คุณสมบัติของฟังก์ชันสัดส่วนผกผัน สื่อการศึกษาและระเบียบวิธีในพีชคณิต (เกรด 8) ในหัวข้อ: ฟังก์ชันสัดส่วนผกผันและกราฟ
วันนี้เราจะมาดูกันว่าปริมาณใดที่เรียกว่าสัดส่วนผกผันกราฟจะมีลักษณะอย่างไร สัดส่วนผกผันและทั้งหมดนี้มีประโยชน์กับคุณอย่างไรไม่เพียงแต่ในบทเรียนคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังรวมถึงนอกกำแพงโรงเรียนด้วย
สัดส่วนที่แตกต่างกันขนาดนี้
สัดส่วนบอกชื่อปริมาณสองปริมาณที่พึ่งพาซึ่งกันและกัน
การพึ่งพาสามารถเป็นได้ทั้งแบบตรงและแบบผกผัน ดังนั้น ความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณจึงถูกอธิบายด้วยสัดส่วนโดยตรงและผกผัน
สัดส่วนโดยตรง– นี่คือความสัมพันธ์ระหว่างสองปริมาณซึ่งการเพิ่มขึ้นหรือลดลงของปริมาณหนึ่งในนั้นนำไปสู่การเพิ่มขึ้นหรือลดลงของอีกปริมาณหนึ่ง เหล่านั้น. ทัศนคติของพวกเขาไม่เปลี่ยนแปลง
ตัวอย่างเช่น ยิ่งคุณพยายามอ่านหนังสือสอบมากเท่าไร คะแนนของคุณก็จะยิ่งสูงขึ้นเท่านั้น หรือยิ่งคุณนำสิ่งของติดตัวไปด้วยในการเดินป่ามากเท่าไร กระเป๋าเป้ของคุณก็จะหนักมากขึ้นเท่านั้น เหล่านั้น. จำนวนความพยายามที่ใช้ในการเตรียมตัวสอบจะแปรผันโดยตรงกับเกรดที่ได้รับ และจำนวนสิ่งของที่บรรจุในกระเป๋าเป้นั้นแปรผันตรงกับน้ำหนักของมันโดยตรง
สัดส่วนผกผัน– นี่คือการพึ่งพาฟังก์ชันซึ่งการลดลงหรือเพิ่มขึ้นหลายครั้งในค่าอิสระ (เรียกว่าอาร์กิวเมนต์) ทำให้เกิดการเพิ่มขึ้นหรือลดลงตามสัดส่วน (เช่นจำนวนครั้งเท่ากัน) ในค่าที่ขึ้นอยู่กับ (เรียกว่า a การทำงาน).
มาอธิบายกันดีกว่า ตัวอย่างง่ายๆ. คุณต้องการซื้อแอปเปิ้ลที่ตลาด แอปเปิ้ลบนเคาน์เตอร์และจำนวนเงินในกระเป๋าสตางค์ของคุณเป็นสัดส่วนผกผัน เหล่านั้น. ยิ่งคุณซื้อแอปเปิ้ลมากเท่าไหร่ เงินก็จะเหลือน้อยลงเท่านั้น
ฟังก์ชันและกราฟของมัน
ฟังก์ชันสัดส่วนผกผันสามารถอธิบายได้ดังนี้ y = k/x. ซึ่งใน x≠ 0 และ เค≠ 0.
ฟังก์ชันนี้มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:
- โดเมนของคำจำกัดความคือเซตของจำนวนจริงทั้งหมดยกเว้น x = 0. ดี(ย): (-∞; 0) U (0; +∞).
- พิสัยเป็นจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้น ย= 0. จ(ป): (-∞; 0) ยู (0; +∞) .
- ไม่มีค่าสูงสุดหรือต่ำสุด
- มันแปลกและกราฟของมันก็สมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด
- ไม่ใช่เป็นระยะๆ
- กราฟของมันไม่ตัดแกนพิกัด
- ไม่มีศูนย์
- ถ้า เค> 0 (เช่น อาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้น) ฟังก์ชันจะลดลงตามสัดส่วนในแต่ละช่วงเวลา ถ้า เค< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
- เมื่ออาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้น ( เค> 0) ค่าลบฟังก์ชันต่างๆ จะอยู่ในช่วงเวลา (-∞; 0) และฟังก์ชันที่เป็นบวกคือ (0; +∞) เมื่ออาร์กิวเมนต์ลดลง ( เค< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).
กราฟของฟังก์ชันสัดส่วนผกผันเรียกว่าไฮเปอร์โบลา แสดงดังต่อไปนี้:
ปัญหาสัดส่วนผกผัน
เพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้น เรามาดูงานต่างๆ กัน มันไม่ซับซ้อนเกินไปและการแก้มันจะช่วยให้คุณเห็นภาพว่าสัดส่วนผกผันคืออะไรและความรู้นี้จะมีประโยชน์ในชีวิตประจำวันของคุณอย่างไร
ภารกิจที่ 1 รถยนต์คันหนึ่งเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 60 กม./ชม. เขาใช้เวลา 6 ชั่วโมงก็ถึงที่หมาย จะต้องใช้เวลานานเท่าใดในการครอบคลุมระยะทางเดียวกันหากเขาเคลื่อนที่ด้วยความเร็วสองเท่า?
เราสามารถเริ่มต้นด้วยการเขียนสูตรที่อธิบายความสัมพันธ์ระหว่างเวลา ระยะทาง และความเร็ว: t = S/V เห็นด้วย มันทำให้เรานึกถึงฟังก์ชันสัดส่วนผกผันเป็นอย่างมาก และบ่งชี้ว่าเวลาที่รถอยู่บนถนนและความเร็วที่รถเคลื่อนที่นั้นเป็นสัดส่วนผกผัน
เพื่อยืนยันสิ่งนี้ ให้หา V 2 ซึ่งตามเงื่อนไขจะสูงกว่า 2 เท่า: V 2 = 60 * 2 = 120 กม./ชม. จากนั้นเราคำนวณระยะทางโดยใช้สูตร S = V * t = 60 * 6 = 360 กม. ตอนนี้การหาเวลา t 2 ที่ต้องการจากเราตามเงื่อนไขของปัญหาไม่ใช่เรื่องยาก: t 2 = 360/120 = 3 ชั่วโมง
อย่างที่คุณเห็น เวลาในการเดินทางและความเร็วนั้นแปรผกผันกันจริงๆ ด้วยความเร็วที่สูงกว่าความเร็วเดิม 2 เท่า รถจะใช้เวลาอยู่บนถนนน้อยลง 2 เท่า
วิธีแก้ไขปัญหานี้สามารถเขียนเป็นสัดส่วนได้ เรามาสร้างไดอะแกรมนี้กันก่อน:
↓ 60 กม./ชม. – 6 ชม
↓120 กม./ชม. – x ส
ลูกศรบ่งบอกถึงความสัมพันธ์ตามสัดส่วนผกผัน พวกเขายังแนะนำว่าเมื่อวาดสัดส่วน ด้านขวาระเบียนจะต้องถูกพลิกกลับ: 60/120 = x/6 เราจะได้ x = 60 * 6/120 = 3 ชั่วโมงจากไหน
ภารกิจที่ 2 เวิร์กช็อปจ้างพนักงาน 6 คนซึ่งสามารถทำงานให้เสร็จตามจำนวนที่กำหนดได้ภายใน 4 ชั่วโมง หากจำนวนคนงานลดลงครึ่งหนึ่ง คนงานที่เหลือจะใช้เวลานานแค่ไหนจึงจะทำงานให้เสร็จในจำนวนเท่าเดิม?
ให้เราเขียนเงื่อนไขของปัญหาในรูปแบบของแผนภาพภาพ:
↓ คนงาน 6 คน – 4 ชั่วโมง
↓ 3 คน – x ชม
ลองเขียนสิ่งนี้เป็นสัดส่วน: 6/3 = x/4 และเราจะได้ x = 6 * 4/3 = 8 ชั่วโมง หากมีคนงานน้อยลง 2 เท่า คนที่เหลือจะใช้เวลาทำงานทั้งหมดเพิ่มขึ้น 2 เท่า
ภารกิจที่ 3 มีท่อสองท่อที่ทอดลงสู่สระน้ำ น้ำจะไหลผ่านท่อเดียวด้วยความเร็ว 2 ลิตร/วินาที และเต็มสระภายใน 45 นาที ผ่านท่ออีกเส้นสระจะเต็มใน 75 นาที น้ำเข้าสระผ่านท่อนี้ด้วยความเร็วเท่าใด?
ขั้นแรก ให้เราลดปริมาณทั้งหมดที่มอบให้ตามเงื่อนไขของปัญหาให้เป็นหน่วยวัดเดียวกัน โดยแสดงความเร็วในการเติมน้ำในสระเป็นลิตรต่อนาที: 2 ลิตร/วินาที = 2 * 60 = 120 ลิตร/นาที
เนื่องจากเป็นไปตามเงื่อนไขที่สระเติมช้ากว่าผ่านท่อที่ 2 ส่งผลให้อัตราการไหลของน้ำลดลง สัดส่วนจะผกผัน ให้เราแสดงความเร็วที่ไม่รู้จักผ่าน x และวาดแผนภาพต่อไปนี้:
↓ 120 ลิตร/นาที – 45 นาที
↓ x ลิตร/นาที – 75 นาที
จากนั้นเราก็สร้างสัดส่วน: 120/x = 75/45 โดยที่ x = 120 * 45/75 = 72 ลิตร/นาที
ในปัญหานี้ อัตราการเติมน้ำในสระแสดงเป็นลิตรต่อวินาที ลองลดคำตอบที่เราได้รับให้อยู่ในรูปแบบเดียวกัน: 72/60 = 1.2 ลิตร/วินาที
ภารกิจที่ 4 โรงพิมพ์ส่วนตัวขนาดเล็กจะพิมพ์นามบัตร พนักงานโรงพิมพ์ทำงานด้วยความเร็ว 42 นามบัตรต่อชั่วโมง และทำงานเต็มวัน - 8 ชั่วโมง ถ้าเขาทำงานเร็วขึ้นและพิมพ์นามบัตรได้ 48 ใบในหนึ่งชั่วโมง เขาจะกลับบ้านได้เร็วแค่ไหน?
เราปฏิบัติตามเส้นทางที่พิสูจน์แล้วและจัดทำไดอะแกรมตามเงื่อนไขของปัญหาโดยกำหนดค่าที่ต้องการเป็น x:
↓ 42 นามบัตร/ชั่วโมง – 8 ชั่วโมง
↓ นามบัตร 48 ใบ/ชม. – x ชม
เรามีความสัมพันธ์แบบแปรผกผัน: จำนวนครั้งที่พนักงานโรงพิมพ์พิมพ์นามบัตรมากขึ้นต่อชั่วโมง จำนวนครั้งที่เท่ากันคือเวลาที่น้อยกว่าที่เขาจะต้องทำงานเดิมให้เสร็จ เมื่อรู้อย่างนี้แล้ว เรามาสร้างสัดส่วนกันดีกว่า:
42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 ชั่วโมง
ดังนั้นเมื่อทำงานเสร็จภายใน 7 ชั่วโมง พนักงานโรงพิมพ์ก็สามารถกลับบ้านเร็วขึ้นหนึ่งชั่วโมงได้
บทสรุป
สำหรับเราดูเหมือนว่าปัญหาสัดส่วนผกผันเหล่านี้ง่ายมาก เราหวังว่าตอนนี้คุณก็คิดแบบนั้นเช่นกัน และสิ่งสำคัญคือความรู้เกี่ยวกับการย้อนกลับ การพึ่งพาอาศัยกันตามสัดส่วนปริมาณอาจเป็นประโยชน์ต่อคุณมากกว่าหนึ่งครั้ง
ไม่ใช่แค่ในบทเรียนคณิตศาสตร์และการสอบเท่านั้น แต่ถึงอย่างนั้นเมื่อคุณเตรียมตัวไปเที่ยว ช้อปปิ้ง ตัดสินใจหารายได้เสริมเล็กน้อยในช่วงวันหยุด ฯลฯ
บอกเราในความคิดเห็นว่าคุณสังเกตเห็นตัวอย่างความสัมพันธ์แบบผกผันและแบบสัดส่วนตรงรอบตัวคุณอย่างไร ปล่อยให้มันเป็นเกมแบบนั้น คุณจะเห็นว่ามันน่าตื่นเต้นแค่ไหน อย่าลืมแบ่งปันบทความนี้ใน ในเครือข่ายโซเชียลเพื่อให้เพื่อนและเพื่อนร่วมชั้นของคุณสามารถเล่นได้
เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา
ระดับแรก
ความสัมพันธ์ผกผัน ระดับแรก.
ตอนนี้เราจะพูดถึงการพึ่งพาผกผันหรืออีกนัยหนึ่ง - สัดส่วนผกผันเป็นฟังก์ชัน คุณจำได้ไหมว่าฟังก์ชันเป็นการพึ่งพาบางประเภท? หากคุณยังไม่ได้อ่านหัวข้อนี้ ฉันขอแนะนำให้คุณทิ้งทุกอย่างแล้วอ่าน เนื่องจากคุณไม่สามารถศึกษาฟังก์ชันเฉพาะใดๆ โดยไม่เข้าใจว่ามันคืออะไร - ฟังก์ชัน
นอกจากนี้ ยังมีประโยชน์มากในการเรียนรู้ฟังก์ชันที่เรียบง่ายกว่าสองฟังก์ชันก่อนเริ่มหัวข้อนี้: และ คุณจะได้เสริมสร้างแนวคิดของฟังก์ชันและเรียนรู้การทำงานกับสัมประสิทธิ์และกราฟ
คุณจำได้ไหมว่าฟังก์ชันคืออะไร?
ให้เราทำซ้ำ: ฟังก์ชันคือกฎที่แต่ละองค์ประกอบของหนึ่งชุด (อาร์กิวเมนต์) เชื่อมโยงกับค่าที่กำหนด ( เพียงผู้เดียว, เพียงคนเดียว!) องค์ประกอบของชุดอื่น (ชุดของค่าฟังก์ชัน) นั่นคือ ถ้าคุณมีฟังก์ชัน หมายความว่าสำหรับทุกค่าที่ถูกต้องของตัวแปร (เรียกว่า "อาร์กิวเมนต์") จะมีค่าที่สอดคล้องกันของตัวแปร (เรียกว่า "ฟังก์ชัน") “ยอมรับได้” หมายถึงอะไร? หากตอบคำถามนี้ไม่ได้ ให้กลับเข้าสู่หัวข้อ “” อีกครั้ง! ทั้งหมดนี้อยู่ในแนวคิด "โดเมน": สำหรับบางฟังก์ชัน อาร์กิวเมนต์บางรายการไม่ได้มีประโยชน์เท่ากันและสามารถแทนที่เป็นการขึ้นต่อกันได้ ตัวอย่างเช่น สำหรับฟังก์ชัน ไม่อนุญาตให้ใช้ค่าอาร์กิวเมนต์เชิงลบ
ฟังก์ชันอธิบายการพึ่งพาแบบผกผัน
นี่คือฟังก์ชันของรูปแบบที่
อีกนัยหนึ่งเรียกว่าสัดส่วนผกผัน: การเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ทำให้ฟังก์ชันลดลงตามสัดส่วน
มากำหนดโดเมนของคำจำกัดความกันดีกว่า มันจะเท่ากับอะไรได้? หรืออีกนัยหนึ่ง มันไม่สามารถเท่ากับอะไรได้?
จำนวนเดียวที่ไม่สามารถหารด้วยได้คือ:
หรือสิ่งที่เหมือนกัน
(สัญกรณ์ดังกล่าวหมายความว่าอาจเป็นตัวเลขใดก็ได้ ยกเว้น: เครื่องหมาย " " หมายถึงชุดของจำนวนจริง นั่นคือตัวเลขที่เป็นไปได้ทั้งหมด เครื่องหมาย " " หมายถึงการแยกบางสิ่งออกจากชุดนี้ (คล้ายกับ "ลบ" ” เครื่องหมาย) และตัวเลขในวงเล็บปีกกาหมายถึงเพียงตัวเลข ปรากฎว่าเราไม่รวมตัวเลขที่เป็นไปได้ทั้งหมด)
ปรากฎว่าชุดของค่าฟังก์ชันเหมือนกันทุกประการ: ไม่ว่าเราจะหารด้วยอะไรก็ตามก็จะไม่ทำงาน:
สูตรบางรูปแบบก็เป็นไปได้เช่นกัน ตัวอย่างเช่น นี่เป็นฟังก์ชันที่อธิบายด้วย ความสัมพันธ์แบบผกผัน.
กำหนดโดเมนของคำจำกัดความและช่วงของค่าของฟังก์ชันนี้ด้วยตัวเอง มันควรมีลักษณะเช่นนี้:
ลองดูที่ฟังก์ชันนี้: . มันมีความสัมพันธ์แบบผกผันหรือไม่?
เมื่อมองแวบแรกเป็นเรื่องยากที่จะพูดว่า: เมื่อเพิ่มขึ้นทั้งตัวส่วนของเศษส่วนและตัวเศษก็เพิ่มขึ้นดังนั้นจึงไม่ชัดเจนว่าฟังก์ชันจะลดลงหรือไม่และหากเป็นเช่นนั้นจะลดลงตามสัดส่วนหรือไม่? เพื่อให้เข้าใจสิ่งนี้ เราต้องแปลงนิพจน์เพื่อไม่ให้มีตัวแปรในตัวเศษ:
อันที่จริง เราได้รับความสัมพันธ์แบบผกผัน แต่มีคำเตือน:
นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่ง: .
ตรงนี้ซับซ้อนกว่า เพราะตอนนี้ตัวเศษและส่วนไม่ยกเลิกอย่างแน่นอน แต่เรายังคงสามารถลองได้:
คุณเข้าใจสิ่งที่ฉันทำ? ในตัวเศษ ฉันบวกและลบตัวเลขเดียวกัน () เลยดูไม่เปลี่ยนแปลงอะไรเลย แต่ตอนนี้มีส่วนในตัวเศษที่เท่ากับตัวส่วน. ทีนี้ ผมจะหารเทอมต่อเทอม นั่นคือ ผมจะแบ่งเศษส่วนนี้เป็นผลรวมของเศษส่วนสองส่วน:
(อันที่จริง ถ้าเราลดสิ่งที่ฉันได้ตัวส่วนร่วม เราจะได้เศษส่วนเริ่มต้น):
ว้าว! มันใช้งานได้อีกครั้ง ความสัมพันธ์แบบผกผันตอนนี้มีเพียงตัวเลขเท่านั้นที่ถูกเพิ่มเข้าไป
วิธีนี้จะมีประโยชน์มากสำหรับเราในภายหลังเมื่อสร้างกราฟ
ตอนนี้เปลี่ยนการแสดงออกให้เป็นความสัมพันธ์แบบผกผัน:
คำตอบ:
2. ที่นี่คุณต้องจำไว้ว่าการแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง (ซึ่งอธิบายไว้โดยละเอียดในหัวข้อ "") ฉันขอเตือนคุณว่าสำหรับสิ่งนี้คุณต้องค้นหารากของสิ่งที่เกี่ยวข้อง สมการกำลังสอง: . ฉันจะพบพวกเขาด้วยวาจาโดยใช้ทฤษฎีบทของ Vieta: , . เป็นยังไงบ้าง? คุณสามารถเรียนรู้สิ่งนี้ได้โดยการอ่านหัวข้อ
ดังนั้นเราจึงได้: ดังนั้น:
3. คุณได้ลองแก้ไขด้วยตัวเองแล้วหรือยัง? จับอะไร? แน่นอนว่าความจริงก็คือเรามีทั้งตัวเศษและตัวส่วน - มันง่ายมาก ไม่มีปัญหา. เราจะต้องลดจำนวนลง ดังนั้นในตัวเศษเราควรเอามันออกจากวงเล็บ (เพื่อที่เราจะได้มันในวงเล็บโดยไม่มีค่าสัมประสิทธิ์):
กราฟความสัมพันธ์ผกผัน
เช่นเคย เรามาเริ่มด้วยกรณีที่ง่ายที่สุด: .
มาทำตารางกันเถอะ:
มาวาดจุดกันดีกว่า ประสานงานเครื่องบิน:
ตอนนี้พวกเขาจำเป็นต้องเชื่อมต่อได้อย่างราบรื่น แต่จะทำอย่างไร? จะเห็นได้ว่าจุดทางด้านขวาและด้านซ้ายก่อให้เกิดเส้นโค้งที่ดูเหมือนไม่เชื่อมโยงกัน วิธีที่มันเป็น. กราฟจะมีลักษณะดังนี้:
กราฟนี้เรียกว่า "ไฮเปอร์โบลา"(ชื่อนั้นคล้าย "พาราโบลา" ใช่ไหม?) เช่นเดียวกับพาราโบลา ไฮเปอร์โบลามีสองกิ่ง เพียงแต่พวกมันไม่ได้เชื่อมต่อถึงกัน แต่ละคนพยายามอย่างสุดความสามารถเพื่อเข้าใกล้ขวานให้มากขึ้น แต่ไม่เคยไปถึงขวานเลย หากคุณดูอติพจน์เดียวกันจากระยะไกล คุณจะได้ภาพต่อไปนี้:
สิ่งนี้สามารถเข้าใจได้: เนื่องจากกราฟไม่สามารถข้ามแกนได้ แต่กราฟก็ไม่เคยแตะแกนด้วย
ทีนี้ เรามาดูกันว่าสัมประสิทธิ์มีอิทธิพลอย่างไร พิจารณาฟังก์ชันเหล่านี้:
:
ว้าวช่างสวยงามจริงๆ!
กราฟทั้งหมดถูกสร้างขึ้น สีที่ต่างกันเพื่อให้ง่ายต่อการแยกแยะออกจากกัน
แล้วเราควรสนใจอะไรเป็นอันดับแรก? ตัวอย่างเช่น หากฟังก์ชันมีเครื่องหมายลบก่อนเศษส่วน กราฟจะพลิก นั่นคือแสดงแบบสมมาตรสัมพันธ์กับแกน
ประการที่สอง: มากกว่า จำนวนที่มากขึ้นในตัวส่วน ยิ่งกราฟ "วิ่งหนี" จากจุดกำเนิดมากเท่าไร
จะเกิดอะไรขึ้นถ้าฟังก์ชันดูซับซ้อนมากขึ้น เช่น ?
ในกรณีนี้อติพจน์จะเหมือนกับอันปกติทุกประการ แต่จะเปลี่ยนไปเล็กน้อยเท่านั้น ลองคิดดูว่าที่ไหน?
อะไรจะเท่ากับตอนนี้ไม่ได้? ขวา, . ซึ่งหมายความว่ากราฟจะไม่ถึงเส้นตรง อะไรจะเท่ากับไม่ได้? ตอนนี้. ซึ่งหมายความว่าตอนนี้กราฟจะมีแนวโน้มเป็นเส้นตรง แต่จะไม่มีวันข้ามมันไป ตอนนี้เส้นตรงมีบทบาทเหมือนกับแกนพิกัดของฟังก์ชัน เส้นดังกล่าวเรียกว่า เส้นกำกับ(เส้นที่กราฟมีแนวโน้มไปแต่ไปไม่ถึง):
เราจะเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับวิธีการสร้างกราฟดังกล่าวในหัวข้อ
ตอนนี้ลองแก้ตัวอย่างบางส่วนเพื่อรวมเข้าด้วยกัน:
1. รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน กำหนด.
2. รูปแสดงกราฟของฟังก์ชัน กำหนด
3. รูปแสดงกราฟของฟังก์ชัน กำหนด.
4. รูปแสดงกราฟของฟังก์ชัน กำหนด.
5. รูปแสดงกราฟของฟังก์ชันและ
เลือกอัตราส่วนที่ถูกต้อง:
คำตอบ:
การพึ่งพาอาศัยผกผันในชีวิต
เราจะพบฟังก์ชันดังกล่าวในทางปฏิบัติได้ที่ไหน? มีตัวอย่างมากมาย สิ่งที่พบบ่อยที่สุดคือการเคลื่อนไหว: ยิ่งเราเคลื่อนที่ด้วยความเร็วมากเท่าไร เวลาที่ใช้ในการครอบคลุมระยะทางเท่ากันก็จะน้อยลงเท่านั้น อันที่จริง ขอให้เราจำสูตรของความเร็ว: ที่ไหนคือความเร็ว คือเวลาเดินทาง คือระยะทาง (เส้นทาง)
จากที่นี่เราสามารถแสดงเวลาได้:
ตัวอย่าง:
ผู้ชายไปทำงานด้วย ความเร็วเฉลี่ยกม./ชม. และไปถึงที่นั่นภายในหนึ่งชั่วโมง เขาจะใช้เวลากี่นาทีบนถนนเส้นเดียวกันถ้าเขาขับด้วยความเร็ว กม./ชม.
สารละลาย:
โดยทั่วไปคุณได้แก้ไขปัญหาดังกล่าวแล้วในชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 และ 6 คุณสร้างสัดส่วน:
นั่นคือแนวคิดเรื่องสัดส่วนผกผันเป็นที่คุ้นเคยสำหรับคุณแล้ว เราก็เลยจำได้ และตอนนี้ก็เหมือนกัน เฉพาะสำหรับผู้ใหญ่เท่านั้น: ผ่านฟังก์ชัน
ฟังก์ชัน (นั่นคือ การขึ้นต่อกัน) ของเวลาเป็นนาทีกับความเร็ว:
เป็นที่ทราบกันดีว่า:
จำเป็นต้องค้นหา:
ตอนนี้ให้ลองยกตัวอย่างเล็กๆ น้อยๆ จากชีวิตซึ่งมีสัดส่วนผกผันอยู่
ประดิษฐ์? ทำได้ดีมากถ้าคุณทำ ขอให้โชคดี!
การพึ่งพาแบบย้อนกลับ สั้น ๆ เกี่ยวกับสิ่งสำคัญ
1. คำจำกัดความ
ฟังก์ชันอธิบายการพึ่งพาแบบผกผันเป็นฟังก์ชันของรูปแบบที่
อีกนัยหนึ่ง ฟังก์ชันนี้เรียกว่าสัดส่วนผกผัน เนื่องจากการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ทำให้ฟังก์ชันลดลงตามสัดส่วน
หรือสิ่งที่เหมือนกัน
กราฟผกผันคือไฮเปอร์โบลา
2. ค่าสัมประสิทธิ์ และ.
รับผิดชอบในการ “ความเรียบ” และทิศทางของกราฟ: ยิ่งค่าสัมประสิทธิ์นี้มากขึ้น ไฮเปอร์โบลาก็จะอยู่ห่างจากจุดกำเนิดมากขึ้นเท่านั้น ดังนั้นจึง "หมุน" ชันน้อยลง (ดูรูป) เครื่องหมายของค่าสัมประสิทธิ์ส่งผลต่อไตรมาสที่กราฟอยู่ใน:
- ถ้ากิ่งก้านของไฮเปอร์โบลานั้นอยู่ในและสี่ส่วน
- ถ้า แล้วใน และ
x=a คือ เส้นกำกับแนวตั้ง, นั่นคือแนวตั้งที่กราฟมีแนวโน้มไป
ตัวเลขมีหน้าที่ในการเลื่อนกราฟฟังก์ชันขึ้นด้านบนด้วยจำนวน if และเลื่อนลงหาก
ดังนั้นนี่คือ เส้นกำกับแนวนอน.
เรามาทวนทฤษฎีเกี่ยวกับฟังก์ชันกัน ฟังก์ชั่นคือกฎที่แต่ละองค์ประกอบของหนึ่งชุด (อาร์กิวเมนต์) เชื่อมโยงกับค่าที่กำหนด ( เพียงผู้เดียว, เพียงคนเดียว!) องค์ประกอบของชุดอื่น (ชุดของค่าฟังก์ชัน) นั่นคือถ้ามีฟังก์ชัน \(y = ฉ(x)\)ซึ่งหมายความว่าสำหรับแต่ละค่าที่ถูกต้องของตัวแปร \(x\)(ซึ่งเรียกว่า “อาร์กิวเมนต์”) สอดคล้องกับค่าหนึ่งของตัวแปร \(ใช่\)(เรียกว่า "ฟังก์ชัน")
ฟังก์ชันอธิบายการพึ่งพาแบบผกผัน
นี่คือฟังก์ชันของแบบฟอร์ม \(y = \frac(k)(x)\), ที่ไหน \(k\ne 0.\)
อีกนัยหนึ่งเรียกว่าสัดส่วนผกผัน: การเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ทำให้ฟังก์ชันลดลงตามสัดส่วน
มากำหนดโดเมนของคำจำกัดความกันดีกว่า \(x\) เท่ากับอะไรได้บ้าง? หรืออีกนัยหนึ่ง มันไม่สามารถเท่ากับอะไรได้?
จำนวนเดียวที่ไม่สามารถหารด้วยได้คือ 0 ดังนั้น \(x\ne 0.\):
\(D(y) = (- \infty ;0) \cup (0; + \infty)\)
หรือซึ่งเหมือนกัน:
\(D(y) = R\แบ็กสแลช \( 0\).\)
สัญกรณ์นี้หมายความว่า \(x\) อาจเป็นตัวเลขใดก็ได้ยกเว้น 0: เครื่องหมาย “R” หมายถึงเซตของจำนวนจริง นั่นคือจำนวนที่เป็นไปได้ทั้งหมด เครื่องหมาย "\" บ่งบอกถึงการแยกบางสิ่งออกจากชุดนี้ (คล้ายกับเครื่องหมาย "ลบ") และหมายเลข 0 ในวงเล็บปีกกาก็หมายถึงหมายเลข 0; ปรากฎว่าจากตัวเลขที่เป็นไปได้ทั้งหมดเราไม่รวม 0
ปรากฎว่าชุดของค่าฟังก์ชันเหมือนกันทุกประการ หาก \(k \ne 0.\) ไม่ว่าเราจะหารด้วยอะไรก็ตาม 0 จะไม่ทำงาน:
\(E(y) = (- \infty ;0) \cup (0; + \infty)\)
หรือ \(E(y) = R\แบ็กสแลช \( 0\).\)
สูตรบางรูปแบบก็เป็นไปได้เช่นกัน \(y = \frac(k)(x)\). ตัวอย่างเช่น, \(y = \frac(k)((x + a))\)ยังเป็นฟังก์ชันที่อธิบายความสัมพันธ์แบบผกผันอีกด้วย ขอบเขตและช่วงของค่าของฟังก์ชันนี้มีดังนี้:
\(D(y) = (- \infty ; - a) \cup (- a; + \infty)\)
\(E(y) = (- \infty ;0) \cup (0; + \infty).\)
ลองพิจารณาดู ตัวอย่างให้เราลดนิพจน์ให้อยู่ในรูปของความสัมพันธ์แบบผกผัน:
\(y = \frac((x + 2))((x - 3)).\)
\(y = \frac((x + 2))((x - 3)) = \frac((x - 3 + 3 + 2))((x - 3)) = \frac(((x - 3 ) + 5))((x - 3)).\)
เราใส่ค่า 3 เข้าไปในตัวเศษโดยไม่ได้ตั้งใจ และตอนนี้เราหารตัวเศษด้วยตัวส่วนทีละเทอม เราได้:
\(y = \frac(((x - 3) + 5))((x - 3)) = \frac((x - 3))((x - 3)) + \frac(5)((x - 3)) = 1 + \frac(5)((x - 3)).\)
เราได้ความสัมพันธ์แบบผกผัน บวกเลข 1
กราฟความสัมพันธ์ผกผัน
เริ่มจากกรณีง่ายๆ \(y = \frac(1)(x).\)
มาสร้างตารางค่ากัน:
มาวาดจุดบนระนาบพิกัดกัน:
เชื่อมต่อจุดต่างๆ กราฟจะมีลักษณะดังนี้:
กราฟนี้เรียกว่า "ไฮเปอร์โบลา". เช่นเดียวกับพาราโบลา ไฮเปอร์โบลามีสองกิ่ง เพียงแต่พวกมันไม่ได้เชื่อมต่อถึงกัน แต่ละคนมีแนวโน้มที่จะเคลื่อนปลายเข้าใกล้แกนมากขึ้น วัวและ เฮ้ยแต่ไม่เคยไปถึงพวกเขาเลย
มาดูคุณสมบัติบางอย่างของฟังก์ชันกัน:
- หากฟังก์ชันมีเครื่องหมายลบก่อนเศษส่วน กราฟจะกลับด้าน นั่นคือกราฟจะแสดงสัมพันธ์กับแกนแบบสมมาตร วัว.
- ยิ่งตัวเลขในตัวส่วนมากเท่าไร กราฟก็จะยิ่ง “วิ่งหนี” จากจุดกำเนิดมากขึ้นเท่านั้น
การพึ่งพาอาศัยผกผันในชีวิต
เราจะพบฟังก์ชันดังกล่าวในทางปฏิบัติได้ที่ไหน? มีตัวอย่างมากมาย สิ่งที่พบบ่อยที่สุดคือการเคลื่อนไหว: ยิ่งเราเคลื่อนที่ด้วยความเร็วมากเท่าไร เวลาที่ใช้ในการครอบคลุมระยะทางเท่ากันก็จะน้อยลงเท่านั้น จำสูตรความเร็ว:
\(v = \frac(S)(t),\)
โดยที่ v คือความเร็ว t คือเวลาเดินทาง S คือระยะทาง (เส้นทาง)
จากที่นี่เราสามารถแสดงเวลาได้: \(t = \frac(S)(v).\)
1 บทเรียนในหัวข้อ
ดำเนินการ:
เทเลจิน่า แอล.บี.
วัตถุประสงค์ของบทเรียน:
- ทำซ้ำเนื้อหาทั้งหมดที่ศึกษาเกี่ยวกับฟังก์ชัน
- แนะนำคำจำกัดความของสัดส่วนผกผันและสอนวิธีสร้างกราฟ
- พัฒนาการคิดเชิงตรรกะ
- ปลูกฝังความสนใจ ความแม่นยำ ความแม่นยำ
แผนการเรียน:
- การทำซ้ำ
- คำอธิบายของวัสดุใหม่
- นาทีพลศึกษา
- การรวมบัญชี
อุปกรณ์ : โปสเตอร์.
ระหว่างเรียน:
- บทเรียนเริ่มต้นด้วยการทำซ้ำ ขอให้นักเรียนแก้ปริศนาอักษรไขว้ (ซึ่งเตรียมไว้ล่วงหน้าบนกระดาษแผ่นใหญ่)
7 11 | |||||||||||||||||||
คำถามปริศนาอักษรไขว้:
1. การพึ่งพาระหว่างตัวแปร ซึ่งแต่ละค่าของตัวแปรอิสระสอดคล้องกับค่าเดียวของตัวแปรตาม [การทำงาน].
2. ตัวแปรอิสระ [การโต้แย้ง].
3. เซตของจุดของระนาบพิกัด Abscissa ซึ่งเท่ากับค่าของอาร์กิวเมนต์และพิกัดเท่ากับค่าของฟังก์ชัน [กำหนดการ].
4. ฟังก์ชันที่กำหนดโดยสูตร y=kx+b [เชิงเส้น].
5. ตัวเลขเรียกว่าสัมประสิทธิ์อะไร?เค ในสูตร y=kx+b? [มุม].
6. กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นคืออะไร? [ตรง].
7. ถ้า k≠0 กราฟ y=kx+b ตัดกับแกนนี้ และถ้า k=0 กราฟจะขนานกับแกนนั้น แกนนี้กำหนดด้วยตัวอักษรอะไร? [เอ็กซ์].
8. คำในชื่อฟังก์ชัน y=kx? [สัดส่วน].
9. ฟังก์ชันที่กำหนดโดยสูตร y=x 2. [กำลังสอง].
10. ชื่อแผนภูมิ ฟังก์ชันกำลังสอง. [พาราโบลา].
11. จดหมาย ตัวอักษรละตินซึ่งมักใช้เพื่อแสดงฟังก์ชัน [อิเกรก].
12. หนึ่งในวิธีระบุฟังก์ชัน [สูตร].
ครู : วิธีหลักในการระบุฟังก์ชันที่เรารู้จักคืออะไร?
(นักเรียนคนหนึ่งได้รับงานบนกระดาน: กรอกตารางค่าของฟังก์ชัน 12/x โดยใช้ค่าที่กำหนดของอาร์กิวเมนต์แล้วพล็อตจุดที่เกี่ยวข้องบนระนาบพิกัด)
ที่เหลือตอบคำถามของครู: (ซึ่งเขียนไว้ล่วงหน้าบนกระดาน)
1. ชื่อของฟังก์ชันต่อไปนี้ที่กำหนดโดยสูตรคืออะไร: y=kx, y=kx+b, y=x 2 , y=x 3 ?
2. ระบุโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันต่อไปนี้: y=x 2 +8, y=1/x-7, y= 4x-1/5, y=2x, y=7-5x, y=2/x, y=x 3 , y=-10/x
จากนั้นนักเรียนทำงานตามตารางโดยตอบคำถามที่ครูตั้งไว้:
1. รูปใดจากตารางที่แสดงกราฟ:
ก) ฟังก์ชันเชิงเส้น
b) สัดส่วนโดยตรง
c) ฟังก์ชันกำลังสอง;
d) ฟังก์ชันที่อยู่ในรูปแบบ y=kx 3 ?
2. ค่าสัมประสิทธิ์ k มีเครื่องหมายใดในสูตรในรูปแบบ y=kx+b ซึ่งสอดคล้องกับกราฟในรูปที่ 1, 2, 4, 5 ของตาราง
3. ค้นหากราฟตารางของฟังก์ชันเชิงเส้นที่มีความชันเป็น:
ก) เท่ากัน;
b) มีขนาดเท่ากันและมีเครื่องหมายตรงกันข้าม
(จากนั้นทั้งชั้นเรียนตรวจสอบว่านักเรียนที่เรียกไปยังกระดานกรอกตารางและวางคะแนนบนระนาบพิกัดถูกต้องหรือไม่)
2. คำอธิบายเริ่มต้นด้วยแรงจูงใจ
ครู: ดังที่คุณทราบทุกฟังก์ชั่นอธิบายถึงกระบวนการบางอย่างที่เกิดขึ้นในโลกรอบตัวเรา
ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณารูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้านข้าง x และ y และพื้นที่ 12 ซม. 2 . เป็นที่ทราบกันว่า x*y=12 แต่จะเกิดอะไรขึ้นหากคุณเริ่มเปลี่ยนด้านใดด้านหนึ่งของสี่เหลี่ยมผืนผ้า สมมติว่าด้านที่มีความยาวเอ็กซ์?
ความยาวด้าน y หาได้จากสูตร y=12/x ถ้า x เพิ่มขึ้น 2 เท่า จะได้ y=12/2x นั่นคือ ด้านข้างย จะลดลง 2 เท่า หากมีค่า x เพิ่มขึ้น 3, 4, 5... เท่า จากนั้นจึงเป็นค่าย จะลดลงเป็นจำนวนเท่าๆ กัน ตรงกันข้าม ถ้า. x ลดลงหลายครั้งแล้วย จะเพิ่มขึ้นเป็นจำนวนเท่าๆ กัน (ทำงานตามตาราง).
ดังนั้น ฟังก์ชันที่อยู่ในรูปแบบ y=12/x จึงเรียกว่า สัดส่วนผกผัน ใน ปริทัศน์มันถูกเขียนเป็น y=k/x โดยที่ k คือค่าคงที่ และ k≠0
นี่คือหัวข้อของบทเรียนวันนี้ เราจดไว้ในสมุดบันทึกของเรา ฉันให้คำจำกัดความที่เข้มงวด สำหรับฟังก์ชัน y=12/x ซึ่งเป็นสัดส่วนผกผันชนิดพิเศษ เราได้เขียนค่าของอาร์กิวเมนต์และฟังก์ชันจำนวนหนึ่งลงในตารางแล้ว และจะแสดงจุดที่สอดคล้องกันบนระนาบพิกัด กราฟของฟังก์ชันนี้มีลักษณะอย่างไร เป็นการยากที่จะตัดสินกราฟทั้งหมดโดยพิจารณาจากจุดที่สร้างขึ้น เนื่องจากจุดต่างๆ สามารถเชื่อมโยงกันด้วยวิธีใดก็ได้ เรามาลองสรุปผลกราฟของฟังก์ชันที่เกิดจากการพิจารณาตารางและสูตรกัน
คำถามสำหรับชั้นเรียน:
- โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน y=12/x คืออะไร?
- ค่า y เป็นบวกหรือลบถ้า
ก) x
ข) x>0?
3. ค่าของตัวแปรเปลี่ยนแปลงไปอย่างไรย ด้วยมูลค่าที่เปลี่ยนแปลงไปเอ็กซ์?
ดังนั้น,
- จุด (0,0) ไม่ได้อยู่ในกราฟ เช่น มันไม่ได้ตัดกันทั้งแกน OX หรือ OY
- กราฟอยู่ในพิกัด Ι และ ΙΙΙ
- เข้าใกล้แกนพิกัดอย่างราบรื่นทั้งในไตรมาสพิกัด Ι และใน ΙΙΙ และเข้าใกล้แกนให้ใกล้เคียงที่สุดเท่าที่ต้องการ
เมื่อมีข้อมูลนี้ เราก็สามารถเชื่อมโยงจุดในรูปได้แล้ว (ครูทำเองบนกระดาน) และดูกราฟทั้งหมดของฟังก์ชัน y=12/x เส้นโค้งที่ได้เรียกว่าไฮเปอร์โบลา ซึ่งในภาษากรีกแปลว่า "ผ่านบางสิ่งบางอย่าง" เส้นโค้งนี้ถูกค้นพบโดยนักคณิตศาสตร์ของโรงเรียนกรีกโบราณเมื่อประมาณศตวรรษที่ 4 ก่อนคริสต์ศักราช คำว่า อติพจน์ ได้รับการแนะนำโดย Apollonius จากเมือง Pergamum (เอเชียไมเนอร์) ซึ่งอาศัยอยู่ในศตวรรษที่ 6-8 พ.ศ.
ตอนนี้ ถัดจากกราฟของฟังก์ชัน y=12/x เราจะสร้างกราฟของฟังก์ชัน y=-12/x (นักเรียนทำงานนี้ด้วยสมุดบันทึกและนักเรียนหนึ่งคนบนกระดานดำ)
เมื่อเปรียบเทียบกราฟทั้งสองแล้ว นักเรียนสังเกตเห็นว่ากราฟที่สองกินพื้นที่พิกัด 2 และ 4 ควอเตอร์ นอกจากนี้ หากกราฟของฟังก์ชัน y=12/x แสดงแบบสมมาตรสัมพันธ์กับแกน op-amp ก็จะได้กราฟของฟังก์ชัน y=-12/x
คำถาม: ตำแหน่งของกราฟของไฮเปอร์โบลา y=k/x ขึ้นอยู่กับเครื่องหมายและค่าของสัมประสิทธิ์ k อย่างไร
นักเรียนมั่นใจว่าถ้า k>0 กราฟจะอยู่ใน Ιและ ΙΙΙ ประสานงานไตรมาส และถ้า k
- ครูสอนวิชาพลศึกษา
- การรวมสิ่งที่กำลังศึกษาเกิดขึ้นเมื่อกรอกหมายเลข 180, 185 จากหนังสือเรียน
- สรุปบทเรียน เกรด การบ้าน น. 8 หมายเลข 179, 184
บทที่ 2 ในหัวข้อ
“ฟังก์ชันสัดส่วนผกผันและกราฟ”
ดำเนินการ:
เทเลจิน่า แอล.บี.
วัตถุประสงค์ของบทเรียน:
- รวบรวมทักษะในการสร้างกราฟของฟังก์ชันสัดส่วนผกผัน
- พัฒนาความสนใจในเรื่องการคิดเชิงตรรกะ
- ปลูกฝังความเป็นอิสระและความสนใจ
แผนการเรียน:
- กำลังตรวจสอบความคืบหน้า การบ้าน.
- งานช่องปาก.
- การแก้ปัญหา.
- นาทีพลศึกษา
- งานอิสระหลายระดับ
- สรุปผลการประเมินการบ้าน
อุปกรณ์ : การ์ด.
ระหว่างเรียน:
- ครูประกาศหัวข้อบทเรียน วัตถุประสงค์ และแผนการสอน
จากนั้นนักเรียนสองคนกรอกบ้านเลขที่ 179, 184 ที่ได้รับมอบหมายบนกระดาน
- นักเรียนที่เหลือทำงานส่วนหน้าโดยตอบคำถามของครู
คำถาม:
- กำหนดฟังก์ชันสัดส่วนผกผัน
- กราฟของฟังก์ชันสัดส่วนผกผันคืออะไร
- ตำแหน่งของกราฟของไฮเปอร์โบลา y=k/x ขึ้นอยู่กับค่าของสัมประสิทธิ์ k อย่างไร
งาน:
- ในบรรดาฟังก์ชันที่ระบุโดยสูตรคือฟังก์ชันของสัดส่วนผกผัน:
ก) y=x 2 +5, b) y=1/x, c) y= 4x-1, d) y=2x, e) y=7-5x, f) y=-11/x, g) y=x 3, h) y=15/x-2.
2. สำหรับฟังก์ชันที่มีสัดส่วนผกผัน ให้ตั้งชื่อค่าสัมประสิทธิ์และระบุว่ากราฟอยู่ส่วนใดของสี่ส่วน
3. ค้นหาโดเมนของคำจำกัดความสำหรับฟังก์ชันที่มีสัดส่วนผกผัน
(จากนั้นนักเรียนตรวจการบ้านของกันและกันด้วยดินสอโดยอิงจากตัวเลขบนกระดานที่ครูตรวจสอบแล้วให้คะแนน)
งานหน้าผากตามตำราหมายเลข 190, 191, 192, 193 (ปากเปล่า)
- การดำเนินการในสมุดบันทึกและบนกระดานจากตำราเรียนหมายเลข 186(b), 187(b), 182
4. ครูสอนวิชาพลศึกษา
5. ทำงานอิสระมีให้ในสามเวอร์ชันของความซับซ้อนที่แตกต่างกัน (แจกจ่ายบนการ์ด)
Ι ค. (น้ำหนักเบา).
เขียนกราฟของฟังก์ชันสัดส่วนผกผัน y=-6/x โดยใช้ตาราง:
ใช้กราฟค้นหา:
ก) ค่าของ y ถ้า x = - 1.5; 2;
b) ค่าของ x โดยที่ y = - 1; 4.
ศตวรรษ (ความยากปานกลาง)
เขียนกราฟของฟังก์ชันสัดส่วนผกผัน y=16/x โดยเติมลงในตารางก่อน
ใช้กราฟหาค่าอะไร xy >0
ศตวรรษ (เพิ่มความยาก)
เขียนกราฟของฟังก์ชันสัดส่วนผกผัน y=10/x-2 โดยเติมลงในตารางก่อน
ค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันนี้
(นักเรียนแจกแผ่นงานพร้อมกราฟที่พล็อตไว้เพื่อทำการทดสอบ)
6. สรุปบทเรียน การประเมิน การบ้าน: หมายเลข 186 (a), 187 (a)