บทคัดย่อ: ศึกษาฟังก์ชันโดยใช้อนุพันธ์ของมัน บทเรียนเชิงปฏิบัติ "การศึกษาฟังก์ชันโดยใช้อนุพันธ์" (สำหรับนักเรียนระดับอาชีวศึกษาระดับมัธยมศึกษา) ศึกษาฟังก์ชันโดยใช้อนุพันธ์ตัวอย่างวิธีแก้ปัญหา
ในงานการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์จำเป็นต้องศึกษาฟังก์ชันโดยใช้อนุพันธ์ การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ไม่ใช่สิ่งที่ง่ายที่สุดในโลก แต่ใน KIM ไม่มีอะไรที่นักเรียนมัธยมปลายไม่สามารถรับมือได้หากเขาทุ่มเทกับการเรียนมากพอ
เรามาดูกันว่าอนุพันธ์คืออะไรและจะใช้มันอย่างไรเมื่อศึกษาฟังก์ชัน
อนุพันธ์
วาดแกนพิกัดและสร้างฟังก์ชันพื้นฐานใดๆ ตัวอย่างเช่น พาราโบลาของฟังก์ชัน ย = x 2.
คุณสามารถเห็นได้ด้วยตัวเองว่าในบางพื้นที่ฟังก์ชั่นลดลง ในบางพื้นที่ก็เพิ่มขึ้น นั่นคือมันเปลี่ยนแปลง กล่าวอีกนัยหนึ่งก็คือ การเปลี่ยนแปลงของความเร็วที่ฟังก์ชันเปลี่ยนแปลงไป อนุพันธ์(y" = ฉ'(x))
ตัวอย่างเช่น ทำเครื่องหมายจุดบนแกน X ในรูปวาดของคุณ ให้จุดของเราอยู่ใต้เลข 1 - นี่คือ x 1 และบนหมายเลข 2 จะเป็น x 2 นอกจากนี้เราจะดำเนินการกับแนวคิดเช่นการเพิ่มอาร์กิวเมนต์ – ∆х และการเพิ่มฟังก์ชัน – ∆у มันคืออะไร? ∆х แสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันเปลี่ยนแปลงไปตามแกน X อย่างไร ∆у สะท้อนถึงการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันตามแนวแกน Y
สมมติว่าเราเคลื่อนที่ไปตามกราฟจากจุด x 1 ไปยังจุด x 2 การเคลื่อนไปทางขวาตามแกน X แสดงถึงการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ ∆x และผลลัพธ์การเคลื่อนที่ขึ้นไปตามแกน Y คือการเพิ่มขึ้นในฟังก์ชัน ∆y เราสามารถรวมปริมาณทั้งสองเข้าด้วยกันในอสมการ ∆у/∆х > 0 ได้ เนื่องจากการเพิ่มขึ้นเป็นบวก - สุดท้ายแล้ว เรากำลังเคลื่อนที่ขึ้นไปตามกราฟที่เพิ่มขึ้น "ในทิศทางของการเคลื่อนที่"
เราเอาสองจุดออกจากกันค่อนข้างมาก แต่โดยทั่วไป เราสามารถเลือก ∆х สำหรับจุดใดๆ บนส่วนที่เลือกเพื่อรับ ∆у > 0 และในส่วนใดๆ ที่ฟังก์ชันลดลง เราสามารถเลือกการเพิ่มขึ้นดังกล่าวในอาร์กิวเมนต์ที่ ∆у< 0 и ∆у/∆х < 0.
ยิ่งเราพิจารณาระยะทางน้อยลงเท่าใด เราก็จะอธิบายอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันได้แม่นยำมากขึ้นเท่านั้น ไม่ใช่กราฟทั้งหมดจะง่ายเหมือนกราฟนี้ ดังนั้นพวกเขากล่าวว่าการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ (∆x → 0) เช่น ถึงมูลค่าขั้นต่ำของมัน
ความไม่เท่าเทียมกันต่อไปนี้ก็เป็นไปได้เช่นกัน: ∆у/∆х = 0 ที่จุดสูงสุดและต่ำสุดของกราฟ ในกรณีของเรา มันอยู่ที่จุดกำเนิดของพิกัด
อสมการ ∆у/∆х ที่เราเขียนลงไปสะท้อนถึงสาระสำคัญของอนุพันธ์ - เรากำลังพูดถึงขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์
อนุพันธ์ที่จุดเทียบกับอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
เราเริ่มต้นด้วยการเลือกจุดที่ "เริ่มต้น" การเพิ่มฟังก์ชันของเรา กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราพิจารณาการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันที่จุด x 1
ซึ่งหมายความว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุด x 1 คือขีดจำกัดของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน ∆у กับการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ ∆x ณ จุดนี้ แม้ว่าข้อเท็จจริงที่ว่า ∆x → 0 ก็ตาม
คุณสามารถเขียนลงไปได้ดังนี้: f"(x 1) = lim x→0 f (x 1 + ∆x) – f(x 1) / ∆x = lim x→0 ∆у/∆x คุณยังสามารถเขียนได้ดังนี้: วาดแทนเจนต์ไปที่กราฟที่จุด x 1 จากนั้นอนุพันธ์สามารถแสดงผ่านแทนเจนต์ของมุมเอียงของมันกับกราฟ: f"(x 1) = lim x→0 ∆у/∆x = tgφ
หากขีดจำกัดมีขอบเขต (เช่น มีจำกัด) บางที แตกต่างทำหน้าที่ ณ จุดหนึ่ง นี่จะหมายความว่าฟังก์ชันมีความต่อเนื่อง ณ จุดนี้ด้วย ∆х → 0 แต่ ∆х ≠ 0 อย่างไรก็ตาม เพียงเพราะฟังก์ชันมีความต่อเนื่อง จึงไม่ทำให้ฟังก์ชันนี้จำเป็นต้องสร้างความแตกต่าง
หากคุณสนใจว่าสิ่งนี้จะเกิดขึ้นได้อย่างไร ฉันขอแนะนำให้คุณค้นหาตัวอย่างที่เกี่ยวข้องด้วยตัวคุณเอง - ไม่ใช่ทุกสิ่งที่พร้อมจะรับบนจาน ยิ่งไปกว่านั้น คุณไม่จำเป็นต้องรู้สิ่งนี้สำหรับงาน Unified State Examination และถึงแม้ฉันจะพูดอะไรบางอย่างดูหมิ่นคุณอาจไม่เข้าใจว่าอนุพันธ์คืออะไร สิ่งสำคัญคือการเรียนรู้ที่จะค้นหามัน
ตอนนี้เราพูดถึงอนุพันธ์ที่จุด x 1 แต่ในทำนองเดียวกันเราสามารถดำเนินการยักย้ายแบบเดียวกันทั้งหมดกับจุดอื่นได้ ดังนั้นเราจึงมีสิทธิ์เขียนสูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันดังนี้: f"(x ) = lim x→0 f (x+ ∆x ) – f(x) / ∆х = lim x→0 ∆у/∆х หรือมิฉะนั้น y" = f"(x) ซึ่งเกิดขึ้นคือ "มาจาก" จาก ฟังก์ชัน y = f(x)
ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างอนุพันธ์บางส่วน คุณจะพบอนุพันธ์ได้มากขึ้นในตารางอนุพันธ์ และแนะนำให้จดจำบางส่วนไว้เมื่อเวลาผ่านไป:
- อนุพันธ์ของค่าคงที่ (C)" = 0;
- อนุพันธ์ของฟังก์ชันยกกำลัง (x n)’ = nx n -1 ;
- ความหลากหลายของมันคืออนุพันธ์ของตัวเลข (x)’ = 1;
- และ (√x)’ = 1/2√x;
- และ (1/x)’ = -1/x 2
กฎของความแตกต่าง
การแยกความแตกต่างหมายถึงการเน้นคุณลักษณะบางอย่างในกรณีของฟังก์ชัน - อัตราการเปลี่ยนแปลงเราได้พูดคุยเกี่ยวกับเรื่องนี้แล้ว เหล่านั้น. คำนวณอนุพันธ์
มีกฎทั่วไปบางประการในการคำนวณอนุพันธ์ (ความแตกต่าง) ของฟังก์ชันต่างๆ มากมาย ตอนนี้เราจะจำพวกเขาสั้น ๆ โดยใช้บทความของ Alexander Emelin จากเว็บไซต์ที่ยอดเยี่ยมสำหรับคณิตศาสตร์ขั้นสูงโดยเฉพาะ mathprofi.ru
- จำนวนคงที่ถูกนำออกจากเครื่องหมายอนุพันธ์: (Cu)’ = Cu’, C = const
Y = 3cos x, y’ = (3 cos x)’ = 3 (cos x)’ = 3(-sin x) = -3sin x;
- อนุพันธ์ของผลรวมเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์: (ยู ± วี)’ = ยู’ ± วี’.
Y = 6 + x + 3x 2 – บาป x – 2 3 √x + 1/x 2 – 11ctg x, y' = (6 + x + 3x 2 – sinx – 2 3 √x + 1/x 2 – 11ctg x )' = (6)' + (x)' + 3(x 2)' – (บาป x)' – 2(x 1/3)'+ (x -2)' – 11(ctgx)' = 0 + 1 + 3*2x – cos x – 2*1/3x -2/3 + (-2)x -3 – 11(-1/sin 2 x) = 1 + 6x – cos x – 2/3 3 √x 2 – 2/x 3 + 11/ซิน 2 x;
- อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของฟังก์ชัน: (uv)’ = u’v + uv’.
Y = x 3 อาร์คซิน x, y' = (x 3 อาร์คซิน x)' = (x 3)' * อาร์คซิน x + x 3 * (อาร์คซิน x)'= 3x 2 อาร์คซิน x + x 3 * 1/√1 – x 2 = 3x 2 อาร์คซิน x + x 3 /√1 – x 2 ;
- อนุพันธ์ของฟังก์ชันผลหาร: (u/v)" = (u"v – uv")/v 2.
Y = 2(3x – 4)/ x 2 + 1, y' = (2(3x – 4)/ x 2 + 1)' = 2 (3x – 4/ x 2 +1)' = 2 * ((3x – 4)'* (x 2 + 1) – (3x – 4) * (x 2 + 1)'/(x 2 + 1) 2) = 2 (3(x 2 + 1) - (3x – 4) * 2x/ (x 2 + 1) 2) = 2 (-3x 2 + 8x + 3)/ (x 2 + 1) 2 ;
- อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน คุณไม่จำเป็นต้องใช้มันในตอนนี้ ดังนั้นเราจะไม่พิจารณามัน
เราศึกษาฟังก์ชันโดยใช้อนุพันธ์
ดังนั้นเราจึงแยกแยะคำพูดมาเริ่มเทพนิยายกันดีกว่า ในส่วน B ของ CIM ในทางคณิตศาสตร์ รับประกันว่าจะเจอปัญหาหนึ่งหรือหลายปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการศึกษาฟังก์ชันโดยใช้อนุพันธ์ ตัวอย่างเช่น คุณอาจต้องตรวจสอบฟังก์ชันของ extrema พิจารณาความซ้ำซ้อนของมัน เป็นต้น
การใช้อนุพันธ์คุณสามารถกำหนด:
- กราฟของฟังก์ชันลดลงและเพิ่มขึ้นในช่วงเวลาใด (เราศึกษาความซ้ำซากจำเจ)
- ค่าต่ำสุดและสูงสุดของอนุพันธ์ (เราตรวจสอบ extrema)
- ค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันที่ต่อเนื่องในช่วงเวลาหนึ่ง
ความซับซ้อนของงานดังกล่าวขึ้นอยู่กับฟังก์ชันที่คุณพบตามเงื่อนไขเป็นหลัก แต่อัลกอริธึมการดำเนินการทั่วไปจะไม่เปลี่ยนแปลงสำหรับคุณไม่ว่าในกรณีใด ลองดูทุกอย่างตามลำดับ
ความน่าเบื่อหน่ายของฟังก์ชันพูดง่ายๆ ก็คือ การระบุพื้นที่ที่ฟังก์ชันยังคงไม่เปลี่ยนแปลง เช่น "ซ้ำซากจำเจ" และฟังก์ชันจะเปลี่ยนที่จุดวิกฤติ แต่มีข้อมูลเพิ่มเติมด้านล่าง
ขั้นตอน:
- หาอนุพันธ์.
- ค้นหาจุดวิกฤติ
- กำหนดสัญญาณของอนุพันธ์และลักษณะของการเปลี่ยนแปลงในช่วงเวลาที่วัดจุดวิกฤติ (ขึ้นอยู่กับเงื่อนไขความซ้ำซ้อนที่เพียงพอ)
- บันทึกช่วงเวลาแห่งความน่าเบื่อ
ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นหากค่าที่มากขึ้นของฟังก์ชันสอดคล้องกับค่าที่มากขึ้นของอาร์กิวเมนต์: x 2 > x 1 และ f(x 2) > f(x 1) ในช่วงเวลาที่เลือก กราฟจะเลื่อนจากล่างขึ้นบน
ฟังก์ชันจะลดลงหากค่าที่น้อยกว่าของฟังก์ชันสอดคล้องกับค่าที่มากกว่าของอาร์กิวเมนต์: x 2 > x 1 และ f(x 2)< f(х 1) на выбранном интервале. График движется сверху вниз.
เนื่องจากฟังก์ชันเพิ่มขึ้นและลดลงภายในช่วงเวลา จึงเรียกว่าโมโนโทนิกอย่างเคร่งครัด และการศึกษาฟังก์ชันสำหรับความซ้ำซากจำเจแสดงให้เห็นว่าเรากำลังพูดถึงช่วงเวลาของความซ้ำซากจำเจที่เข้มงวด
ฟังก์ชันอาจไม่ลดลงในช่วงเวลา: f(x 2) ≥ f(x 1) – ฟังก์ชันที่ไม่ลดลง และในทำนองเดียวกัน อย่าเพิ่มขึ้นในช่วงเวลา: f(x 2) ≤ f(x 1) เป็นฟังก์ชันที่ไม่เพิ่มขึ้น
เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับความน่าเบื่อของฟังก์ชัน:
- เงื่อนไขที่เพิ่มขึ้น: หากในช่วงเวลาที่เลือกในแต่ละจุดอนุพันธ์มีค่ามากกว่าศูนย์ (f"(x) > 0) ฟังก์ชันในช่วงเวลานี้จะเพิ่มขึ้นแบบซ้ำซากจำเจ
- เงื่อนไขที่ลดลง: หากในช่วงเวลาที่เลือกในแต่ละจุดอนุพันธ์มีค่าน้อยกว่าศูนย์ (f"(x)< 0), то функция на этом интервале монотонно убывает;
- เงื่อนไขของความคงตัว (ไม่เพียงเพียงพอ แต่ยังจำเป็นด้วย): ฟังก์ชันจะคงที่ในช่วงเวลาที่เลือกเมื่ออนุพันธ์เท่ากับศูนย์ (f"(x) = 0) ที่แต่ละจุด
จุดวิกฤติเรียกว่าอันที่อนุพันธ์มีค่าเท่ากับศูนย์หรือไม่มีค่าของมัน ขณะเดียวกันอาจเป็นจุดสุดขั้วแต่อาจไม่ใช่จุดเดียว แต่จะเพิ่มเติมในภายหลัง
เอ็กซ์ตรีมของฟังก์ชันเหล่านั้น. ค่าดังกล่าวของตัวแปรที่ฟังก์ชันถึงค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด
ขั้นตอน:
- กำหนดขอบเขตของคำจำกัดความของฟังก์ชันและช่วงเวลาใดที่ต่อเนื่องกัน
- หาอนุพันธ์.
- ค้นหาจุดวิกฤติ
- ตรวจสอบว่าจุดวิกฤติเป็นจุดสุดขั้วหรือไม่ (ตามเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับจุดสุดขั้ว)
- เขียนถึงความสุดขั้ว.
เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับภาวะสุดขั้ว:
- ถ้า x 0 เป็นจุดปลายสุดของฟังก์ชัน ก็จะเป็นจุดวิกฤตด้วยซึ่งอนุพันธ์มีค่าเท่ากับศูนย์หรือไม่มีอยู่จริง
ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น จุดสุดขั้วอาจไม่ตรงกับจุดวิกฤต ตัวอย่างเช่น สำหรับฟังก์ชัน y = x 3 (รูปที่ 1), y =│x│ (รูปที่ 2), y = 3 √x จุดปลายสุดจะไม่อยู่ที่จุดวิกฤติ
เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับภาวะสุดขั้ว:
- ถ้า ณ จุด x 0 ฟังก์ชันต่อเนื่องกัน และอนุพันธ์ของฟังก์ชันเปลี่ยนเครื่องหมายตรงจุดนั้น x 0 คือจุดปลายสุดของฟังก์ชัน
หากเมื่อผ่านจุด x 0 เครื่องหมายของอนุพันธ์เปลี่ยนจาก "+" เป็น "-" เมื่อถึงจุดนี้ฟังก์ชันจะถึงค่าสูงสุด: f"(x) > 0 ที่ x< х 0 и f"(х) < 0 при х >x 0 .
หากเมื่อผ่านจุด x 0 เครื่องหมายของอนุพันธ์เปลี่ยนจาก "-" เป็น "+" เมื่อถึงจุดนี้ฟังก์ชันจะถึงค่าต่ำสุด: f"(x)< 0 при х < х 0 и f"(х) >0 สำหรับ x > x 0
บนกราฟ จุดสุดขีดสะท้อนค่าตามแกน X และจุดสุดขีด - ค่าตามแกน Y เรียกอีกอย่างว่า จุด สุดขั้วในท้องถิ่นและ สุดขั้วในท้องถิ่น. แต่ตอนนี้รู้ถึงความแตกต่างระหว่างท้องถิ่นกับ ทั่วโลกคุณไม่จำเป็นต้องมีค่านิยมที่มากเกินไป ดังนั้นเราจึงจะไม่ยึดติดกับเรื่องนี้
ค่าสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชันไม่เหมือนกันกับค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุด เกี่ยวกับสิ่งนี้คืออะไรด้านล่าง
ค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันที่ต่อเนื่องในช่วงเวลาหนึ่งเราพิจารณาฟังก์ชันตามช่วงเวลาที่เลือก หากฟังก์ชันภายในขีดจำกัดมีความต่อเนื่อง ค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดในเซกเมนต์จะเกิดขึ้นที่จุดวิกฤติที่เป็นของมันหรือที่จุดที่ปลายสุด
ขั้นตอน:
- หาอนุพันธ์.
- ค้นหาจุดวิกฤตภายในส่วน
- คำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดวิกฤติและที่ส่วนท้ายของส่วน
- จากค่าผลลัพธ์ ให้เลือกค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด
มาสำรวจฟังก์ชั่นกันดีกว่า - เพราะเหตุใด?
ทำไมเราต้องศึกษาฟังก์ชันโดยใช้อนุพันธ์ของมัน? จากนั้นจึงจะเข้าใจได้ดีขึ้นว่าตารางงานของเธอเป็นอย่างไร ใช่ ตอนนี้ในหนังสือเรียนคุณมีกราฟสำเร็จรูปสำหรับฟังก์ชันพื้นฐานที่ได้รับการศึกษามาอย่างดีแล้ว แต่ในเงื่อนไข "ภาคสนาม" จริง สถานการณ์มักจะตรงกันข้ามอย่างสิ้นเชิง: ฟังก์ชันที่ไม่คุ้นเคยและกราฟที่ยังไม่มีอยู่ และไม่ใช่ทุกฟังก์ชั่นจะง่ายเหมือนในหนังสือเรียนของโรงเรียน เป็นไปไม่ได้เลยที่จะจินตนาการถึงกราฟของพวกเขาด้วยพลังแห่งจินตนาการ
เครื่องมือวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ช่วยให้คุณสำรวจฟังก์ชันที่ไม่รู้จักได้อย่างทั่วถึง หากไม่มีการตรวจสอบรายละเอียดคุณลักษณะทั้งหมดของฟังก์ชันและอนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้นแล้ว จะไม่สามารถสร้างกราฟที่ถูกต้องได้ นั่นคือเหตุผลที่หลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนให้ความสำคัญกับงานที่เกี่ยวข้อง และนั่นคือสาเหตุที่พวกเขาถูกสอบ
งาน Part B มีค่าคะแนนค่อนข้างสูง ดังนั้นควรให้ความสนใจกับการฝึกอบรมในการกำหนดอนุพันธ์และศึกษาฟังก์ชันด้วยความช่วยเหลือ บทความนี้จัดทำขึ้นเพื่อเป็นบทสรุปที่เป็นประโยชน์สำหรับการศึกษาด้วยตนเอง ซึ่งมีคำจำกัดความที่สำคัญเล่าขานในภาษาที่ง่ายที่สุด และสรุปขั้นตอนที่คุณควรทำเมื่อค้นคว้าฟังก์ชัน
เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา
ในปัญหา B15 เสนอให้ตรวจสอบฟังก์ชันที่ระบุโดยสูตรสำหรับเอ็กซ์ตรีม นี่เป็นปัญหาแคลคูลัสมาตรฐาน และความยากของมันจะแตกต่างกันไปมากขึ้นอยู่กับฟังก์ชันที่เป็นปัญหา บางปัญหาสามารถแก้ไขได้ด้วยวาจา ในขณะที่บางปัญหาต้องใช้การคิดอย่างจริงจัง
ก่อนที่จะศึกษาวิธีการแก้ปัญหา คุณต้องเข้าใจคำศัพท์บางคำจากสาขาการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์เสียก่อน ดังนั้น ในปัญหา B15 คุณต้องหาปริมาณต่อไปนี้โดยใช้อนุพันธ์:
- จุดสูงสุด (ต่ำสุด) ในพื้นที่ - ค่าของตัวแปรที่ฟังก์ชันถึงค่าสูงสุด (น้อยที่สุด) จุดดังกล่าวเรียกอีกอย่างว่าจุดสุดขั้ว
- ค่าสูงสุด (ต่ำสุด) โดยรวมของฟังก์ชันคือค่าที่ใหญ่ที่สุด (น้อยที่สุด) ของฟังก์ชันภายใต้ข้อจำกัดที่ระบุ อีกชื่อหนึ่งคือความสุดขั้วระดับโลก
ในกรณีนี้ โดยทั่วไปแล้วจะค้นหาค่า extrema โดยรวมไม่เกินขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมดของฟังก์ชัน แต่จะค้นหาเฉพาะบางส่วนเท่านั้น สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าค่าสุดขั้วโกลบอลและค่าของฟังก์ชันที่จุดสุดขั้วไม่ตรงกันเสมอไป เรามาอธิบายเรื่องนี้ด้วยตัวอย่างเฉพาะ:
งาน. ค้นหาจุดต่ำสุดและค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน y = 2x 3 − 3x 2 − 12x + 1 ในช่วงเวลา [−3; 3].
อันดับแรก เราจะหาจุดต่ำสุดซึ่งเราคำนวณอนุพันธ์:
y’ = (2x 3 − 3x 2 − 12x + 1)’ = 6x 2 − 6x − 12
มาหาจุดวิกฤตด้วยการแก้สมการ y’ = 0 เราได้สมการกำลังสองมาตรฐาน:
y’ = 0 ⇒ 6x 2 − 6x − 12 = 0 ⇒ ... ⇒ x 1 = −1, x 2 = 2
ทำเครื่องหมายจุดเหล่านี้บนเส้นพิกัด เพิ่มเครื่องหมายอนุพันธ์และข้อ จำกัด - ส่วนท้ายของส่วน:
ขนาดของภาพไม่สำคัญ สิ่งที่สำคัญที่สุดคือการทำเครื่องหมายจุดต่างๆ ในลำดับที่ถูกต้อง จากหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน เรารู้ว่าที่จุดต่ำสุด อนุพันธ์จะเปลี่ยนเครื่องหมายจากลบเป็นบวก การนับจะนับจากซ้ายไปขวาเสมอ - ในทิศทางของครึ่งแกนบวก ดังนั้นจึงมีจุดต่ำสุดเพียงจุดเดียว: x = 2
ทีนี้ลองหาค่าต่ำสุดของฟังก์ชันในช่วงเวลา [−3; 3]. สามารถทำได้ที่จุดต่ำสุด (จากนั้นจะกลายเป็นจุดต่ำสุดโดยรวม) หรือที่ส่วนท้ายของส่วน โปรดทราบว่าในช่วง (2; 3) อนุพันธ์จะเป็นค่าบวกทุกจุด ซึ่งหมายความว่า y(3) > y(2) ดังนั้นจึงไม่ต้องสนใจปลายด้านขวาของเซ็กเมนต์นั้น จุดเดียวที่เหลืออยู่คือ x = −3 (ปลายด้านซ้ายของส่วน) และ x = 2 (จุดต่ำสุด) เรามี:
y(−3) = 2(−3) 3 − 3(−3) 2 − 12(−3) + 1 = −44;
y(2) = 2*2 3 − 3*2 2 − 12*2 + 1 = −19
ดังนั้น ค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันจะเกิดขึ้นที่ส่วนท้ายของเซกเมนต์และเท่ากับ −44
คำตอบ: x นาที = 2; y นาที = −44
จากเหตุผลข้างต้นทำให้เกิดข้อเท็จจริงสำคัญที่หลายคนลืมไป ฟังก์ชันรับค่าสูงสุด (ต่ำสุด) โดยไม่จำเป็นต้องอยู่ที่จุดสุดขั้ว บางครั้งค่านี้ถึงจุดสิ้นสุดของเซ็กเมนต์ และอนุพันธ์ไม่จำเป็นต้องเท่ากับศูนย์
โครงการแก้ไขปัญหา B15
หากในปัญหา B15 คุณต้องค้นหาค่าสูงสุดหรือต่ำสุดของฟังก์ชัน f(x) ในช่วงเวลา ให้ทำตามขั้นตอนต่อไปนี้:
- แก้สมการ f’(x) = 0 หากไม่มีราก ให้ข้ามขั้นตอนที่สามแล้วตรงไปยังขั้นตอนที่สี่
- จากชุดรากที่ได้ ให้ขีดฆ่าทุกอย่างที่อยู่นอกเซกเมนต์ออก ให้เราแสดงตัวเลขที่เหลือ x 1, x 2, ..., xn - ตามกฎแล้วจะมีไม่กี่ตัว
- ลองแทนที่ส่วนท้ายของส่วนและจุด x 1, x 2, ..., xn ลงในฟังก์ชันดั้งเดิม เราได้ชุดตัวเลข f(a), f(b), f(x 1), f(x 2), ..., f(x n) ซึ่งเราเลือกค่าที่ใหญ่ที่สุดหรือเล็กที่สุด - นี่จะเป็น คำตอบ.
คำอธิบายสั้นๆ เกี่ยวกับการขีดฆ่ารากเมื่อรากเหล่านั้นตรงกับจุดสิ้นสุดของเซ็กเมนต์ ยังสามารถขีดฆ่าออกได้ เนื่องจากในขั้นตอนที่สี่ ส่วนปลายของเซ็กเมนต์ยังคงถูกแทนที่ในฟังก์ชัน แม้ว่าสมการ f’(x) = 0 จะไม่มีคำตอบก็ตาม
งาน. ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน y = x 3 + 3x 2 − 9x − 7 ในช่วงเวลา [−5; 0].
ก่อนอื่น มาหาอนุพันธ์: y’ = (x 3 + 3x 2 − 9x − 7)’ = 3x 2 + 6x − 9
จากนั้นเราก็แก้สมการ: y’ = 0 ⇒ 3x 2 + 6x − 9 = 0 ⇒ ... ⇒ x = −3; x = 1
เราขีดฆ่าราก x = 1 เนื่องจากมันไม่อยู่ในเซกเมนต์ [−5; 0].
ยังคงคำนวณค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของส่วนและที่จุด x = −3:
y(−5) = (−5) 3 + 4·(−5) 2 − 9·(−5) − 7 = −12;
y(−3) = (−3) 3 + 4·(−3) 2 − 9·(−3) − 7 = 20;
y(0) = 0 3 + 4 0 2 − 9 0 − 7 = −7
แน่นอนว่าค่าที่ใหญ่ที่สุดคือ 20 ซึ่งทำได้ที่จุด x = −3
ตอนนี้ให้พิจารณากรณีนี้เมื่อคุณต้องการหาจุดสูงสุดหรือต่ำสุดของฟังก์ชัน f(x) บนเซกเมนต์ หากไม่ได้ระบุเซ็กเมนต์ ฟังก์ชันจะถือว่าอยู่ในขอบเขตของคำจำกัดความ ไม่ว่าในกรณีใด วิธีแก้ไขจะเป็นดังนี้:
- ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน: f’(x)
- แก้สมการ f’(x) = 0 ถ้าอนุพันธ์เป็นฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วน เราจะทราบเพิ่มเติมว่าตัวส่วนเป็นศูนย์เมื่อใด ให้เราแสดงถึงรากผลลัพธ์ x 1 , x 2 , ..., x n .
- ทำเครื่องหมาย x 1, x 2, ..., xn บนเส้นพิกัดแล้วจัดเรียงเครื่องหมายที่อนุพันธ์ใช้ระหว่างตัวเลขเหล่านี้ หากมีการกำหนดส่วนไว้ ให้ทำเครื่องหมายและขีดฆ่าทุกสิ่งที่อยู่ด้านนอกออก
- ในบรรดาจุดที่เหลือ เรากำลังมองหาจุดที่มีเครื่องหมายของอนุพันธ์เปลี่ยนจากลบเป็นบวก (นี่คือจุดต่ำสุด) หรือจากบวกเป็นลบ (จุดต่ำสุด) ควรมีจุดดังกล่าวเพียงจุดเดียว - นี่จะเป็นคำตอบ
ผู้อ่านที่มีวิจารณญาณอาจสังเกตเห็นว่าสำหรับบางฟังก์ชันอัลกอริทึมนี้ใช้ไม่ได้ อันที่จริง มีฟังก์ชันทั้งคลาสที่การค้นหาจุดสุดขั้วต้องใช้การคำนวณที่ซับซ้อนกว่า อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันดังกล่าวไม่พบในการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์
ให้ความสนใจอย่างระมัดระวังกับการวางป้ายระหว่างจุด x 1, x 2, ..., x n ข้อควรจำ: เมื่อผ่านรากของการคูณเลขคู่ เครื่องหมายของอนุพันธ์จะไม่เปลี่ยนแปลง เมื่อมองหาจุดที่สูงที่สุด ป้ายต่างๆ จะถูกมองจากซ้ายไปขวาเสมอ เช่น ในทิศทางของแกนจำนวน
งาน. ค้นหาจุดสูงสุดของฟังก์ชัน
ในส่วน [−8; 8].
มาหาอนุพันธ์กัน:
เนื่องจากนี่คือฟังก์ชันเศษส่วนเชิงตรรกศาสตร์ เราจึงถือว่าอนุพันธ์และส่วนเป็นศูนย์:
y’ = 0 ⇒ x 2 − 25 = 0 ⇒ ... ⇒ x = 5; x = −5;
x 2 = 0 ⇒ x = 0 (รากหลายหลากที่สอง)
ลองทำเครื่องหมายจุด x = −5, x = 0 และ x = 5 บนเส้นพิกัด ป้ายสถานที่ และขอบเขต:
แน่นอนว่าเหลือเพียงจุดเดียวภายในเซ็กเมนต์ x = −5 ซึ่งเครื่องหมายของอนุพันธ์เปลี่ยนจากบวกเป็นลบ นี่คือจุดสูงสุด
ให้เราอธิบายอีกครั้งว่าจุดสุดขั้วแตกต่างจากจุดสุดขีดอย่างไร จุดสุดขีดคือค่าของตัวแปรที่ฟังก์ชันรับค่าที่ใหญ่ที่สุดหรือน้อยที่สุด Extrema คือค่าของฟังก์ชันเอง สูงสุดหรือต่ำสุดในบางพื้นที่ใกล้เคียง
นอกจากพหุนามปกติและฟังก์ชันเศษส่วนแบบตรรกยะแล้ว นิพจน์ประเภทต่อไปนี้ยังพบได้ในปัญหา B15:
- ฟังก์ชันที่ไม่ลงตัว
- ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
- ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
- ฟังก์ชันลอการิทึม
ตามกฎแล้วจะไม่มีปัญหาเกิดขึ้นกับฟังก์ชันที่ไม่ลงตัว กรณีที่เหลือควรพิจารณารายละเอียดเพิ่มเติม
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ปัญหาหลักของฟังก์ชันตรีโกณมิติคือเมื่อแก้สมการจะมีรากจำนวนอนันต์เกิดขึ้น ตัวอย่างเช่น สมการ sin x = 0 มีราก x = πn โดยที่ n ∈ Z จะทำเครื่องหมายบนเส้นพิกัดได้อย่างไรหากมีตัวเลขดังกล่าวมากมายนับไม่ถ้วน?
คำตอบนั้นง่าย: คุณต้องแทนที่ค่าเฉพาะของ n อันที่จริงในปัญหา B15 ที่มีฟังก์ชันตรีโกณมิติจะมีข้อจำกัดอยู่เสมอ - ส่วน ดังนั้นในการเริ่มต้นเราใช้ n = 0 แล้วเพิ่ม n จนกระทั่งรูท "แมลงวัน" ที่สอดคล้องกันเกินขอบเขตของเซ็กเมนต์ ในทำนองเดียวกัน เมื่อลด n เราก็จะได้รากที่น้อยกว่าขอบเขตล่างในไม่ช้า
มันง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่าไม่มีรากอื่นใดนอกจากที่ได้รับในกระบวนการพิจารณา อยู่ในเซ็กเมนต์ ให้เราพิจารณากระบวนการนี้โดยใช้ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง
งาน. ค้นหาจุดสูงสุดของฟังก์ชัน y = sin x − 5x·sin x − 5cos x + 1 ซึ่งอยู่ในเซ็กเมนต์ [−π/3; พาย/3].
เราคำนวณอนุพันธ์: y’ = (sin x − 5x sin x − 5cos x + 1)’ = ... = cos x − 5x cos x = (1 − 5x) cos x
จากนั้นเราแก้สมการ: y’ = 0 ⇒ (1 − 5x) cos x = 0 ⇒ ... ⇒ x = 0.2 หรือ x = π/2 + πn, n ∈ Z
ทุกอย่างชัดเจนด้วยราก x = 0.2 แต่สูตร x = π/2 + πn ต้องมีการประมวลผลเพิ่มเติม เราจะแทนที่ค่าต่างๆ ของ n โดยเริ่มจาก n = 0
n = 0 ⇒ x = π/2 แต่ π/2 > π/3 ดังนั้นราก x = π/2 จะไม่รวมอยู่ในส่วนเดิม นอกจากนี้ ยิ่ง n มากเท่าใด x ก็จะยิ่งมากขึ้น ดังนั้นจึงไม่มีเหตุผลที่จะต้องพิจารณา n > 0
n = −1 ⇒ x = − π/2 แต่ −π/2< −π/3 - этот корень тоже придется отбросить. А вместе с ним - и все корни для n < −1.
ปรากฎว่าในช่วงเวลา [−π/3; π/3] อยู่กับราก x = 0.2 เท่านั้น ทำเครื่องหมายพร้อมกับเครื่องหมายและขอบเขตบนเส้นพิกัด:
เพื่อให้แน่ใจว่าอนุพันธ์ทางขวาของ x = 0.2 เป็นลบจริงๆ ก็เพียงพอที่จะแทนค่า x = π/4 ไปเป็น y’ เราจะสังเกตง่ายๆ ว่า ณ จุด x = 0.2 อนุพันธ์จะเปลี่ยนเครื่องหมายจากบวกเป็นลบ ดังนั้นนี่คือจุดสูงสุด
งาน. จงหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน y = 4tg x − 4x + π − 5 ในช่วงเวลา [−π/4; พาย/4].
เราคำนวณอนุพันธ์: y’ = (4tg x − 4x + π − 5)’ = 4/cos 2x − 4
จากนั้นเราแก้สมการ: y’ = 0 ⇒ 4/cos 2x − 4 = 0 ⇒ ... ⇒ x = πn, n ∈ Z
ให้เราแยกรากออกจากสูตรนี้โดยการแทนที่ n เฉพาะ โดยเริ่มจาก n = 0:
n = 0 ⇒ x = 0 รูทนี้เหมาะกับเรา
n = 1 ⇒ x = π แต่ π > π/4 ดังนั้นจะต้องขีดฆ่าราก x = π และค่า n > 1 ออก
n = −1 ⇒ x = −π แต่ π< −π/4, поэтому x = π и n < −1 тоже вычеркиваем.
จากความหลากหลายของรากทั้งหมด เหลือเพียงรากเดียว: x = 0 ดังนั้นเราจึงคำนวณค่าของฟังก์ชันสำหรับ x = 0, x = π/4 และ x = −π/4
y(0) = 4tg 0 − 4 0 + π − 5 = π − 5;
y(π/4) = 4tg (π/4) − 4 π/4 + π − 5 = −1;
y(π/4) = 4tg (−π/4) − 4 (−π/4) + π − 5 = ... = 2π − 9
ตอนนี้สังเกตว่า π = 3.14...< 4, поэтому π − 5 < 4 − 5 = −1 и 2π − 9 < 8 − 9 = −1. Получается одно положительное число и два отрицательных. Мы ищем наибольшее - очевидно, это y = −1.
โปรดทราบว่าในปัญหาที่แล้วไม่สามารถเปรียบเทียบตัวเลขด้วยกันได้ ท้ายที่สุดแล้ว ตัวเลข π − 5, 1 และ 2π − 9 สามารถเขียนได้เพียงตัวเดียวในแบบฟอร์มคำตอบ แน่นอนจะเขียนอย่างไรพูดตัวเลขπบนแบบฟอร์ม? แต่ไม่มีทาง นี่เป็นคุณลักษณะที่สำคัญของส่วนแรกของการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ ซึ่งช่วยให้การแก้ปัญหาต่างๆ ง่ายขึ้นมาก และใช้งานได้ไม่เพียงแต่ใน B15 เท่านั้น
บางครั้งเมื่อศึกษาฟังก์ชัน สมการจะเกิดขึ้นโดยไม่มีราก ในกรณีนี้ งานจะง่ายขึ้น เนื่องจากต้องพิจารณาเพียงส่วนท้ายของส่วนเท่านั้น
งาน. จงหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน y = 7sin x − 8x + 5 ในช่วงเวลา [−3π/2; 0].
ก่อนอื่น เราหาอนุพันธ์: y’ = (7sin x − 8x + 5)’ = 7cos x − 8
ลองแก้สมการ: y’ = 0 ⇒ 7cos x − 8 = 0 ⇒ cos x = 8/7 แต่ค่าของ cos x จะอยู่ในช่วง [−1; 1] และ 8/7 > 1 ดังนั้นจึงไม่มีราก
หากไม่มีรากก็ไม่จำเป็นต้องขีดฆ่าสิ่งใดเลย มาดูขั้นตอนสุดท้ายกัน - คำนวณค่าของฟังก์ชัน:
y(−3π/2) = 7ซิน (−3π/2) − 8·(−3π/2) + 5 = ... = 12π + 12;
y(0) = 7ซิน 0 − 8 0 + 5 = 5
เนื่องจากไม่สามารถเขียนเลข 12π + 12 ลงในกระดาษคำตอบได้ จึงเหลือเพียง y = 5
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
โดยทั่วไปแล้ว ฟังก์ชันเลขชี้กำลังคือนิพจน์ที่อยู่ในรูปแบบ y = a x โดยที่ a > 0 แต่ในปัญหา B15 จะมีเพียงฟังก์ชันในรูปแบบ y = e x และในกรณีที่รุนแรง y = e kx + b เหตุผลก็คืออนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้คำนวณได้ง่ายมาก:
- (e x)" = e x ไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลง
- (e kx + b)" = k·e kx + b เพียงบวกตัวประกอบเท่ากับสัมประสิทธิ์ของตัวแปร x นี่เป็นกรณีพิเศษของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน
ทุกสิ่งทุกอย่างเป็นมาตรฐานอย่างแน่นอน แน่นอนว่าการทำงานจริงในปัญหา B15 ดูรุนแรงกว่า แต่ไม่ได้เปลี่ยนรูปแบบการแก้ปัญหา ลองดูตัวอย่างบางส่วน โดยเน้นเฉพาะประเด็นหลักของการแก้ปัญหา โดยไม่ต้องให้เหตุผลหรือแสดงความคิดเห็นอย่างละเอียด
งาน. ค้นหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน y = (x 2 − 5x + 5)e x − 3 ในช่วงเวลา [−1; 5].
อนุพันธ์: y' = ((x 2 − 5x + 5)e x − 3)' = ... = (x 2 − 3x)e x − 3 = x(x − 3)e x − 3
ค้นหาราก: y’ = 0 ⇒ x(x − 3)e x − 3 = 0 ⇒ ... ⇒ x = 0; x = 3.
รากทั้งสองอยู่บนส่วน [−1; 5]. ยังคงต้องหาค่าของฟังก์ชันทุกจุด:
y(−1) = ((−1) 2 − 5·(−1) + 5)e − 1 − 3 = ... = 11·e −4 ;
y(0) = (0 2 − 5 0 + 5)e 0 − 3 = ... = 5 อี −3 ;
y(3) = (3 2 − 5 3 + 5)e 3 − 3 = ... = −1;
y(5) = (5 2 − 5 5 + 5)e 5 − 3 = ... = 5 e 2
จากตัวเลขทั้งสี่ที่ได้ มีเพียง y = −1 เท่านั้นที่สามารถเขียนลงในแบบฟอร์มได้ นอกจากนี้ นี่เป็นจำนวนลบเพียงตัวเดียว - มันจะน้อยที่สุด
งาน. ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน y = (2x − 7) e 8 − 2x บนเซกเมนต์นั้น
อนุพันธ์: y’ = ((2x − 7) e 8 − 2x)’ = ... = (16 − 4x) e 8 − 2x = 4(4 − x) e 8 − 2x
ค้นหาราก: y’ = 0 ⇒ 4(4 − x) e 8 − 2x = 0 ⇒ x = 4
ราก x = 4 เป็นของกลุ่ม เรากำลังมองหาค่าฟังก์ชัน:
y(0) = (2 0 − 7)e 8 − 2 0 = ... = −7 e 8 ;
y(4) = (2 4 − 7)e 8 − 2 4 = ... = 1;
y(6) = (2 6 − 7)e 8 − 2 6 = ... = 5 e −4
แน่นอนว่ามีเพียง y = 1 เท่านั้นที่สามารถตอบได้
ฟังก์ชันลอการิทึม
โดยการเปรียบเทียบกับฟังก์ชันเลขชี้กำลังในปัญหา B15 จะพบเฉพาะลอการิทึมธรรมชาติเท่านั้นเนื่องจากอนุพันธ์ของพวกมันนั้นคำนวณได้ง่าย:
- (lnx)’ = 1/x;
- (ln(kx + b))’ = k/(kx + b) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้า b = 0 ดังนั้น (ln(kx))’ = 1/x
ดังนั้นอนุพันธ์จะเป็นฟังก์ชันเศษส่วนเสมอ สิ่งที่เหลืออยู่คือการเทียบอนุพันธ์นี้และตัวส่วนให้เป็นศูนย์ แล้วแก้สมการผลลัพธ์
หากต้องการค้นหาค่าสูงสุดหรือต่ำสุดของฟังก์ชันลอการิทึม โปรดจำไว้ว่า: ลอการิทึมธรรมชาติจะกลายเป็นตัวเลข "ปกติ" ที่จุดของรูปแบบ e n เท่านั้น ตัวอย่างเช่น ln 1 = ln e 0 = 0 เป็นศูนย์ลอการิทึม และส่วนใหญ่แล้วคำตอบจะออกมาเป็นค่านั้น ในกรณีอื่นๆ เป็นไปไม่ได้ที่จะ "ลบ" เครื่องหมายของลอการิทึม
งาน. ค้นหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน y = x 2 − 3x + ln x บนเซ็กเมนต์
เราคำนวณอนุพันธ์:
เราค้นหาศูนย์ของอนุพันธ์และตัวส่วน:
y’ = 0 ⇒ 2x 2 − 3x + 1 = 0 ⇒ ... ⇒ x = 0.5; x = 1;
x = 0 - ไม่มีอะไรต้องตัดสินใจที่นี่
จากตัวเลขทั้งสามตัว x = 0, x = 0.5 และ x = 1 มีเพียง x = 1 เท่านั้นที่อยู่ในเซ็กเมนต์ และตัวเลข x = 0.5 คือจุดสิ้นสุด เรามี:
y(0.5) = 0.5 2 − 3 0.5 + ln 0.5 = ln 0.5 − 1.25;
y(1) = 1 2 − 3 1 + ln 1 = −2;
y(5) = 5 2 − 3 5 + ln 5 = 10 + ln 5
จากค่าทั้งสามที่ได้รับมีเพียง y = −2 เท่านั้นที่ไม่มีเครื่องหมายลอการิทึม - นี่จะเป็นคำตอบ
งาน. จงหาค่าสูงสุดของฟังก์ชัน y = ln(6x) − 6x + 4 บนเซ็กเมนต์นั้น
เราคำนวณอนุพันธ์:
เราพบว่าเมื่ออนุพันธ์หรือส่วนของมันมีค่าเท่ากับศูนย์:
y’ = 0 ⇒ 1 − 6x = 0 ⇒ x = 1/6;
x = 0 - ตัดสินใจแล้ว
เราขีดฆ่าตัวเลข x = 0 เนื่องจากมันอยู่นอกส่วน เราคำนวณค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของส่วนและที่จุด x = 1/6:
y(0.1) = ln(6 0.1) − 6 0.1 + 4 = ln 0.6 + 3.4;
y(1/6) = ln(6 1/6) − 6 1/6 + 4 = ln 1 + 3 = 3;
y(3) = ln(6 3) − 6 3 + 4 = ln 18 − 14
เห็นได้ชัดว่ามีเพียง y = 3 เท่านั้นที่สามารถทำหน้าที่เป็นคำตอบได้ - ค่าที่เหลือมีเครื่องหมายลอการิทึมและไม่สามารถเขียนลงในกระดาษคำตอบได้
จะศึกษาฟังก์ชันและสร้างกราฟได้อย่างไร?
ดูเหมือนว่าฉันเริ่มเข้าใจใบหน้าที่หยั่งรู้ทางจิตวิญญาณของผู้นำชนชั้นกรรมาชีพโลกผู้แต่งผลงานที่รวบรวมไว้ 55 เล่ม... การเดินทางอันยาวนานเริ่มต้นด้วยข้อมูลพื้นฐานเกี่ยวกับ ฟังก์ชันและกราฟและตอนนี้ทำงานในหัวข้อที่ใช้แรงงานเข้มข้นซึ่งจบลงด้วยผลลัพธ์เชิงตรรกะ - บทความ เกี่ยวกับการศึกษาฟังก์ชันที่สมบูรณ์. งานที่รอคอยมานานมีการกำหนดดังนี้:
ศึกษาฟังก์ชันโดยใช้วิธีแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และสร้างกราฟตามผลการศึกษา
หรือเรียกสั้น ๆ ว่า: ตรวจสอบฟังก์ชันและสร้างกราฟ
ทำไมต้องสำรวจ?ในกรณีง่าย ๆ ไม่ใช่เรื่องยากสำหรับเราที่จะเข้าใจฟังก์ชันพื้นฐานและวาดกราฟที่ได้จากการใช้ การแปลงทางเรขาคณิตเบื้องต้นและอื่น ๆ อย่างไรก็ตาม คุณสมบัติและการแสดงภาพกราฟิกของฟังก์ชันที่ซับซ้อนกว่านั้นยังห่างไกลจากความชัดเจน ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมจึงต้องมีการศึกษาทั้งหมด
ขั้นตอนหลักของการแก้ปัญหามีการสรุปไว้ในเอกสารอ้างอิง รูปแบบการศึกษาฟังก์ชั่นนี่คือคำแนะนำของคุณในส่วนนี้ คนโง่ๆ ต้องการคำอธิบายทีละขั้นตอนของหัวข้อ ผู้อ่านบางคนไม่รู้ว่าจะเริ่มต้นอย่างไรหรือจะจัดการงานวิจัยอย่างไร และนักเรียนขั้นสูงอาจสนใจเพียงบางประเด็นเท่านั้น แต่ไม่ว่าคุณจะเป็นใคร ผู้เยี่ยมชมที่รัก บทสรุปที่นำเสนอพร้อมตัวชี้ไปยังบทเรียนต่างๆ จะนำทางและนำทางคุณไปในทิศทางที่คุณสนใจได้อย่างรวดเร็ว หุ่นยนต์หลั่งน้ำตา =) คู่มือนี้จัดทำเป็นไฟล์ pdf และอยู่ในตำแหน่งที่ถูกต้องบนหน้าเว็บ สูตรทางคณิตศาสตร์และตาราง.
ฉันคุ้นเคยกับการแบ่งงานวิจัยของฟังก์ชันออกเป็น 5-6 คะแนน:
6) จุดและกราฟเพิ่มเติมตามผลการวิจัย
เกี่ยวกับการดำเนินการขั้นสุดท้าย ฉันคิดว่าทุกอย่างชัดเจนสำหรับทุกคน - มันจะน่าผิดหวังมากหากถูกขีดฆ่าภายในไม่กี่วินาทีและงานจะถูกส่งกลับเพื่อแก้ไข การวาดที่ถูกต้องและแม่นยำคือผลลัพธ์หลักของการแก้ปัญหา! มีแนวโน้มที่จะ "ปกปิด" ข้อผิดพลาดในการวิเคราะห์ ในขณะที่กำหนดเวลาที่ไม่ถูกต้องและ/หรือประมาทอาจทำให้เกิดปัญหาได้แม้จะดำเนินการศึกษาอย่างสมบูรณ์แล้วก็ตาม
ควรสังเกตว่าในแหล่งอื่นจำนวนจุดวิจัยลำดับการใช้งานและรูปแบบการออกแบบอาจแตกต่างกันอย่างมากจากโครงการที่ฉันเสนอ แต่ในกรณีส่วนใหญ่ก็ค่อนข้างเพียงพอ เวอร์ชันที่ง่ายที่สุดของปัญหาประกอบด้วย 2-3 ขั้นตอนเท่านั้นและจัดทำขึ้นดังนี้: "ตรวจสอบฟังก์ชันโดยใช้อนุพันธ์และสร้างกราฟ" หรือ "ตรวจสอบฟังก์ชันโดยใช้อนุพันธ์อันดับ 1 และ 2 สร้างกราฟ"
โดยปกติแล้ว ถ้าคู่มือของคุณอธิบายอัลกอริธึมอื่นโดยละเอียดหรือครูของคุณต้องการให้คุณปฏิบัติตามการบรรยายของเขาอย่างเคร่งครัด คุณจะต้องทำการปรับเปลี่ยนวิธีแก้ปัญหาบางอย่าง ไม่ยากไปกว่าการเปลี่ยนส้อมเลื่อยไฟฟ้าด้วยช้อน
ลองตรวจสอบฟังก์ชันสำหรับคู่/คี่:
ตามด้วยการตอบกลับเทมเพลต:
ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันนี้ไม่เป็นคู่หรือคี่
เนื่องจากฟังก์ชันเปิดต่อเนื่อง จึงไม่มีเส้นกำกับแนวตั้ง
ไม่มีเส้นกำกับแบบเฉียงเช่นกัน
บันทึก : ฉันเตือนคุณว่ายิ่งสูง ลำดับการเติบโตกว่า ดังนั้นขีดจำกัดสุดท้ายคือ “ บวกอนันต์"
มาดูกันว่าฟังก์ชันทำงานอย่างไรที่ระยะอนันต์:
กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้าเราไปทางขวา กราฟจะขึ้นไปไกลอย่างไม่สิ้นสุด ถ้าเราไปทางซ้าย กราฟจะลงไปไกลอย่างไม่สิ้นสุด ใช่ มีข้อจำกัดสองประการภายใต้รายการเดียวด้วย หากคุณมีปัญหาในการถอดรหัสสัญญาณ โปรดไปที่บทเรียนเกี่ยวกับ ฟังก์ชันที่ไม่มีที่สิ้นสุด.
ดังนั้นฟังก์ชัน ไม่จำกัดจากด้านบนและ ไม่จำกัดจากด้านล่าง. เมื่อพิจารณาว่าเราไม่มีจุดพักก็ชัดเจน ช่วงฟังก์ชัน: – จำนวนจริงใดๆ ก็ได้
เทคนิคทางเทคนิคที่มีประโยชน์
แต่ละขั้นตอนของงานจะนำข้อมูลใหม่เกี่ยวกับกราฟของฟังก์ชันมาให้ดังนั้นในระหว่างการแก้ปัญหาจึงสะดวกในการใช้ LAYOUT แบบใดแบบหนึ่ง ลองวาดระบบพิกัดคาร์ทีเซียนบนแบบร่างกัน สิ่งที่รู้อยู่แล้วอย่างแน่นอน? ประการแรก กราฟไม่มีเส้นกำกับ ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องวาดเส้นตรง ประการที่สอง เรารู้ว่าฟังก์ชันมีพฤติกรรมอย่างไรที่อนันต์ จากการวิเคราะห์ เราได้ประมาณค่าแรก:
โปรดทราบว่าเนื่องจาก ความต่อเนื่องและความจริงที่ว่ากราฟจะต้องข้ามแกนอย่างน้อยหนึ่งครั้ง หรืออาจมีทางแยกหลายจุด?
3) ค่าศูนย์ของฟังก์ชันและช่วงเวลาของเครื่องหมายคงที่
ขั้นแรก มาหาจุดตัดของกราฟกับแกนพิกัด มันง่ายมาก จำเป็นต้องคำนวณค่าของฟังก์ชันที่:
เหนือระดับน้ำทะเลครึ่งหนึ่ง
ในการค้นหาจุดตัดกับแกน (ศูนย์ของฟังก์ชัน) เราจำเป็นต้องแก้สมการและนี่คือความประหลาดใจอันไม่พึงประสงค์รอเราอยู่:
มีสมาชิกอิสระแฝงตัวอยู่ตอนท้ายซึ่งทำให้งานยากขึ้นมาก
สมการดังกล่าวมีรากจริงอย่างน้อยหนึ่งราก และส่วนใหญ่มักเป็นรากที่ไม่ลงตัว ในเทพนิยายที่เลวร้ายที่สุด ลูกหมูสามตัวกำลังรอเราอยู่ สมการนี้สามารถแก้ไขได้โดยใช้สิ่งที่เรียกว่า สูตรคาร์ดาโนแต่ความเสียหายของกระดาษเทียบได้กับการศึกษาวิจัยเกือบทั้งหมด ในเรื่องนี้เป็นการดีกว่าที่จะพยายามเลือกอย่างน้อยหนึ่งรายการไม่ว่าจะเป็นทางวาจาหรือแบบร่าง ทั้งหมดราก. เรามาตรวจสอบว่าตัวเลขเหล่านี้คือ:
- ไม่เหมาะสม;
- มี!
โชคดีที่นี่ ในกรณีที่เกิดความล้มเหลว คุณยังสามารถทดสอบได้ และหากตัวเลขเหล่านี้ไม่พอดี ฉันเกรงว่าจะมีโอกาสน้อยมากที่จะได้กำไรจากสมการ ถ้าอย่างนั้น เป็นการดีกว่าที่จะข้ามประเด็นการวิจัยไปเลย - บางทีบางสิ่งบางอย่างจะชัดเจนยิ่งขึ้นในขั้นตอนสุดท้าย เมื่อคะแนนเพิ่มเติมจะถูกแยกออก และหากรากเห็นได้ชัดว่า "ไม่ดี" ก็ควรนิ่งเงียบเกี่ยวกับช่วงเวลาของความสม่ำเสมอของสัญญาณและดึงอย่างระมัดระวังมากขึ้น
อย่างไรก็ตาม เรามีรากที่สวยงาม ดังนั้นเราจึงหารพหุนาม โดยไม่เหลือเศษ:
อัลกอริทึมสำหรับการหารพหุนามด้วยพหุนามจะกล่าวถึงโดยละเอียดในตัวอย่างแรกของบทเรียน ขีดจำกัดที่ซับซ้อน.
ผลที่ได้คือด้านซ้ายของสมการเดิม สลายตัวเป็นผลิตภัณฑ์:
และตอนนี้เล็กน้อยเกี่ยวกับวิถีชีวิตที่มีสุขภาพดี แน่นอนว่าฉันเข้าใจเรื่องนั้น สมการกำลังสองจำเป็นต้องแก้ไขทุกวัน แต่วันนี้เราจะมีข้อยกเว้น: สมการ มีรากที่แท้จริงสองอัน
ให้เราพล็อตค่าที่พบบนเส้นจำนวน และ วิธีช่วงเวลาเรามากำหนดสัญญาณของฟังก์ชันกันดีกว่า:
และดังนั้นตามช่วงเวลา กำหนดการตั้งอยู่
ต่ำกว่าแกน x และตามช่วงเวลา – เหนือแกนนี้
การค้นพบนี้ช่วยให้เราปรับแต่งเลย์เอาต์ของเราได้ และการประมาณกราฟที่สองจะมีลักษณะดังนี้:
โปรดทราบว่าฟังก์ชันจะต้องมีค่าสูงสุดอย่างน้อยหนึ่งค่าในช่วงเวลาหนึ่ง และค่าต่ำสุดอย่างน้อยหนึ่งค่าในช่วงเวลาหนึ่ง แต่เรายังไม่รู้ว่ากำหนดการจะวนซ้ำกี่ครั้ง ที่ไหน และเมื่อใด อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันหนึ่งๆ สามารถมีได้มากมายนับไม่ถ้วน สุดขั้ว.
4) การเพิ่มขึ้น การลดลง และสุดขั้วของฟังก์ชัน
มาหาจุดวิกฤติกัน:
สมการนี้มีรากจริงสองอัน มาวางไว้บนเส้นจำนวนและกำหนดสัญญาณของอนุพันธ์:
ดังนั้นฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นตาม และลดลงด้วย
เมื่อถึงจุดที่ฟังก์ชันถึงจุดสูงสุด: .
เมื่อถึงจุดที่ฟังก์ชันถึงค่าต่ำสุด: .
ข้อเท็จจริงที่เป็นที่ยอมรับทำให้เทมเพลตของเราเข้าสู่กรอบงานที่ค่อนข้างเข้มงวด:
ไม่ต้องพูดอะไรมาก แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์เป็นสิ่งที่ทรงพลัง ในที่สุดเรามาทำความเข้าใจรูปร่างของกราฟกันดีกว่า:
5) จุดนูน ความเว้า และจุดเปลี่ยนเว้า
มาหาจุดวิกฤตของอนุพันธ์อันดับสองกัน:
มากำหนดสัญญาณกัน:
กราฟของฟังก์ชันจะนูนและเว้าบน ลองคำนวณพิกัดของจุดเปลี่ยนเว้า:
เกือบทุกอย่างชัดเจนแล้ว
6) ยังคงต้องหาจุดเพิ่มเติมที่จะช่วยให้คุณสร้างกราฟได้แม่นยำยิ่งขึ้นและทำการทดสอบตัวเอง ในกรณีนี้มีเพียงไม่กี่รายการ แต่เราจะไม่ละเลย:
มาวาดรูปกันเถอะ:
จุดเปลี่ยนเว้าจะเป็นสีเขียว ส่วนจุดเพิ่มเติมจะมีกากบาทกำกับไว้ กราฟของฟังก์ชันลูกบาศก์มีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดเปลี่ยนเว้า ซึ่งจะอยู่ตรงกลางระหว่างค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดเสมอ
เมื่องานดำเนินไป ฉันเตรียมภาพวาดชั่วคราวสมมุติไว้สามภาพ ในทางปฏิบัติ การวาดระบบพิกัด ทำเครื่องหมายจุดที่พบ และหลังจากการวิจัยแต่ละจุดก็เพียงพอแล้ว ให้ประเมินทางจิตใจว่ากราฟของฟังก์ชันจะมีลักษณะอย่างไร มันจะไม่ใช่เรื่องยากสำหรับนักเรียนที่มีการเตรียมตัวในระดับดีที่จะดำเนินการวิเคราะห์ดังกล่าวในหัวเพียงอย่างเดียวโดยไม่ต้องมีร่างจดหมาย
วิธีแก้ไขด้วยตนเอง:
ตัวอย่างที่ 2
สำรวจฟังก์ชันและสร้างกราฟ
ทุกอย่างเร็วขึ้นและสนุกสนานมากขึ้นที่นี่ ซึ่งเป็นตัวอย่างโดยประมาณของการออกแบบขั้นสุดท้ายในตอนท้ายของบทเรียน
การศึกษาฟังก์ชันตรรกศาสตร์เศษส่วนเผยให้เห็นความลับมากมาย:
ตัวอย่างที่ 3
ใช้วิธีการแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์เพื่อศึกษาฟังก์ชันและสร้างกราฟโดยอิงจากผลการศึกษา
สารละลาย: ระยะแรกของการศึกษาไม่มีความโดดเด่นใดๆ ยกเว้นช่องโหว่ในพื้นที่คำจำกัดความ:
1) ฟังก์ชันถูกกำหนดและต่อเนื่องบนเส้นจำนวนทั้งหมด ยกเว้นจุด โดเมน: .
ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันนี้ไม่เป็นคู่หรือคี่
เห็นได้ชัดว่าฟังก์ชันนี้ไม่ใช่แบบคาบ
กราฟของฟังก์ชันแสดงถึงสองกิ่งที่ต่อเนื่องกันซึ่งอยู่ในครึ่งระนาบซ้ายและขวา - นี่อาจเป็นข้อสรุปที่สำคัญที่สุดของจุดที่ 1
2) เส้นกำกับพฤติกรรมของฟังก์ชันที่อนันต์
ก) ใช้ขีดจำกัดด้านเดียว เราตรวจสอบพฤติกรรมของฟังก์ชันใกล้กับจุดที่น่าสงสัย ซึ่งควรมีเส้นกำกับแนวตั้งอย่างชัดเจน:
แท้จริงแล้วหน้าที่คงอยู่ ช่องว่างที่ไม่มีที่สิ้นสุดตรงจุด
และเส้นตรง (แกน) คือ เส้นกำกับแนวตั้งศิลปะภาพพิมพ์
b) ตรวจสอบว่ามีเส้นกำกับแบบเฉียงอยู่หรือไม่:
ใช่ มันตรง เส้นกำกับเฉียงกราฟิก ถ้า .
การวิเคราะห์ขีดจำกัดนั้นไม่สมเหตุสมผล เนื่องจากเป็นที่แน่ชัดแล้วว่าฟังก์ชันนั้นใช้เส้นกำกับแบบเฉียงของมัน ไม่จำกัดจากด้านบนและ ไม่จำกัดจากด้านล่าง.
ประเด็นการวิจัยที่สองให้ข้อมูลที่สำคัญมากมายเกี่ยวกับฟังก์ชันนี้ มาวาดภาพคร่าวๆ กัน:
ข้อสรุปที่ 1 เกี่ยวกับช่วงเวลาของสัญญาณคงที่ ที่ “ลบอนันต์” กราฟของฟังก์ชันจะอยู่ใต้แกน x อย่างชัดเจน และที่ “บวกอนันต์” กราฟจะอยู่เหนือแกนนี้ นอกจากนี้ ลิมิตด้านเดียวบอกเราว่าทั้งด้านซ้ายและด้านขวาของจุด ฟังก์ชันจะมากกว่าศูนย์เช่นกัน โปรดทราบว่าในระนาบครึ่งซ้าย กราฟจะต้องข้ามแกน x อย่างน้อยหนึ่งครั้ง ฟังก์ชันอาจไม่มีศูนย์ใดๆ ในครึ่งระนาบด้านขวา
ข้อสรุปที่ 2 คือฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นทางด้านซ้ายของจุด (ไป "จากล่างขึ้นบน") ทางด้านขวาของจุดนี้ ฟังก์ชันจะลดลง (ไป “จากบนลงล่าง”) สาขาด้านขวาของกราฟต้องมีอย่างน้อยหนึ่งขั้นต่ำอย่างแน่นอน ทางด้านซ้ายไม่รับประกันความสุดขั้ว
ข้อสรุปที่ 3 ให้ข้อมูลที่เชื่อถือได้เกี่ยวกับความเว้าของกราฟในบริเวณใกล้กับจุด เรายังไม่สามารถพูดอะไรเกี่ยวกับความนูน/ความเว้าที่อนันต์ได้ เนื่องจากสามารถกดเส้นตรงไปยังเส้นกำกับของมันทั้งจากด้านบนและด้านล่าง โดยทั่วไปแล้ว มีวิธีการวิเคราะห์ที่จะเข้าใจสิ่งนี้ได้ในตอนนี้ แต่รูปร่างของกราฟจะชัดเจนขึ้นในภายหลัง
ทำไมคำเยอะจัง? เพื่อควบคุมประเด็นการวิจัยในภายหลังและหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาด! การคำนวณเพิ่มเติมไม่ควรขัดแย้งกับข้อสรุปที่สรุปไว้
3) จุดตัดของกราฟด้วยแกนพิกัดช่วงเวลาของเครื่องหมายคงที่ของฟังก์ชัน
กราฟของฟังก์ชันไม่ตัดแกน
โดยใช้วิธีการช่วงเวลาเรากำหนดสัญญาณ:
, ถ้า ;
, ถ้า .
ผลลัพธ์ของประเด็นนี้สอดคล้องกับข้อสรุปที่ 1 อย่างสมบูรณ์ หลังจากแต่ละขั้นตอนให้ดูแบบร่าง ตรวจสอบการวิจัยทางจิตใจ และทำกราฟของฟังก์ชันให้สมบูรณ์
ในตัวอย่างที่พิจารณา ตัวเศษจะถูกหารแบบเทอมต่อเทอมด้วยตัวส่วน ซึ่งมีประโยชน์มากในการหาความแตกต่าง:
จริงๆ แล้ว สิ่งนี้ได้ทำไปแล้วเมื่อค้นหาเส้นกำกับ
- จุดวิกฤติ
มากำหนดสัญญาณกัน:
เพิ่มขึ้นโดย และลดลงด้วย
เมื่อถึงจุดที่ฟังก์ชันถึงค่าต่ำสุด: .
ไม่มีความคลาดเคลื่อนกับข้อสรุปที่ 2 และเป็นไปได้มากว่าเรามาถูกทางแล้ว
ซึ่งหมายความว่ากราฟของฟังก์ชันจะเว้าตลอดขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด
เยี่ยมมาก - และคุณไม่จำเป็นต้องวาดอะไรเลย
ไม่มีจุดเปลี่ยน
ความเว้าสอดคล้องกับข้อสรุปที่ 3 ยิ่งไปกว่านั้นแสดงว่าที่ระยะอนันต์ (ทั้งตรงนั้นและตรงนั้น) กราฟของฟังก์ชันจะอยู่ในตำแหน่ง สูงกว่าเส้นกำกับของมันเฉียง
6) เราจะปักหมุดงานพร้อมคะแนนเพิ่มเติมอย่างเป็นเรื่องเป็นราว นี่คือจุดที่เราจะต้องทำงานหนัก เนื่องจากเรารู้เพียงสองประเด็นจากการวิจัย
และภาพที่หลายคนคงจินตนาการไว้เมื่อนานมาแล้ว:
ในระหว่างการปฏิบัติงาน คุณต้องตรวจสอบอย่างรอบคอบว่าไม่มีความขัดแย้งระหว่างขั้นตอนการวิจัย แต่บางครั้งสถานการณ์ก็เร่งด่วนหรือแม้แต่ทางตัน การวิเคราะห์ "ไม่รวมกัน" - เท่านั้นเอง ในกรณีนี้ ฉันขอแนะนำเทคนิคฉุกเฉิน: เราจะค้นหาจุดที่เป็นของกราฟให้ได้มากที่สุด (เท่าที่เรามีความอดทน) และทำเครื่องหมายไว้บนระนาบพิกัด การวิเคราะห์เชิงกราฟิกของค่าที่พบโดยส่วนใหญ่จะบอกคุณว่าความจริงอยู่ที่ไหนและอยู่ที่ไหนเป็นเท็จ นอกจากนี้ กราฟสามารถสร้างไว้ล่วงหน้าได้โดยใช้บางโปรแกรม เช่น ใน Excel (แน่นอนว่าต้องใช้ทักษะ)
ตัวอย่างที่ 4
ใช้วิธีแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์เพื่อศึกษาฟังก์ชันและสร้างกราฟ
นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง ในนั้นการควบคุมตนเองได้รับการปรับปรุงโดยความเท่าเทียมกันของฟังก์ชัน - กราฟมีความสมมาตรเกี่ยวกับแกน และหากในการวิจัยของคุณมีบางสิ่งที่ขัดแย้งกับข้อเท็จจริงนี้ ให้มองหาข้อผิดพลาด
ฟังก์ชันเลขคู่หรือเลขคี่สามารถศึกษาได้ที่ เท่านั้น จากนั้นจึงใช้สมมาตรของกราฟ วิธีแก้ปัญหานี้เหมาะสมที่สุด แต่ในความคิดของฉันมันดูผิดปกติมาก โดยส่วนตัวแล้วฉันดูเส้นจำนวนทั้งหมด แต่ก็ยังพบจุดเพิ่มเติมทางด้านขวาเท่านั้น:
ตัวอย่างที่ 5
ศึกษาฟังก์ชันให้ครบถ้วนและสร้างกราฟ
สารละลาย: สิ่งต่าง ๆ ยากลำบาก:
1) ฟังก์ชันถูกกำหนดและต่อเนื่องบนเส้นจำนวนทั้งหมด: .
ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันนี้เป็นเลขคี่ กราฟมีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด
เห็นได้ชัดว่าฟังก์ชันนี้ไม่ใช่แบบคาบ
2) เส้นกำกับพฤติกรรมของฟังก์ชันที่อนันต์
เนื่องจากฟังก์ชันเปิดต่อเนื่อง จึงไม่มีเส้นกำกับแนวตั้ง
สำหรับฟังก์ชันที่มีเลขชี้กำลัง เป็นเรื่องปกติ แยกการศึกษาเรื่อง "บวก" และ "ลบอนันต์" อย่างไรก็ตาม ชีวิตของเราง่ายขึ้นด้วยสมมาตรของกราฟ - ไม่ว่าจะมีเส้นกำกับทั้งซ้ายและขวาหรือไม่มีเลย ดังนั้น ขีดจำกัดอนันต์ทั้งสองจึงสามารถเขียนได้ภายใต้รายการเดียว ในระหว่างการแก้ปัญหาเราใช้ กฎของโลปิตาล:
เส้นตรง (แกน) คือเส้นกำกับแนวนอนของกราฟที่
โปรดทราบว่าฉันหลีกเลี่ยงอัลกอริธึมเต็มรูปแบบในการค้นหาเส้นกำกับแบบเฉียงได้อย่างไร: ขีด จำกัด นั้นถูกกฎหมายอย่างสมบูรณ์และชี้แจงพฤติกรรมของฟังก์ชันที่ระยะอนันต์ และเส้นกำกับแนวนอนถูกค้นพบ "ราวกับว่าในเวลาเดียวกัน"
จากความต่อเนื่องและการมีอยู่ของเส้นกำกับแนวนอนจะเป็นไปตามฟังก์ชันนั้น ขอบเขตด้านบนและ ขอบเขตด้านล่าง.
3) จุดตัดของกราฟด้วยแกนพิกัดช่วงเวลาของเครื่องหมายคงที่
เรายังย่อวิธีแก้ปัญหาให้สั้นลงด้วย:
กราฟจะผ่านจุดกำเนิด
ไม่มีจุดตัดอื่นที่มีแกนพิกัด ยิ่งไปกว่านั้น ช่วงเวลาของความคงที่ของเครื่องหมายนั้นชัดเจน และไม่จำเป็นต้องวาดแกน: ซึ่งหมายความว่าเครื่องหมายของฟังก์ชันขึ้นอยู่กับ "x" เท่านั้น:
, ถ้า ;
, ถ้า .
4) การเพิ่มขึ้น การลดลง สุดขั้วของฟังก์ชัน
– จุดวิกฤติ
จุดมีความสมมาตรประมาณศูนย์อย่างที่ควรจะเป็น
ให้เราพิจารณาสัญญาณของอนุพันธ์:
ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นตามช่วงเวลาและลดลงตามช่วงเวลา
เมื่อถึงจุดที่ฟังก์ชันถึงจุดสูงสุด: .
เนื่องจากทรัพย์สิน (ความแปลกประหลาดของฟังก์ชัน) ไม่จำเป็นต้องคำนวณขั้นต่ำ:
เนื่องจากฟังก์ชันลดลงในช่วงเวลาหนึ่ง เห็นได้ชัดว่ากราฟอยู่ที่ "ลบอนันต์" ภายใต้เส้นกำกับของมัน ในช่วงเวลาดังกล่าว ฟังก์ชันก็จะลดลงเช่นกัน แต่สิ่งที่ตรงกันข้ามจะเป็นจริง - หลังจากผ่านจุดสูงสุด เส้นจะเข้าใกล้แกนจากด้านบน
จากที่กล่าวมาข้างต้น กราฟของฟังก์ชันจะนูนที่ “ลบอนันต์” และเว้าที่ “บวกอนันต์”
หลังจากการศึกษาครั้งนี้ได้วาดช่วงของค่าฟังก์ชัน:
หากคุณมีความเข้าใจผิดเกี่ยวกับประเด็นใดๆ ฉันขอแนะนำให้คุณวาดแกนพิกัดลงในสมุดบันทึกของคุณอีกครั้ง และวิเคราะห์ข้อสรุปแต่ละงานอีกครั้งโดยใช้ดินสอในมือ
5) ความนูน ความเว้า การหักงอของกราฟ
– จุดวิกฤติ
ความสมมาตรของจุดต่างๆ ยังคงอยู่ และเป็นไปได้มากว่าเราจะไม่เข้าใจผิด
มากำหนดสัญญาณกัน:
กราฟของฟังก์ชันนูนออกมา และเว้าอยู่ .
ความนูน/ความเว้าในช่วงเวลาที่รุนแรงได้รับการยืนยันแล้ว
ที่จุดวิกฤติทั้งหมด มีจุดหักเหในกราฟ มาหาพิกัดของจุดเปลี่ยนเว้าและลดจำนวนการคำนวณอีกครั้งโดยใช้ความคี่ของฟังก์ชัน:
วัตถุประสงค์ของบทเรียน: ทดสอบทักษะการศึกษาฟังก์ชันและวาดกราฟโดยใช้อนุพันธ์
ส่วนทางทฤษฎีของการทดสอบ
คำถาม การกำหนดจุดต่ำสุดและสูงสุด
ส่วนทางทฤษฎีของการทดสอบ
1) การกำหนดจุดต่ำสุด
ถ้าฟังก์ชันถูกกำหนดไว้ในย่านใกล้เคียงของจุด X 0 จุด X 0 จะถูกเรียก จุดต่ำสุด ฟังก์ชั่น f(x) หากมีย่านใกล้เคียงของจุด X 0 ดังนั้นสำหรับ xx 0 ทั้งหมดจากย่านนี้ ความไม่เท่าเทียมกัน f(x)>f(x 0) จึงเป็นที่น่าพอใจ
การกำหนดจุดสูงสุด
ถ้าฟังก์ชันถูกกำหนดไว้ในย่านใกล้เคียงของจุด X 0 จุด X 0 จะถูกเรียก จุดสูงสุด
ฟังก์ชั่น
f(x) หากมีย่านใกล้เคียงของจุด X 0 โดยที่ x? x 0 ทั้งหมดจากย่านนี้ถือว่าความไม่เท่าเทียมกัน f(x) เป็นที่น่าพอใจ 2) การกำหนดจุดวิกฤติ จุดวิกฤติคือจุดภายในของโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันที่ไม่มีอนุพันธ์หรือมีค่าเท่ากับศูนย์ 3) เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับ X 0 เป็นจุด สุดขั้ว
: จุดนี้จะต้องมีความสำคัญ 4) อัลกอริทึมสำหรับการค้นหาจุดวิกฤติ 1. ค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน 2. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน 3. หาโดเมนของคำจำกัดความของอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนด (เพื่อตรวจสอบว่ามีจุดที่อนุพันธ์ไม่มีอยู่หรือไม่ หากมีจุดดังกล่าว ให้ตรวจสอบว่าเป็นจุดภายในของโดเมนของคำจำกัดความของ การทำงาน. 4. ค้นหาจุดที่อนุพันธ์เท่ากับศูนย์โดยการแก้สมการ: f "(x)=0 ตรวจสอบว่าจุดที่พบเป็นจุดภายในของโดเมนฟังก์ชันหรือไม่ 5) จุดคงที่ - จุดที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันเท่ากับศูนย์ 6) ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ (ข้อกำหนดเบื้องต้น สุดขั้วของฟังก์ชัน) y=f(x) คือฟังก์ชันที่กำหนดไว้ในย่านใกล้เคียงจุด X 0 และมีอนุพันธ์ ณ จุดนี้ ทฤษฎีบท: หาก X 0 เป็นจุดปลายสุดของฟังก์ชันหาอนุพันธ์ f(x) แล้ว f "(x)=0 7) เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการดำรงอยู่ของสุดขั้ว ทำหน้าที่ ณ จุดหนึ่ง y=f(x) ถูกกำหนดไว้ที่ (a;c) X 0 เป็นจุดวิกฤต หากฟังก์ชัน f ต่อเนื่องที่จุด X 0 และ f "(x)>0 ในช่วงเวลา (a; x 0) และ f "(x)<0 на
интервале (х 0 ;в), то точка х 0 является จุดสูงสุดของฟังก์ชัน f. (สูตรแบบง่าย: หาก ณ จุด X 0 อนุพันธ์เปลี่ยนเครื่องหมายจาก “+” เป็น “_” ดังนั้น X 0 มีจุดสูงสุด.) หากฟังก์ชัน f ต่อเนื่องที่จุด X 0 และ f "(x)<0 на интервале (а;X 0) и f "(х)>0 ในช่วงเวลา (X 0 ;в) แล้วจุด x 0 คือ จุดต่ำสุดของฟังก์ชันฉ. (สูตรอย่างง่าย: หาก ณ จุด X 0 อนุพันธ์เปลี่ยนเครื่องหมายจาก “_” เป็น “+” ดังนั้น X 0 คือ จุดต่ำสุด.) 8) สัญญาณของการเพิ่มขึ้นที่เพียงพอ จากมากไปน้อย
ฟังก์ชั่น
. ถ้า f "(x)>0 สำหรับ x ทั้งหมดจากช่วงเวลา (a; b) ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นตามช่วงเวลา (a; b) ถ้าฉ "(x)<0 для всех х из промежутка (а; в), то
функция убывает на промежутке (а; в). (หากฟังก์ชันต่อเนื่องเมื่อสิ้นสุดช่วงเวลา ก็สามารถบวกเข้ากับช่วงฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น (ลดลง) ได้) 9) จุดสุดขีด, จุดสุดขีดของฟังก์ชัน X 0 - จุดสูงสุด X 0 - เรียกจุดต่ำสุด จุดสุดขั้ว. ฉ(x 0) - ฟังก์ชั่นสูงสุด f(x 0) - เรียกฟังก์ชันขั้นต่ำ สุดขั้วของฟังก์ชัน. 10) อัลกอริทึมสำหรับการค้นหาส่วนปลายของฟังก์ชัน 1. ค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน 2. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน 3. ค้นหาจุดวิกฤติ 4. ให้เราพิจารณาเครื่องหมายของอนุพันธ์ในแต่ละช่วงเวลาที่จุดวิกฤตแบ่งโดเมนของคำจำกัดความ 5. ให้เราค้นหาจุดสุดขั้วโดยคำนึงถึงลักษณะของการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายของอนุพันธ์ 6. ลองหาจุดสุดขีดของฟังก์ชันกัน 11) อัลกอริทึมสำหรับการค้นหาที่ใหญ่ที่สุดและ ค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์
1. ค้นหาค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์ [a; วี]. 2. ค้นหาค่าของฟังก์ชันที่จุดวิกฤติที่อยู่ในช่วงเวลา (a; b) 3. จากค่าที่พบ ให้เลือกค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด ส่วนหนึ่งของการทดสอบภาคปฏิบัติ “การศึกษาฟังก์ชันโดยใช้อนุพันธ์ ค่าฟังก์ชันที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดในเซ็กเมนต์” ก) จุดวิกฤตของฟังก์ชัน b) สุดขั้วของฟังก์ชัน c) ค่าฟังก์ชันที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดในช่วงเวลาที่กำหนด d) สร้างกราฟ1. y=(x-3) 2 (x-2)
11. y=2x 4 -x.
[-1;1]
2. y=1/3x 3 +x 2
[-4;1]
12. y=x 2 -2/x.
[-3;-0,5]
3. y=1/3x 3 -x 2 -3x
[-2;6]
13. y=1/(x 2 +1).
[-1;2]
4. y=-1/4x 4 +2x 2 +1.
[-3;3]
14. y=3x-x 3 .
[-1,5;1,5]
5. y=x 4 -8x 2 -9.
[-3;3]
15. y=2x 2 -x 4.
[-2;1,5]
6. y=(x-2)(x+1) 2.
[-1,5;1,5]
16. y=3x 2/3 -x 2.
[-8;8]
7. y=-2/3x 3 +2x-4/3.
[-1,5;1,5]
17. y=3x 1/3 -x.
[-8;8]
8. y=3x 5 -5x 4 +4.
[-1;1]
18. y=x 3 -1.5x 2 -6x+4.
[-2;3]
9. y=9x 2 -9x 3.
[-0,5;1]
19. y=(1-x)/(x 2 +3).
[-2;5]
10. y=1/3x 3 -4x.
[-3;3]
20. y= -x 4 +2x 2 +3.
[-0,5;2]