Как решить уравнение параметром модулем. Презентация на тему "решение уравнений с модулями и параметрами"
Уравнения с параметрами
Математика – единственный совершенный метод, позволяющий провести самого себя за нос. Альберт Эйнштейн
№ 1 Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение x² + (a + 5)² = |x + a + 5| + |x – a -5| имеет ровно три корня.
РЕШЕНИЕ Уравнение не изменится, если заменить x числом –x . Следовательно, уравнение имеет чётное число ненулевых решений. Значит, три решения уравнения имеет только тогда, когда одно из них 0. Поставим x = 0 .
Получим: (a + 5)² = 2|a + 5|
Откуда a + 5 = 0 или |a + 5| = 2.
Если a + 5 = 0, уравнение принимает вид x² = 2|x| и имеет ровно три решения: -2, 0, 2. Из a + 5 = 0 получаем: a = -5. Если |a +5| = 2, уравнение принимает вид x² + 4 = |x + 2| + |x – 2|.
2 уравнение принимает вид x² - 2x + 4 = 0 и не имеет решений. Аналогично решений нет при x Ответ: a = -5. " width="640"
При -2 ≤ x ≤ 2 уравнение имеет единственное решение 0. При x 2 уравнение принимает вид x² - 2x + 4 = 0 и не имеет решений. Аналогично решений нет при x Ответ: a = -5.
№ 2
Найдите все значения параметра a, при котором уравнение f(x) = |2a + 5|x
имеет 6 решений, где f -- чётная периодическая функция, с периодом Т = 2, определённая на всей числовой прямой, причём f(x) = ax², если 0≤x≤1 .
РЕШЕНИЕ Если а = 0, функция f(x) тождественно равна нулю, и её график имеет с прямой y = 5x единственную общую точку.
0, то 9а = -25. Положительных решений нет. Следовательно, случай а 0 невозможен. " width="640"
Пусть а = 0, (рис. 1). Решение х = 0 есть при всех а. Нужно ещё ровно пять решений. Единственный возможный случай показан на рисунке: прямая проходит через точку (5 ; а). Составим уравнение |2a + 5| ∙ 5 = a. Так как а 0, то 9а = -25. Положительных решений нет. Следовательно, случай а 0 невозможен.
№ 3 Найдите все значения а, при каждом из которых функция f(x) = x² - 3|x - a²| - 5x имеет более двух точек экстремума. РЕШЕНИЕ При х ≥ а² f (x) = x² - 8x + 3a², поэтому график функции есть часть параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии х = 4.
Обе параболы проходят через точку (а² ; f(a²)). Функция y = f(x) имеет более двух точек экстремума, а именно три, в единственном случае (рис. 1): 1
Ответ: -2
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
Занятие «Решение линейных уравнений с параметром, содержащих модуль».
Цель: сформировать умение решать линейные уравнения с параметром, содержащие модуль; развивать логическое мышление и навыки самостоятельной работы.
Оборудование: презентация.
Ход урока.
1.Для актуализации знаний учащихся необходимо повторить понятие модуля и решить несколько уравнений с модулем: |х|=3; |х|= - 5; |х|=0.
Затем предложить учащимся ответить на вопрос: Сколько корней может иметь уравнение с модулем и от чего это зависит?
Вывод содержится на 2 слайде. Его записывают в тетради.
Разбор решения уравнения |х - 2 |= 3
Фронтальная работа с классом: решение уравнения 1. |х + 4 |= 0.
Самостоятельное решение уравнений:
2. |х - 3 |= 5; 3. |4 - х |= 7; 4. |5 - х |= - 9. Проверка.
Разбор решения задание 1 :
Определите число корней уравнения
||х| +5 - а |= 2. (слайд 3)
Комментарии учителя: это уравнение с параметром, т.е. с переменной а. В зависимости от значения этой переменной будет изменяться вид уравнения. А значит, и число корней уравнения зависит от а.
Предложить учащимся ответить на вопрос задания «Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение ||х| +5 - а |= 2 имеет ровно 3 корня. (Если значений а более одного, то в бланке ответов запишите их сумму). Ответ: 7. (слайд 4)
Решить у доски задание 2: Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение ||х| - 3 + а |= 4 имеет ровно 3 корня. Ответ: - 1.
Самостоятельная работа.
Задание
3
.Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение ||х| -4+ а |= 3 имеет ровно 1 корень. Ответ: 7.
Задание 4 . При каких значениях а уравнение
|а - 5 - |х||= 3 имеет нечетное число корней (если значений а более одного, то в бланке ответов запишите их сумму). Ответ: 10.
Предложить учащимся разобрать способ решения задания, используя свойство четности функции и графический способ.
7. Итог урока. Над чем вы сегодня работали на уроке? Было ли для вас что-то нового и познавательного? Над чем бы вы хотели поработать на следующем уроке?
21x 2 + 55x + 42 = 0, D = 552 − 4 21 42 = 3025 − 3582 < 0.
Ответ: 1; 2.
§6. Решение уравнений с модулями и параметрами
Рассмотрим несколько уравнений, в которых переменная x стоит под знаком модуля. Напомним, что
x , если x ≥ 0,
x = − x , если x < 0.
Пример 1. Решите уравнение:
а) x − 2 = 3; б) x + 1 − 2x − 3 = 1;
x + 2 |
X =1; г) x 2 − |
6; д) 6x 2 − |
x + 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||
x − 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
а) Если модуль числа равен 3, то это число равно либо 3, либо (− 3 ) , |
||||||||||||||||||||||||||||||||
т. е. x − 2 = 3, x = 5 или x − 2 = − 3, x = − 1. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
б) Из определения модуля следует, что |
x + 1 |
X + 1, при x + 1 ≥ 0, |
||||||||||||||||||||||||||||||
т. е. при x ≥ − 1 и |
x + 1 |
= − x − 1 при x < − 1. Выражение |
2x − 3 |
|||||||||||||||||||||||||||||
2 x − 3, если x ≥ 3 |
и равно − 2 x + 3, если x < 3 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||
x < −1 |
уравнение |
равносильно |
уравнению |
|||||||||||||||||||||||||||||
− x −1 − |
(− 2 x + 3 ) = 1, из которого следует, что |
x = 5. Но число 5 не |
||||||||||||||||||||||||||||||
удовлетворяет условию x < − 1, следовательно, |
при x < − 1 данное |
|||||||||||||||||||||||||||||||
уравнение решений не имеет. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
−1 ≤ x < |
уравнение |
равносильно |
уравнению |
|||||||||||||||||||||||||||||
x + 1− (2x + 3) = 1, из которого следует, что x = 1; |
число 1 удовлетворя- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
ет условию − 1 ≤ x < |
||||||||||||||||||||||||||||||||
2010-2011 уч. год., № 5, 8 кл. Математика. Квадратные уравнения
x ≥ |
уравнение |
равносильно |
уравнению |
||||||||||||||||||
x + 1 − (− 2 x − 3 ) = 1, которое имеет решение x = 3. А так как число 3 |
|||||||||||||||||||||
удовлетворяет условию x ≥ |
то оно является решением уравнения. |
||||||||||||||||||||
x + 2 |
|||||||||||||||||||||
в) Если числитель и знаменатель дроби |
имеют одинаковые |
||||||||||||||||||||
x − 1 |
|||||||||||||||||||||
знаки, то дробь положительна, а если разные – то отрицательна, т. е. |
|||||||||||||||||||||
x + 2 |
x + 2 |
Если x ≤ − 2, если x > 1, |
|||||||||||||||||||
x − 1 |
|||||||||||||||||||||
x − 1 |
|||||||||||||||||||||
x + 2 |
Если − 2 < x < 1. |
||||||||||||||||||||
−1 |
|||||||||||||||||||||
При x ≤ − 2 |
ипри x > 1 |
||||||||||||||||||||
исходноеуравнениеравносильноуравнению |
|||||||||||||||||||||
x + 2 |
X =1, x +2 |
X (x −1 ) = x −1, x 2 − x +3 =0. |
|||||||||||||||||||
x − 1 |
|||||||||||||||||||||
Последнее уравнение не имеет решений. |
|||||||||||||||||||||
При − 2 < x < 1 данное уравнение равносильно уравнению |
|||||||||||||||||||||
x + 2 |
X =1, − x −2 + x 2 − x = x −1, x 2 −3 x −1 = 0. |
||||||||||||||||||||
x − 1 |
|||||||||||||||||||||
Найдём корни этого уравнения: |
|||||||||||||||||||||
x = 3 ± 9 + 4 = 3 ± 13 . |
|||||||||||||||||||||
Неравенствам |
− 2 < x < 1 удовлетворяет число 3 − 13 |
Следова- |
|||||||||||||||||||
тельно, это число является решением уравнения. |
|||||||||||||||||||||
x ≥ 0 данное |
уравнение |
равносильно |
уравнению |
||||||||||||||||||
x 2 − x −6 = 0, |
корнями которого являются числа 3 и – 2. Число 3 |
||||||||||||||||||||
удовлетворяет условию x > 0, |
а число – 2 не удовлетворяет этому ус- |
ловию, следовательно, только число 3 является решением исходного
x < 0 удовлетворяет число − 3 и не удовлетворяет число 2.
© 2011, ФЗФТШ при МФТИ. Составитель: Яковлева Тамара Харитоновна
2010-2011 уч. год., № 5, 8 кл. Математика. Квадратные уравнения |
||||||||
x ≥ − 1 данное |
уравнение |
равносильно |
уравнению |
|||||
6 x 2 − x − 1 = 0, находим его корни: x = 1 ± |
25 , x = 1 , x |
= −1 . |
||||||
Оба корня удовлетворяют условию x ≥ − 1, |
следовательно, они яв- |
|||||||
ляются решениями данного уравнения. При |
x < − 1 данное уравнение |
|||||||
равносильно уравнению 6 x 2 + x + 1 = 0, которое не имеет решений. |
||||||||
Пусть заданы выражения f (x , a ) и g (x , a ) , |
зависящие от перемен- |
|||||||
ных x |
и a . |
Тогда уравнение |
f (x, a) = g(x, a) |
относительно перемен- |
ной x называется уравнением с параметром a . Решить уравнение с параметром – это значит при любом допустимом значении параметра найти все решения данного уравнения.
Пример 2. Решитеуравнениепривсехдопустимыхзначенияхпараметра a :
а) ax 2 − 3 = 4 a 2 − 2 x 2 ; б) (a − 3 ) x 2 = a 2 − 9;
в) (a − 1 ) x2 + 2 (a + 1 ) x + (a − 2 ) = 0.
x 2 = |
4a 2 + 3 |
Выражение 4 a 2 |
3 > 0 для любого a ; при a > − 2 име- |
|||||
a + 2 |
||||||||
ем два решения: x = |
4a 2 + 3 |
и x = − |
4a 2 |
Если |
a + 2 < 0, то |
|||
a + 2 |
a + 2 |
|||||||
выражение 4 a 2 + 3 < 0, тогда уравнение не имеет решений. a + 2
Ответ: x = ± |
4a 2 + 3 |
При a > − 2; |
при a ≤ − 2 решений нет. |
|
a + 2 |
||||
то x 2 = a + 3. Если a + 3 = 0, |
||||
б) Если a = 3, то x . Если a ≠ 3, |
||||
т.е. если a = − 3, |
то уравнение имеет единственное решение x = 0. Ес- |
ли a < − 3, то уравнение не имеет решений. Если a > − 3 и a ≠ 3, то уравнение имеет два решения: x 1 = a + 3 и x 2 = − a + 3.
© 2011, ФЗФТШ при МФТИ. Составитель: Яковлева Тамара Харитоновна
2010-2011 уч. год., № 5, 8 кл. Математика. Квадратные уравнения |
||||||||||||||||||
a = 1 данное уравнение принимает вид |
4x − 1 = 0, |
|||||||||||||||||
x = 1 |
является его решением. При |
a ≠ 1 данное уравнение является |
||||||||||||||||
квадратным, его дискриминант D 1 равен |
||||||||||||||||||
(a + 1 ) 2 − (a − 1 )(a − 2 ) = 5 a − 1. |
||||||||||||||||||
Если 5 a − 1 < 0, т.е. a < 1 , |
то данное уравнение не имеет решений. |
|||||||||||||||||
Если a = |
то уравнение имеет единственное решение |
|||||||||||||||||
a + 1 |
||||||||||||||||||
x = − |
||||||||||||||||||
a − 1 |
−1 |
|||||||||||||||||
Если a > |
и a ≠ 1, |
то данное уравнение имеет два решения: |
||||||||||||||||
x = − (a + 1 ) ± 5 a − 1 . |
||||||||||||||||||
a − 1 |
−(a +1 ) ± |
|||||||||||||||||
1 при |
a = 1; x = 3 |
при a |
; x = |
5a − 1 |
||||||||||||||
a − 1 |
||||||||||||||||||
при a > 1 |
и a ≠ 1; при a < 1 |
уравнение не имеет решений. |
||||||||||||||||
§7. Решение систем уравнений. Решение задач, сводящихся к квадратным уравнениям
В этом параграфе рассмотрим системы, которые содержат уравнения второй степени.
Пример 1. Решить систему уравнений
2x + 3y = 8,
xy = 2.
В этой системе уравнение 2 x + 3 y = 8 является уравнением первой степени, а уравнение xy = 2 – второй. Решим эту систему методом
© 2011, ФЗФТШ при МФТИ. Составитель: Яковлева Тамара Харитоновна
2010-2011 уч. год., № 5, 8 кл. Математика. Квадратные уравнения
подстановки. Из первого уравнения системы выразим x через y и подставим это выражение для x во второе уравнение системы:
8 − 3y |
4 − |
||||||
y , 4 |
y y = 2. |
||||||
Последнее уравнение сводится к квадратному уравнению
8y − 3y 2 = 4, 3y 2 − 8y + 4 = 0.
Находим его корни: |
|||||||||||||
4 ± 4 |
4 ± 2 |
Y = 2, y |
|||||||||||
Из условия x = 4 − |
получим x = 1, x |
||||||||||||
Ответ: (1;2 ) и |
|||||||||||||
Пример 2. Решите систему уравнений:
x 2 + y 2 = 41,
xy = 20.
Умножим обе части второго уравнения на 2 и сложим с первым
уравнением системы: |
x 2 + y 2 + 2xy = 41 + 20 2, |
(x + y ) 2 = 81, откуда |
||||
следует, что x + y = 9 или x + y = − 9. |
||||||
Если x + y = 9, то |
x = 9 − y . Подставим это выражение для x во |
|||||
второе уравнение системы: |
||||||
(9 − y ) y = 20, y 2 − 9 y + 20 = 0, |
||||||
y = 9 ± 81 − 80 = 9 ± 1 , y = 5, y |
4, x = 4, x = 5. |
|||||
Из условия x + y = − 9 получим решения (− 4; − 5) и (− 5; − 4 ) . |
||||||
Ответ: (± 4;± 5) , (± 5;± 4) . |
||||||
Пример 3. Решите систему уравнений: |
||||||
y = 1, |
||||||
x − |
||||||
x − y |
Запишем второе уравнение системы в виде
( x − y )( x + y ) = 5.
© 2011, ФЗФТШ при МФТИ. Составитель: Яковлева Тамара Харитоновна
2010-2011 уч. год., № 5, 8 кл. Математика. Квадратные уравнения
Используя уравнение x − y = 1, получаем: x + y = 5. Таким образом, получаем систему уравнений, равносильную дан-
x − |
y = 1, |
|
y = 5. |
||
Сложим эти уравнения, получим: 2 x = 6, |
x = 3, x = 9. |
||||||
Подставляя значение x = 9 в первое уравнение |
системы, получа- |
||||||
ем 3 − y = 1, откуда следует, что y = 4. |
|||||||
Ответ: (9;4 ) . |
(x + y)(x |
Y −4 ) = −4, |
|||||
Пример 4. Решите систему уравнений: (x 2 + y 2 ) xy = − 160. |
|||||||
xy = v; |
|||||||
Введём новые переменные |
x + y = u |
||||||
x2 + y2 = x2 + y2 + 2 xy − 2 xy = (x + y) 2 − 2 xy = u2 − 2 v, |
|||||||
u (u −4 ) = −4, |
|||||||
система приводится к виду (u 2 − 2 v ) v = − 160. |
|||||||
Решаем уравнение: |
|||||||
u (u − 4) = − 4, u 2 − 4u + 4 = 0, (u − 2) 2 = 0, u = 2. |
|||||||
Подставляем это значение для u в уравнение: |
|||||||
(u 2 − 2v ) v = − 160, (4 − 2v ) v = − 160, 2v 2 − 4v − 160 = 0, |
|||||||
v 2 − 2v − 80 = 0, v = 1± 1 + 80 = 1± 9, v = 10, v |
= −8. |
||||||
Решаем две системы уравнений: |
|||||||
x + y = 2, |
|||||||
x + y = 2, |
|||||||
и |
|||||||
xy = 10 |
xy = − 8. |
||||||
Обесистемырешаемметодомподстановки. Дляпервойсистемыимеем: |
|||||||
x = 2 − y , (2 − y ) y = 10, y 2 − 2 y + 10 = 0. |
Полученное квадратное уравнение не имеет решений. Для второй системы имеем: x = 2 − y , (2 − y ) y = − 8, y 2 − 2 y − 8 = 0.
y = 1 ± 1 + 8 = 1 ± 3, y 1 = 4, y 2 = − 2. Тогда x 1 = − 2 и x 2 = 4. Ответ: (− 2;4 ) и (4; − 2 ) .
© 2011, ФЗФТШ при МФТИ. Составитель: Яковлева Тамара Харитоновна
умноженное на 3, получим:
2010-2011 уч. год., № 5, 8 кл. Математика. Квадратные уравнения
Пример 5. Решите систему уравнений:
x2 + 4 xy = 3,
y2 + 3 xy = 2.
Из первого уравнения умноженного на 2, вычтем второе уравнение,
2 x2 − xy − 3 y2 = 0.
Если y = 0, тогда и x = 0, но пара чисел (0;0 ) не является решением исходной системы. Разделим в полученном уравнении обе части ра-
венства на y 2 , |
||||||||||||||||||||||||
1 ± 5 , x = 2 y и x = − y. |
||||||||||||||||||||||||
−3 |
= 0, |
|||||||||||||||||||||||
y |
||||||||||||||||||||||||
Подставляем |
значение |
x = |
3y |
первое уравнение |
||||||||||||||||||||
9 y 2 + 6 y 2 = 3, 11y 2 = 4, y = |
, x = |
, x = − |
||||||||||||||||||||||
Подставляем значение x = − y в первое уравнение системы: y 2 − 4 y 2 = 3, − 3 y 2 = 3.
Решений нет.
Пример 9. Найтивсезначенияпараметра a , прикоторыхсистемауравнений
x2 + (y − 2 ) 2 = 1,
y = ax2 .
имеет хотя бы одно решение.
Данная система называется системой с параметром. Их можно решить аналитическим методом, т.е. с помощью формул, а можно применить так называемый графический метод.
Заметим, что первое уравнение задаёт окружность с центром в точке (0;2 ) с радиусом 1. Второе уравнение при a ≠ 0 задаёт параболу с вершиной в начале координат.
Если a 2
Вслучаеа) параболакасаетсяокружности. Извторогоуравнениясистемыследу-
ет, что x 2 = y / a , |
подставляем это значения для |
x2 |
в первоеуравнение: |
||||||||||
1 |
|||||||||||||
+(y −2 ) |
= 1, |
+ y |
− 4 y + 4 = 1, y |
4 − a y + 3 |
= 0. |
||||||||
В случае касания в силу симметрии существует единственное значение y , поэтому дискриминант полученного уравнения должен быть
равен 0. Так как ордината y точки касания положительная и т.к.
y = 2 |
− a |
получаем, |
|||||||||||||||
> 0; D |
1 2 |
||||||||||||||||
4 − a |
4 − a |
− 12 = 0, |
4 − a |
> 0 |
|||||||||||||
получаем: 4 |
= 2 |
= 4 −2 |
|||||||||||||||
a = |
4 + 2 3 |
4 + 2 3 |
2 + |
||||||||||||||
(4 − 2 3)(4 + 2 3) = |
16 − 12 = |
||||||||||||||||
4 − 2 3 |
Если a > 2 + 2 3 , то парабола будет пересекать окружность в 4 точ-
© 2011, ФЗФТШ при МФТИ. Составитель: Яковлева Тамара Харитоновна
2010-2011 уч. год., № 5, 8 кл. Математика. Квадратные уравнения
Следовательно, система имеет хотя бы одно решение, если
a ≥ 2 + 2 3 .
Пример 10. Сумма квадратов цифр некоторого натурального двузначного числа на 9 больше удвоенного произведения этих цифр. После деления этого двузначного числа на сумму его цифр в частном получается 4 и в остатке 3. Найти это двузначное число.
Пусть двузначное число равно 10 a + b , где a и b – цифры этого числа. Тогда из первого условия задачи получаем: a 2 + b 2 = 9 + 2 ab , а из второго условия получаем: 10 a + b = 4 (a + b ) + 3.
a2 + b2 = 9 + 2 ab,
Решаем систему уравнений: 6 a − 3 b = 3.
Из второго уравнения системы получаем
6a − 3b = 3, 2a − b = 1, b = 2a − 1.
Подставляемэтозначениедля b впервоеуравнениесистемы:
a 2 + (2a − 1) 2 = 9 + 2a (2a − 1) , 5a 2 − 4a + 1 = 9 + 4a 2 − 2a ,
a 2 − 2a − 8 = 0, D 1 = 1 + 8 = 9, a = 1 ± 3, a 1 = 4, a 2 = − 2 < 0, b 1 = 7.
Ответ: 47.
Пример 11. После смешения двух растворов, один из которых содержал 48 г, а другой 20 г, безводного йодистого калия, получили 200 г нового раствора. Найдите концентрацию каждого из первоначальных растворов, если концентрация первого раствора была на 15% больше концентрации второго.
Обозначим через x % – концентрацию второго раствора, а через (x + 15 ) % – концентрацию первого раствора.
(x + 15 )% |
x % |
|||
I раствор |
II раствор |
В первом растворе 48 г составляет (x + 15 ) % от веса всего раствора,
поэтому вес раствора равен x 48 + 15 100. Во втором растворе 20 г со-
© 2011, ФЗФТШ при МФТИ. Составитель: Яковлева Тамара Харитоновна
Пирогова Татьяна Николаевна – учитель высшей категории
МАОУ СОШ № 10 г. Таганрога.
«Решение уравнений с модулем и параметром»
10 класс, занятие элективного курса «Свойства функции».
Цели занятия.
повторить различные способы решения уравнений с модулями;
провести исследование зависимости числа корней от данных уравнения;
развивать внимание, память, умение анализировать при проведении исследовательской работы и обобщении ее результатов.
План занятия.
Мотивация.
Актуализация знаний.
Решение линейного уравнения с модулем разными способами.
Решение уравнений содержащих модуль под модулем.
Исследовательская работа по определению зависимости количества корней уравнения
| | х| - а |= в от значений а и в.
Решение уравнений с двумя модулями и параметром.
Рефлексия.
Ход занятия.
Мотивация. Как говорили древние философы «Мудрость – это любовь к знаниям, а любовь – это мера всех вещей». «Мера» на латинском языке -«modulus», от него и произошло слово «модуль». И сегодня мы с вами поработаем с уравнениями, содержащими модуль. Надеюсь, у нас все получится, и в конце занятия мы с вами станем мудрее.
Актуализация знаний. Итак, вспомним, что мы уже знаем о модуле.
Определение модуля. Модулем действительного числа – называется само число, если оно неотрицательно и противоположное ему число, если оно отрицательно.
Геометрический смысл модуля. Модуль действительного числа а равен расстоянию от начала отсчета до точки с координатой а на числовой прямой.
–a 0 a
|– a | = | a | | a | x
Геометрический смысл модуля разности величин. Модуль разности величин | а – в | - это расстояние между точками с координатами а и в на числовой прямой,
Т.е. длина отрезка [ а в ]
1) Еслиa < b 2) Еслиa > b
a b b a
S = b – a S = a – b
3) Если a = b , то S = a – b = b – a = 0
Основные свойства модуля
Модуль числа есть число неотрицательное, т.е. |x | ≥ 0 для любого x
Модули противоположных чисел равны, т.е. |x | = |–x | для любого x
Квадрат модуля равен квадрату подмодульного выражения, т.е. |x | 2 =x 2 для любого x
4. Модуль произведения двух чисел равен произведению модулей сомножителей, т.е.|a b | = |a | · |b |
5. Если знаменатель дроби отличен от нуля, то модуль дроби равен частному от деления модуля числителя на модуль знаменателя, т.е. при b ≠ 0
6. Для равенства любых чисел a и b справедливы неравенства :
| |a | – |b | | ≤ |a + b | ≤ |a | + |b |
| |a | – |b | | ≤ |a – b | ≤ |a | + |b |
График модуля у = | х | - прямой угол с вершиной в начале координат, стороны которого являются биссектрисами 1 и 2 квадрантов.
Как построить графики функций? у = | х – а |, у = | х | + в , у = | х – а | + в, у = || х| – а |
Пример. Решить уравнение 3
x
.
Способ 1. Метод раскрытия модулей по промежуткам.
5
5
,
1
3
2
,
2
1
1
,
2
3
2
,
2
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Способ 2. Непосредственное раскрытие модуля.
Если модуль числа равен 3, то это число 3 или -3.
.
1
,
5
3
2
,
3
2
3
2
2
1
x
x
x
x
x
Способ 3 . Использование геометрического смысла модуля.
Необходимо найти на числовой оси такие значения х, которые удалены от 2 на расстояние, равное 3.
.
5
,
1
2
1
x
x
5
-1
2
3
3
Способ 4. Возведение обеих частей уравнения в квадрат.
Здесь используется свойство модуля и то, что обе части уравнения неотрицательные.
.
5
,
1
0
5
4
9
2
9
2
3
2
2
1
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
Способ 5. Графическое решение уравнения 3
x
Обозначим
x
x
f
x
f
Построим графики функций и :
2 -1 0 1 2 3 4 5
2 -1 0 1 2 3 4 5
Абсциссы точек пересечения графиков дадут корни и 5
x
Самостоятельная работа
решите уравнения:
| х – 1| = 3
| х – 5| = 3
| х –3| = 3
| х + 3| = 3
| х + 5| = 3
(-2; 4)
(2; 8)
(0; 6)
(-6; 0)
(-8;-2)
А теперь добавьте в условия еще один модуль и решите уравнения:
| | х| – 1| = 3
| | х| –5| = 3
| | х | – 3| = 3
| | х | + 3| = 3
| | х | + 5| = 3
( )
( )
(0)
(нет корней)
Итак, сколько корней может иметь уравнение вида | | х | – а |= в? От чего это зависит?
Исследовательская работа по теме
«Определение зависимости количества корней уравнения | | х | – а |= в от а и в »
Проведем работу по группам, с использованием аналитического, графического и геометрического способов решения.
Определим, при каких условиях данное уравнение имеет 1 корень, 2 корня, 3 корня, 4 корня и не имеет корней.
1 группа (по определению)
2 группа (используя геометрический смысл модуля) -в +в
а-в а а+в
3 группа (используя графики функций)
, а > 0
, а < 0
1 группа
2 группа
3 группа
Нет корней
в < 0 или в ≥ 0
в + а < 0
в < 0 или в ≥ 0
а + в < 0
в < 0 или в ≥ 0
в < – а
ровно один корень
в > 0 и в + а = 0
в > 0 и в + а = 0
в > 0 и в = – а
ровно два корня
в > 0 и в + а > 0
– в + а < 0
в > 0 и в + а > 0
– в + а < 0
в > 0 и в > | а |
ровно три корня
в > 0 и – в + а = 0
в > 0 и – в + а = 0
в > 0 и в = а
ровно четыре корня
в > 0 и – в + а >0
в > 0 и – в + а >0
в > 0 и в < а
Сравните результаты, сделайте общий вывод и составьте общую схему.
Конечно, необязательно эту схему запоминать . Главное в проведенном нами исследовании было – увидеть эту зависимость, используя разные методы , и теперь повторить свои рассуждения при решении таких уравнений нам будет уже несложно.
Ведь решение задания с параметром всегда подразумевает некоторое исследование.
Решение уравнений с двумя модулями и параметром.
1. Найти значения р, х| – р – 3| = 7 имеет ровно один корень.
Решение: | | х| – (р + 3)| = 7
р +3= -7, р = -10. Или геометрически
р + 3 – 7 р + 3 р + 3+7 р + 3+7=0, р = -10
7 7 по схеме уравнение такого вида имеет ровно один корень, если в = – а, где в =7, а = р +3
2. Найти значения р, при каждом из которых уравнение | | х| – р – 6| = 11 имеет ровно два корня.
Решение: | | х| – (р + 6)| = 11 геометрически
р + 6 – 11 р + 6 р + 6+11 р + 6-11<0, р < 5, р + 6+11>0, р > -17
11 11
по схеме уравнение такого вида имеет ровно два корня, если в + а > 0 и – в + а < 0, где в =11, а = р +6. -17< р < 5.
3. Найти значения
р,
при каждом из которых уравнение | |
х|
– 4
р
р,
5.
Преобразуем уравнение к виду:
| | х –4 | – 3|= – 2 р .
По схеме уравнение такого вида имеет три корня,
если –2 р =3>0,
т.е. р = –1,5.
Что мы сегодня делали?
Что делали?
Повторяли
Решали
Исследовали
Обобщали
Доказывали
Строили
Модуль
параметр
Что повторили?
Определение
Геометрический смысл
Свойства
Графики
Уравнения
Разные методы
Домашнее задание.