การแก้อสมการด้วยตัวอย่างยกกำลัง อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล
การแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ไม่ทางใดก็ทางหนึ่งเกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนนิพจน์ตัวเลข พีชคณิต หรือฟังก์ชัน ข้อความข้างต้นมีผลใช้กับการตัดสินใจโดยเฉพาะ ในเวอร์ชันของการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ ปัญหาประเภทนี้จะรวมถึงงาน C3 โดยเฉพาะ การเรียนรู้ที่จะแก้งาน C3 นั้นมีความสำคัญไม่เพียง แต่เพื่อจุดประสงค์ในการผ่านการสอบ Unified State เท่านั้น แต่ยังรวมถึงเหตุผลที่ทักษะนี้จะมีประโยชน์เมื่อเรียนหลักสูตรคณิตศาสตร์ในโรงเรียนมัธยมด้วย
เมื่อทำงาน C3 สำเร็จ คุณจะต้องแก้สมการและอสมการประเภทต่างๆ ในหมู่พวกเขามีเหตุผลไม่มีเหตุผลเลขชี้กำลังลอการิทึมตรีโกณมิติที่มีโมดูล (ค่าสัมบูรณ์) เช่นเดียวกับที่รวมกัน บทความนี้จะกล่าวถึงสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลและอสมการประเภทหลักๆ ตลอดจนวิธีการต่างๆ ในการแก้สมการเหล่านี้ อ่านเกี่ยวกับการแก้สมการและอสมการประเภทอื่น ๆ ในส่วน "" ในบทความเกี่ยวกับวิธีการแก้ปัญหา C3 จาก ตัวเลือกการสอบ Unified Stateคณิตศาสตร์.
ก่อนที่เราจะเริ่มวิเคราะห์เจาะจง สมการเลขชี้กำลังและอสมการในฐานะครูสอนคณิตศาสตร์ ฉันขอแนะนำให้คุณทบทวนเนื้อหาทางทฤษฎีที่เราจำเป็นต้องใช้
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ฟังก์ชันเลขชี้กำลังคืออะไร?
หน้าที่ของแบบฟอร์ม ย = เอ็กซ์, ที่ไหน ก> 0 และ ก≠ 1 ถูกเรียก ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง.
ขั้นพื้นฐาน คุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ย = เอ็กซ์:
กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลังคือ เลขชี้กำลัง:
กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง (เลขชี้กำลัง)
การแก้สมการเลขชี้กำลัง
บ่งชี้เรียกว่าสมการซึ่งตัวแปรที่ไม่รู้จักจะพบได้เฉพาะในเลขยกกำลังบางค่าเท่านั้น
สำหรับการแก้ปัญหา สมการเลขชี้กำลังคุณต้องรู้และสามารถใช้ทฤษฎีบทง่ายๆ ต่อไปนี้ได้:
ทฤษฎีบท 1สมการเลขชี้กำลัง ก ฉ(x) = ก ก(x) (ที่ไหน ก > 0, ก≠ 1) เทียบเท่ากับสมการ ฉ(x) = ก(x).
นอกจากนี้ยังเป็นประโยชน์ในการจดจำสูตรพื้นฐานและการดำเนินการด้วยองศา:
Title="แสดงผลโดย QuickLaTeX.com">!}
ตัวอย่างที่ 1แก้สมการ:
สารละลาย:เราใช้สูตรและการทดแทนข้างต้น:
สมการจะกลายเป็น:
การเลือกปฏิบัติของสมการกำลังสองที่ได้จะเป็นค่าบวก:
Title="แสดงผลโดย QuickLaTeX.com">!}
มันหมายความว่าอย่างนั้น สมการที่กำหนดมีสองราก เราพบพวกเขา:
ไปสู่การทดแทนแบบย้อนกลับเราจะได้:
สมการที่สองไม่มีราก เนื่องจาก ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นบวกอย่างเคร่งครัดตลอดขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด มาแก้อันที่สองกัน:
เมื่อคำนึงถึงสิ่งที่กล่าวไว้ในทฤษฎีบทที่ 1 เราจะไปยังสมการที่เทียบเท่ากัน: x= 3 นี่จะเป็นคำตอบของงาน
คำตอบ: x = 3.
ตัวอย่างที่ 2แก้สมการ:
สารละลาย:สมการไม่มีข้อจำกัดเกี่ยวกับช่วงของค่าที่อนุญาต เนื่องจากนิพจน์รากนั้นเหมาะสมกับค่าใดๆ x(ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ย = 9 4 -xบวกและไม่เท่ากับศูนย์)
เราแก้สมการด้วยการแปลงที่เท่ากันโดยใช้กฎการคูณและการหารยกกำลัง:
การเปลี่ยนแปลงครั้งล่าสุดดำเนินการตามทฤษฎีบทที่ 1
คำตอบ:x= 6.
ตัวอย่างที่ 3แก้สมการ:
สารละลาย:ทั้งสองด้านของสมการดั้งเดิมสามารถหารด้วย 0.2 x. การเปลี่ยนแปลงนี้จะเท่ากัน เนื่องจากนิพจน์นี้มีค่ามากกว่าศูนย์สำหรับค่าใดๆ x(ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นบวกอย่างเคร่งครัดในโดเมนของคำจำกัดความ) จากนั้นสมการจะอยู่ในรูปแบบ:
คำตอบ: x = 0.
ตัวอย่างที่ 4แก้สมการ:
สารละลาย:เราลดความซับซ้อนของสมการให้เป็นสมการเบื้องต้นโดยใช้การแปลงที่เท่ากันโดยใช้กฎการหารและการคูณกำลังที่ให้ไว้ที่ตอนต้นของบทความ:
หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 4 xดังเช่นในตัวอย่างก่อนหน้านี้ เป็นการแปลงที่เทียบเท่ากัน เนื่องจากนิพจน์นี้ไม่เท่ากับศูนย์สำหรับค่าใดๆ x.
คำตอบ: x = 0.
ตัวอย่างที่ 5แก้สมการ:
สารละลาย:การทำงาน ย = 3xยืนอยู่ทางด้านซ้ายของสมการกำลังเพิ่มขึ้น การทำงาน ย = —x-2/3 ทางด้านขวาของสมการกำลังลดลง ซึ่งหมายความว่าหากกราฟของฟังก์ชันเหล่านี้ตัดกัน จะมีจุดมากที่สุดเพียงจุดเดียว ในกรณีนี้ มันง่ายที่จะเดาว่ากราฟตัดกันที่จุดนั้น x= -1. จะไม่มีรากอื่น
คำตอบ: x = -1.
ตัวอย่างที่ 6แก้สมการ:
สารละลาย:เราทำให้สมการง่ายขึ้นด้วยการแปลงที่เท่ากัน โดยคำนึงถึงทุกที่ว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลังมีค่ามากกว่าศูนย์สำหรับค่าใดๆ อย่างเคร่งครัด xและใช้กฎในการคำนวณผลคูณและผลหารของกำลังที่ให้ไว้ตอนต้นบทความ:
คำตอบ: x = 2.
การแก้อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล
บ่งชี้เรียกว่าอสมการซึ่งมีตัวแปรที่ไม่รู้จักอยู่ในเลขยกกำลังบางค่าเท่านั้น
สำหรับการแก้ปัญหา อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลจำเป็นต้องมีความรู้เกี่ยวกับทฤษฎีบทต่อไปนี้:
ทฤษฎีบท 2ถ้า ก> 1 แล้วความไม่เท่าเทียมกัน ก ฉ(x) > ก ก(x) เทียบเท่ากับอสมการที่มีความหมายเดียวกัน: ฉ(x) > ก(x). ถ้า 0< ก < 1, то показательное неравенство ก ฉ(x) > ก ก(x) เทียบเท่ากับอสมการที่มีความหมายตรงกันข้าม: ฉ(x) < ก(x).
ตัวอย่างที่ 7แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:
สารละลาย:ขอนำเสนอความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิมในรูปแบบ:
ลองหารทั้งสองข้างของอสมการนี้ด้วย 3 2 กัน xในกรณีนี้ (เนื่องจากผลบวกของฟังก์ชัน ย= 3 2x) เครื่องหมายอสมการจะไม่เปลี่ยนแปลง:
ลองใช้การทดแทน:
จากนั้นความไม่เท่าเทียมกันจะเกิดขึ้น:
ดังนั้น คำตอบของอสมการคือช่วง:
เมื่อย้ายไปที่การทดแทนแบบย้อนกลับเราจะได้:
เนื่องจากค่าบวกของฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล ความไม่เท่าเทียมกันทางด้านซ้ายจึงเป็นไปตามค่าอัตโนมัติ เมื่อใช้คุณสมบัติที่รู้จักกันดีของลอการิทึม เรามุ่งไปสู่อสมการที่เทียบเท่ากัน:
เนื่องจากฐานของระดับเป็นตัวเลขที่มากกว่า 1 เทียบเท่า (ตามทฤษฎีบท 2) จึงเป็นการเปลี่ยนไปสู่อสมการต่อไปนี้:
ในที่สุดเราก็ได้ คำตอบ:
ตัวอย่างที่ 8แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:
สารละลาย:โดยใช้คุณสมบัติของการคูณและการหารยกกำลัง เราเขียนอสมการใหม่ในรูปแบบ:
ขอแนะนำตัวแปรใหม่:
เมื่อคำนึงถึงการทดแทนนี้ ความไม่เท่าเทียมกันจะอยู่ในรูปแบบ:
เมื่อคูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วนด้วย 7 เราจะได้อสมการที่เทียบเท่ากันดังต่อไปนี้:
ดังนั้นค่าของตัวแปรต่อไปนี้จึงเป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน ที:
จากนั้นเมื่อย้ายไปที่การทดแทนแบบย้อนกลับเราจะได้:
เนื่องจากฐานของระดับนี้มากกว่า 1 การเปลี่ยนไปสู่ความไม่เท่าเทียมกันจึงจะเท่ากัน (ตามทฤษฎีบท 2):
ในที่สุดเราก็ได้ คำตอบ:
ตัวอย่างที่ 9แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:
สารละลาย:
เราแบ่งอสมการทั้งสองด้านด้วยนิพจน์:
ค่านี้จะมากกว่าศูนย์เสมอ (เนื่องจากฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นบวก) ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องเปลี่ยนเครื่องหมายอสมการ เราได้รับ:
t อยู่ในช่วง:
เมื่อพิจารณาถึงการทดแทนแบบย้อนกลับ เราพบว่าอสมการเดิมแบ่งออกเป็นสองกรณี:
อสมการประการแรกไม่มีทางแก้ได้เนื่องจากค่าบวกของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง มาแก้อันที่สองกัน:
ตัวอย่างที่ 10แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:
สารละลาย:
สาขาพาราโบลา ย = 2x+2-x 2 ชี้ลง ดังนั้นจึงถูกจำกัดจากด้านบนด้วยค่าที่มาถึงที่จุดยอด:
สาขาพาราโบลา ย = x 2 -2x+2 ในตัวบ่งชี้ชี้ขึ้นด้านบน ซึ่งหมายความว่ามันถูกจำกัดจากด้านล่างด้วยค่าที่มันไปถึงจุดยอด:
ในขณะเดียวกัน ฟังก์ชันก็ปรากฏว่ามีขอบเขตจากด้านล่างด้วย ย = 3 x 2 -2x+2 ซึ่งอยู่ทางด้านขวาของสมการ มันถึงค่าที่น้อยที่สุดที่จุดเดียวกับพาราโบลาในเลขชี้กำลัง และค่านี้คือ 3 1 = 3 ดังนั้น อสมการดั้งเดิมจะเป็นจริงได้ก็ต่อเมื่อฟังก์ชันทางด้านซ้ายและฟังก์ชันทางด้านขวาใช้ค่านั้น เท่ากับ 3 (จุดตัดของช่วงค่าของฟังก์ชันเหล่านี้คือตัวเลขนี้เท่านั้น) เงื่อนไขนี้จบที่จุดเดียว x = 1.
คำตอบ: x= 1.
เพื่อเรียนรู้ที่จะตัดสินใจ สมการเลขชี้กำลังและอสมการจำเป็นต้องฝึกฝนการแก้ปัญหาเหล่านี้อย่างต่อเนื่อง สิ่งต่างๆ มากมายสามารถช่วยคุณในงานที่ยากลำบากนี้ได้ คู่มือระเบียบวิธีหนังสือปัญหาคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา รวมปัญหาการแข่งขัน ชั้นเรียนคณิตศาสตร์ในโรงเรียน ตลอดจน แต่ละเซสชันพร้อมติวเตอร์มืออาชีพ ฉันขอให้คุณประสบความสำเร็จในการเตรียมตัวและผลการสอบที่ยอดเยี่ยม
เซอร์เกย์ วาเลรีวิช
ป.ล. เรียนแขกทุกท่าน! กรุณาอย่าเขียนคำขอเพื่อแก้สมการของคุณในความคิดเห็น น่าเสียดายที่ฉันไม่มีเวลาสำหรับเรื่องนี้เลย ข้อความดังกล่าวจะถูกลบ โปรดอ่านบทความ บางทีคุณอาจพบคำตอบสำหรับคำถามที่ไม่อนุญาตให้คุณแก้ไขงานด้วยตัวเองในนั้น
มหาวิทยาลัยแห่งรัฐเบลโกรอด
แผนก พีชคณิต ทฤษฎีจำนวน และเรขาคณิต
ธีมงาน: สมการกำลังเลขชี้กำลังและอสมการ
งานบัณฑิตนักศึกษาคณะฟิสิกส์และคณิตศาสตร์
ที่ปรึกษาทางวิทยาศาสตร์:
______________________________
ผู้ตรวจสอบ: _______________________
________________________
เบลโกรอด 2549
การแนะนำ | 3 | ||
เรื่อง ฉัน. | การวิเคราะห์วรรณกรรมในหัวข้อวิจัย | ||
เรื่อง ครั้งที่สอง | ฟังก์ชันและคุณสมบัติที่ใช้ในการแก้สมการเลขชี้กำลังและอสมการ | ||
I.1. | ฟังก์ชันกำลังและคุณสมบัติของมัน | ||
I.2. | ฟังก์ชันเลขชี้กำลังและคุณสมบัติของมัน | ||
เรื่อง สาม. | การแก้สมการกำลังเลขชี้กำลัง อัลกอริธึม และตัวอย่าง | ||
เรื่อง IV. | การแก้อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล แผนการแก้ปัญหา และตัวอย่าง | ||
เรื่อง วี. | ประสบการณ์ในการเรียนร่วมกับเด็กนักเรียนในหัวข้อ “การแก้สมการเลขชี้กำลังและอสมการ” | ||
วี. 1. | สื่อการศึกษา | ||
วี. 2. | ปัญหาสำหรับการแก้ปัญหาอย่างอิสระ | ||
บทสรุป. | ข้อสรุปและข้อเสนอ | ||
บรรณานุกรม. | |||
การใช้งาน |
การแนะนำ.
“...ความสุขที่ได้เห็นและเข้าใจ...”
ก. ไอน์สไตน์.
ในงานนี้ ฉันพยายามถ่ายทอดประสบการณ์การทำงานเป็นครูสอนคณิตศาสตร์ เพื่อถ่ายทอดทัศนคติของฉันต่อการสอนอย่างน้อยในระดับหนึ่ง ซึ่งเป็นความพยายามของมนุษย์ที่ทั้งสองมีความเกี่ยวพันกันอย่างน่าประหลาดใจ วิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์และการสอน การสอน และจิตวิทยา และแม้แต่ปรัชญา
ฉันมีโอกาสทำงานกับเด็ก ๆ และบัณฑิต โดยมีเด็ก ๆ ยืนอยู่ที่เสา การพัฒนาทางปัญญา: ผู้ที่ขึ้นทะเบียนกับจิตแพทย์และมีความสนใจวิชาคณิตศาสตร์จริงๆ
ฉันมีโอกาสแก้ไขปัญหาด้านระเบียบวิธีมากมาย ฉันจะพยายามพูดถึงสิ่งที่ฉันจัดการเพื่อแก้ไข แต่ยิ่งล้มเหลวมากขึ้นไปอีก และแม้แต่ในสิ่งที่ดูเหมือนจะได้รับการแก้ไขแล้ว ก็มีคำถามใหม่เกิดขึ้น
แต่สิ่งที่สำคัญยิ่งกว่าประสบการณ์นั้นคือการสะท้อนและความสงสัยของครู: ทำไมประสบการณ์นี้ถึงเป็นเช่นนี้?
และตอนนี้ฤดูร้อนก็แตกต่างออกไป และการพัฒนาด้านการศึกษาก็น่าสนใจยิ่งขึ้น “ใต้ดาวพฤหัสบดี” ในปัจจุบันไม่ใช่การค้นหาระบบการสอน “ทุกคนและทุกสิ่ง” ที่เป็นตำนาน แต่เป็นการค้นหาตัวเด็กเอง แต่แล้ว - จำเป็น - ครู
ใน หลักสูตรของโรงเรียนพีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ เกรด 10 - 11 ก ผ่านการสอบ Unified Stateต่อหลักสูตร มัธยมและในการสอบเข้ามหาวิทยาลัยจะมีสมการและอสมการที่ไม่ทราบค่าในฐานและเลขชี้กำลัง - เหล่านี้คือสมการเลขชี้กำลังและอสมการ
พวกเขาได้รับความสนใจเพียงเล็กน้อยที่โรงเรียนแทบไม่มีการมอบหมายงานในหัวข้อนี้ในหนังสือเรียน อย่างไรก็ตามการฝึกฝนเทคนิคการแก้ปัญหาเหล่านั้นดูเหมือนว่ามีประโยชน์มากสำหรับฉัน: มันช่วยเพิ่มจิตใจและ ทักษะความคิดสร้างสรรค์นักเรียน ขอบเขตอันใหม่กำลังเปิดกว้างต่อหน้าเรา เมื่อแก้ไขปัญหา นักเรียนจะได้รับทักษะแรก งานวิจัยวัฒนธรรมทางคณิตศาสตร์ของพวกเขาได้รับการเสริมสมรรถนะ ความสามารถของพวกเขาในการ การคิดอย่างมีตรรกะ. เด็กนักเรียนพัฒนาคุณสมบัติบุคลิกภาพเช่นความมุ่งมั่นการตั้งเป้าหมายความเป็นอิสระซึ่งจะเป็นประโยชน์สำหรับพวกเขา ชีวิตภายหลัง. และยังมีการทำซ้ำ การขยาย และการซึมซับสื่อการศึกษาอย่างลึกซึ้งอีกด้วย
ฉันเริ่มทำงานในหัวข้อนี้สำหรับวิทยานิพนธ์ของฉันโดยการเขียนรายวิชา ในหลักสูตรที่ฉันศึกษาอย่างลึกซึ้งและวิเคราะห์วรรณกรรมทางคณิตศาสตร์ในหัวข้อนี้ ฉันได้ระบุวิธีที่เหมาะสมที่สุดในการแก้สมการเลขชี้กำลังและอสมการ
มันอยู่ในความจริงที่ว่านอกเหนือจากวิธีการที่ยอมรับกันโดยทั่วไปเมื่อแก้สมการเลขชี้กำลัง (ฐานนั้นมากกว่า 0) และเมื่อแก้อสมการเดียวกัน (ฐานนั้นมากกว่า 1 หรือมากกว่า 0 แต่น้อยกว่า 1) จะพิจารณากรณีต่างๆ ด้วยเมื่อฐานเป็นลบ เท่ากับ 0 และ 1
การวิเคราะห์ข้อสอบข้อเขียนของนักเรียนพบว่าคำถามขาดความครอบคลุม ค่าลบการโต้แย้งเกี่ยวกับฟังก์ชันเลขชี้กำลังในหนังสือเรียนของโรงเรียนทำให้เกิดปัญหาหลายประการและนำไปสู่ข้อผิดพลาด และพวกเขายังมีปัญหาในขั้นตอนของการจัดระบบผลลัพธ์ที่ได้รับซึ่งเนื่องจากการเปลี่ยนไปใช้สมการ - ผลที่ตามมาหรือความไม่เท่าเทียมกัน - ผลที่ตามมาอาจทำให้รากที่ไม่เกี่ยวข้องปรากฏขึ้น เพื่อกำจัดข้อผิดพลาด เราใช้การทดสอบโดยใช้สมการหรืออสมการดั้งเดิมและอัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการเอ็กซ์โปเนนเชียล หรือแผนการแก้อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล
เพื่อให้นักศึกษาสามารถสำเร็จการศึกษาและสำเร็จการศึกษาได้สำเร็จ การสอบเข้าฉันเชื่อว่าจำเป็นต้องให้ความสำคัญกับการแก้สมการเลขชี้กำลังและอสมการในชั้นเรียนให้มากขึ้น หรือในวิชาเลือกและชมรมด้วย
ดังนั้น เรื่อง , ของฉัน วิทยานิพนธ์มุ่งมั่น ดังต่อไปนี้: “สมการกำลังเลขชี้กำลังและอสมการ”
เป้าหมาย ของงานนี้คือ:
1. วิเคราะห์วรรณกรรมในหัวข้อนี้
2. ให้การวิเคราะห์ที่สมบูรณ์ของการแก้สมการเลขชี้กำลังและอสมการ
3. จัดเตรียมตัวอย่างประเภทต่างๆ ในหัวข้อนี้ในจำนวนที่เพียงพอ
4. ตรวจสอบในชั้นเรียน วิชาเลือก และชั้นเรียนชมรมว่าวิธีการที่นำเสนอในการแก้สมการเอ็กซ์โปเนนเชียลและอสมการจะรับรู้ได้อย่างไร ให้คำแนะนำที่เหมาะสมสำหรับการศึกษาหัวข้อนี้
เรื่อง การวิจัยของเราคือการพัฒนาระเบียบวิธีในการแก้สมการเลขชี้กำลังและอสมการ
วัตถุประสงค์และหัวข้อของการศึกษาจำเป็นต้องแก้ไขปัญหาต่อไปนี้:
1. ศึกษาวรรณกรรมในหัวข้อ “สมการกำลังเลขชี้กำลังและอสมการ”
2. ฝึกฝนเทคนิคการแก้สมการเลขชี้กำลังและอสมการ
3. เลือกสื่อการฝึกอบรมและพัฒนาระบบแบบฝึกหัดในระดับต่างๆ ในหัวข้อ “การแก้สมการเลขชี้กำลังและอสมการ”
ในระหว่างการวิจัยวิทยานิพนธ์ มีการวิเคราะห์บทความมากกว่า 20 เรื่องเกี่ยวกับการใช้วิธีการต่างๆ ในการแก้สมการเลขชี้กำลังและอสมการ จากที่นี่เราได้รับ
แผนวิทยานิพนธ์:
การแนะนำ.
บทที่ 1 การวิเคราะห์วรรณกรรมในหัวข้อวิจัย
บทที่สอง ฟังก์ชันและคุณสมบัติที่ใช้ในการแก้สมการเลขชี้กำลังและอสมการ
II.1. ฟังก์ชันกำลังและคุณสมบัติของมัน
II.2. ฟังก์ชันเลขชี้กำลังและคุณสมบัติของมัน
บทที่ 3 การแก้สมการกำลังเลขชี้กำลัง อัลกอริธึม และตัวอย่าง
บทที่สี่ การแก้อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล แผนการแก้ปัญหา และตัวอย่าง
บทที่ 5 ประสบการณ์การจัดชั้นเรียนกับเด็กนักเรียนในหัวข้อนี้
1.สื่อการฝึกอบรม
2.งานสำหรับการแก้ปัญหาที่เป็นอิสระ
บทสรุป. ข้อสรุปและข้อเสนอ
รายชื่อวรรณกรรมที่ใช้แล้ว
บทที่ฉันวิเคราะห์วรรณกรรม
และ x = b เป็นวิธีที่ง่ายที่สุด สมการเลขชี้กำลัง. ในตัวเขา กมากกว่าศูนย์และ กไม่เท่ากับหนึ่ง
การแก้สมการเลขชี้กำลัง
จากคุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง เรารู้ว่าช่วงของค่านั้นจำกัดอยู่ที่จำนวนจริงบวกเท่านั้น แล้วถ้า b = 0 สมการก็ไม่มีคำตอบ สถานการณ์เดียวกันนี้เกิดขึ้นในสมการโดยที่ b
ทีนี้ลองสมมุติว่า b>0 ถ้าอยู่ในฟังก์ชันเลขชี้กำลังฐาน กมากกว่าความสามัคคี จากนั้นฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นตลอดขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด ถ้าอยู่ในฟังก์ชันเลขชี้กำลังของฐาน กตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้ 0
จากข้อมูลนี้และการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทราก เราจะพบว่าสมการ a x = b มีรากเพียงตัวเดียว สำหรับ b>0 และค่าบวก กไม่เท่ากับหนึ่ง หากต้องการค้นหา คุณต้องแสดง b เป็น b = a c ลองพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้: แก้สมการ 5 (x 2 - 2*x - 1) = 25 ลองนึกภาพ 25 เป็น 5 2 เราจะได้: 5 (x 2 - 2*x - 1) = 5 2 . หรือสิ่งที่เทียบเท่า: x 2 - 2*x - 1 = 2 เราแก้สมการกำลังสองที่ได้โดยใช้วิธีใดวิธีหนึ่งที่ทราบ เราได้สองราก x = 3 และ x = -1 คำตอบ: 3;-1. มาแก้สมการ 4 x - 5*2 x + 4 = 0 แทนกัน: t=2 x แล้วได้สมการกำลังสองต่อไปนี้: เสื้อ 2 - 5*t + 4 = 0 ตอนนี้เราแก้สมการ 2 x = 1 และ 2 x = 4 คำตอบ: 0;2. คำตอบของอสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลที่ง่ายที่สุดยังขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของฟังก์ชันเพิ่มและลดอีกด้วย ถ้าในฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล ฐาน a มากกว่า 1 ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นตลอดขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด ถ้าอยู่ในฟังก์ชันเลขชี้กำลังของฐาน กตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้ 0จากนั้นฟังก์ชันนี้จะลดลงในจำนวนจริงทั้งชุด ลองพิจารณาตัวอย่าง: แก้อสมการ (0.5) (7 - 3*x)< 4. โปรดทราบว่า 4 = (0.5) 2 จากนั้นอสมการจะอยู่ในรูปแบบ (0.5)(7 - 3*x)< (0.5) (-2) . Основание показательной функции 0.5 меньше единицы, следовательно, она убывает. В этом случае надо поменять знак неравенства и не записывать только показатели. เราได้: 7 - 3*x>-2 ดังนั้น: x<3. คำตอบ: x<3. ถ้าฐานในความไม่เท่าเทียมกันมีมากกว่าหนึ่ง เมื่อจะกำจัดฐานออกแล้ว ก็ไม่จำเป็นต้องเปลี่ยนเครื่องหมายของความไม่เท่าเทียมกัน สมการเอ็กซ์โพเนนเชียลและอสมการคือสมการที่ไม่ทราบค่าอยู่ในเลขชี้กำลัง การแก้สมการเอ็กซ์โปเนนเชียลมักเกิดจากการแก้สมการ a x = a b โดยที่ a > 0, a ≠ 1, x ไม่เป็นที่รู้จัก สมการนี้มีรากเดียว x = b เนื่องจากทฤษฎีบทต่อไปนี้เป็นจริง: ทฤษฎีบท. ถ้า a > 0, a ≠ 1 และ a x 1 = a x 2 แล้ว x 1 = x 2 ให้เรายืนยันข้อความที่พิจารณาแล้ว ให้เราสมมติว่าความเท่าเทียมกัน x 1 = x 2 ไม่คงอยู่ นั่นคือ x1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1 จากนั้นฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียล y = a x จะเพิ่มขึ้น ดังนั้นจึงต้องทำให้ความไม่เท่าเทียมกันของ a x 1 เป็นจริง< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >เอ x 2 ในทั้งสองกรณี เราได้รับความขัดแย้งกับเงื่อนไข a x 1 = a x 2 ลองพิจารณาปัญหาหลายประการ แก้สมการ 4 ∙ 2 x = 1 สารละลาย. ลองเขียนสมการในรูปแบบ 2 2 ∙ 2 x = 2 0 – 2 x+2 = 2 0 ซึ่งเราจะได้ x + 2 = 0 เช่น x = -2. คำตอบ. x = -2. แก้สมการ 2 3x ∙ 3 x = 576 สารละลาย. เนื่องจาก 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2 สมการจึงสามารถเขียนเป็น 8 x ∙ 3 x = 24 2 หรือ 24 x = 24 2 จากตรงนี้เราจะได้ x = 2 คำตอบ. x = 2 แก้สมการ 3 x+1 – 2∙3 x - 2 = 25 สารละลาย. นำตัวประกอบร่วม 3 x - 2 จากวงเล็บทางด้านซ้าย เราจะได้ 3 x - 2 ∙ (3 3 – 2) = 25 – 3 x - 2 ∙ 25 = 25 โดยที่ 3 x - 2 = 1 นั่นคือ x – 2 = 0, x = 2 คำตอบ. x = 2 แก้สมการ 3 x = 7 x สารละลาย. ตั้งแต่ 7 x ≠ 0 สมการสามารถเขียนได้เป็น 3 x /7 x = 1 โดยที่ (3/7) x = 1, x = 0 คำตอบ. x = 0 แก้สมการ 9 x – 4 ∙ 3 x – 45 = 0 สารละลาย. โดยการแทนที่ 3 x = สมการนี้จะลดเหลือ สมการกำลังสองก 2 – 4ก – 45 = 0 ในการแก้สมการนี้ เราจะพบรากของมัน: a 1 = 9 และ 2 = -5 โดยที่ 3 x = 9, 3 x = -5 สมการ 3 x = 9 มีรากที่ 2 และสมการ 3 x = -5 ไม่มีราก เนื่องจากฟังก์ชันเลขชี้กำลังไม่สามารถรับค่าลบได้ คำตอบ. x = 2 การแก้อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลมักเกิดขึ้นที่การแก้อสมการ a x > a b หรือ a x< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции. ลองดูปัญหาบางอย่าง แก้อสมการ 3x< 81. สารละลาย. ลองเขียนอสมการในรูปแบบ 3 x กัน< 3 4 . Так как 3 >1 จากนั้นฟังก์ชัน y = 3 x จะเพิ่มขึ้น ดังนั้น สำหรับ x< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 . ดังนั้น ที่ x< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство คำตอบ. เอ็กซ์< 4.
แก้อสมการ 16 x +4 x – 2 > 0 สารละลาย. ให้เราแสดงว่า 4 x = t จากนั้นเราจะได้อสมการกำลังสอง t2 + t – 2 > 0 อสมการนี้มีไว้สำหรับ t< -2 и при t > 1. เนื่องจาก t = 4 x เราจะได้อสมการสองตัวคือ 4 x< -2, 4 х > 1. อสมการแรกไม่มีวิธีแก้ปัญหา เนื่องจาก 4 x > 0 สำหรับ x € R ทั้งหมด เราเขียนอสมการที่สองในรูปแบบ 4 x > 4 0 โดยที่ x > 0 คำตอบ. x > 0 แก้สมการ (1/3) x = x – 2/3 แบบกราฟิก สารละลาย. 1) มาสร้างกราฟของฟังก์ชัน y = (1/3) x และ y = x – 2/3 กัน 2) จากรูปของเรา เราสามารถสรุปได้ว่ากราฟของฟังก์ชันที่พิจารณาตัดกันที่จุดด้วย abscissa x data 1 การตรวจสอบพิสูจน์ว่า x = 1 คือรากของสมการนี้: (1/3) 1 = 1/3 และ 1 – 2/3 = 1/3 กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราได้พบหนึ่งในรากของสมการแล้ว 3) ลองหารากอื่นหรือพิสูจน์ว่าไม่มี ฟังก์ชัน (1/3) x กำลังลดลง และฟังก์ชัน y = x – 2/3 กำลังเพิ่มขึ้น ดังนั้นสำหรับ x > 1 ค่าของฟังก์ชันแรกจะน้อยกว่า 1/3 และค่าที่สอง – มากกว่า 1/3 ที่ x< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 และ x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1. คำตอบ. x = 1 โปรดทราบว่าจากการแก้ปัญหานี้โดยเฉพาะ จะตามมาว่าอสมการ (1/3) x > x – 2/3 เป็นที่น่าพอใจสำหรับ x< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1. เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา
แล้วมันก็ชัดเจนว่า กับจะเป็นคำตอบของสมการ a x = a c
เราแก้สมการนี้โดยใช้วิธีใดวิธีหนึ่งที่ทราบ เราได้ราก t1 = 1 t2 = 4การแก้อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล
3 ครั้ง< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.