การคำนวณลอการิทึม ตัวอย่าง การแก้ปัญหา ลอการิทึม
คุณสมบัติหลัก.
- logax + logay = loga(x y);
- logax − logay = loga (x: y)
บริเวณที่เหมือนกัน
ล็อก6 4 + ล็อก6 9.
ตอนนี้เรามาทำให้งานซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย
ตัวอย่างของการแก้ลอการิทึม
จะเกิดอะไรขึ้นถ้าฐานหรืออาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมเป็นกำลัง? จากนั้นสามารถนำเลขชี้กำลังของระดับนี้ออกจากเครื่องหมายลอการิทึมได้ตามกฎต่อไปนี้:
แน่นอนว่า กฎทั้งหมดนี้สมเหตุสมผลหากสังเกต ODZ ของลอการิทึม: a > 0, a ≠ 1, x >
งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:
การเปลี่ยนไปสู่รากฐานใหม่
ให้ลอการิทึม logax ถูกกำหนดไว้ ดังนั้น สำหรับจำนวน c ใดๆ ที่ c > 0 และ c ≠ 1 ความเท่ากันจะเป็นจริง:
งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:
ดูสิ่งนี้ด้วย:
คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
เลขชี้กำลังคือ 2.718281828…. หากต้องการจำเลขชี้กำลัง คุณสามารถศึกษากฎได้: เลขชี้กำลังเท่ากับ 2.7 และสองเท่าของปีเกิดของ Leo Nikolaevich Tolstoy
คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม
เมื่อรู้กฎนี้ คุณจะรู้ทั้งค่าที่แน่นอนของเลขชี้กำลังและวันเดือนปีเกิดของลีโอ ตอลสตอย
ตัวอย่างลอการิทึม
นิพจน์ลอการิทึม
ตัวอย่างที่ 1
ก) x=10ac^2 (a>0,c>0)
เราคำนวณโดยใช้คุณสมบัติ 3.5
2.
3.
ตัวอย่างที่ 2 ค้นหา x ถ้า
ตัวอย่างที่ 3 ให้ค่าลอการิทึมได้รับ
คำนวณบันทึก (x) ถ้า
คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม
ลอการิทึมก็เหมือนกับตัวเลขอื่นๆ ที่สามารถบวก ลบ และแปลงได้ในทุกวิถีทาง แต่เนื่องจากลอการิทึมไม่ใช่ตัวเลขธรรมดาเสียทีเดียว จึงมีกฎที่เรียกว่า คุณสมบัติหลัก.
คุณจำเป็นต้องรู้กฎเหล่านี้อย่างแน่นอน - หากไม่มีกฎเหล่านี้ ปัญหาลอการิทึมร้ายแรงสักข้อเดียวก็ไม่สามารถแก้ไขได้ นอกจากนี้ยังมีน้อยมาก - คุณสามารถเรียนรู้ทุกสิ่งได้ภายในวันเดียว มาเริ่มกันเลย
การบวกและการลบลอการิทึม
พิจารณาลอการิทึมสองตัวที่มีฐานเดียวกัน: logax และ logay จากนั้นจึงสามารถบวกและลบได้ และ:
- logax + logay = loga(x y);
- logax − logay = loga (x: y)
ดังนั้น ผลรวมของลอการิทึมเท่ากับลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ และผลต่างเท่ากับลอการิทึมของผลหาร บันทึก: ช่วงเวลาสำคัญที่นี่ - บริเวณที่เหมือนกัน. หากเหตุผลแตกต่าง กฎเหล่านี้ใช้ไม่ได้!
สูตรเหล่านี้จะช่วยคุณคำนวณ นิพจน์ลอการิทึมแม้ว่าแต่ละส่วนจะไม่นับก็ตาม (ดูบทเรียน "ลอการิทึมคืออะไร") ดูตัวอย่างและดู:
เนื่องจากลอการิทึมมีฐานเท่ากัน เราจึงใช้สูตรผลรวม:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2
งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log2 48 − log2 3
ฐานเท่ากัน เราใช้สูตรผลต่าง:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4
งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log3 135 − log3 5
ฐานก็เหมือนกัน ดังนั้นเราจึงได้:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3
อย่างที่คุณเห็น นิพจน์ดั้งเดิมประกอบด้วยลอการิทึมที่ "ไม่ดี" ซึ่งไม่ได้คำนวณแยกกัน แต่หลังจากการแปลงจะได้ตัวเลขปกติโดยสมบูรณ์ หลายคนถูกสร้างขึ้นจากข้อเท็จจริงนี้ เอกสารทดสอบ. ใช่ สำนวนที่เหมือนการทดสอบมีการนำเสนออย่างจริงจังทุกประการ (บางครั้งแทบไม่มีการเปลี่ยนแปลงใดๆ) ในการสอบ Unified State
แยกเลขชี้กำลังออกจากลอการิทึม
สังเกตได้ง่ายว่า กฎข้อสุดท้ายตามมาสองอันแรก แต่ยังไงก็ดีกว่าที่จะจำไว้ - ในบางกรณีมันจะลดจำนวนการคำนวณลงอย่างมาก
แน่นอนว่า กฎทั้งหมดนี้สมเหตุสมผลหากสังเกต ODZ ของลอการิทึม: a > 0, a ≠ 1, x > 0 และอีกอย่างหนึ่ง: เรียนรู้การใช้สูตรทั้งหมดไม่เพียงแต่จากซ้ายไปขวาเท่านั้น แต่ยังในทางกลับกันอีกด้วย , เช่น. คุณสามารถป้อนตัวเลขก่อนที่ลอการิทึมจะลงชื่อเข้าใช้ลอการิทึมได้ นี่คือสิ่งที่จำเป็นบ่อยที่สุด
งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log7 496
กำจัดระดับของการโต้แย้งโดยใช้สูตรแรก:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12
งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:
โปรดทราบว่าตัวส่วนประกอบด้วยลอการิทึม ซึ่งฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังที่แน่นอน: 16 = 24; 49 = 72 เรามี:
ฉันคิดว่าตัวอย่างสุดท้ายต้องมีการชี้แจง ลอการิทึมหายไปไหน? จนถึงที่สุด ช่วงเวลาสุดท้ายเราทำงานกับตัวส่วนเท่านั้น
สูตรลอการิทึม โซลูชันตัวอย่างลอการิทึม
เรานำเสนอฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมที่อยู่ตรงนั้นในรูปแบบของกำลังและนำเลขชี้กำลังออกมา - เราได้เศษส่วน "สามชั้น"
ทีนี้มาดูเศษส่วนหลักกัน ตัวเศษและตัวส่วนมีจำนวนเท่ากัน: log2 7 เนื่องจาก log2 7 ≠ 0 เราสามารถลดเศษส่วนได้ - 2/4 จะยังคงอยู่ในตัวส่วน ตามกฎของเลขคณิตแล้วทั้งสี่สามารถโอนไปยังตัวเศษซึ่งเป็นสิ่งที่ทำเสร็จแล้ว ผลลัพธ์คือคำตอบ: 2.
การเปลี่ยนไปสู่รากฐานใหม่
เมื่อพูดถึงกฎสำหรับการบวกและการลบลอการิทึม ฉันเน้นย้ำเป็นพิเศษว่ากฎเหล่านี้ใช้ได้เฉพาะกับฐานเดียวกันเท่านั้น จะทำอย่างไรถ้าเหตุผลต่างกัน? จะเกิดอะไรขึ้นถ้าพวกมันไม่ใช่เลขยกกำลังที่เท่ากัน?
สูตรสำหรับการเปลี่ยนไปใช้รากฐานใหม่มาช่วยเหลือ ให้เรากำหนดพวกมันในรูปแบบของทฤษฎีบท:
ให้ลอการิทึม logax ถูกกำหนดไว้ ดังนั้น สำหรับจำนวน c ใดๆ ที่ c > 0 และ c ≠ 1 ความเท่ากันจะเป็นจริง:
โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเราตั้งค่า c = x เราจะได้:
จากสูตรที่สองเป็นไปตามว่าสามารถสลับฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมได้ แต่ในกรณีนี้นิพจน์ทั้งหมดจะ "พลิกกลับ" เช่น ลอการิทึมจะปรากฏในตัวส่วน
สูตรเหล่านี้ไม่ค่อยพบในนิพจน์ตัวเลขทั่วไป มีความเป็นไปได้ที่จะประเมินว่าสะดวกเพียงใดเมื่อแก้สมการลอการิทึมและอสมการเท่านั้น
แต่มีปัญหาที่ไม่สามารถแก้ไขได้เลยนอกจากการย้ายฐานรากใหม่ ลองดูสองสามสิ่งเหล่านี้:
งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log5 16 log2 25
โปรดทราบว่าอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมทั้งสองมีกำลังที่แน่นอน มาดูตัวบ่งชี้กัน: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; ล็อก2 25 = ล็อก2 52 = 2ล็อก2 5;
ทีนี้ลอง "ย้อนกลับ" ลอการิทึมที่สอง:
เนื่องจากผลคูณไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อจัดเรียงปัจจัยใหม่ เราจึงคูณสี่และสองอย่างใจเย็น จากนั้นจึงจัดการกับลอการิทึม
งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log9 100 lg 3
ฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมแรกคือกำลังที่แน่นอน มาเขียนสิ่งนี้และกำจัดตัวบ่งชี้:
ตอนนี้ กำจัดลอการิทึมทศนิยมโดยการย้ายไปยังฐานใหม่:
เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน
บ่อยครั้งในกระบวนการแก้ปัญหา จำเป็นต้องแสดงตัวเลขเป็นลอการิทึมของฐานที่กำหนด ในกรณีนี้สูตรต่อไปนี้จะช่วยเรา:
ในกรณีแรก ตัวเลข n จะกลายเป็นเลขชี้กำลังในอาร์กิวเมนต์ จำนวน n สามารถเป็นอะไรก็ได้ เพราะมันเป็นเพียงค่าลอการิทึม
สูตรที่สองเป็นคำจำกัดความที่ถอดความจริงๆ นั่นคือสิ่งที่เรียกว่า: .
อันที่จริง จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเลข b ยกกำลังจนเลข b ยกกำลังนี้ให้เลข a? ถูกต้อง: ผลลัพธ์คือเลข a เดียวกัน อ่านย่อหน้านี้อย่างละเอียดอีกครั้ง หลายๆ คนอาจติดอยู่กับเรื่องนี้
เช่นเดียวกับสูตรสำหรับการย้ายไปยังฐานใหม่ บางครั้งเอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐานก็เป็นวิธีแก้ปัญหาเดียวที่เป็นไปได้
งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:
โปรดทราบว่า log25 64 = log5 8 - แค่เอากำลังสองจากฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม เมื่อคำนึงถึงกฎในการคูณกำลังด้วยฐานเดียวกัน เราได้รับ:
ถ้าใครไม่รู้ นี่คืองานจริงจากการสอบ Unified State :)
หน่วยลอการิทึมและศูนย์ลอการิทึม
โดยสรุป ฉันจะให้สองตัวตนที่แทบจะเรียกได้ว่าเป็นคุณสมบัติไม่ได้ - แต่พวกมันเป็นผลมาจากคำจำกัดความของลอการิทึม สิ่งเหล่านี้มักเกิดปัญหาอยู่เสมอ และน่าประหลาดใจที่ยังสร้างปัญหาให้กับนักเรียน "ขั้นสูง" อีกด้วย
- logaa = 1 คือ จำไว้ทุกครั้ง: ลอการิทึมของฐานใดๆ a ของฐานนั้นจะเท่ากับ 1
- โลกา 1 = 0 คือ ฐาน a สามารถเป็นอะไรก็ได้ แต่ถ้าอาร์กิวเมนต์มีหนึ่งค่า ลอการิทึมจะเท่ากับศูนย์! เพราะ a0 = 1 เป็นผลโดยตรงจากนิยาม
นั่นคือคุณสมบัติทั้งหมด อย่าลืมฝึกฝนการนำไปปฏิบัติ! ดาวน์โหลดเอกสารสรุปตอนต้นบทเรียน พิมพ์ออกมา และแก้ไขปัญหา
ดูสิ่งนี้ด้วย:
ลอการิทึมของ b ถึงฐาน a แสดงถึงนิพจน์ การคำนวณลอการิทึมหมายถึงการค้นหากำลัง x () ที่ทำให้ได้ความเท่าเทียมกัน
คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม
จำเป็นต้องทราบคุณสมบัติข้างต้นเนื่องจากปัญหาและตัวอย่างเกือบทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับลอการิทึมได้รับการแก้ไขบนพื้นฐานของปัญหาเหล่านี้ คุณสมบัติแปลกใหม่ที่เหลือสามารถได้มาจากการปรุงแต่งทางคณิตศาสตร์ด้วยสูตรเหล่านี้
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
เมื่อคำนวณสูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของลอการิทึม (3.4) คุณมักจะพบบ่อยมาก ส่วนที่เหลือค่อนข้างซับซ้อน แต่ในงานจำนวนหนึ่งสิ่งเหล่านี้ขาดไม่ได้ในการลดความซับซ้อนของนิพจน์ที่ซับซ้อนและคำนวณค่าของพวกเขา
กรณีทั่วไปของลอการิทึม
ลอการิทึมทั่วไปบางตัวเป็นลอการิทึมที่มีฐานเป็นสิบเลขยกกำลังหรือสอง
ลอการิทึมถึงฐานสิบมักเรียกว่าลอการิทึมทศนิยม และเขียนแทนด้วย lg(x)
จากการบันทึกก็ชัดเจนว่าพื้นฐานไม่ได้ถูกเขียนไว้ในการบันทึก ตัวอย่างเช่น
ลอการิทึมธรรมชาติคือลอการิทึมที่มีฐานเป็นเลขชี้กำลัง (แสดงโดย ln(x))
เลขชี้กำลังคือ 2.718281828…. หากต้องการจำเลขชี้กำลัง คุณสามารถศึกษากฎได้: เลขชี้กำลังเท่ากับ 2.7 และสองเท่าของปีเกิดของ Leo Nikolaevich Tolstoy เมื่อรู้กฎนี้ คุณจะรู้ทั้งค่าที่แน่นอนของเลขชี้กำลังและวันเดือนปีเกิดของลีโอ ตอลสตอย
และลอการิทึมสำคัญอีกตัวหนึ่งของฐานสองเขียนแทนด้วย
อนุพันธ์ของลอการิทึมของฟังก์ชันเท่ากับค่าหนึ่งหารด้วยตัวแปร
ลอการิทึมอินทิกรัลหรือแอนติเดริเวทีฟถูกกำหนดโดยความสัมพันธ์
เนื้อหาที่ให้มานั้นเพียงพอสำหรับคุณในการแก้ปัญหาหลายประเภทที่เกี่ยวข้องกับลอการิทึมและลอการิทึม เพื่อช่วยให้คุณเข้าใจเนื้อหา ฉันจะยกตัวอย่างทั่วไปบางส่วนจาก หลักสูตรของโรงเรียนและมหาวิทยาลัย
ตัวอย่างลอการิทึม
นิพจน์ลอการิทึม
ตัวอย่างที่ 1
ก) x=10ac^2 (a>0,c>0)
เราคำนวณโดยใช้คุณสมบัติ 3.5
2.
โดยคุณสมบัติของผลต่างของลอการิทึมที่เรามี
3.
เราพบโดยใช้คุณสมบัติ 3.5
นิพจน์ที่ดูเหมือนซับซ้อนจะถูกทำให้ง่ายขึ้นโดยใช้กฎหลายข้อ
การค้นหาค่าลอการิทึม
ตัวอย่างที่ 2 ค้นหา x ถ้า
สารละลาย. สำหรับการคำนวณ เราใช้กับคุณสมบัติ 5 และ 13 เทอมสุดท้าย
เราบันทึกไว้และไว้อาลัย
เนื่องจากฐานเท่ากัน เราจึงจัดนิพจน์ให้เท่ากัน
ลอการิทึม ระดับแรก.
ให้ค่าลอการิทึมได้รับ
คำนวณบันทึก (x) ถ้า
วิธีแก้: ลองใช้ลอการิทึมของตัวแปรเพื่อเขียนลอการิทึมผ่านผลรวมของพจน์ของมัน
นี่เป็นเพียงจุดเริ่มต้นของความคุ้นเคยกับลอการิทึมและคุณสมบัติของพวกมัน ฝึกฝนการคำนวณ เสริมสร้างทักษะการปฏิบัติของคุณ - ในไม่ช้าคุณจะต้องมีความรู้ที่ได้รับในการแก้สมการลอการิทึม เมื่อศึกษาวิธีการพื้นฐานในการแก้สมการดังกล่าวแล้วเราจะขยายความรู้ของคุณไปอีกไม่น้อย หัวข้อสำคัญ- อสมการลอการิทึม...
คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม
ลอการิทึมก็เหมือนกับตัวเลขอื่นๆ ที่สามารถบวก ลบ และแปลงได้ในทุกวิถีทาง แต่เนื่องจากลอการิทึมไม่ใช่ตัวเลขธรรมดาเสียทีเดียว จึงมีกฎที่เรียกว่า คุณสมบัติหลัก.
คุณจำเป็นต้องรู้กฎเหล่านี้อย่างแน่นอน - หากไม่มีกฎเหล่านี้ ปัญหาลอการิทึมร้ายแรงสักข้อเดียวก็ไม่สามารถแก้ไขได้ นอกจากนี้ยังมีน้อยมาก - คุณสามารถเรียนรู้ทุกสิ่งได้ภายในวันเดียว มาเริ่มกันเลย
การบวกและการลบลอการิทึม
พิจารณาลอการิทึมสองตัวที่มีฐานเดียวกัน: logax และ logay จากนั้นจึงสามารถบวกและลบได้ และ:
- logax + logay = loga(x y);
- logax − logay = loga (x: y)
ดังนั้น ผลรวมของลอการิทึมเท่ากับลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ และผลต่างเท่ากับลอการิทึมของผลหาร โปรดทราบ: ประเด็นสำคัญที่นี่คือ บริเวณที่เหมือนกัน. หากเหตุผลแตกต่าง กฎเหล่านี้ใช้ไม่ได้!
สูตรเหล่านี้จะช่วยคุณคำนวณนิพจน์ลอการิทึมแม้ว่าจะไม่ได้พิจารณาแต่ละส่วนก็ตาม (ดูบทเรียน "ลอการิทึมคืออะไร") ดูตัวอย่างและดู:
งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log6 4 + log6 9
เนื่องจากลอการิทึมมีฐานเท่ากัน เราจึงใช้สูตรผลรวม:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2
งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log2 48 − log2 3
ฐานเท่ากัน เราใช้สูตรผลต่าง:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4
งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log3 135 − log3 5
ฐานก็เหมือนกัน ดังนั้นเราจึงได้:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3
อย่างที่คุณเห็น นิพจน์ดั้งเดิมประกอบด้วยลอการิทึมที่ "ไม่ดี" ซึ่งไม่ได้คำนวณแยกกัน แต่หลังจากการแปลงจะได้ตัวเลขปกติโดยสมบูรณ์ การทดสอบจำนวนมากขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงนี้ ใช่ สำนวนที่เหมือนการทดสอบมีการนำเสนออย่างจริงจังทุกประการ (บางครั้งแทบไม่มีการเปลี่ยนแปลงใดๆ) ในการสอบ Unified State
แยกเลขชี้กำลังออกจากลอการิทึม
ตอนนี้เรามาทำให้งานซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย จะเกิดอะไรขึ้นถ้าฐานหรืออาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมเป็นกำลัง? จากนั้นสามารถนำเลขชี้กำลังของระดับนี้ออกจากเครื่องหมายลอการิทึมได้ตามกฎต่อไปนี้:
จะเห็นได้ง่ายว่ากฎข้อสุดท้ายเป็นไปตามสองข้อแรก แต่ยังไงก็ดีกว่าที่จะจำไว้ - ในบางกรณีมันจะลดจำนวนการคำนวณลงอย่างมาก
แน่นอนว่า กฎทั้งหมดนี้สมเหตุสมผลหากสังเกต ODZ ของลอการิทึม: a > 0, a ≠ 1, x > 0 และอีกอย่างหนึ่ง: เรียนรู้การใช้สูตรทั้งหมดไม่เพียงแต่จากซ้ายไปขวาเท่านั้น แต่ยังในทางกลับกันอีกด้วย , เช่น. คุณสามารถป้อนตัวเลขก่อนที่ลอการิทึมจะลงชื่อเข้าใช้ลอการิทึมได้
วิธีแก้ลอการิทึม
นี่คือสิ่งที่จำเป็นบ่อยที่สุด
งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log7 496
กำจัดระดับของการโต้แย้งโดยใช้สูตรแรก:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12
งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:
โปรดทราบว่าตัวส่วนประกอบด้วยลอการิทึม ซึ่งฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังที่แน่นอน: 16 = 24; 49 = 72 เรามี:
ฉันคิดว่าตัวอย่างสุดท้ายต้องมีการชี้แจง ลอการิทึมหายไปไหน? จนถึงวินาทีสุดท้ายที่เราทำงานกับตัวส่วนเท่านั้น เรานำเสนอฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมที่อยู่ตรงนั้นในรูปแบบของกำลังและนำเลขชี้กำลังออกมา - เราได้เศษส่วน "สามชั้น"
ทีนี้มาดูเศษส่วนหลักกัน ตัวเศษและตัวส่วนมีจำนวนเท่ากัน: log2 7 เนื่องจาก log2 7 ≠ 0 เราสามารถลดเศษส่วนได้ - 2/4 จะยังคงอยู่ในตัวส่วน ตามกฎของเลขคณิตแล้วทั้งสี่สามารถโอนไปยังตัวเศษซึ่งเป็นสิ่งที่ทำเสร็จแล้ว ผลลัพธ์คือคำตอบ: 2.
การเปลี่ยนไปสู่รากฐานใหม่
เมื่อพูดถึงกฎสำหรับการบวกและการลบลอการิทึม ฉันเน้นย้ำเป็นพิเศษว่ากฎเหล่านี้ใช้ได้เฉพาะกับฐานเดียวกันเท่านั้น จะทำอย่างไรถ้าเหตุผลต่างกัน? จะเกิดอะไรขึ้นถ้าพวกมันไม่ใช่เลขยกกำลังที่เท่ากัน?
สูตรสำหรับการเปลี่ยนไปใช้รากฐานใหม่มาช่วยเหลือ ให้เรากำหนดพวกมันในรูปแบบของทฤษฎีบท:
ให้ลอการิทึม logax ถูกกำหนดไว้ ดังนั้น สำหรับจำนวน c ใดๆ ที่ c > 0 และ c ≠ 1 ความเท่ากันจะเป็นจริง:
โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเราตั้งค่า c = x เราจะได้:
จากสูตรที่สองเป็นไปตามว่าสามารถสลับฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมได้ แต่ในกรณีนี้นิพจน์ทั้งหมดจะ "พลิกกลับ" เช่น ลอการิทึมจะปรากฏในตัวส่วน
สูตรเหล่านี้ไม่ค่อยพบในนิพจน์ตัวเลขทั่วไป มีความเป็นไปได้ที่จะประเมินว่าสะดวกเพียงใดเมื่อแก้สมการลอการิทึมและอสมการเท่านั้น
แต่มีปัญหาที่ไม่สามารถแก้ไขได้เลยนอกจากการย้ายฐานรากใหม่ ลองดูสองสามสิ่งเหล่านี้:
งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log5 16 log2 25
โปรดทราบว่าอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมทั้งสองมีกำลังที่แน่นอน มาดูตัวบ่งชี้กัน: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; ล็อก2 25 = ล็อก2 52 = 2ล็อก2 5;
ทีนี้ลอง "ย้อนกลับ" ลอการิทึมที่สอง:
เนื่องจากผลคูณไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อจัดเรียงปัจจัยใหม่ เราจึงคูณสี่และสองอย่างใจเย็น จากนั้นจึงจัดการกับลอการิทึม
งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log9 100 lg 3
ฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมแรกคือกำลังที่แน่นอน มาเขียนสิ่งนี้และกำจัดตัวบ่งชี้:
ตอนนี้ กำจัดลอการิทึมทศนิยมโดยการย้ายไปยังฐานใหม่:
เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน
บ่อยครั้งในกระบวนการแก้ปัญหา จำเป็นต้องแสดงตัวเลขเป็นลอการิทึมของฐานที่กำหนด ในกรณีนี้สูตรต่อไปนี้จะช่วยเรา:
ในกรณีแรก ตัวเลข n จะกลายเป็นเลขชี้กำลังในอาร์กิวเมนต์ จำนวน n สามารถเป็นอะไรก็ได้ เพราะมันเป็นเพียงค่าลอการิทึม
สูตรที่สองเป็นคำจำกัดความที่ถอดความจริงๆ นั่นคือสิ่งที่เรียกว่า: .
อันที่จริง จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเลข b ยกกำลังจนเลข b ยกกำลังนี้ให้เลข a? ถูกต้อง: ผลลัพธ์คือเลข a เดียวกัน อ่านย่อหน้านี้อย่างละเอียดอีกครั้ง หลายๆ คนอาจติดอยู่กับเรื่องนี้
เช่นเดียวกับสูตรสำหรับการย้ายไปยังฐานใหม่ บางครั้งเอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐานก็เป็นวิธีแก้ปัญหาเดียวที่เป็นไปได้
งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:
โปรดทราบว่า log25 64 = log5 8 - แค่เอากำลังสองจากฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม เมื่อคำนึงถึงกฎในการคูณกำลังด้วยฐานเดียวกัน เราได้รับ:
ถ้าใครไม่รู้ นี่คืองานจริงจากการสอบ Unified State :)
หน่วยลอการิทึมและศูนย์ลอการิทึม
โดยสรุป ฉันจะให้สองตัวตนที่แทบจะเรียกได้ว่าเป็นคุณสมบัติไม่ได้ - แต่พวกมันเป็นผลมาจากคำจำกัดความของลอการิทึม สิ่งเหล่านี้มักเกิดปัญหาอยู่เสมอ และน่าประหลาดใจที่ยังสร้างปัญหาให้กับนักเรียน "ขั้นสูง" อีกด้วย
- logaa = 1 คือ จำไว้ทุกครั้ง: ลอการิทึมของฐานใดๆ a ของฐานนั้นจะเท่ากับ 1
- โลกา 1 = 0 คือ ฐาน a สามารถเป็นอะไรก็ได้ แต่ถ้าอาร์กิวเมนต์มีหนึ่งค่า ลอการิทึมจะเท่ากับศูนย์! เพราะ a0 = 1 เป็นผลโดยตรงจากนิยาม
นั่นคือคุณสมบัติทั้งหมด อย่าลืมฝึกฝนการนำไปปฏิบัติ! ดาวน์โหลดเอกสารสรุปตอนต้นบทเรียน พิมพ์ออกมา และแก้ไขปัญหา
ลอการิทึมคืออะไร?
ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
วัสดุมาตราพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่ค่อย..." มากนัก
และสำหรับผู้ที่ “มากๆ…”)
ลอการิทึมคืออะไร? วิธีการแก้ลอการิทึม? คำถามเหล่านี้ทำให้บัณฑิตหลายคนสับสน ตามเนื้อผ้า หัวข้อลอการิทึมถือว่าซับซ้อน เข้าใจยาก และน่ากลัว โดยเฉพาะสมการที่มีลอการิทึม
นี่ไม่เป็นความจริงอย่างแน่นอน อย่างแน่นอน! ไม่เชื่อฉันเหรอ? ดี. ตอนนี้ในเวลาเพียง 10 - 20 นาที คุณ:
1. คุณจะเข้าใจ ลอการิทึมคืออะไร.
2. เรียนรู้การแก้ปัญหาทั้งชั้นเรียน สมการเลขชี้กำลัง. แม้ว่าคุณจะไม่ได้ยินอะไรเกี่ยวกับพวกเขาก็ตาม
3. เรียนรู้การคำนวณลอการิทึมอย่างง่าย
ยิ่งไปกว่านั้น สำหรับสิ่งนี้ คุณเพียงแค่ต้องรู้ตารางสูตรคูณและวิธีบวกเลขยกกำลังเท่านั้น...
ฉันรู้สึกเหมือนคุณมีข้อสงสัย... เอาล่ะ ทำเครื่องหมายเวลาไว้! ไป!
ขั้นแรก ให้แก้สมการนี้ในหัวของคุณ:
หากคุณชอบเว็บไซต์นี้...
ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)
คุณสามารถฝึกแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการยืนยันทันที มาเรียนรู้กันเถอะ - ด้วยความสนใจ!)
คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้
ช่วงของค่าที่ยอมรับได้ (APV) ของลอการิทึม
ตอนนี้เรามาพูดถึงข้อ จำกัด (ODZ - ช่วงของค่าที่อนุญาตของตัวแปร)
เราจำได้ว่าตัวอย่างเช่น รากที่สองไม่สามารถแยกออกจากจำนวนลบได้ หรือถ้าเรามีเศษส่วน ตัวส่วนก็ไม่สามารถเท่ากับศูนย์ได้ ลอการิทึมมีข้อจำกัดที่คล้ายกัน:
นั่นคือทั้งอาร์กิวเมนต์และฐานต้องมากกว่าศูนย์ แต่ฐานยังไม่สามารถเท่ากันได้
ทำไมเป็นอย่างนั้น?
เริ่มจากสิ่งง่ายๆ: สมมติว่า ตัวอย่างเช่น ไม่มีตัวเลข เนื่องจากไม่ว่าเราจะเพิ่มพลังอะไรก็ตาม ตัวเลขนั้นก็จะออกมาเสมอ ยิ่งกว่านั้นมันไม่มีอยู่สำหรับใครเลย แต่ในขณะเดียวกันก็สามารถเท่ากับอะไรก็ได้ (ด้วยเหตุผลเดียวกัน - เท่ากับระดับใดก็ได้) ดังนั้นวัตถุนั้นจึงไม่สนใจ และมันก็แค่ถูกโยนออกจากวิชาคณิตศาสตร์ไป
เรามีปัญหาคล้ายกันในกรณีนี้: ยกกำลังเชิงบวกใดๆ ก็ตาม แต่ไม่สามารถยกกำลังลบได้เลย เนื่องจากจะทำให้หารด้วยศูนย์ (ขอเตือนไว้ก่อน)
เมื่อเราประสบปัญหาในการยกกำลังเศษส่วน (ซึ่งแสดงเป็นราก: . ตัวอย่างเช่น (นั่นคือ) แต่ไม่มีอยู่จริง
ดังนั้นจึงเป็นการง่ายกว่าที่จะทิ้งเหตุผลเชิงลบมากกว่าที่จะแก้ไขมัน
เนื่องจากฐาน a ของเราต้องเป็นค่าบวกเท่านั้น ไม่ว่าเราจะยกมันให้ยกกำลังอะไร เราก็จะได้จำนวนบวกเสมอ ดังนั้นข้อโต้แย้งจะต้องเป็นบวก เช่น ไม่มีอยู่จริง เพราะไม่มีทางจะมีได้ จำนวนลบ(และแม้แต่ศูนย์ก็ไม่มีเช่นกัน)
ในปัญหาเกี่ยวกับลอการิทึม สิ่งแรกที่คุณต้องทำคือจด ODZ ฉันขอยกตัวอย่าง:
มาแก้สมการกัน.
มาจำคำจำกัดความกัน: ลอการิทึมคือกำลังที่ต้องยกฐานเพื่อให้ได้ข้อโต้แย้ง และตามเงื่อนไขระดับนี้จะเท่ากับ: .
เราได้สมการกำลังสองปกติ: ลองแก้มันโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียต้า: ผลรวมของรากเท่ากันกับผลคูณ หยิบง่ายนี่คือตัวเลขและ
แต่ถ้าคุณเขียนตัวเลขทั้งสองนี้ลงในคำตอบทันที คุณจะได้ 0 คะแนนสำหรับโจทย์นี้ ทำไม ลองคิดดูว่าจะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราแทนรากเหล่านี้ลงในสมการตั้งต้น?
สิ่งนี้ไม่ถูกต้องอย่างชัดเจน เนื่องจากฐานไม่สามารถเป็นลบได้ นั่นคือรากคือ "บุคคลที่สาม"
เพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดที่ไม่พึงประสงค์ คุณต้องจด ODZ ก่อนที่จะเริ่มแก้สมการ:
จากนั้นเมื่อได้รับรากแล้วเราก็ทิ้งรากทันทีและเขียนคำตอบที่ถูกต้อง
ตัวอย่างที่ 1(ลองแก้ปัญหาด้วยตัวเอง) :
ค้นหารากของสมการ หากมีรากหลายอัน ให้ระบุรากที่เล็กที่สุดในคำตอบของคุณ
สารละลาย:
ก่อนอื่น มาเขียน ODZ กันก่อน:
ทีนี้มาจำไว้ว่าลอการิทึมคืออะไร: คุณต้องยกกำลังเท่าใดจึงจะยกฐานเพื่อให้ได้ข้อโต้แย้ง? ถึงวินาที. นั่นคือ:
ดูเหมือนว่ารากที่เล็กกว่าจะเท่ากัน แต่นี่ไม่เป็นเช่นนั้น: ตาม ODZ รูทนั้นเป็นบุคคลที่สามนั่นคือมันไม่ใช่รูทเลย สมการที่กำหนด. ดังนั้น สมการจึงมีรากเพียงรากเดียว:
คำตอบ: .
เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน
ให้เราจำคำจำกัดความของลอการิทึมในรูปแบบทั่วไป:
ลองแทนลอการิทึมลงในความเท่าเทียมกันที่สอง:
ความเท่าเทียมกันนี้เรียกว่า เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน. แม้ว่าโดยพื้นฐานแล้วนี่คือความเท่าเทียมกัน - แค่เขียนแตกต่างออกไป คำจำกัดความของลอการิทึม:
นี่คือพลังที่คุณต้องยกระดับเพื่อให้ได้มา
ตัวอย่างเช่น:
แก้ตัวอย่างต่อไปนี้:
ตัวอย่างที่ 2
ค้นหาความหมายของสำนวน
สารละลาย:
ให้เราจำกฎจากส่วนนี้: นั่นคือเมื่อยกกำลังเป็นยกกำลัง เลขชี้กำลังจะถูกคูณ ลองใช้มันดู:
ตัวอย่างที่ 3
พิสูจน์ว่า.
สารละลาย:
คุณสมบัติของลอการิทึม
น่าเสียดายที่งานไม่ง่ายเสมอไป - บ่อยครั้งที่คุณต้องทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นก่อนนำไปเป็นรูปแบบปกติและจากนั้นจึงจะสามารถคำนวณค่าได้ วิธีนี้จะง่ายที่สุดหากคุณรู้ คุณสมบัติของลอการิทึม. เรามาเรียนรู้คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึมกันดีกว่า ฉันจะพิสูจน์แต่ละข้อเพราะกฎใด ๆ จะจำง่ายกว่าถ้าคุณรู้ว่ามันมาจากไหน
ต้องจำคุณสมบัติเหล่านี้ทั้งหมด หากไม่มี คุณสมบัติเหล่านี้ ปัญหาส่วนใหญ่เกี่ยวกับลอการิทึมก็ไม่สามารถแก้ไขได้
และตอนนี้เกี่ยวกับคุณสมบัติทั้งหมดของลอการิทึมโดยละเอียด
คุณสมบัติ 1:
การพิสูจน์:
ปล่อยให้มันเป็นอย่างนั้น
เรามี: ฯลฯ
คุณสมบัติ 2: ผลรวมของลอการิทึม
ผลรวมของลอการิทึมที่มีฐานเท่ากันจะเท่ากับลอการิทึมของผลิตภัณฑ์: .
การพิสูจน์:
ปล่อยให้มันเป็นอย่างนั้น ปล่อยให้มันเป็นอย่างนั้น
ตัวอย่าง:ค้นหาความหมายของสำนวน: .
สารละลาย: .
สูตรที่คุณเพิ่งเรียนรู้ช่วยลดผลรวมของลอการิทึม ไม่ใช่ผลต่าง ดังนั้นลอการิทึมเหล่านี้จึงไม่สามารถรวมกันได้ทันที แต่คุณสามารถทำสิ่งที่ตรงกันข้ามได้ - "แบ่ง" ลอการิทึมแรกออกเป็นสองส่วน: และนี่คือการทำให้เข้าใจง่ายตามสัญญา:
.
เหตุใดจึงจำเป็น? ตัวอย่างเช่น: มันเท่ากับอะไร?
ตอนนี้ก็ชัดเจนว่า
ตอนนี้ ทำให้ง่ายขึ้นด้วยตัวคุณเอง:
งาน:
คำตอบ:
คุณสมบัติ 3: ผลต่างของลอการิทึม:
การพิสูจน์:
ทุกอย่างเหมือนกับในจุดที่ 2 ทุกประการ:
ปล่อยให้มันเป็นอย่างนั้น
ปล่อยให้มันเป็นอย่างนั้น เรามี:
ตัวอย่างจากย่อหน้าก่อนหน้านี้กลายเป็นเรื่องง่ายยิ่งขึ้น:
ตัวอย่างที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น: . คุณช่วยคิดวิธีแก้ปัญหาด้วยตัวเองได้ไหม?
ควรสังเกตว่าเราไม่มีสูตรเดียวเกี่ยวกับลอการิทึมกำลังสอง นี่เป็นสิ่งที่คล้ายกับสำนวน - ไม่สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้ในทันที
ดังนั้น ลองพักจากสูตรเกี่ยวกับลอการิทึมแล้วลองคิดดูว่าสูตรใดที่เราใช้บ่อยที่สุดในคณิตศาสตร์? ตั้งแต่ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7!
นี้ - . คุณต้องทำความคุ้นเคยกับความจริงที่ว่าพวกมันมีอยู่ทุกหนทุกแห่ง! เกิดขึ้นในปัญหาเลขชี้กำลัง ตรีโกณมิติ และไม่ลงตัว ดังนั้นจึงต้องจดจำไว้
หากคุณพิจารณาสองคำแรกอย่างใกล้ชิด จะเห็นได้ชัดว่าสิ่งนี้ ความแตกต่างของกำลังสอง:
คำตอบเพื่อตรวจสอบ:
ลดความซับซ้อนด้วยตัวคุณเอง
ตัวอย่าง
คำตอบ
คุณสมบัติ 4: นำเลขชี้กำลังออกจากอาร์กิวเมนต์ลอการิทึม:
การพิสูจน์:และที่นี่ เรายังใช้คำจำกัดความของลอการิทึมด้วย: เอาล่ะ เรามี: ฯลฯ
กฎนี้สามารถเข้าใจได้ดังนี้:
นั่นคือระดับของการโต้แย้งถูกย้ายไปข้างหน้าลอการิทึมเป็นค่าสัมประสิทธิ์
ตัวอย่าง:ค้นหาความหมายของสำนวน
สารละลาย: .
ตัดสินใจด้วยตัวเอง:
ตัวอย่าง:
คำตอบ:
คุณสมบัติ 5: หาเลขชี้กำลังจากฐานของลอการิทึม:
การพิสูจน์:ปล่อยให้มันเป็นอย่างนั้น
เรามี: ฯลฯ
ข้อควรจำ: จาก บริเวณระดับจะแสดงเป็น ตรงข้ามจำนวนไม่เหมือนกรณีก่อน!
คุณสมบัติ 6: การลบเลขชี้กำลังออกจากฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม:
หรือถ้าองศาเท่ากัน: .
คุณสมบัติ 7: การเปลี่ยนไปสู่ฐานใหม่:
การพิสูจน์:ปล่อยให้มันเป็นอย่างนั้น
เรามี: ฯลฯ
คุณสมบัติ 8: สลับฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม:
การพิสูจน์:นี่เป็นกรณีพิเศษของสูตร 7: ถ้าเราแทนที่ เราจะได้: ฯลฯ
ลองดูตัวอย่างเพิ่มเติมบางส่วน
ตัวอย่างที่ 4
ค้นหาความหมายของสำนวน
เราใช้คุณสมบัติของลอการิทึมหมายเลข 2 - ผลรวมของลอการิทึมที่มีฐานเดียวกันเท่ากับลอการิทึมของผลิตภัณฑ์:
ตัวอย่างที่ 5
ค้นหาความหมายของสำนวน
สารละลาย:
เราใช้คุณสมบัติของลอการิทึมหมายเลข 3 และหมายเลข 4:
ตัวอย่างที่ 6
ค้นหาความหมายของสำนวน
สารละลาย:
ลองใช้คุณสมบัติหมายเลข 7 - ไปยังฐาน 2:
ตัวอย่างที่ 7
ค้นหาความหมายของสำนวน
สารละลาย:
คุณชอบบทความนี้อย่างไร?
หากคุณกำลังอ่านบรรทัดเหล่านี้แสดงว่าคุณได้อ่านบทความทั้งหมดแล้ว
และมันก็เจ๋ง!
ตอนนี้บอกเราว่าคุณชอบบทความนี้อย่างไร?
คุณได้เรียนรู้วิธีแก้ลอการิทึมแล้วหรือยัง? ถ้าไม่ ปัญหาคืออะไร?
เขียนถึงเราในความคิดเห็นด้านล่าง
และใช่ ขอให้โชคดีในการสอบ
ในการสอบ Unified State และการสอบ Unified State และในชีวิตโดยทั่วไป
เริ่มต้นด้วย คุณสมบัติของลอการิทึมของหนึ่ง. สูตรของมันคือดังนี้: ลอการิทึมของเอกภาพเท่ากับศูนย์นั่นคือ เข้าสู่ระบบ 1=0สำหรับ a>0, a≠1 ใดๆ การพิสูจน์ไม่ใช่เรื่องยาก เนื่องจาก 0 =1 สำหรับเงื่อนไขใดๆ ที่เป็นไปตามเงื่อนไขข้างต้น a>0 และ a≠1 ดังนั้นบันทึกความเท่าเทียมกัน 1=0 ที่จะพิสูจน์จะตามมาทันทีจากคำจำกัดความของลอการิทึม
ให้เรายกตัวอย่างการประยุกต์ใช้คุณสมบัติที่พิจารณา: log 3 1=0, log1=0 และ
เรามาต่อกันที่ ไปยังทรัพย์สินดังต่อไปนี้: ลอการิทึมของตัวเลขเท่ากับฐานเท่ากับหนึ่ง, นั่นคือ, เข้าสู่ระบบ a=1สำหรับ a>0, a≠1 อันที่จริง เนื่องจาก 1 =a สำหรับ a ใดๆ ดังนั้นตามนิยามของบันทึกลอการิทึม aa=1
ตัวอย่างของการใช้คุณสมบัติของลอการิทึมนี้คือบันทึกความเท่าเทียมกัน 5 5=1, บันทึก 5.6 5.6 และ lne=1
ตัวอย่างเช่น บันทึก 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 และ .
ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ของจำนวนบวกสองตัว x และ y เท่ากับสินค้าลอการิทึมของตัวเลขเหล่านี้: log a (x y)=บันทึก x+บันทึก a y, ก>0 , ก≠1 . ให้เราพิสูจน์คุณสมบัติของลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ เนื่องจากคุณสมบัติของปริญญา a บันทึก x+บันทึก a y =a บันทึก a x ·a บันทึก a yและเนื่องจากโดยเอกลักษณ์ลอการิทึมหลัก จะมีบันทึก a x =x และบันทึก a y =y จากนั้นจึงบันทึก a x ·a บันทึก a y =x·y ดังนั้น บันทึก a x+log a y =x·y ซึ่งตามนิยามของลอการิทึม ความเท่าเทียมกันที่พิสูจน์ได้จะเป็นดังนี้
ลองแสดงตัวอย่างการใช้คุณสมบัติของลอการิทึมของผลิตภัณฑ์: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 และ .
คุณสมบัติของลอการิทึมของผลิตภัณฑ์สามารถสรุปได้ทั่วไปกับผลคูณของจำนวนจำกัด n ของจำนวนบวก x 1 , x 2 , …, x n เช่น บันทึก a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= บันทึก a x 1 +บันทึก a x 2 +…+บันทึก a xn . ความเท่าเทียมกันนี้สามารถพิสูจน์ได้โดยไม่มีปัญหา
ตัวอย่างเช่น ลอการิทึมธรรมชาติของผลิตภัณฑ์สามารถถูกแทนที่ด้วยผลรวมของลอการิทึมธรรมชาติสามตัวของตัวเลข 4, e และ
ลอการิทึมของผลหารของจำนวนบวกสองตัว x และ y เท่ากับผลต่างระหว่างลอการิทึมของตัวเลขเหล่านี้ คุณสมบัติของลอการิทึมของผลหารสอดคล้องกับสูตรของรูปแบบ โดยที่ a>0, a≠1, x และ y เป็นจำนวนบวกบางจำนวน ความถูกต้องของสูตรนี้ได้รับการพิสูจน์แล้วเช่นเดียวกับสูตรสำหรับลอการิทึมของผลิตภัณฑ์: เนื่องจาก แล้วตามนิยามของลอการิทึม
นี่คือตัวอย่างการใช้คุณสมบัติของลอการิทึม: .
เรามาต่อกันที่ คุณสมบัติของลอการิทึมของกำลัง. ลอการิทึมของดีกรีเท่ากับผลคูณของเลขชี้กำลังและลอการิทึมของโมดูลัสของฐานของดีกรีนี้ ให้เราเขียนคุณสมบัติของลอการิทึมของกำลังเป็นสูตร: บันทึก a b p =p·บันทึก a |b|โดยที่ a>0, a≠1, b และ p เป็นตัวเลขที่ทำให้ระดับ b p สมเหตุสมผล และ b p >0
ก่อนอื่น เราพิสูจน์คุณสมบัตินี้ว่าเป็นบวก b อัตลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐานช่วยให้เราสามารถแสดงจำนวน b เป็นบันทึก a b จากนั้น b p =(a log a b) p และผลลัพธ์นิพจน์ เนื่องจากคุณสมบัติของกำลัง เท่ากับ a p·log a b ดังนั้นเราจึงมาถึงความเท่าเทียมกัน b p =a p·log a b โดยจากนิยามของลอการิทึม เราจะสรุปได้ว่า log a b p =p·log a b
ยังคงต้องพิสูจน์คุณสมบัตินี้สำหรับลบ b ที่นี่เราสังเกตว่านิพจน์ log a b p สำหรับลบ b นั้นสมเหตุสมผลสำหรับเลขชี้กำลังคู่ p เท่านั้น (เนื่องจากค่าของดีกรี b p ต้องมากกว่าศูนย์ มิฉะนั้นลอการิทึมจะไม่สมเหตุสมผล) และในกรณีนี้ b p =|b| พี แล้ว ข พี =|ข| p =(บันทึก a |b|) p =a p·บันทึก a |b|จากที่ log a b p =p·log a |b| .
ตัวอย่างเช่น, และ ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3
มันต่อเนื่องจากคุณสมบัติก่อนหน้า คุณสมบัติของลอการิทึมจากราก: ลอการิทึมของรากที่ n เท่ากับผลคูณของเศษส่วน 1/n ด้วยลอการิทึมของนิพจน์ราก นั่นคือ โดยที่ a>0, a≠1, n – จำนวนธรรมชาติ, มากกว่าหนึ่ง, b>0
การพิสูจน์จะขึ้นอยู่กับความเท่าเทียมกัน (ดู) ซึ่งใช้ได้กับ b ใดๆ ที่เป็นบวก และคุณสมบัติของลอการิทึมของกำลัง: .
นี่คือตัวอย่างการใช้คุณสมบัตินี้: .
ตอนนี้เรามาพิสูจน์กัน สูตรสำหรับการย้ายไปยังฐานลอการิทึมใหม่ใจดี . เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอที่จะพิสูจน์ความถูกต้องของบันทึกความเท่าเทียมกัน c b=log a b·log c a ข้อมูลประจำตัวลอการิทึมพื้นฐานช่วยให้เราสามารถแทนจำนวน b เป็นบันทึก a b จากนั้นให้บันทึก c b=log c a log a b ยังคงใช้คุณสมบัติของลอการิทึมของดีกรี: บันทึก c บันทึก a b = บันทึก a b บันทึก c a. นี่เป็นการพิสูจน์บันทึกความเท่าเทียมกัน c b=log a b·log c a ซึ่งหมายความว่าสูตรสำหรับการเปลี่ยนไปใช้ฐานใหม่ของลอการิทึมได้รับการพิสูจน์แล้วเช่นกัน
เรามาแสดงตัวอย่างการใช้คุณสมบัติของลอการิทึมกัน: และ .
สูตรสำหรับการย้ายไปยังฐานใหม่ช่วยให้คุณสามารถดำเนินการกับลอการิทึมที่มีฐาน "สะดวก" ได้ ตัวอย่างเช่น สามารถใช้เพื่อหาลอการิทึมธรรมชาติหรือทศนิยม เพื่อให้คุณสามารถคำนวณค่าลอการิทึมจากตารางลอการิทึมได้ สูตรสำหรับการย้ายไปยังฐานลอการิทึมใหม่ยังช่วยให้ในบางกรณีสามารถค้นหาค่าของลอการิทึมที่กำหนดเมื่อทราบค่าของลอการิทึมบางตัวที่มีฐานอื่น
มักใช้กรณีพิเศษของสูตรสำหรับการเปลี่ยนไปใช้ฐานลอการิทึมใหม่สำหรับ c=b ของแบบฟอร์ม . นี่แสดงว่าบันทึก a b และบันทึก b a – เช่น, .
สูตรนี้ก็ใช้บ่อยเช่นกัน ซึ่งสะดวกสำหรับการค้นหาค่าลอการิทึม เพื่อยืนยันคำพูดของเรา เราจะแสดงวิธีการใช้ในการคำนวณค่าลอการิทึมของแบบฟอร์ม เรามี . เพื่อพิสูจน์สูตร ก็เพียงพอที่จะใช้สูตรเพื่อเปลี่ยนเป็นฐานใหม่ของลอการิทึม a: .
ยังคงต้องพิสูจน์คุณสมบัติของการเปรียบเทียบลอการิทึม
ให้เราพิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนบวกใดๆ b 1 และ b 2, b 1 log a b 2 และสำหรับ a>1 – บันทึกอสมการ a b 1 ท้ายที่สุด ยังคงต้องพิสูจน์คุณสมบัติสุดท้ายของลอการิทึมที่ระบุไว้ ให้เราจำกัดตัวเองอยู่เพียงการพิสูจน์ในส่วนแรก นั่นคือ เราจะพิสูจน์ว่าถ้า 1 >1, 2 >1 และ 1 1 เป็นจริง log a 1 b>log a 2 b ข้อความที่เหลือของคุณสมบัติของลอการิทึมนี้ได้รับการพิสูจน์ตามหลักการที่คล้ายกัน ลองใช้วิธีตรงกันข้าม สมมติว่าสำหรับ 1 >1, 2 >1 และ 1 1 เป็นจริง log a 1 b≤log a 2 b ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของลอการิทึม อสมการเหล่านี้สามารถเขียนใหม่ได้เป็น และ ตามลำดับ และจากนั้นจะเป็นไปตามนั้น log b a 1 ≤log b a 2 และ log b a 1 ≥log b a 2 ตามลำดับ จากนั้น ตามคุณสมบัติของกำลังที่มีฐานเดียวกัน ความเท่าเทียมกัน b log b a 1 ≥b log b a 2 และ b log b a 1 ≥b log b a 2 จะต้องคงอยู่ นั่นคือ a 1 ≥a 2 เราจึงขัดแย้งกับเงื่อนไข a 1
บรรณานุกรม.
- โคลโมโกรอฟ เอ.เอ็น., อับรามอฟ เอ.เอ็ม., ดุดนิตซิน ยู.พี. และอื่น ๆ พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: หนังสือเรียนสำหรับเกรด 10 - 11 ของสถาบันการศึกษาทั่วไป
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้เข้าโรงเรียนเทคนิค)