ผลคูณของเครื่องคิดเลขออนไลน์เวกเตอร์สามตัว ผลคูณผสมของเวกเตอร์
เครื่องคิดเลขออนไลน์นี้จะคำนวณผลคูณของเวกเตอร์ ที่ให้ไว้ วิธีแก้ปัญหาโดยละเอียด- ในการคำนวณผลคูณของเวกเตอร์แบบผสม ให้เลือกวิธีการแสดงเวกเตอร์ (ตามพิกัดหรือสองจุด) ป้อนข้อมูลลงในเซลล์แล้วคลิกที่ปุ่ม "คำนวณ"
×
คำเตือน
ล้างเซลล์ทั้งหมดใช่ไหม
ปิด ล้าง
คำแนะนำในการป้อนข้อมูลตัวเลขจะป้อนเป็นจำนวนเต็ม (เช่น 487, 5, -7623 เป็นต้น) ทศนิยม (เช่น 67., 102.54 เป็นต้น) หรือเศษส่วน เศษส่วนจะต้องกรอกในรูปแบบ a/b โดยที่ a และ b (b>0) เป็นจำนวนเต็ม หรือ ตัวเลขทศนิยม- ตัวอย่าง 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 เป็นต้น
ผลคูณผสมของเวกเตอร์ (ทฤษฎี)
งานผสม เวกเตอร์สามตัวคือตัวเลขที่ได้จากผลคูณสเกลาร์ของผลลัพธ์ของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัวแรกและเวกเตอร์ตัวที่สาม กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้าให้เวกเตอร์สามตัว ก, ขและ คจากนั้นเพื่อให้ได้ผลคูณผสมของเวกเตอร์เหล่านี้ ขั้นแรกให้เวกเตอร์สองตัวแรกและเวกเตอร์ผลลัพธ์ [ เกี่ยวกับ] คูณด้วยเวกเตอร์แบบสเกลาร์ ค.
ผลคูณผสมของเวกเตอร์สามตัว ก, ขและ คแสดงไว้ดังนี้: เอบีซีหรืออย่างนั้น ( ก,ข,ค- จากนั้นเราก็สามารถเขียนได้ว่า:
เอบีซี=([เกี่ยวกับ],ค) |
ก่อนที่จะกำหนดทฤษฎีบทที่เป็นตัวแทน ความหมายทางเรขาคณิตผลิตภัณฑ์แบบผสม ทำความคุ้นเคยกับแนวคิดของระบบสามทางขวา สามทางซ้าย ระบบพิกัดทางขวา ระบบพิกัดทางซ้าย (คำจำกัดความ 2, 2" และ 3 บนผลคูณเวกเตอร์หน้าของเวกเตอร์ออนไลน์)
เพื่อความชัดเจน ต่อไปนี้เราจะพิจารณาเฉพาะระบบพิกัดทางขวาเท่านั้น
ทฤษฎีบท 1 ผลคูณผสมของเวกเตอร์ ([เกี่ยวกับ],ค) เท่ากับปริมาตรของเส้นขนานที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์ที่ลดจุดกำเนิดร่วม ก ข คโดยมีเครื่องหมายบวก ถ้าเป็นสาม ก ข คขวา และมีเครื่องหมายลบถ้าสาม ก ข คซ้าย ถ้าเป็นเวกเตอร์ ก ข คเป็นระนาบเดียวกัน ดังนั้น ([ เกี่ยวกับ],ค) เท่ากับศูนย์
ข้อพิสูจน์ 1. ความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:
ดังนั้นเราก็พอจะพิสูจน์ได้ว่า
([เกี่ยวกับ],ค)=([ก่อนคริสต์ศักราช],ก) | (3) |
จากนิพจน์ (3) จะเห็นได้ว่าด้านซ้ายและ ด้านขวาเท่ากับปริมาตรของเส้นขนาน แต่สัญญาณของด้านขวาและด้านซ้ายเกิดขึ้นพร้อมกัน เนื่องจากเวกเตอร์สามเท่า เอบีซีและ ก่อนคริสต์ศักราชมีทิศทางเดียวกัน
ความเท่าเทียมกันที่พิสูจน์แล้ว (1) ช่วยให้เราสามารถเขียนผลคูณผสมของเวกเตอร์สามตัวได้ ก ข คแค่อยู่ในรูปแบบ เอบีซีโดยไม่ระบุว่าเวกเตอร์สองตัวใดถูกคูณด้วยเวกเตอร์ด้วยสองตัวแรกหรือสองตัวสุดท้าย
ข้อพิสูจน์ที่ 2 เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับ coplanarity ของเวกเตอร์สามตัวคือ ผลคูณของเวกเตอร์นั้นมีค่าเท่ากับศูนย์
การพิสูจน์เป็นไปตามทฤษฎีบทที่ 1 โดยแท้จริงแล้ว หากเวกเตอร์เป็นแบบระนาบเดียวกัน ผลคูณผสมของเวกเตอร์เหล่านี้จะเท่ากับศูนย์ ในทางกลับกัน หากผลคูณผสมมีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้น coplanarity ของเวกเตอร์เหล่านี้จึงตามมาจากทฤษฎีบทที่ 1 (เนื่องจากปริมาตรของเวกเตอร์ที่สร้างขนานกันลดลงเหลือจุดกำเนิดร่วมจะเท่ากับศูนย์)
ข้อพิสูจน์ 3 ผลคูณผสมของเวกเตอร์สามตัวซึ่งสองตัวตรงกันมีค่าเท่ากับศูนย์
จริงหรือ. ถ้าเวกเตอร์สองในสามตัวตรงกัน ก็จะเป็นโคพลานาร์ ดังนั้นผลคูณผสมของเวกเตอร์เหล่านี้จึงเท่ากับศูนย์
ผลคูณผสมของเวกเตอร์ในพิกัดคาร์ทีเซียน
ทฤษฎีบท 2 กำหนดให้เวกเตอร์สามตัว ก, ขและ คกำหนดโดยพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียน
การพิสูจน์. งานผสม เอบีซีเท่ากับผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ [ เกี่ยวกับ] และ ค- ผลคูณไขว้ของเวกเตอร์ [ เกี่ยวกับ] วี พิกัดคาร์ทีเซียนคำนวณโดยสูตร ():
นิพจน์สุดท้ายสามารถเขียนได้โดยใช้ปัจจัยกำหนดลำดับที่สอง:
จำเป็นและเพียงพอสำหรับดีเทอร์มิแนนต์ที่จะเท่ากับศูนย์ ซึ่งแถวนั้นเต็มไปด้วยพิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้ เช่น:
. | (7) |
เพื่อพิสูจน์ข้อพิสูจน์ การพิจารณาสูตร (4) และข้อพิสูจน์ 2 ก็เพียงพอแล้ว
ผลคูณของเวกเตอร์พร้อมตัวอย่าง
ตัวอย่างที่ 1 ค้นหาผลคูณของเวกเตอร์ เอบีซี, ที่ไหน
ผลคูณผสมของเวกเตอร์ ก ข คเท่ากับดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ ล- ลองคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์กัน ลขยายดีเทอร์มิแนนต์ตามบรรทัดที่ 1:
จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ ก.
ผลคูณผสม (หรือเวกเตอร์-สเกลาร์)เวกเตอร์สามตัว a, b, c (ถ่ายตามลำดับที่ระบุ) เรียกว่าผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ a และผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ b x c เช่น ตัวเลข a(b x c) หรือสิ่งที่เหมือนกัน (b x c)aการกำหนด: abc.
วัตถุประสงค์. เครื่องคิดเลขออนไลน์ได้รับการออกแบบมาเพื่อคำนวณผลคูณของเวกเตอร์ ผลลัพธ์ที่ได้จะถูกบันทึกเป็นไฟล์ Word นอกจากนี้ เท็มเพลตโซลูชันจะถูกสร้างขึ้นใน Excel
สัญญาณของระนาบร่วมของเวกเตอร์
เวกเตอร์สามตัว (หรือ จำนวนที่มากขึ้น) เรียกว่า coplanar ถ้าพวกมันถูกลดขนาดลงสู่จุดกำเนิดร่วมและอยู่ในระนาบเดียวกันถ้าอย่างน้อยหนึ่งในสามเวกเตอร์เป็นศูนย์ แล้วเวกเตอร์ทั้งสามนั้นก็ถูกพิจารณาว่าเป็นระนาบเดียวกัน
สัญญาณของการมีระนาบร่วมกัน- ถ้าระบบ a, b, c เป็นคนถนัดขวา ดังนั้น abc>0 ; ถ้าซ้ายก็ abc ความหมายทางเรขาคณิตของผลิตภัณฑ์ผสม- ผลคูณ abc ของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ระนาบเดียวกัน 3 ตัว a, b, c เท่ากับปริมาตรของเส้นขนานที่สร้างบนเวกเตอร์ a, b, c โดยนำเครื่องหมายบวกมา ถ้าระบบ a, b, c ถนัดขวา และมีเครื่องหมายลบหากระบบนี้ถนัดซ้าย
คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์ผสม
- เมื่อปัจจัยถูกจัดเรียงใหม่เป็นวงกลม ผลคูณผสมจะไม่เปลี่ยนแปลง เมื่อปัจจัยสองตัวถูกจัดเรียงใหม่ เครื่องหมายจะกลับกัน: abc=bca=cab=-(bac)=-(cba)=-(acb)
มันตามมาจากความหมายทางเรขาคณิต - (a+b)cd=acd+bcd (คุณสมบัติการกระจาย) ขยายไปยังเงื่อนไขจำนวนเท่าใดก็ได้
ตามมาจากคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์ผสม - (ma)bc=m(abc) (คุณสมบัติเชิงรวมกับตัวประกอบสเกลาร์)
ตามมาจากคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์ผสม คุณสมบัติเหล่านี้ทำให้สามารถใช้การแปลงกับผลิตภัณฑ์ผสมที่แตกต่างจากพีชคณิตทั่วไปได้เฉพาะในกรณีที่สามารถเปลี่ยนลำดับของปัจจัยได้เฉพาะโดยคำนึงถึงสัญลักษณ์ของผลิตภัณฑ์เท่านั้น - ผลคูณผสมที่มีตัวประกอบเท่ากันอย่างน้อยสองตัวจะเท่ากับศูนย์: aab=0
ตัวอย่างหมายเลข 1 ค้นหาผลิตภัณฑ์แบบผสม
ab(3a+2b-5c)=3aba+2abb-5abc=-5abc .
ตัวอย่างหมายเลข 2 (a+b)(b+c)(c+a)= (axb+axc+bxb+bxc)(c+a)= (axb+axc +bxc)(c+a)=abc+acc+aca+ aba +สำเนาลับ+บีซีเอ ทุกพจน์ยกเว้นสองพจน์สุดขั้วมีค่าเท่ากับศูนย์ bca=abc อีกด้วย ดังนั้น (a+b)(b+c)(c+a)=2abc
ตัวอย่างหมายเลข 3 คำนวณผลคูณผสมของเวกเตอร์สามตัว a=15i+20j+5k, b=2i-4j+14k, c=3i-6j+21kสารละลาย
- ในการคำนวณผลคูณของเวกเตอร์แบบผสม จำเป็นต้องค้นหาดีเทอร์มิแนนต์ของระบบที่ประกอบด้วยพิกัดเวกเตอร์ เรามาเขียนระบบในรูปแบบกัน ในบทนี้ เราจะดูการดำเนินการกับเวกเตอร์อีกสองรายการ:และ ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ ผลคูณของเวกเตอร์(ลิงค์ทันทีสำหรับผู้ที่ต้องการมัน) - ไม่เป็นไร บางครั้งมันก็เกิดขึ้นเพื่อความสุขที่สมบูรณ์นอกเหนือจากนั้น ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ จำเป็นต้องมีมากขึ้นเรื่อยๆ นี่คือการเสพติดเวกเตอร์ อาจดูเหมือนว่าเรากำลังเข้าสู่ป่าเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ - นี่เป็นสิ่งที่ผิด ในคณิตศาสตร์ชั้นสูงส่วนนี้ โดยทั่วไปแล้วจะมีไม้เพียงเล็กน้อย ยกเว้นบางทีอาจจะเพียงพอสำหรับพินอคคิโอ ในความเป็นจริงวัสดุนี้เป็นเรื่องธรรมดาและเรียบง่าย - แทบจะไม่ซับซ้อนไปกว่านี้อีกแล้ว ผลิตภัณฑ์ดอท
จะมีงานทั่วไปน้อยลงด้วยซ้ำ สิ่งสำคัญในเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ อย่างที่หลายคนเชื่อหรือเชื่ออยู่แล้ว ไม่ใช่การทำผิดพลาดในการคำนวณ ทำซ้ำเหมือนมนต์สะกดแล้วคุณจะมีความสุข =) หากเวกเตอร์ส่องแสงอยู่ที่ไหนสักแห่งที่อยู่ห่างไกล เช่น ฟ้าแลบบนขอบฟ้า ก็ไม่สำคัญ ให้เริ่มด้วยบทเรียน เพื่อฟื้นฟูหรือรับความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับเวกเตอร์ ผู้อ่านที่เตรียมพร้อมมากขึ้นสามารถทำความคุ้นเคยกับข้อมูลได้อย่างเฉพาะเจาะจง ฉันพยายามรวบรวมให้มากที่สุด คอลเลกชันที่สมบูรณ์ตัวอย่างที่มักพบใน งานภาคปฏิบัติ
อะไรจะทำให้คุณมีความสุขทันที? เมื่อตอนที่ฉันยังเด็ก ฉันสามารถเล่นปาหี่ลูกบอลสองสามลูกได้ มันได้ผลดี ตอนนี้คุณไม่จำเป็นต้องเล่นปาหี่เลยเพราะเราจะพิจารณา เวกเตอร์เชิงพื้นที่เท่านั้นและเวกเตอร์แฟลตที่มีพิกัดสองพิกัดจะถูกละไว้ ทำไม นี่คือที่มาของการกระทำเหล่านี้ - เวกเตอร์และผลคูณผสมของเวกเตอร์ถูกกำหนดและทำงานในพื้นที่สามมิติ ง่ายกว่านี้แล้ว!
การดำเนินการนี้เกี่ยวข้องกับผลคูณสเกลาร์ด้วย เวกเตอร์สองตัว- ปล่อยให้สิ่งเหล่านี้เป็นตัวอักษรที่ไม่เน่าเปื่อย
การกระทำนั้นเอง แสดงโดย ดังต่อไปนี้- มีตัวเลือกอื่นๆ แต่ฉันคุ้นเคยกับการแทนผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ด้วยวิธีนี้ในวงเล็บเหลี่ยมที่มีเครื่องหมายกากบาท
และทันที คำถาม: ถ้าเข้า. ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ เวกเตอร์สองตัวเกี่ยวข้องกัน และตรงนี้เวกเตอร์สองตัวก็คูณด้วย อะไรคือความแตกต่าง- ความแตกต่างที่ชัดเจนประการแรกคือในผลลัพธ์:
ผลลัพธ์ของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์คือ NUMBER:
ผลลัพธ์ของผลคูณไขว้ของเวกเตอร์คือ VECTOR: นั่นคือเราคูณเวกเตอร์แล้วได้เวกเตอร์อีกครั้ง สโมสรส่วนตัว- ที่จริงแล้วนี่คือที่มาของชื่อของการดำเนินการ ในด้านต่างๆ วรรณกรรมการศึกษาการกำหนดอาจแตกต่างกันไป ฉันจะใช้ตัวอักษร
คำจำกัดความของผลิตภัณฑ์ข้าม
อันดับแรกจะมีคำจำกัดความพร้อมรูปภาพแล้วแสดงความคิดเห็น
คำนิยาม: สินค้าเวกเตอร์ ไม่ใช่คอลลิเนียร์เวกเตอร์, นำเข้ามา ในลำดับนี้
เรียกว่าเวกเตอร์ ความยาวซึ่งเป็นตัวเลข เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานสร้างขึ้นจากเวกเตอร์เหล่านี้ เวกเตอร์ ตั้งฉากกับเวกเตอร์และได้รับการกำกับเพื่อให้พื้นฐานมีทิศทางที่ถูกต้อง:
เรามาแจกแจงคำจำกัดความกันดีกว่า มีสิ่งที่น่าสนใจมากมายที่นี่!
ดังนั้นจึงสามารถเน้นประเด็นสำคัญต่อไปนี้ได้:
1) เวกเตอร์ดั้งเดิม ระบุด้วยลูกศรสีแดง ตามคำจำกัดความ ไม่ใช่แนวตรง- จะเหมาะสมที่จะพิจารณากรณีของเวกเตอร์คอลลิเนียร์ในภายหลังเล็กน้อย
2) ถ่ายเวกเตอร์ ตามลำดับที่กำหนดไว้อย่างเคร่งครัด: – "a" คูณด้วย "เป็น"ไม่ใช่ "เป็น" กับ "a" ผลลัพธ์ของการคูณเวกเตอร์คือ VECTOR ซึ่งระบุด้วยสีน้ำเงิน หากคูณเวกเตอร์ในลำดับย้อนกลับ เราจะได้เวกเตอร์ที่มีความยาวเท่ากันและมีทิศทางตรงกันข้าม (สีราสเบอร์รี่) นั่นคือความเท่าเทียมกันเป็นจริง .
3) ตอนนี้เรามาทำความคุ้นเคยกับความหมายทางเรขาคณิตของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์กันดีกว่า นี่เป็นจุดสำคัญมาก! ความยาวของเวกเตอร์สีน้ำเงิน (และด้วยเหตุนี้จึงเป็นเวกเตอร์สีแดงเข้ม) มีค่าเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์ ในรูป สี่เหลี่ยมด้านขนานนี้เป็นสีเทาดำ
บันทึก : การวาดภาพเป็นแผนผังและโดยธรรมชาติแล้วความยาวที่ระบุของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ไม่เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน
ให้เรานึกถึงสูตรเรขาคณิตสูตรหนึ่ง: พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับผลคูณของด้านที่อยู่ติดกันและไซน์ของมุมระหว่างด้านเหล่านั้น- ดังนั้น จากสูตรข้างต้น สูตรคำนวณ LENGTH ของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์จึงใช้ได้:
ฉันขอย้ำว่าสูตรนี้เกี่ยวกับ LENGTH ของเวกเตอร์ และไม่เกี่ยวกับเวกเตอร์นั้นเอง ความหมายเชิงปฏิบัติคืออะไร? และความหมายก็คือในปัญหาของเรขาคณิตวิเคราะห์ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานมักพบผ่านแนวคิดของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:
มาอันที่สองกันดีกว่า สูตรสำคัญ- เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน (เส้นประสีแดง) แบ่งออกเป็นสองส่วน สามเหลี่ยมเท่ากัน- ดังนั้นจึงสามารถหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่สร้างบนเวกเตอร์ (การแรเงาสีแดง) ได้โดยใช้สูตร:
4) ข้อเท็จจริงที่สำคัญไม่แพ้กันก็คือ เวกเตอร์นั้นตั้งฉากกับเวกเตอร์ นั่นก็คือ - แน่นอนว่า เวกเตอร์ที่มีทิศทางตรงกันข้าม (ลูกศรราสเบอร์รี่) ก็มีตั้งฉากกับเวกเตอร์ดั้งเดิมเช่นกัน
5) เวกเตอร์ถูกกำหนดทิศทางเช่นนั้น พื้นฐาน มี ขวาปฐมนิเทศ. ในบทเรียนเกี่ยวกับ การเปลี่ยนไปสู่พื้นฐานใหม่ ฉันพูดรายละเอียดเพียงพอเกี่ยวกับ การวางแนวเครื่องบินและตอนนี้เราจะหาว่าการวางแนวของอวกาศคืออะไร ฉันจะอธิบายบนนิ้วของคุณ มือขวา - ประสานจิต นิ้วชี้ ด้วยเวกเตอร์และ นิ้วกลางด้วยเวกเตอร์ นิ้วนางและนิ้วก้อยกดมันลงบนฝ่ามือของคุณ ส่งผลให้ นิ้วหัวแม่มือ – ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์จะค้นหาขึ้น นี่เป็นพื้นฐานที่ถูกต้อง (นี่คืออันนี้ในรูป) ตอนนี้เปลี่ยนเวกเตอร์ ( นิ้วชี้และนิ้วกลาง) ในบางสถานที่ ผลก็คือ นิ้วหัวแม่มือจะหมุน และผลิตภัณฑ์เวกเตอร์จะมองลงมาแล้ว นี่เป็นพื้นฐานที่ถูกต้องเช่นกัน คุณอาจมีคำถาม: พื้นฐานใดที่ออกจากการปฐมนิเทศ? “กำหนด” ให้เป็นนิ้วเดียวกัน มือซ้ายเวกเตอร์ และรับพื้นฐานด้านซ้ายและการวางแนวด้านซ้ายของปริภูมิ (ในกรณีนี้นิ้วหัวแม่มือจะอยู่ในทิศทางของเวกเตอร์ด้านล่าง)- หากพูดเป็นรูปเป็นร่าง ฐานเหล่านี้จะ "บิด" หรือปรับทิศทางพื้นที่ไปในทิศทางที่ต่างกัน และแนวคิดนี้ไม่ควรถือเป็นสิ่งที่ลึกซึ้งหรือเป็นนามธรรม - ตัวอย่างเช่น การวางแนวของอวกาศถูกเปลี่ยนโดยกระจกธรรมดาที่สุด และหากคุณ "ดึงวัตถุที่สะท้อนออกจากกระจกมอง" ในกรณีทั่วไป จะไม่สามารถรวมเข้ากับ "ต้นฉบับ" ได้ ยังไงก็ตาม ชูสามนิ้วขึ้นไปที่กระจกแล้ววิเคราะห์การสะท้อน ;-)
...ตอนนี้คุณรู้ดีแค่ไหนแล้ว ไปทางขวาและซ้ายฐานเพราะคำพูดของอาจารย์บางคนเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงการวางแนวนั้นน่ากลัว =)
ผลคูณไขว้ของเวกเตอร์คอลลิเนียร์
มีการพูดคุยถึงคำจำกัดความโดยละเอียดแล้ว ยังคงต้องรอดูว่าจะเกิดอะไรขึ้นเมื่อเวกเตอร์อยู่ในแนวเดียวกัน หากเวกเตอร์เป็นแบบแนวเส้นตรง ก็ให้วางพวกมันบนเส้นตรงเส้นเดียวและสี่เหลี่ยมด้านขนานของเราก็จะ "บวก" ให้เป็นเส้นตรงเส้นเดียวด้วย ดังที่นักคณิตศาสตร์กล่าวว่า เสื่อมโทรมสี่เหลี่ยมด้านขนานมีค่าเท่ากับศูนย์ ตามสูตรเดียวกัน - ไซน์ของศูนย์หรือ 180 องศาเท่ากับศูนย์ ซึ่งหมายความว่าพื้นที่เป็นศูนย์
ดังนั้น ถ้า แล้ว - พูดอย่างเคร่งครัด ผลคูณเวกเตอร์นั้นเท่ากับเวกเตอร์ศูนย์ แต่ในทางปฏิบัติมักถูกละเลยและเขียนไว้ว่ามันเท่ากับศูนย์
กรณีพิเศษคือผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ที่มีตัวมันเอง:
เมื่อใช้ผลคูณไขว้ คุณสามารถตรวจสอบความเป็นเส้นตรงของเวกเตอร์สามมิติได้ และ งานนี้เราจะวิเคราะห์ด้วย
เพื่อแก้ปัญหา ตัวอย่างการปฏิบัติอาจจำเป็น ตารางตรีโกณมิติ เพื่อหาค่าของไซน์จากมัน
มาจุดไฟกันเถอะ:
ตัวอย่างที่ 1
ก) จงหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ ถ้า
b) ค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์ ถ้า
ตัวอย่างหมายเลข 3 คำนวณผลคูณผสมของเวกเตอร์สามตัว a=15i+20j+5k, b=2i-4j+14k, c=3i-6j+21k: ไม่ นี่ไม่ใช่การพิมพ์ผิด ฉันจงใจทำให้ข้อมูลเริ่มต้นในส่วนคำสั่งเหมือนกัน เพราะการออกแบบโซลูชั่นจะแตกต่างออกไป!
ก) ตามเงื่อนไขคุณต้องค้นหา ความยาวเวกเตอร์ (ผลคูณข้าม) ตามสูตรที่เกี่ยวข้อง:
คำตอบ:
เนื่องจากคำถามเกี่ยวกับความยาว เราจึงระบุมิติในหน่วยคำตอบ
b) ตามเงื่อนไขคุณต้องค้นหา สี่เหลี่ยมสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างจากเวกเตอร์ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้เป็นตัวเลขเท่ากับความยาวของผลคูณเวกเตอร์:
คำตอบ:
โปรดทราบว่าในคำตอบเกี่ยวกับ ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ไม่มีคำถามเลย เราถูกถามเกี่ยวกับ พื้นที่ของรูปดังนั้น มิติข้อมูลจึงเป็นหน่วยสี่เหลี่ยม
เรามักจะมองหาสิ่งที่เราต้องค้นหาตามเงื่อนไข และจากสิ่งนี้ เราจึงกำหนดสูตรขึ้นมา ชัดเจนคำตอบ. อาจดูเหมือนเป็นเรื่องจริง แต่มีครูที่จริงใจอยู่มากมายในหมู่พวกเขา และงานที่ได้รับมอบหมายก็มีโอกาสดีที่จะถูกส่งกลับเพื่อแก้ไข แม้ว่านี่จะไม่ใช่การพูดเล่นที่ลึกซึ้งนัก แต่หากคำตอบไม่ถูกต้อง เราก็จะรู้สึกว่าบุคคลนั้นไม่เข้าใจสิ่งง่ายๆ และ/หรือไม่เข้าใจแก่นแท้ของงาน ประเด็นนี้จะต้องถูกควบคุมเสมอเมื่อแก้ไขปัญหาใดๆ ในคณิตศาสตร์ขั้นสูงและในวิชาอื่นๆ ด้วย
ตัวอักษรตัวใหญ่ “en” หายไปไหน? โดยหลักการแล้ว มันอาจจะแนบมากับโซลูชันเพิ่มเติมได้ แต่เพื่อที่จะย่อรายการให้สั้นลง ฉันไม่ได้ทำเช่นนี้ ฉันหวังว่าทุกคนจะเข้าใจสิ่งนั้นและเป็นการกำหนดสิ่งเดียวกัน
ตัวอย่างยอดนิยมสำหรับโซลูชัน DIY:
ตัวอย่างที่ 2
ค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่สร้างจากเวกเตอร์ถ้า
สูตรการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมผ่านผลคูณเวกเตอร์มีระบุไว้ในความคิดเห็นต่อคำจำกัดความ คำตอบและคำตอบอยู่ท้ายบทเรียน
ในทางปฏิบัติ งานนี้เป็นเรื่องธรรมดามาก โดยทั่วไปแล้ว รูปสามเหลี่ยมสามารถทรมานคุณได้
เพื่อแก้ไขปัญหาอื่น ๆ เราจะต้อง:
คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์
เราได้พิจารณาคุณสมบัติบางอย่างของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์แล้ว แต่ฉันจะรวมคุณสมบัติเหล่านี้ไว้ในรายการนี้
สำหรับเวกเตอร์ที่กำหนดเองและตัวเลขที่กำหนดเอง คุณสมบัติดังต่อไปนี้:
1) ในแหล่งข้อมูลอื่นๆ รายการนี้มักจะไม่ได้เน้นในคุณสมบัติ แต่มีความสำคัญมากในแง่การปฏิบัติ ดังนั้นปล่อยให้มันเป็นไป
2) – ทรัพย์สินมีการกล่าวถึงข้างต้นเช่นกัน บางครั้งเรียกว่า ต่อต้านการเปลี่ยนแปลง- กล่าวอีกนัยหนึ่ง ลำดับของเวกเตอร์มีความสำคัญ
3) – เชื่อมโยงหรือ เชื่อมโยงกฎหมายผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ ค่าคงที่สามารถเคลื่อนย้ายออกไปนอกผลคูณเวกเตอร์ได้อย่างง่ายดาย จริงๆ แล้วพวกเขาควรทำอะไรที่นั่น?
4) – การจำหน่ายหรือ การกระจายกฎหมายผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ ไม่มีปัญหาในการเปิดวงเล็บเช่นกัน
เพื่อสาธิต ลองดูตัวอย่างสั้นๆ:
ตัวอย่างที่ 3
ค้นหาว่า
สารละลาย:เงื่อนไขนี้จำเป็นต้องค้นหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์อีกครั้ง มาวาดภาพจิ๋วของเรากันเถอะ:
(1) ตามกฎการเชื่อมโยง เราใช้ค่าคงที่อยู่นอกขอบเขตของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์
(2) เราย้ายค่าคงที่ออกไปนอกโมดูล และโมดูลจะ "กิน" เครื่องหมายลบ ความยาวต้องไม่เป็นลบ
(3) ส่วนที่เหลือชัดเจน
คำตอบ:
ถึงเวลาเพิ่มฟืนลงในกองไฟแล้ว:
ตัวอย่างที่ 4
คำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่สร้างจากเวกเตอร์ถ้า
ตัวอย่างหมายเลข 3 คำนวณผลคูณผสมของเวกเตอร์สามตัว a=15i+20j+5k, b=2i-4j+14k, c=3i-6j+21k: หาพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยใช้สูตร - สิ่งที่จับได้ก็คือเวกเตอร์ "tse" และ "de" นั้นถูกนำเสนอเป็นผลรวมของเวกเตอร์ อัลกอริทึมที่นี่เป็นมาตรฐานและค่อนข้างชวนให้นึกถึงตัวอย่างหมายเลข 3 และ 4 ของบทเรียน ผลคูณดอทของเวกเตอร์ - เพื่อความชัดเจน เราจะแบ่งวิธีแก้ปัญหาออกเป็นสามขั้นตอน:
1) ในขั้นตอนแรก เราแสดงผลคูณเวกเตอร์ผ่านผลคูณเวกเตอร์ อันที่จริง ลองเขียนเวกเตอร์ในรูปของเวกเตอร์กัน- ยังไม่มีคำว่ายาว!
(1) แทนนิพจน์ของเวกเตอร์
(2) ใช้กฎการกระจาย เราจะเปิดวงเล็บตามกฎการคูณพหุนาม
(3) การใช้กฎเชื่อมโยง เราย้ายค่าคงที่ทั้งหมดไปไกลกว่าผลคูณเวกเตอร์ ด้วยประสบการณ์เพียงเล็กน้อยก็สามารถดำเนินการขั้นตอนที่ 2 และ 3 พร้อมกันได้
(4) เทอมแรกและเทอมสุดท้ายมีค่าเท่ากับศูนย์ (เวกเตอร์ศูนย์) เนื่องจากคุณสมบัติที่ดี ในระยะที่สอง เราใช้คุณสมบัติของการต่อต้านการเปลี่ยนแปลงของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:
(5) เรานำเสนอข้อกำหนดที่คล้ายกัน
เป็นผลให้เวกเตอร์แสดงผ่านเวกเตอร์ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นจะต้องทำให้สำเร็จ:
2) ในขั้นตอนที่สอง เราจะหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์ที่เราต้องการ การดำเนินการนี้คล้ายกับตัวอย่างที่ 3:
3) ค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่ต้องการ:
ขั้นที่ 2-3 ของการแก้ปัญหาสามารถเขียนเป็นบรรทัดเดียวได้
คำตอบ:
ปัญหาที่พิจารณาค่อนข้างบ่อยใน การทดสอบนี่คือตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ:
ตัวอย่างที่ 5
ค้นหาว่า
คำตอบสั้น ๆ และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน มาดูกันว่าคุณใส่ใจแค่ไหนเมื่อศึกษาตัวอย่างก่อนหน้านี้ ;-)
ผลคูณไขว้ของเวกเตอร์ในพิกัด
ระบุไว้ตามหลักออร์โธนอร์มอล แสดงโดยสูตร:สูตรนั้นง่ายมาก: ในบรรทัดบนสุดของดีเทอร์มิแนนต์เราเขียนเวกเตอร์พิกัดในบรรทัดที่สองและสามเรา "ใส่" พิกัดของเวกเตอร์แล้วใส่ วี ตามลำดับที่เข้มงวด
– ขั้นแรกพิกัดของเวกเตอร์ “ve” ตามด้วยพิกัดของเวกเตอร์ “double-ve” หากจำเป็นต้องคูณเวกเตอร์ในลำดับอื่น ควรสลับแถว:
ตัวอย่างที่ 10
ตรวจสอบว่าเวกเตอร์อวกาศต่อไปนี้เป็นเส้นตรงหรือไม่:
ก)
ข)
ตัวอย่างหมายเลข 3 คำนวณผลคูณผสมของเวกเตอร์สามตัว a=15i+20j+5k, b=2i-4j+14k, c=3i-6j+21k: การตรวจสอบจะขึ้นอยู่กับข้อความใดข้อความหนึ่งในบทเรียนนี้: ถ้าเวกเตอร์อยู่ในแนวเดียวกัน ผลคูณของเวกเตอร์จะเท่ากับศูนย์ (เวกเตอร์ศูนย์): .
ก) ค้นหาผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:
ดังนั้นเวกเตอร์จึงไม่อยู่ในแนวเดียวกัน
b) ค้นหาผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:
คำตอบ: ก) ไม่ใช่เส้นตรง b)
นี่อาจเป็นข้อมูลพื้นฐานทั้งหมดเกี่ยวกับผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์
ส่วนนี้จะไม่ใหญ่มาก เนื่องจากมีปัญหาเล็กน้อยในการใช้ผลคูณของเวกเตอร์ผสม ในความเป็นจริงทุกอย่างจะขึ้นอยู่กับคำจำกัดความ ความหมายทางเรขาคณิต และสูตรการทำงานสองสามสูตร
ผลคูณผสมของเวกเตอร์คือ ผลิตภัณฑ์ของสามเวกเตอร์:
ดังนั้นพวกเขาจึงเข้าแถวเหมือนรถไฟและแทบรอไม่ไหวที่จะถูกระบุตัวตน
ประการแรก อีกครั้ง คำจำกัดความและรูปภาพ:
คำนิยาม: งานผสม ไม่ใช่ระนาบเวกเตอร์, ดำเนินการตามลำดับนี้, เรียกว่า ปริมาตรที่ขนานกันสร้างขึ้นบนเวกเตอร์เหล่านี้ โดยมีเครื่องหมาย “+” หากฐานถูกต้อง และเครื่องหมาย “–” หากเหลือฐาน
มาวาดรูปกันเถอะ เส้นที่เรามองไม่เห็นนั้นถูกวาดด้วยเส้นประ:
มาดำดิ่งสู่คำจำกัดความ:
2) ถ่ายเวกเตอร์ ในลำดับที่แน่นอนนั่นคือการจัดเรียงเวกเตอร์ในผลิตภัณฑ์ใหม่ตามที่คุณอาจเดาได้จะไม่เกิดขึ้นโดยไม่มีผลกระทบ
3) ก่อนที่จะแสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับความหมายทางเรขาคณิต ฉันจะทราบข้อเท็จจริงที่ชัดเจน: ผลคูณผสมของเวกเตอร์คือ NUMBER- ในวรรณกรรมด้านการศึกษาการออกแบบอาจแตกต่างกันเล็กน้อย ฉันคุ้นเคยกับการแสดงถึงผลิตภัณฑ์แบบผสม และผลลัพธ์ของการคำนวณด้วยตัวอักษร "pe"
ตามคำนิยาม ผลคูณที่ผสมคือปริมาตรของเส้นขนานสร้างขึ้นจากเวกเตอร์ (รูปวาดด้วยเวกเตอร์สีแดงและเส้นสีดำ) นั่นคือจำนวนเท่ากับปริมาตรของเส้นขนานที่กำหนด
บันทึก : ภาพวาดเป็นแผนผัง
4) ไม่ต้องกังวลเกี่ยวกับแนวคิดเรื่องการวางแนวของพื้นฐานและพื้นที่อีกต่อไป ความหมายของส่วนสุดท้ายคือสามารถเพิ่มเครื่องหมายลบลงในโวลุ่มได้ ด้วยคำพูดง่ายๆผลิตภัณฑ์ผสมอาจเป็นค่าลบ:
โดยตรงจากคำจำกัดความเป็นไปตามสูตรในการคำนวณปริมาตรของเส้นขนานที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์