การแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์ผกผัน การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์
(บางครั้งวิธีนี้ก็เรียกว่า วิธีเมทริกซ์หรือวิธีเมทริกซ์ผกผัน) จำเป็นต้องมีความคุ้นเคยเบื้องต้นกับแนวคิด เช่น รูปแบบเมทริกซ์ของสัญกรณ์ SLAE วิธีเมทริกซ์ผกผันได้รับการออกแบบมาเพื่อแก้ระบบเชิงเส้นเหล่านั้น สมการพีชคณิตซึ่งดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ระบบแตกต่างจากศูนย์ โดยธรรมชาติแล้ว สิ่งนี้จะถือว่าเมทริกซ์ของระบบเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส (แนวคิดเรื่องดีเทอร์มิแนนต์มีอยู่สำหรับเมทริกซ์จัตุรัสเท่านั้น) สาระสำคัญของวิธีเมทริกซ์ผกผันสามารถแสดงได้สามจุด:
- เขียนเมทริกซ์สามตัวลงไป: เมทริกซ์ระบบ $A$, เมทริกซ์ของสิ่งที่ไม่รู้จัก $X$, เมทริกซ์ของเงื่อนไขอิสระ $B$
- ค้นหาเมทริกซ์ผกผัน $A^(-1)$
- ใช้ความเท่าเทียมกัน $X=A^(-1)\cdot B$ หาคำตอบของ SLAE ที่กำหนด
SLAE ใดๆ สามารถเขียนในรูปแบบเมทริกซ์เป็น $A\cdot X=B$ โดยที่ $A$ คือเมทริกซ์ของระบบ $B$ คือเมทริกซ์ของเงื่อนไขอิสระ $X$ คือเมทริกซ์ของสิ่งที่ไม่ทราบ ปล่อยให้เมทริกซ์ $A^(-1)$ มีอยู่ ลองคูณทั้งสองข้างของความเท่าเทียมกัน $A\cdot X=B$ ด้วยเมทริกซ์ $A^(-1)$ ทางด้านซ้าย:
$$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$
เนื่องจาก $A^(-1)\cdot A=E$ ($E$ คือเมทริกซ์เอกลักษณ์) ความเท่าเทียมกันที่เขียนด้านบนจึงกลายเป็น:
$$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$
เนื่องจาก $E\cdot X=X$ ดังนั้น:
$$X=A^(-1)\cdot B.$$
ตัวอย่างหมายเลข 1
แก้ SLAE $ \left \( \begin(aligned) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(aligned) \right.$ โดยใช้เมทริกซ์ผกผัน
$$ A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right) $$
ลองหาเมทริกซ์ผกผันกับเมทริกซ์ระบบกัน เช่น ลองคำนวณ $A^(-1)$ กัน ในตัวอย่างหมายเลข 2
$$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\right) . $$
ทีนี้ลองแทนเมทริกซ์ทั้งสาม ($X$, $A^(-1)$, $B$) ลงในความเท่าเทียมกัน $X=A^(-1)\cdot B$ จากนั้นเราก็ทำการคูณเมทริกซ์
$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\right)\cdot \left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 309\\ -206 \end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) -3\\ 2\end(array)\right) $$
ดังนั้นเราจึงได้ความเท่าเทียมกัน $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) -3\\ 2\end( อาร์เรย์ )\right)$ จากความเท่าเทียมกันนี้ เราได้: $x_1=-3$, $x_2=2$
คำตอบ: $x_1=-3$, $x_2=2$.
ตัวอย่างหมายเลข 2
แก้ SLAE $ \left\(\begin(aligned) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end(aligned)\right .$ โดยใช้วิธีเมทริกซ์ผกผัน
ให้เราเขียนเมทริกซ์ของระบบ $A$, เมทริกซ์ของเงื่อนไขอิสระ $B$ และเมทริกซ์ของสิ่งที่ไม่รู้จัก $X$
$$ A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) -1\\0\\6\end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right) $$
ตอนนี้ถึงคราวที่ต้องค้นหาเมทริกซ์ผกผันกับเมทริกซ์ระบบ เช่น หา $A^(-1)$ ในตัวอย่างที่ 3 บนหน้าที่ค้นหาเมทริกซ์ผกผัน พบเมทริกซ์ผกผันแล้ว ลองใช้ผลลัพธ์ที่เสร็จสิ้นแล้วเขียน $A^(-1)$:
$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(อาร์เรย์)\right) $$
ทีนี้ลองแทนเมทริกซ์ทั้งสาม ($X$, $A^(-1)$, $B$) ลงในความเท่าเทียมกัน $X=A^(-1)\cdot B$ จากนั้นทำการคูณเมทริกซ์ทางด้านขวา ของความเท่าเทียมกันนี้
$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(อาร์เรย์) \right)\cdot \left(\begin(array) (c) -1\\0\ \6\end(array)\right)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(array)\right)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 0\\-104\\234\end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) 0\\-4\\9\end(array)\right) $$
ดังนั้นเราจึงได้ความเท่าเทียมกัน $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) 0\\-4 \ \9\end(อาร์เรย์)\right)$ จากความเท่าเทียมกันนี้ เราได้: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$
วัตถุประสงค์ของการบริการ. การใช้เครื่องคิดเลขออนไลน์นี้ ค่าที่ไม่รู้จัก (x 1, x 2, ..., x n) จะถูกคำนวณในระบบสมการ การตัดสินใจจะดำเนินการ วิธีเมทริกซ์ผกผัน. โดยที่:- คำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ A
- ผ่านการบวกพีชคณิตจะพบเมทริกซ์ผกผัน A -1
- เทมเพลตโซลูชันถูกสร้างขึ้นใน Excel
คำแนะนำ. หากต้องการหาคำตอบโดยใช้วิธีเมทริกซ์ผกผัน คุณต้องระบุขนาดของเมทริกซ์ ถัดไป ในกล่องโต้ตอบใหม่ กรอกเมทริกซ์ A และเวกเตอร์ของผลลัพธ์ B
ดูเพิ่มเติมที่ การแก้สมการเมทริกซ์อัลกอริธึมโซลูชัน
- คำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ A ถ้าดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์ แสดงว่าคำตอบสิ้นสุดลง ระบบมีโซลูชั่นจำนวนอนันต์
- เมื่อดีเทอร์มิแนนต์แตกต่างจากศูนย์ จะพบเมทริกซ์ผกผัน A -1 ผ่านการบวกพีชคณิต
- เวกเตอร์ของผลเฉลย X =(x 1, x 2, ..., x n) ได้จากการคูณเมทริกซ์ผกผันด้วยเวกเตอร์ผลลัพธ์ B
การบวกพีชคณิต
เอ 1,1 = (-1) 1+1 |
| ∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2 |
เอ 1,2 = (-1) 1+2 |
| ∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8 |
เอ 1.3 = (-1) 1+3 |
| ∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1 |
เอ 2,1 = (-1) 2+1 |
| ∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4 |
เอ 2,2 = (-1) 2+2 |
| ∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5 |
เอ 2,3 = (-1) 2+3 |
| ∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2 |
เอ 3.1 = (-1) 3+1 |
| ∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5 |
3 |
-2 |
-1 |
XT = (1,0,1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x 2 = 0 / -21 = 0
x 3 = -21 / -21 = 1
การตรวจสอบ:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1
พิจารณาระบบ สมการเชิงเส้นด้วยตัวแปรมากมาย:
โดยที่ aij คือสัมประสิทธิ์ของ xi ที่ไม่รู้จัก สมาชิกทวิฟรี;
ดัชนี: i = 1,2,3...m - กำหนดจำนวนของสมการ และ j = 1,2,3...n - จำนวนของไม่ทราบ
คำจำกัดความ: การแก้ระบบสมการ (5) คือชุดของตัวเลข n จำนวน (x10, x20,....xn0) เมื่อนำมาทดแทนในระบบ สมการทั้งหมดจะกลายเป็นอัตลักษณ์ตัวเลขที่ถูกต้อง
คำจำกัดความ: ระบบสมการเรียกว่าสม่ำเสมอหากมีวิธีแก้อย่างน้อยหนึ่งข้อ ระบบร่วมเรียกว่าแน่นอนถ้ามีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ (x10, x20,....xn0) และไม่จำกัดถ้ามีวิธีแก้ปัญหาดังกล่าวหลายข้อ
คำจำกัดความ: ระบบจะถูกเรียกว่าไม่สอดคล้องกันหากไม่มีวิธีแก้ไข
คำจำกัดความ: ตารางที่ประกอบด้วยค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลข (aij) และเงื่อนไขอิสระ (bi) ของระบบสมการ (5) เรียกว่าเมทริกซ์ระบบ (A) และเมทริกซ์ขยาย (A1) ซึ่งแสดงเป็น:
คำจำกัดความ: เมทริกซ์ของระบบ A ซึ่งมีจำนวนแถวและคอลัมน์ไม่เท่ากัน (n? m) เรียกว่า สี่เหลี่ยม หากจำนวนแถวและคอลัมน์เท่ากัน (n=m) เมทริกซ์จะเรียกว่าสี่เหลี่ยมจัตุรัส
ถ้าจำนวนสิ่งที่ไม่ทราบในระบบเท่ากับจำนวนสมการ (n=m) ระบบจะมีเมทริกซ์จตุรัสลำดับที่ n
ให้เราเลือกแถว k-arbitrary และคอลัมน์ k-arbitrary (km, kn) ในเมทริกซ์ A
คำจำกัดความ: ดีเทอร์มิแนนต์ลำดับ k ซึ่งประกอบด้วยองค์ประกอบของเมทริกซ์ A ซึ่งอยู่ที่จุดตัดของแถวและคอลัมน์ที่เลือก เรียกว่าลำดับรอง k ของเมทริกซ์ A
ลองพิจารณาค่ารองที่เป็นไปได้ทั้งหมดของเมทริกซ์ A ถ้าค่ารองทั้งหมดของ (k+1)-order มีค่าเท่ากับศูนย์ และค่ารองของ k-order อย่างน้อยหนึ่งค่าไม่เท่ากับศูนย์ แสดงว่าเมทริกซ์นั้น มีอันดับเท่ากับ k
คำจำกัดความ: อันดับของเมทริกซ์ A คือลำดับสูงสุดของค่ารองที่ไม่เป็นศูนย์ของเมทริกซ์นี้ อันดับของเมทริกซ์เขียนแทนด้วย r(A)
คำนิยาม: เมทริกซ์รองที่ไม่เป็นศูนย์ซึ่งมีลำดับเท่ากับอันดับของเมทริกซ์เรียกว่าพื้นฐาน
คำจำกัดความ: หากเมทริกซ์ A และ B สองตัวมีอันดับตรงกัน r(A) = r(B) เมทริกซ์เหล่านี้จะเรียกว่าเทียบเท่ากันและเขียนแทนด้วย A B
อันดับของเมทริกซ์จะไม่เปลี่ยนจากการแปลงระดับพื้นฐานหรือเทียบเท่า ซึ่งรวมถึง:
- 1. การแทนที่แถวด้วยคอลัมน์ และคอลัมน์ด้วยแถวที่สอดคล้องกัน
- 2. การจัดเรียงแถวหรือคอลัมน์ใหม่
- 3. ขีดฆ่าแถวหรือคอลัมน์ที่มีองค์ประกอบเป็นศูนย์ทั้งหมด
- 4. การคูณหรือหารแถวหรือคอลัมน์ด้วยตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์
- 5. การบวกหรือลบองค์ประกอบของแถวหรือคอลัมน์หนึ่งจากอีกแถวหนึ่งคูณด้วยตัวเลขใดๆ ก็ได้
เมื่อกำหนดอันดับของเมทริกซ์ จะใช้การแปลงที่เทียบเท่ากัน โดยลดเมทริกซ์ดั้งเดิมเป็นเมทริกซ์ขั้นตอน (สามเหลี่ยม)
ในเมทริกซ์ขั้นตอน ใต้เส้นทแยงมุมหลักจะมีองค์ประกอบเป็นศูนย์ และองค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์แรกของแต่ละแถว เริ่มจากแถวที่สองจะอยู่ทางด้านขวาขององค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์แรกของแถวก่อนหน้า
โปรดทราบว่าอันดับของเมทริกซ์ เท่ากับจำนวนแถวที่ไม่ใช่ศูนย์ของเมทริกซ์ขั้นตอน
ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์ A= อยู่ในรูปแบบขั้นบันไดและอันดับของเมทริกซ์จะเท่ากับจำนวนแถวที่ไม่เป็นศูนย์ของเมทริกซ์ r(A)=3 อันที่จริง ผู้เยาว์ลำดับที่ 4 ทั้งหมดที่มีองค์ประกอบเป็นศูนย์ของแถวที่ 4 จะเท่ากับศูนย์ และผู้เยาว์ในลำดับที่ 3 ไม่ใช่ศูนย์ ในการตรวจสอบ เราจะคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของตัวรองของ 3 แถวแรกและ 3 คอลัมน์แรก:
เมทริกซ์ใดๆ สามารถถูกรีดิวซ์เป็นเมทริกซ์ขั้นตอนได้โดยการทำให้องค์ประกอบเมทริกซ์เป็นศูนย์ภายใต้เส้นทแยงมุมหลักโดยใช้การดำเนินการเบื้องต้น
กลับไปที่การศึกษาและการแก้ระบบสมการเชิงเส้น (5)
ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์-คาเปลีมีบทบาทสำคัญในการศึกษาระบบสมการเชิงเส้น ให้เรากำหนดทฤษฎีบทนี้
ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์-คาเปลี: ระบบสมการเชิงเส้นจะสอดคล้องกันก็ต่อเมื่ออันดับของเมทริกซ์ระบบ A เท่ากับอันดับของเมทริกซ์ขยาย A1 เท่านั้น กล่าวคือ r(A)=r(A1) ในกรณีที่มีความสอดคล้อง ระบบจะกำหนดได้ว่าอันดับของเมทริกซ์ระบบเท่ากับจำนวนที่ไม่ทราบหรือไม่ เช่น r(A)=r(A1)=n และไม่ได้กำหนดไว้หากอยู่ในอันดับนี้ จำนวนน้อยลงสิ่งที่ไม่รู้จัก เช่น ร(A)= ร(A1) ตัวอย่าง. สำรวจระบบสมการเชิงเส้น: ให้เรากำหนดอันดับของเมทริกซ์ระบบ A และเมทริกซ์ขยาย A1 ในการทำเช่นนี้ เราจะเขียนเมทริกซ์ A1 แบบขยายและลดขนาดให้อยู่ในรูปแบบขั้นตอน เมื่อลดขนาดเมทริกซ์ เราจะดำเนินการดังต่อไปนี้: จากผลของการกระทำที่ดำเนินการ เราได้รับเมทริกซ์ขั้นตอนที่มีแถวที่ไม่เป็นศูนย์สามแถว ทั้งในเมทริกซ์ระบบ (จนถึงบรรทัด) และในเมทริกซ์ขยาย นี่แสดงว่าอันดับของเมทริกซ์ระบบเท่ากับอันดับของเมทริกซ์ขยายและเท่ากับ 3 แต่น้อยกว่าจำนวนไม่ทราบ (n=4) คำตอบ: เพราะ r(A)=r(A1)=3 เนื่องจากสะดวกในการกำหนดอันดับของเมทริกซ์โดยการลดให้เป็นรูปแบบทีละขั้นตอนเราจะพิจารณาวิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์เซียน วิธีเกาส์เซียน สาระสำคัญของวิธีเกาส์เซียนคือการกำจัดสิ่งที่ไม่รู้ตามลำดับ
โดยการลดเมทริกซ์ขยาย A1 ให้อยู่ในรูปแบบขั้นตอนซึ่งรวมถึงเมทริกซ์ของระบบ A จนถึงเส้น ในกรณีนี้ อันดับของเมทริกซ์ A, A1 จะถูกกำหนดพร้อมกันและศึกษาระบบโดยใช้ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์-คาเปลิ . ในขั้นตอนสุดท้ายจะมีการแก้ไขระบบสมการแบบขั้นตอนโดยทำการแทนที่จากล่างขึ้นบนของค่าที่พบของสิ่งที่ไม่รู้จัก ขอให้เราพิจารณาการประยุกต์ใช้วิธีเกาส์และทฤษฎีบทโครเนกเกอร์-คาเปลิโดยใช้ตัวอย่าง ตัวอย่าง. แก้ระบบโดยใช้วิธีเกาส์เซียน: ให้เรากำหนดอันดับของเมทริกซ์ระบบ A และเมทริกซ์ขยาย A1 ในการทำเช่นนี้ เราจะเขียนเมทริกซ์ A1 แบบขยายและลดขนาดให้อยู่ในรูปแบบขั้นตอน เมื่อทำการแคสต์ ให้ดำเนินการดังต่อไปนี้: เราได้รับเมทริกซ์ขั้นตอนซึ่งจำนวนแถวคือ 3 และเมทริกซ์ระบบ (จนถึงบรรทัด) ก็ไม่มีรายการเป็นศูนย์เช่นกัน ดังนั้น อันดับของเมทริกซ์ระบบและเมทริกซ์ขยายจะเท่ากับ 3 และเท่ากับจำนวนที่ไม่ทราบ เช่น r(A)=r(A1)=n=3.. ตามทฤษฎีบทโครเนกเกอร์-คาเปลิ ระบบมีความสอดคล้องและถูกกำหนดไว้ และมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะตัว จากผลของการแปลงเมทริกซ์ A1 ทำให้ค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่รู้จักเป็นศูนย์ เราได้แยกพวกมันออกจากสมการอย่างต่อเนื่องและได้รับระบบสมการแบบขั้นตอน (สามเหลี่ยม) ย้ายตามลำดับจากล่างขึ้นบน โดยแทนที่คำตอบ (x3=1) จากสมการที่สามไปเป็นสมการที่สอง และแทนคำตอบ (x2=1, x3=1) จากสมการที่สองและสามไปเป็นสมการแรก เราจะได้คำตอบของ ระบบสมการ: x1=1, x2=1, x3=1 ตรวจสอบ: -(!) คำตอบ: (x1=1, x2=1, x3=1) วิธีจอร์ดาโน-เกาส์ ระบบนี้สามารถแก้ไขได้ด้วยวิธี Jordano-Gauss ที่ได้รับการปรับปรุง ซึ่งประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าเมทริกซ์ของระบบ A ในเมทริกซ์ขยาย (จนถึงเส้น) จะลดลงเหลือเมทริกซ์เอกลักษณ์: E=ด้วยองค์ประกอบที่เป็นเส้นทแยงมุมของหน่วยและองค์ประกอบที่ไม่เป็นเส้นทแยงมุมเป็นศูนย์ และรับวิธีแก้ปัญหาให้กับระบบทันทีโดยไม่ต้องมีการทดแทนเพิ่มเติม ให้เราแก้ระบบที่พิจารณาข้างต้นโดยใช้วิธี Jordano-Gauss เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะแปลงเมทริกซ์ขั้นตอนผลลัพธ์ให้เป็นเมทริกซ์หน่วยโดยทำตามขั้นตอนต่อไปนี้: ระบบสมการเดิมถูกลดทอนลงเหลือเพียงระบบ: ซึ่งเป็นตัวกำหนดคำตอบ การดำเนินการพื้นฐานด้วยเมทริกซ์ ให้เมทริกซ์สองตัวได้รับ: A=
บี=. เมื่อรวม (ลบ) เมทริกซ์ องค์ประกอบที่มีชื่อเดียวกันจะถูกเพิ่ม (ลบ) 3. ผลคูณของจำนวน k และเมทริกซ์ A คือเมทริกซ์ที่กำหนดโดยความเท่าเทียมกัน: เมื่อเมทริกซ์ถูกคูณด้วยตัวเลข องค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์จะถูกคูณด้วยตัวเลขนั้น 4. ผลคูณของเมทริกซ์ AB คือเมทริกซ์ที่กำหนดโดยความเท่าเทียมกัน: เมื่อคูณเมทริกซ์ องค์ประกอบของแถวของเมทริกซ์แรกจะถูกคูณด้วยองค์ประกอบของคอลัมน์ของเมทริกซ์ที่สองและหาผลรวม และองค์ประกอบของเมทริกซ์ผลคูณในแถวที่ i และคอลัมน์ที่ j เท่ากับ ผลรวมของผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของแถวที่ i ของเมทริกซ์แรกและเมทริกซ์ที่สองของคอลัมน์ j-th เมื่อคูณเมทริกซ์ ในกรณีทั่วไป กฎการสับเปลี่ยนจะไม่ใช้ เช่น เอบีวีเอ 5. การย้ายเมทริกซ์ A คือการกระทำที่ส่งผลให้มีการแทนที่แถวด้วยคอลัมน์ และคอลัมน์ด้วยแถวที่สอดคล้องกัน เมทริกซ์ AT= เรียกว่าเมทริกซ์ทรานสโพสสำหรับเมทริกซ์ A= หากดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ A ไม่เท่ากับศูนย์ (D?0) เมทริกซ์ดังกล่าวจะเรียกว่าไม่เอกพจน์ สำหรับเมทริกซ์ A ที่ไม่ใช่เอกพจน์ใดๆ จะมีเมทริกซ์ผกผัน A-1 ซึ่งมีความเท่าเทียมกันอยู่: A-1 A= A A-1=E โดยที่ E= คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ 6. การผกผันของเมทริกซ์ A คือการกระทำที่ส่งผลให้เมทริกซ์ผกผัน A-1 เมื่อกลับเมทริกซ์ A จะมีการดำเนินการต่อไปนี้ ในส่วนแรก เราดูเนื้อหาทางทฤษฎีบางอย่าง วิธีการแทนที่ ตลอดจนวิธีการบวกสมการของระบบทีละเทอม ฉันแนะนำให้ทุกคนที่เข้าถึงไซต์ผ่านหน้านี้เพื่ออ่านส่วนแรก บางทีผู้เยี่ยมชมบางคนอาจพบว่าเนื้อหาง่ายเกินไป แต่ในกระบวนการแก้ระบบสมการเชิงเส้น ฉันได้แสดงความคิดเห็นและข้อสรุปที่สำคัญมากหลายประการเกี่ยวกับการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์โดยทั่วไป ตอนนี้เราจะวิเคราะห์กฎของ Cramer รวมถึงการแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์ผกผัน (วิธีเมทริกซ์) เนื้อหาทั้งหมดนำเสนออย่างเรียบง่าย มีรายละเอียด และชัดเจน ผู้อ่านเกือบทั้งหมดจะสามารถเรียนรู้วิธีการแก้ปัญหาระบบโดยใช้วิธีการข้างต้น อันดับแรก เราจะมาดูรายละเอียดกฎของแครเมอร์สำหรับระบบสมการเชิงเส้นสองสมการในค่าไม่ทราบค่าสองตัว เพื่ออะไร? – ท้ายที่สุดแล้ว ระบบที่ง่ายที่สุดสามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีของโรงเรียน วิธีการบวกแบบทีละเทอม! ความจริงก็คือแม้ว่าบางครั้งงานดังกล่าวจะเกิดขึ้น - เพื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองสมการโดยไม่ทราบค่าสองตัวโดยใช้สูตรของแครมเมอร์ ประการที่สอง ตัวอย่างที่ง่ายกว่าจะช่วยให้คุณเข้าใจวิธีใช้กฎของแครมเมอร์สำหรับกรณีที่ซับซ้อนมากขึ้น นั่นคือระบบสมการสามสมการที่ไม่ทราบค่าสามค่า นอกจากนี้ยังมีระบบสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัวซึ่งแนะนำให้แก้โดยใช้กฎของแครมเมอร์! พิจารณาระบบสมการ ในขั้นตอนแรกเราคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ซึ่งเรียกว่า ปัจจัยกำหนดหลักของระบบ. วิธีเกาส์ ถ้า ดังนั้นระบบจะมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ และเพื่อค้นหาราก เราจะต้องคำนวณปัจจัยอีกสองตัว: ในทางปฏิบัติ ตัวระบุข้างต้นสามารถแสดงด้วยตัวอักษรละตินได้เช่นกัน เราค้นหารากของสมการโดยใช้สูตร: ตัวอย่างที่ 7 แก้ระบบสมการเชิงเส้น สารละลาย: เราจะเห็นว่าสัมประสิทธิ์ของสมการค่อนข้างมากทางด้านขวามีเศษส่วนทศนิยมพร้อมลูกน้ำ ลูกน้ำเป็นแขกที่ค่อนข้างหายากในงานภาคปฏิบัติทางคณิตศาสตร์ ฉันเอาระบบนี้มาจากปัญหาทางเศรษฐมิติ จะแก้ไขระบบดังกล่าวได้อย่างไร? คุณสามารถลองแสดงตัวแปรหนึ่งในแง่ของอีกตัวแปรหนึ่งได้ แต่ในกรณีนี้ คุณอาจจะจบลงด้วยเศษส่วนแฟนซีที่แย่มากซึ่งใช้งานไม่สะดวกอย่างยิ่ง และการออกแบบโซลูชันจะดูแย่มาก คุณสามารถคูณสมการที่สองด้วย 6 และลบเทอมต่อเทอม แต่เศษส่วนเดียวกันก็จะเกิดขึ้นที่นี่เช่นกัน จะทำอย่างไร? ในกรณีเช่นนี้ สูตรของ Cramer ก็เข้ามาช่วยเหลือ ; ; คำตอบ: , รากทั้งสองมีหางที่ไม่มีที่สิ้นสุดและพบได้โดยประมาณ ซึ่งค่อนข้างยอมรับได้ (และแม้แต่เรื่องธรรมดาด้วยซ้ำ) สำหรับปัญหาทางเศรษฐมิติ ไม่จำเป็นต้องแสดงความคิดเห็นที่นี่เนื่องจากงานได้รับการแก้ไขโดยใช้สูตรสำเร็จรูปอย่างไรก็ตามมีข้อแม้อยู่ประการหนึ่ง เมื่อใช้วิธีนี้ ภาคบังคับส่วนของการออกแบบงานคือส่วนต่อไปนี้: “นั่นหมายความว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เหมือนใคร”. มิฉะนั้น ผู้ตรวจสอบอาจลงโทษคุณสำหรับการไม่เคารพทฤษฎีบทของแครเมอร์ การตรวจสอบซึ่งสามารถทำได้สะดวกบนเครื่องคิดเลขจะไม่ฟุ่มเฟือย: เราแทนที่ค่าโดยประมาณทางด้านซ้ายของแต่ละสมการของระบบ ด้วยเหตุนี้ หากมีข้อผิดพลาดเล็กน้อย คุณควรได้ตัวเลขที่อยู่ทางด้านขวา ตัวอย่างที่ 8 แสดงคำตอบเป็นเศษส่วนเกินสามัญ ทำการตรวจสอบ นี่เป็นตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง (ตัวอย่างการออกแบบขั้นสุดท้ายและคำตอบท้ายบทเรียน) มาดูกฎของแครเมอร์สำหรับระบบสมการ 3 สมการที่ไม่ทราบค่า 3 ตัวกัน: เราค้นหาปัจจัยหลักของระบบ: ถ้า แสดงว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหามากมายไม่สิ้นสุดหรือไม่สอดคล้องกัน (ไม่มีวิธีแก้ปัญหา) ในกรณีนี้ กฎของแครเมอร์จะไม่ช่วย คุณต้องใช้วิธีเกาส์ ถ้า จากนั้นระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ และเพื่อค้นหาราก เราจะต้องคำนวณปัจจัยอีกสามตัว: และสุดท้าย คำตอบก็คำนวณโดยใช้สูตร: อย่างที่คุณเห็นโดยพื้นฐานแล้วกรณี "สามต่อสาม" นั้นไม่แตกต่างจากกรณี "สองต่อสอง" คอลัมน์ของคำศัพท์อิสระตามลำดับ "เดิน" จากซ้ายไปขวาไปตามคอลัมน์ของปัจจัยหลัก ตัวอย่างที่ 9 แก้ระบบโดยใช้สูตรของแครเมอร์ สารละลาย: มาแก้ระบบโดยใช้สูตรของแครเมอร์กันดีกว่า คำตอบ: . ที่จริงแล้วไม่มีอะไรพิเศษที่จะแสดงความคิดเห็นที่นี่อีกครั้งเนื่องจากการแก้ปัญหาเป็นไปตามสูตรสำเร็จรูป แต่มีความคิดเห็นสองสามอย่าง มันเกิดขึ้นว่าจากการคำนวณจะได้เศษส่วนที่ลดไม่ได้ "ไม่ดี" เช่น: . 1) อาจมีข้อผิดพลาดในการคำนวณ ทันทีที่คุณเจอเศษส่วนที่ “แย่” คุณต้องตรวจสอบทันที เขียนเงื่อนไขใหม่ถูกต้องหรือไม่?. หากเงื่อนไขถูกเขียนใหม่โดยไม่มีข้อผิดพลาด คุณจะต้องคำนวณปัจจัยกำหนดใหม่โดยใช้การขยายในแถวอื่น (คอลัมน์) 2) หากไม่มีการระบุข้อผิดพลาดจากการตรวจสอบ เป็นไปได้มากว่ามีการพิมพ์ผิดในเงื่อนไขของงาน ในกรณีนี้ ทำงานอย่างใจเย็นและระมัดระวังจนจบงานและจากนั้น อย่าลืมตรวจสอบและเราเก็บคลีนชีตหลังการตัดสิน แน่นอนว่าการตรวจสอบคำตอบที่เป็นเศษส่วนนั้นเป็นงานที่ไม่น่าพอใจ แต่มันจะเป็นข้อโต้แย้งที่น่ากังวลสำหรับครูที่ชอบให้คะแนนลบสำหรับเรื่องไร้สาระเช่น วิธีจัดการกับเศษส่วนอธิบายไว้โดยละเอียดในคำตอบของตัวอย่างที่ 8 หากคุณมีคอมพิวเตอร์อยู่ในมือ ให้ใช้โปรแกรมอัตโนมัติเพื่อตรวจสอบ ซึ่งสามารถดาวน์โหลดได้ฟรีตั้งแต่ต้นบทเรียน อย่างไรก็ตาม การใช้โปรแกรมทันทีจะทำกำไรได้มากที่สุด (ก่อนที่จะเริ่มวิธีแก้ปัญหา) คุณจะเห็นขั้นตอนกลางที่คุณทำผิดพลาดทันที! เครื่องคิดเลขเดียวกันจะคำนวณวิธีแก้ปัญหาของระบบโดยอัตโนมัติโดยใช้วิธีเมทริกซ์ หมายเหตุที่สอง ในบางครั้งจะมีระบบในสมการที่ตัวแปรบางตัวหายไป เช่น ตัวอย่างที่ 10 แก้ระบบโดยใช้สูตรของแครเมอร์ นี่เป็นตัวอย่างสำหรับวิธีแก้ปัญหาอิสระ (ตัวอย่างการออกแบบขั้นสุดท้ายและคำตอบท้ายบทเรียน) ในกรณีของระบบสมการ 4 สมการที่มี 4 ไม่ทราบ สูตรของแครเมอร์ก็เขียนตามหลักการที่คล้ายคลึงกัน คุณสามารถดูตัวอย่างสดได้ในบทเรียนคุณสมบัติของปัจจัยกำหนด การลดลำดับของดีเทอร์มิแนนต์ - ดีเทอร์มิแนนต์ลำดับที่ 4 ห้าตัวค่อนข้างแก้ไขได้ แม้ว่างานจะชวนให้นึกถึงรองเท้าของอาจารย์ที่อยู่บนหน้าอกของนักเรียนที่โชคดีอยู่แล้ว วิธีเมทริกซ์ผกผันถือเป็นกรณีพิเศษ สมการเมทริกซ์(ดูตัวอย่างหมายเลข 3 ของบทเรียนที่ระบุ) หากต้องการศึกษาส่วนนี้ คุณจะต้องสามารถขยายดีเทอร์มิแนนต์ ค้นหาค่าผกผันของเมทริกซ์ และทำการคูณเมทริกซ์ได้ ลิงก์ที่เกี่ยวข้องจะมีให้ตามความคืบหน้าของคำอธิบาย ตัวอย่างที่ 11 แก้ระบบโดยใช้วิธีเมทริกซ์ สารละลาย: ลองเขียนระบบในรูปแบบเมทริกซ์: โปรดดูระบบสมการและเมทริกซ์ ฉันคิดว่าทุกคนเข้าใจหลักการที่เราเขียนองค์ประกอบลงในเมทริกซ์ ความคิดเห็นเดียว: หากตัวแปรบางตัวหายไปจากสมการ จะต้องวางศูนย์ในตำแหน่งที่สอดคล้องกันในเมทริกซ์ เราค้นหาเมทริกซ์ผกผันโดยใช้สูตร: ก่อนอื่น มาดูปัจจัยกำหนดกันก่อน: ที่นี่ดีเทอร์มิแนนต์จะขยายอยู่ในบรรทัดแรก ความสนใจ! ถ้า แสดงว่าเมทริกซ์ผกผันไม่มีอยู่ และเป็นไปไม่ได้ที่จะแก้ระบบโดยใช้วิธีเมทริกซ์ ในกรณีนี้ ระบบจะแก้ไขโดยวิธีกำจัดสิ่งที่ไม่ทราบ (วิธีเกาส์) ตอนนี้เราต้องคำนวณตัวรอง 9 ตัวแล้วเขียนลงในเมทริกซ์ตัวรอง อ้างอิง:การทราบความหมายของตัวห้อยคู่ในพีชคณิตเชิงเส้นมีประโยชน์ ตัวเลขตัวแรกคือจำนวนบรรทัดที่องค์ประกอบนั้นตั้งอยู่ หลักที่สองคือจำนวนคอลัมน์ที่มีองค์ประกอบอยู่:
และ
,
, ,
ซึ่งหมายความว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะตัว
ฉันขอแนะนำอัลกอริทึม "การรักษา" ต่อไปนี้ หากคุณไม่มีคอมพิวเตอร์อยู่ในมือ ให้ทำดังนี้:
ในสมการแรกไม่มีตัวแปร สมการที่สองไม่มีตัวแปร ในกรณีเช่นนี้ การเขียนปัจจัยหลักอย่างถูกต้องและระมัดระวังเป็นสิ่งสำคัญมาก:
– เลขศูนย์จะถูกวางไว้แทนที่ตัวแปรที่หายไป
อย่างไรก็ตาม มีเหตุผลที่จะเปิดปัจจัยที่มีศูนย์ตามแถว (คอลัมน์) ซึ่งมีศูนย์อยู่เนื่องจากมีการคำนวณน้อยลงอย่างเห็นได้ชัดการแก้ระบบโดยใช้เมทริกซ์ผกผัน
, ที่ไหน
โดยที่ คือเมทริกซ์ขนย้ายของการเสริมพีชคณิตขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์
นั่นคือ ตัวห้อยคู่บ่งชี้ว่าองค์ประกอบอยู่ในแถวแรก คอลัมน์ที่สาม และตัวอย่าง องค์ประกอบอยู่ใน 3 แถว 2 คอลัมน์