จุดตัดของเส้นในอวกาศออนไลน์ หาจุดตัดกันของเส้น
ให้เส้นสองเส้นมาและคุณต้องหาจุดตัดกัน เนื่องจากจุดนี้เป็นของแต่ละเส้นที่กำหนดทั้งสองเส้น พิกัดของมันจึงต้องเป็นไปตามทั้งสมการของเส้นแรกและสมการของเส้นที่สอง
ดังนั้นในการหาพิกัดของจุดตัดกันของเส้นตรงสองเส้น เราจะต้องแก้ระบบสมการ
ตัวอย่างที่ 1. ค้นหาจุดตัดกันของเส้นและ
สารละลาย. เราจะหาพิกัดของจุดตัดที่ต้องการโดยการแก้ระบบสมการ
จุดตัด M มีพิกัด
เรามาแสดงวิธีการสร้างเส้นตรงโดยใช้สมการของมันกันดีกว่า ในการสร้างเส้นตรง แค่รู้จุดสองจุดของมันก็เพียงพอแล้ว ในการสร้างแต่ละจุดเหล่านี้ เราจะระบุค่าที่กำหนดเองสำหรับพิกัดหนึ่ง จากนั้นเราจะพบค่าที่สอดคล้องกันสำหรับพิกัดอื่นจากสมการ
หากในสมการทั่วไปของเส้นตรงทั้งสองค่าสัมประสิทธิ์ที่พิกัดปัจจุบันไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นในการสร้างเส้นตรงจะเป็นการดีที่สุดที่จะหาจุดตัดกันด้วยแกนพิกัด
ตัวอย่างที่ 2 สร้างเส้นตรง
สารละลาย. เราหาจุดตัดของเส้นนี้กับแกนแอบซิสซา เพื่อทำสิ่งนี้ เราแก้สมการด้วยกัน:
และเราได้รับ ดังนั้นจึงพบจุดตัด M (3; 0) ของเส้นนี้กับแกนแอบซิสซา (รูปที่ 40)
แล้วแก้สมการของเส้นนี้กับสมการของแกนพิกัดเข้าด้วยกัน
เราพบจุดตัดของเส้นตรงกับแกนกำหนด สุดท้าย เราสร้างเส้นตรงจากจุดสองจุด M และ
โอ๊ะโอ๊ะโอ... ก็ยากนะ เหมือนอ่านประโยคให้ตัวเองฟัง =) อย่างไรก็ตาม ความผ่อนคลายจะช่วยได้ทีหลัง โดยเฉพาะวันนี้ที่ซื้ออุปกรณ์เสริมที่เหมาะสมมา เรามาต่อกันที่ส่วนแรกกันดีกว่า ฉันหวังว่าในตอนท้ายของบทความ ฉันจะคงอารมณ์ร่าเริงไว้ได้
ตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นตรงสองเส้น
นี่เป็นกรณีที่ผู้ฟังร้องเพลงพร้อมคอรัส เส้นตรงสองเส้นก็ได้:
1) การแข่งขัน;
2) ขนาน: ;
3) หรือตัดกันที่จุดเดียว: .
ช่วยเหลือหุ่น : โปรดจำไว้ว่าเครื่องหมายทางแยกทางคณิตศาสตร์จะปรากฎบ่อยมาก สัญกรณ์หมายความว่าเส้นตัดกับเส้นตรงจุด
จะทราบตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นสองเส้นได้อย่างไร?
เริ่มจากกรณีแรกกันก่อน:
เส้นสองเส้นตรงกันก็ต่อเมื่อค่าสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันนั้นเป็นสัดส่วนเท่านั้นนั่นคือมีจำนวน "แลมบ์ดา" ที่ทำให้ความเท่าเทียมกันมีความพึงพอใจ
ลองพิจารณาเส้นตรงและสร้างสมการสามสมการจากสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกัน: . จากแต่ละสมการจึงเป็นไปตามนั้น เส้นเหล่านี้จึงตรงกัน
แท้จริงแล้วถ้าสัมประสิทธิ์ของสมการทั้งหมด คูณด้วย –1 (เครื่องหมายเปลี่ยน) และค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของสมการ ตัดด้วย 2 คุณจะได้สมการเดียวกัน: .
กรณีที่สอง เมื่อเส้นขนานกัน:
เส้นสองเส้นจะขนานกันก็ต่อเมื่อค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรเป็นสัดส่วน: , แต่.
เป็นตัวอย่าง ให้พิจารณาเส้นตรงสองเส้น เราตรวจสอบสัดส่วนของค่าสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันสำหรับตัวแปร:
อย่างไรก็ตาม มันค่อนข้างชัดเจนว่า
และกรณีที่สาม เมื่อเส้นตัดกัน:
เส้นตรงสองเส้นตัดกันหากค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรไม่เป็นสัดส่วนนั่นคือไม่มีค่าของ "แลมบ์ดา" ที่จะพึงพอใจกับความเท่าเทียมกัน
ดังนั้น สำหรับเส้นตรง เราจะสร้างระบบ:
จากสมการแรกเป็นไปตามนั้น และจากสมการที่สอง: ซึ่งหมายถึง ระบบไม่สอดคล้องกัน(ไม่มีวิธีแก้ปัญหา) ดังนั้นค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรจึงไม่เป็นสัดส่วน
สรุป: เส้นตัดกัน
ในปัญหาเชิงปฏิบัติ คุณสามารถใช้โครงร่างการแก้ปัญหาที่เพิ่งกล่าวถึงได้ อย่างไรก็ตาม มันชวนให้นึกถึงอัลกอริธึมในการตรวจสอบเวกเตอร์ของคอลลิเนียริตีซึ่งเราดูในชั้นเรียนเป็นอย่างมาก แนวคิดของการพึ่งพาเชิงเส้น (ใน) ของเวกเตอร์ พื้นฐานของเวกเตอร์- แต่มีบรรจุภัณฑ์ที่มีอารยะมากกว่า:
ตัวอย่างที่ 1
ค้นหาตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้น:
สารละลายจากการศึกษาเวกเตอร์กำกับของเส้นตรง:
ก) จากสมการเราพบเวกเตอร์ทิศทางของเส้น: .
ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์ไม่อยู่ในแนวเดียวกันและมีเส้นตัดกัน
เผื่อว่าฉันจะวางก้อนหินที่มีป้ายไว้ตรงทางแยก:
ที่เหลือก็กระโดดข้ามหินแล้วเดินตามต่อไป ตรงไปที่ Kashchei the Immortal =)
b) ค้นหาเวกเตอร์ทิศทางของเส้น:
เส้นตรงมีเวกเตอร์ทิศทางเดียวกัน ซึ่งหมายความว่าเส้นทั้งสองขนานกันหรือบังเอิญกัน ไม่จำเป็นต้องนับดีเทอร์มีแนนต์ตรงนี้
เห็นได้ชัดว่าค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งไม่รู้นั้นเป็นสัดส่วน และ
มาดูกันว่าความเท่าเทียมกันเป็นจริงหรือไม่:
ดังนั้น,
c) ค้นหาเวกเตอร์ทิศทางของเส้น:
ลองคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้:
ดังนั้น เวกเตอร์ทิศทางจึงเป็นเส้นตรง เส้นขนานหรือบังเอิญ
ค่าสัมประสิทธิ์สัดส่วน “แลมบ์ดา” มองเห็นได้ง่ายโดยตรงจากอัตราส่วนของเวกเตอร์ทิศทางเชิงเส้น อย่างไรก็ตาม สามารถพบได้จากค่าสัมประสิทธิ์ของสมการด้วย: .
ทีนี้ลองดูว่าความเท่าเทียมกันเป็นจริงหรือไม่ เงื่อนไขฟรีทั้งสองเงื่อนไขเป็นศูนย์ ดังนั้น:
ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นที่น่าพอใจ สมการนี้(โดยทั่วไปแล้วตัวเลขใดๆ ก็เพียงพอแล้ว)
เส้นจึงตรงกัน
คำตอบ:
ในไม่ช้าคุณจะได้เรียนรู้ (หรือได้เรียนรู้แล้ว) เพื่อแก้ไขปัญหาที่พูดคุยกันด้วยวาจาอย่างแท้จริงในเวลาไม่กี่วินาที ในเรื่องนี้ฉันไม่เห็นประเด็นใด ๆ ที่จะเสนอวิธีแก้ปัญหาแบบอิสระ เป็นการดีกว่าที่จะวางอิฐที่สำคัญอีกก้อนในรากฐานทางเรขาคณิต:
จะสร้างเส้นขนานกับเส้นที่กำหนดได้อย่างไร?
เพราะไม่รู้เรื่องนี้ งานที่ง่ายที่สุดโจรไนติงเกลลงโทษอย่างรุนแรง
ตัวอย่างที่ 2
เส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการ เขียนสมการของเส้นขนานที่ผ่านจุดนั้น
สารละลาย: เรามาแสดงบรรทัดที่ไม่รู้จักด้วยตัวอักษรกัน สภาพพูดเกี่ยวกับเธออย่างไร? เส้นตรงผ่านจุดนั้น และถ้าเส้นขนานกันก็ชัดเจนว่าเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง “tse” ก็เหมาะสำหรับการสร้างเส้นตรง “de” เช่นกัน
เรานำเวกเตอร์ทิศทางออกจากสมการ:
คำตอบ:
ตัวอย่างเรขาคณิตดูเรียบง่าย:
การทดสอบเชิงวิเคราะห์ประกอบด้วยขั้นตอนต่อไปนี้:
1) เราตรวจสอบว่าเส้นมีเวกเตอร์ทิศทางเดียวกัน (หากสมการของเส้นไม่ได้ถูกทำให้ง่ายขึ้นอย่างถูกต้อง เวกเตอร์ก็จะอยู่ในแนวเดียวกัน)
2) ตรวจสอบว่าจุดนั้นเป็นไปตามสมการผลลัพธ์หรือไม่
ในกรณีส่วนใหญ่ การทดสอบเชิงวิเคราะห์สามารถดำเนินการได้อย่างง่ายดายด้วยวาจา ดูสมการทั้งสองนี้ แล้วหลายๆ คนจะระบุความขนานของเส้นได้อย่างรวดเร็วโดยไม่ต้องวาดใดๆ
ตัวอย่างโซลูชันอิสระในปัจจุบันจะเป็นแบบสร้างสรรค์ เพราะคุณยังคงต้องแข่งขันกับบาบายากาและเธอก็รู้ว่าเธอเป็นผู้รักปริศนาทุกประเภท
ตัวอย่างที่ 3
เขียนสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดขนานกับเส้นถ้า
มีวิธีแก้ปัญหาที่มีเหตุผลและไม่สมเหตุสมผล วิธีที่สั้นที่สุดคือตอนท้ายบทเรียน
เราทำงานเล็กน้อยกับเส้นคู่ขนานและจะกลับมาหาพวกเขาในภายหลัง กรณีของเส้นที่ตรงกันนั้นไม่ค่อยน่าสนใจ ดังนั้นลองมาพิจารณาปัญหาที่คุณคุ้นเคยกันดีกว่า หลักสูตรของโรงเรียน:
จะหาจุดตัดของเส้นตรงสองเส้นได้อย่างไร?
ถ้าตรง ตัดกันที่จุด แล้วพิกัดของมันคือคำตอบ ระบบสมการเชิงเส้น
จะหาจุดตัดของเส้นได้อย่างไร? แก้ระบบ.
เอาล่ะ ความหมายทางเรขาคณิตระบบของทั้งสอง สมการเชิงเส้นมีสองสิ่งไม่รู้- นี่คือเส้นสองเส้นที่ตัดกัน (บ่อยที่สุด) บนเครื่องบิน
ตัวอย่างที่ 4
หาจุดตัดกันของเส้น
สารละลาย: มีสองวิธีในการแก้ปัญหา - แบบกราฟิกและการวิเคราะห์
วิธีกราฟิกคือเพียงวาดเส้นที่กำหนดแล้วค้นหาจุดตัดโดยตรงจากภาพวาด:
นี่คือประเด็นของเรา: . ในการตรวจสอบ คุณควรแทนที่พิกัดของมันลงในแต่ละสมการของเส้นตรง ซึ่งพวกมันควรจะพอดีทั้งตรงนั้นและตรงนั้น กล่าวอีกนัยหนึ่ง พิกัดของจุดคือคำตอบของระบบ โดยพื้นฐานแล้ว เราพิจารณาโซลูชันแบบกราฟิก ระบบสมการเชิงเส้นด้วยสองสมการ สองสิ่งที่ไม่รู้
แน่นอนว่าวิธีการแบบกราฟิกนั้นไม่เลว แต่ก็มีข้อเสียที่เห็นได้ชัดเจน ไม่ ประเด็นไม่ใช่ว่านักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ตัดสินใจเช่นนี้ ประเด็นคือ ต้องใช้เวลาในการสร้างภาพวาดที่ถูกต้องและแม่นยำ นอกจากนี้ เส้นตรงบางเส้นยังสร้างได้ไม่ง่ายนัก และจุดตัดนั้นอาจอยู่ที่ไหนสักแห่งในอาณาจักรที่ 30 นอกแผ่นสมุดบันทึก
ดังนั้นจึงเป็นการสมควรมากกว่าที่จะค้นหาจุดตัดโดยใช้วิธีวิเคราะห์ มาแก้ระบบกัน:
ในการแก้ระบบได้ใช้วิธีการบวกสมการแบบเทอมต่อเทอม เพื่อพัฒนาทักษะที่เกี่ยวข้อง บทเรียน จะแก้ระบบสมการได้อย่างไร?
คำตอบ:
การตรวจสอบนั้นไม่สำคัญ - พิกัดของจุดตัดจะต้องเป็นไปตามสมการแต่ละระบบ
ตัวอย่างที่ 5
หาจุดตัดกันของเส้นตรงถ้ามันตัดกัน
นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง สะดวกในการแบ่งงานออกเป็นหลายขั้นตอน การวิเคราะห์สภาพแสดงให้เห็นว่ามีความจำเป็น:
1) เขียนสมการของเส้นตรง
2) สร้างสมการของเส้นตรง
3) ค้นหาตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้น
4) ถ้าเส้นตัดกัน ให้หาจุดตัดกัน
การพัฒนาอัลกอริธึมการดำเนินการเป็นเรื่องปกติสำหรับปัญหาทางเรขาคณิตจำนวนมาก และฉันจะเน้นไปที่เรื่องนี้ซ้ำแล้วซ้ำอีก
เฉลยและคำตอบทั้งหมดในตอนท้ายของบทเรียน:
ไม่มีรองเท้าคู่ใดขาดเลยก่อนที่เราจะมาถึงส่วนที่สองของบทเรียน:
เส้นตั้งฉาก. ระยะทางจากจุดถึงเส้น
มุมระหว่างเส้นตรง
เริ่มจากงานทั่วไปและสำคัญมากกันก่อน ในส่วนแรก เราได้เรียนรู้วิธีสร้างเส้นตรงขนานกับอันนี้ และตอนนี้กระท่อมบนขาไก่จะหมุน 90 องศา:
จะสร้างเส้นตั้งฉากกับเส้นที่กำหนดได้อย่างไร?
ตัวอย่างที่ 6
เส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการ เขียนสมการตั้งฉากกับเส้นที่ผ่านจุด
สารละลาย: โดยเงื่อนไขเป็นที่รู้กันว่า คงจะดีถ้าหาเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง เนื่องจากเส้นตั้งฉากกัน เคล็ดลับง่ายๆ ก็คือ:
จากสมการเรา "ลบ" เวกเตอร์ปกติ: ซึ่งจะเป็นเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง
ลองเขียนสมการของเส้นตรงโดยใช้จุดและเวกเตอร์ทิศทาง:
คำตอบ:
มาขยายร่างเรขาคณิตกัน:
อืม... ฟ้าสีส้ม ทะเลสีส้ม อูฐสีส้ม
การตรวจสอบเชิงวิเคราะห์ของโซลูชัน:
1) เรานำเวกเตอร์ทิศทางออกจากสมการ และด้วยความช่วยเหลือ ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เรามาถึงข้อสรุปว่าเส้นตั้งฉากกันจริงๆ: .
อย่างไรก็ตาม คุณสามารถใช้เวกเตอร์ปกติได้ ง่ายกว่านี้อีก
2) ตรวจสอบว่าจุดนั้นเป็นไปตามสมการผลลัพธ์หรือไม่ .
การทดสอบนี้ทำได้ง่ายด้วยวาจา
ตัวอย่างที่ 7
หาจุดตัดของเส้นตั้งฉากถ้าทราบสมการ และช่วงเวลา
นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง ปัญหามีหลายการกระทำ ดังนั้นจึงสะดวกในการกำหนดวิธีแก้ปัญหาทีละจุด
การเดินทางที่น่าตื่นเต้นของเราดำเนินต่อไป:
ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง
เรามีแม่น้ำสายตรงอยู่ตรงหน้า และหน้าที่ของเราคือไปให้ถึงแม่น้ำด้วยเส้นทางที่สั้นที่สุด ไม่มีอุปสรรคใดๆ และเส้นทางที่เหมาะสมที่สุดคือการเคลื่อนที่ในแนวตั้งฉาก นั่นคือระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่งคือความยาวของส่วนตั้งฉาก
ระยะทางในเรขาคณิตจะแสดงแทนแบบดั้งเดิม อักษรกรีก“ro” เช่น: – ระยะห่างจากจุด “em” ถึงเส้นตรง “de”
ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง แสดงโดยสูตร
ตัวอย่างที่ 8
ค้นหาระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง
สารละลาย: สิ่งที่คุณต้องทำคือแทนที่ตัวเลขลงในสูตรอย่างระมัดระวังแล้วดำเนินการคำนวณ:
คำตอบ:
มาวาดรูปกันเถอะ:
ระยะทางที่พบจากจุดหนึ่งไปยังเส้นตรงคือความยาวของส่วนสีแดงพอดี หากคุณวาดภาพบนกระดาษตาหมากรุกในระดับ 1 หน่วย = 1 ซม. (2 เซลล์) จากนั้นสามารถวัดระยะทางด้วยไม้บรรทัดธรรมดา
ลองพิจารณางานอื่นโดยใช้รูปวาดเดียวกัน:
ภารกิจคือการหาพิกัดของจุดที่สมมาตรกับจุดที่สัมพันธ์กับเส้นตรง - ฉันแนะนำให้ทำตามขั้นตอนด้วยตัวเอง แต่ฉันจะร่างอัลกอริทึมการแก้ปัญหาด้วยผลลัพธ์ระดับกลาง:
1) ค้นหาเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นตรง
2) ค้นหาจุดตัดของเส้น: .
การกระทำทั้งสองจะกล่าวถึงโดยละเอียดในบทเรียนนี้
3) จุดคือจุดกึ่งกลางของส่วน เรารู้พิกัดของตรงกลางและปลายด้านหนึ่ง โดย สูตรสำหรับพิกัดจุดกึ่งกลางของส่วนเราพบ
เป็นความคิดที่ดีที่จะตรวจสอบว่าระยะทางเป็น 2.2 หน่วยด้วย
ความยากลำบากอาจเกิดขึ้นในการคำนวณที่นี่ แต่เครื่องคิดเลขขนาดเล็กเป็นตัวช่วยที่ดีเยี่ยมในหอคอย ทำให้คุณสามารถนับได้ เศษส่วนทั่วไป- ฉันเคยแนะนำคุณหลายครั้งแล้วและจะแนะนำคุณอีกครั้ง
จะหาระยะห่างระหว่างเส้นขนานสองเส้นได้อย่างไร?
ตัวอย่างที่ 9
หาระยะห่างระหว่างเส้นขนานสองเส้น
นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่งให้คุณตัดสินใจด้วยตัวเอง ฉันจะให้คำแนะนำเล็กน้อยแก่คุณ: มีหลายวิธีในการแก้ปัญหานี้อย่างไม่สิ้นสุด การซักถามในตอนท้ายของบทเรียน แต่ควรลองเดาด้วยตัวเองดีกว่า ฉันคิดว่าความฉลาดของคุณได้รับการพัฒนาอย่างดี
มุมระหว่างเส้นตรงสองเส้น
ทุกมุมเป็นวงกบ:
ในเรขาคณิต มุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นจะถือเป็นมุมที่เล็กกว่า ซึ่งจะตามมาโดยอัตโนมัติเพื่อไม่ให้มุมป้าน ในรูป มุมที่ระบุโดยส่วนโค้งสีแดงไม่ถือเป็นมุมระหว่างเส้นตัดกัน และเพื่อนบ้าน "สีเขียว" ของเขาหรือ มุ่งเน้นตรงกันข้ามมุม "ราสเบอร์รี่"
ถ้าเส้นตั้งฉาก มุมทั้ง 4 มุมก็สามารถถือเป็นมุมระหว่างมุมเหล่านั้นได้
มุมต่างกันอย่างไร? ปฐมนิเทศ. ประการแรก ทิศทางของการ "เลื่อน" มุมนั้นมีความสำคัญขั้นพื้นฐาน ประการที่สอง มุมที่เป็นลบจะถูกเขียนด้วยเครื่องหมายลบ เช่น ถ้า
ทำไมฉันถึงบอกคุณเรื่องนี้? ดูเหมือนว่าเราจะผ่านแนวคิดเรื่องมุมตามปกติได้ ความจริงก็คือสูตรที่ใช้หามุมสามารถให้ผลลัพธ์เชิงลบได้ง่าย และสิ่งนี้ไม่ควรทำให้คุณประหลาดใจ มุมที่มีเครื่องหมายลบก็ไม่ได้แย่ไปกว่านั้น และมีความหมายทางเรขาคณิตที่เฉพาะเจาะจงมาก ในภาพวาด สำหรับมุมลบ ต้องแน่ใจว่าได้ระบุทิศทางด้วยลูกศร (ตามเข็มนาฬิกา)
จะหามุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นได้อย่างไร?มีสองสูตรการทำงาน:
ตัวอย่างที่ 10
ค้นหามุมระหว่างเส้น
สารละลายและ วิธีที่หนึ่ง
ลองพิจารณาเส้นตรงสองเส้นที่กำหนดโดยสมการในรูปแบบทั่วไป:
ถ้าตรง ไม่ตั้งฉาก, ที่ มุ่งเน้นมุมระหว่างมุมสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:
ให้เราใส่ใจกับตัวส่วนอย่างใกล้ชิด - ตรงนี้เอง ผลิตภัณฑ์ดอทกำกับเวกเตอร์ของเส้นตรง:
ถ้า แล้วตัวหารของสูตรจะกลายเป็นศูนย์ และเวกเตอร์จะตั้งฉากและเส้นจะตั้งฉาก นั่นคือสาเหตุว่าทำไมจึงมีข้อสงวนเกี่ยวกับความไม่ตั้งฉากของเส้นตรงในสูตร
จากที่กล่าวมาข้างต้น จะสะดวกในการจัดทำโซลูชันอย่างเป็นทางการในสองขั้นตอน:
1) มาคำนวณกัน ผลิตภัณฑ์ดอทกำกับเวกเตอร์ของเส้นตรง:
ซึ่งหมายความว่าเส้นไม่ตั้งฉาก
2) ค้นหามุมระหว่างเส้นตรงโดยใช้สูตร:
โดยการใช้ ฟังก์ชันผกผันหามุมเองก็ง่าย ในกรณีนี้ เราใช้ความคี่ของอาร์กแทนเจนต์ (ดู กราฟและคุณสมบัติของฟังก์ชันเบื้องต้น):
คำตอบ:
ในคำตอบของคุณ เราจะระบุค่าที่แน่นอนตลอดจนค่าโดยประมาณ (ควรเป็นทั้งองศาและเรเดียน) ซึ่งคำนวณโดยใช้เครื่องคิดเลข
ลบ ลบ ไม่ใช่เรื่องใหญ่อะไร นี่คือภาพประกอบทางเรขาคณิต:
ไม่น่าแปลกใจที่มุมกลายเป็นทิศทางเชิงลบเพราะในคำชี้แจงปัญหาตัวเลขแรกเป็นเส้นตรงและการ "คลายเกลียว" ของมุมเริ่มต้นด้วยอย่างแม่นยำ
หากคุณต้องการได้มุมบวกจริงๆ คุณต้องสลับเส้น นั่นคือ นำสัมประสิทธิ์จากสมการที่สอง และหาสัมประสิทธิ์จากสมการแรก ในระยะสั้นคุณต้องเริ่มต้นด้วยโดยตรง .
เวลาผ่านไปไม่ถึงนาทีก่อนที่ฉันจะสร้างไฟล์ Verd ใหม่และยังคงหัวข้อที่น่าสนใจเช่นนี้ต่อไป คุณต้องบันทึกช่วงเวลาแห่งอารมณ์การทำงาน ดังนั้นจึงไม่มีการแนะนำโคลงสั้น ๆ จะมีการตบแบบธรรมดา =)
ช่องว่างตรงสองช่องสามารถ:
1) ผสมข้ามพันธุ์;
2) ตัดกันที่จุด ;
3) ขนาน;
4) การแข่งขัน
กรณีที่ 1 มีความแตกต่างจากกรณีอื่นๆ โดยพื้นฐาน เส้นตรงสองเส้นตัดกันหากไม่อยู่ในระนาบเดียวกัน- ยกแขนข้างหนึ่งขึ้นแล้วเหยียดแขนอีกข้างไปข้างหน้า นี่คือตัวอย่างของเส้นไขว้ ในจุดที่ 2-4 เส้นตรงจะต้องนอนอยู่ ในเครื่องบินลำเดียว.
จะทราบตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นในอวกาศได้อย่างไร?
พิจารณาช่องว่างทางตรงสองช่อง:
- ตรง, ให้ไว้ตามจุดและเวกเตอร์ทิศทาง
– เส้นตรงที่กำหนดโดยจุดและเวกเตอร์ทิศทาง
เพื่อความเข้าใจที่ดีขึ้นเรามาสร้างแผนผัง:
ภาพวาดแสดงเส้นตรงที่ตัดกันเป็นตัวอย่าง
จะจัดการกับเส้นตรงเหล่านี้อย่างไร?
เนื่องจากทราบจุดต่างๆ จึงง่ายต่อการค้นหาเวกเตอร์
ถ้าตรง ผสมข้ามพันธุ์แล้วเวกเตอร์ ไม่ใช่ระนาบ(ดูบทเรียน การพึ่งพาเชิงเส้น (ไม่) ของเวกเตอร์ พื้นฐานของเวกเตอร์) ดังนั้น ดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยพิกัดจึงไม่เป็นศูนย์ หรือซึ่งจริงๆ แล้วเป็นสิ่งเดียวกัน มันจะไม่เป็นศูนย์: .
ในกรณีที่หมายเลข 2-4 โครงสร้างของเรา "ตก" ลงในระนาบเดียวและเวกเตอร์ เครื่องบินร่วมและผลคูณผสมของเวกเตอร์ที่ขึ้นต่อเชิงเส้นเท่ากับศูนย์: .
มาขยายอัลกอริธึมเพิ่มเติมกัน สมมุติว่า ดังนั้นเส้นทั้งที่ตัดกัน ขนานกัน หรือตรงกัน
ถ้าเวกเตอร์ทิศทาง คอลลิเนียร์แล้วเส้นนั้นขนานหรือบังเอิญ สำหรับตะปูสุดท้าย ฉันขอเสนอเทคนิคต่อไปนี้: นำจุดใดก็ได้บนเส้นหนึ่งและแทนที่พิกัดลงในสมการของเส้นที่สอง ถ้าพิกัด "พอดี" เส้นจะตรงกัน ถ้า "ไม่พอดี" เส้นก็จะขนานกัน
อัลกอริธึมนั้นง่าย แต่ ตัวอย่างการปฏิบัติยังไม่เจ็บ:
ตัวอย่างที่ 11
ค้นหาตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นตรงสองเส้น
สารละลาย: เช่นเดียวกับปัญหาเรขาคณิตหลายๆ ข้อ สะดวกในการกำหนดวิธีแก้ปัญหาทีละจุด:
1) เรานำจุดและเวกเตอร์ทิศทางออกจากสมการ:
2) ค้นหาเวกเตอร์:
ดังนั้น เวกเตอร์จึงเป็นระนาบเดียวกัน ซึ่งหมายความว่าเส้นตรงอยู่ในระนาบเดียวกันและสามารถตัดกัน ขนานกัน หรือตรงกันได้
4) ลองตรวจสอบเวกเตอร์ทิศทางเพื่อหาความสอดคล้องกัน
มาสร้างระบบจากพิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์เหล่านี้:
จาก ทุกคนสมการเป็นไปตามนั้น ดังนั้น ระบบจึงสอดคล้องกัน พิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์เป็นสัดส่วน และเวกเตอร์เป็นเส้นตรง
สรุป: เส้นขนานหรือตรงกัน
5) ค้นหาว่าเส้นนั้นมีจุดร่วมกันหรือไม่ ลองใช้จุดที่เป็นของบรรทัดแรกและแทนที่พิกัดของมันลงในสมการของเส้น:
ดังนั้น เส้นทั้งสองจึงไม่มีจุดร่วม และไม่มีทางเลือกอื่นนอกจากต้องขนานกัน
คำตอบ:
ตัวอย่างที่น่าสนใจในการแก้ไขด้วยตัวเอง:
ตัวอย่างที่ 12
ค้นหาตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นตรง
นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง โปรดทราบว่าบรรทัดที่สองมีตัวอักษรเป็นพารามิเตอร์ ตรรกะ ในกรณีทั่วไป เส้นเหล่านี้เป็นสองบรรทัดที่แตกต่างกัน ดังนั้นแต่ละบรรทัดจึงมีพารามิเตอร์ของตัวเอง
และขอย้ำอีกครั้งว่าอย่าข้ามตัวอย่าง งานที่ฉันเสนอนั้นห่างไกลจากการสุ่ม ;-)
ปัญหาเกี่ยวกับเส้นในอวกาศ
ในส่วนสุดท้ายของบทเรียน ฉันจะพยายามพิจารณา ปริมาณสูงสุดปัญหาต่างๆ เกี่ยวกับเส้นเชิงพื้นที่ ในกรณีนี้ ลำดับดั้งเดิมของเรื่องจะถูกสังเกต ขั้นแรกเราจะพิจารณาปัญหาเกี่ยวกับการข้ามเส้น จากนั้นจึงพิจารณาเรื่องเส้นตัดกัน และในตอนท้ายเราจะพูดถึงเส้นคู่ขนานในอวกาศ อย่างไรก็ตามฉันต้องบอกว่างานบางอย่างในบทเรียนนี้สามารถกำหนดตำแหน่งของบรรทัดได้หลายกรณีในคราวเดียวและในเรื่องนี้การแบ่งส่วนออกเป็นย่อหน้านั้นค่อนข้างจะเป็นไปตามอำเภอใจ ยังมีอีกมาก ตัวอย่างง่ายๆยังมีอีกมาก ตัวอย่างที่ซับซ้อนและฉันหวังว่าทุกคนจะพบสิ่งที่ต้องการ
ข้ามเส้น
ฉันขอเตือนคุณว่าเส้นตรงตัดกันหากไม่มีระนาบที่ทั้งคู่นอนอยู่ เมื่อฉันกำลังคิดถึงการฝึกฝน ก็เกิดปัญหาสัตว์ประหลาดขึ้นมา และตอนนี้ฉันดีใจที่ได้นำเสนอมังกรที่มีสี่หัวแก่คุณ:
ตัวอย่างที่ 13
ให้เส้นตรง. ที่จำเป็น:
ก) พิสูจน์ว่าเส้นตัดกัน
b) ค้นหาสมการของเส้นที่ผ่านจุดตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด
c) เขียนสมการของเส้นตรงที่มี ตั้งฉากทั่วไปข้ามเส้น;
d) ค้นหาระยะห่างระหว่างเส้น
สารละลาย: ผู้ที่เดินจะเชี่ยวชาญถนน:
ก) ให้เราพิสูจน์ว่าเส้นตัดกัน ลองหาจุดและเวกเตอร์ทิศทางของเส้นเหล่านี้:
ลองหาเวกเตอร์:
มาคำนวณกัน ผลคูณผสมของเวกเตอร์:
ดังนั้นเวกเตอร์ ไม่ใช่ระนาบซึ่งหมายความว่าเส้นตัดกันซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์
ทุกคนคงสังเกตมานานแล้วว่าอัลกอริธึมการตรวจสอบจะสั้นที่สุดสำหรับการข้ามเส้น
b) ค้นหาสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดและตั้งฉากกับเส้นตรง มาเขียนแบบแผนกันเถอะ:
สำหรับการเปลี่ยนแปลงฉันโพสต์โดยตรง สำหรับตรง ๆ ดูสิว่าทางแยกจะลบนิดหน่อยยังไง การผสมข้ามพันธุ์? ใช่ โดยทั่วไปแล้ว เส้นตรง “de” จะถูกข้ามกับเส้นตรงดั้งเดิม แม้ว่า ในขณะนี้เรายังไม่สนใจมัน เราแค่ต้องสร้างเส้นตั้งฉาก แค่นั้นเอง
สิ่งที่รู้เกี่ยวกับโดยตรง "de"? ทราบจุดที่เป็นของมัน มีเวกเตอร์คำแนะนำไม่เพียงพอ
ตามเงื่อนไข เส้นตรงจะต้องตั้งฉากกับเส้นตรง ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์ทิศทางของมันจะตั้งฉากกับเวกเตอร์ทิศทาง คุ้นเคยจากตัวอย่างที่ 9 แล้ว เรามาค้นหาบรรทัดฐานกันดีกว่า ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:
มาเขียนสมการของเส้นตรง “de” โดยใช้จุดและเวกเตอร์ทิศทางกัน:
พร้อม. โดยหลักการแล้ว คุณสามารถเปลี่ยนเครื่องหมายในตัวส่วนแล้วเขียนคำตอบลงในแบบฟอร์มได้ แต่ไม่จำเป็นสำหรับสิ่งนี้
ในการตรวจสอบ คุณจะต้องแทนที่พิกัดของจุดลงในสมการเส้นตรงที่ได้ จากนั้นจึงใช้ ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ตรวจสอบให้แน่ใจว่าเวกเตอร์ตั้งฉากกับเวกเตอร์ทิศทาง “pe one” และ “pe two” จริงๆ
จะหาสมการของเส้นตรงที่มีเส้นตั้งฉากร่วมได้อย่างไร?
c) ปัญหานี้จะยากขึ้น ฉันขอแนะนำให้คนโง่ข้ามประเด็นนี้ไป ฉันไม่ต้องการลดความเห็นอกเห็นใจอย่างจริงใจของคุณ เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์=) อย่างไรก็ตาม มันอาจจะดีกว่าสำหรับผู้อ่านที่เตรียมใจไว้ก่อน ความจริงก็คือ เนื่องจากความซับซ้อนของมัน จึงควรวางตัวอย่างไว้ท้ายบทความ แต่ตามตรรกะของการนำเสนอ ควรจะเป็น ตั้งอยู่ที่นี่
ดังนั้น คุณจำเป็นต้องค้นหาสมการของเส้นตรงที่มีเส้นตั้งฉากทั่วไปกับเส้นเบ้
– นี่คือส่วนที่เชื่อมต่อเส้นเหล่านี้และตั้งฉากกับเส้นเหล่านี้:
นี่คือหนุ่มหล่อของเรา: - เส้นตั้งฉากทั่วไปของเส้นตัดกัน เขาเป็นคนเดียวเท่านั้น ไม่มีอย่างอื่นที่เหมือนกับมัน เราจำเป็นต้องสร้างสมการสำหรับเส้นตรงที่มีส่วนนี้
สิ่งที่รู้เกี่ยวกับ "อืม" โดยตรงคืออะไร? ทราบเวกเตอร์ทิศทางซึ่งพบได้ในย่อหน้าก่อนหน้า แต่น่าเสียดายที่เราไม่ทราบจุดเดียวที่เป็นของเส้นตรง "em" และไม่ทราบจุดสิ้นสุดของเส้นตั้งฉาก นั่นคือจุด เส้นตั้งฉากนี้ตัดกับเส้นเดิมสองเส้นที่ไหน? ในแอฟริกา ในแอนตาร์กติกาเหรอ? จากการทบทวนและวิเคราะห์สภาพเบื้องต้นยังไม่ทราบวิธีแก้ปัญหาที่ชัดเจนเลย... แต่มีเคล็ดลับยุ่งยากเกี่ยวกับการใช้สมการพาราเมตริกของเส้นตรง
เราจะทำการตัดสินใจแบบจุดต่อจุดอย่างเป็นทางการ:
1) มาเขียนสมการของบรรทัดแรกในรูปแบบพาราเมตริกอีกครั้ง:
ลองพิจารณาประเด็น เราไม่ทราบพิกัด แต่- หากจุดเป็นของเส้นที่กำหนด พิกัดของมันจะสอดคล้องกับ ให้เราแสดงด้วย . จากนั้นพิกัดของจุดจะถูกเขียนในรูปแบบ:
ชีวิตเริ่มดีขึ้น หนึ่งคนที่ไม่รู้จักก็ยังไม่ใช่สามสิ่งไม่รู้
2) จะต้องดำเนินการชั่วร้ายแบบเดียวกันในประเด็นที่สอง ให้เราเขียนสมการของบรรทัดที่สองใหม่ในรูปแบบพาราเมตริก:
หากจุดใดเป็นของเส้นที่กำหนด มีความหมายเฉพาะเจาะจงมากพิกัดต้องเป็นไปตามสมการพาราเมตริก:
หรือ:
3) เวกเตอร์ เช่นเดียวกับเวกเตอร์ที่พบก่อนหน้านี้ จะเป็นเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง มีการอภิปรายเกี่ยวกับวิธีการสร้างเวกเตอร์จากสองจุด กาลเวลาในชั้นเรียน เวกเตอร์สำหรับหุ่นจำลอง- ตอนนี้ความแตกต่างคือพิกัดของเวกเตอร์ถูกเขียนด้วยค่าพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จัก แล้วไงล่ะ? ไม่มีใครห้ามไม่ให้ลบพิกัดที่สอดคล้องกันของจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์จากพิกัดของจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์
มีสองจุด: .
การค้นหาเวกเตอร์:
4) เนื่องจากเวกเตอร์ทิศทางเป็นแบบแนวเดียวกัน เวกเตอร์หนึ่งจึงแสดงเป็นเส้นตรงผ่านอีกเวกเตอร์หนึ่งด้วยสัมประสิทธิ์สัดส่วนที่แน่นอน “แลมบ์ดา”:
หรือประสานงานโดยพิกัด:
มันกลายเป็นเรื่องธรรมดาที่สุด ระบบสมการเชิงเส้นด้วยสิ่งไม่รู้ 3 อย่าง ซึ่งแก้ได้ตามมาตรฐาน เช่น วิธีการของแครมเมอร์- แต่ที่นี่มีโอกาสที่จะสูญเสียเพียงเล็กน้อย ลองแสดง "แลมบ์ดา" จากสมการที่สามแล้วแทนที่มันลงในสมการที่หนึ่งและที่สอง:
ดังนั้น: และเราไม่ต้องการ "แลมบ์ดา" ความจริงที่ว่าค่าพารามิเตอร์กลับกลายเป็นว่าเหมือนกันนั้นเป็นอุบัติเหตุล้วนๆ
5) ท้องฟ้าแจ่มใสแล้ว ให้แทนที่ค่าที่พบ ถึงประเด็นของเรา:
ไม่จำเป็นต้องใช้เวกเตอร์ทิศทางเป็นพิเศษ เนื่องจากพบเวกเตอร์ทิศทางแล้ว
หลังจาก ทางยาวการตรวจสอบเป็นเรื่องที่น่าสนใจเสมอ
:
ได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง
ลองแทนพิกัดของจุดลงในสมการกัน :
ได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง
6) คอร์ดสุดท้าย: มาสร้างสมการของเส้นตรงโดยใช้จุด (คุณทำได้) และเวกเตอร์ทิศทาง:
โดยหลักการแล้ว คุณสามารถเลือกจุดที่ "ดี" ด้วยพิกัดที่สมบูรณ์ได้ แต่นี่เป็นเพียงความสวยงาม
จะหาระยะห่างระหว่างเส้นตัดกันได้อย่างไร?
d) เราตัดหัวมังกรที่สี่ออก
วิธีที่หนึ่ง- ไม่ใช่แม้แต่วิธีการ แต่เป็นกรณีพิเศษเล็กๆ น้อยๆ ระยะห่างระหว่างเส้นตัดกันเท่ากับความยาวของเส้นตั้งฉากทั่วไป: .
จุดสุดขีดตั้งฉากทั่วไป พบในย่อหน้าก่อนหน้า และงานเป็นระดับเบื้องต้น:
วิธีที่สอง- ในทางปฏิบัติ ส่วนใหญ่มักจะไม่ทราบจุดสิ้นสุดของเส้นตั้งฉากทั่วไป ดังนั้นจึงใช้แนวทางที่แตกต่างออกไป ระนาบขนานสามารถลากผ่านเส้นตรงสองเส้นที่ตัดกัน และระยะห่างระหว่างระนาบเหล่านี้จะเท่ากับระยะห่างระหว่างเส้นตรงเหล่านี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เส้นตั้งฉากทั่วไปจะยื่นออกมาระหว่างระนาบเหล่านี้
ในวิชาเรขาคณิตวิเคราะห์ จากการพิจารณาข้างต้น จะได้สูตรมาเพื่อหาระยะห่างระหว่างเส้นตรงที่ตัดกัน:
(แทนที่จะเป็นคะแนนของเรา "อืม หนึ่ง สอง" คุณสามารถใช้จุดเส้นใดก็ได้)
ผลคูณผสมของเวกเตอร์พบแล้วในจุด "a": .
ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์พบในย่อหน้า "เป็น": ลองคำนวณความยาวของมัน:
ดังนั้น:
เรามาแสดงถ้วยรางวัลกันอย่างภาคภูมิใจในแถวเดียว:
คำตอบ:
ก) ซึ่งหมายความว่าเส้นตรงตัดกันซึ่งเป็นสิ่งที่ต้องพิสูจน์
ข) ;
วี) ;
ช)
คุณสามารถบอกอะไรได้อีกเกี่ยวกับการข้ามเส้น? มีมุมที่กำหนดไว้ระหว่างพวกเขา แต่เราจะพิจารณาสูตรมุมสากลในย่อหน้าถัดไป:
การตัดกันช่องว่างตรงจำเป็นต้องอยู่ในระนาบเดียวกัน:
ความคิดแรกคือการพิงจุดตัดอย่างสุดกำลัง และฉันก็คิดทันทีว่าทำไมต้องปฏิเสธตัวเอง ความปรารถนาที่ถูกต้อง- ขึ้นไปบนตัวเธอตอนนี้เลย!
จะหาจุดตัดของเส้นอวกาศได้อย่างไร?
ตัวอย่างที่ 14
หาจุดตัดกันของเส้น
สารละลาย: ลองเขียนสมการของเส้นใหม่ในรูปแบบพาราเมตริก:
งานนี้มีการอภิปรายโดยละเอียดในตัวอย่างที่ 7 ของบทเรียนนี้ (ดู สมการของเส้นตรงในอวกาศ- และอีกอย่าง ฉันเอาเส้นตรงมาจากตัวอย่างที่ 12 ฉันจะไม่โกหก ฉันขี้เกียจเกินไปที่คิดสิ่งใหม่
ผลเฉลยเป็นไปตามมาตรฐานและพบแล้วเมื่อเราพยายามหาสมการของเส้นตั้งฉากร่วม
จุดตัดของเส้นเป็นของเส้น ดังนั้นพิกัดจึงเป็นไปตามสมการพาราเมตริกของเส้นนี้ และสอดคล้องกับ ค่าพารามิเตอร์ที่เฉพาะเจาะจงมาก:
แต่จุดเดียวกันนี้ก็เป็นของบรรทัดที่สองด้วย ดังนั้น:
เราเทียบสมการที่เกี่ยวข้องและดำเนินการลดความซับซ้อน:
จะได้ระบบสมการเชิงเส้นสามสมการที่มีไม่ทราบค่าสองตัว หากเส้นตัดกัน (ซึ่งได้รับการพิสูจน์แล้วในตัวอย่างที่ 12) ระบบจำเป็นต้องสอดคล้องกันและมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ ก็สามารถแก้ไขได้ วิธีเกาส์เซียนแต่อย่าทำบาปกับความเชื่อทางไสยศาสตร์ในโรงเรียนอนุบาลแบบนั้น มาทำให้มันง่ายกว่า: จากสมการแรกเราแสดง "te ศูนย์" และแทนที่มันเป็นสมการที่สองและสาม:
สมการสองอันสุดท้ายกลายเป็นว่าเหมือนกันโดยพื้นฐานแล้ว และตามมาด้วยว่า . แล้ว:
แทนที่ค่าที่พบของพารามิเตอร์ลงในสมการ:
คำตอบ:
ในการตรวจสอบ เราจะแทนที่ค่าที่พบของพารามิเตอร์ลงในสมการ:
ได้รับพิกัดเดียวกันที่ต้องตรวจสอบ ผู้อ่านที่พิถีพิถันสามารถแทนที่พิกัดของจุดลงในสมการเส้นมาตรฐานดั้งเดิมได้
อย่างไรก็ตาม มันเป็นไปได้ที่จะทำสิ่งที่ตรงกันข้าม: หาจุดผ่าน "es ศูนย์" และตรวจสอบผ่าน "te ศูนย์"
ความเชื่อทางไสยศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ที่รู้จักกันดีกล่าวว่า: เมื่อมีการพูดถึงจุดตัดของเส้น จะมีกลิ่นของเส้นตั้งฉากอยู่เสมอ
จะสร้างเส้นของช่องว่างตั้งฉากกับเส้นที่กำหนดได้อย่างไร?
(เส้นตัดกัน)
ตัวอย่างที่ 15
ก) เขียนสมการของเส้นที่ลากผ่านจุดตั้งฉากกับเส้นตรง (เส้นตัดกัน).
b) ค้นหาระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง
บันทึก
: ข้อ “เส้นตัดกัน” – สำคัญ- ผ่านจุด
คุณสามารถวาดเส้นตั้งฉากที่จะตัดกับเส้นตรง "el" ได้ไม่จำกัดจำนวน วิธีแก้ปัญหาเดียวเกิดขึ้นในกรณีที่ลากเส้นตรงตั้งฉากกับจุดที่กำหนด สองกำหนดโดยเส้นตรง (ดูตัวอย่างที่ 13 จุด "b")
ก) สารละลาย: เราแสดงบรรทัดที่ไม่รู้จักด้วย มาเขียนแบบแผนกันเถอะ:
สิ่งที่รู้เกี่ยวกับเส้นตรง? ตามเงื่อนไขจะมีการให้คะแนน ในการเขียนสมการของเส้นตรง จำเป็นต้องหาเวกเตอร์ทิศทาง เวกเตอร์ค่อนข้างเหมาะสมสำหรับเวกเตอร์ดังกล่าว ดังนั้นเราจะจัดการกับมัน แม่นยำยิ่งขึ้นมาพาคุณไปที่ต้นคอ ไม่ทราบจุดสิ้นสุดเวกเตอร์
1) นำเวกเตอร์ทิศทางออกจากสมการของเส้นตรง "el" แล้วเขียนสมการใหม่ในรูปแบบพาราเมตริก:
หลายคนเดาว่าตอนนี้เป็นครั้งที่สามระหว่างบทเรียนที่นักมายากลจะได้รับ หงส์ขาวจากหมวก พิจารณาจุดที่มีพิกัดไม่ทราบ เนื่องจากจุดคือ พิกัดของมันจะเป็นไปตามสมการพาราเมตริกของเส้นตรง “el” และสอดคล้องกับค่าพารามิเตอร์เฉพาะ:
หรือในบรรทัดเดียว:
2) ตามเงื่อนไข เส้นจะต้องตั้งฉาก ดังนั้นเวกเตอร์ทิศทางจึงเป็นมุมตั้งฉาก และถ้าเวกเตอร์ตั้งฉาก แล้วเวกเตอร์เหล่านั้น ผลิตภัณฑ์ดอทเท่ากับศูนย์:
เกิดอะไรขึ้น สมการเชิงเส้นที่ง่ายที่สุดโดยไม่ทราบค่า:
3) ทราบค่าของพารามิเตอร์แล้ว มาหาประเด็นกัน:
และเวกเตอร์ทิศทาง:
.
4) มาเขียนสมการของเส้นตรงโดยใช้จุดและเวกเตอร์ทิศทางกัน :
ตัวส่วนของสัดส่วนกลายเป็นเศษส่วน และนี่เป็นกรณีที่เหมาะสมที่จะกำจัดเศษส่วน ฉันจะคูณมันด้วย -2:
คำตอบ:
บันทึก : การสิ้นสุดการแก้ปัญหาที่เข้มงวดมากขึ้นมีรูปแบบดังนี้: มาเขียนสมการของเส้นตรงโดยใช้จุดและเวกเตอร์ทิศทางกัน - แท้จริงแล้ว ถ้าเวกเตอร์เป็นเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง แล้วเวกเตอร์คอลลิเนียร์ ย่อมเป็นเวกเตอร์กำกับของเส้นตรงนี้ด้วย
การตรวจสอบประกอบด้วยสองขั้นตอน:
1) ตรวจสอบเวกเตอร์ทิศทางของเส้นเพื่อความตั้งฉาก
2) เราแทนที่พิกัดของจุดลงในสมการของแต่ละบรรทัดซึ่งควร "พอดี" ทั้งตรงนั้นและตรงนั้น
มีการพูดคุยกันมากมายเกี่ยวกับการกระทำทั่วไป ดังนั้นฉันจึงตรวจสอบฉบับร่าง
อย่างไรก็ตาม ฉันลืมอีกจุดหนึ่ง - เพื่อสร้างจุด "zyu" สมมาตรกับจุด "en" สัมพันธ์กับเส้นตรง "el" อย่างไรก็ตาม มี "อะนาล็อกแบบแบน" ที่ดีซึ่งสามารถพบได้ในบทความ ปัญหาที่ง่ายที่สุดเกี่ยวกับเส้นตรงบนเครื่องบิน- ความแตกต่างเพียงอย่างเดียวจะอยู่ในพิกัด "Z" เพิ่มเติม
จะหาระยะทางจากจุดถึงเส้นในอวกาศได้อย่างไร?
ข) สารละลาย: ลองหาระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง
วิธีที่หนึ่ง- ระยะนี้เท่ากับความยาวของเส้นตั้งฉาก: วิธีแก้ปัญหาก็ชัดเจน: ถ้ารู้ประเด็นต่างๆ , ที่:
วิธีที่สอง- ในการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติ ฐานของตั้งฉากมักเป็นความลับที่ปิดสนิท ดังนั้นจึงมีเหตุผลมากกว่าที่จะใช้สูตรสำเร็จรูป
ระยะทางจากจุดถึงเส้นแสดงโดยสูตร:
โดยที่เวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง “el” อยู่ที่ไหน และ – ฟรีจุดที่อยู่ในบรรทัดที่กำหนด
1) จากสมการของเส้นตรง เรานำเวกเตอร์ไกด์ออกมามากที่สุด จุดที่เข้าถึงได้.
2) ทราบจุดจากเงื่อนไข ปรับเวกเตอร์ให้คมขึ้น:
3) มาหากัน ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์และคำนวณความยาวของมัน:
4) คำนวณความยาวของเวกเตอร์ไกด์:
5) ดังนั้น ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง:
ด้วยสิ่งนี้ เครื่องคิดเลขออนไลน์คุณสามารถหาจุดตัดของเส้นบนเครื่องบินได้ ที่ให้ไว้ วิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดพร้อมคำอธิบาย หากต้องการค้นหาพิกัดของจุดตัดกันของเส้น ให้กำหนดประเภทของสมการของเส้น ("canonical", "parametric" หรือ "general") ป้อนค่าสัมประสิทธิ์ของสมการของเส้นในเซลล์แล้วคลิก "แก้" " ปุ่ม. ดูส่วนทางทฤษฎีและตัวอย่างเชิงตัวเลขด้านล่าง
×
คำเตือน
ล้างเซลล์ทั้งหมดใช่ไหม
ปิด ล้าง
คำแนะนำในการป้อนข้อมูลตัวเลขจะป้อนเป็นจำนวนเต็ม (เช่น 487, 5, -7623 เป็นต้น) ทศนิยม (เช่น 67., 102.54 เป็นต้น) หรือเศษส่วน เศษส่วนจะต้องกรอกในรูปแบบ a/b โดยที่ a และ b (b>0) เป็นจำนวนเต็ม หรือ ตัวเลขทศนิยม- ตัวอย่าง 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 เป็นต้น
จุดตัดของเส้นบนระนาบ - ทฤษฎี ตัวอย่าง และวิธีแก้ปัญหา
1. จุดตัดกันของเส้นที่กำหนดในรูปแบบทั่วไป
อ็อกซี่ ล 1 และ ล 2:
มาสร้างเมทริกซ์แบบขยายกันดีกว่า:
ถ้า บี" 2 =0 และ กับ" 2 =0 ดังนั้นระบบสมการเชิงเส้นจึงมีคำตอบมากมาย จึงตรง ล 1 และ ล 2 นัด ถ้า บี" 2 =0 และ กับ" 2 ≠0 แล้วระบบไม่สอดคล้องกัน ดังนั้นเส้นจึงขนานกันและไม่มีจุดร่วม ถ้า บี" 2 ≠0 ดังนั้นระบบสมการเชิงเส้นจึงมีคำตอบที่ไม่เหมือนใคร จากสมการที่สองที่เราพบ ย: ย=กับ" 2 /บี" 2 และแทนค่าผลลัพธ์ลงในสมการแรกที่เราพบ x: x=−กับ 1 −บี 1 ย- เราได้จุดตัดของเส้นแล้ว ล 1 และ ล 2: ม(เอ็กซ์, ย).
2. จุดตัดกันของเส้นที่กำหนดในรูปแบบบัญญัติ
ปล่อยให้คาร์ทีเซียน ระบบสี่เหลี่ยมพิกัด อ็อกซี่และให้เส้นตรงในระบบพิกัดนี้ ล 1 และ ล 2:
เปิดวงเล็บแล้วทำการแปลง:
โดยใช้วิธีการที่คล้ายกัน เราได้สมการทั่วไปของเส้นตรง (7):
จากสมการ (12) จะได้ดังนี้:
วิธีค้นหาจุดตัดของเส้นที่กำหนดในรูปแบบมาตรฐานมีอธิบายไว้ข้างต้น
4. จุดตัดของเส้นที่ระบุในมุมมองต่างๆ
ให้ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียนกำหนดไว้ อ็อกซี่และให้เส้นตรงในระบบพิกัดนี้ ล 1 และ ล 2:
เราจะพบ ที:
ก 1 x 2 +ก 1 มที+บี 1 ย 2 +บี 1 พีที+ค 1 =0, |
ให้เราแก้ระบบสมการเชิงเส้นเทียบกับ เอ็กซ์, ย- เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะใช้วิธีเกาส์เซียน เราได้รับ:
ตัวอย่างที่ 2. ค้นหาจุดตัดกันของเส้นตรง ล 1 และ ล 2:
ล 1: 2x+3ย+4=0, | (20) |
(21) |
เพื่อหาจุดตัดกันของเส้น ล 1 และ ล 2 คุณต้องแก้ระบบสมการเชิงเส้น (20) และ (21) ให้เรานำเสนอสมการในรูปแบบเมทริกซ์