ผลต่างของลอการิทึมที่มีฐานต่างกัน คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม
ดังนั้นเราจึงมีพลังของทั้งสอง หากคุณนำตัวเลขจากบรรทัดล่างสุด คุณจะพบพลังที่คุณจะต้องยกสองขึ้นเพื่อให้ได้ตัวเลขนี้ได้อย่างง่ายดาย ตัวอย่างเช่น หากต้องการได้ 16 คุณต้องยกสองยกกำลังสี่ และเพื่อให้ได้ 64 คุณต้องยกสองยกกำลังหก ดังที่เห็นได้จากตาราง
และตอนนี้ - จริงๆ แล้ว คำจำกัดความของลอการิทึม:
ลอการิทึมฐานของ x คือกำลังที่ต้องยก a ขึ้นจึงจะได้ x
ชื่อ: log a x = b โดยที่ a คือฐาน x คืออาร์กิวเมนต์ b คือค่าลอการิทึมที่เท่ากับจริง
ตัวอย่างเช่น 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (ลอการิทึมฐาน 2 ของ 8 คือ 3 เพราะ 2 3 = 8) ด้วยบันทึกความสำเร็จเดียวกัน 2 64 = 6 เนื่องจาก 2 6 = 64
การดำเนินการค้นหาลอการิทึมของตัวเลขจากฐานที่กำหนดเรียกว่าลอการิทึม เรามาเพิ่มบรรทัดใหม่ให้กับตารางของเรา:
2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
บันทึก 2 2 = 1 | บันทึก 2 4 = 2 | บันทึก 2 8 = 3 | บันทึก 2 16 = 4 | บันทึก 2 32 = 5 | บันทึก 2 64 = 6 |
น่าเสียดายที่ไม่ใช่ทุกลอการิทึมจะคำนวณได้ง่ายนัก เช่น ลองค้นหาบันทึก 2 5 เลข 5 ไม่ได้อยู่ในตาราง แต่ตรรกะกำหนดว่าลอการิทึมจะอยู่ที่ไหนสักแห่งบนเซ็กเมนต์ เพราะ 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
ตัวเลขดังกล่าวเรียกว่าจำนวนอตรรกยะ: ตัวเลขที่อยู่หลังจุดทศนิยมสามารถเขียนได้ไม่จำกัด และจะไม่มีวันซ้ำกัน หากลอการิทึมกลายเป็นแบบไม่ลงตัว ก็ควรปล่อยไว้อย่างนั้นดีกว่า: log 2 5, log 3 8, log 5 100
สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าลอการิทึมเป็นนิพจน์ที่มีตัวแปรสองตัว (ฐานและอาร์กิวเมนต์) ในตอนแรก หลายคนสับสนว่าอะไรเป็นพื้นฐานและข้อโต้แย้งอยู่ที่ไหน เพื่อหลีกเลี่ยงความเข้าใจผิดที่น่ารำคาญ เพียงแค่ดูภาพ:
ก่อนหน้าเราไม่มีอะไรมากไปกว่าคำจำกัดความของลอการิทึม จดจำ: ลอการิทึมคือกำลังซึ่งจะต้องสร้างฐานเพื่อให้ได้ข้อโต้แย้ง เป็นฐานที่ยกกำลังขึ้น - ในภาพเน้นด้วยสีแดง ปรากฎว่าฐานอยู่ด้านล่างเสมอ! ฉันบอกกฎที่ยอดเยี่ยมนี้แก่นักเรียนในบทเรียนแรก - และไม่มีความสับสนเกิดขึ้น
เราได้ทราบคำจำกัดความแล้ว - สิ่งที่เหลืออยู่คือการเรียนรู้วิธีนับลอการิทึม เช่น กำจัดเครื่องหมาย "บันทึก" อันดับแรก เราสังเกตว่ามีข้อเท็จจริงสำคัญสองประการตามคำจำกัดความนี้:
- อาร์กิวเมนต์และฐานต้องมากกว่าศูนย์เสมอ สิ่งนี้ตามมาจากคำจำกัดความของระดับด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ ซึ่งคำจำกัดความของลอการิทึมจะลดลง
- ฐานจะต้องแตกต่างจากฐานหนึ่ง เนื่องจากระดับหนึ่งถึงระดับใดยังคงเป็นหนึ่ง ด้วยเหตุนี้ คำถามที่ว่า “คนๆ หนึ่งจะต้องเพิ่มพลังอะไรเพื่อให้ได้สอง” จึงไม่มีความหมาย ไม่มีปริญญาขนาดนั้น!
ข้อจำกัดดังกล่าวเรียกว่า ช่วงของค่าที่ยอมรับได้(ODZ). ปรากฎว่า ODZ ของลอการิทึมมีลักษณะดังนี้: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1
โปรดทราบว่าไม่มีข้อจำกัดเกี่ยวกับจำนวน b (ค่าของลอการิทึม) ตัวอย่างเช่น ลอการิทึมอาจเป็นลบ: log 2 0.5 = −1 เพราะ 0.5 = 2 −1
อย่างไรก็ตาม ตอนนี้เรากำลังพิจารณาเฉพาะนิพจน์ตัวเลขที่ไม่จำเป็นต้องรู้ VA ของลอการิทึม ผู้เขียนงานได้คำนึงถึงข้อจำกัดทั้งหมดแล้ว แต่เมื่อสมการลอการิทึมและอสมการเข้ามามีบทบาท ข้อกำหนด DL จะกลายเป็นข้อบังคับ ท้ายที่สุดแล้ว พื้นฐานและการโต้แย้งอาจมีโครงสร้างที่แข็งแกร่งมากซึ่งไม่จำเป็นต้องสอดคล้องกับข้อจำกัดข้างต้น
ทีนี้ลองมาพิจารณากัน โครงการทั่วไปการคำนวณลอการิทึม ประกอบด้วยสามขั้นตอน:
- เขียนฐาน a และอาร์กิวเมนต์ x เป็นกำลังโดยมีฐานขั้นต่ำที่เป็นไปได้มากกว่า 1 ระหว่างทางควรกำจัดทศนิยมออกไปจะดีกว่า
- แก้สมการของตัวแปร b: x = a b ;
- ผลลัพธ์หมายเลข b จะเป็นคำตอบ
แค่นั้นแหละ! หากลอการิทึมกลายเป็นจำนวนตรรกยะ สิ่งนี้จะมองเห็นได้ในขั้นตอนแรก ข้อกำหนดที่ว่าฐานต้องมากกว่าหนึ่งมีความสำคัญมาก ซึ่งจะช่วยลดโอกาสที่จะเกิดข้อผิดพลาดและทำให้การคำนวณง่ายขึ้นอย่างมาก เช่นเดียวกับ ทศนิยม: หากคุณแปลงเป็นปกติทันที จะมีข้อผิดพลาดน้อยลงมาก
มาดูกันว่าโครงร่างนี้ทำงานอย่างไรโดยใช้ตัวอย่างเฉพาะ:
งาน. คำนวณลอการิทึม: บันทึก 5 25
- ลองนึกภาพฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังของห้า: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
- เราได้รับคำตอบ: 2.
มาสร้างและแก้สมการกัน:
บันทึก 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;
งาน. คำนวณลอการิทึม:
งาน. คำนวณลอการิทึม: บันทึก 4 64
- ลองนึกภาพฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังสอง: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
- มาสร้างและแก้สมการกัน:
บันทึก 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ; - เราได้รับคำตอบ: 3.
งาน. คำนวณลอการิทึม: log 16 1
- ลองนึกภาพฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังสอง: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
- มาสร้างและแก้สมการกัน:
บันทึก 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ; - เราได้รับคำตอบ: 0.
งาน. คำนวณลอการิทึม: บันทึก 7 14
- ลองนึกภาพฐานและข้อโต้แย้งเป็นกำลังของเจ็ด: 7 = 7 1 ; 14 ไม่สามารถแสดงเป็นกำลังของ 7 ได้ เนื่องจาก 7 1< 14 < 7 2 ;
- จากย่อหน้าก่อนหน้า ตามมาว่าไม่นับลอการิทึม
- คำตอบคือไม่มีการเปลี่ยนแปลง: บันทึก 7 14
หมายเหตุเล็ก ๆ เกี่ยวกับตัวอย่างสุดท้าย คุณจะแน่ใจได้อย่างไรว่าตัวเลขนั้นไม่ใช่กำลังที่แน่นอนของอีกจำนวนหนึ่ง? ง่ายมาก - แค่แยกตัวประกอบเป็นปัจจัยเฉพาะ ถ้าการขยายตัวมีปัจจัยที่แตกต่างกันอย่างน้อยสองปัจจัย ตัวเลขจะไม่ใช่กำลังที่แน่นอน
งาน. ค้นหาว่าตัวเลขนั้นเป็นเลขยกกำลังที่แน่นอนหรือไม่: 8; 48; 81; 35; 14.
8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - องศาที่แน่นอน เพราะ มีตัวคูณเพียงตัวเดียวเท่านั้น
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - ไม่ใช่กำลังที่แน่นอน เนื่องจากมีปัจจัยสองประการ: 3 และ 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - ระดับที่แน่นอน;
35 = 7 · 5 - ไม่ใช่กำลังที่แน่นอนอีกครั้ง
14 = 7 · 2 - ไม่ใช่ระดับที่แน่นอนอีกครั้ง
ให้เราสังเกตด้วยว่าเราเอง หมายเลขเฉพาะมีระดับที่แน่นอนของตัวเองอยู่เสมอ
ลอการิทึมทศนิยม
ลอการิทึมบางตัวเป็นเรื่องธรรมดามากจนมีชื่อและสัญลักษณ์พิเศษ
ลอการิทึมฐานสิบของ x คือลอการิทึมของฐาน 10 เช่น ยกกำลังที่ต้องยกเลข 10 เพื่อให้ได้เลข x ชื่อ: lg x.
ตัวอย่างเช่น บันทึก 10 = 1; บันทึก 100 = 2; lg 1,000 = 3 - ฯลฯ
จากนี้ไปเมื่อมีวลีเช่น “Find lg 0.01” ปรากฏในหนังสือเรียน โปรดทราบว่านี่ไม่ใช่การพิมพ์ผิด นี่คือลอการิทึมทศนิยม อย่างไรก็ตาม หากคุณไม่คุ้นเคยกับสัญกรณ์นี้ คุณสามารถเขียนใหม่ได้ตลอดเวลา:
บันทึก x = บันทึก 10 x
ทุกอย่างที่เป็นจริงสำหรับลอการิทึมธรรมดาก็เป็นจริงสำหรับลอการิทึมฐานสิบเช่นกัน
ลอการิทึมธรรมชาติ
มีลอการิทึมอีกอันหนึ่งที่มี การกำหนดที่เหมาะสม- ในบางแง่ มันสำคัญกว่าทศนิยมด้วยซ้ำ มันเกี่ยวกับเกี่ยวกับลอการิทึมธรรมชาติ
ลอการิทึมธรรมชาติของ x คือลอการิทึมของฐาน e เช่น เลขยกกำลังที่ต้องยกกำลัง e เพื่อให้ได้เลข x ชื่อ: ln x .
หลายคนจะถามว่า: ตัวเลข e คืออะไร? นี่เป็นจำนวนอตรรกยะ ไม่สามารถหาค่าที่แน่นอนและจดบันทึกไว้ได้ ฉันจะให้เฉพาะตัวเลขแรกเท่านั้น:
อี = 2.718281828459...
เราจะไม่ลงรายละเอียดว่าหมายเลขนี้คืออะไรและเหตุใดจึงจำเป็น เพียงจำไว้ว่า e เป็นฐานของลอการิทึมธรรมชาติ:
ln x = บันทึก อี x
ดังนั้น ln e = 1 ; ใน อี 2 = 2; ใน อี 16 = 16 - เป็นต้น ในทางกลับกัน ln 2 เป็นจำนวนอตรรกยะ โดยทั่วไปลอการิทึมธรรมชาติของค่าใดๆ จำนวนตรรกยะไม่มีเหตุผล ยกเว้น อย่างหนึ่ง: ln 1 = 0
สำหรับลอการิทึมธรรมชาติ กฎทั้งหมดที่เป็นจริงสำหรับลอการิทึมสามัญนั้นใช้ได้
(จากภาษากรีก γόγος - "คำ", "ความสัมพันธ์" และ ἀριθμός - "ตัวเลข") ขขึ้นอยู่กับ ก(บันทึก α ข) เรียกว่าตัวเลขดังกล่าว ค, และ ข= คนั่นคือ บันทึกบันทึก α ข=คและ ข=กคเทียบเท่ากัน ลอการิทึมสมเหตุสมผลถ้า a > 0, a ≠ 1, b > 0
กล่าวอีกนัยหนึ่ง ลอการิทึมตัวเลข ขขึ้นอยู่กับ กกำหนดเป็นเลขยกกำลังที่ต้องยกจำนวนขึ้น กเพื่อรับหมายเลข ข(ลอการิทึมมีอยู่เฉพาะสำหรับจำนวนบวกเท่านั้น)
จากสูตรนี้ จะได้ว่าการคำนวณ x= log α ขเทียบเท่ากับการแก้สมการ a x =b
ตัวอย่างเช่น:
บันทึก 2 8 = 3 เพราะ 8 = 2 3
ให้เราเน้นว่าการกำหนดลอการิทึมที่ระบุทำให้สามารถกำหนดได้ทันที ค่าลอการิทึมเมื่อตัวเลขใต้เครื่องหมายลอการิทึมทำหน้าที่เป็นกำลังของฐาน ที่จริงแล้ว การกำหนดลอการิทึมทำให้สามารถพิสูจน์ได้ว่าถ้า ข=คแล้วตามด้วยลอการิทึมของตัวเลข ขขึ้นอยู่กับ กเท่ากับ กับ- เป็นที่ชัดเจนว่าหัวข้อของลอการิทึมมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับหัวข้อ พลังของตัวเลข.
เรียกว่าการคำนวณลอการิทึม ลอการิทึม- ลอการิทึมคือการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ของการหาลอการิทึม เมื่อพิจารณาลอการิทึม ผลคูณของปัจจัยจะถูกแปลงเป็นผลรวมของพจน์
ศักยภาพคือการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ผกผันของลอการิทึม ในระหว่างการเพิ่มศักยภาพ ฐานที่กำหนดจะถูกยกขึ้นตามระดับของการแสดงออกซึ่งจะดำเนินการเพิ่มศักยภาพ ในกรณีนี้ ผลรวมของพจน์จะเปลี่ยนเป็นผลคูณของปัจจัย
บ่อยครั้ง ลอการิทึมจริงใช้กับฐาน 2 (ไบนารี่) เลขออยเลอร์ e mut 2.718 (ลอการิทึมธรรมชาติ) และ 10 (ทศนิยม)
ในขั้นตอนนี้ขอแนะนำให้พิจารณา ตัวอย่างลอการิทึมบันทึก 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.
และรายการ lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 ไม่สมเหตุสมผลเนื่องจากในตอนแรกจะมีการวางจำนวนลบไว้ใต้เครื่องหมายลอการิทึมในวินาที - จำนวนลบในฐานและในสาม - ทั้งจำนวนลบภายใต้เครื่องหมายลอการิทึมและหน่วยในฐาน
เงื่อนไขในการกำหนดลอการิทึม
ควรพิจารณาแยกเงื่อนไข a > 0, a ≠ 1, b > 0 ภายใต้สิ่งที่เราได้รับ คำจำกัดความของลอการิทึมลองพิจารณาว่าเหตุใดจึงมีการใช้ข้อจำกัดเหล่านี้ ความเท่าเทียมกันของรูปแบบ x = log α จะช่วยเราในเรื่องนี้ ขเรียกว่าเอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน ซึ่งตามมาจากคำจำกัดความของลอการิทึมที่ระบุข้างต้นโดยตรง
เอาล่ะเอาเงื่อนไข ก≠1- เนื่องจากหนึ่งต่อกำลังใด ๆ เท่ากับหนึ่ง ความเท่าเทียมกัน x=log α ขจะอยู่ได้ก็ต่อเมื่อเท่านั้น ข=1แต่บันทึก 1 1 จะเป็นจำนวนจริงใดๆ เราดำเนินการเพื่อขจัดความคลุมเครือนี้ ก≠1.
ให้เราพิสูจน์ความจำเป็นของเงื่อนไข ก>0- ที่ ก=0ตามสูตรลอการิทึมจะมีได้ก็ต่อเมื่อ ข=0- และตามนั้น เข้าสู่ระบบ 0 0สามารถเป็นจำนวนจริงที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ ได้ เนื่องจากศูนย์ถึงกำลังที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆ จะเป็นศูนย์ ความคลุมเครือนี้สามารถกำจัดได้ตามเงื่อนไข ก≠0- และเมื่อไร ก<0 เราจะต้องปฏิเสธการวิเคราะห์ค่าลอการิทึมที่เป็นตรรกยะและอตรรกยะ เนื่องจากระดับที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะและอตรรกยะถูกกำหนดไว้สำหรับฐานที่ไม่เป็นลบเท่านั้น ด้วยเหตุนี้จึงมีการกำหนดเงื่อนไขไว้ ก>0.
และเงื่อนไขสุดท้าย ข>0ตามมาด้วยความไม่เท่าเทียมกัน ก>0เนื่องจาก x=log α ขและค่าของดีกรีที่มีฐานบวก กเป็นบวกเสมอ
คุณสมบัติของลอการิทึม
ลอการิทึมโดดเด่นด้วยความโดดเด่น คุณสมบัติซึ่งนำไปสู่การใช้อย่างแพร่หลายเพื่ออำนวยความสะดวกในการคำนวณที่ต้องใช้ความอุตสาหะอย่างมาก เมื่อย้าย "เข้าสู่โลกแห่งลอการิทึม" การคูณจะเปลี่ยนเป็นการบวกที่ง่ายกว่ามาก การหารจะเปลี่ยนเป็นการลบ และการยกกำลังและการแยกรากจะถูกเปลี่ยนตามลำดับเป็นการคูณและการหารด้วยเลขชี้กำลัง
การกำหนดลอการิทึมและตารางค่า (สำหรับ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ) ได้รับการตีพิมพ์ครั้งแรกในปี 1614 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวสก็อต จอห์น เนเปียร์ ตารางลอการิทึมที่ขยายและให้รายละเอียดโดยนักวิทยาศาสตร์คนอื่นๆ ถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการคำนวณทางวิทยาศาสตร์และวิศวกรรม และยังคงมีความเกี่ยวข้องจนกระทั่งมีการใช้เครื่องคิดเลขอิเล็กทรอนิกส์และคอมพิวเตอร์
จุดเน้นของบทความนี้คือ ลอการิทึม- ที่นี่เราจะให้คำจำกัดความของลอการิทึม แสดงสัญกรณ์ที่ยอมรับ ยกตัวอย่างลอการิทึม และพูดคุยเกี่ยวกับลอการิทึมธรรมชาติและทศนิยม หลังจากนี้ เราจะพิจารณาเอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน
การนำทางหน้า
ความหมายของลอการิทึม
แนวคิดของลอการิทึมเกิดขึ้นเมื่อแก้ปัญหาในแง่หนึ่งผกผันเมื่อคุณต้องการหาเลขชี้กำลังใน คุณค่าที่ทราบระดับการศึกษาและพื้นฐานที่ทราบ
แต่พอคำนำก็ถึงเวลาตอบคำถาม “ลอการิทึม” คืออะไร? ให้เราให้คำจำกัดความที่เกี่ยวข้อง
คำนิยาม.
ลอการิทึมของ b ถึงฐาน aโดยที่ a>0, a≠1 และ b>0 เป็นเลขชี้กำลังที่คุณต้องเพิ่มจำนวน a เพื่อให้ได้ผลลัพธ์เป็น b
ในขั้นตอนนี้ เราสังเกตว่าคำว่า "ลอการิทึม" ในภาษาพูดควรทำให้เกิดคำถามตามมาสองข้อทันที: "จำนวนเท่าใด" และ "บนพื้นฐานใด" กล่าวอีกนัยหนึ่ง ไม่มีลอการิทึม มีแต่ลอการิทึมของตัวเลขจนถึงฐานบางฐานเท่านั้น
เข้าไปได้เลยทันที สัญกรณ์ลอการิทึม: ลอการิทึมของตัวเลข b ถึงฐาน a มักจะแสดงเป็น log a b ลอการิทึมของตัวเลข b ถึงฐาน e และลอการิทึมของฐาน 10 มีการกำหนดพิเศษของตัวเอง lnb และ logb ตามลำดับ นั่นคือ พวกมันเขียนไม่ใช่ log e b แต่เป็น lnb และไม่ใช่ log 10 b แต่เป็น lgb
ตอนนี้เราสามารถให้: .
และบันทึกต่างๆ ไม่สมเหตุสมผลเลย เนื่องจากตัวแรกมีจำนวนลบอยู่ใต้เครื่องหมายลอการิทึม ตัวแรกมีจำนวนลบอยู่ในฐาน และตัวที่สามมีจำนวนลบอยู่ใต้เครื่องหมายลอการิทึมและมีหน่วยอยู่ใน ฐาน
ตอนนี้เรามาพูดถึง กฎสำหรับการอ่านลอการิทึม- Log a b อ่านว่า "ลอการิทึมของ b ถึงฐาน a" ตัวอย่างเช่น บันทึก 2 3 คือลอการิทึมของสามถึงฐาน 2 และเป็นลอการิทึมของสองจุดสองในสามของฐาน 2 รากที่สองจากห้า ลอการิทึมฐาน e เรียกว่า ลอการิทึมธรรมชาติและสัญกรณ์ lnb อ่านว่า "ลอการิทึมธรรมชาติของ b" ตัวอย่างเช่น ln7 คือลอการิทึมธรรมชาติของ 7 และเราจะอ่านมันเป็นลอการิทึมธรรมชาติของ pi ลอการิทึมฐาน 10 มีชื่อพิเศษเช่นกัน - ลอการิทึมทศนิยมและ lgb อ่านว่า "ลอการิทึมฐานสิบของ b" ตัวอย่างเช่น lg1 คือลอการิทึมฐานสิบของหนึ่ง และ lg2.75 คือลอการิทึมฐานสิบของสองจุดเจ็ดห้าในร้อย
คุ้มค่าที่จะแยกกันตามเงื่อนไข a>0, a≠1 และ b>0 ซึ่งให้คำจำกัดความของลอการิทึมไว้ ให้เราอธิบายว่าข้อจำกัดเหล่านี้มาจากไหน ความเท่าเทียมกันของรูปแบบที่เรียกว่า ซึ่งตามมาจากคำจำกัดความของลอการิทึมที่ระบุข้างต้นโดยตรง จะช่วยเราทำสิ่งนี้ได้
เริ่มจาก a≠1 กันก่อน เนื่องจากหนึ่งยกกำลังใด ๆ มีค่าเท่ากับหนึ่ง ความเท่าเทียมกันจึงเป็นจริงได้ก็ต่อเมื่อ b=1 แต่บันทึก 1 1 สามารถเป็นค่าใดก็ได้ จำนวนจริง- เพื่อหลีกเลี่ยงความคลุมเครือนี้ จึงถือว่า a≠1
ให้เราพิสูจน์ความได้เปรียบของเงื่อนไข a>0 ด้วย a=0 ตามนิยามของลอการิทึม เราจะมีความเท่าเทียมกันซึ่งเป็นไปได้ด้วย b=0 เท่านั้น แต่บันทึก 0 0 อาจเป็นจำนวนจริงใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ เนื่องจากศูนย์ถึงกำลังใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์จะเป็นศูนย์ เงื่อนไข a≠0 ช่วยให้เราสามารถหลีกเลี่ยงความคลุมเครือนี้ได้ และเมื่อก<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .
สุดท้าย เงื่อนไข b>0 ตามมาจากความไม่เท่าเทียมกัน a>0 เนื่องจาก และค่าของกำลังที่มีฐานบวก a จะเป็นค่าบวกเสมอ
เพื่อสรุปประเด็นนี้ สมมติว่าคำจำกัดความที่ระบุของลอการิทึมทำให้คุณสามารถระบุค่าของลอการิทึมได้ทันที เมื่อตัวเลขที่อยู่ใต้เครื่องหมายลอการิทึมเป็นกำลังที่แน่นอนของฐาน จริงๆ แล้ว คำจำกัดความของลอการิทึมช่วยให้เราระบุได้ว่าถ้า b=a p แล้วลอการิทึมของจำนวน b ถึงฐาน a จะเท่ากับ p นั่นคือ บันทึกความเท่าเทียมกัน a a p =p เป็นจริง ตัวอย่างเช่น เรารู้ว่า 2 3 =8 จากนั้นให้บันทึก 2 8=3 เราจะพูดถึงเรื่องนี้เพิ่มเติมในบทความ
ลอการิทึมคืออะไร?
ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
วัสดุมาตราพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่ค่อย..." มากนัก
และสำหรับผู้ที่ “มากๆ…”)
ลอการิทึมคืออะไร? วิธีการแก้ลอการิทึม? คำถามเหล่านี้ทำให้บัณฑิตหลายคนสับสน ตามเนื้อผ้า หัวข้อลอการิทึมถือว่าซับซ้อน เข้าใจยาก และน่ากลัว โดยเฉพาะสมการที่มีลอการิทึม
นี่ไม่เป็นความจริงอย่างแน่นอน อย่างแน่นอน! ไม่เชื่อฉันเหรอ? ดี. ตอนนี้ในเวลาเพียง 10 - 20 นาที คุณ:
1. คุณจะเข้าใจ ลอการิทึมคืออะไร.
2. เรียนรู้การแก้ปัญหาทั้งชั้นเรียน สมการเลขชี้กำลัง- แม้ว่าคุณจะไม่ได้ยินอะไรเกี่ยวกับพวกเขาก็ตาม
3. เรียนรู้การคำนวณลอการิทึมอย่างง่าย
ยิ่งไปกว่านั้น สำหรับสิ่งนี้ คุณเพียงแค่ต้องรู้ตารางสูตรคูณและวิธีบวกเลขยกกำลังเท่านั้น...
ฉันรู้สึกเหมือนคุณมีข้อสงสัย... เอาล่ะ ทำเครื่องหมายเวลาไว้! ไปกันเลย!
ขั้นแรก ให้แก้สมการนี้ในหัวของคุณ:
หากคุณชอบเว็บไซต์นี้...
ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)
คุณสามารถฝึกแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการยืนยันทันที มาเรียนรู้กันเถอะ - ด้วยความสนใจ!)
คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้
การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายถึงวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดตรวจสอบหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ
การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล
ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ
คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา
ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว
เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:
- เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่ของคุณ อีเมลฯลฯ
เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:
- รวบรวมโดยเรา ข้อมูลส่วนบุคคลช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณและแจ้งให้คุณทราบได้ ข้อเสนอที่ไม่ซ้ำใครโปรโมชั่นและกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้น
- ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ
- เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และ การศึกษาต่างๆเพื่อปรับปรุงบริการที่เรามอบให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเรา
- หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว
การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม
เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม
ข้อยกเว้น:
- หากจำเป็น - ตามกฎหมาย ขั้นตอนการพิจารณาคดี การทดลองและ/หรือตามคำขอสาธารณะหรือการร้องขอจาก หน่วยงานภาครัฐในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ
- ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่รับช่วงต่อที่เกี่ยวข้อง
การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล
เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงด้านการบริหาร ด้านเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต
การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท
เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด