กฎของแครมเมอร์สำหรับการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น วิธีของแครมเมอร์: การแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น (สเลา)
วิธีการ เครเมอร์และ เกาส์- หนึ่งในวิธีการแก้ปัญหาที่ได้รับความนิยมมากที่สุด สลอ- นอกจากนี้ในบางกรณีขอแนะนำให้ใช้วิธีการเฉพาะ เซสชั่นใกล้จะถึงแล้ว และตอนนี้ก็ถึงเวลาที่จะทำซ้ำหรือเชี่ยวชาญตั้งแต่ต้น วันนี้เราจะมาดูวิธีแก้ปัญหาโดยใช้วิธีของ Cramer ท้ายที่สุดแล้วการแก้ปัญหาของระบบ สมการเชิงเส้นวิธีการของแครมเมอร์เป็นทักษะที่มีประโยชน์มาก
ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น
ระบบเชิงเส้นตรง สมการพีชคณิต– ระบบสมการของรูปแบบ:
ชุดค่า x ซึ่งสมการของระบบกลายเป็นอัตลักษณ์เรียกว่าคำตอบของระบบ ก และ ข เป็นสัมประสิทธิ์จริง ระบบง่ายๆ ที่ประกอบด้วยสมการสองสมการโดยไม่ทราบค่าสองตัวสามารถแก้ได้ในหัวของคุณ หรือโดยการแสดงตัวแปรตัวหนึ่งในรูปของอีกตัวแปรหนึ่ง แต่อาจมีตัวแปร (xes) มากกว่าสองตัวใน SLAE และการปรับแต่งโรงเรียนง่ายๆ ที่นี่ยังไม่เพียงพอ จะทำอย่างไร? ตัวอย่างเช่น แก้ SLAE โดยใช้วิธีของ Cramer!
ดังนั้นให้ระบบประกอบด้วย n สมการด้วย n ไม่ทราบ
ระบบดังกล่าวสามารถเขียนใหม่ได้ในรูปแบบเมทริกซ์
ที่นี่ ก – เมทริกซ์หลักของระบบ เอ็กซ์ และ บี ตามลำดับ เมทริกซ์คอลัมน์ของตัวแปรที่ไม่รู้จักและเงื่อนไขอิสระ
การแก้ไข SLAE โดยใช้วิธีของ Cramer
ถ้าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์หลักไม่เท่ากับศูนย์ (เมทริกซ์ไม่เป็นเอกพจน์) ระบบสามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีของแครมเมอร์
ตามวิธีของแครมเมอร์ สามารถหาวิธีแก้ปัญหาได้โดยใช้สูตร:
ที่นี่ เดลต้า คือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์หลัก และ เดลต้า x nth – ดีเทอร์มิแนนต์ที่ได้จากดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์หลักโดยการแทนที่คอลัมน์ที่ n ด้วยคอลัมน์ที่มีเงื่อนไขอิสระ
นี่คือสาระสำคัญทั้งหมดของวิธี Cramer การแทนที่ค่าที่พบโดยใช้สูตรข้างต้น x เข้าสู่ระบบที่ต้องการ เรามั่นใจในความถูกต้อง (หรือกลับกัน) ของโซลูชันของเรา เพื่อช่วยให้คุณเข้าใจส่วนสำคัญได้เร็วขึ้น เรามายกตัวอย่างด้านล่างกัน วิธีแก้ปัญหาโดยละเอียด SLAE โดยวิธี Cramer:
ถึงแม้จะไม่สำเร็จในครั้งแรกก็อย่าท้อถอย! ด้วยการฝึกฝนเพียงเล็กน้อย คุณจะเริ่มแคร็ก SLAU เหมือนถั่ว ยิ่งไปกว่านั้น ตอนนี้ไม่จำเป็นต้องเจาะโน้ตบุ๊กอีกต่อไป เพื่อแก้ไขการคำนวณที่ยุ่งยากและเขียนแกนหลัก คุณสามารถแก้ SLAE ได้อย่างง่ายดายโดยใช้วิธีของ Cramer ทางออนไลน์ เพียงแค่แทนค่าสัมประสิทธิ์ลงในแบบฟอร์มที่เสร็จแล้ว ลองมัน เครื่องคิดเลขออนไลน์คุณสามารถดูวิธีแก้ปัญหาโดยใช้วิธีของ Cramer ได้บนเว็บไซต์นี้
และหากระบบกลายเป็นดื้อรั้นและไม่ยอมแพ้ คุณสามารถขอความช่วยเหลือจากผู้เขียนของเราได้ตลอดเวลา เช่น หากมีสิ่งแปลกปลอมในระบบอย่างน้อย 100 รายการ เราจะแก้ไขให้ถูกต้องและตรงเวลาอย่างแน่นอน!
2. การแก้ระบบสมการโดยใช้วิธีเมทริกซ์ (โดยใช้เมทริกซ์ผกผัน)
3. วิธีเกาส์สำหรับการแก้ระบบสมการ
วิธีการของแครมเมอร์
วิธีแครมเมอร์ใช้ในการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น ( สลอ).
สูตรที่ใช้ตัวอย่างระบบสองสมการที่มีตัวแปรสองตัว
ที่ให้ไว้:แก้ระบบโดยใช้วิธีของแครมเมอร์
เกี่ยวกับตัวแปร เอ็กซ์และ ที่.
สารละลาย:
ลองหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ซึ่งประกอบด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของระบบ การคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ -
ลองใช้สูตรของ Cramer และค้นหาค่าของตัวแปร:
และ .
ตัวอย่างที่ 1:
แก้ระบบสมการ:
เกี่ยวกับตัวแปร เอ็กซ์และ ที่.
สารละลาย:
ให้เราแทนที่คอลัมน์แรกในตัวกำหนดนี้ด้วยคอลัมน์สัมประสิทธิ์จากด้านขวาของระบบแล้วค้นหาค่าของมัน:
ลองทำสิ่งที่คล้ายกันโดยแทนที่คอลัมน์ที่สองในดีเทอร์มิแนนต์แรก:
ใช้งานได้ สูตรของแครเมอร์และค้นหาค่าของตัวแปร:
และ .
คำตอบ:
ความคิดเห็น:วิธีนี้สามารถแก้ระบบมิติที่สูงกว่าได้
ความคิดเห็น:หากปรากฎว่า แต่ไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้ แสดงว่าระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ ในกรณีนี้ ระบบอาจมีวิธีแก้ปัญหามากมายไม่สิ้นสุดหรือไม่มีวิธีแก้ปัญหาเลย
ตัวอย่างที่ 2(จำนวนคำตอบไม่สิ้นสุด):
แก้ระบบสมการ:
เกี่ยวกับตัวแปร เอ็กซ์และ ที่.
สารละลาย:
ให้เราค้นหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของระบบ:
การแก้ระบบโดยใช้วิธีทดแทน
สมการแรกของระบบคือความเท่าเทียมกันที่เป็นจริงสำหรับค่าใด ๆ ของตัวแปร (เพราะ 4 เท่ากับ 4 เสมอ) ซึ่งหมายความว่าเหลือเพียงสมการเดียวเท่านั้น นี่คือสมการสำหรับความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปร
เราพบว่าคำตอบของระบบคือคู่ของค่าใดๆ ของตัวแปรที่สัมพันธ์กันด้วยความเท่าเทียมกัน
วิธีแก้ปัญหาทั่วไปจะถูกเขียนดังนี้:
วิธีแก้ปัญหาเฉพาะสามารถกำหนดได้โดยการเลือกค่า y ที่กำหนดเองและคำนวณ x จากความเท่าเทียมกันของการเชื่อมต่อนี้
ฯลฯ
มีวิธีแก้ไขปัญหาดังกล่าวมากมายนับไม่ถ้วน
คำตอบ: วิธีแก้ปัญหาทั่วไป
โซลูชั่นส่วนตัว:
ตัวอย่างที่ 3(ไม่มีวิธีแก้ปัญหา ระบบเข้ากันไม่ได้):
แก้ระบบสมการ:
สารละลาย:
ให้เราค้นหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของระบบ:
ไม่สามารถใช้สูตรของแครมเมอร์ได้ ลองแก้ระบบนี้โดยใช้วิธีทดแทนกัน
สมการที่สองของระบบคือความเท่าเทียมกันที่ไม่เป็นจริงสำหรับค่าใด ๆ ของตัวแปร (แน่นอนเนื่องจาก -15 ไม่เท่ากับ 2) หากสมการข้อใดข้อหนึ่งของระบบไม่เป็นความจริงสำหรับค่าใดๆ ของตัวแปร แสดงว่าทั้งระบบไม่มีคำตอบ
คำตอบ:ไม่มีวิธีแก้ปัญหา
ด้วยจำนวนสมการที่เท่ากันกับจำนวนไม่ทราบค่าที่มีปัจจัยกำหนดหลักของเมทริกซ์ซึ่งไม่เท่ากับศูนย์คือค่าสัมประสิทธิ์ของระบบ (สำหรับสมการดังกล่าวมีคำตอบและมีเพียงอันเดียวเท่านั้น)
ทฤษฎีบทของแครเมอร์
เมื่อดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ของระบบกำลังสองไม่เป็นศูนย์ หมายความว่าระบบมีความสม่ำเสมอและมีคำตอบเดียว ซึ่งสามารถหาได้จาก สูตรของแครเมอร์:
โดยที่ Δ - ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ระบบ,
Δ ฉันคือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ระบบ ซึ่งแทนที่จะเป็น ฉันคอลัมน์ที่ 3 ประกอบด้วยคอลัมน์ด้านขวา
เมื่อปัจจัยกำหนดของระบบเป็นศูนย์ หมายความว่าระบบสามารถทำงานร่วมกันหรือเข้ากันไม่ได้
โดยปกติวิธีนี้จะใช้กับระบบขนาดเล็กที่มีการคำนวณอย่างกว้างขวาง และหากจำเป็นต้องระบุสิ่งที่ไม่ทราบค่าอย่างใดอย่างหนึ่ง ความซับซ้อนของวิธีการคือต้องคำนวณปัจจัยกำหนดหลายตัว
คำอธิบายของวิธี Cramer
มีระบบสมการ:
ระบบสมการ 3 สมการสามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีแครมเมอร์ ซึ่งได้กล่าวไว้ข้างต้นสำหรับระบบ 2 สมการ
เราเขียนปัจจัยจากค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งไม่รู้:
มันจะเป็น ปัจจัยกำหนดระบบ- เมื่อไร ด≠0ซึ่งหมายความว่าระบบมีความสม่ำเสมอ ตอนนี้เรามาสร้างปัจจัยเพิ่มเติม 3 ตัวกัน:
,,
เราแก้ระบบด้วยการ สูตรของแครเมอร์:
ตัวอย่างการแก้ระบบสมการโดยใช้วิธีแครเมอร์
ตัวอย่างที่ 1.
ระบบที่กำหนด:
ลองแก้มันโดยใช้วิธีของแครเมอร์
ก่อนอื่นคุณต้องคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ระบบ:
เพราะ Δ≠0 ซึ่งหมายความว่าจากทฤษฎีบทของแครมเมอร์ ระบบมีความสอดคล้องและมีคำตอบเดียว เราคำนวณปัจจัยกำหนดเพิ่มเติม ดีเทอร์มิแนนต์ Δ 1 ได้มาจากดีเทอร์มิแนนต์ Δ โดยแทนที่คอลัมน์แรกด้วยคอลัมน์ของสัมประสิทธิ์อิสระ เราได้รับ:
ในทำนองเดียวกัน เราได้ค่าดีเทอร์มิแนนต์ของ Δ 2 จากดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ระบบโดยการแทนที่คอลัมน์ที่สองด้วยคอลัมน์ของสัมประสิทธิ์อิสระ:
ให้ระบบ สมการเชิงเส้นมีสมการมากเท่ากับจำนวนตัวแปรอิสระ เช่น ดูเหมือนว่า
ระบบสมการเชิงเส้นดังกล่าวเรียกว่ากำลังสอง ดีเทอร์มิแนนต์ประกอบด้วยค่าสัมประสิทธิ์สำหรับตัวแปรอิสระของระบบ (1.5) เรียกว่าดีเทอร์มิแนนต์หลักของระบบ เราจะแสดงมัน อักษรกรีกดี โซ
. (1.6)
หากปัจจัยหลักประกอบด้วยค่าใด ๆ ( เจ th) แทนที่ด้วยคอลัมน์เงื่อนไขระบบอิสระ (1.5) จากนั้นคุณจะได้รับ nรอบคัดเลือกเสริม:
(เจ = 1, 2, …, n). (1.7)
กฎของแครเมอร์การแก้ระบบสมการกำลังสองของสมการเชิงเส้นมีดังนี้ หากปัจจัยหลัก D ของระบบ (1.5) แตกต่างจากศูนย์ แสดงว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ ซึ่งสามารถพบได้โดยใช้สูตร:
(1.8)
ตัวอย่างที่ 1.5แก้ระบบสมการโดยใช้วิธีแครเมอร์
.
ให้เราคำนวณปัจจัยหลักของระบบ:
ตั้งแต่ D¹0 ระบบก็มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ ซึ่งสามารถพบได้โดยใช้สูตร (1.8):
ดังนั้น,
การดำเนินการกับเมทริกซ์
1. การคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลขการดำเนินการคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลขมีดังต่อไปนี้
2. ในการคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลข คุณต้องคูณองค์ประกอบทั้งหมดด้วยตัวเลขนี้ นั่นก็คือ
. (1.9)
ตัวอย่างที่ 1.6 .
การบวกเมทริกซ์
การดำเนินการนี้ใช้กับเมทริกซ์ที่มีลำดับเดียวกันเท่านั้น
ในการเพิ่มเมทริกซ์สองตัว จำเป็นต้องเพิ่มองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์อื่นเข้ากับองค์ประกอบของเมทริกซ์ตัวหนึ่ง:
(1.10)
การดำเนินการของการบวกเมทริกซ์มีคุณสมบัติของการเชื่อมโยงและการสับเปลี่ยน
ตัวอย่างที่ 1.7 .
การคูณเมทริกซ์
ถ้าเป็นจำนวนคอลัมน์เมทริกซ์ กตรงกับจำนวนแถวของเมทริกซ์ ในจากนั้นสำหรับเมทริกซ์ดังกล่าว จะมีการแนะนำการดำเนินการคูณ:
2
ดังนั้นเมื่อทำการคูณเมทริกซ์ กขนาด ม´ nถึงเมทริกซ์ ในขนาด n´ เคเราได้เมทริกซ์ กับขนาด ม´ เค- ในกรณีนี้คือองค์ประกอบเมทริกซ์ กับคำนวณโดยใช้สูตรต่อไปนี้:
ปัญหา 1.8.ค้นหาผลคูณของเมทริกซ์หากเป็นไปได้ เอบีและ ปริญญาตรี:
สารละลาย. 1) เพื่อหางานทำ เอบีคุณต้องมีแถวเมทริกซ์ กคูณด้วยคอลัมน์เมทริกซ์ บี:
2) การทำงาน ปริญญาตรีไม่มีอยู่ เนื่องจากจำนวนคอลัมน์เมทริกซ์ บีไม่ตรงกับจำนวนแถวเมทริกซ์ ก.
เมทริกซ์ผกผัน การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเมทริกซ์
เมทริกซ์ เอ- 1 เรียกว่าอินเวอร์สของเมทริกซ์จตุรัส กถ้าความเท่าเทียมกันเป็นที่พอใจ:
ผ่านที่ไหน ฉันหมายถึงเมทริกซ์เอกลักษณ์ที่มีลำดับเดียวกันกับเมทริกซ์ ก:
.
เพื่อให้เมทริกซ์จตุรัสมีค่าผกผัน จำเป็นและเพียงพอที่ดีเทอร์มิแนนต์จะแตกต่างจากศูนย์ พบเมทริกซ์ผกผันโดยใช้สูตร:
, (1.13)
ที่ไหน อาจ- การเติมพีชคณิตให้กับองค์ประกอบ ไอจเมทริกซ์ ก(โปรดทราบว่าการบวกพีชคณิตในแถวเมทริกซ์ กอยู่ในเมทริกซ์ผกผันในรูปแบบของคอลัมน์ที่สอดคล้องกัน)
ตัวอย่างที่ 1.9ค้นหาเมทริกซ์ผกผัน เอ- 1 ถึงเมทริกซ์
.
เราค้นหาเมทริกซ์ผกผันโดยใช้สูตร (1.13) ซึ่งในกรณีนี้ n= 3 มีรูปแบบ:
.
มาหาเดชกัน. ก = | ก- = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 - 3 × 3 × 3 - 1 × 5 × 4 - 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. เนื่องจากดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ดั้งเดิมไม่เป็นศูนย์ จึงมีเมทริกซ์ผกผันอยู่
1) ค้นหาการเสริมพีชคณิต อาจ:
เพื่อความสะดวกในการค้นหาเมทริกซ์ผกผัน เราได้ใส่การบวกพีชคณิตลงในแถวของเมทริกซ์ดั้งเดิมในคอลัมน์ที่สอดคล้องกัน
จากการบวกพีชคณิตที่ได้รับ เราจะเขียนเมทริกซ์ใหม่และหารด้วยดีเทอร์มิแนนต์ det ก- ดังนั้นเราจึงได้เมทริกซ์ผกผัน:
ระบบกำลังสองของสมการเชิงเส้นที่มีตัวกำหนดหลักที่ไม่ใช่ศูนย์สามารถแก้ไขได้โดยใช้เมทริกซ์ผกผัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ระบบ (1.5) จะถูกเขียนในรูปแบบเมทริกซ์:
ที่ไหน
คูณความเสมอภาคทั้งสองข้าง (1.14) จากทางซ้ายด้วย เอ- 1. เราได้คำตอบของระบบ:
, ที่ไหน
ดังนั้น เพื่อที่จะหาคำตอบของระบบกำลังสอง คุณต้องค้นหาเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์หลักของระบบแล้วคูณทางด้านขวาด้วยเมทริกซ์คอลัมน์ของเทอมอิสระ
ปัญหา 1.10.แก้ระบบสมการเชิงเส้น
โดยใช้เมทริกซ์ผกผัน
สารละลาย.ให้เราเขียนระบบในรูปแบบเมทริกซ์: ,
ที่ไหน - เมทริกซ์หลักของระบบ - คอลัมน์ของสิ่งที่ไม่รู้จัก และ - คอลัมน์ของคำศัพท์อิสระ เนื่องจากปัจจัยกำหนดหลักของระบบ แล้วเมทริกซ์หลักของระบบ กมีเมทริกซ์ผกผัน ก-1. เพื่อหาเมทริกซ์ผกผัน ก-1 เราคำนวณการเสริมพีชคณิตให้กับองค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์ ก:
จากตัวเลขที่ได้รับ เราจะเขียนเมทริกซ์ (และการบวกพีชคณิตในแถวของเมทริกซ์ กเขียนมันลงในคอลัมน์ที่เหมาะสม) แล้วหารมันด้วยดีเทอร์มิแนนต์ D ดังนั้นเราจึงพบเมทริกซ์ผกผัน:
เราค้นหาวิธีแก้ไขระบบโดยใช้สูตร (1.15):
ดังนั้น,
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีกำจัดแบบจอร์แดนธรรมดา
ให้ระบบสมการเชิงเส้นตามอำเภอใจ (ไม่จำเป็นต้องเป็นกำลังสอง):
(1.16)
จำเป็นต้องค้นหาวิธีแก้ปัญหาให้กับระบบเช่น ชุดของตัวแปรที่ตอบสนองความเท่าเทียมกันของระบบทั้งหมด (1.16) ในกรณีทั่วไป ระบบ (1.16) สามารถมีได้ไม่เพียงแต่โซลูชันเดียวเท่านั้น แต่ยังมีโซลูชันอีกนับไม่ถ้วนอีกด้วย มันอาจจะไม่มีวิธีแก้ปัญหาเลยก็ได้
เมื่อแก้ไขปัญหาดังกล่าวเป็นที่รู้กันดีแล้ว หลักสูตรของโรงเรียนวิธีการกำจัดสิ่งแปลกปลอมซึ่งเรียกอีกอย่างว่าวิธีการกำจัดจอร์แดนแบบธรรมดา สาระสำคัญ วิธีนี้อยู่ในความจริงที่ว่าหนึ่งในสมการของระบบ (1.16) ตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งแสดงออกมาในรูปของตัวแปรอื่น จากนั้นตัวแปรนี้จะถูกแทนที่ด้วยสมการอื่นๆ ในระบบ ผลลัพธ์ที่ได้คือระบบที่มีหนึ่งสมการและมีตัวแปรน้อยกว่าระบบเดิมหนึ่งตัว สมการที่แสดงตัวแปรจะถูกจดจำ
กระบวนการนี้จะถูกทำซ้ำจนกว่าสมการสุดท้ายจะยังคงอยู่ในระบบ ด้วยกระบวนการกำจัดสิ่งที่ไม่รู้ สมการบางอย่างอาจกลายเป็นตัวตนที่แท้จริงได้ เช่น สมการดังกล่าวไม่รวมอยู่ในระบบเนื่องจากสมการเหล่านี้พอใจกับค่าใด ๆ ของตัวแปรดังนั้นจึงไม่ส่งผลกระทบต่อการแก้ปัญหาของระบบ หากในกระบวนการกำจัดสิ่งที่ไม่รู้จัก สมการอย่างน้อยหนึ่งสมการกลายเป็นความเท่าเทียมกันที่ไม่สามารถพอใจกับค่าของตัวแปรใด ๆ (ตัวอย่าง) เราก็สรุปได้ว่าระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหา
หากไม่มีสมการที่ขัดแย้งกันเกิดขึ้นระหว่างการแก้โจทย์ สมการสุดท้ายจะพบตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งที่เหลืออยู่ในสมการนั้น หากสมการสุดท้ายเหลือตัวแปรเพียงตัวเดียว ตัวแปรนั้นจะแสดงเป็นตัวเลข หากตัวแปรอื่นยังคงอยู่ในสมการสุดท้าย ตัวแปรเหล่านั้นจะถือเป็นพารามิเตอร์ และตัวแปรที่แสดงผ่านตัวแปรเหล่านั้นจะเป็นฟังก์ชันของพารามิเตอร์เหล่านี้ จากนั้นสิ่งที่เรียกว่า "การย้อนกลับ" จะเกิดขึ้น ตัวแปรที่พบจะถูกแทนที่ลงในสมการที่จดจำไว้สุดท้าย และพบตัวแปรตัวที่สอง จากนั้นตัวแปรที่พบทั้งสองจะถูกแทนที่ลงในสมการที่จดจำสุดท้าย และตัวแปรที่สามจะถูกพบ และต่อๆ ไป จนถึงสมการแรกที่จดจำ
เป็นผลให้เราได้รับวิธีแก้ไขปัญหาของระบบ การตัดสินใจครั้งนี้จะไม่ซ้ำกันหากตัวแปรที่พบเป็นตัวเลข หากพบตัวแปรแรกแล้วตามด้วยตัวแปรอื่นๆ ทั้งหมด ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ ระบบจะมีวิธีแก้ปัญหาจำนวนอนันต์ (พารามิเตอร์แต่ละชุดสอดคล้องกับโซลูชันใหม่) สูตรที่ช่วยให้คุณค้นหาวิธีแก้ไขปัญหาของระบบโดยขึ้นอยู่กับชุดพารามิเตอร์เฉพาะเรียกว่าวิธีแก้ปัญหาทั่วไปของระบบ
ตัวอย่างที่ 1.11
x
หลังจากท่องจำสมการแรกได้แล้ว และนำคำที่คล้ายกันมาสู่สมการที่สองและสามที่เรามาถึงระบบ:
มาแสดงออกกันเถอะ ยจากสมการที่สองแล้วแทนลงในสมการแรก:
ให้เราจำสมการที่สองและจากสมการแรกที่เราพบ z:
การทำงานย้อนกลับเราพบอย่างต่อเนื่อง ยและ z- เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ขั้นแรกเราจะแทนที่สมการที่จำได้สุดท้ายจากจุดที่เราพบ ย:
.
จากนั้นเราจะแทนที่มันลงในสมการแรกที่จดจำได้ เราจะหามันได้ที่ไหน x:
ปัญหา 1.12.แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยกำจัดสิ่งที่ไม่รู้:
. (1.17)
สารละลาย.ให้เราแสดงตัวแปรจากสมการแรก xและแทนที่มันลงในสมการที่สองและสาม:
.
จำสมการแรกกัน
ในระบบนี้ สมการที่หนึ่งและสองขัดแย้งกัน แท้จริงแล้วการแสดงออก ย เราจะได้ 14 = 17 ความเท่าเทียมกันนี้ไม่ถือเป็นค่าใด ๆ ของตัวแปร x, ย, และ z- ส่งผลให้ระบบ (1.17) ไม่สอดคล้องกัน กล่าวคือ ไม่มีวิธีแก้ปัญหา
เราขอเชิญชวนผู้อ่านให้ตรวจสอบด้วยตนเองว่าปัจจัยกำหนดหลักของระบบดั้งเดิม (1.17) มีค่าเท่ากับศูนย์
ให้เราพิจารณาระบบที่แตกต่างจากระบบ (1.17) ด้วยเทอมเดียวเท่านั้น
ปัญหา 1.13.แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยกำจัดสิ่งที่ไม่รู้:
. (1.18)
สารละลาย.เช่นเดิมเราแสดงตัวแปรจากสมการแรก xและแทนที่มันลงในสมการที่สองและสาม:
.
จำสมการแรกกัน และนำเสนอพจน์ที่คล้ายกันในสมการที่สองและสาม เรามาถึงระบบ:
กำลังแสดงออก ยจากสมการแรกแล้วนำไปแทนลงในสมการที่สอง เราได้รับข้อมูลประจำตัว 14 = 14 ซึ่งไม่ส่งผลต่อการแก้ปัญหาของระบบ ดังนั้นจึงสามารถแยกออกจากระบบได้
ในความเสมอภาคที่จำได้ครั้งสุดท้ายคือตัวแปร zเราจะถือว่ามันเป็นพารามิเตอร์ เราเชื่อ. แล้ว
มาทดแทนกัน ยและ zเข้าสู่ความเท่าเทียมกันครั้งแรกที่จดจำและค้นหา x:
.
ดังนั้น ระบบ (1.18) จึงมีวิธีแก้ปัญหาจำนวนไม่สิ้นสุด และสามารถหาวิธีแก้ปัญหาใด ๆ ได้โดยใช้สูตร (1.19) โดยเลือกค่าพารามิเตอร์ที่กำหนดเอง ที:
(1.19)
ดังนั้น คำตอบของระบบ เช่น คือชุดของตัวแปรต่อไปนี้ (1; 2; 0), (2; 26; 14) เป็นต้น สูตร (1.19) แสดงถึงคำตอบทั่วไป (ใดๆ) ของระบบ (1.18 ).
ในกรณีที่ระบบเดิม (1.16) มีเพียงพอ จำนวนมากสมการและไม่ทราบวิธีการกำจัดจอร์แดนแบบธรรมดาที่ระบุดูเหมือนจะยุ่งยาก อย่างไรก็ตามนี่ไม่เป็นความจริง การได้มาซึ่งอัลกอริธึมสำหรับการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ของระบบใหม่ในขั้นตอนเดียวก็เพียงพอแล้ว มุมมองทั่วไปและกำหนดวิธีแก้ไขปัญหาในรูปแบบตารางจอร์แดนพิเศษ
ให้ระบบรูปแบบเชิงเส้น (สมการ) ได้รับ:
, (1.20)
ที่ไหน เอ็กซ์เจ- ตัวแปรอิสระ (ค้นหา) ไอจ- ค่าสัมประสิทธิ์คงที่
(ฉัน = 1, 2,…, ม; เจ = 1, 2,…, n- ส่วนที่ถูกต้องของระบบ ใช่แล้ว (ฉัน = 1, 2,…, ม) อาจเป็นตัวแปร (ขึ้นอยู่กับ) หรือค่าคงที่ก็ได้ จำเป็นต้องค้นหาวิธีแก้ปัญหาสำหรับระบบนี้โดยกำจัดสิ่งที่ไม่รู้ออกไป
ให้เราพิจารณาการดำเนินการต่อไปนี้ ซึ่งเรียกด้านล่างว่า "ขั้นตอนหนึ่งของการกำจัดจอร์แดนแบบธรรมดา" จากพลการ ( ร th) ความเท่าเทียมกันเราแสดงตัวแปรตามอำเภอใจ ( xs) และแทนที่ลงในความเท่าเทียมกันอื่นๆ ทั้งหมด แน่นอนว่าจะเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อ อาร์เอส¹ 0. ค่าสัมประสิทธิ์ อาร์เอสเรียกว่าองค์ประกอบการแก้ปัญหา (บางครั้งเป็นแนวทางหรือหลัก)
เราจะได้ระบบดังต่อไปนี้:
. (1.21)
จาก ส- ความเท่าเทียมกันของระบบ (1.21) เราจะพบตัวแปรในภายหลัง xs(หลังจากพบตัวแปรที่เหลือแล้ว) สบรรทัด -th ถูกจดจำและแยกออกจากระบบในเวลาต่อมา ระบบที่เหลือจะมีหนึ่งสมการและตัวแปรอิสระหนึ่งตัวที่น้อยกว่าระบบเดิม
ให้เราคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ของระบบผลลัพธ์ (1.21) ผ่านค่าสัมประสิทธิ์ของระบบดั้งเดิม (1.20) เริ่มต้นด้วย รสมการซึ่งหลังจากแสดงตัวแปรแล้ว xsผ่านตัวแปรที่เหลือจะมีลักษณะดังนี้:
ดังนั้นค่าสัมประสิทธิ์ใหม่ รสมการต่างๆ คำนวณโดยใช้สูตรต่อไปนี้:
(1.23)
ให้เราคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ใหม่ บีจ(ฉัน¹ ร) ของสมการใดๆ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เราแทนตัวแปรที่แสดงใน (1.22) xsวี ฉันสมการของระบบ (1.20):
หลังจากนำคำศัพท์ที่คล้ายกันมา เราจะได้รับ:
(1.24)
จากความเท่าเทียมกัน (1.24) เราได้สูตรที่คำนวณค่าสัมประสิทธิ์ที่เหลือของระบบ (1.21) (ยกเว้น รสมการที่:
(1.25)
การเปลี่ยนแปลงของระบบสมการเชิงเส้นโดยวิธีกำจัดจอร์แดนแบบธรรมดาจะแสดงในรูปแบบของตาราง (เมทริกซ์) ตารางเหล่านี้เรียกว่า "ตารางจอร์แดน"
ดังนั้น ปัญหา (1.20) จึงเชื่อมโยงกับตาราง Jordan ต่อไปนี้:
ตารางที่ 1.1
x 1 | x 2 | … | เอ็กซ์เจ | … | xs | … | เอ็กซ์เอ็น | |
ย 1 = | ก 11 | ก 12 | ก 1เจ | ก 1ส | ก 1n | |||
………………………………………………………………….. | ||||||||
ใช่แล้ว= | ฉัน 1 | ฉัน 2 | ไอจ | เป็น | ใน | |||
………………………………………………………………….. | ||||||||
ใช่= | อาร์ 1 | อาร์ 2 | อาร์เจ | อาร์เอส | อาร์น | |||
…………………………………………………………………. | ||||||||
ใช่= | เช้า 1 | เช้า 2 | มจ | นางสาว | นาที |
ตาราง Jordan 1.1 ประกอบด้วยคอลัมน์ส่วนหัวด้านซ้ายซึ่งใช้เขียนส่วนด้านขวาของระบบ (1.20) และแถวส่วนหัวด้านบนที่ใช้เขียนตัวแปรอิสระ
องค์ประกอบที่เหลือของตารางจะสร้างเมทริกซ์หลักของค่าสัมประสิทธิ์ของระบบ (1.20) ถ้าคุณคูณเมทริกซ์ กไปที่เมทริกซ์ที่ประกอบด้วยองค์ประกอบของแถวหัวเรื่องบนสุด คุณจะได้เมทริกซ์ที่ประกอบด้วยองค์ประกอบของคอลัมน์หัวเรื่องด้านซ้าย โดยพื้นฐานแล้ว ตาราง Jordan เป็นรูปแบบเมทริกซ์สำหรับการเขียนระบบสมการเชิงเส้น: ระบบ (1.21) สอดคล้องกับตารางจอร์แดนต่อไปนี้:
ตารางที่ 1.2
x 1 | x 2 | … | เอ็กซ์เจ | … | ใช่ | … | เอ็กซ์เอ็น | |
ย 1 = | ข 11 | ข 12 | ข 1 เจ | ข 1 ส | ข 1 n | |||
………………………………………………………………….. | ||||||||
ใช่ ฉัน = | ข ฉัน 1 | ข ฉัน 2 | บีจ | ข คือ | ข เข้า | |||
………………………………………………………………….. | ||||||||
x ส = | บีอาร์ 1 | บีอาร์ 2 | บีอาร์เจ | บีอาร์เอส | เบอร์น | |||
…………………………………………………………………. | ||||||||
ใช่ = | ข ม 1 | ข ม 2 | บีเอ็มเจ | บีเอ็มเอส | ข ม |
องค์ประกอบที่อนุญาต อาร์เอส เราจะเน้นด้วยตัวหนา โปรดจำไว้ว่าหากต้องการใช้ขั้นตอนหนึ่งของการกำจัดจอร์แดน องค์ประกอบการแก้ไขจะต้องไม่เป็นศูนย์ แถวของตารางที่มีองค์ประกอบการเปิดใช้งานเรียกว่าแถวการเปิดใช้งาน คอลัมน์ที่มีองค์ประกอบเปิดใช้งานเรียกว่าคอลัมน์เปิดใช้งาน เมื่อย้ายจากตารางที่กำหนดไปยังตารางถัดไป ตัวแปรหนึ่งตัว ( xs) จากแถวส่วนหัวด้านบนของตารางจะถูกย้ายไปยังคอลัมน์ส่วนหัวด้านซ้าย และในทางกลับกัน หนึ่งในสมาชิกที่ว่างของระบบ ( ใช่) ย้ายจากคอลัมน์หัวด้านซ้ายของตารางไปยังแถวหัวบนสุด
ให้เราอธิบายอัลกอริทึมสำหรับการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ใหม่เมื่อย้ายจากตารางจอร์แดน (1.1) ไปยังตาราง (1.2) ซึ่งตามมาจากสูตร (1.23) และ (1.25)
1. องค์ประกอบการแก้ไขจะถูกแทนที่ด้วยหมายเลขผกผัน:
2. องค์ประกอบที่เหลือของสตริงการแก้ไขจะถูกแบ่งออกเป็นองค์ประกอบการแก้ไขและเปลี่ยนเครื่องหมายไปในทางตรงกันข้าม:
3. องค์ประกอบที่เหลือของคอลัมน์ความละเอียดจะแบ่งออกเป็นองค์ประกอบความละเอียด:
4. องค์ประกอบที่ไม่รวมอยู่ในแถวที่อนุญาตและคอลัมน์ที่อนุญาตจะถูกคำนวณใหม่โดยใช้สูตร:
สูตรสุดท้ายจำง่ายถ้าสังเกตองค์ประกอบที่ประกอบเป็นเศษส่วน , อยู่ที่สี่แยก ฉัน-โอ้และ รเส้นและ เจและ สคอลัมน์ที่ th (การแยกแถว การแยกคอลัมน์ และแถวและคอลัมน์ที่จุดตัดซึ่งมีองค์ประกอบที่คำนวณใหม่ตั้งอยู่) แม่นยำยิ่งขึ้นเมื่อจำสูตร คุณสามารถใช้แผนภาพต่อไปนี้:
เมื่อดำเนินการขั้นตอนแรกของข้อยกเว้นของ Jordan คุณสามารถเลือกองค์ประกอบใดๆ ของตาราง 1.3 ที่อยู่ในคอลัมน์เป็นองค์ประกอบการแก้ปัญหา x 1 ,…, x 5 (องค์ประกอบที่ระบุทั้งหมดไม่เป็นศูนย์) อย่าเลือกองค์ประกอบการเปิดใช้งานในคอลัมน์สุดท้าย เพราะ คุณต้องค้นหาตัวแปรอิสระ x 1 ,…, x 5. เช่น เราเลือกค่าสัมประสิทธิ์ 1 ด้วยตัวแปร x 3 ในบรรทัดที่สามของตาราง 1.3 (องค์ประกอบการเปิดใช้งานแสดงเป็นตัวหนา) เมื่อย้ายไปยังตารางที่ 1.4 ตัวแปร x 3 จากแถวส่วนหัวบนสุดจะสลับกับค่าคงที่ 0 ของคอลัมน์ส่วนหัวด้านซ้าย (แถวที่สาม) ในกรณีนี้คือตัวแปร x 3 แสดงผ่านตัวแปรที่เหลือ
สตริง x 3 (ตารางที่ 1.4) สามารถแยกออกจากตารางที่ 1.4 ได้หลังจากจำล่วงหน้าแล้ว คอลัมน์ที่สามที่มีศูนย์ในบรรทัดหัวเรื่องด้านบนก็ไม่รวมอยู่ในตารางที่ 1.4 เช่นกัน ประเด็นก็คือโดยไม่คำนึงถึงค่าสัมประสิทธิ์ของคอลัมน์ที่กำหนด ข ฉัน 3 พจน์ที่สอดคล้องกันทั้งหมดของแต่ละสมการ 0 ข ฉัน 3 ระบบจะเท่ากับศูนย์ ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องคำนวณค่าสัมประสิทธิ์เหล่านี้ การกำจัดตัวแปรหนึ่งตัว x 3 และจดจำสมการใดสมการหนึ่ง เราก็มาถึงระบบที่สอดคล้องกับตารางที่ 1.4 (โดยขีดเส้นออก x 3). การเลือกในตาราง 1.4 เป็นองค์ประกอบการแก้ไข ข 14 = -5 ไปที่ตาราง 1.5 ในตาราง 1.5 จำแถวแรกและแยกออกจากตารางพร้อมกับคอลัมน์ที่สี่ (โดยมีศูนย์อยู่ด้านบน)
ตารางที่ 1.5 ตารางที่ 1.6
จากตารางสุดท้าย 1.7 เราพบว่า: x 1 = - 3 + 2x 5 .
แทนที่ตัวแปรที่พบแล้วอย่างต่อเนื่องลงในบรรทัดที่จำได้ เราจะพบตัวแปรที่เหลือ:
ดังนั้นระบบจึงมีวิธีแก้ปัญหามากมายอย่างไม่สิ้นสุด ตัวแปร x 5 สามารถกำหนดค่าได้ตามใจชอบ ตัวแปรนี้ทำหน้าที่เป็นพารามิเตอร์ x 5 = เสื้อ เราได้พิสูจน์ความเข้ากันได้ของระบบแล้วและพบวิธีแก้ปัญหาทั่วไป:
x 1 = - 3 + 2ที
x 2 = - 1 - 3ที
x 3 = - 2 + 4ที . (1.27)
x 4 = 4 + 5ที
x 5 = ที
ให้พารามิเตอร์ ทีเมื่อค่าต่างกัน เราก็จะได้คำตอบของระบบเดิมจำนวนอนันต์ ตัวอย่างเช่น คำตอบของระบบคือชุดตัวแปรต่อไปนี้ (- 3; - 1; - 2; 4; 0)