กฎสำหรับการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน ตัวอย่างการใช้สูตรหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน
ที่มาของสูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลัง (x ยกกำลังของ a) พิจารณาอนุพันธ์จากรากของ x สูตรหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันยกกำลัง การสั่งซื้อสินค้าที่สูงขึ้น. ตัวอย่างการคำนวณอนุพันธ์
เนื้อหาดูสิ่งนี้ด้วย: ฟังก์ชันกำลังและราก สูตรและกราฟ
กราฟฟังก์ชันกำลัง
สูตรพื้นฐาน
อนุพันธ์ของ x กำลังของ a เท่ากับ a คูณ x กำลังของลบ 1:
(1)
.
อนุพันธ์ของรากที่ n ของ x ยกกำลัง m คือ:
(2)
.
ที่มาของสูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลัง
กรณี x > 0
พิจารณาฟังก์ชันยกกำลังของตัวแปร x พร้อมเลขชี้กำลัง a:
(3)
.
โดยที่ a เป็นจำนวนจริงใดๆ ก็ตาม เรามาพิจารณากรณีนี้กันก่อน
ในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน (3) เราใช้คุณสมบัติของฟังก์ชันกำลังและแปลงเป็นรูปแบบต่อไปนี้:
.
ตอนนี้เราพบอนุพันธ์โดยใช้:
;
.
ที่นี่ .
สูตร (1) ได้รับการพิสูจน์แล้ว
ที่มาของสูตรสำหรับอนุพันธ์ของรากของดีกรี n ของ x ถึงดีกรีของ m
ตอนนี้ให้พิจารณาฟังก์ชันที่เป็นรากของแบบฟอร์มต่อไปนี้:
(4)
.
ในการค้นหาอนุพันธ์ เราจะแปลงรากให้เป็นฟังก์ชันกำลัง:
.
เมื่อเปรียบเทียบกับสูตร (3) เราจะเห็นว่า
.
แล้ว
.
ใช้สูตร (1) เราค้นหาอนุพันธ์:
(1)
;
;
(2)
.
ในทางปฏิบัติไม่จำเป็นต้องจำสูตร (2) จะสะดวกกว่ามากในการแปลงรากเป็นฟังก์ชันกำลังก่อนแล้วจึงค้นหาอนุพันธ์โดยใช้สูตร (1) (ดูตัวอย่างท้ายหน้า)
กรณี x = 0
ถ้า แล้วฟังก์ชันกำลังถูกกำหนดไว้สำหรับค่าของตัวแปร x = 0
. ลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน (3) ที่ x = 0
. ในการทำเช่นนี้ เราใช้คำจำกัดความของอนุพันธ์:
.
แทน x = ได้เลย 0
:
.
ในกรณีนี้ โดยอนุพันธ์ เราหมายถึงขีดจำกัดทางขวาซึ่ง
ดังนั้นเราจึงพบว่า:
.
จากนี้จะเห็นชัดเจนว่า สำหรับ , .
ที่ , .
ที่ , .
ผลลัพธ์นี้ได้มาจากสูตร (1):
(1)
.
ดังนั้น สูตร (1) จึงใช้ได้กับ x = เช่นกัน 0
.
กรณีx< 0
พิจารณาฟังก์ชัน (3) อีกครั้ง:
(3)
.
สำหรับค่าบางค่าของค่าคงที่ a จะมีการกำหนดค่าสำหรับค่าลบของตัวแปร x ด้วย กล่าวคือปล่อยให้เป็น จำนวนตรรกยะ. จากนั้นจึงสามารถแสดงเป็นเศษส่วนลดไม่ได้:
,
โดยที่ m และ n เป็นจำนวนเต็มที่ไม่มี ตัวหารร่วม.
ถ้า n เป็นเลขคี่แสดงว่าฟังก์ชันกำลังถูกกำหนดสำหรับค่าลบของตัวแปร x ด้วย เช่น เมื่อ n = 3
และ ม. = 1
เรามีรากที่สามของ x:
.
มันยังถูกกำหนดไว้สำหรับค่าลบของตัวแปร x ด้วย
ให้เราค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลัง (3) สำหรับและสำหรับค่าตรรกยะของค่าคงที่ a ที่กำหนดไว้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เรามาแทน x ในรูปแบบต่อไปนี้:
.
แล้ว ,
.
เราค้นหาอนุพันธ์โดยวางค่าคงที่ไว้นอกเครื่องหมายของอนุพันธ์ และใช้กฎในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน:
.
ที่นี่ . แต่
.
ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา
.
แล้ว
.
นั่นคือสูตร (1) ใช้ได้กับ:
(1)
.
อนุพันธ์ลำดับที่สูงขึ้น
ทีนี้ลองหาอนุพันธ์ลำดับที่สูงกว่าของฟังก์ชันกำลังดู
(3)
.
เราได้พบอนุพันธ์ลำดับที่หนึ่งแล้ว:
.
เมื่อหาค่าคงที่ที่อยู่นอกเครื่องหมายของอนุพันธ์ เราจะพบอนุพันธ์อันดับสอง:
.
ในทำนองเดียวกัน เราพบอนุพันธ์ของลำดับที่สามและสี่:
;
.
จากนี้ก็ชัดเจนว่า อนุพันธ์ของลำดับที่ n โดยพลการมีแบบฟอร์มดังนี้
.
สังเกตว่า ถ้าเป็น จำนวนธรรมชาติ
ดังนั้นอนุพันธ์อันดับที่ n จะเป็นค่าคงที่:
.
จากนั้นอนุพันธ์ที่ตามมาทั้งหมดจะเท่ากับศูนย์:
,
ที่ .
ตัวอย่างการคำนวณอนุพันธ์
ตัวอย่าง
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:
.
มาแปลงรากเป็นพลังกัน:
;
.
จากนั้นฟังก์ชันดั้งเดิมจะอยู่ในรูปแบบ:
.
การค้นหาอนุพันธ์ของพลัง:
;
.
อนุพันธ์ของค่าคงที่เป็นศูนย์:
.
อนุพันธ์เชิงซ้อน อนุพันธ์ลอการิทึม
อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังยกกำลัง
เราปรับปรุงเทคนิคการสร้างความแตกต่างของเราอย่างต่อเนื่อง ในบทนี้ เราจะรวบรวมเนื้อหาที่เราได้กล่าวถึง ดูอนุพันธ์ที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น และทำความคุ้นเคยกับเทคนิคและเทคนิคใหม่ๆ ในการค้นหาอนุพันธ์ โดยเฉพาะอนุพันธ์ลอการิทึม
ผู้อ่านที่มีการเตรียมตัวในระดับต่ำควรอ่านบทความ จะหาอนุพันธ์ได้อย่างไร? ตัวอย่างการแก้ปัญหาซึ่งจะช่วยให้คุณยกระดับทักษะของคุณเกือบจะตั้งแต่เริ่มต้น ถัดไปคุณต้องศึกษาหน้าอย่างละเอียด อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนเข้าใจและแก้ไข ทั้งหมดตัวอย่างที่ฉันให้ บทเรียนนี้เป็นบทเรียนที่สามติดต่อกันอย่างมีเหตุผล และหลังจากเชี่ยวชาญแล้ว คุณจะแยกแยะฟังก์ชันที่ค่อนข้างซับซ้อนได้อย่างมั่นใจ ไม่พึงปรารถนาที่จะรับตำแหน่ง "ที่ไหนอีก? ใช่ เพียงพอแล้ว!” เนื่องจากตัวอย่างและวิธีแก้ปัญหาทั้งหมดนำมาจากของจริง การทดสอบและมักพบเจอในทางปฏิบัติ
เริ่มต้นด้วยการทำซ้ำ ในบทเรียน อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนเราดูตัวอย่างจำนวนหนึ่งพร้อมความคิดเห็นโดยละเอียด ในระหว่างการศึกษาแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์สาขาอื่น คุณจะต้องแยกความแตกต่างบ่อยมาก และไม่สะดวกเสมอไป (และไม่จำเป็นเสมอไป) ที่จะอธิบายตัวอย่างโดยละเอียด ดังนั้นเราจะฝึกการหาอนุพันธ์แบบปากเปล่า “ผู้สมัคร” ที่เหมาะสมที่สุดสำหรับสิ่งนี้คืออนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนที่ง่ายที่สุดตัวอย่างเช่น:
ตามกฎแห่งความแตกต่าง ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน :
เมื่อศึกษาหัวข้อ Matan อื่น ๆ ในอนาคต มักไม่จำเป็นต้องบันทึกรายละเอียดดังกล่าวโดยสันนิษฐานว่านักเรียนรู้วิธีค้นหาอนุพันธ์ดังกล่าวในระบบอัตโนมัติ ลองนึกภาพว่าเวลา 3 โมงเช้าโทรศัพท์ดังขึ้นและมีเสียงที่น่าฟังถามว่า: "อะไรคืออนุพันธ์ของแทนเจนต์ของ X สองตัว" ควรตามด้วยคำตอบที่เกือบจะทันทีและสุภาพ: .
ตัวอย่างแรกจะมีไว้สำหรับโซลูชันอิสระทันที
ตัวอย่างที่ 1
ค้นหาอนุพันธ์ต่อไปนี้ด้วยวาจาในการกระทำเดียว เช่น: เพื่อทำงานให้สำเร็จคุณเพียงแค่ต้องใช้ ตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันเบื้องต้น(ถ้ายังจำไม่ได้) หากคุณมีปัญหาใด ๆ ฉันแนะนำให้อ่านบทเรียนซ้ำ อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน.
, , ,
, , ,
, , ,
, , ,
, , ,
, , ,
, ,
คำตอบในตอนท้ายของบทเรียน
อนุพันธ์เชิงซ้อน
หลังจากการเตรียมปืนใหญ่เบื้องต้น ตัวอย่างที่มีฟังก์ชัน 3-4-5 ซ้อนจะน่ากลัวน้อยลง ตัวอย่างสองตัวอย่างต่อไปนี้อาจดูซับซ้อนสำหรับบางคน แต่ถ้าคุณเข้าใจ (อาจมีบางคนต้องทนทุกข์ทรมาน) ส่วนอื่นๆ เกือบทั้งหมดในแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ก็จะดูเหมือนเป็นเรื่องตลกสำหรับเด็ก
ตัวอย่างที่ 2
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ตามที่ระบุไว้แล้วเมื่อค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนก่อนอื่นจำเป็นต้องมี ขวาเข้าใจการลงทุนของคุณ ในกรณีที่มีข้อสงสัย ฉันขอเตือนคุณถึงเทคนิคที่มีประโยชน์ เช่น เราใช้ค่าทดลองของ "x" และลอง (ทางจิตใจหรือแบบร่าง) เพื่อแทนที่ค่านี้เป็น "สำนวนแย่มาก"
1) ก่อนอื่น เราต้องคำนวณนิพจน์ ซึ่งหมายความว่าผลรวมคือการฝังที่ลึกที่สุด
2) จากนั้นคุณต้องคำนวณลอการิทึม:
4) จากนั้นยกกำลังสามของโคไซน์:
5) ในขั้นตอนที่ห้า ความแตกต่าง:
6) และสุดท้าย ฟังก์ชันด้านนอกสุดคือรากที่สอง:
สูตรหาความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน ใช้ในลำดับย้อนกลับจากฟังก์ชันด้านนอกสุดไปด้านในสุด เราตัดสินใจ:
ดูเหมือนจะไม่มีข้อผิดพลาด...
(1) เราใช้อนุพันธ์ของ รากที่สอง.
(2) เราหาอนุพันธ์ของผลต่างโดยใช้กฎ
(3) อนุพันธ์ของทริปเปิลเป็นศูนย์ ในเทอมที่สอง เราจะหาอนุพันธ์ของดีกรี (ลูกบาศก์)
(4) หาอนุพันธ์ของโคไซน์
(5) หาอนุพันธ์ของลอการิทึม
(6) และสุดท้าย เราก็หาอนุพันธ์ของการฝังที่ลึกที่สุด
อาจดูยากเกินไป แต่นี่ไม่ใช่ตัวอย่างที่โหดร้ายที่สุด ตัวอย่างเช่น คอลเลกชันของ Kuznetsov แล้วคุณจะประทับใจกับความสวยงามและความเรียบง่ายของอนุพันธ์ที่วิเคราะห์ ฉันสังเกตเห็นว่าพวกเขาชอบให้สิ่งที่คล้ายกันในการสอบเพื่อตรวจสอบว่านักเรียนเข้าใจวิธีหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนหรือไม่
ตัวอย่างต่อไปนี้ให้คุณแก้ได้ด้วยตัวเอง
ตัวอย่างที่ 3
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
คำแนะนำ: อันดับแรก เราใช้กฎความเป็นเชิงเส้นและกฎการสร้างความแตกต่างของผลิตภัณฑ์
เฉลยเต็มและเฉลยท้ายบทเรียน
ถึงเวลาที่จะก้าวไปสู่บางสิ่งที่เล็กกว่าและดีกว่า
ไม่ใช่เรื่องแปลกที่ตัวอย่างจะแสดงผลคูณไม่ใช่สอง แต่มีสามฟังก์ชัน วิธีหาอนุพันธ์ของ ผลิตภัณฑ์ของสามตัวคูณ?
ตัวอย่างที่ 4
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ก่อนอื่นเรามาดูกัน เป็นไปได้หรือไม่ที่จะเปลี่ยนผลคูณของสามฟังก์ชันเป็นผลคูณของสองฟังก์ชัน? ตัวอย่างเช่น หากเรามีพหุนามสองตัวในผลคูณ เราก็สามารถเปิดวงเล็บได้ แต่ในตัวอย่างที่กำลังพิจารณา ฟังก์ชันทั้งหมดจะแตกต่างกัน: องศา เลขชี้กำลัง และลอการิทึม
ในกรณีเช่นนี้ก็จำเป็น ตามลำดับใช้กฎการสร้างความแตกต่างของผลิตภัณฑ์ สองครั้ง
เคล็ดลับก็คือว่าโดย "y" เราแสดงถึงผลคูณของสองฟังก์ชัน: และโดย "ve" เราแสดงถึงลอการิทึม: เหตุใดจึงสามารถทำได้? จริงเหรอ. – นี่ไม่ใช่ผลคูณของสองปัจจัยและกฎใช้ไม่ได้ผล! ไม่มีอะไรซับซ้อน:
ตอนนี้ยังคงต้องใช้กฎเป็นครั้งที่สอง เพื่อวงเล็บ:
คุณสามารถบิดเบี้ยวและนำบางอย่างออกจากวงเล็บได้ แต่ในกรณีนี้ ควรทิ้งคำตอบไว้ในแบบฟอร์มนี้จะดีกว่า - จะตรวจสอบได้ง่ายกว่า
ตัวอย่างที่พิจารณาสามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีที่สอง:
โซลูชันทั้งสองเทียบเท่ากันอย่างแน่นอน
ตัวอย่างที่ 5
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
นี่คือตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ โดยในตัวอย่างจะได้รับการแก้ไขโดยใช้วิธีแรก
ลองดูตัวอย่างที่คล้ายกันกับเศษส่วน
ตัวอย่างที่ 6
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
คุณสามารถไปที่นี่ได้หลายวิธี:
หรือเช่นนี้:
แต่คำตอบจะถูกเขียนให้กระชับกว่านี้ถ้าเราใช้กฎการหาอนุพันธ์ของผลหารก่อน โดยหาตัวเศษทั้งหมด:
โดยหลักการแล้วตัวอย่างได้รับการแก้ไขแล้วและหากปล่อยไว้ตามเดิมก็จะไม่เกิดข้อผิดพลาด แต่ถ้าคุณมีเวลา ขอแนะนำให้ตรวจสอบแบบร่างเสมอเพื่อดูว่าคำตอบนั้นทำให้ง่ายขึ้นหรือไม่? ให้เราลดการแสดงออกของตัวเศษให้เป็นตัวส่วนร่วมและ เรามากำจัดเศษส่วนสามชั้นกันเถอะ:
ข้อเสียของการทำให้เข้าใจง่ายเพิ่มเติมคือมีความเสี่ยงที่จะทำผิดพลาดไม่ใช่เมื่อค้นหาอนุพันธ์ แต่ในระหว่างการเปลี่ยนแปลงโรงเรียนซ้ำซาก ในทางกลับกัน ครูมักจะปฏิเสธงานมอบหมายและขอให้ "คำนึงถึง" อนุพันธ์
ตัวอย่างที่ง่ายกว่าในการแก้ไขด้วยตัวเอง:
ตัวอย่างที่ 7
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
เรายังคงเชี่ยวชาญวิธีการหาอนุพันธ์ต่อไป และตอนนี้เราจะพิจารณากรณีทั่วไปเมื่อมีการเสนอลอการิทึมที่ "แย่มาก" เพื่อสร้างความแตกต่าง
ตัวอย่างที่ 8
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ที่นี่คุณสามารถไปได้ไกลโดยใช้กฎในการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน:
แต่ขั้นตอนแรกจะทำให้คุณหมดหวังทันที - คุณต้องหาอนุพันธ์ที่ไม่พึงประสงค์จากกำลังเศษส่วนและจากนั้นจากเศษส่วนด้วย
นั่นเป็นเหตุผล ก่อนวิธีหาอนุพันธ์ของลอการิทึม "ซับซ้อน" ขั้นแรกทำให้ง่ายขึ้นโดยใช้คุณสมบัติของโรงเรียนที่มีชื่อเสียง:
! หากคุณมีสมุดบันทึกแบบฝึกหัดอยู่แล้ว ให้คัดลอกสูตรเหล่านี้ไปที่นั่นโดยตรง หากคุณไม่มีสมุดบันทึก ให้คัดลอกลงในกระดาษ เนื่องจากตัวอย่างบทเรียนที่เหลือจะเกี่ยวข้องกับสูตรเหล่านี้
วิธีแก้ปัญหาสามารถเขียนได้ดังนี้:
มาแปลงฟังก์ชันกัน:
ค้นหาอนุพันธ์:
การแปลงฟังก์ชันล่วงหน้าทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้นอย่างมาก ดังนั้น เมื่อมีการเสนอลอการิทึมที่คล้ายกันเพื่อสร้างความแตกต่าง แนะนำให้ "แยกย่อย" เสมอ
และตอนนี้มีตัวอย่างง่ายๆ สองสามตัวอย่างให้คุณแก้ไขด้วยตัวเอง:
ตัวอย่างที่ 9
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ตัวอย่างที่ 10
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
การเปลี่ยนแปลงและคำตอบทั้งหมดอยู่ท้ายบทเรียน
อนุพันธ์ลอการิทึม
หากอนุพันธ์ของลอการิทึมเป็นดนตรีที่ไพเราะ คำถามก็เกิดขึ้น: เป็นไปได้ไหมในบางกรณีที่จะจัดระเบียบลอการิทึมแบบเทียม? สามารถ! และจำเป็นด้วยซ้ำ
ตัวอย่างที่ 11
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
เมื่อเร็ว ๆ นี้เราได้ดูตัวอย่างที่คล้ายกัน จะทำอย่างไร? คุณสามารถใช้กฎการหาอนุพันธ์ของผลหารตามลำดับ จากนั้นจึงใช้กฎการหาอนุพันธ์ของผลคูณ ข้อเสียของวิธีนี้คือคุณจะได้เศษส่วนสามชั้นขนาดใหญ่ซึ่งคุณไม่ต้องการจัดการเลย
แต่ในทางทฤษฎีและการปฏิบัติ มีสิ่งมหัศจรรย์อย่างหนึ่ง เช่น อนุพันธ์ลอการิทึม ลอการิทึมสามารถจัดเรียงแบบเทียมได้โดยการ "แขวน" ไว้ทั้งสองด้าน:
บันทึก : เพราะ ฟังก์ชั่นสามารถยอมรับได้ ค่าลบโดยทั่วไปแล้ว คุณต้องใช้โมดูล: ซึ่งจะหายไปจากความแตกต่าง อย่างไรก็ตาม การออกแบบในปัจจุบันก็เป็นที่ยอมรับเช่นกัน โดยจะนำมาพิจารณาโดยค่าเริ่มต้น ซับซ้อนความหมาย แต่ถ้าเข้มงวดทั้งหมดก็ควรทำการจองทั้งสองกรณี.
ตอนนี้คุณต้อง "สลาย" ลอการิทึมของด้านขวาให้มากที่สุด (สูตรต่อหน้าต่อตาคุณ?) ฉันจะอธิบายกระบวนการนี้โดยละเอียด:
เริ่มต้นด้วยความแตกต่าง
เราสรุปทั้งสองส่วนภายใต้นายก:
อนุพันธ์ของด้านขวามือนั้นค่อนข้างง่าย ฉันจะไม่แสดงความคิดเห็น เพราะหากคุณอ่านข้อความนี้ คุณจะสามารถจัดการได้อย่างมั่นใจ
แล้วด้านซ้ายล่ะ?
ทางด้านซ้ายเรามี ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน. ฉันมองเห็นคำถาม: “ทำไม มีตัวอักษร “Y” อยู่ตัวหนึ่งใต้ลอการิทึม”
ความจริงก็คือว่า “เกมตัวอักษรตัวเดียว” นี้ - ตัวเองเป็นหน้าที่(หากไม่ชัดเจนมากนัก โปรดดูบทความ Derivative of a function ที่ระบุโดยปริยาย) ดังนั้นลอการิทึมจึงเป็นฟังก์ชันภายนอก และ "y" เป็นฟังก์ชันภายใน และเราใช้กฎในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน :
ทางด้านซ้ายราวกับมีเวทมนตร์ เรามีอนุพันธ์ ต่อไปตามกฎสัดส่วนเราโอน "y" จากตัวส่วนของด้านซ้ายไปที่ด้านบนของด้านขวา:
และตอนนี้เรามาจำกันว่า "ผู้เล่น" แบบไหนที่เราพูดถึงระหว่างการสร้างความแตกต่าง? ลองดูที่สภาพ:
คำตอบสุดท้าย:
ตัวอย่างที่ 12
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง ตัวอย่างการออกแบบตัวอย่างประเภทนี้อยู่ท้ายบทเรียน
การใช้อนุพันธ์ลอการิทึมทำให้สามารถแก้ตัวอย่างหมายเลข 4-7 ได้ อีกประการหนึ่งก็คือฟังก์ชันต่างๆ ในนั้นง่ายกว่า และบางที การใช้อนุพันธ์ลอการิทึมอาจไม่สมเหตุสมผลนัก
อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังยกกำลัง
เรายังไม่ได้พิจารณาฟังก์ชันนี้ ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นฟังก์ชันที่ ทั้งระดับและฐานขึ้นอยู่กับ "x". ตัวอย่างคลาสสิกที่จะมอบให้คุณในตำราเรียนหรือการบรรยาย:
จะหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังกำลังได้อย่างไร?
มีความจำเป็นต้องใช้เทคนิคที่เพิ่งกล่าวถึง - อนุพันธ์ลอการิทึม เราแขวนลอการิทึมไว้ทั้งสองด้าน:
ตามกฎแล้ว ทางด้านขวา องศาจะถูกลบออกจากใต้ลอการิทึม:
ผลที่ได้คือผลคูณของฟังก์ชัน 2 ฟังก์ชันทางด้านขวา ซึ่งจะแยกความแตกต่างตามสูตรมาตรฐาน .
เราค้นหาอนุพันธ์ โดยใส่ทั้งสองส่วนไว้ใต้เส้นขีด:
การดำเนินการเพิ่มเติมนั้นง่าย:
ในที่สุด:
หากการแปลงใดๆ ไม่ชัดเจนทั้งหมด โปรดอ่านคำอธิบายของตัวอย่างที่ 11 อย่างละเอียดอีกครั้ง
ใน งานภาคปฏิบัติฟังก์ชันยกกำลัง-เลขชี้กำลังจะซับซ้อนกว่าตัวอย่างที่อภิปรายในการบรรยายเสมอ
ตัวอย่างที่ 13
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
เราใช้อนุพันธ์ลอการิทึม
ทางด้านขวา เรามีค่าคงที่และผลคูณของสองปัจจัย - “x” และ “ลอการิทึมของลอการิทึม x” (ลอการิทึมอื่นซ้อนอยู่ใต้ลอการิทึม) ดังที่เราจำได้ว่าเมื่อสร้างความแตกต่างจะเป็นการดีกว่าที่จะย้ายค่าคงที่ออกจากเครื่องหมายอนุพันธ์ทันทีเพื่อไม่ให้ขวางทาง และแน่นอนว่าเราใช้กฎที่คุ้นเคย :
การแก้ปัญหาทางกายภาพหรือตัวอย่างในคณิตศาสตร์เป็นไปไม่ได้เลยหากไม่มีความรู้เกี่ยวกับอนุพันธ์และวิธีการคำนวณ อนุพันธ์เป็นหนึ่งในแนวคิดที่สำคัญที่สุดในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เราตัดสินใจที่จะอุทิศบทความของวันนี้ให้กับหัวข้อพื้นฐานนี้ อนุพันธ์คืออะไร ทางกายภาพคืออะไร และ ความหมายทางเรขาคณิตจะคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันได้อย่างไร? คำถามทั้งหมดเหล่านี้สามารถรวมเป็นหนึ่งเดียว: จะเข้าใจอนุพันธ์ได้อย่างไร?
ความหมายทางเรขาคณิตและฟิสิกส์ของอนุพันธ์
ให้มีฟังก์ชัน ฉ(x) ระบุไว้ในช่วงเวลาหนึ่ง (ก ข) . คะแนน x และ x0 อยู่ในช่วงนี้ เมื่อ x เปลี่ยนแปลง ฟังก์ชันก็จะเปลี่ยนไปด้วย การเปลี่ยนอาร์กิวเมนต์ - ความแตกต่างในค่าของมัน x-x0 . ความแตกต่างนี้เขียนเป็น เดลต้า x และเรียกว่าการเพิ่มอาร์กิวเมนต์ การเปลี่ยนแปลงหรือการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันคือความแตกต่างระหว่างค่าของฟังก์ชันที่จุดสองจุด คำจำกัดความของอนุพันธ์:
อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งคือขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันที่จุดที่กำหนดต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์เมื่อค่าหลังมีแนวโน้มเป็นศูนย์
มิฉะนั้นจะเขียนได้ดังนี้:
จุดประสงค์ของการค้นหาขีด จำกัด ดังกล่าวคืออะไร? และนี่คือสิ่งที่:
อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่งจะเท่ากับแทนเจนต์ของมุมระหว่างแกน OX และแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันที่จุดที่กำหนด
ความหมายทางกายภาพอนุพันธ์: อนุพันธ์ของเส้นทางเทียบกับเวลาเท่ากับความเร็วของการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง
อันที่จริงตั้งแต่สมัยเรียนทุกคนก็รู้ดีว่าความเร็วเป็นเส้นทางเฉพาะ x=ฉ(เสื้อ) และเวลา ที . ความเร็วเฉลี่ยในช่วงระยะเวลาหนึ่ง:
เพื่อค้นหาความเร็วของการเคลื่อนไหวในขณะนั้น t0 คุณต้องคำนวณขีดจำกัด:
กฎข้อที่หนึ่ง: ตั้งค่าคงที่
ค่าคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายอนุพันธ์ได้ ยิ่งกว่านั้นจะต้องทำสิ่งนี้ เมื่อแก้ตัวอย่างทางคณิตศาสตร์ ให้ถือเป็นกฎ - หากคุณสามารถลดความซับซ้อนของนิพจน์ได้ อย่าลืมทำให้ง่ายขึ้นด้วย .
ตัวอย่าง. มาคำนวณอนุพันธ์กัน:
กฎข้อที่สอง: อนุพันธ์ของผลรวมของฟังก์ชัน
อนุพันธ์ของผลรวมของสองฟังก์ชันเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้ เช่นเดียวกับอนุพันธ์ของผลต่างของฟังก์ชัน
เราจะไม่พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ แต่จะพิจารณาตัวอย่างเชิงปฏิบัติแทน
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:
กฎข้อที่สาม: อนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชัน
อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของฟังก์ชันอนุพันธ์สองฟังก์ชันคำนวณโดยสูตร:
ตัวอย่าง: ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:
สารละลาย:
สิ่งสำคัญคือต้องพูดถึงการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนที่นี่ อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนเท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้เทียบกับอาร์กิวเมนต์ตัวกลางและอนุพันธ์ของอาร์กิวเมนต์ตัวกลางเทียบกับตัวแปรอิสระ
ในตัวอย่างข้างต้น เราเจอนิพจน์:
ในกรณีนี้ อาร์กิวเมนต์ระดับกลางคือ 8x ยกกำลังห้า ในการคำนวณอนุพันธ์ของนิพจน์นั้น ขั้นแรกเราจะคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอกด้วยความเคารพต่ออาร์กิวเมนต์ตัวกลาง จากนั้นจึงคูณด้วยอนุพันธ์ของอาร์กิวเมนต์ตัวกลางด้วยความเคารพต่อตัวแปรอิสระ
กฎข้อที่สี่: อนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชัน
สูตรหาอนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชัน:
เราพยายามพูดคุยเกี่ยวกับอนุพันธ์สำหรับหุ่นจำลองตั้งแต่เริ่มต้น หัวข้อนี้ไม่ง่ายอย่างที่คิด ดังนั้นโปรดระวัง: มักจะมีข้อผิดพลาดในตัวอย่าง ดังนั้นควรระมัดระวังในการคำนวณอนุพันธ์
หากมีคำถามเกี่ยวกับเรื่องนี้และหัวข้ออื่นๆ คุณสามารถติดต่อฝ่ายบริการนักศึกษาได้ ด้านหลัง ช่วงเวลาสั้น ๆเราจะช่วยคุณแก้การทดสอบที่ยากที่สุดและแก้ปัญหา แม้ว่าคุณจะไม่เคยคำนวณอนุพันธ์มาก่อนก็ตาม
หลังจากการเตรียมปืนใหญ่เบื้องต้น ตัวอย่างที่มีฟังก์ชัน 3-4-5 ซ้อนจะน่ากลัวน้อยลง ตัวอย่างสองตัวอย่างต่อไปนี้อาจดูซับซ้อนสำหรับบางคน แต่ถ้าคุณเข้าใจ (อาจมีบางคนต้องทนทุกข์ทรมาน) ส่วนอื่นๆ เกือบทั้งหมดในแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ก็จะดูเหมือนเป็นเรื่องตลกสำหรับเด็ก
ตัวอย่างที่ 2
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ตามที่ระบุไว้แล้วเมื่อค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนก่อนอื่นจำเป็นต้องมี ขวาเข้าใจการลงทุนของคุณ ในกรณีที่มีข้อสงสัย ฉันขอเตือนคุณถึงเทคนิคที่มีประโยชน์ เช่น เราใช้ค่าทดลองของ "x" และลอง (ทางจิตใจหรือแบบร่าง) เพื่อแทนที่ค่านี้เป็น "สำนวนแย่มาก"
1) ก่อนอื่น เราต้องคำนวณนิพจน์ ซึ่งหมายความว่าผลรวมคือการฝังที่ลึกที่สุด
2) จากนั้นคุณต้องคำนวณลอการิทึม:
4) จากนั้นยกกำลังสามของโคไซน์:
5) ในขั้นตอนที่ห้า ความแตกต่าง:
6) และสุดท้าย ฟังก์ชันด้านนอกสุดคือรากที่สอง:
สูตรหาความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน ใช้ในลำดับย้อนกลับจากฟังก์ชันด้านนอกสุดไปด้านในสุด เราตัดสินใจ:
ดูเหมือนว่าไม่มีข้อผิดพลาด:
1) หาอนุพันธ์ของรากที่สอง
2) หาอนุพันธ์ของผลต่างโดยใช้กฎ
3) อนุพันธ์ของสามเป็นศูนย์ ในเทอมที่สอง เราจะหาอนุพันธ์ของดีกรี (ลูกบาศก์)
4) หาอนุพันธ์ของโคไซน์
6) และสุดท้าย เราก็หาอนุพันธ์ของการฝังที่ลึกที่สุด
อาจดูยากเกินไป แต่นี่ไม่ใช่ตัวอย่างที่โหดร้ายที่สุด ตัวอย่างเช่น คอลเลกชันของ Kuznetsov แล้วคุณจะประทับใจกับความสวยงามและความเรียบง่ายของอนุพันธ์ที่วิเคราะห์ ฉันสังเกตเห็นว่าพวกเขาชอบให้สิ่งที่คล้ายกันในการสอบเพื่อตรวจสอบว่านักเรียนเข้าใจวิธีหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนหรือไม่
ตัวอย่างต่อไปนี้ให้คุณแก้ได้ด้วยตัวเอง
ตัวอย่างที่ 3
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
คำแนะนำ: อันดับแรก เราใช้กฎความเป็นเชิงเส้นและกฎการสร้างความแตกต่างของผลิตภัณฑ์
เฉลยเต็มและเฉลยท้ายบทเรียน
ถึงเวลาที่จะก้าวไปสู่บางสิ่งที่เล็กกว่าและดีกว่า
ไม่ใช่เรื่องแปลกที่ตัวอย่างจะแสดงผลคูณไม่ใช่สอง แต่มีสามฟังก์ชัน จะหาอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของสามปัจจัยได้อย่างไร?
ตัวอย่างที่ 4
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ก่อนอื่นเรามาดูกัน เป็นไปได้หรือไม่ที่จะเปลี่ยนผลคูณของสามฟังก์ชันเป็นผลคูณของสองฟังก์ชัน? ตัวอย่างเช่น หากเรามีพหุนามสองตัวในผลคูณ เราก็สามารถเปิดวงเล็บได้ แต่ในตัวอย่างที่กำลังพิจารณา ฟังก์ชันทั้งหมดจะแตกต่างกัน: องศา เลขชี้กำลัง และลอการิทึม
ในกรณีเช่นนี้ก็จำเป็น ตามลำดับใช้กฎการสร้างความแตกต่างของผลิตภัณฑ์ สองครั้ง
เคล็ดลับก็คือว่าโดย "y" เราแสดงถึงผลคูณของสองฟังก์ชัน: และโดย "ve" เราแสดงถึงลอการิทึม: เหตุใดจึงสามารถทำได้? จริงเหรอ. - นี่ไม่ใช่ผลคูณของสองปัจจัยและกฎใช้ไม่ได้?! ไม่มีอะไรซับซ้อน:
ตอนนี้ยังคงต้องใช้กฎเป็นครั้งที่สอง เพื่อวงเล็บ:
คุณสามารถบิดเบี้ยวและใส่บางอย่างออกจากวงเล็บได้ แต่ในกรณีนี้ ควรทิ้งคำตอบไว้ในแบบฟอร์มนี้จะดีกว่า - จะตรวจสอบได้ง่ายกว่า
ตัวอย่างที่พิจารณาสามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีที่สอง:
โซลูชันทั้งสองเทียบเท่ากันอย่างแน่นอน
ตัวอย่างที่ 5
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
นี่คือตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ โดยในตัวอย่างจะได้รับการแก้ไขโดยใช้วิธีแรก
ลองดูตัวอย่างที่คล้ายกันกับเศษส่วน
ตัวอย่างที่ 6
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
คุณสามารถไปที่นี่ได้หลายวิธี:
หรือเช่นนี้:
แต่คำตอบจะถูกเขียนให้กระชับกว่านี้ถ้าเราใช้กฎการหาอนุพันธ์ของผลหารก่อน โดยหาตัวเศษทั้งหมด:
โดยหลักการแล้วตัวอย่างได้รับการแก้ไขแล้วและหากปล่อยไว้ตามเดิมก็จะไม่เกิดข้อผิดพลาด แต่ถ้าคุณมีเวลา ขอแนะนำให้ตรวจสอบแบบร่างเสมอเพื่อดูว่าคำตอบนั้นทำให้ง่ายขึ้นหรือไม่?
ลองลดการแสดงออกของตัวเศษให้เป็นตัวส่วนร่วมและกำจัดโครงสร้างสามชั้นของเศษส่วน:
ข้อเสียของการทำให้เข้าใจง่ายเพิ่มเติมคือมีความเสี่ยงที่จะทำผิดพลาดไม่ใช่เมื่อค้นหาอนุพันธ์ แต่ในระหว่างการเปลี่ยนแปลงโรงเรียนซ้ำซาก ในทางกลับกัน ครูมักจะปฏิเสธงานมอบหมายและขอให้ "คำนึงถึง" อนุพันธ์
ตัวอย่างที่ง่ายกว่าในการแก้ไขด้วยตัวเอง:
ตัวอย่างที่ 7
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
เรายังคงเชี่ยวชาญวิธีการหาอนุพันธ์ต่อไป และตอนนี้เราจะพิจารณากรณีทั่วไปเมื่อมีการเสนอลอการิทึมที่ "แย่มาก" เพื่อสร้างความแตกต่าง
ฟังก์ชั่น ประเภทที่ซับซ้อนการใช้คำว่า "ฟังก์ชันที่ซับซ้อน" ไม่ถูกต้องทั้งหมด เช่นดูน่าประทับใจมากแต่ฟังก์ชันนี้ไม่ซับซ้อนไม่เหมือน
ในบทความนี้ เราจะเข้าใจแนวคิดของฟังก์ชันที่ซับซ้อน เรียนรู้วิธีระบุฟังก์ชันนี้ให้เป็นส่วนหนึ่งของฟังก์ชัน ฟังก์ชันเบื้องต้นเราจะให้สูตรในการค้นหาอนุพันธ์ของมันและพิจารณารายละเอียดวิธีแก้ปัญหาของตัวอย่างทั่วไป
เมื่อแก้ไขตัวอย่าง เราจะใช้ตารางอนุพันธ์และกฎการสร้างความแตกต่างอย่างต่อเนื่อง ดังนั้นโปรดเก็บไว้ต่อหน้าต่อตาคุณ
ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนเป็นฟังก์ชันที่อาร์กิวเมนต์ก็เป็นฟังก์ชันด้วย
จากมุมมองของเรา คำจำกัดความนี้เป็นสิ่งที่เข้าใจได้มากที่สุด ตามอัตภาพสามารถเขียนแทนได้เป็น f(g(x)) นั่นคือ g(x) เป็นเหมือนอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชัน f(g(x))
ตัวอย่างเช่น ให้ f เป็นฟังก์ชันอาร์กแทนเจนต์ และ g(x) = lnx เป็นฟังก์ชันลอการิทึมธรรมชาติ ดังนั้นฟังก์ชันเชิงซ้อน f(g(x)) คือ arctan(lnx) อีกตัวอย่างหนึ่ง: f คือฟังก์ชันของการยกกำลังสี่ และ - ทั้งหมด ฟังก์ชันตรรกยะ(ดู) แล้ว .
ในทางกลับกัน g(x) ก็สามารถเป็นฟังก์ชันเชิงซ้อนได้เช่นกัน ตัวอย่างเช่น, . ตามอัตภาพ การแสดงออกดังกล่าวสามารถแสดงเป็น . โดยที่ f คือฟังก์ชันไซน์ คือฟังก์ชันสแควร์รูท - ฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วน มีเหตุผลที่จะสรุปได้ว่าระดับของการซ้อนกันของฟังก์ชันสามารถเป็นจำนวนธรรมชาติจำกัดใดๆ ได้
คุณมักจะได้ยินฟังก์ชันที่ซับซ้อนที่เรียกว่า องค์ประกอบของฟังก์ชัน
สูตรหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน
ตัวอย่าง.
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน
สารละลาย.
ใน ในตัวอย่างนี้ f คือฟังก์ชันกำลังสอง และ g(x) = 2x+1 เป็นฟังก์ชันเชิงเส้น
ที่นี่ วิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดโดยใช้สูตรหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:
ลองหาอนุพันธ์นี้โดยจัดรูปฟังก์ชันเดิมให้ง่ายขึ้นก่อน
เพราะฉะนั้น,
อย่างที่คุณเห็นผลลัพธ์ก็เหมือนกัน
พยายามอย่าสับสนว่าฟังก์ชันใดคือ f และฟังก์ชันใดคือ g(x)
เรามาอธิบายเรื่องนี้ด้วยตัวอย่างเพื่อแสดงความสนใจของคุณ
ตัวอย่าง.
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนและ
สารละลาย.
ในกรณีแรก f คือฟังก์ชันกำลังสอง และ g(x) คือฟังก์ชันไซน์ ดังนั้น
.
ในกรณีที่สอง f เป็นฟังก์ชันไซน์ และเป็นฟังก์ชันกำลัง ดังนั้นโดยสูตรสำหรับผลคูณของฟังก์ชันเชิงซ้อนที่เรามี
สูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันมีรูปแบบ
ตัวอย่าง.
ฟังก์ชั่นที่แตกต่าง .
สารละลาย.
ในตัวอย่างนี้ ฟังก์ชันที่ซับซ้อนสามารถเขียนตามอัตภาพเป็นได้ โดยที่คือฟังก์ชันไซน์ ฟังก์ชันยกกำลังที่สาม ฟังก์ชันลอการิทึมอีฐาน ฟังก์ชันอาร์กแทนเจนต์ และฟังก์ชันเชิงเส้น ตามลำดับ
ตามสูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน
ตอนนี้เราพบว่า
มารวบรวมผลลัพธ์ระดับกลางที่ได้รับ:
ไม่มีอะไรน่ากลัว วิเคราะห์ฟังก์ชันที่ซับซ้อนเช่นตุ๊กตาทำรัง
นี่อาจเป็นจุดสิ้นสุดของบทความ ถ้าไม่ใช่เพื่อสิ่งหนึ่ง...
ขอแนะนำให้เข้าใจอย่างชัดเจนว่าเมื่อใดควรใช้กฎการหาอนุพันธ์และตารางอนุพันธ์และเมื่อใดควรใช้สูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน.
ตอนนี้ให้ระมัดระวังอย่างยิ่ง เราจะพูดถึงความแตกต่างระหว่างฟังก์ชันที่ซับซ้อนและฟังก์ชันที่ซับซ้อน ความสำเร็จของคุณในการค้นหาอนุพันธ์จะขึ้นอยู่กับว่าคุณเห็นความแตกต่างนี้มากน้อยเพียงใด
เริ่มต้นด้วย ตัวอย่างง่ายๆ. การทำงาน ถือได้ว่าซับซ้อน: g(x) = tanx , . ดังนั้นคุณจึงใช้สูตรหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนได้ทันที
และนี่คือฟังก์ชัน ไม่อาจเรียกว่าซับซ้อนได้อีกต่อไป
ฟังก์ชันนี้คือผลรวมของฟังก์ชัน 3 รายการ ได้แก่ 3tgx และ 1 แม้ว่า - เป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อน: - ฟังก์ชันกำลัง ( พาราโบลากำลังสอง) และ f คือฟังก์ชันแทนเจนต์ ดังนั้น ขั้นแรกเราใช้สูตรผลรวมผลรวม:
ยังคงต้องหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:
นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไม
เราหวังว่าคุณจะเข้าใจสาระสำคัญ
หากเรามองให้กว้างขึ้น อาจแย้งได้ว่าฟังก์ชันประเภทซับซ้อนสามารถเป็นส่วนหนึ่งของฟังก์ชันที่ซับซ้อนได้ และฟังก์ชันที่ซับซ้อนสามารถเป็นส่วนประกอบของฟังก์ชันประเภทที่ซับซ้อนได้
เป็นตัวอย่างมาดูกัน ส่วนประกอบการทำงาน .
ประการแรกนี่คือฟังก์ชันเชิงซ้อนที่สามารถแสดงเป็น โดยที่ f คือฟังก์ชันลอการิทึมฐาน 3 และ g(x) คือผลรวมของสองฟังก์ชัน และ . นั่นคือ, .
ประการที่สองมาจัดการกับฟังก์ชัน h(x) กันดีกว่า มันแสดงถึงความสัมพันธ์ของ .
นี่คือผลรวมของสองฟังก์ชันและ , ที่ไหน - ฟังก์ชันเชิงซ้อนที่มีค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลข 3 - ฟังก์ชันคิวบ์ - ฟังก์ชันโคไซน์ - ฟังก์ชันเชิงเส้น
นี่คือผลรวมของสองฟังก์ชัน และ โดยที่ - ฟังก์ชันที่ซับซ้อน - ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง - ฟังก์ชันกำลัง
ดังนั้น, .
ที่สามไปที่ ซึ่งเป็นผลคูณของฟังก์ชันที่ซับซ้อน และฟังก์ชันตรรกยะทั้งหมด
ฟังก์ชันกำลังสองคือฟังก์ชันลอการิทึมของฐาน e
เพราะฉะนั้น, .
สรุป:
ตอนนี้โครงสร้างของฟังก์ชันมีความชัดเจนและชัดเจนว่าจะใช้สูตรใดและในลำดับใดเมื่อแยกความแตกต่าง
ในส่วนการแยกความแตกต่างของฟังก์ชัน (การค้นหาอนุพันธ์) คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับวิธีแก้ไขปัญหาที่คล้ายกันได้