิทึมในฐาน อีเรียกว่าธรรมชาติและแสดงว่า Lnx.
วิธีการกำหนด
ตัวเลข อีสามารถกำหนดได้หลายวิธี
ผ่านขีด จำกัด :
(ขีด จำกัด ที่โดดเด่นที่สอง).
เป็นผลรวมของซีรีส์:
ยังไง เอกพจน์ เอ, ซึ่ง
เป็นจำนวนบวกเท่านั้น เอซึ่งเป็นความจริง
คุณสมบัติ
คุณสมบัตินี้เล่น บทบาทสำคัญในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ ตัวอย่างเช่น ทางออกเดียว สมการเชิงอนุพันธ์เป็นฟังก์ชันที่ คเป็นค่าคงที่โดยพลการ
ตัวเลข อีไร้เหตุผลและเหนือธรรมชาติ นี่เป็นตัวเลขแรกที่ไม่ได้อนุมานอย่างเฉพาะเจาะจงว่าอยู่เหนือธรรมชาติ การอยู่เหนือของมันถูกพิสูจน์ในปี 1873 โดยชาร์ลส์ เฮอร์ไมต์เท่านั้น สันนิษฐานว่า อี- ตัวเลขปกตินั่นคือความน่าจะเป็นของการปรากฏตัวของตัวเลขต่าง ๆ ในบันทึกนั้นเท่ากัน
ดูสูตรออยเลอร์โดยเฉพาะ
อีกสูตรหนึ่งที่เชื่อมตัวเลข อีและ Rที่เรียกว่า "อินทิกรัลปัวซอง" หรือ "อินทิกรัลเกาส์"
สำหรับใคร จำนวนเชิงซ้อน zความเท่าเทียมกันต่อไปนี้เป็นจริง:
ตัวเลข อีสลายตัวเป็นเศษส่วนต่อเนื่องเป็นอนันต์ ด้วยวิธีต่อไปนี้:
การนำเสนอของคาตาลัน:
เรื่องราว
เบอร์นี้บางครั้งเรียกว่า ไม่ใช่ Perovเพื่อเป็นเกียรติแก่นักวิทยาศาสตร์ชาวสก็อต Napier ผู้แต่งงาน "Description of the amazing table of logarithms" (1614) อย่างไรก็ตาม ชื่อนี้ไม่ถูกต้องทั้งหมด เนื่องจากมีลอการิทึมของตัวเลข xเท่ากัน
เป็นครั้งแรกที่ค่าคงที่ปรากฏโดยปริยายในภาคผนวกของการแปลเป็น ภาษาอังกฤษผลงานดังกล่าวโดย Napier ตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1618 เบื้องหลัง เนื่องจากมีเพียงตารางลอการิทึมธรรมชาติซึ่งพิจารณาจากการพิจารณาจลนศาสตร์ ค่าคงที่จึงไม่ปรากฏ (ดู: Napier)
นักคณิตศาสตร์ชาวสวิส Bernoulli คำนวณค่าคงที่ที่เหมือนกันมากเมื่อวิเคราะห์ขีดจำกัดต่อไปนี้:
รู้จักการใช้ค่าคงที่นี้เป็นครั้งแรก โดยเขียนแทนด้วยตัวอักษร ขพบในจดหมายของไลบนิซถึงไฮเกนส์ ค.ศ. 1690-1691
จดหมาย อีออยเลอร์เริ่มใช้ในปี ค.ศ. 1727 และงานพิมพ์ครั้งแรกของจดหมายฉบับนี้คืองาน "กลศาสตร์หรือศาสตร์แห่งการเคลื่อนไหวที่ระบุในเชิงวิเคราะห์" ในปี ค.ศ. 1736 ตามลำดับ อีที่เรียกกันทั่วไปว่า หมายเลขออยเลอร์. แม้ว่าในเวลาต่อมา นักวิชาการบางคนก็ใช้จดหมายนี้ ค, จดหมาย อีใช้บ่อยขึ้นและปัจจุบันเป็นการกำหนดมาตรฐาน
ทำไมจดหมายถึงได้รับเลือก? อี, ไม่ทราบแน่ชัด อาจเป็นเพราะคำที่ขึ้นต้นด้วย เลขชี้กำลัง("เลขชี้กำลัง", "เลขชี้กำลัง") สันนิษฐานอีกประการหนึ่งคือตัวอักษร เอ, ข, คและ dใช้กันอย่างแพร่หลายเพื่อวัตถุประสงค์อื่นและ อีเป็นจดหมาย "ฟรี" ฉบับแรก ไม่น่าเชื่อว่าออยเลอร์เลือก อีเป็นอักษรตัวแรกของนามสกุลของคุณ ออยเลอร์) [ไม่ได้ระบุแหล่งที่มา 334 วัน] .
NUMBER อี
ตัวเลขประมาณเท่ากับ 2.718 ซึ่งมักพบในวิชาคณิตศาสตร์และ วิทยาศาสตร์ธรรมชาติ. ตัวอย่างเช่น ในช่วงการสลายตัวของสารกัมมันตภาพรังสีหลังจากเวลา เสื้อ เศษส่วนเท่ากับ e-kt จะเหลือจากปริมาณเริ่มต้นของสาร โดยที่ k เป็นตัวเลขที่แสดงลักษณะอัตราการสลายตัวของสารนี้ ค่าส่วนกลับของ 1/k เรียกว่าอายุขัยเฉลี่ยของอะตอมของสารที่กำหนด เนื่องจากโดยเฉลี่ยแล้ว อะตอมจะมีอยู่เป็นเวลา 1/k ก่อนสลายตัว ค่า 0.693/k เรียกว่าค่าครึ่งชีวิตของสารกัมมันตภาพรังสี กล่าวคือ เวลาที่ใช้ในการสลายตัวของสารตั้งต้นครึ่งหนึ่ง ตัวเลข 0.693 นั้นเท่ากับ log 2 โดยประมาณ นั่นคือ ลอการิทึมของ 2 ถึงฐาน e ในทำนองเดียวกัน หากแบคทีเรียในตัวกลางที่มีสารอาหารทวีคูณในอัตราที่เป็นสัดส่วนกับจำนวนของมันในขณะนั้น เมื่อถึงเวลา t จำนวนแบคทีเรียเริ่มต้น N จะกลายเป็น Nekt การลดทอน กระแสไฟฟ้า I ในวงจรอย่างง่ายที่มีการเชื่อมต่อแบบอนุกรม ความต้านทาน R และความเหนี่ยวนำ L เกิดขึ้นตามกฎ I = I0e-kt โดยที่ k = R / L, I0 คือความแรงของกระแส ณ เวลา t = 0 สูตรที่คล้ายกันอธิบายการคลายความเครียดใน ของเหลวหนืดและการลดทอน สนามแม่เหล็ก. ตัวเลข 1/k มักเรียกว่าเวลาพักผ่อน ในสถิติ ค่าของ e-kt เกิดขึ้นจากความน่าจะเป็นที่ในช่วงเวลา t ไม่มีเหตุการณ์เกิดขึ้นแบบสุ่มโดยมีความถี่เฉลี่ย k เหตุการณ์ต่อหน่วยเวลา ถ้า S คือจำนวนเงินที่ลงทุนที่ r เปอร์เซ็นต์โดยมีการสะสมอย่างต่อเนื่องแทนการสะสมในช่วงเวลาที่ไม่ต่อเนื่อง เมื่อถึงเวลา t จำนวนเงินเริ่มต้นจะเพิ่มขึ้นเป็น Setr/100 สาเหตุของ "ความแพร่หลาย" ของจำนวน e คือสูตรแคลคูลัสที่มีฟังก์ชันเลขชี้กำลังหรือลอการิทึมจะเขียนได้ง่ายกว่าถ้าลอการิทึมถูกนำไปที่ฐาน e แทนที่จะเป็น 10 หรือฐานอื่นๆ ตัวอย่างเช่น อนุพันธ์ของ log10 x คือ (1/x)log10 e ในขณะที่อนุพันธ์ของ log x เป็นเพียง 1/x ในทำนองเดียวกัน อนุพันธ์ของ 2x คือ 2xloge 2 ในขณะที่อนุพันธ์ของ ex คือ ex ซึ่งหมายความว่าจำนวน e สามารถกำหนดเป็นฐาน b ซึ่งกราฟของฟังก์ชัน y = logb x มีแทนเจนต์ที่จุด x = 1 ด้วย ปัจจัยความชันเท่ากับ 1 หรือที่เส้นโค้ง y = bx มีแทนเจนต์ที่ x = 0 ที่มีความชันเท่ากับ 1 ลอการิทึมในฐาน e เรียกว่า "ธรรมชาติ" และเขียนแทนด้วย ln x บางครั้งเรียกอีกอย่างว่า "non-Perean" ซึ่งไม่ถูกต้อง เนื่องจากในความเป็นจริง J. Napier (1550-1617) ได้คิดค้นลอการิทึมที่มีฐานต่างกัน: ลอการิทึมที่ไม่ใช่ Perian ของจำนวน x คือ 107 log1 / e (x / 107) (ดู ลอการิทึม ด้วย) การรวมกันของพลังต่างๆ ของ e เป็นเรื่องธรรมดาในวิชาคณิตศาสตร์ที่มีชื่อพิเศษ ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก
กราฟของฟังก์ชัน y = ch x เรียกว่า สายโซ่; ด้ายหรือโซ่ที่ขยายไม่ได้หนักที่แขวนไว้ที่ปลายมีรูปร่างเช่นนี้ สูตรออยเลอร์
โดยที่ i2 = -1 จำนวน e จะสัมพันธ์กับตรีโกณมิติ กรณีพิเศษ x = p นำไปสู่ความสัมพันธ์ที่มีชื่อเสียง eip + 1 = 0 ซึ่งเชื่อมโยงตัวเลขที่มีชื่อเสียงที่สุด 5 ตัวในวิชาคณิตศาสตร์ เมื่อคำนวณค่าของ e สามารถใช้สูตรอื่นได้ (สูตรแรกมักใช้บ่อยที่สุด):
ค่าของ e ที่มีทศนิยม 15 ตำแหน่ง คือ 2.718281828459045 ในปี 1953 ค่าของ e คำนวณด้วยทศนิยม 3333 ตำแหน่ง สัญลักษณ์ e สำหรับหมายเลขนี้ถูกนำมาใช้ในปี 1731 โดย L. Euler (1707-1783) การขยายทศนิยมของจำนวน e ไม่เป็นคาบ (e เป็นจำนวนอตรรกยะ) นอกจากนี้ e เช่น p เป็นจำนวนที่ยอดเยี่ยม (ไม่ใช่รากของใดๆ สมการพีชคณิตกับ สัมประสิทธิ์ตรรกยะ). สิ่งนี้ได้รับการพิสูจน์ในปี 1873 โดย Sh. Hermit แสดงให้เห็นเป็นครั้งแรกว่าเช่น โดยธรรมชาติตัวเลขที่เกิดขึ้นในวิชาคณิตศาสตร์นั้นยอดเยี่ยม
ดูสิ่งนี้ด้วย
การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ;
เศษส่วนต่อเนื่อง ;
ทฤษฎีตัวเลข
NUMBER หน้า;
แถว
สารานุกรมถ่านหิน. - สังคมเปิด. 2000 .
ดูว่า "NUMBER e" ในพจนานุกรมอื่นๆ คืออะไร:
ตัวเลข- ที่มาของแผนกต้อนรับ: GOST 111 90: แผ่นกระจก เอกสารต้นฉบับข้อมูลจำเพาะ ดูเพิ่มเติมเงื่อนไขที่เกี่ยวข้อง: 109. จำนวนการสั่นของเบตตรอน ... หนังสืออ้างอิงพจนานุกรมของข้อกำหนดของเอกสารเชิงบรรทัดฐานและทางเทคนิค
เช่น s. ใช้ บ่อยมาก สัณฐานวิทยา: (ไม่) อะไรนะ? ตัวเลขเพื่ออะไร? หมายเลข (ดู) อะไร? จำนวนกว่า? หมายเลขเกี่ยวกับอะไร? เกี่ยวกับจำนวน; พี อะไร? ตัวเลข (ไม่) อะไรนะ? ตัวเลขเพื่ออะไร? ตัวเลข (ดู) อะไร? ตัวเลขกว่า? ตัวเลขเกี่ยวกับอะไร? เกี่ยวกับเลขคณิต 1. เลข ... ... พจนานุกรมดมีตรีวา
NUMBER ตัวเลข pl. ตัวเลข, ตัวเลข, ตัวเลข, cf. 1. แนวคิดที่ทำหน้าที่เป็นนิพจน์ของปริมาณบางสิ่งบางอย่างด้วยความช่วยเหลือของการนับวัตถุและปรากฏการณ์ (เสื่อ) จำนวนเต็ม. จำนวนเศษส่วน ชื่อหมายเลข. จำนวนเฉพาะ. (ดูค่าง่าย 1 ใน 1)… … พจนานุกรมอธิบายของ Ushakov
การกำหนดนามธรรมที่ไม่มีเนื้อหาพิเศษของสมาชิกชุดใดชุดหนึ่งซึ่งสมาชิกรายนี้นำหน้าหรือตามด้วยสมาชิกที่แน่นอนอื่น ๆ คุณลักษณะเฉพาะที่เป็นนามธรรมซึ่งแยกความแตกต่างชุดหนึ่งจาก ... ... สารานุกรมปรัชญา
ตัวเลข- ตัวเลข หมวดหมู่ไวยากรณ์แสดงลักษณะเชิงปริมาณของวัตถุแห่งความคิด ตัวเลขทางไวยากรณ์เป็นหนึ่งในการแสดงประเภทของปริมาณภาษาศาสตร์ทั่วไปมากขึ้น (ดูหมวดภาษาศาสตร์) พร้อมกับการแสดงคำศัพท์ (“ศัพท์ ... ... พจนานุกรมสารานุกรมภาษาศาสตร์
แต่; พี ตัวเลข, หมู่บ้าน, สแลม; เปรียบเทียบ 1. หน่วยบัญชีที่แสดงปริมาณอย่างใดอย่างหนึ่ง เศษส่วน จำนวนเต็ม ชั่วโมงธรรมดา คู่ ชั่วโมงคี่ นับเป็นตัวเลขกลม (โดยประมาณ นับเป็นจำนวนเต็มหรือหลักสิบ) ชั่วโมงธรรมชาติ (จำนวนเต็มบวก ... พจนานุกรมสารานุกรม
พุธ ปริมาณ นับ ต่อคำถาม เท่าไหร่? และเครื่องหมายแสดงปริมาณ คือ ตัวเลข ไม่มีตัวเลข; ไม่นับ ไม่นับ มากมาย วางเครื่องใช้ตามจำนวนแขก ตัวเลขโรมัน อาหรับ หรือคริสตจักร จำนวนเต็ม, ตรงกันข้าม เศษส่วน. ... ... พจนานุกรมอธิบายของดาห์ล
NUMBER, ป. ตัวเลข, หมู่บ้าน, สแลม, เปรียบเทียบ 1. แนวคิดพื้นฐานของคณิตศาสตร์คือค่านิยมซึ่งช่วยคำนวณกลุ่ม จำนวนเต็ม ชั่วโมงเศษส่วน ชั่วโมงจริง ชั่วโมงที่ซับซ้อน ชั่วโมงธรรมชาติ (จำนวนเต็มบวก) ชั่วโมงธรรมดา (เลขธรรมดา ไม่ใช่ ... ... พจนานุกรมอธิบายของOzhegov
NUMBER "E" (EXP) เป็นจำนวนอตรรกยะที่ทำหน้าที่เป็นฐานของลอการิทึมธรรมชาติ มันถูกต้อง เลขทศนิยมเศษส่วนอนันต์เท่ากับ 2.7182818284590.... คือขีดจำกัดของนิพจน์ (1/) เนื่องจาก n มีแนวโน้มเป็นอนันต์ ในความเป็นจริง,… … พจนานุกรมสารานุกรมวิทยาศาสตร์และเทคนิค
ปริมาณ, เงินสด, องค์ประกอบ, ความแข็งแกร่ง, บังเอิญ, จำนวนเงิน, ตัวเลข; วัน..พ. . ดูวัน ปริมาณ จำนวนน้อย ไม่มีจำนวน เพิ่มขึ้นในจำนวน... พจนานุกรมคำพ้องความหมายและสำนวนภาษารัสเซียที่มีความหมายคล้ายกัน ภายใต้. เอ็ด N. Abramova, M.: รัสเซีย ... ... พจนานุกรมคำพ้องความหมาย
หนังสือ
- ชื่อหมายเลข. ความลับของตัวเลข ออกจากร่างกายสำหรับคนเกียจคร้าน หนังสือเรียนเกี่ยวกับการรับรู้ภายนอก (จำนวนเล่ม : 3)
- ชื่อหมายเลข. รูปลักษณ์ใหม่ของตัวเลข Numerology - วิถีแห่งความรู้ (จำนวนเล่ม: 3), Lawrence Shirley ชื่อหมายเลข. ความลับของตัวเลข หนังสือของ Shirley B. Lawrence เป็นการศึกษาที่ครอบคลุมเกี่ยวกับระบบลึกลับโบราณ - ตัวเลข เพื่อเรียนรู้วิธีการใช้การสั่นตัวเลขเพื่อ...
ตัวเลข อี. ตัวเลขประมาณเท่ากับ 2.718 ซึ่งมักพบในวิชาคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ ตัวอย่างเช่น ในระหว่างการสลายตัวของสารกัมมันตภาพรังสีหลังเวลาหนึ่ง tจากปริมาณเริ่มต้นของสารยังคงเป็นเศษส่วนเท่ากับ e–kt, ที่ไหน k- ตัวเลขแสดงอัตราการสลายตัวของสารที่กำหนด ซึ่งกันและกัน 1/ kเรียกว่าอายุขัยเฉลี่ยของอะตอมของสสารหนึ่ง ๆ เนื่องจากโดยเฉลี่ยแล้ว อะตอมก่อนสลายตัวจะมีอยู่ชั่วระยะเวลาหนึ่ง 1/ k. มูลค่า 0.693/ kเรียกว่า ครึ่งชีวิตของสารกัมมันตภาพรังสี กล่าวคือ เวลาที่ใช้ในการสลายตัวของสารตั้งต้นครึ่งหนึ่ง เลข 0.693 เท่ากับ log . โดยประมาณ อี 2 คือ ลอการิทึมฐานของ2 อี. ในทำนองเดียวกัน หากแบคทีเรียในตัวกลางที่มีสารอาหารทวีคูณในอัตราที่เป็นสัดส่วนกับจำนวนของมันในขณะนั้น จากนั้นเมื่อเวลาผ่านไป tจำนวนแบคทีเรียเริ่มต้น นู๋กลายเป็น Ne kt. การลดทอนของกระแสไฟฟ้า ฉันในวงจรอย่างง่ายที่มีการเชื่อมต่อแบบอนุกรมความต้านทาน Rและการเหนี่ยวนำ หลี่เกิดขึ้นได้ตามกฎหมาย ฉัน = ฉัน 0 e–kt, ที่ไหน k = R/L, ฉัน 0 - ความแรงปัจจุบันในขณะนั้น t= 0 สูตรที่คล้ายกันอธิบายการผ่อนคลายความเครียดในของเหลวหนืดและการทำให้หมาด ๆ ของสนามแม่เหล็ก หมายเลข 1/ kมักเรียกว่าเวลาพักผ่อน ในสถิติ ค่า e–ktเกิดขึ้นเป็นความน่าจะเป็นที่เมื่อเวลาผ่านไป tไม่มีเหตุการณ์เกิดขึ้นแบบสุ่มที่มีความถี่เฉลี่ย kเหตุการณ์ต่อหน่วยเวลา ถ้า ส- จำนวนเงินที่ลงทุน rดอกเบี้ยด้วยเงินคงค้างต่อเนื่องแทนการคงค้างเป็นระยะ ๆ จากนั้นตามเวลา tจำนวนเงินเริ่มต้นจะเพิ่มขึ้นเป็น Setr/100.
สาเหตุของ "อยู่ทั่วไปทุกหนทุกแห่ง" ของจำนวน อีคือสูตรของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ที่มีฟังก์ชันเลขชี้กำลังหรือลอการิทึมจะเขียนง่ายกว่าถ้าใช้ลอการิทึมเป็นฐาน อีไม่ใช่ 10 หรือฐานอื่นๆ ตัวอย่างเช่น อนุพันธ์ของล็อก 10 xเท่ากับ (1/ x)บันทึก 10 อีในขณะที่อนุพันธ์ของ log อดีตเป็นเพียง 1/ x. ในทำนองเดียวกัน อนุพันธ์ของ 2 xเท่ากับ2 xบันทึก อี 2 ในขณะที่อนุพันธ์ของ อดีตเท่ากับ อดีต. ซึ่งหมายความว่าจำนวน อีสามารถกำหนดเป็นพื้นฐานได้ ขซึ่งกราฟของฟังก์ชัน y=บันทึก ข xมีที่จุด x= 1 แทนเจนต์ที่มีความชันเท่ากับ 1 หรือที่เส้นโค้ง y = bxมีใน x= 0 แทนเจนต์ที่มีความชันเท่ากับ 1 ลอการิทึมฐาน อีเรียกว่า "ธรรมชาติ" และเขียนแทนด้วย ln x. บางครั้งเรียกอีกอย่างว่า "non-Perean" ซึ่งไม่ถูกต้อง เนื่องจากในความเป็นจริง J. Napier (1550–1617) ได้ประดิษฐ์ลอการิทึมที่มีฐานต่างกัน: ลอการิทึมที่ไม่ใช่ Perian ของตัวเลข xเท่ากับ 10 7 บันทึก 1/ อี (x/10 7) .
ชุดค่าผสมต่างๆ อีเป็นเรื่องธรรมดาในวิชาคณิตศาสตร์ที่มีชื่อพิเศษ ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก
กราฟฟังก์ชัน y=ch xเรียกว่าโซ่; ด้ายหรือโซ่ที่ขยายไม่ได้หนักที่แขวนไว้ที่ปลายมีรูปร่างเช่นนี้ สูตรออยเลอร์
ที่ไหน ผม 2 = -1, ผูกหมายเลข อีด้วยตรีโกณมิติ กรณีพิเศษ x = พีนำไปสู่ความสัมพันธ์อันโด่งดัง ip+1 = 0 เชื่อมโยง 5 ตัวเลขที่มีชื่อเสียงที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์
ตัวเลข "e" เป็นหนึ่งในค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญที่สุดที่ทุกคนเคยได้ยินในบทเรียนคณิตศาสตร์ของโรงเรียน Concepture ตีพิมพ์งานนิทรรศการที่เป็นที่นิยมซึ่งเขียนขึ้นโดยนักมนุษยศาสตร์เพื่อมนุษยศาสตร์ ซึ่งเขาจะบอกด้วยภาษาที่เข้าถึงได้ว่าทำไมและเหตุใดจึงมีหมายเลขออยเลอร์
เงินของเราและหมายเลขออยเลอร์มีอะไรที่เหมือนกัน?
ในขณะที่ตัวเลข π (pi) มีความหมายทางเรขาคณิตที่ชัดเจนและถูกใช้โดยนักคณิตศาสตร์โบราณ ตามด้วยตัวเลข อี(หมายเลขออยเลอร์) ได้รับตำแหน่งที่สมควรได้รับในด้านวิทยาศาสตร์ค่อนข้างเร็วและรากของมันตรง ... กับประเด็นทางการเงิน
นับตั้งแต่มีการประดิษฐ์เงิน เวลาผ่านไปน้อยมากเมื่อผู้คนคาดเดาว่าสกุลเงินนั้นสามารถยืมหรือยืมได้ในอัตราร้อยละหนึ่ง โดยธรรมชาติแล้ว นักธุรกิจ "โบราณ" ไม่ได้ใช้แนวคิดเรื่อง "เปอร์เซ็นต์" ที่คุ้นเคยสำหรับเรา แต่การเพิ่มขึ้นในจำนวนโดยตัวบ่งชี้เฉพาะบางตัวในช่วงเวลาที่กำหนดนั้นเป็นที่คุ้นเคยสำหรับพวกเขา
ในภาพ: ธนบัตรมูลค่า 10 ฟรังก์ พร้อมรูปของเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ (1707-1783)
เราจะไม่พูดถึงตัวอย่าง APR 20% เนื่องจากใช้เวลานานเกินไปกว่าจะได้หมายเลขออยเลอร์ ลองใช้คำอธิบายทั่วไปและอธิบายความหมายของค่าคงที่นี้ และสำหรับสิ่งนี้เราจะต้องฝันเล็กน้อยและจินตนาการว่าธนาคารบางแห่งเสนอให้เราฝากเงินที่ 100% ต่อปี
การทดลองทางความคิด-การเงิน
สำหรับการทดลองทางจิตนี้ คุณสามารถใช้จำนวนเท่าใดก็ได้และผลลัพธ์จะเหมือนกันเสมอ แต่เริ่มจาก 1 เราสามารถมาถึงค่าประมาณแรกของตัวเลขได้โดยตรง อี. เพราะ สมมติว่าเราลงทุน $1 ในธนาคาร ในอัตรา 100% ต่อปี ณ สิ้นปี เราจะมีเงิน $2
แต่นี่เป็นเพียงในกรณีที่ดอกเบี้ยเป็นตัวพิมพ์ใหญ่ (เพิ่ม) ปีละครั้ง เกิดอะไรขึ้นถ้าพวกเขาเป็นตัวพิมพ์ใหญ่ปีละสองครั้ง? นั่นคือ 50% จะถูกเรียกเก็บเงินทุก ๆ หกเดือนและ 50% ที่สองจะไม่ถูกเรียกเก็บเงินจากจำนวนเงินเริ่มต้น แต่จากจำนวนเงินที่เพิ่มขึ้นโดย 50% แรก มันจะเป็นประโยชน์กับเรามากขึ้นหรือไม่?
ภาพอินโฟกราฟิกแสดงความหมายทางเรขาคณิตของตัวเลข π .
แน่นอนมันจะ ด้วยการใช้อักษรตัวพิมพ์ใหญ่สองครั้งต่อปี หกเดือนต่อมา เราจะมีเงิน $1.50 ในบัญชี ภายในสิ้นปีนี้ จะมีการเพิ่มอีก 50% ของ $1.50 รวมเป็น $2.25 จะเกิดอะไรขึ้นหากใช้อักษรตัวพิมพ์ใหญ่ทุกเดือน
เราจะถูกเรียกเก็บเงิน 100/12% (นั่นคือประมาณ 8.(3)%) ทุกเดือน ซึ่งจะทำกำไรได้มากกว่าเดิม - สิ้นปีนี้เราจะมีเงิน 2.61 ดอลลาร์ สูตรทั่วไปสำหรับการคำนวณยอดรวมสำหรับจำนวนการใช้อักษรตัวพิมพ์ใหญ่ (n) ต่อปีตามอำเภอใจมีลักษณะดังนี้:
ผลรวมทั้งหมด = 1(1+1/n) n
ปรากฎว่าด้วยค่า n = 365 (นั่นคือ หากดอกเบี้ยของเราเป็นตัวพิมพ์ใหญ่ทุกวัน) เราจะได้สูตรต่อไปนี้: 1(1+1/365) 365 = $2.71 จากตำราเรียนและหนังสืออ้างอิง เรารู้ว่า e มีค่าประมาณ 2.71828 นั่นคือเมื่อพิจารณาจากการใช้อักษรตัวพิมพ์ใหญ่ในแต่ละวันของผลงานที่ยอดเยี่ยมของเรา เราได้ค่าประมาณของ e แล้ว ซึ่งเพียงพอสำหรับการคำนวณหลายอย่างแล้ว
การเติบโตของ n สามารถดำเนินต่อไปอย่างไม่มีกำหนด และยิ่งค่าของมันมากเท่าใด เราก็ยิ่งคำนวณจำนวนออยเลอร์ได้แม่นยำมากขึ้น จนถึงจุดทศนิยมที่เราต้องการ ไม่ว่าจะด้วยเหตุผลใดก็ตาม
แน่นอนว่ากฎนี้ไม่ได้จำกัดเฉพาะผลประโยชน์ทางการเงินของเราเท่านั้น ค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์อยู่ไกลจาก "ผู้เชี่ยวชาญที่แคบ" ซึ่งทำงานได้ดีเท่ากันโดยไม่คำนึงถึงขอบเขตการใช้งาน ดังนั้นการขุดที่ดีคุณสามารถค้นหาได้ในเกือบทุกด้านของชีวิต
ปรากฎว่าจำนวน e เป็นเหมือนการวัดการเปลี่ยนแปลงทั้งหมดและ "ภาษาธรรมชาติของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์" ท้ายที่สุดแล้ว "มาตัน" เชื่อมโยงกับแนวคิดเรื่องการสร้างความแตกต่างและการรวมเข้าด้วยกันอย่างแน่นหนา และการดำเนินการทั้งสองนี้จัดการกับการเปลี่ยนแปลงเพียงเล็กน้อย ซึ่งตัวเลขดังกล่าวแสดงลักษณะได้สวยงามมาก อี .
คุณสมบัติเฉพาะของหมายเลขออยเลอร์
พิจารณาจากตัวอย่างที่เข้าใจได้มากที่สุดในการอธิบายการสร้างสูตรการคำนวณจำนวนอย่างใดอย่างหนึ่ง อีให้พิจารณาคำถามอีกสองสามข้อที่เกี่ยวข้องโดยตรงโดยสังเขป และหนึ่งในนั้น: หมายเลขออยเลอร์มีความพิเศษอย่างไร?
ในทางทฤษฎี ค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์ใดๆ ล้วนมีเอกลักษณ์เฉพาะตัว และแต่ละตัวก็มีประวัติของมันเอง แต่คุณคงเห็นแล้วว่า การอ้างสิทธิ์ในชื่อภาษาธรรมชาติของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์นั้นค่อนข้างเป็นการอ้างที่หนักแน่น
ค่าพันแรกของ ϕ(n) สำหรับฟังก์ชันออยเลอร์
อย่างไรก็ตาม จำนวน อี มีเหตุผลสำหรับสิ่งนั้น เมื่อวางแผนฟังก์ชัน y \u003d e x ข้อเท็จจริงที่โดดเด่นจะถูกเปิดเผย: ไม่เพียง แต่ y เท่ากับ e x เท่านั้น ตัวบ่งชี้เดียวกันจะเท่ากับความชันของเส้นโค้งและพื้นที่ใต้เส้นโค้ง นั่นคือพื้นที่ใต้เส้นโค้งจากค่าหนึ่งของ y ถึงลบอนันต์
ไม่มีหมายเลขอื่นใดที่สามารถอวดสิ่งนี้ได้ สำหรับเรา นักมานุษยวิทยา (หรือไม่ใช่นักคณิตศาสตร์) ถ้อยแถลงดังกล่าวพูดน้อย แต่นักคณิตศาสตร์เองกล่าวว่าสิ่งนี้สำคัญมาก ทำไมมันถึงสำคัญ? เราจะพยายามจัดการกับปัญหานี้อีกครั้ง
ลอการิทึมเป็นสมมติฐานของจำนวนออยเลอร์
บางทีบางคนอาจจำได้ว่าจากโรงเรียนว่าจำนวนออยเลอร์ก็เป็นฐานของลอการิทึมธรรมชาติด้วย สิ่งนี้สอดคล้องกับธรรมชาติของมัน เป็นตัววัดการเปลี่ยนแปลงทั้งหมด ออยเลอร์เกี่ยวอะไรกับมัน? เพื่อความเป็นธรรม บางครั้ง e ก็ถูกเรียกว่าหมายเลขเนเปียร์ แต่ถ้าไม่มีออยเลอร์ เรื่องราวก็จะไม่สมบูรณ์ เช่นเดียวกับโดยไม่ต้องกล่าวถึงลอการิทึม
การประดิษฐ์ลอการิทึมในศตวรรษที่ 17 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวสก็อต จอห์น เนเปียร์ เป็นหนึ่งใน เหตุการณ์สำคัญประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ ในการเฉลิมฉลองเพื่อเป็นเกียรติแก่วันครบรอบของเหตุการณ์นี้ซึ่งเกิดขึ้นในปี 1914 ลอร์ด Moulton (Lord Moulton) กล่าวถึงเขา:
"การประดิษฐ์ลอการิทึมมีไว้สำหรับ โลกวิทยาศาสตร์เหมือนฟ้าร้องจากฟ้าใส ไม่มีงานก่อนหน้านี้ที่นำไปสู่การทำนายหรือสัญญาการค้นพบนี้ มันแยกจากกัน มันแตกออกจากความคิดของมนุษย์อย่างกะทันหัน โดยไม่ต้องยืมอะไรจากการทำงานของจิตใจอื่น และไม่ปฏิบัติตามทิศทางของความคิดทางคณิตศาสตร์ที่รู้อยู่แล้ว
Pierre-Simon Laplace นักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวฝรั่งเศสที่มีชื่อเสียง ได้แสดงความสำคัญของการค้นพบนี้อย่างยิ่งยวด: "การประดิษฐ์ลอการิทึมโดยการลดชั่วโมงการทำงานที่อุตสาหะ เพิ่มชีวิตนักดาราศาสตร์เป็นสองเท่า" อะไรที่ Laplace ประทับใจมาก? และเหตุผลก็ง่ายมาก - ลอการิทึมช่วยให้นักวิทยาศาสตร์ลดเวลาที่มักใช้ในการคำนวณที่ยุ่งยากลงได้อย่างมาก
โดยรวมแล้ว ลอการิทึมทำให้การคำนวณง่ายขึ้น โดยลดระดับความซับซ้อนลงไปหนึ่งระดับ พูดง่ายๆ แทนที่จะคูณและหาร คุณต้องดำเนินการบวกและลบ และมีประสิทธิภาพมากขึ้น
อี- ฐานของลอการิทึมธรรมชาติ
ลองมายอมรับความจริงที่ว่า Napier เป็นผู้บุกเบิกด้านลอการิทึม - ผู้ประดิษฐ์ของพวกเขา อย่างน้อยเขาได้เผยแพร่การค้นพบของเขาก่อน ในกรณีนี้ คำถามเกิดขึ้น: ประโยชน์ของออยเลอร์คืออะไร?
ทุกอย่างเรียบง่าย - เรียกได้ว่าเป็นทายาททางอุดมการณ์ของ Napier และชายผู้นำผลงานของนักวิทยาศาสตร์ชาวสก็อตมาสู่ข้อสรุปลอการิทึม (อ่านตรรกะ) สิ่งนี้น่าสนใจหรือไม่?
กราฟที่สำคัญมากบางอันสร้างขึ้นโดยใช้ลอการิทึมธรรมชาติ
โดยเฉพาะอย่างยิ่งออยเลอร์ได้รับฐานของลอการิทึมธรรมชาติซึ่งปัจจุบันเรียกว่าจำนวน อีหรือหมายเลขออยเลอร์ นอกจากนี้เขายังป้อนชื่อของเขาในประวัติศาสตร์วิทยาศาสตร์หลายครั้งอย่างที่ Vasya ไม่เคยฝันถึงใครที่สามารถ "เยี่ยมชม" ได้ทุกที่
น่าเสียดาย โดยเฉพาะหลักการทำงานกับลอการิทึมนั้นเป็นหัวข้อของบทความขนาดใหญ่แยกต่างหาก สำหรับตอนนี้ พอเพียงที่จะกล่าวว่าต้องขอบคุณการทำงานของนักวิทยาศาสตร์ที่อุทิศตนจำนวนหนึ่งที่อุทิศชีวิตหลายปีอย่างแท้จริงในการรวบรวมตารางลอการิทึมในช่วงเวลาที่ไม่มีใครเคยได้ยินเกี่ยวกับเครื่องคิดเลข ความก้าวหน้าของวิทยาศาสตร์ได้เร่งขึ้นอย่างมาก .
ในภาพ: John Napier - นักคณิตศาสตร์ชาวสก็อตผู้ประดิษฐ์ลอการิทึม (1550-1617)
เป็นเรื่องตลก แต่สุดท้ายความก้าวหน้านี้ นำไปสู่ความล้าสมัยของตารางเหล่านี้ และเหตุผลของเรื่องนี้ก็คือลักษณะที่ปรากฏของเครื่องคิดเลขแบบใช้มืออย่างแม่นยำ ซึ่งทำหน้าที่แทนการคำนวณประเภทนี้โดยสิ้นเชิง
บางทีคุณอาจเคยได้ยินกฎสไลด์? กาลครั้งหนึ่ง วิศวกรหรือนักคณิตศาสตร์ทำไม่ได้หากไม่มีพวกเขา แต่ตอนนี้มันเกือบจะเหมือนกับดวงดาว ซึ่งเป็นเครื่องมือที่น่าสนใจ แต่ในแง่ของประวัติศาสตร์วิทยาศาสตร์มากกว่าการปฏิบัติในชีวิตประจำวัน
เหตุใดการเป็นฐานของลอการิทึมจึงสำคัญ
ปรากฎว่าฐานของลอการิทึมสามารถเป็นตัวเลขใดก็ได้ (เช่น 2 หรือ 10) แต่ต้องขอบคุณ คุณสมบัติที่เป็นเอกลักษณ์ลอการิทึมฐานตัวเลขออยเลอร์ อีเรียกว่าเป็นธรรมชาติ มันถูกสร้างขึ้นในโครงสร้างของความเป็นจริงอย่างที่มันเป็น - ไม่มีทางหนีจากมันและไม่จำเป็นเพราะมันทำให้ชีวิตของนักวิทยาศาสตร์ที่ทำงานในด้านต่าง ๆ ง่ายขึ้นอย่างมาก
นี่คือคำอธิบายที่เข้าใจได้เกี่ยวกับธรรมชาติของลอการิทึมจากไซต์ของ Pavel Berdov ลอการิทึมฐาน เอจากการโต้แย้ง xคือกำลังที่ต้องยกจำนวน a เพื่อให้ได้จำนวน x กราฟแสดงไว้ดังนี้:
บันทึก a x = b โดยที่ a คือฐาน x คืออาร์กิวเมนต์ b คือค่าที่ลอการิทึมมีค่าเท่ากับ
ตัวอย่างเช่น 2 3 = 8 ⇒ บันทึก 2 8 = 3 (ลอการิทึมฐาน 2 ของ 8 คือ 3 เพราะ 2 3 = 8)
ด้านบนเราเห็นเลข 2 เป็นฐานของลอการิทึม แต่นักคณิตศาสตร์บอกว่านักแสดงที่มีความสามารถมากที่สุดสำหรับบทบาทนี้คือจำนวนออยเลอร์ เอาคำพูดของพวกเขามา... แล้วเราจะตรวจสอบดูด้วยตัวเราเอง
ข้อสรุป
คงจะแย่ที่ภายใน อุดมศึกษาแยกออกจากธรรมชาติอย่างรุนแรงและ มนุษยธรรม. บางครั้งสิ่งนี้นำไปสู่การ "เบ้" ที่แรงเกินไปและปรากฎว่าไม่น่าสนใจอย่างยิ่งที่จะพูดคุยกับบุคคลที่รอบรู้ในวิชาฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ในหัวข้ออื่น ๆ
และในทางกลับกัน คุณสามารถเป็นผู้เชี่ยวชาญระดับเฟิร์สคลาสในวรรณคดีได้ แต่ในขณะเดียวกัน คุณก็ทำอะไรไม่ถูกเมื่อเป็นเรื่องของฟิสิกส์และคณิตศาสตร์แบบเดียวกัน แต่วิทยาศาสตร์ทั้งหมดมีความน่าสนใจในแบบของตัวเอง
เราหวังว่าการพยายามเอาชนะข้อ จำกัด ของตัวเองภายในกรอบของโปรแกรมอย่างกะทันหัน "ฉันเป็นนักมนุษยนิยม แต่ฉันอยู่ระหว่างการรักษา" ช่วยให้คุณเรียนรู้และที่สำคัญที่สุดคือเข้าใจสิ่งใหม่จากวิทยาศาสตร์ที่ไม่ค่อยคุ้นเคย สนาม.
สำหรับผู้ที่ต้องการเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับหมายเลขออยเลอร์ เราสามารถแนะนำแหล่งข้อมูลต่างๆ ที่แม้แต่ผู้ที่ห่างไกลจากคณิตศาสตร์ก็สามารถเข้าใจได้หากต้องการ: Eli Maor ในหนังสือของเขา “e: เรื่องราวของตัวเลข” (“e: เรื่องราวของตัวเลข ”) อธิบายรายละเอียดและในลักษณะที่เข้าถึงได้ ภูมิหลังและประวัติของหมายเลขออยเลอร์
นอกจากนี้ ในส่วน "แนะนำ" ใต้บทความนี้ คุณสามารถตั้งชื่อช่องและวิดีโอ YouTube ที่ถ่ายโดยนักคณิตศาสตร์มืออาชีพที่พยายามอธิบายหมายเลขออยเลอร์ให้ชัดเจนเพื่อให้เข้าใจได้แม้จะไม่ใช่ผู้เชี่ยวชาญก็ตาม มีคำบรรยายภาษารัสเซีย
พิจารณาฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซต ตัวเลขธรรมชาติ: ฟังก์ชันดังกล่าวเรียกว่าฟังก์ชันอาร์กิวเมนต์ตามธรรมชาติหรือลำดับ ค่าของฟังก์ชันนี้เรียกว่าสมาชิกของลำดับ
สมาชิกในลำดับมักจะเรียงลำดับจากน้อยไปมากของอาร์กิวเมนต์:
มันถูกเรียกว่าสมาชิกตัวแรกของลำดับ สมาชิกที่สองเรียกว่าหรือสมาชิกทั่วไปของลำดับ ลำดับแสดงไว้สั้นๆ ตัวอย่างที่ 1 ลองเขียนคำศัพท์สองสามคำแรกของลำดับกัน:
ตัวอย่างที่ 2 ปล่อยให้แล้ว
ตัวอย่างที่ 3 ให้ . แล้ว
ให้เราแนะนำแนวคิดเกี่ยวกับขีดจำกัดของลำดับ
คำนิยาม. จำนวน b เรียกว่า ลิมิตของลำดับ ถ้า อะไรก็ตาม มีจำนวนธรรมชาติ N เช่นนั้นสำหรับสมาชิกทั้งหมดในลำดับ จำนวนที่พอใจด้วยอสมการ (หรือ )
หากตัวเลขเป็นขีดจำกัดของลำดับ ให้เขียนดังนี้: หรือ
คำจำกัดความของลิมิตของลำดับจะคล้ายกับคำจำกัดความของลิมิตของฟังก์ชันสำหรับ สำหรับฟังก์ชัน เงื่อนไขถูกทำให้พอใจสำหรับค่าจริงทั้งหมด และสำหรับลำดับนั้น ค่าความไม่เท่าเทียมกันสำหรับจำนวนธรรมชาติทั้งหมด
ความไม่เท่าเทียมกันเท่ากับความไม่เท่าเทียมกัน
ดังนั้น เมื่อวาดสมาชิกของลำดับเป็นจุดของระนาบที่มีพิกัดเรามาถึงต่อไปนี้ ความรู้สึกทางเรขาคณิตขีด จำกัด ของลำดับ: หากลำดับมีขีด จำกัด ที่ 6 แล้วอะไรก็ตามที่มีจำนวนธรรมชาติ N ที่ทุกจุดที่แสดงภาพของสมาชิกของลำดับที่มีตัวเลขจะตกอยู่ในแถบที่ล้อมรอบด้วยเส้นตรง (รูปที่ 112)
ทฤษฎีบททั้งหมดเกี่ยวกับขีดจำกัดของฟังก์ชันที่พิสูจน์แล้วในส่วนนี้ยังคงใช้ได้สำหรับลำดับเช่นกัน
ขอพิจารณาตัวอย่าง.
ตัวอย่างที่ 4 ค้นหาขีด จำกัด ของลำดับ
วิธีการแก้. ในที่นี้ ตัวเศษและตัวส่วนมีแนวโน้มที่จะหาขีดจำกัดพร้อมกัน เพื่อหาขีดจำกัด เราแปลงโดยการแสดงตัวเศษโดยใช้สูตรสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์:
ตัวอย่างที่ 5 พิจารณาลำดับ สมาชิกของลำดับใช้ค่าสลับกัน ลำดับนี้ไม่มีขีด จำกัด อย่างเห็นได้ชัด
ตัวอย่างที่ 6 พิจารณาลำดับโดยให้แสดงว่า
วิธีการแก้. Reli แล้วสำหรับใดๆ เป็นที่ชัดเจนว่าในกรณีนี้
ปล่อยให้ตอนนี้ แล้วที่ . สูตรทวินามของนิวตัน
เนื่องจาก เงื่อนไขทั้งหมดในผลรวมสุดท้ายเป็นค่าบวก ยกเลิกเงื่อนไขทั้งหมด ยกเว้นสองข้อแรก เราได้รับ จากนี้เราสรุปว่า เนื่องจากการเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีกำหนด มันก็เติบโตอย่างไม่มีกำหนด กล่าวคือ
สุดท้าย ให้ . แล้วที่. จากข้อมูลข้างต้นจึงมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์:
มีการกล่าวกันว่าซีเควนซ์จะเพิ่มขึ้นหากสมาชิกเพิ่มขึ้นตามที่เพิ่มขึ้น กล่าวคือ
หากเงื่อนไขของลำดับลดลงตามการเพิ่มขึ้นเช่น
จากนั้นลำดับจะเรียกว่าการลดลง
ลำดับของตัวอย่างที่ 1 กำลังขึ้นและตัวอย่างที่ 2 กำลังลดลง ลำดับของตัวอย่างที่ 3 ไม่ขึ้นหรือลง
ลำดับเรียกว่า bounded หากมีตัวเลข C ซึ่งอสมการเป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติทั้งหมด ลำดับของตัวอย่างที่ 1 ไม่จำกัด
พิจารณาลำดับที่เพิ่มขึ้น
หากลำดับนี้ไม่มีขอบเขต เงื่อนไขของลำดับนั้นจะเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีกำหนด และดังนั้น ลำดับดังกล่าวจึงไม่มีขีดจำกัด ถ้าลำดับการเพิ่มขึ้นถูกจำกัด สมาชิกของมันซึ่งเพิ่มขึ้นและไม่เกินจำนวน C จะต้องเข้าใกล้จำนวนที่แน่นอนอย่างไม่มีกำหนด (รูปที่ 11.3) อย่างเห็นได้ชัด โดยไม่ได้พิสูจน์ข้อเท็จจริงนี้ เราจำกัดตัวเองให้อยู่ในสูตรที่แน่นอน
ทฤษฎีบท (เกณฑ์เพียงพอสำหรับการมีอยู่ของลิมิตของลำดับ) ลำดับขอบเขตที่เพิ่มขึ้นทุกลำดับมีขีดจำกัด
ตัวอย่างของการประยุกต์ใช้คุณลักษณะนี้ ให้พิจารณาลำดับที่มีคำศัพท์ทั่วไป ให้เราแสดงให้เห็นว่าลำดับนี้เพิ่มขึ้นและมีขอบเขต
ตามสูตรทวินามของนิวตัน สมมติว่า (ดูเชิงอรรถในหน้า 184):
สังเกตว่า
เมื่อเศษส่วนเพิ่มขึ้น พวกมันจะลดลง และผลต่างเพิ่มขึ้น ดังนั้นเมื่อมีการเพิ่มขึ้น ฯลฯ เงื่อนไขของการขยายเพิ่มขึ้น นอกจากนี้ยังมีการเพิ่มคำศัพท์เชิงบวกใหม่ ๆ อีกด้วย ดังนั้นจึงเพิ่มขึ้นตามการเพิ่มขึ้น ลำดับจึงเพิ่มขึ้น ให้เราแสดงว่าตามีขอบเขต
หากในการขยายสำหรับแต่ละเทอม เราทิ้งเศษส่วนในวงเล็บ แล้วแต่ละเทอมจะเพิ่มขึ้น และเราจะได้รับผลรวมที่มากกว่าเศษส่วนเดิม:
เราพบผลรวมตามสูตรสำหรับผลรวมของสมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต:
วิธีการแก้. อนุญาต . ที่ . เพราะเหตุนี้,
โดยสรุป เราสังเกตว่าบ่อยครั้งจำเป็นต้องพิจารณา ฟังก์ชันเลขชี้กำลังมีฐาน